北师大版二次函数经典总结与典型题
中考数学 二次函数知识点总结及相关题型 北师大版
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121, 第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ ）DC５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x k－＝，其中所有正确的结论是 （只需填写序号）． 7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102. （1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.第9题9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式； （3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴交点的个数．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12 ，计算结果精确到1米）．16. 如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N 点的坐标；若不存在，说明理由．17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标； （2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．答案：1-4DCDD(2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+) 5. 4 6. ①③④ 7. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y , 将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b ac ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9. 解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10. 解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）． 设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0）， 由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，a x 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°．由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ． 解得 41-=a ． ∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°．由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=a a a ． 解 94=a ．当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+a aa ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．11. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1²x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2=∴m 2－4m ＋3=0 解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 .（2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩ ①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴a = .这时M 、N 到y , 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴2³12³（2－m =27∴解得m=－7 . 12. 解法一： （1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ． ∴ a ±1． ∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－． ①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小．∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+．∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小．解法二： （1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． 令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上， ∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1． ∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ． 由PF ∥EQ ，可得EQPF BQ BF ＝．∴ 45251PF＝．∴ 21＝PF ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． 13. 解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ． 其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ．∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，． 分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=． ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ， 解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=． ∴⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角． （4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2）， 以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．14. 解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点． 15. 解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16. 答案：（1）由题意，可设抛物线的解析式为2(2)1y a x =-+，∵抛物线过原点， ∴2(02)10a -+=， 14a =-． ∴抛物线的解析式为21(2)14y x =--+214x x =-+． （2）AOB △和所求MOB △同底不等高，3MOB AOB S S =△△且，∴MOB △的高是AOB △高的3倍，即M 点的纵坐标是3-． ∴2134x x -=-+，即24120x x --=． 解之，得 16x =，22x =-．∴满足条件的点有两个：1(63)M -，，2(23)M --，． （3）不存在．由抛物线的对称性，知AO AB =，AOB ABO ∠=∠．如图，若OBN △与OAB △相似，必有BON BOA BNO ∠=∠=∠．设ON 交抛物线的对称轴于A '点，显然(21)A '-，． ∴直线ON 的解析式为12y x =-．由21124x x x -=-+，得10x =，26x =．∴ (63)N -，． 过N 作NE x ⊥轴，垂足为E ．在Rt BEN △中，2BE =，3NE =，∴NB = 又OB =4，∴NB OB ≠，BON BNO ∠≠∠，OBN △与OAB △不相似． 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点．所以在该抛物线上不存在点N ，使OBN △与OAB △相似． 17. 解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ． ∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ．∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ．∴ OD ＝OB ²tan30°－1．∴ DA ＝2． ∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2． ∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ． 即直线PA 是⊙E 的切线．。
最新北师大版中考复习二次函数经典总结及典型题
