第六章 函数误差与误差合成
函数误差与误差合成
2
4
6
8
10
12
和检验法 前半残差和 v 0.013 后半残差和 v 0.0134
1
2
| v1 v1 | 0.013 (0.0134) 0.0264
2 ns 2 10 0.008343 0.052764
可判断该测量列无线性变化的系统误差存在。
1、线性函数
y a1 x1 a2 x2 ... an xn
系统误差公式 y a1x1 a2x2 ... anxn
（线性关系）
当 ai 1
y x1 x2 ... xn
2、三角函数形式
sin f x1, x2 ,..., xn
75 1810 3.3
o
第6章 函数误差与误差合成
知识点和教学目标
函数系统误差 函数随机误差 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案
第一节 函数误差
基本概念
由于被测对象的特点，不能直接进行测量， 或者直接测量难以保证测量准确度，需要采 用间接测量 间接测量
假定各组测量结果不存在系统误差和粗大 误差，求最后结果。
解：1、求加权算术平均值 首先根据测量次数确定各组的权，有
n1 6, n2 30, n3 24, n4 12, n5 12, n6 36 p1 6, p2 30, p3 24, p4 12, p5 12, p6 36
9 2
查表
p ( p 0.95, n 9) 0.512
有 p
故认为不存在显著的周期性系统误差。
计算结论
用9次测量数据统计检定中随机误差的大小，有
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
6第六章：误差的合成与分配
主讲：马冰
主要内容：
误差的传递 系统误差的合成
随机误差的合成
误差合成原理的实际应用
“相关”问题
第一节 误差的传递
概述
任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量 过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果。如何 正确地分析和综合这些误差因素，并正确地表述这些误 差的综合影响，这就是误差合成要研究的基本内容。 本章较为全面地论述了误差合成与分配的基本规律 和基本方法，这些规律和方法不仅应用于测量数据处理 中给出测量结果的精度，而且还适用于测量方法和仪器 装置的精度分析计算以及解决测量方法的拟定和仪器设 计中的误差分配、微小误差取舍及最佳测量方案确定等 问题。
系统误差的合成的计算公式
系统误差合成的计算公式:线性公式
系统误差合成的计算公式: 三角函数的系统误差
系统误差合成的计算公式: 三角函数的系统误差
系统误差合成的计算公式:计算举例
系统误差合成的计算公式:计算举例
举例：
计算中注意的问题
以上讲的都是定值系统误差，对于变值系统误差，其合 成非常复杂，往往难以计算，故宜在合成前做修正或消除。 至于复杂规律变化的系统误差，按传统习惯是当作随机 误差来处理。
分析和选择测量方法
选择最佳函数误差公式：
一般情况下，间接测量中的部分误差项数愈少，则函数 误差也会愈小，即直接测量值的数目愈少，函数误差也就会 愈少。
所以在间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 应选取包含直接测量值最少的函数公式。
若不同的函数公式所包含的直接测量数目相同，则应选 取误差较小的直接测量值的函数公式。 如测量零件尺寸时，在相同的条件下测量内尺寸的误差 要比测量外尺寸的误差大，应尽量选择包含测量外尺寸的函 数公式。
误差的合成与分解
1 f f f f f ( x1 x2 x3 x4 xn ) cos x1 x2 x3 x4 xn
同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。书中 59 页。 例题 3-1/p59 例题 3-2/p59
【例 6-1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓 高 h 50mm ，弦长 l 500mm ，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量
其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差 ）
（一）函数系统误差的计算
在间接测量中，函数的基本形式主要为初等函数，而且一般为多元函数，其
表达式为：
y f x1 , x2 , x3 ... xn
式中 x1,x2,…,xn -----各个直接测量值； y ----间接测量值。 对于多元函数，其增量可用函数的全微分来表示，则上式的函数增量 dy 为
dx3 ---- dxn ，从而可近似的得到函数的系统误差为：
y
f f f f f x1 x2 x3 x 4 x n x1 x 2 x3 x4 x n
（6-2）
式（6-2）称为函数系统误差公式，而 f / xi 为各个直接测量值的误差传递 函数。有些情况下的函数公式较简单，则可直接求得函数的系统误差。 例如：若函数形式为线性公式
直径的系统误差
f f l h 7.4mm l h 故修正后的测量结果 D D0 D 1300 7.4 1292.6mm D
二、函数随机误差的计算 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随误差， 也是用函数的标准偏差来评定。因此，函数的随机误差的计算，就是研究函 y 的标准偏差与各测量值 x1,x2,…,xn 的标准偏差之间的关系。 函数的一般形式为：y=f(x1,x2,…xn) 设对各测量值各进行 N 次等精度测量，其测量值为： 对 x1:x11,x12,…,xN 对 x2:x21,x22,…x2N ┆ 对 xn:xm,xn2,…xnN σ σ
误差的合成.
