2020-2021学年新人教版九年级数学上册期中考模拟试卷
2020-2021学年湖北省武汉市青山区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.将方程x2−8x=10化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为()A. −8B. 8C. 10D. −102.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.若将抛物线y=2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为()A. y=2x2+3B. y=2x2−3C. y=2(x−3)2D. y=2(x+3)24.如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于()A. 100°B. 50°C. 40°D. 25°5.抛物线y=−3(x−1)2−2的顶点坐标是()A. (1,2)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (1,−2)6.用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是()A. (x+5)2=16B. (x+5)2=34C. (x−5)2=16D. (x+5)2=257.如图，Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠C=90°，将△ABC绕点A旋转，使得点C的对应点C′落在AB上，则∠BB′C′的度数为()A. 12°B. 15°C. 25°D. 30°8.要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，则参赛球队的个数是()A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个9.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC=180°.若AD=2，BC=6，则△BOC的面积为()A. 3B. 6C. 9D. 1210.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,2)，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2−4ac<0；②a+b+c<0；③c−a=2；④方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知方程x2−4x+1=0的两个根是x1和x2，则x1+x2=______．12.已知点A(−2,a)与点B(b,3)关于原点对称，则a−b=______13.已知点A(−2,y1)，点B(1,y2)在抛物线y=3x2−2上，则y1，y2的大小关系是：y1______y2.(填“>”或“<”)14.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程是______．15.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加______m.16.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=√3，O为AB的中点，将OA绕着点O旋转得到OE，连接DE.以DE为边作等边△DEF(点D、E、F按顺时针方向排列)，连接CF，则CF的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：x2−x−1=0．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.二次函数y=ax2−2x+c中的x，y满足如表：x…−10123…y…0−3−4−3m…(1)求抛物线的解析式；(2)求m的值．19.小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．20.请用无刻度直尺画出下列图形，并保留作图痕迹．(1)将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD；(2)过C作线段AB的垂线段CE，垂足为E；(3)作∠ABD的角平分线BF．21.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC.D是BC⏜的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F．(1)求证：BC=2DE；(2)若AC=6，AB=10，求DF的长．22.某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．(1)直接写出月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：______；月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：______；(2)该超市想在月销售量不低于250千克的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为每千克多少元？(3)售价定为每千克多少元时会获得最大利润？求出最大利润．23.[学习概念]有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形．[理解运用](1)如图1，在对余四边形ABCD中，连接AC，∠D=30°，∠ACD=105°，AB=AC，求∠BAD的度数；(2)如图2，在凸四边形ABCD中，DA=DB，DA⊥DB，当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形？并证明你的结论；(3)[拓展提升]如图3，在对余四边形ABCD中，∠A=45°.∠ABD+∠BDC=180°，BC=4.求AB+CD的长．24.已知抛物线y=ax2经过点A(2,1)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线l经过点A且与抛物线对称轴右侧交于点B，若△ABO的面积为6，求直线l的解析式；(3)如图2，直线CD与抛物线交于C、D两点，与y轴交于点(0,m)，直线PC、PD与抛物线均只有一个公共点，点P的纵坐标为n，求m与n的数量关系．答案和解析1.【答案】D【解析】解：方程整理得：x2−8x−10=0，其中二次项系数为1，常数项为−10．故选：D．方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c= 0(a,b，c是常数且a≠0).在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】C【解析】解：A、B、D中图形都不是中心对称图形，C中图形是中心对称图形，故选：C．根据中心对称图形的概念判断即可．本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3.【答案】A【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=2x2向上平移3个单位可得到函数y=2x2+3，故选：A．直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．4.【答案】B∠BOC=50°．【解析】解：∵∠BOC=100°，∴∠A=12故选：B．根据圆周角定理可求得∠A=50°．本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5.【答案】D【解析】解：∵y=−3(x−1)2−2是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(1,−2)．故选：D．直接根据顶点式的特点求顶点坐标．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．6.【答案】A【解析】解：x2+10x+9=0，x2+10x=−9，x2+10x+52=−9+52，(x+5)2=16．故选：A．移项，配方(方程两边都加上一次项系数的一半的平方)，即可得出答案．本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．7.【答案】B【解析】解：由旋转的性质可知，∠B′AB=∠BAC=30°，AB=AB′，(180°−30°)=75°，∴∠ABB′=∠AB′B=12∵∠BCB=90°，∴∠BB′C=90°−75°=15°，故选：B．利用旋转的性质，三角形面积和定理求解即可．本题考查旋转变化的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】B【解析】解：设参赛球队的个数是x，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x(x−1)2=15，解得：x1=6，x2=−5(不合题意，舍去)，则参赛球队的个数是6个；故选：B．根据赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x个球队比赛总场数=x(x−1)2，由此列出方程，然后求解即可．本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，读懂题意，得到总场数与球队之间的关系是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC=180°，∠BCE=90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC=180°，∴∠AOD=∠COE，∴AD⏜=CE⏜，∴AD=CE=2，∵BC=6，∴△BEC的面积为12BC⋅CE=12×6×2=6，∵OB=OE，∴△BOC的面积=12△BEC的面积=12×6=3，故选：A．延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC=180°，∠BCE=90°，由∠AOD+∠BOC=180°，∠AOD=∠COE，推出AD=CE=2，根据三角形的面积公式可求得△△BEC的面积．BEC的面积为6，由OB=OE，可得△BOC的面积=12本题主要考查了圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解决问题的关键．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为；抛物线与y轴的交点坐标抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a为(0,c)；当b2−4ac>0，抛物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交点．由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D(−1,2)得a−b+c=2，由抛物线的对称轴为直=−1得b=2a，所以c−a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=−1时，线x=−b2a二次函数有最大值为2，即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C．11.【答案】4【解析】解：根据题意得x1+x2=−−41=4．故答案为4．根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．12.【答案】−5【解析】解：由题意，得：a=−3，b=2，a−b=−3−2=−5，故答案为：−5．根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b是解题关键．13.【答案】>【解析】解：∵点A(−2,y1)，点B(1,y2)在抛物线y=3x2−2上，∴当x=−2时，y1=12−2=10，当x=1时，y2=3−2=1，∴y1>y2，故答案为>．将点A(−2,y1)，点B(1,y2)分别代入y=3x2−2，求出相应的y1、y2，即可比较大小．本题考查二次函数的图象上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键．14.【答案】36(1−x)2=25【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=25，把相应数值代入即可求解．【解答】解：第一次降价后的价格为36×(1−x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×(1−x)×(1−x)，则列出的方程是36(1−x)2=25．故答案为：36(1−x)2=25．15.【答案】(2√6−4)【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0,2)，通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标(−2,0)，到抛物线解析式得出：a=−0.5，所以抛物线解析式为y=−0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=−1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=−1代入抛物线解析式得出：−1=−0.5x2+2，解得：x=±√6，所以水面宽度增加到2√6米，比原先的宽度当然是增加了2√6−4，故答案为：(2√6−4)．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．