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。
(完整)北师大版九年级(下)二次函数各种题型汇总,推荐文档
6．如图，坐标系中抛物线是函数 y=ax2＋bx＋c 的图象，则下列式
子能成立的是（
）
A．abc＞0 B．a＋b＋c＜0 C．b＜a＋c D．2c＜3b
7．二次函数 y=－x2＋bx＋c 的图象的最高点是（－1，－3），则 b、c
的值是（
）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=－4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4
4
6．已知二次函数 y=ax 2 ＋bx＋c 的图象开口向上，且经过（0，－1）和（3，5）两点，图 象的顶点到 x 轴的距离等于 3，求这个函数的表达式
5..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的
一部分(如图),若这个男生出手处 A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处 B 点的坐标为
b
7 在同一坐标系中，函数 y=ax2＋bx 与 y= x 的图象大致是图中的（
）
8 图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数 y=ax2＋（a＋c）x＋c 与一次函数 y=ax＋c
的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（
）
9．如图，若 a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线 y=ax2＋bx＋c 的大致图象为（
2、已知抛物线与 x 轴交于点 M（-1，0）、N（2，0），且经过点（1，2），求这个函数的表 达式；
3、已知抛物线的顶点为（1，-1），且过点（2，1），求这个函数的表达式；
4、已知一个二次函数的图象经过点（1，-1），（0，1），（-1，13），求这个二次函数的解析 式；
5．已知二次函数 y=x 2 ＋bx＋c 的图象过（1，0），（2，5）两点，求这个二次函数的表达 式。
7
7
①a＜－ ②－ ＜a＜0③a＋b＋c＜0④0＜b＜－4a，其中正确的是
北师大版九年级下册二次函数知识点总结与对应例题习题带答案-精选教育文档
二次函数知识点总结与例题(带答案)一、二次函数图像与性质1、二次函数的定义般地，形如c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的函数，叫做二次函数注:①函数关系式必须是整式②自变量x 的取值范围为全体实数，且最高次数是2.③a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，写各项系数时包括他前面的符号 ④二次项系数a 不等于0 2、二次函数解析式的表示方法（1）一般式:c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数，a ≠0）（2）顶点式:k h x a y +-=2)(（a ，h ，k 为常数，a ≠0），其中（h ，k 为点坐标（3）交点式（两根式）:y=a （x -x1）（x -x2）（a ≠0，x1，x2是抛物线与x 轴两交点的横坐标，即一元二次方程c bx ax ++2的两个根） 注:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac ≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化3、二次函数c-a(的图像和性质x=2)y+axbxhy++=2与k4.、二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况:（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式.（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小值，一般选用顶点式）（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式（两根式）（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.5、二次函数图象的变换（1）二次函数的平移变换平移规律:上加下减、左加右减.上下平移变常数，左右平移变x.例如，将抛物线cy+=2向左平移m个单位，再向上平移n个单+bxax位，得.)+y+xa=m+++(2n()()cxmb将抛物线k h x a y +-=2)(向右平移m 个单位，再向下平移n 个单位，得)()(2n k m h x a y -+--= （2）二次函数的对称变换 ①关于x 轴对称（变y ）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称后，系数全变号，得到的抛物线是c bx ax y ---=2.抛物线k h x a y +-=2)(关于x 轴对称后，得到的抛物线是k h x a y ---=2)(.②关于y 轴对称（变x ）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称后，系数变中间，得到的抛物线是c bx ax y +-=2抛物线k h x a y +-=2)(关于y 轴对称后，得到的抛物线是k h x a y ++=2)(③关于原点对称（先变x 再变y ）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称后，系数变两头，得到的抛物线是c bx ax y -+-=2抛物线k h x a y +-=2)(关于原点对称后，得到的抛物线.k h x a y -+-=2)( ④关于顶点对称（变换前后的y 值之和的平均数是原函数顶点纵坐标） 抛物线c bx ax y ++=2关于顶点对称后，得到的抛物线是ab c bx ax y 222-+--=抛物线k h x a y +-=2)(关于顶点对称后得到的抛物线是k h x a y +--=2)(⑤关于点（m ，n ）对称（变换前后x 的和为2m 、y 的和为2n ） 抛物线k h x a y +-=2)(关于点（m ，n ）对称后，得到的抛物线是)2()2(2k n m h x a y -+-+-=注:①对于填空和选择题，利用口诀写出解析式②对于解答题，求抛物线的对称抛物线的表达式时，一般先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.③平移时，抛物线的开口方向和形状一定不会发生变化，因此a 永远不变；对称时，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变方法技巧提炼1、二次函数图像与系数的关系2.根据二次函数表达式比较大小常见符判断: （1）a ：看开口方向（2）b ：看对称轴“左同右异”对称轴在y 轴侧，则ab 同号；若在右侧，则a 可以根据点到对称轴的距离和开口方向直接判断（画简图）:在图2-1-1中，由d1<d2，则y1<y2；在图2-1-2中，由d1<d2，则y1>y2答案：控制变量法。
中考数学 二次函数知识点总结及相关题型 北师大版[宝典]-9页word资料
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二次函数知识点总结1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质: （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图 第4题图 ３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ Ｄ ） ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x；⑤21x x －，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-. （2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时，输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）． 设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ． 解得 94=a ．不合题意．综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. 这时M 、N 到y又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）．设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0），∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）． （2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ． （3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）． 