误差的合成
关于误差合成的理论和方法，在误差理论的教科书中有详尽的介绍，此处不必赘述。
仪器精度分析中最常用的方法如下：
1.已定系统误差的合成
对于符号和大小均为己知的误差称已定系统误差。
这类误差按代数和合成，即
式中，εj为各已知的原始误差所引起的仪器误差，它等于原始误差与传递系数的乘积。
传递系数可由前面介绍的各种方法求出。
2.未定系统误差与随机误差的合成
式中，S1,S2，···，sP为A类（随机）不确定度分量；U1,U2，…，Ur 为确定度分量，
式中，ej为误差界（-ej,ej）；K为置信因子，可以根据分布特性确定。
式（4－17）中的R是误差之间的协方差之和。
在多数情况下，可按所谓的“误差独立作用”原理，近似地令R=0。
3.仪器的总不确定度
式中，凡为置信因子，可以根据组成误差的数目和分布特性确定。
4，仪器总误差
由于仪器制造中多数随机误差与未定系统误差属于正态分布，再加上考虑误差独立作用原理，因此在实用中（尤其在初步计算时）常常采用式（4－21）的简化形式，即
式中，εi为各项未定系统误差与随机误差分量的极限值，t＝1，2，3，…，n。
5．精度分析举例
用光波扫描干涉法测量磁盘磁膜厚度的公式为
式中，va、vb为波数，它们分别与波长九、九相对应；刀为薄膜折射率；甲为入射角。
欢迎转载，信息。
误差分析与测量不确定度评定
当今保存在国 际计量局的铂 铱合金千克原 器的最小不确 定度为0.004mg
误差是针对真值而言的，真值一般都是
指约定真值。
1-20
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
二、误差的分类
表示形式
误差
性质特点
绝对 误差
相对 误差
系统 误差
随机 粗大 误差 误差
1-21
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
1-18
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
一、测量误差的定义
测量误差（error of measurement） 测量误差 ＝ 测得值 － 真值
真值（true value） 是指一个特定的物理量 在一定条件下所定义的 客观量值，又称为理论 值或定义值。理论真值 一般只存在于纯理论之 中。
三角形内角之 和恒为180º
温度、湿度、压 力、气体浓度、
指非电子学中量的测量。
机械力、材料光 折射率等非电学
参数的测量
1-14
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
根据对测量结果的要求不同分类
工程测量
指对测量误差要求不高的测量。用于这种测量的设备和 仪器的灵敏度和准确度比较低，对测量环境没有严格要求。
因此，对测量结果只需给出测量值。
（公式1） Δxm = ± xm × s%
最大相对误差为
（公式2）
rx
=
Δxm x
=±
xm x
× s%
选定仪表后，被测量的值越接近于 标称范围（或量程）上限，测量的 相对误差越小，测量越准确
绝对误差的最大值与 该仪表的标称范围 （或量程）上限xm成 正比
1-28
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
误差的合成与分配
二、随机误差的合成 ➢标准差的合成
随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量 的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的 合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系 数和误差间的相关性影响。
标准差的合成 若有q个单项随机误差，它们的标准差分别为：
其相应的误差传递系数为：
这些误差传递系数是由测量的具体情况来确定的，例如 对间接测量可按式（3-13）来求得，对直接测量则根据各个 误差因素对测量结果的影响情况来确定。
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
若函数形式为线性公式：
则函数的系统误差为：
当
时，则有：
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差 也为各测量值系统误差之和。
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
在间接测量中，也常遇到角度测量，其函数关 系为三角函数式，对于三角函数的系统误差，可按 上述同样方法进行计算。
若三角函数为：
s
过函数关系计算求得直径。
D
如果：
求测量结果。
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来 评定的,对于函数的随机误差,也是用函数的标准差 来进行评定.因此,函数随机误差计算,就是研究函 数y的标准差与各测量值标准差之间的关系。
➢函数：
➢多元函数增量 ➢随机误差：：
➢系统随机误差 ：
误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系， 这种依赖关系有强有弱。联系最强时，在平均意义上，一 个误差的取值完全决定了另一个误差的取值，此时两误差 间具有确定的线性函数关系。当两误差间的线性依赖关系 最弱时，一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这是 互不相关的情况。