16.【答案】2√3−1【解析】解：如图，连接DO，延长OA到T，使得AT=OA，连接DT，FT，CT．∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD=90°，∵AD=√3，OA=OB=1，=√3，∴tan∠AOD=ADAO∴∠AOD=60°，∠ADO=30°，∴OD=2AO，∵AO=AT，∴OT=2AO，∴OT=OD，∴△ODT 是等边三角形，∵△DEF 是等边三角形，∴∠ODT =∠EDF =60°，DO =DT ，DE =DF ，∴∠DEO =∠FDT ，∴△DEO≌△FDT(SAS)，∴FT =OE =OA =1，∵∠B =90°，BT =2+1=3，BC =√3，∴CT =√BT 2+BC 2=√32+(√3)2=2√3，∵CF ≥CT −TF ，∴CF ≥2√3−1，∴CF 的最小值为2√3−1．故答案为：2√3−1．如图，连接DO ，延长OA 到T ，使得AT =OA ，连接DT ，FT ，CT.证明△DEO≌△FDT(SAS)，推出FT =OE =OA =1，利用勾股定理求出CT ，根据CF ≥CT −TF ，可得CF ≥2√3−1，由此即可解决问题．本题考查旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：x 2−x −1=0，x =−b±√b 2−4ac 2a=1±√1+42×1=1±√52， ∴x 1=1+√52，x 2=1−√52．【解析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式．确定a ，b ，c 的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值．18.【答案】解：(1)由题意可知，抛物线y =ax 2−2x +c 经过(−1,0)，(0,−3)， ∴{a +2+c =0c =−3， 解得：{a =1c =−3， 所以抛物线的解析式为：y =x 2−2x −3；(2)把x=3代入y=x2−2x−3，可得y=9−6−3=0，所以m=0．【解析】(1)取两组对应值代入y=ax2−2x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可；(2)把x=3代入二次函数的解析式求解即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19.【答案】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm，宽就为(50+ 2x)cm，根据题意得：(80+2x)(50+2x)=5400，解得：x1=−70(不符合题意，舍去)，x2=5．答：金色纸边的宽度为5cm．【解析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm，宽就为(50+2x)cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．20.【答案】解：(1)如图，线段BD即为所求．(2)如图，线段CE即为所求．(3)如图，射线BF即为所求．【解析】(1)根据旋转变换的性质画出图形即可．(2)取格点T，连接CT交AB于点E，线段CE即为所求．(3)取格点，G，H，连接GH，AD交于点F，作射线BF，射线BF即为所求．本题考查作图−旋转变换，角平分线，垂线段等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：延长DE交⊙O于点G，如图所示：∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，∴DE=GE，BD⏜=BG⏜，∵D是BC⏜的中点，∴CD⏜=BD⏜=BG⏜，∴BC⏜=DG⏜，∴BC=DG=2DE；(2)解：连接BD、OD，如图所示：∵CD⏜=BG⏜，∴∠DBC=∠BDF，∴DF=BF，∵AB为⊙O的直径，AB=10，∴∠ACB=90°，OB=OD=5，∴BC=√AB2−AC2=√102−62=8，BC=4，由(1)得：DE=12∵DE⊥AB，∴OE=√OD2−DE2=√52−42=3，∴BE=OB−OE=2，设DF=BF=a，则EF=4−a，在Rt△BEF中，由勾股定理得：22+(4−a)2=a2，，解得：a=52∴DF=5．2【解析】(1)延长DE交⊙O于点G，先由垂径定理得DE=GE，BD⏜=BG⏜，再证出BC⏜=DG⏜，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论；(2)连接BD、OD，先由圆周角定理得∠DBC=∠BDF，得DF=BF，由圆周角定理得BC=4，再由勾股定理求出OE=3，则BE=∠ACB=90°，勾股定理得BC=8，则DE=12OB−OE=2，设DF=BF=a，则EF=4−a，然后在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．22.【答案】y=−10x+1000w=−10x2+1400x−40000【解析】解：(1)月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：y=500−10(x−50)=−10x+1000，即y=−10x+1000；月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：w=(x−40)y=(x−40)(−10x+1000)=−10x2+1400x−40000，即w=−10x2+1400x−40000，故答案为：y=−10x+1000，w=−10x2+1400x−40000；(2)根据题意得：−10x2+1400x−40000=8000，解得：x1=80，x2=60，又∵月销售量不低于250千克，则有：−10x+1000≥250，解得：x≤75，∴x1=80>75(舍去)，答：销售单价应定为60元时，月销售利润达到8000元；(3)由(2)得：w=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000，∵a=−10<0，∴抛物线的开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值，当x=70时，w取最大值，最大值为9000元，答：售价定为每千克70元时会获得最大利润？最大利润为9000元．(1)根据一个月可售出500千克，减去因涨价而减少的数量得到月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式，根据(售价−成本)×月销售量得到月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式；(2)将月销售利润8000元代入w=−10x2+1400x−40000，解方程即可得到结果；(3)将w=−10x2+1400x−40000化为顶点式就可以求出结果．本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是对余四边形，依题意得，∠B+∠D=90°，∵∠D=30°，∴∠B=90°−∠D=60°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠ACD=105°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=165°，在四边形ABCD中，∠BAD=360°−∠B−∠ACD−∠D=360°−60°−165°−30°= 105°；(2)四边形ABCD为对余四边形，证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵DA=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，如图2，过点D作DM⊥CD，使CD=CM，连接CM，BM，∴∠DMC=∠DCM=45°，∵∠ADB=∠CDM=90°，∴∠ADB+∠BDC=∠CDM+∠BDC，∴∠ADC=∠BDM．在△ADC和△BDM中，{DA=DB∠ADC=∠BDM DC=DM，∴△ADC≌△BDM(SAS)，∴AC=BM．在Rt△MDC中，根据勾股定理得，CM2=CD2+DM2=2CD2，∵2CD2+CB2=AC2，∴CM2+CB2=BM2，∴△BCM是直角三角形，且∠BCM=90°，∵∠DCM=45°，∴∠DCB=∠BCM−∠DCM=45°，∴∠DCB+∠DAB=90°，∴四边形ABCD为对余四边形；(3)如图3，过点B作BE⊥BC交CD的延长线于点E，∵四边形ABCD为对余四边形，依题意得，∠A+∠C=90°，∵∠A=45°，∴∠C=∠E=45°=∠A，∵∠ABD+∠BDC=180°，∠BDE+BDC=180°，∴∠ABD=∠EDB，在△ABD和△EDB中，{∠A=∠E∠ABD=∠EDB BD=DB，∴△ABD≌△EDB(AAS)，∴AB =ED ，EB =BC =4，在Rt △EBC 中，根据勾股定理得，BE 2+BC 2=CE 2，∴CE =4√2， 即AB +CD =4√2．【解析】(1)先根据对余四边形求出∠B =60°，进而得出∠ACB =60°，∠BCD =165°，最后用四边形内角和定理，即可得出结论；(2)先判断出∠BAD =∠ABD =45°，进而判断出∠ADC =∠BDM ，即可判断出△ADC≌△BDM(SAS)，得出AC =BM.再根据勾股定理得出CM 2=CD 2+DM 2=2CD 2，进而判断出∠BCM =90°，即可得出结论；(3)先判断出∠C =∠E =45°=∠A ，再判断出∠ABD =∠EDB ，进而得出△ABD≌△EDB(AAS)，得出AB =ED ，EB =BC =4，最后用勾股定理求出CE =4√2，即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了新定义，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2经过点A(2,1)． ∴1=4a ，解得a =14，∴抛物线解析式为y =14x 2；(2)∵点A(2,1)．∴直线OA 为y =12x ，如图1，过B 作BE//OA 交y 轴于E ，连接AE ，则S △AOB =S △AOE =6，∴12OE ×2=6，∴OE =6，∴点E(0,6)，设直线BE 为y =12x +6，解{y =12x +6y =14x2得{x =6y =9或{x =−4y =4，∴B(6,9)，设直线l 的解析式为y =kx +b ，∴{2k +b =16k +b =9，解得{k =2b =−3， ∴直线l 的解析式为y =2x −3；(3)设直线CD 的解析式为y =kx +m ，由{y =kx +m y =14x2去掉y 整理得14x 2−kx −m =0． 设C 、D 的坐标分别为(x C ,y C )，(x D ,y D )，∴x C ⋅x D =−4m ，设直线CP 的解析式为y =ax +c ，由{y =ax +c y =14x 2整理得，14x 2−ax −c =0． ∵CP 与抛物线只有一个公共点，∴△=a 2+c =0，∴c =−a 2，∴14x 2−ax +a 2=0，解得x C =2a ，同理：设直线DP 的解析式为y =bx +d ，可得x D =2b ，∴2a ⋅2b =−4m ，∴ab =−m ，联立{y =ax +c y =bx +d ，即{y =ax −a 2y =bx −b 2， 解得{x =a +b y =ab， ∴P(a +b,ab)，∵点P 的纵坐标为n ，∴n =ab =−m ．【解析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式解答即可；(2)求得直线OA 的解析式，过B 作BE//OA 交y 轴于E ，连接AE ，则S △AOB =S △AOE =6，根据三角形面积求得OE ，得到E 的坐标，进而求得直线BE 的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 的解析式；(3)设直线CD 的解析式为y =kx +m ，与抛物线解析式联立整理得14x 2−kx −m =0.根据根与系数的关系得到x C ⋅x D =−4m ，设直线CP 的解析式为y =ax +c ，联立抛物线x2−ax−c=0.根据题意△=a2+c=0，解析式得到14x2−ax+a2=0，解得x C=2a，同理：设直线DP的解析式求得c=−a2，即可得到14为y=bx+d，可得x D=2b，所以4ab=−m，直线CP和直线DP联立，解方程求得交点P((a+b,ab)，即可求得n=−m．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线相交或平行问题，直线与抛物线的交点问题，方程思想的运用是解题的关键．。
上海市宝山区2020-2021学年九年级上学期期末(中考一模)数学试卷带讲解
