理论力学第七版哈工大第一章复习题

(4) 图 1-6a 中 FBx 和 FBy 无须合成为一个合矢量。在后续章节会发现，求 FBx 和 FBy 的 大小比求合矢量的大小(加上方向角)要方便。
(5) 用平行四边形法则做矢量合成操作时，两个分矢量要么起点重合(1-6b 的 A 铰)，要
么终点重合(1-6c)，合矢量一定位于平行四边形的对角线上。如果两个矢量首尾相接，则很
FNA FNAx
(e)
F
FAy
FAx
FNAy FNA
B A FNAx (a)
FNAy
FNAy
FNA
FNAx (f)
FNA A
F (b) F (g)
FAy FAx
B
FBy FBx B
FNAx FNA
FNAy (c)
三力 汇交 FA A
FNAy FNAx
(d) C
F
FB B
(h)
图 1-6 (7) FBx 和 FBy 也可以画成图 1-6g 中那样的指向，因为 FBx 和 FBy 可以取负值(不要习惯性 地觉得 AB 会向右加速运动)。我们必须要习惯这种表示，因为对简单的受力图，我们可以
(8) 如果 FBx 和 FBy 合成为一个合矢量，那么 AB 梁上只受到了三个力，因其中 FNA 和 F 作用线相交，所以我们就可以确定 FB 的方向了。为了强调使用了三力汇交定理，应该用虚 线把三力的交点定出来。这种画法如图 1-6h。因为我们已经费了这么多周折，所以 FB 的方 向最好不要画反了(尽管逻辑上可以反，只要 FB 取负值即可)。使用了三力汇交定理画法后， 就不要再画蛇添足地去对 FB 作正交分解了。如果非要分解，可遵循图 1-6b 的 FNA 处理方式。
第一章 静力学公理和物体受力分析
1.1 主要内容
1.1.0 基本概念
静力学 研究物体在力系作用下平衡规律的科学。内容包括三个方面: 各种力系的平衡 条件及其应用；物体的受力分析; 力系合成与简化。
运动状态 物体发生运动时相对某参考系的运动速度。质点的运动状态就是质点的速度 (包括大小和方向)，质点系的运动状态指系统内所有质点的运动速度。
下标以示区别，如这里的 FN1 和 FN2，以区别来自墙面和尖角的约束 力。
A
图 1-3
图 1-4
3
2) 物体 A 受到右下方的尖角支撑。理想的尖角只是数学概念，实际工程问题的尖角肯
定会变形成小圆弧，而与之接触的另一个物体光滑面不容易变形, 如图 1-4b 所示。所以在
尖和光滑面支撑的问题中，公切线以光滑面的切线为准。这样假定下，约束力的方向与光滑
面的法线一致，也就是面尖接触以面为准。
3)对理论力学的刚体模型，力有可传性，所以有时也把汇交点作为力矢量的起点(此题
为圆心)，如图 1-4c 所示。采用这种画法要用虚线沿各自的作用线把汇交点和作用点连接起
来。
例 1-3 画出图 1-5 所示 AB 梁的受力图(教材习题 1-1e)。
解 如图 1-6a 所示。
判断出方向，但是对复杂的受力(或者信息不确定)情形，受力的指向并不一目了然，此时依
然需要画出受力图。然而 FNA 的方向不要画反了，因为它的正方向已可由滚动支座的特性确 定了。总之画受力图的原则是：能根据题设、公理(原理)、 推理(定理)和约束性质确定的则
确定；确定不了的则假定，假定必须符合公理、原理和约束性质；不能由自己的感觉瞎定。
证明 绳索分成三段，中间圆弧段与滑轮紧密接触。两端的绳索是线段，而且这两条线 段与圆轮相切。由柔索特性知道，拉力 FT1 和 FT2 分别沿各自所在的柔索直线段方向，因此 FT1 和 FT2 的作用线与圆轮相切。图 1-2a 中 H 为两条作用线的交点。由圆切线的几何性质知 道，两条作用线与 HA 夹角相等。
1.1.3 物体的受力分析和受力图
受力分析 根据题设、公理、推理和约束的性质尽可能地将研究对象上的受力信息(力的 类型：集中力，分布力，力偶(第二章学习)；方向；作用线/点)明确化，并把它们以简图的 形式表示出来。它包括四步：选择并隔离研究对象，画研究对象的简图，受力信息的确定和 受力信息的图形表示。
质点平衡 质点相对惯性参考系（如地面）静止或作匀速直线运动的状态。 刚体 在力的作用下，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体。由于任意两点之 间距离保持不变，所以刚体的形状和大小都不会发生变化，更不会发生破坏或断裂。 刚体的运动状态 刚体作为特殊的质点系，系统内所有点的速度都可以由下面两个速度 完全表示出来：刚体某点的速度；刚体绕该点转动的速度。 刚体平衡 刚体上某点相对惯性参考系（如地面）的速度不变，且刚体绕该点转动的速 度相对于惯性参考系也保持不变 力 物体之间的相互作用，作用效果使物体的机械运动状态发生改变。对质点而言，力 的作用会改变速度(包括大小和方向)；对刚体而言，力既会改变刚体上某点的速度，也会改 变刚体绕该点转动的速度。力有三要素：大小、方向和作用点。这三个要素可以被数学矢量 完全地刻画。 力系 作用于同一个研究对象的多个力。 零力系 没有外力作用的力系为零力系。零力系作用下的刚体必然平衡，反之不然。 等效力系 两个力系作用于同一个物体产生了相同的效果。 平衡力系 等效于零力系的力系。 力系的简化 用简单的力系等效替换一个复杂的力系。 合力与分力 若力系可简化为一个力，则后者为合力，前者各力为分力。
以上是针对定滑轮的讨论。对均质动滑轮，因其重力穿过轮心，故也有 FT1=FT2。
例 1-2 画出图 1-3 所示 A 物体的受力图(教材习题 1-1a)。 解 如图 1-4a 所示。 讨论
(1)左侧是光滑支撑面，所以可确定该处约束力 FN1 方向。 如果 在原图的解题关键处没有标注字母，就自己加字母。也可以用数字