一、函数误差 ➢误差间的相关
《误差的合成与分配》课件
欢迎来到《误差的合成与分配》PPT课件！本课程将带您深入了解误差的合成 和分配的重要性，以及应用中的实际方法和注意事项。
误差来源与种类介绍
系统误差
了解不同来源的误差会帮助我们更好地评估测量的准确性。
随机误差
研究随机误差的本质和影响，以便能更好地处理和控制。
人为误差
了解人为误差产生的原因与解决方法，提高测量系统的精度。
误差计算
学习如何计算不同类型误差的方法，从而更好地控 制它们。
合成误差的概念
合成误差是在测量过程中多个误差因素共同作用下产生的综合效果。
合成误差的公式和计算方法
通过合成误差的公式和计算方法，我们可以对多个误差因素的影响进行全面 评估。
合成误差实例分析
实验误差
通过实验示例，深入探讨合成误 差的影响和解决方案。
误差的量化方法
了解不同的量化方法有助于我们确定误差的大小和影响。
1 标准差
通过计算一系列测量值的标准差来评估误差的大小。
2 相对误差
以参考值为基准，计算测量值与参考值之间的差异度和可信度。
误差的定义和计算
误差定义
了解误差的定义有助于我们准确理解其在测量中的 作用。
测量误差
了解不同类型测量误差的实例分 析，提高测量准确性。
建造误差
研究建造行业中常见的误差实例， 提高工程质量。
合成误差的不确定度分析
了解合成误差的不确定度有助于更准确地评估测量结果。
函数误差与测量结果的不确定度评定
V0 1% 15708mm3 1% 157.08mm3
V 1 V 4 2 0.351mm D 0.071mm h 2 n V nD n V n Dh h D
按等影响分配原则分配误差：
查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测 高 h 50mm ，在50mm测量范围内的极限误差 为 0.15mm ，用0.02mm的游标卡尺测直径 D 20mm ， 在20mm范围内的极限误差为 0.04mm 。
三、验算调整后的总误差
误差先按等影响原则初步确定，再经过合理调 整后，按误差合成公式计算，若总误差超出给定 的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进 行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实 现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行 比较，直到满足要求为止。
例
测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径 D D2 及高度 h ，根据函数式 V h
结论
欲使为 最小，必须测量直径，此时 弓高的测量误差 h 已不影响直径的测 量准确度，而只有弦长的测量误差 l 影响直径的测量准确度。但对大直径 测量，此条件难以满足，不过他指出 了当 h 值愈接近值 l 2时，直径的测量误 差越小。
D
练习题
6-1 某一量 u 是由 x 和 y 之和求得， x 是由 16 次测量之算术平均值得出， 其单个测量值标准差为 0.2 （单位略） y 是由 25 次测量之算术平均值得出， ； 其单个测量值标准差为 0.3， x 和 y 不相关，试求 u 的标准差。
相关系数的统计计算与实验估计
根据( xi , x j ) 的多组测量的对应值 xik , x jk ，按如 下统计公式计算相关系数
( xi , x j )
误差分析6章函数误差与误差合成
误差分析6章函数误差与误差合成在现实生活中，我们经常需要通过各种方法来测量和估计一些物理量或现象。
然而，由于测量工具的限制性和环境的干扰等原因，我们所获得的测量结果往往会有一定的误差。
因此，误差分析对于准确测量和数据处理是非常重要的。
了解函数误差的传播规律是进行误差分析的关键。
根据误差传播规律，我们可以通过对各个误差的合成和分析，来估计函数误差的大小和分布。
常用的误差合成方法有两种：线性误差合成和非线性误差合成。
线性误差合成是最简单和常用的误差合成方法。
它假设函数误差是一个线性函数，即函数误差与输入变量之间存在线性关系。
在线性误差合成中，我们可以通过计算输入变量的误差对函数输出的影响来估计函数误差的大小和分布。
具体而言，我们可以利用一次导数来估计函数误差的传播规律。
例如，对于一个函数f(x) = ax + b，如果输入变量x的误差为Δx，那么函数输出的误差可以用Δf = aΔx来估计。
非线性误差合成是对于一些非线性函数而言的，它考虑了输入变量之间的相关性和非线性关系。
非线性误差合成方法相对较复杂，需要结合数值方法和统计方法来进行分析。
其中，常用的方法有蒙特卡洛法、雅可比矩阵法和高斯-牛顿法等。
这些方法通过对各个输入变量的误差进行采样和组合，来计算函数输出的误差，并估计函数误差的大小和分布。
误差合成的目的是对函数的误差进行估计和控制。
通过合理选择测量方法、改进数据处理算法以及优化输入变量的选择，可以有效地减小函数误差，提高数据分析的准确性和可靠性。
此外，误差合成还可以帮助我们识别和排除一些异常值和离群点，从而提高数据处理的鲁棒性。
误差合成的两种基本方法
误差合成的两种基本方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊误差合成的两种基本方法呀。
你想想看，咱平时做事儿不就跟走路似的嘛，有时候会偏左一点，有时候会偏右一点，这就是误差呀。
那误差合成呢，就像是把这些偏左偏右的情况综合起来看看最后会走到哪儿。