上海市宝山区2021届初三一模数学试卷一、选择题1. 如果C 是线段AB 延长线上一点，且:3:1AC BC =，那么:AB BC 等于（ ）．A. 2:1B. 1:2C. 4:1D. 1:4 【答案】A【分析】先画出图形，设BC 为k ，然后用k 表示出AB ，最后求出:AB BC 即可．【详解】解：根据题意可画出下图：∵:3:1AC BC =，设BC 为k ，∴AC=3k ，∴AB=AC-BC=2k ，∴:AB BC =2k∴k=2∶1．故答案为A ．【点睛】本题主要考查了线段的和差，根据题意画出图形成为解答本题的关键．2. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，那么sin A 的值为（ ）． A. 35 B. 34 C. 45 D. 43【答案】A【分析】根据正弦的定义解答即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=35BC AB =， 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．3. 如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（ ）．A. am nB. an mC. am m n +D. an m n+【答案】D【分析】先证明：四边形DEBF 是平行四边形，可得DF BE =，利用::AF FB m n =，再求解AF m AB m n=+，再证明ADF ACB ∽，利用相似三角形的性质求解BE ，再利用线段的和差可得答案． 【详解】解： //AB DE ，//BC DF ，∴ 四边形DEBF 是平行四边形， DF BE ∴=，::AF FB m n =，AF m AB m n∴=+， //DF BC ，ADF ACB ∴∽AF DF AD AB BC AC∴==, //AB DE ，BE AD m BC AC m n∴==+， BC a =，ma BE m n∴=+， .ma na CE a m n m n ∴=-=++ 故选：.D4. 已知点M 是线段AB 的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）． A. AM BM = B. 12AM AB = C. 12BM AB = D. 0AM BM +=【答案】B【分析】根据题意画出图形，因为点M 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．【详解】解：A 、AM MB =，故本选项错误；B 、12AM AB =，故本选项正确；C 、12BM BA =，故本选项错误； D 、0AM BM +=，，故本选项错误．5. 若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（ ） A. 2(1)2y x =-+B. 2(1)2y x =--C. 2(1)2y x =++D. 2(1)2y x =+- 【答案】A【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线：()212y x =-+ 故答案为：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．6. 如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ）．A. 0ac <B. 抛物线的对称轴为直线1x =C. 0a b c -+=D. 点()12,y -和()22,y 在拋物线上，则12y y >【答案】B 【分析】根据图象分别求出a 、c 的符号，即可判断A ；根据抛物线与x 轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x =1，即可判断B ；把x =-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C ；将x =-2与x =2带入二次函数，可得出y 1与y 2的值，即可判断D ．【详解】解：∴二次函数图象开口向上，∴a ＞0，∴二次函数的图象交y 轴的负半轴于一点，∴c ＜0，∴ac ＜0 选项A 正确；∴由图像可看出，抛物线与x 轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称，∴抛物线的对称轴不是x=1 选项B 错误；把x=-1代入y=ax 2+bx+c 得：y=a-b+c ，由图像可知，x=-1时y=0，∴a-b+c=0 选项C 正确；把x=-2和x=2代入y=ax 2+bx+c 中，由图像可知，y 1＞0，y 2＜0，∴y 1＞y 2 选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a 、b 、c 之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．二、填空题7. 如果2x ＝3y ，那么x y y+=___． 【答案】52【分析】直接利用已知得出x =32y ，进而代入得出答案． 【详解】解：∵2x =3y ，∴x =32y ， ∴3522y y x y y y ++==． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．8. 已知线段2a =厘米，8c =厘米，那么线段a 和c 的比例中项b 的长度为______厘米．【答案】4【分析】根据线段的比例中项可直接进行列式求解．【详解】解：由题意可得：22816b ac ==⨯=，∴4b =cm ；故答案为4．【点睛】本题主要考查比例中项，熟练掌握比例中项是解题的关键．9. 如果线段AB 的长为2，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较短的线段AP =______．【答案】3【分析】设较短的线段AP x =，则BP AB AP =-，根据黄金分割点的性质列方程并求解，即可得到答案．【详解】设较短的线段AP x =∵AB 的长为2∴2BP AB AP x =-=- ∴BP AP AB BP= ∴222x x x-=- ∴()222x x -=∴3x =+3（经检验均为方程的根）32+>，故舍去∵(22310x -=-=≠∴3x =-∴较短的线段3AP =故答案为：3【点睛】本题考查了黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．10. 计算：32a ba b ______． 【答案】54a b -【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．【详解】解：326354a ba b a b a b a b ， 故答案为：54a b -．【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉相关性质是解题的关键．11. 已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为35，那么其周长为______． 【答案】26【分析】作DF ⊥BC 于F ，AE ⊥BC 于E ，根据等腰梯形的性质就可以得出△AEB ≌△DFC 就可以求出FC=BE ，然后根据底角的余弦值为35，求得BE ，AB ，从而求出周长． 【详解】解：如图示，作DF⊥BC 于F ，AE⊥BC 于E ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴∠B=∠C ，AB=CD ，AD ∥BC ，∴∠ADF=∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，∴四边形AEFD 是矩形，5EF AD ，△AEB 和△DFC 中BC AEBDFC AE DF ， ∴△AEB ≌△DFC （AAS ），∴BE=CF ； ∵35cos E ABB B ， 设3BE x =，则5AB x =， 根据勾股定理，有：2222534AE AB BE x x ，解之得：1x =（取正值），∴3BE =，5AB =，∴3FCBE ，5DC AB ==， ⊥周长AB BE EF FC CD AD 53535526，故答案是：26．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质的运用，三角函数，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，能熟练应用相关性质是解题的关键．12. 某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______．【答案】()21001y x =+；【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率)n ,即可列方程求解．详解】依题意得：()21001y x =+故答案为：()21001y x =+【点睛】考查了一元二次方程的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率)n =现有量，n 表示增长的次数． 13. 如果抛物线()21y m x m =++（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向______． 【答案】向上【分析】根据解析式写出顶点，根据顶点坐标在第二象限求出m 的取值故可求解．【详解】∵抛物线()21y m x m =++的得到为（-1，m ）又顶点坐标在第二象限∴m ＞0∴开口向上故答案为：向上．【点睛】此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟知顶点式的特点．14. 已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______．【答案】2y x =-（答案不唯一）【分析】设出符合条件的函数解析式，再根据二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的可知该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，再把()0,0A 代入，得出符合条件的函数解析式即可．【详解】解：设出符合条件的函数解析式为：()20y ax bx c a =++≠， ∵二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的，∴该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，∵函数图象经过()0,0A ，∴0c ，∴符合条件的二次函数解析式可以为：2y x =-（答案不唯一）．故答案为：2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意设出函数解析式，再根据二次函数的性质判断出a 的符号及对称轴是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一．15. 如图，已知ABC 中，//EF AB ，12AF FC =，如果四边形ABEF 的面积为25，那么ABC 的面积为______．【答案】45【分析】根据//EF AB ，易得∴CFE ∽△CAB ，再依据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出三角形ABC 的面积．【详解】解：∵//EF AB∴△CFE ∽△CAB 又∵12AF FC = ∴32ACFC=， ∴94ABC FEC S S =△△ 设∴ABC 的面积为x 则9254x x =-， 解得，x=45，经检验x=45是原方程的根故答案为：45【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，依据相似三角形面积比是相似比的平方，构建方程，是解决问题关键．16. 在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC △，90C ∠=︒，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果4AF =，9GB =，那么正方形铁皮的边长为______．【答案】6【分析】设正方形铁皮的边长为x ，证明△AEF ∽△DBG ，得到EF AF BG DG =，49x x=，求解即可． 【详解】设正方形铁皮的边长为x ，∵90C ∠=︒，∴∠A+∠B=90︒，在正方形EFGD 中，EF=DG=FG=x ，∠EFG=∠DGF=90︒,∴∠AFE=∠BGD=90︒，∴∠A+∠AEF=90︒,∴∠AEF=∠B ，∴△AEF ∽△DBG ， ∴EF AF BG DG=， ∴49x x =， 解得x=6（负值舍去），故答案为：6．【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，根据已知条件证明△AEF ∽△DBG 是解题的关键．17. 如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为______米．【答案】15【分析】过点B 作BC ⊥AC 于C ，由迎水坡的坡度为1:0.75，得到tan ∠BAC=43=BC AC ，求出AC=9米，再利用勾股定理求出答案．【详解】过点B 作BC ⊥AC 于C ，∵迎水坡的坡度为1:0.75，∴tan ∠BAC=43=BC AC ， ∵BC=12米，∴AC=9米，∴米)，故答案为：15．．【点睛】此题考查坡度的定义，解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解迎水坡的坡度为1:0.75得到tan ∠BAC=43=BC AC 是解题的关键． 18. 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan CAP ∠=______．1．【分析】分两种情形：⊥当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．【详解】解：⊥如图2中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．⊥CE ＝EA ，CF ＝FB ，∴EF ∥AB ，∵AC ＝AB ，∠ACB ＝90°⊥⊥CEF ＝⊥CAB ＝45°，∵PD ＝P A ，∠APD ＝90°⊥⊥PAD ＝⊥PDA ＝45°，⊥⊥HDC ＝⊥PDA ＝45°，∵点E 是边CA 的中点，⊥EA ＝EP ＝EC⊥⊥EPC ＝⊥CEP ，∵∠HDC ＝∠DCA+∠DAC ＝45°，∠CEF ＝∠DCA+∠EPC ＝45°，⊥⊥DAC ＝⊥EPC ＝⊥ECP ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则DA DC =,∴)1PC a =∴)1tan 1a PC CAP PAa∠===②如图3中，当点P 在线段CD 上时，由①可知，EF ∥AB ，∠CAB ＝∠PDA ＝45°， ∴∠CAD ＝180°-∠ACD-45°， ∠COA ＝180°-∠ACO-45° ∴∠CAD ＝∠COA ， ∵EF ∥AB ， ∴∠CPE ＝∠COA ， ∴∠CPE ＝∠CAD ， ∵点E 是边CA 的中点， ⊥EA ＝EP ＝EC ∴∠ECP ＝∠CPE ， ∴∠ECP ＝∠CAD ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则PD ＝a ，DA DC ==,∴)1PC a =∴)1tan 1a PC CAP PAa∠===:点P 在线段EF 上，情况⊥不满足条件,情况⊥满足条件，综上所述，tan CAP ∠1．