解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ． 分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=． 解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ．ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=． 解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2）， 以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，． 图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）． 解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． 据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ acx x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c ac ＝＝．所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数． （3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋aa b x x ，∴ a ＞0． 解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－， ∵ 34=AB ， ∴3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，aa a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝，∵ 34＝AB ，∴3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标； （2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由． 解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）． ∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ． ∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ．∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ．∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ． 即直线PA 是⊙E 的切线．。
北师大版中考复习二次函数总结及典型题
北师大版中考复习二次函数总结及典型题Jenny was compiled in January 2021二次函数一、二次函数的定义例1、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。
若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。
二、五点作图法的应用例2. 已知抛物线y x x=-+123522，（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．1、抛物线1822-+-=xxy的顶点坐标为（）（A）（-2，7）（B）（-2，-25）（C）（2，7）（D）（2，-9）2、抛物线(1)(3)(0)y a x x a=+-≠的对称轴是直线（）A．1x=B．1x=-C．3x=-D．3x=3、把二次函数3412+--=xxy用配方法化成()khxay+-=2的形式三、a b c，，及b ac24-的符号确定例3. 已知抛物线y ax bx c=++2如图，试确定：（1）a b c，，及b ac24-的符号；（2）a b c++与a b c-+的符号。
1、已知二次函数2y ax bx c=++（0a≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b ac<>->①②③④0a b c-+<，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、已知二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c++<；②1a b c-+>；③0abc>；④420a b c-+<；⑤1c a->其中所有正确结论的序号是（）111-O xyA ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0C ．ac b 42-＞0D ．c b a ++＞04、图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4. 求二次函数解析式：（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）；（3）已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
北师大版 九年级中考数学 二次函数的图像与性质题型总结
二次函数的图象与性质总结基本性质1. 如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3，其中正确的是()第1题图A. ①③④B. ②④C. ①④D. ②③2. 在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是()A. 0，－4B. 0，－3C. －3，－4D. 0，03. (2019福建)若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象经过A(m，n)、B(0，y1)、C(3－m，n)、D(2，y2)、E(2，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是()A. y1＜y2＜y3B. y1＜y3＜y2C. y3＜y2＜y1D. y2＜y3＜y14. (2019攀枝花)在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是()交点问题1. 已知：抛物线y 1＝x 2＋2x －3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，抛物线y 2＝x 2－2ax －1(a ＞0)与x 轴交于C 、D 两点(点C 在点D 的左侧)，在使y 1＞0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，a 的取值范围是( )A. 0<a ≤34B. a ≥34C. 34≤a <43D. 34<a ≤432. 已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程－x 2－bx －c ＝0在－1＜x ＜3的范围内有一个实数根，则c 的取值范围是( )A. c ＝4B. －5<c ≤4C. －5<c <3或c ＝4D. －5<c ≤3或c ＝43. 如图，以扇形AOB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标为(2，0)，若抛物线y ＝12x 2＋k 与扇形AOB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )第3题图A. －2<k <12B. －2<k <－12C. －2<k <0D. －2<k <2－14. 将二次函数y ＝x 2－5x －6在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y ＝2x ＋b 与这个新图象有3个公共点，则b 的值为( )A. －734或－12B. －734或2C. －12或2D. －694或－12 5. (2019天水)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b .则M 、N 的大小关系为M ________N.(填“>”、“＝”或“<”)第5题图6. (2019贵港)我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2＋bx ＋c |(a ≠0，且b 2－4ac ＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2－2x －3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当－1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 的增大而增大；④当x ＝－1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是____________．第6题图参考答案基本性质1. C 【解析】①当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c 最大，故①正确；②∵B (－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，故②错误；③∵二次函数与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，故③错误；④∵对称轴为直线x ＝1，B (－1，0)，∴A (3，0)，由图象可得，y ＞0时，－1<x <3，故④正确．