先说第一种方法，直接相加法。
这就好比是把各种小误差都一股脑儿地堆在一起。
就好像你去超市买东西，买了一堆零食，每袋零食都有那么一点点重量误差，把这些误差都加起来，就是总的误差啦。
这种方法简单直接，就像咱中国人常说的“直来直去”，不绕弯子。
你说要是每个小误差都不大，加起来是不是也还能接受呀？但要是小误差都挺大，那加起来可不得了哦，就像小水滴聚成了大洪水！再说说第二种方法，方和根法。
这可就有点像把那些小误差都放在一个大秤上称一称，算出个“综合重量”。
好比是一个团队里，每个人都有点小毛病，但是把这些毛病综合起来评估，不是简单地加一加，而是要考虑它们相互之间的影响。
你看啊，有时候一个小误差可能会被另一个小误差给抵消一部分，就像你走路时往左偏了一点，接着又往右偏了一点，最后可能就没偏多少。
但方和根法就能更准确地算出这种综合的效果。
咱生活中不也经常遇到这样的情况嘛！比如装修房子，这里有点尺寸误差，那里有点颜色误差，要是不仔细用方和根法这样的好办法去衡量，最后装出来的房子可能就不是你想要的样子啦。
误差合成的这两种方法就像是我们的两个好帮手，在不同的情况下都能发挥大作用呢。
有时候直接相加法简单好用，有时候方和根法能让我们更清楚地看到误差的全貌。
那到底该用哪种方法呢？这就得看具体情况啦！就像你出门穿什么衣服，得看天气呀。
如果是一些简单的情况，直接相加法就够啦；要是复杂点的，那还是得请出方和根法这个“大神”。
所以啊，咱可得好好掌握这两种方法，让它们为我们的生活和工作服务呀！别小看了这小小的误差合成，它能帮我们把事情做得更精细，更完美呢！咱可不能马马虎虎地对待误差，要像对待宝贝一样认真研究它们，利用好它们呀！你们说是不是这个理儿呢？原创不易，请尊重原创，谢谢!。
测量误差的合成和分配
对测量结果可采用正确度，精密度 和准确度三种评价方法。 1．正确度 表示测量结果中系统误差大小程度。 系统误差愈大，正确度愈低；系统误差 愈小，正确度愈高。
2．精密度 表示测量结果中随机误差的大小 程度，也简称为精度。随机误差的大 小可用测量值的标准偏差 x 来衡量, x 越小，测量值越集中，测量的精 密度越高；反之，标准确偏差 x 越 大，测量值越分散，测量精密度越低 。
测量时应兼顾误差大小、测 量的难易程度及其他因素选择 最佳测量方案。
式中 y ——被测量 y 的相对误差； x1——直接测量 x 的绝对误差； 1 x 2——直接测量 x 的绝对误差。 2
同理，当被测量 y 由m个分项合成时, 误差传递公式为
y
i 1
m
f xi xi
(2-21)
(2-22)
y
i 1
m
ln f xi xi
i 式中 x—— 第i个测量分项的测量值； x—— i 直接测量量 x i 的绝对误差。
3．抓住主要误差项进行分配 当分项误差中某项误差特别大时， 就可以不考虑次要分项的误差，或酌情 分给次要分项少量误差比例，确保主要 项的误差小于总合的误差。 若主要误差项有若干项，这时可把 误差在这几个主要误差项中分配，考虑 采用等准确度或等作用分配原则。
2.5
2.5.1
测量结果的描述与处理
测量结果的评价
–12.4344→12.43 –0.69499→0.69 63.73501→63.74 25.3250→25.32
–17.6955→17.70
123.1150→123.12
• 需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正确结果为0.69 ，错误做法是： 0.69499→0.6950→0.695→0.70。
误差的合成与分配共70页
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
测量误差及其合成汇总
目录一、测量误差及分类 (2)1.1测量误差概述 (2)1.2 测量误差分类 (2)二、测量误差的合成 (5)2.1 随机误差的合成 (5)2.2 系统误差的合成 (7)2.3 系统误差与随机误差的合成 (11)测量误差及误差合成一、测量误差及分类1.1测量误差概述测量工作中，尽管观测者按照规定的操作要求认真进行观测，但在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值之间仍存在差异。
例如，对某一三角形的三个内角进行观测，其和不等于180°；又如所测闭合水准路线的高差闭合差不等于零等，这说明观测值中包含有观测误差。
研究观测误差的来源及其规律，采取各种措施消除或减小其误差影响，是测量工作者的一项主要任务。
观测误差产生的原因主要有以下三个方面:1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。
1.2 测量误差分类观测误差按其对观测成果的影响性质，可分为系统误差和随机误差两种。
（1）系统误差在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差。
例如，用一把名义为30m长、而实际长度为30.02m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量2cm，该2cm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着尺段的倍数呈累积性。
系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
误差的合成与分配
3.1.1 函数系统误差计算
2、三角函数（测角度） sin f x , x ,..., x 1 2 n 由式(3-2)得
