高中数学解题方法-换元法

高中数学解题方法

2013年高考数学二轮复习 换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：代数换元、三角换元、均值换元等。例如解不等式：0224≥-+x x ，先变形为设)0(2>=t t x ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现[]1,0∈x ，设

α2sin =x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈22,0α，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量y x ,适合条件)0(222>=+r r y x 时，则可作三角代换θθsin ,cos r y r x ==化为三角问题。

均值换元，如遇到S y x =+形式时，设t S y t S x -=+=2

,2等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

题型一：代数换元

例1：（1）方程1313++-x

x

＝3的解是_______________ （2）x x x f --

=2)(的值域是___________. (3)2log log )12(2)

22(2<⋅--x x 的解为_____________________________. 变式练习：已知221)1(x x x x f +

=-，则=)(x f _________________。 例2 求函数43P x x =

- 解 设4a x b x =-=，则224a b +=，0a ≥，0b ≥.

在平面直角坐标系xoy 中，点(,)M a b 是圆弧224(0,0)x y x y +=≥≥上

的点，如图所示。

2

P a

=+=，所以P表示点(,)

M a b

到直线

:0

l x=的距离的2倍。过点(,)

M a b

作直线

:0

l x=的平行线l，则P表示直线

l与l的距离的2倍。设平行直线

l与l 的距离为d.

则当l过点A时（直线

1

l），d取最小值1，此时2

P=；当l与圆弧相切时（直线

2

l），d取最大值2，此时4

P=.

所以函数P=的值域为[2,4].

此题通过做a b

==的代换，问题转化为两直线距离问题，简明直观。当然由224

a b

+=，0

a≥，0

b≥可设2cos,2sin,0

2

a b

π

ααα

==≤≤则是三角换元。

题型二：均值换元

例1：（1）已知,1

-

>

x，求

1

3

+

+

x

x的最小值

（2）设实数y

x,满足0

1

2

2=

-

+xy

x，则y

x+的取值范围是___________。

例2 已知,,

x y z是正数，求证

3

2

x y z

y z x z x y

++≥

+++

证明设,,

a y z

b x z

c x y

=+=+=+，

则,,

222

b c a a c b a b c

x y z

+-+-+-

===.

所以

222

x y z b c a a c b a b c

y z x z x y a b c

+-+-+-

++=++

+++

3

()()()

2222222

b a

c a b c

a b a c c b

=+++++

-

3

2

≥

33

22

≥=

例3 已知1,1,1

a b c

>>>. 求证：

222

12

111

a b c

b c a

++≥

---

.

证明：由1,1,1

a b c

>>>，可设1,1,1,0,0,0

a x

b y

c z x y z

>>>

－＝－＝－＝.于

是222222

(1)(1)(1)

111

4()412

a b c x y z

b c a y z x

x y z

y z x

+++

++=++≥+

---

=+≥⋅=

＋