【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．三、解答题19. 计算：21cos 45cot 30sin 60tan 30-︒︒+︒⋅︒．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算求解．【详解】解：原式21112121112⎛- -=====． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．20. 如图，已知ABC 中，//DE BC ，且DE 经过ABC 的重心点G ，BD a =，BC b =．（1）试用向量a 、b 表示向量BE ； （2）求作向量()233a b -（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）． 【答案】（1）23BE a b =+；（2）见解析 【分析】（1）根据重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，分析得到DE=23BC ，再根据向量的加法法则，首尾顺次相连，由三角形法则即可求解；（2）取AD 的中点J ，延长CB 到I ，使BI=DE ，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，边接BK ，则BK 即是所求作的向量．【详解】解：（1）如图，连接AG 并延长交BC 于点F ，则GF=12AG ，AG 2=AF 3∴，DE//BC ，BC b = ADE ABC ∴△△∽， DE AG 2==BC AF 3∴， 23b DE BC =＝， 2a 3BE BD DE b ∴=+=+（2）BD a =，3BA a ∴=，作AD 的中点J ，2J=3a 23B a ∴⨯=，延长CB 到I ，使得BI=DE ，23BI b ∴=-，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，则()2223a 33BK BJ BI a b b =+=-=-， ∴BK 即是所求的求作的向量【点睛】本题考查了向量的知识，掌握法则向量的平行四边形法则，向量的三角形法则是解题的关键．21. 已知二次函数()20y ax ax a =-≠的图像经过点()1,2-．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线2132y x x =++？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）2yx x ，顶点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）可以，先向左平移2个单位，再向下平移32个单位【分析】（1）把点()1,2-代入函数解析式，求出a 的值即可得到解析式，再把一般式写成顶点式得到顶点坐标； （2）把所给的函数解析式化为顶点式，根据函数图象的平移法则进行求解． 【详解】解：（1）把点()1,2-代入函数解析式，得2a a +=，解得1a =， ∴2yx x ，写成顶点式：21124y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴顶点坐标是11,24⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）将2132y x x =++也写成顶点式，得23724y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，31222⎛⎫--= ⎪⎝⎭，713442-=， ∴把原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移32个单位． 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解和图象的平移，解题的关键是掌握解析式的求解方法和函数图象的平移方法．22. 如图，点O 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结AO 并延长，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：2AB DE BF =⋅； （2）如果1OE =，2EF =，求CFBF的长．【答案】（1）见解析；（2）33CF BF -=【分析】（1）根据菱形的性质证明ABO EDO ，BFO DAO ，得到AB BFED DA=，再由AB DA =，即可证明结论；（2）连接OC ，先证明()ADO CDO SAS ≅得到DAO DCO ∠=∠，就可以证明OEC OCF ，根据对应边成比例求出OC 的长，再根据ADE FCE ~，利用对应边成比例求出结果． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴//AB CD ，//AD BC ，AB DA =， ∴ABO EDO ，BFO DAO ，∴AB BO ED DO =，BF BODA DO =， ∴AB BFED DA=， ∵AB DA =， ∴2AB DE BF =⋅； （2）如图，连接OC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=DC ，ADO CDO ∠=∠， 在ADO △和CDO 中，AD CD ADO CDO DO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ADO CDO SAS ≅， ∴DAO DCO ∠=∠， ∵//AD BF ， ∴DAO OFC ∠=∠， ∴DCO OFC ∠=∠，∵COE FOC ∠=∠， ∴OEC OCF ，∴OE OCOC OF=，即2OC OE OF =⋅， ∵1OE =，2EF =， ∴123OF =+=，∴OC =∴AO OC == ∵//AD CF ， ∴ADE FCE ~，∴12AD AE FC FE ==，∴12BC AD FC +==，1322BF BC CF FC FC FC =+=+=，∴(236CF BF===． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．23. 某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼()AB 高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表：（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度． 【参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈】 【答案】（1）二；（2）36米【分析】（1）根据第二组只测了角度，未给出距离相关信息即可判断； （2）由锐角三角函数可求tan ABBC C =，tan AB BD ADB=∠，由BC BD CD -=，列出方程可求解． 【详解】（1）∴第二组中没有线段长度的数据，所以无法测出AB 的高度， ∴填第二组， 故答案为：二．（2）可选第一组的方案， 设AB xm =，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，tan =ABC BC， ∴4=tan tan 373AB x BC x C ==︒，在Rt ABD △中，90B ∠=︒，tan =ABADB BD∠， ∴tan tan 45AB xBD x ADB ===∠︒，∴BC BD CD -=， ∴4123x x -=， ∴36x =．答：教学大楼高36米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．24. 已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积． 【答案】（1）231255y x x =-，对称轴为2x =；（2）1,1E ；（3）当OA 为边时，1445S =；当OA 为对角线时，485S =． 【分析】（1）将()4,0A ，()1,3B -代入抛物线2y ax bx =+，求解即可；（2）过B 点作BF x ⊥轴叫x 轴与点F ，过E 点作EH x ⊥轴叫x 轴与点H ，根据B 点坐标是()1,3-，对称轴为2x =，易得BCF △是等腰直角三角形，ECH 也是等腰直角三角形，求出BC =CED OBD =∠∠，点D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，可证得OBCEDB ，DBE BCO ，则DBEBCO ，有DBEBBCOC，可得EB =EC =（3）分两种情况讨论：当OA 对角线时，当OA 为边时，分别求出N 点坐标，然后求解即可．【详解】解：（1）将()4,0A ，()1,3B -代入抛物线 2y ax bx =+，得：16403a b a b +=⎧⎨-=⎩，解之得： 35125a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴该抛物线的表达式是231255y x x =-， ∴22231233124255555y x x x xx ， ∴对称轴为2x =；（2）如图示：过B 点作BF x ⊥轴叫x 轴与点F ，过E 点作 EH x ⊥轴叫x 轴与点H ，∴B 点坐标是()1,3-，对称轴为2x =， ∴3BF CF ==，∴BCF △是等腰直角三角形，则ECH 也是等腰直角三角形， ∴22223332BCBF CF ,∴CED OBD =∠∠,CED EBD EDB ∠=∠+∠,OBDEBD OBC∴OBCEDB ,∴点D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，则D 点坐标是()5,3， ∴//BD FA∴DBE BCO ∴DBE BCO ∴DB EBBCOC, ∴6BD =,2OC =,2EB，即有EB =∴32222ECBCEB,∴ECH 是等腰直角三角形， ∴1EHHC∴1OH =即点E 的坐标是()1,1； （3）∴4OA =∴当OA 是平行四边形的边长时，如图2所示，则MN 必定在y 轴的上方，并有4MN OA ，∴点M 在对称轴上， ∴点N 的横坐标是6或-2， 又∴点N 在抛物线上， ∴当6x =时，23123666555y， ∴平行四边形OANM 的面积36144455；当2x =-时，23123622555y ， 同理可得平行四边形OANM 的面积36144455； ∴当OA 是平行四边形的对角线时，如图3所示，∵点M 在对称轴上，并MONA ∴点N 也在对称轴2x =上，∴当2x =时，23121222555y， ∴112244255OAN S ∴平行四边形OANM 的面积24482255OAN S ． 综上所述，平行四边形的面积为1445或485． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数坐标轴上的点，三角形的相似的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．25. 如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 、E 在边AB 上，∠DCE =45°，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当AC =3，AD =2BD 时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC =，tan ∠FMD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析； （2）4DE =； （3）1(02y x =<<． 【分析】（1）证明两个角相等证明△CDE ∽△BCE ，列比例式可得结论；（2）如图2，过D 作DN ⊥AC 于N ，根据△ADN 是等腰直角三角形，得AN =DN ，由平行线分线段成比例定理得23AD AN AB AC ==，计算DN 和CN 的长，利用勾股定理计算CD 和BD 的长，根据（1）中的相似三角形，列比例式得：DE CE DC CE BE BC ===，设DE ，CE =3x ，代入比例式可得结论； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，证明△AMC ≌△BPC （ASA ），得CM =CP ，证明△MCD ≌△PCD（SAS ），得∠MDC =∠PDC =∠BDC ，证明△BCD ∽△CMD ，列比例式得BD CD BC CM=，根据三角函数的定义和等量代换可得比例式，并根据D ，E 是AB 上一点，∠DCE =45°，可知当点E 与A 重合时，BD 最大为12AB ，可得x 的取值范围．【小问1详解】证明：如图1，∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠B =∠CAB =45°，∵∠DCE =45°，∴∠B =∠DCE ，∵∠CED =∠CEB ，∴△CDE ∽△BCE ， ∴CE DE BE CE=， ∴2CE BE DE =⋅；【小问2详解】解：如图2，过D 作DN ⊥AC 于N ，∴∠AND =90°，∵∠DAN =45°，∴△ADN 是等腰直角三角形，∵DN ∥BC ，AD =2BD ， ∴23AD AN AB AC ==， ∵AC =3，∴AB AN =DN =2，CN =1，∵AD =2BD ，∴BD由勾股定理得：DC =由（1）知：△CDE ∽△BCE ，∴3DE CE DC CE BE BC ===，设DE ，CE =3x ，3=，∴x ，∴DE ； 【小问3详解】解：如图3，过点C 作CP ⊥CM ，交AB 的延长线于点P ，∵∠DCE =45°，∠ACB =90°，∴∠ACM +∠BCD =45°=∠BCD +∠BCP ，∴∠BCP =∠ACM ，∵∠CBP =180°-45°=135°=∠CAM ，AC =BC ，∴△AMC ≌△BPC （ASA ），∴CM =CP ，∵∠DCM =∠DCP =45°，CD =CD ，∴△MCD ≌△PCD （SAS ），∴∠MDC =∠PDC =∠BDC ，∵∠ABC =45°=∠MCD ，∴△BCD ∽△CMD ， ∴BD BC CD CM =，即BD CD BC CM=， ∵FM ⊥FC ，∠DCE =45°，∴△CFM 是等腰直角三角形，∴CM FM ，∴y =tan ∠FMDDF MF CM==)CF CD CM-=CM -=1BD BC=x ；Rt △ABC 中，AC =BC ，∴AB BC ，∵D ，E 是AB 上一点，∠DCE =45°，∴当点E与A重合时，BD最大为12 AB，∵BDBC=x，∴0＜x∴y（0＜x＜2）．【点睛】本题是相似形的综合题，考查了全等和相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