Δsin f f f Δx1 Δx 2 Δx n x1 x2 xn
又因 dsin cosd 故
(3-5)
2 i 1
3.1.1 函数系统误差计算
【例3.1】用弓高弦长法间接测量大工件直 径D。如右图示，直接测得弓高h = 50mm， 弦长s = 500mm。已知，弓高的系统误差 h = -0.1mm ,弦长的系统误差s= 1mm。 求测量结果。
h l D 2
解: 建立间接测量大工件直径的函数模型
3 误差的合成与分配
• • • • • • • • • 重点与难点 3.1 函数误差 3.2 随机误差的合成 3.3 系统误差的合成 3.4 系统误差与随机误差的合成 3.5 误差分配 3.6 微小误差取舍准则 3.7 最佳测量方案的确定 小结
重点与难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
处的误差传递系数。
缩小的作用； 的作用。 简单函数的系统误差（几何量测量常用） 1、线性函数（测长度） y a x a x ... a x 1 1 2 2 n n 系统误差公式 当 ai 1
f xi (i 1, 2,
, n) 为各个输入量在该测量点 ( x1 , x2 ,
直接测量误差
误差合成 误差分配
间接测量误差
系统误差 随机误差
3.1.1 函数系统误差计算
间接测量的函数关系（数学模型）一般为多元初等函数，间 接测量值y
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【解】建立间接测量大工件直径的函数模型
处的直径测量值
l2 D h 1 3 0 0 m m 0 4 h
l2 D h 4h 5 0 0 m m 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 5 0 m ml
10
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 5 0 5 0 . 10 . 1 m m l 5 0 0 4 9 9 1 m m
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
11
二、函数随机误差计算
12
数学模型
函数的一般形式
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
2
x n
2
或 令
f 2 f 2 f 2 x x y 1 2 x n x x x 1 2 n
f ai xi
a a a
y 2 2 1x 1 2 2 2 x 2
【解】
故有
2 62 2 ( 5 0 m m ) （ 1 1 . 51 0 ） ( 0 . 0 2 9 ) 2 2 2 2 ( 2 5 n m ) ( 9 . 7 n m ) ( 2 . 9 n m ) ( 1 6 . 6 n m ) 1 0 0 2 n m
2 2 n x n
15
函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
a a a
y 22 1x 1 22 2 x 2
22 n x n
xi x第 i i个直接测得量 的极限误差16三角形式的函数随机误差公式
函数形式为
【解】
有
l h 2 2 2 2 4 5 0 . 0 1 2 4 0 . 0 0 5 1 6 91 0m m 0 .1 3 m m D
D D D 1 2 9 2 . 6 m m 0 .1 3 m m 0 D
18
f2 2 f2 2 2 ( ) ( ) D l h
1 2 3 4 5 6 121 4 53 6
假设各个量之间的相关系数均为0。试用仿真计算 的方法分析该校准的误差分布及其标准差。 2 2 2 2 2 62 ( 2 5 n m ) ( 9 . 7 n m ) ( 5 0 m m )(0 . 1 )( 0 . 5 81 0) y
误差传播系数为
2 2 l 5 f 0 0 1 1 2 4 2 2 h 4 h 45 0 f l 5 0 0 5 l 2 h 2 5 0
直径的系统误差
故修正后的测量结果
f f D l h7 . 4 m m l h
2 2 2
17
【例2】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量 5 0 m m 5 0 0 m m 得弓高 h ，弦长 l ，工厂检验部门又用高准确度 5 0 . 1 m m 4 9 9 m m。已知车间工 等级的卡尺量得弓高 h ，弦长l 人测量该工件弓高的标准差 ，弦长的标准 0 . 0 0 5 m m h 0 .0 1 m m 差 ，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的 l 测量结果。
计算机模拟测量系统
x y0 y=F (x) (y) y
x
x y= F(x) s
y s(y)
26
【例3】
用相同标称长度50mm的标准块规校准某块规，通 过两块规长度的直接比较，输出两者的长度差有如下 公式 y f ( x , x , x , x , x , x ) x x x ( x x x x )
20
函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性 的传播关系
相关系数的确定－直接判断法
0 可判断 i j 的情形