故正确的有①④.2. A 【解析】抛物线的对称轴为直线x ＝1，则当x ＝1时，y ＝1－2－3＝－4，是最小值；当x ＝3时，y ＝9－6－3＝0是最大值．3. D 【解析】∵二次函数经过A (m ，n )、C (3－m ，n )，∴二次函数的对称轴为直线x ＝32，∵B (0，y 1)、D (2，y 2)、E (2，y 3)与对称轴的距离B 最远，D 最近，且|a |＞0，∴y 2<y 3<y 1.4. C 【解析】当x ＝0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＝0，可知二次函数的图象过原点，故D 错误；令ax 2＋bx ＝bx －a ，此方程无解，则二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象没有交点，由B 错误；故A 、C 选项，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向上，对称轴在y 轴右边，∴a >0，－b 2a>0，∴b <0，∴一次函数y ＝bx －a 的图象过第二、三、四象限，∴C 选项正确．交点问题1. C 【解析】抛物线y 1＝x 2＋2x －3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，可得A (－3，0)，B (1，0)，y 1＞0可得x ＜－3或x ＞1，∵抛物线y 2＝x 2－2ax －1(a ＞0)的对称轴为直线x ＝a (a ＞0)，要使y 1＞0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数，当x ＝－3时，x 2－2ax －1＝8＋6a >0，∴当x <－3时，y 2>0恒成立，不符合题意，则该整数为2，当x ＝2时，y 2≤0且当x ＝3时，y 2＞0，即22－2a ×2－1≤0 且32－2a ×3－1＞0，解得34≤a <43. 2. D 【解析】由对称轴为直线x ＝2可知b ＝－4，令－x 2－bx －c ＝0，∴c ＝－x 2＋4x (－1＜x ＜3)，令y 1＝c ，y 2＝－x 2＋4x (－1＜x ＜3)，画出y 1与y 2的图象如解图，∵关于x 的一元二次方程－x 2－bx －c ＝0在－1＜x ＜3的范围内有一个实数根，∴y ＝c 的图象与y ＝－x 2＋4x (－1＜x ＜3)的图象只有一个交点，∴－5＜c ≤3或c ＝4.故选D .第2题解图3. A 【解析】由题图可知，∠AOB ＝45°，∴直线OA 的解析式为y ＝x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝12x 2＋k得，x 2－2x ＋2k ＝0，Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×2k ＝0，即k ＝12时，抛物线与OA 有一个交点，此时交点的横坐标为1，∵点B 的坐标为(2，0)，∴OA ＝OB ＝2，∴点A 的坐标为(2，2)，∴交点在线段AO 上；当抛物线经过点B (2，0)时，12×4＋k ＝0，解得k ＝－2，∴要使抛物线y ＝12x 2＋k 与扇形AOB 的边界总有两个公共点，实数k 的取值范围是－2<k <12. 4. A 【解析】如解图所示，过点B 的直线y ＝2x ＋b 与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移使其与抛物线恰在点C 处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，令y ＝x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或6，即点B 坐标(6，0)，将一次函数与二次函数表达式联立得：x 2－5x －6＝2x ＋b ，整理得：x 2－7x －6－b ＝0，Δ＝49－4(－6－b )＝0，解得：b ＝－734，当一次函数过点B 时，将点B 坐标代入y ＝2x ＋b 得：0＝12＋b ，解得：b ＝－12，综上所述，直线y ＝2x ＋b 与这个新图象有3个公共点，则b 的值为－12或－734.第4题解图5. < 【解析】观察图象可知，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c <0.∵M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b ，∴M ＋c <N ＋c .∴M <N .6. 4 【解析】当x 2－2x －3＝0时，解方程得x 1＝－1，x 2＝3，∴图象与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，当x ＝0时y ＝|－3|＝3，∴与y 轴的交点坐标为(0，3)，故①正确；∵当x ＝1－t 时y ＝|(1－t )2－2(1－t)－3|＝|1－2t＋t2－2＋2t－3|＝|t2－4|，当x＝1＋t时，y＝|(1＋t)2－2(1＋t)－3|＝|1＋2t＋t2－2－2t－3|＝|t2－4|，∴当x＝1－t和x＝1＋t时对应的函数值相同，即函数图象关于直线x＝1对称，故②正确；由图象可知，当－1≤x≤1或当x≥3时，y随x的增大而增大，故③正确；由图象可知，当x＝－1或x＝3时，y＝0，且是函数图象的最小值，故④正确；由图象可知，函数无最大值，故⑤错误；综上可知，正确结论的个数是4.。
北师大版初三二次函数知识点及练习
二次函数一、二次函数概念:１.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是２． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数,b 是一次项系数，c 是常数项. 例1(基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．(-1,８） Ｂ.(1,8) Ｃ(-1,2） D （1，-4)１、二次函数y ＝a ｘ２+b ｘ+ｃ的图象如图所示,反比例函数y = 错误!未定义书签。
与正比例函数y ＝（b ＋c )x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ )2、若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为( ）A .0 5 Ｂ .0． 1 C.－4. 5 D.-4. １ 3、图（１）是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m ．如图（2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ）A ． B. C.D ． 22y x =-22y x =212y x =-212y x =4、已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( ）A.223y x x =-+ﻩﻩB.223y x x =--C.223y x x =+- ﻩ D ．223y x x =++5. 若2y ax bx c =++,则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（ ）x 1-1 2ax12ax bx c++8 3A ．43y x x =-+B ．34y x x =-+C ．33y x x =-+D ．48y x x =-+６、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高为1米的喷水管喷水最大高度为３米，此时喷水水平距离为12米,在如图4所示的坐标系中，这支喷泉满足的函数关系式是( )A ）21()32y x =--+ （B ）213()12y x =-+(图（1） 图（2）C)218()32y x =--+ (D)218()32y x =-++二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质: ａ 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
北师大版九年级数学上册 二次函数 知识点+经典练习题