精品人教版2019-2020学年九年级数学上册期中模拟试卷(二)解析版
人教版2019-2020学年九年级数学上册期中模拟试卷（二）一．选择题（共8小题，满分6分）1．一元二次方程x2＝3x的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝0或x＝3D．x＝0 且x＝32．方程2x2+5＝7x根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根3．将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2B．y＝﹣3（x﹣1）2+2C．y＝﹣3（x+1）2﹣2D．y＝﹣3（x+1）2+24．（3分）如图，∠CAB＝25°，CA、CB是等腰△ABC的两腰，将△ABC绕点A顺时针进行旋转，得到△ADE．当点B恰好在DE的延长线时，则∠EAB的度数为（）A．155°B．130°C．105°D．75°5．在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（）A．（﹣2，3）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（2，﹣3）6．如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（）A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°7．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个二．填空题（共8小题，满分18分）9．（3分）当a＝时，（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程．10．（3分）平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是．11．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的最大值是．12．（3分）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝．13．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝﹣1，则另一根为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为．15．如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，∠APC的平分线交AC于点D．若∠APC＝40°，则∠CDP＝．16．如图，已知点C是的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB＝度．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．（8分）解方程与不等式：（1）（x﹣3）（x﹣2）+33＝（x+9）（x+1）（2）（2x+3）（2x﹣3）＜4（x﹣2）（x+3）18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．四．解答题（共2小题）19．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点O也在格点上．（1）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于直线OP成轴对称，点A的对应点是A'；（2）画△A''B''C''，使△A''B''C''与△A'B'C'关于点O成中心对称，点A'的对应点是A''．20．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．如图，若α＝90°，求AA′的长．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）21．（10分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．22．（10分）如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D 的直线于F，且∠BDF＝∠CDB，BD与CG交于点N．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．（10分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？24．（10分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？七．解答题（共1小题）25．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是对角线BD上一动点．（1）如图1，当CE⊥BD时，求DE的长；（2）如图2，作EM⊥EN分别交边BC于M，交边CD于N，连MN．①若，求tan∠ENM；②若E运动到矩形中心O，连CO．当CO将△OMN分成两部分面积比为1：2时，直接写出CN的长．八．解答题（共1小题）26．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分6分）1．【解答】解：方程移项得：x2﹣3x＝0，分解因式得：x（x﹣3）＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：C．2．【解答】解：方程化为2x2﹣7x+5＝0，因为△＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝﹣3（x+1）2；再向下平移2个单位为：y＝﹣3（x+1）2﹣2，即y＝﹣3（x+1）2﹣2．故选：C．4．【解答】解：∵CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝25°，∵△ABC绕点A顺时针进行旋转，得到△ADE．点B恰好在DE的延长线上，∴∠D＝∠ABC＝25°，∠DAE＝∠BAC＝25°，AD＝AB，∴∠ABD＝25°，∴∠ABD＝∠CAB，∴AC∥BD，∴∠D+∠DAC＝180°，∴∠EAB＝180°﹣25°﹣25°﹣25°＝105°．故选：C．5．【解答】解：如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，∵线段OP绕点O顺时针旋转90°，∴∠POP′＝∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠P′OB，且OP＝OP′，∠P AO＝∠P′BO＝90°，∴△OAP≌△OBP′，即P′B＝P A＝3，BO＝OA＝2，∴P′（3，﹣2）．故选：B．6．【解答】解：当点C在优弧上时，∠AC′B＝∠AOB＝×100°＝50°，当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝×（360°﹣100°）＝130°．故选：D．7．【解答】解：由题意得∠A＝∠BOC＝×100°＝50°．故选：B．8．【解答】解：①由图象开口可知：a＞0，c＜0，∵＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；②由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为：x＝，∴＜1，∴2a+b＞0，故③正确；④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于﹣2，故④错误；⑤由③可知抛物线的对称轴为x＝，∴由图象可知：x＜时，y随着x的增大而减小，故⑤正确；⑥由图象可知：x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故⑥错误；故选：B．二．填空题（共8小题，满分18分）9．【解答】解：∵（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，|a|﹣1＝2，解得：a＝﹣3，即当a＝﹣3时，（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程，故答案为：﹣3．10．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．11．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝y＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴当x＝﹣1时，y取得最大值4，故答案为：4．12．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，∴抛物线y＝ax2+x+c经过（﹣1，0），∴a﹣1+c＝0，∴a+c＝1，故答案为1．13．【解答】解：设方程的另一个根为x2，则﹣1×x2＝﹣3，解得：x2＝3，故答案为：3．14．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵OB＝2，AB⊥x轴，点A在直线y＝x上，∴AB＝2，OA＝＝4，∴RT△ABO中，tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°，又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到，∴∠D＝∠AOB＝∠OBD＝60°，AO＝CD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴DO＝OB＝2，∠DOB＝∠COE＝60°，∴CO＝CD﹣DO＝2，在RT△COE中，OE＝CO•cos∠COE＝2×＝1，CE＝CO•sin∠COE＝2×＝，∴点C的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．15．【解答】解：如图，连接OC，∵PC为圆O的切线，∴PC⊥OC，即∠PCO＝90°，∴∠CPO+∠COP＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝∠COP，∵PD为∠APC的平分线，∴∠APD＝∠CPD＝∠CPO，∴∠CDP＝∠APD+∠A＝（∠CPO+∠COP）＝45°．故答案为：45°．16．【解答】解：在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠ACB＝125°，∴∠ADB＝180°﹣125°＝55°，∴∠AOB＝110°，故答案为：110．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．【解答】解：（1）x2﹣5x+6+33＝x2+10x+9，x2﹣5x﹣x2﹣10x＝9﹣6﹣33，﹣15x＝﹣30，x＝2；（2）4x2﹣9＜4（x2+x﹣6），4x2﹣9＜4x2+4x﹣24，4x2﹣4x2﹣4x＜﹣24+9，﹣4x＜﹣15，x＞．18．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．四．解答题（共2小题）19．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'为所求三角形；（2）如图所示，△A''B''C''为所求三角形．20．【解答】解：∵点A（2，0），点B（0，），∴OA＝2，OB＝．在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝．根据题意，△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转900得到的，由旋转是性质可得：∠A′BA＝90°，A′B＝AB＝，∴AA′＝＝．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）21．