北师大版二次函数经典总结与典型题

二次函数知识点

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2

=++（a b c

y ax bx c

，，是常数，0

a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0

a≠，而b c

，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2

y ax bx c

=++的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵a b c

，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2

=的性质：

y ax

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2

=+的性质：

y ax c

上加下减。

=-的性质：

y a x h

左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；

⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2

沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

四、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配

方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ??

?，其中2424b ac b h k a a -=-=

，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们

选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，

，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．

当2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值2

44ac b a

-．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．当

2b x a <-

时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值2

44ac b a

-．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交

点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越

大；

⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

a

-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b

a

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b

a

-

>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b

a

->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b

a

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b

a

-

<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

ab 的符号的判定：对称轴a

b

x 2-

=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0

3. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．

总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-；

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-；

()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

5. 关于点()m n ，

对称 ()2

y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+-

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适

的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12

x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离

21AB x x =-=.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，

b ，

c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的

十一、函数的应用

二次函数应用??

???

刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少

二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小y 轴看，△的符号最简便，x 轴上数交点，a 、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。 一、二次函数的定义

例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。 练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值围为 。 二、五点作图法的应用

例2. 已知抛物线y x x =

-+12352

2， （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长． 1、（2009）抛物线1822

-+-=x x y 的顶点坐标为

（A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9） 2、(2009年)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x =

B ．1x =-

C ．3x =-

D ．3x =

3、（2009年）把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式

三、a b c ，，及b ac 24-的符号确定

例3. 已知抛物线y ax bx c =++2

如图，试确定：

（1）a b c ，，及b ac 24-的符号；（2）a b c ++与a b c -+的符号。

1、（2009年市）已知二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：2

0040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

2、（2009年市）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①

0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确

结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④

C ．①②③⑤

D ．①②③④⑤

3、（2009年枣庄市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错．

误．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞0

4、（2009年庆阳）图12为二次函数2

y ax bx c =++的图象，给出下列说法：

①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，

y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．

其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）

5、(2009年)已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2 B 3 C 、4

D 、5

四、二次函数解析式的确定

例4. 求二次函数解析式：

（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）；

（3）已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

练习：根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1） 当x=3时，y 最小值=－1，且图象过（0，7） （2） 图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=3

2

（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

例5、 已知抛物线y ＝x 2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

1、二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为

2、如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，

则△ABC的面积为( )

A.6

B.4

C.3

D.1

3、若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值围是

六、直线与二次函数的问题

例6 已知：二次函数为y=x2－x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．

1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。

2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。

例7 （2006，枣庄）已知关于x的二次函数y=x2－mx+

21

2

m+

与y=x2－mx－

22

2

m+

，

这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．

（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；

（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x?值的增大而减小？

练习(2009年省) 如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；

（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．

例8 （2006，市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线

的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛

物线交于H点，若直线BC?把△PCH分成面积之比为2：3的

两部分，请求出P点的坐标．

【分析】（1）解方程求出m，n的值．

用待定系数法求出b，c的值．

（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，?用割补法可求出△BCD的面积．

（3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：

①EH=3

2

EP，②EH=

2

3

EP．

【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，

得x1=5，x2=1．

由m

所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c，

得

10,

5

b c

c

-++=

?

?

=

?

解这个方程组，得

4,

5

b

c

=-

?

?

=

?

所以抛物线的解析式为y=－x2－4x+5．

（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0．

解这个方程，得x1=－5，x2=1．

所以点C的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示．

则S△DMC=1

2

×9×（5－2）=

27

2

．

S梯形MDBO=1

2

×2×（9+5）=14，

S△BDC =1

2

×5×5=

25

2

．

所以S△BCD =S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC =14+27

2

－

25

2

=15．

（3）设P点的坐标为（a，0）

因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．

那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=－x2+4x+5?的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）．

由题意，得①EH=3

2

EP，即

（－a2－4a+5）－（a+5）=3

2

（a+5）．

解这个方程，得a=－3

2

或a=－5（舍去）．

②EH=2

3

EP，得

（－a2－4a+5）－（a+5）=3

2

（a+5）．

解这个方程，得a=－2

3

或a=－5（舍去）．

P点的坐标为（－3

2

，0）或（－

2

3

，0）．

七、用二次函数解决最值问题

例9 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）15 20 30 …

y（件）25 20 10 …

若日销售量y是销售价

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？

【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则

1525,

220

k b

k b

+=

?

?

+=

?

解得k=-1，b=40，

?即一次函数表达式为y=-x+40．

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平

面直角坐标系如右图所示)

( )

A ．1．5 m

B ．1．625 m

C ．1．66 m

D ．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B

八、二次函数应用 (一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X 的一次函数.(1)试求y 与x 的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。 （1）设X 天后每千克活蟹的市场价为P 元，写出P 关于X 的函数关系式。

（2）如果放养X 天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q 元，写出Q 关于X 的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

自我检测（30分钟）

一. 选择题。 1. 用配方法将

12

322x x ++化成()a x b c ++2

的形式（ ） A. ()12352

2

x +-

B. 12325

4

2

x +?? ???-

C.

()1

2

322x ++

D.

()1

2

372x +- 2. 对于函数y ax a =<2

0()，下面说确的是（ ） A. 在定义域，y 随x 增大而增大 B. 在定义域，y 随x 增大而减小 C. 在()

-∞，0，y 随x 增大而增大 D. 在()

0，+∞，y 随x 增大而增大

3. 已知a b c <<>000，，，那么y ax bx c =++2

的图象（ ）

4. 已知点（-1，3）（3，3）在抛物线y ax bx c =++2

上，则抛物线的对称轴是（ ）

A. x a

b

=-

B. x =2

C. x =3

D. x =1

5. 一次函数y ax b =+和二次函数y ax bx c =++2

在同一坐标系的图象（ ）

6. 函数y x x =-++

333

2

2的最大值为（ ） A.