yx O北师大版九年级数学下册二次函数一、基本知识点汇总1． 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0a ＜0图 象开 口 对 称 轴 顶点坐标最 值当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最值 增减性在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧y 随x 的增大而y 随x 的增大而2． 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中h ＝ ， k ＝ ．3． 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系．4． 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定．5． 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；（3）交点式： ． 6． 顶点式的几种特殊形式．（1） ；（2） ； （3） ； （4） 7．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++，其抛物线关于直线x=对称，顶点坐标为（ ， ）． （1） 当0a>时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x =时，y 有最（“大”或“小”）值是 ；（2）当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x= 时，y 有最（“大”或“小”）值是 ．（一）二次函数的图象与性质例1二次函数241x y =的图象开口，当0x >时，y 随x 的增大而______； 例2抛物线322--=x y 的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x______时，y 随x 的增大而增大， 当x ______时， y 随x 的增大而减小．例3 （湖里一模）对于22(3)2y x =-+的图像下列叙述正确的是（ ） A ．顶点坐标为(32)-，B ．对称轴为直线3x =C ．当3x =时，y 的最大值为2D ．当3x ≥时， y 随 x 的增大而减小例4 抛物线251222+-=x x y 的开口方向______，顶点坐标是______。
(完整版)新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳1.定义：一般地，如果y =ax +bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 的性质（1）抛物线y =ax 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax （a ≠0）.3.二次函数y =ax +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax +bx +c 用配方法可化成：y =a (x -h )22222222b 4ac -b 2+k 的形式，其中h =-，k =.2a 4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax ；②y =ax +k ；③y =a (x -h )；④y =a (x -h )+k ；2⑤y =ax +bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x =0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b 4ac -b 2b b ⎫4ac -b 2⎛2（-，）（1）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，对称轴是直线x =-.⎪+2a 4a 2a 2a 4a ⎝⎭（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线22x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax +bx +c 中，a ,b ,c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线222x =-b b b ，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③<0（即a 、2a a a b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线y =ax +bx +c 与y 轴交点的位置.当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①c =0，抛物线经过原点;②c >0,与y 轴交于正半轴；③c <0,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a >0时开口向上对称轴顶点坐标（0,0）(0,k )(h ,0)(h ,k )22b <0.ay =ax 2y =ax +k y =a (x -h )2x =0（y 轴）x =0（y 轴）x =h x =hx =-b 2a 22y =a (x -h )+k 当a <0时开口向下y =ax +bx +c 2b 4ac -b 2，(-)2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y =ax +bx +c .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y =a (x -h )+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2).12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0,c ).2（2）与y 轴平行的直线x =h 与抛物线y =ax +bx +c 有且只有一个交点(h ,ah +bh +c ).22（3）抛物线与x 轴的交点2二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程ax +bx +c =0的两2个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔∆<0⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的交点，由方程组22y =kx +ny =ax +bx +c 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，2方程ax +bx +c =0的两个根，故2b c x 1+x 2=-,x 1⋅x 2=a aAB =x 1-x 2=(x 1-x 2)2=(x 1-x 2)24c b 2-4ac ∆⎛b ⎫-4x 1x 2= -⎪-==a a a ⎝a ⎭2。
(完整版)北师大版二次函数经典总结及典型题
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
=++（a b c
y ax bx c
a≠）的函数，叫做
，，是常数，0二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0
a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2
=++的结构特征：
y ax bx c
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a b c
，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
=的性质：
y ax
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
=+的性质：
y ax c
上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下：。
北师大版八年级数学上册 第二章 二次函数知识整理及基础训练(含答案)
第二章 二次函数知识整理及基础训练【知识整理】1. 定义：形如：c bx ax y ++=2（其中a,b,c 是常数，且a ≠0）的函数是二次函数。
2. 本质：二次函数是用自变量的二次式表示的函数。
3. 图象：二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴和抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
4. 二次项的系数a 对抛物线的影响：当 a>0时,抛物线的开口向上, 当 a<0时,抛物线的开口向下；a 越大开口越小, a 越小开口越大、综上所述：a 决定抛物线的开口大小和方向，即a 决定抛物线的形状。
5. 一次项的系数b 对抛物线的影响： 当b=0时,抛物线的对称轴是y 轴； 当a,b 同号时,对称轴在y 轴的左边；当a,b 异号时,对称轴在y 轴的右边。
即“左同右异” 综上所述：a,b 决定抛物线的左右位置。
6. 常数项c 对抛物线的影响：当c>0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 当c<0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 当c=0时,抛物线经过原点、综上所述：c 决定抛物线的上下位置。
7. 判别式⊿对抛物线的影响：当⊿>0时,抛物线与x 轴有两个交点；当⊿=0时,抛物线与x 轴有一个交点,即顶点在x 轴上； 当⊿<0时,抛物线与x 轴没有交点。
综上所述：⊿决定抛物线与x 轴交点的个数。
8. 当 a>0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为正；当 a<0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为负。