【解答】解：（1）设抛物线顶点式y＝a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a＝﹣1∴该函数的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3（2）令x＝0，得y＝3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）令y＝0，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位故A'（2，4），B'（5，﹣5）∴S△OA′B′＝×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5＝15．22．【解答】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，．∴∠BOD＝2∠CDB．∵∠BDF＝∠CDB，∴∠BOD＝∠CDF，∵∠BOD+∠ODE＝90°，∴∠ODE+∠CDF＝90°，即∠ODF＝90°，∴DF是⊙O的切线；（2）猜想：MN∥AB．证明：连结CB．∵直径AB经过弦CD的中点E，∴，．∴∠CBA＝∠DBA，CB＝BD．∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB．∴∠AOD＝∠DBA+∠ODB＝2∠DBA＝∠CBD，∵∠BCG＝∠BAG，∴△CBN∽△AOM，∴．∵AO＝OD，CB＝BD，∴，∴，∵∠ODB＝∠MDN，∴△MDN∽△ODB，∴∠DMN＝∠DOB，∴MN∥AB．六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率啊10%；（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得（40﹣30﹣y）（4×+48）＝510，解得：y1＝1.5，y2＝2.5，∵有利于减少库存，∴y＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．24．【解答】解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，∴0≤x＜20；（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．七．解答题（共1小题）25．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8∴∠BCD＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6∴BD＝＝10∵CE⊥BD∴∠CED＝∠BCD＝90°∵∠CDE＝∠BDC∴△CDE∽△BDC∴∴DE＝（2）①如图1，过点M作MF⊥BD于点F，过点N作NG⊥BD于点G∵，BD＝10∴BD＝BE+DE＝3DE+DE＝4DE＝10∴DE＝，BE＝设MF＝a，NG＝b∵∠BFM＝∠C＝90°，∠FBM＝∠CBD∴△FBM∽△CBD∴∴BF＝＝a∴EF＝BE﹣BF＝a同理可证：△GDN∽△CDB∴∴DG＝＝b∴EG＝DE﹣DG＝b∵EM⊥EN∴∠MEN＝∠MFE＝∠NGE＝90°∴∠MEF+∠NEG＝∠MEF+∠EMF＝90°∴∠EMF＝∠NEG∴△EMF∽△NEG∴∴EF•EG＝NG•MF∴（a）（b）＝ba整理得：16a＝90﹣27b∴在Rt△MEN中，tan∠ENM＝＝②如图2，过点M作MF⊥BD于点F，MP⊥OC于点P，过点N作NG⊥BD于点G，NQ⊥OC于点Q，设OC 与MN交点为H∵点O为矩形中心，BD＝10∴OB＝OD＝OC＝BD＝5由①可得，设MF＝a，NG＝b，则BF＝＝a，DG＝＝b，OF•OG＝NG•MF∴OF＝OB﹣BF＝5﹣a，OG＝OD﹣DG＝5﹣b∴（5﹣a）（5﹣b）＝ab整理得：16a＝60﹣9b∴＝设CN＝5x∵∠NCQ＝∠BDC，∠NQC＝∠BCD＝90°∴△NCQ∽△BDC∴＝∴CQ＝CN＝3x，NQ＝CN＝4x∴OQ＝OC﹣CQ＝5﹣3x∵∠MPO＝∠MON＝∠OQN＝90°∴∠MOP+∠NOQ＝∠NOQ+∠ONQ＝90°∴∠MOP＝∠ONQ∴△MOP∽△ONQ∴i）若S△OMH＝2S△ONH，且两三角形都以OH为底∴MP＝2NQ＝8x∴解得：x＝∴CN＝ii）若2S△OMH＝S△ONH，则MP＝NQ＝2x∴解得：x＝∴CN＝综上所述，CN的长为或．八．解答题（共1小题）26．【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得1分∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）设直线MB的解析式为y＝kx+n，则有解得：，∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6∵PD⊥x轴，OD＝m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）S三角形PCD＝×（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m（1≤m＜3）；（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，∴∠PDC≠90°，在△PCD中，当∠DPC＝90°时，当CP∥AB时，∵PD⊥AB，∴CP⊥PD，∴PD＝OC＝3，∴P点纵坐标为：3，代入y＝﹣2x+6，∴x＝，此时P（，3）．∴线段BM上存在点P（，3）使△PCD为直角三角形．当∠P′CD′＝90°时，△COD′∽△D′CP′，此时CD′2＝CO•P′D′，即9+m2＝3（﹣2m+6），∴m2+6m﹣9＝0，解得：m＝﹣3±3，∵1≤m＜3，∴m＝3（﹣1），∴P′（3﹣3，12﹣6）综上所述：P点坐标为：（，3），（3﹣3，12﹣6）．。
2020-2021学年人教版第一学期九年级数学教学质量检测试卷及答案
2020-2021学年度第一学期教学质量检测九年级 数学试卷题号 一 二 三 四 总分得分一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项. 1.下列实数：2π、3、4、722、﹣1.010010001…中，无理数有 （ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.下列方程是一元二次方程的是 （ ） A.2x+3=0 B.y 2+x ﹣2=0 C.+x 2=1 D.x 2+1=03.方程x 2-4=0的解是 （ ） A.x 1=2，x 2=-2 B.x 1＝1，x 2＝4 C.x 1＝0，x 2＝4 D.x 1＝1，x 2＝－44.将抛物线y=x 2向左平移5个单位后得到的抛物线对应的函数解析式是 （ ） A.y=﹣x 2+5 B.y=x 2﹣5 C.y=（x ﹣5）2 D.y=（x+5）25.如果2是方程x 2﹣3x+k=0的一个根，则常数k 的值为 （ ） A.1B.2C.﹣1D.﹣26.抛物线y=﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是 （ ）A.（，﹣3） B.（﹣，﹣3）C.（，3）D.（﹣，3）7.对于函数y=﹣2（x ﹣m ）2的图象，下列说法不正确的是 （ ） A ．开口向下B ．对称轴是x=mC ．最大值为0D ．与y 轴不相交8.一元二次方程x 2﹣6x ﹣6=0配方后化为 （ ） A.（x ﹣3）2=15 B.（x ﹣3）2=3C.（x+3）2=15D.（x+3）2=39.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是 （ ） A.100（1+x ）=121 B.100（1﹣x ）=121 C.100（1+x ）2=121 D.100（1﹣x ）2=12110.如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 2．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A.（32﹣2x ）（20﹣x ）=570 B ．32x+2×20x=32×20﹣570 C.（32﹣x ）（20﹣x ）=32×20﹣570 D ．32x+2×20x ﹣2x 2=570二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 11.方程（x ﹣3）（x ﹣9）=0的根是 ．12.一个三角形的两边长分别为 3 和 5 ，第三边长是方程2680x x -+=的根， 则三角形的周长为 ． 13.已知函数 y ＝(m ＋2)是二次函数，则 m 等于 .14．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+6x+k 2﹣k=0的一个根是0，则k 的值是 ． 15.当x= 时，二次函数y=x 2﹣2x+6有最小值．16.若x=1是一元二次方程x 2+2x+a=0的一根，则另一根为________．17.已知函数2y ax bx c =-+的部分图象如右图所示,当x______时,y 随x 的增大而减小.18.如下图为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0； ②方程ax 2＋bx ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大. 以上说法中，正确的有__________。
2020-2021学年天津市九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在平面直角坐标系中，点P(4,−2)关于原点对称的点的坐标是()A. (−4,2)B. (4,2)C. (−2,4)D. (−4,−2)2.已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为()A. a>0，b>0B. a<0，b>0C. a>0，b<0D. a<0，b<03.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A. B. C. D.4.如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=75°，则∠B的度数是()A. 15°B. 40°C. 75°D. 35°5.在抛物线y=2x2−3x+1上的点是()A. (0,−1)B. (0,1)C. (−1,5)D. (3,4)6.二次函数y=2(x−1)(x−2)的图象与y轴的交点坐标是()A. (0,1)B. (0,2)C. (0,4)D. (0,−4)7.一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长是()A. 10mB. 12mC. 13mD. 14m8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BOD的度数为()A. 70°B. 90°C. 110°D. 140°9.抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.等边△ABC如图放置，A(1,1)，B(3,1)，等边三角形的中心是点D，若将点D绕点A旋转90°后得到点D′，则D′的坐标()A. (1+√33,0)B. (1−√33,0)或(1+√33,2)C. (1+√33,0)或(1−√33,2)D. (2+√33,0)或(2−√33,0)11.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是()A. AC=ADB. AB⊥EBC. BC=DED. ∠A=∠EBC12.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标为(1,n)，与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间(包含端点)，下列结论：①当x>3时，y<0；②−1≤a≤−2；③3≤n≤4；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其3中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.方程x2−1=0的根为______ ．14.周长为10cm的长方形的一边长为xcm，其面积y(cm2)与x(cm)之间的关系式为______．15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC=_________．16.已知圆O的半径长为6，若弦AB=6√3，则弦AB所对的圆心角等于______ ．17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△ADE可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，点D与点B是对应点，点E与点C是对应点)，连接CE，则∠CED的度数是______．18.如图，线段AB的长为6，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作两个等边三角形△ACD和△BCE，连接DE，则DE的最小值是_____________．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.已知二次函数y=x2+bx−3(b是常数)(1)若抛物线经过点A(−1,0)，求该抛物线的解析式和顶点坐标；(2)P(m,n)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在该抛物线上时，求m的值；(3)在−1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是−6，求b的值．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）20.在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象，并标出对称轴和顶点坐标(1)y=12(x+2)2−2(2)y=12(x−1)2+221.在方格纸中画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°后的△A′BC′．22.如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF，求证：(1)△OEF是等腰三角形．(2)AC⏜=BD⏜．23.某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，每个支干长出的小分支是多少？24.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE。