1.1.1 静力学基本公理
公理 1 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的 大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。 公理 2 二力平衡条件 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分和必要条件是：这两个力大小相等，方 向相反，且作用在同一直线上。公理 2 并非是公理 1 的退化形式，因为前者不要求两力作用 点重合，而后者要求“作用于同一点的两个力”。二力平衡是除零力系之外的最简单平衡力 系。 公理 3 加减平衡力系原理 在已有力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。 推理 1 力的可传性 作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内作用线上任意一点，并不改变 该力对刚体的作用。因这个推理，作用于刚体的力之三要素变成大小、作用线和指向。 推理 2 三力平衡汇交定理 作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同 一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。该推理的前提是三力平衡，且其中两力相交。 破坏其中任一前提，推理都不成立。 公理 4 作用和反作用定律 作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、反向、共线，作用在相互作用的两 个物体上。注意该公理和公理 2 的两个力的差异，后者作用在同一个刚体上。 公理 5 刚化原理
难做平行四边形(1-6d)，硬要画出的平行四边形肯定是错误的(1-6e 和 1-6f)。
(6) 对于理论力学所使用的刚体模型而言，因为有“力的可传性”推理，所以力的作用点
既可以与矢量起点重合，也可以与矢量的终点重合，甚至可以把力矢量画成穿过作用点。但
一般来说，矢量的起点与力的作用点重合是首选的。
FNA A
2
方向。
由力的可传性推理，把 FT1 和 FT2 的作用点滑移到 H 点，如图 1-2c 所示。再次对图中的 FT1 和 FT2 使用平 行四边形法则，把二者合成为一个合力 FTR。该力作用 点在 H 点。
经过上述简化，“刚体”(A 轮-绳索)只受到两个力且 平衡(图 1-2c)，根据公理 2 的二力平衡条件知道 FTR 必 然沿 HA 的方向。由于 FT1 和 FT2 与 HA 夹角相等, 原来 的力平行四边形变成了菱形，即 FT1 和 FT2 的长度相等。 这就证明了 FT1 和 FT2 的大小相等。
受力分析一直是理论力学学习的重点和难点。对受力图上的每个力都要能明确地说出施 力物体。内力不用画出来，即使能抵消的成对内力(一对作用力和反作用力)也不要画出来。 受力信息的明确化只能依据题设、公理、推理和约束的性质这四种知识，不能凭自己感觉或 想象(比如对称性等)臆添力的信息。
1.2 精选例题
例题 1-1 图 1-1 所示定滑轮 A，均质。在绳索两端的拉力 FT1 和 FT2 作用下，轮 A 保持 平衡。试证明 FT1 和 FT2 的大小相等。
本例题除了公理 4 没有用到外，其余四个都使用了 (公理 3 的加减平衡力系公理是力的可传性推理的前提)。
FT1
FT1
图 1-1
FAy FAx
A FT2
FA
A
FT2
FA FTR
FT1
H
H
H
FT2
(a)
(b)
(c)
图 1-2
这个证明太复杂了。在学完第二章的平面力系的平衡条件之后，可以有简洁的证明。
值得指出的是：大多数教材没有证明这个结论，但是算题中往往都直接运用。这种做法
1
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。 公理 1、公理 2 和公理 3 适用于刚体。公理 5 将这三个公理拓展到变形体，但前提是该 变形体要处于平衡。公理 4 对刚体和变形体都成立。
1 约束力 约束力又称约束反力，也常常简称反力。它是约束物体对被约束物体的作用力。 约束力的三要素中：方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反；作用点在接触处(如果是 面接触则需要对力系简化)；大小一般是未知的。前两个要素需根据具体约束特性确定。 工程上常见的约束和约束力特点 (1) 柔索约束(包括绳索、链条、胶带和电缆) 约束力沿着柔索背离被约束物体。 (2) 光滑接触约束(包括光滑面支撑、有润滑齿轮啮合) 约束力作用在接触点，方向沿接触表面的公法线并指向被约束物体。 (3) 光滑铰链约束(向心轴承/径向轴承，圆柱铰链和固定铰链支座) 约束力穿过铰链轴心。平面问题可用通过轴心的两个正交分力表示。如果利用二力平衡、 三力汇交或其他信息能够明确约束力的方向时，则可画成一个力；当方向不能确定或为了求 解方便，可画成两个正交分力。 (4) 滚动支座(辊轴支座) 约束力穿过销钉，垂直于支撑面，力的指向可假定。 (5) 滑块滑道约束(销钉滑道约束) 约束力垂直于滑道，穿过滑块(或销钉)，力的指向可假定。见教材的习题 1-2h 和 1-2i。 (6) 止推轴承 比径向轴承多一个轴向的约束力分量，可用三个正交分力表示。 (7) 光滑球形铰链 约束力通过接触点,并指向球心,可用三个正交分力表示。 止推轴承和光滑球形铰链是空间约束，第三章的空间力系会进一步学习空间约束。