组合数学.

组合数学

第一章 排列和组合

1.1 计数的基本原则

相等原则：设A 、B 是两个有限集，如果存在由A 到B 上一个一一对应映射（即双射），则 |A|=|B|.

加法原则：设A 是有限集，),,...2,1(k i A A i

=⊂

如果 k

i i A A 1

== 且 =j i A A φ（1≤i ＜j ≤k ），则 ∑==

k

i i

A

A 1

.

★ 定理1.1 已知做一件事要经过两个步骤，完成第一个步骤的方法有m 种，完成第一个步骤之后，完成第二个步骤的方法有n 种，则做这件事情的方法共有mn 种.

★ 定理1.2（乘法原则）：已知做一件事情要依次经过k 个步骤，且在已完成前面i-1（1≤i ≤k ）个步骤的情况下，完成第i 个步骤有i n 种方法，则做这件事情的方法共有

∏==∙⋅⋅⋅∙∙k

i i k n n n n 1

21 种.

1.2 排列 n 元集的r-排列

☻ 定义1.1 设A 是n 元集，如果序列r a a a ⋅⋅⋅21中的r 个元 r

a a a ,,,21⋅⋅⋅都属于A 且

彼此互异，则称序列r a a a ⋅⋅⋅21是n 元集A 的一个r-排列，并称k a （1≤k ≤r ）是该r-排列的第k 个元，或称k a 在该r-排列中排在第k 位.

☻ 定义1.2 n 元集A={n a a a ,,,21⋅⋅⋅}的n-排列称为n 元集A 的一个全排列，亦称为由

n a a a ,,,21⋅⋅⋅作成的一个全排列.

定理1.3 设n ，r （n ≥r ）是正整数，以P(n,r)表示n 元集的r-排列的个数，则

)!

(!

)1()1(),(r n n r n n n r n P -=

+-⋅⋅⋅-=

推论1.1 n 元集的全排列的个数为n ！

n 元集的r-可重复排列

☻ 定义1.3 设A 为n 元集，如果序列r a a a ⋅⋅⋅21的元素都属于A ，则称序列r a a a ⋅⋅⋅21是n 元集A 的一个r-可重复排列.

★ 定理1.4 n 元集的r-可重复排列的个数为r n .

多重集的排列

☻ 定义1.4 由k k a n a n a n 个个个,,,2211⋅⋅⋅组成的集合M 记为

},,,{2211k k a n a n a n M ∙⋅⋅⋅∙∙=，M 称为多重集，也称M 是一个n-多重集，其中k n n n n +⋅⋅⋅++=21.

☻ 定义1.5 设},,,{2211k k a n a n a n M ∙⋅⋅⋅∙∙=，π是集合},,,{21k a a a A ⋅⋅⋅=的一个n-可重复排列且π中有k k a n a n a n 个个个,,,2211⋅⋅⋅，则称π是多重集M 的一个全排列，此时也称π是由k k a n a n a n 个个个,,,2211⋅⋅⋅作成的全排列。

★ 定理1.5 多重集},,,{2211k k a n a n a n M ∙⋅⋅⋅∙∙=的全排列的个数为

!

!!)!

(2121k k n n n n n n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++

☻ 定义1.6 设},,,{2211k k a n a n a n M ∙⋅⋅⋅∙∙=和},,,{2211k k a s a s a s A ∙⋅⋅⋅∙∙=都是多重

集，且i i n s ≤≤0（1≤i ≤k ），则称M A 是的一个子集，如果r s s s k =+⋅⋅⋅++21，则称

M A 是的一个r-子集.

☻ 定义1.7 设},,,{2211k k a n a n a n M ∙⋅⋅⋅∙∙=是多重集，π是M 的某个r-子集的全排列，则称π是M 的一个r-排列.

1.3 T 路的计数

☻ 定义1.8 由p ×q 个单位正方形拼成的长为p ，宽为q 的长方形叫做一个p ×q 棋盘.

★ 定理1.6 沿p ×q 棋盘上的线段，由顶点A 到顶点B 的最短路的条数为q!

p!q)!

p (+.

☻ 定义1.9 在Oxy 坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点.由任一个整点（x ，y ）到整点（x+1，y+1）或（x+1，y-1）的有向线段叫做一个T 步.

☻ 定义1.10 由整点A 到整点B 的一条T 路是指由若干个T 步组成的起点为A 、终点为B 的有向折线.

★ 定理1.7 如果存在由整点),(αa A 到整点),(βb B 的T 路，则： ① b ＞ a.

② b - a ≥ │β-α│.

③ a + α与 b + β的奇偶性相同. 上述三给条件合称为T 条件.

★ 定理1.8 设整点),(αa A 与整点),(βb B 满足T 条件，则由A 到B 的T 路的条数为

)!2

2()!22()!

(αβαβ----+--a b a b a b .

★ 定理1.9（反射定理） 设整点),(αa A 与整点),(βb B 满足T 条件，且

,,0,0βαβα+≥->>a b 则由A 到B 且经过x 轴（即与x 轴有交点）的T 路的条数等于

由),('α-a A 到B 的T 路的条数，为

)!2

2()!22()!

(αβαβ+--++--a b a b a b

★ 定理1.10 设整点),(αa A 与整点),(βb B 满足T 条件，且

,,0,0βαβα+≥->>a b 则由A 到B 且不经过x 轴的T 路的条数为

)!2

2()!22()!

()!22()!22()!(αβαβαβαβ+--++---

----+--a b a b a b a b a b a b

★ 定理1.11 （1）由点O （0,0）到点V （2n ，0），中途不经过x 轴且位于上半平面的T 路的条数为

)!

1(!)!

22(--n n n .

（2）由点O （0,0）到点V （2n ，0）且位于上半平面的T 路的条数为

!

)!1()!

2(n n n +.

令n n C n n n n C ),,3,2,1()!

1(!)!

22(⋅⋅⋅=--=叫做Catalan （卡塔兰）数

★ 定理1.12 以n S 2表示满足条件

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅=<+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++）（或n j x n j j x x x n

x x x j j

n 2,,2,110)12,,2,1(212122

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