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
2020-2021学年江西省南昌市东湖区育华学校九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江西省南昌市东湖区育华学校九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列函数是y关于x的反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣2．下列事件中，是必然事件的是（）A．打开电视刚好在播放广告B．抛出的铁球会落地C．早上的太阳从西边升起D．雨后有彩虹3．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3，下列说法正确的是（）A．开口方向向上B．顶点坐标为（1，﹣2）C．与x轴有两个交点D．对称轴是直线x＝﹣14．如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为（）A．B．C．D．5．关于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（）A．图象关于原点对称B．y随x的增大而减小C．图象位于第二、四象限D．若点M（a，b）在其图象上，则ab＝﹣36．如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（）A．36πB．60πC．96πD．100π7．已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝﹣2（x+1）2C．y＝2（x﹣1）2D．y＝﹣2（x﹣1）2 8．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线二、填空题（共6小题）.9．现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是．10．已知点A、B关于原点对称，若点A的坐标为（1，2），则点B坐标是．11．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝度．12．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转60°，得到线段CD．若∠BOC＝105°，则∠AOD ＝．13．关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0有一根是x＝﹣1，则另外一根是．14．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得∠APB ＝60°，则AP的长为．三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．（6分）解下列一元二次方程．（1）2x2+3＝7x；（2）（x+4）2＝5（x+4）．16．（6分）某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的压强P/（kPa）是气球体积V/（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当气球内气体的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球体积应该不小于多少立方米？17．（6分）复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B 通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，周五有甲、乙两位同学进校园．（1）求甲同学进校园时，从人工测温通道通过的概率；（2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．18．（6分）仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．（1）如图①，画出⊙O的一个内接矩形；（2）如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值．20．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．21．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝25°，求∠FGC的度数．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC＝60°，延长BA至点P使AP＝AC，作CD平分∠ACB交AB于点E，交⊙O于点D．连结PC，BD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）求证：BD＝PA；（3）若PC＝6，求AE的长．23．（9分）如图，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B．（1）求b和k的值；（2）请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x的不等式x+b＞的解集；（3）若点P在y轴上一点，当PA+PB最小时，求点P的坐标．六、探究题（本大题共1小题，共12分）24．（12分）已知抛物线y n＝﹣（x﹣a n）2+b n，（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）的顶点坐标为B n，与x轴的交点为A（0，0）和A n（∁n，0），∁n＝C n﹣1+2，当n＝1时，第1条抛物线y1＝﹣（x﹣a1）2+b1与x轴的交点为A（0，0）和A1（2，0），其他依此类推．（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式．（2）抛物线y3的顶点B3坐标为；依此类推，第n条抛物线y n的顶点坐标B n 为；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是；（3）探究：①是否存在抛物线y n，使得△AA n B n为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．②若直线x＝m（m＞0）与抛物线y，y2，…，y n，y n+1分别交于C1，C2，…，∁n，C n+1，则线段C n﹣1∁n与∁n C n+1的长有何数量关系？并说明理由．参考答案一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项）1．下列函数是y关于x的反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣【分析】直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案．解：A、y＝是y与x+1成反比例，故此选项不合题意；B、y＝，是y与x2成反比例，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意；C、y＝﹣，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；D、y＝﹣是正比例函数，故此选项不合题意．故选：C．2．下列事件中，是必然事件的是（）A．打开电视刚好在播放广告B．抛出的铁球会落地C．早上的太阳从西边升起D．雨后有彩虹【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．解：A、打开电视刚好在播放广告是随机事件；B、抛出的铁球会落地是必然事件；C、早上的太阳从西边升起是不可能事件；D、雨后有彩虹是随机事件；故选：B．3．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3，下列说法正确的是（）A．开口方向向上B．顶点坐标为（1，﹣2）C．与x轴有两个交点D．对称轴是直线x＝﹣1【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（1，﹣2），对称轴是直线x＝1，故选项A、D不符合题意，选项B符合题意；当y＝0时，△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣8＜0，则该抛物线与x轴没有交点，故选项C不符合题意；故选：B．4．如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为（）A．B．C．D．【分析】连接OB，根据菱形性质求出OB＝OC＝BC，求出△BOC是等边三角形，求出∠COB＝60°，根据弧长公式求出即可．解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OC＝BC＝AB＝OA＝4，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∴劣弧的长为＝π，故选：D．5．关于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（）A．图象关于原点对称B．y随x的增大而减小C．图象位于第二、四象限D．若点M（a，b）在其图象上，则ab＝﹣3【分析】反比例函数y＝（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y 随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质并结合其对称性对各选项进行判断．解：∵反比例函数y＝﹣中﹣3＜0，∴图象在二、四象限内y随着x的增大而增大，图象关于原点对称，∴A、C正确，不符合题意；B错误，符合题意；∵若点M（a，b）在其图象上，∴﹣＝b，∴ab＝﹣3，∴D选项正确，不符合题意，故选：B．6．如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（）A．36πB．60πC．96πD．100π【分析】首先求得底面周长，即展开得到的扇形的弧长，然后利用扇形面积公式即可求解．解：底面周长是：2×6π＝12π，则圆锥的侧面积是：×12π×10＝60π．故选：B．7．已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝﹣2（x+1）2C．y＝2（x﹣1）2D．y＝﹣2（x﹣1）2【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，然后对各选项进行判断．解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝2（x﹣1）2满足条件．故选：C．8．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线【分析】A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB＝OE，根据等边三角形的性质得到∠BOE＝∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO＝OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH＝AO ≠OB，于是得到C选项错误；D、如图2根据等边三角形的性质和等量代换即可得到D 选项正确．解：A、如图，连接OE，则OB＝OE，∵∠B＝60°∴∠BOE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOE＝∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B＝60°，OB＝OE，∴BE＝OB，∵BE＝CE，∴BC＝AB＝2BO，∴AO＝OB，如图，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC＝60°，∴OH＝AO≠OB，∴C选项错误；D、如图，∵BE＝EC，∴CE＝BE，∵AB＝BC，BO＝BE，∴AO＝CE＝OB，∴OH＝AO＝OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9．现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是．【分析】找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7；能组成三角形的结果有2个（2、6、7，4、6、7，），则能构成三角形的概率为＝．故答案为：．10．已知点A、B关于原点对称，若点A的坐标为（1，2），则点B坐标是（﹣1，﹣2）．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．解：∵点A、B关于原点对称，若点A的坐标为（1，2），∴点B坐标是（﹣1，﹣2）．