94 B. -

32 C.

32

D. 不存在

二. 填空题。 7. ()()y m x m x m =++-++1132

1

是二次函数，则m =____________。

8. 抛物线y x x =--5

2

222的开口向________，对称轴是____________，顶点坐标是____________。

9. 抛物线y ax bx c =++2

的顶点是（2，3），且过点（3，1），则a =___，b =___，

c =____________。

10. 函数y x x =---1235

2

2图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单

位，得到函数____________的图象。

三. 解答题。

12. 抛物线()()

y x m x m m =-++-+-222243，m 为非负整数，它的图象与x 轴交于A 和B ，A 在原点左边，B 在原点右边。 （1）求这个抛物线解析式。

（2）一次函数y kx b =+的图象过A 点与这个抛物线交于C ，且S ABC ?=10，求一次函数解析式。

[参考答案] 一. 选择题。 1. A 2. C 3. C 4. D 5. C 6. C

二. 填空题。

7. 1 8. 下；x =58；5

8

3932，-?? ??? 9. --285，， 10. ≤-≥--333，，，大， 11. y x =-

12

2

三. 解答题。

12. （1）?>?<02m

m m m 24307272

+-<∴--<<-

又∵m 为非负整数 ∴=m 0

∴抛物线为y x x =-++2

23

（2）又A （-1，0），B （3，0） ∴=AB 4

设C 点纵坐标为a

1

2

410a ·= ∴=±a 5

当a =5时，方程x x 2220-+=无解 当a =-5时，方程x x 2280--=

()()()()∴--∴=-----∴=+C A y x C A y x 45101

251055

2，，，，，，

◆强化训练 一、填空题

1．（2006，）右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，?观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值围

_______．

2．（2005，省）已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），?则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．

3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．4．（2005，市）若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴没有交点，其中c为整数，?则c=_______（只要求写出一个）．

5．（2005，省）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c?的值是______．

6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平

距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－

1

12

s2+

2

3

s+

3

2

．如下左图所

示，?已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为9

4

m，设乙的

起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m?的取值围是______．

7．（2005，省）二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．8．（2008，庆阳）市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，?房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）?都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．

二、选择题

9．（2008，）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，?则下列关系式不正确的是（）A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0

(第9题) (第12题) (第15题) 10．（2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C （5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c 的图像上，则下列结论中正确的是（）

A．y1

A．－1 B．0 C．1 D．2

12．如图所示，抛物线的函数表达式是（）

A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+2 13．（2008，）抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位

C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

14．（2005，市）已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（2006，）抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（）

A．（1

2

，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）

16．（2008，）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，?且m≠0）的图像可能是（）

三、解答题

17．（2006，）如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP?是什么四边形？并证明你的结论；

（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．

18．（2006，）如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D 的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC?把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标．

19．（2006，市）某地计划开凿一条单向行驶（从正过）的隧道，?其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定，?机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．?为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，?建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC．

20．（2005，省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点．

（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于x轴的直线L的解析式为y=25

4

，抛物线与x轴

交于A，B两点．?在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．

21．（2005，省）如图5－76所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x?轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．

22．（2005，市）如图所示，过y轴上一点A（0，1）作AC平行于x轴，交抛物线y=x2

（x≥0）于点B，交抛物线y=1

2

x2（x≥0）于点C；过点C作CD平行于y轴，交

抛物线y=x2于点D；过点D作DE平行于x轴，交抛物线y=1

4

x2于点E．

（1）求AB：BC；

（2）判断O，B，E三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由．

答案

1．－2≤x≤1 2．（1，－8）3．1 4．答案不唯一（略）5．3

6．77．4 8．2080 9．C 10．B 11．B 12．D 13．D

14．B 15．B 16．D

17．（1）对称轴是直线x=2，A点坐标为（－3，0）

（2）四边形ABCP是平行四边形

（3）∵△ADE∽△CDP，∴PE PD

=

1

2

∵△ADE ∽△PAE ，∴12=

3

t

·t ，∴3 将B （－1，0）代入y=ax 2+4ax+t 得t=3a ，a=

3 ∴抛物线解析式为y=33

x 2+4333．

18．（1）y=－x 2－4x+5

（2）C （－5，0），D （－2，9） S △BCD =15 （3）设P （a ，0），∵BC 所在直线方程为y=x+5． ∴PH 与直线BC 的交点坐标为E （a ，a+5）．

PH 与抛物线y=－x 2－4x+5的交点坐标为H （a ，－a 2－4a+5）．

①若EH=

32EP ．则（－a 2－4a+5）－（a+5）=32（a+5），则a=－3

2或a=－5（舍） ②若EH=23EP ，则（－a 2－4a+5）－（a+5）=23（a+5），则a=－2

3或a=－5（舍）

∴P （－32，0）或（－2

3

，0）．

19．如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为M （32，4），N （2，7

2

），

设抛物线的表达式为y=ax 2+c ，则9

4,4

74.

2a c a c ?+=????+=??

解这个方程组，得2,7

6514

a c ?

=-????=??

∴y=－27x 2+6514，当x=0时，y=65

14， ∴C （0，6514），OC=65

14

．

当y=0时，－

27x 2+65

14

=0，解得x=65．

∴A 65，0），B 65

，0），65