x两分量之间没有相互依赖关系的影 断定 x 与 i j 响 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈 正负交替变化，反之亦然 x属于完全不相干的两类体系分量，如 x与 i j 人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的 误差分量 x虽相互有影响，但其影响甚微，视为可 x与 i j 忽略不计的弱相关
s i n f ( xx ,2 , . . . , x ) 1 n
函数随机误差公式为
1 f 2 f 2 f 2 x x 1 2 x n c o s x x x 1 2 n
2
2
2
xi x第 i i个直接测得量 的标准差
i j第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 D i个测量值和第 j个测量值之间的协方差 ij ij第 x i x j
f xi y x第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 i
( x ,x , ,x ) 1 2 n
故修正后的测量结果
2、 相关系数估计
19
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
2 y
2 n 2 2 f f f f f 2 x x x 1 2 n i jx ix j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
c o s f xx ,2 , . . . , x 1 n
1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
9
【例1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量 h 5 0 m m 得弓高 ，弦长 ，工 l 5 0 0 m m 厂检验部门又用高准确度等级的卡 尺量得弓高 ，弦长 试 l 4 9 9 m m h 5 0 . 1 m m 问车间工人测量该工件直径的系统 误差，并求修正后的测量结果。
23
3、 函数误差分布的模拟计算(自学)
随机误差的分布完整地描述了该误差的全部特征
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
p(y)
p1( x ) p 2 ( x )
pn(x)
分布密度函数
解析方法 难以求得
计算机数值仿真计算
24
计算机随机模拟法的步骤
,x , ,x ①输入各输入量 x 及其算术平均值 1 2 n , , , 偏差
3
第一节 函数误差
4
基本概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及 其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函 数误差
5
一、函数系统误差计算
6
间接测量数学模型
间接测量的数学模型
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
系统误差公式
y a xa x . . . a x 1 1 2 2 n n
2、三角函数形式
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
当ai 1
y x x . . . x 1 2 n
s i n f xx ,2 , . . . , x 1 n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得
f f f y y f ( x , x , . . . , x ) x x x 12 n 1 2 n x x x 1 2 n
f f f y x x x 1 2 n x x x 1 2 n
22
相关系数的统计计算公式
根据( x i , x的多组测量的对应值 j) 公式计算相关系数
( x i,x j)
( x x) ( x
i k i k k k j k
,x x ，按如下统计
ik jk
x j)
2 2 ( x x ) ( x x ) ik i jk j
x分别为 x jk x、 、 x i k 的算术平均值 i j
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误差放大或缩小的作用 x i 和 y 的量纲或单位不相同，则 f x i 起到误差单位换算的作用
8
几种简单函数的系统误差
x a x . . . a x 1、线性函数 ya 1 1 22 nn
1 2 n
x ,x , ,x 和标准 1 2 n
②产生如正态分布或均匀分布等所需误差分布等大 样本数的伪随机数，并绘制描述各输入直接量误差 分布的统计直方图 ③按函数测量模型公式计算该样本数的间接量 y ， 并绘制该函数误差分布的统计直方图； ④统计并输出该间接量的最佳估计值、标准差与及 误差分布区间半宽度。 25
得到
13
1、 函数标准差计算
2 y
2 n 2 2 f f f f f 2 D x x x 1 2 n i j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
2
2
2
或
2 n 2 2 f f f f f 2 2 x x x y 1 2 n i jx ix j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
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处的误差传播系数
相互独立的函数标准差计算