9. 当x=0, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c, 当x=1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a ++, 当x=-1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a+-,……10. 二次函数c bx ax y ++=2的对称轴为直线abx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,2211. 二次函数的解析式有如下三种形式：12. 当 a>0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而减小，若a b x 2->，y 随着x 的增大而增大，当 a<0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而增大，若ab x 2->，y 随着x 的增大而减小。
中考数学 二次函数知识点总结及相关题型 北师大版
二次函数知识点总结1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质: （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ Ｄ ）D2482,484EF xEF x y xx -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x －，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）． 7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.第9题（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b ac ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时，输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）． 设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0）， 由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ，252=AC ，1691622+=aBC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-aa a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=a a a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+a aa ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1²x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩ ①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴a = .这时M 、N 到y, 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2³12³（2－m∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0），∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+．∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． 令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ． （3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQPF BQ BF ＝．∴ 421PF＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）． 解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ． 其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ．iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2）， 以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）． 解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE ．因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值． 解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． ∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c ac ＝＝．所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数． （3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋aa b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c aAB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ， ∴3432＝a．得21=a ．∴ c ＝2.解法二：由求根公式，aa a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝，∴ ax 321-＝，a x 322+＝．∴ aa a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴3432＝a，得21＝a ．∴ c ＝2．17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ． ∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ²tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ．即直线PA 是⊙E 的切线．。
(完整版)北师大版初三二次函数知识点及练习
二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4）1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ ax与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）2、若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（ ）A .0 5B .0. 1 C.-4. 5 D.-4. 13、图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．B ．C ．D ． 22y x =-22y x =212y x=-212y x =4、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）A ．223y x x =-+B ．223y x x =--C ．223y x x =+-D ．223y x x =++5. 若2y ax bx c =++，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（ ）x 1-1 2ax12ax bx c++8 3Ａ．43y x x =-+Ｂ．34y x x =-+Ｃ．33y x x =-+Ｄ．248y x x =-+6、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高为1米的喷水管喷水最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，在如图4所示的坐标系中，这支喷泉满足的函数关系式是（ ）A ）21()32y x =--+ （B ）213()12y x =-+（图（1） 图（2）C ）218()32y x =--+ （D ）218()32y x =-++二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
北师大版中考复习二次函数经典总结材料及典型题85456
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．⑵a b c二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。
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二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。
若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小y 轴看，△的符号最简便，x 轴上数交点，a 、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。