故答案是：（﹣1，﹣2）．11．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝36度．【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；解：如图，连接OC，OD．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CFD＝∠COD＝36°，故答案为：36．12．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转60°，得到线段CD．若∠BOC＝105°，则∠AOD ＝15°．【分析】利用旋转不变性解决问题即可．解：∵∠BOD＝∠AOC＝60°，∴∠AOD＝∠BOD+∠AOC﹣∠BOC＝120°﹣105°＝15°，故答案为15°．13．关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0有一根是x＝﹣1，则另外一根是5．【分析】根据根与系数的关系作答．解：设方程的另一根为x2，则﹣1•x2＝﹣5．故x2＝5．故答案是：5．14．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得∠APB ＝60°，则AP的长为4或4或8．【分析】取CD中点P，连接AP，BP，由勾股定理可求AP＝BP＝4，即可证△APB 是等边三角形，可得∠APB＝60°，过点A，点P，点B作圆与AD交于点P′，与BC 交于点P″，即这样的P点一共3个，分别求出AP的长即可．解：如图，取CD中点P，连接AP，BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°，∵点P是CD中点，∴CP＝DP＝2，∴AP＝＝＝4，BP＝＝＝4，∴AP＝PB＝AB，∴△APB是等边三角形，∴∠APB＝60°，过点A，点P，点B作圆与AD交于点P′，与BC交于点P″，连接BP′，AP″，此时∠AP′B＝∠APB＝60°，∠AP″B＝60°，∴AP′＝＝4，AP″＝＝8，故答案为：4或4或8．三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．（6分）解下列一元二次方程．（1）2x2+3＝7x；（2）（x+4）2＝5（x+4）．【分析】（1）整理为一般式，再利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）整理，得：2x2﹣7x+3＝0，∴（x﹣3）（2x﹣1）＝0，则x﹣3＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝0.5；（2）∵（x+4）2﹣5（x+4）＝0，∴（x+4）（x﹣1）＝0，则x+4＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1．16．（6分）某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的压强P/（kPa）是气球体积V/（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当气球内气体的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球体积应该不小于多少立方米？【分析】（1）设函数解析式为P＝，把点（1.6，60）的坐标代入函数解析式求出k值，即可求出函数关系式；（2）依题意P≤120，即≤120，解不等式即可．解：（1）设P与V的函数关系式为P＝，则＝60，解得k＝96，∴函数关系式为P＝；（2）当P＞120KPa时，气球将爆炸，∴P≤120，即≤120，解得V≥0.8（m3）．故为了安全起见，气体的体积应不小于0.8（m3）．17．（6分）复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B 通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，周五有甲、乙两位同学进校园．（1）求甲同学进校园时，从人工测温通道通过的概率；（2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：（1）∵共有三个通道，分别是红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C 通道），∴从人工测温通道通过的概率是；（2）根据题意画树状图如下：共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的有4种情况，则甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率是．18．（6分）仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．（1）如图①，画出⊙O的一个内接矩形；（2）如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．【分析】（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形；（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形．解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求；（2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O 于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；（2）将k＝1代入方程，由韦达定理得出x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，代入到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2可得．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0，解得：k＞﹣；（2）当k＝1时，方程为x2+3x+1＝0，∵x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝9﹣2＝7．20．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AEO＝∠ADB ＝90°，即OC⊥AD，于是得到结论；（2）连接CD，OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠ABC＝30°，即可求得∠AOC ＝∠OCB+∠ABC＝60°，根据垂径定理得出＝，从而得出∠COD＝∠AOC＝60°，求得∠AOD＝120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE＝ED，（2）解：连接CD，OD，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，∵OC⊥AD，∴＝，∴∠COD＝∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，∵OA＝OB，AE＝ED，∴OE＝＝，∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．21．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝25°，求∠FGC的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣60°×2＝60°，那么∠FAG＝60°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝25°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝85°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝60°，∴∠BAE＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠FAG＝∠BAE＝60°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝25°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝60°+25°＝85°．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC＝60°，延长BA至点P使AP ＝AC，作CD平分∠ACB交AB于点E，交⊙O于点D．连结PC，BD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）求证：BD＝PA；（3）若PC＝6，求AE的长．【分析】（1）连接OC，根据三角形的内角和和切线的判定定理即可得到结论；（2）连结AD．根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝45°．求得AD＝BD．推出△ACO为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；（3）根据勾股定理即可得到结论．解：（1）连接OC，∵∠BAC＝60°，且OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝60°．∵AP＝AC，且∠P+∠PCA＝∠BAC＝60°，∴∠P＝∠PCA＝30°．∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝90°．∴PC为切线；（2）连结AD．∵CD平分∠ACB，且∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCD＝45°．∴AD＝BD．∵在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2．∴AD＝BD＝AB，又∵OA＝OC，∠CAO＝60°，∴△ACO为等边三角形，∴AC＝CO＝AO．∴PA＝AC＝AO＝AB．∴BD＝PA；（3）∵∠PCE＝∠PCA+∠ACD＝75°，∠P＝30°，∴∠PEC＝75°，∴PC＝PE＝6．又在Rt△PCO中，OP＝OA+PA＝2OC，PO2＝PC2+CO2，∴CO＝6，PO＝12．∴OE＝OP﹣PE＝12﹣6，∴AE＝OA﹣OE＝OC﹣OE＝6﹣（12﹣6）＝6﹣6．23．（9分）如图，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B．（1）求b和k的值；（2）请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x的不等式x+b＞的解集；（3）若点P在y轴上一点，当PA+PB最小时，求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．（3）作点A关于y轴对称点A′，设出直线A′B的解析式为y＝mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论．解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入两个解析式得：2＝×（﹣1）+b，2＝﹣k，解得：b＝，k＝﹣2；（2）联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：或，∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．观察函数图象可知：关于x的不等式x+b＞的解集x为﹣4＜x＜﹣1或x＞0．（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，此时点P即是所求，如图所示．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（1，2），设直线A′B的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线A′B的解析式为y＝x+．令x＝0，则y＝，∴点P的坐标为（0，）．六、探究题（本大题共1小题，共12分）24．（12分）已知抛物线y n＝﹣（x﹣a n）2+b n，（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）的顶点坐标为B n，与x轴的交点为A（0，0）和A n（∁n，0），∁n＝C n﹣1+2，当n＝1时，第1条抛物线y1＝﹣（x﹣a1）2+b1与x轴的交点为A（0，0）和A1（2，0），其他依此类推．（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式．（2）抛物线y3的顶点B3坐标为（3，9）；依此类推，第n条抛物线y n的顶点坐标B n为[（n+1，（n+1）2]；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x2；（3）探究：①是否存在抛物线y n，使得△AA n B n为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．②若直线x＝m（m＞0）与抛物线y，y2，…，y n，y n+1分别交于C1，C2，…，∁n，C n+1，则线段C n﹣1∁n与∁n C n+1的长有何数量关系？并说明理由．【分析】（1）将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，解得，进而求解；（2）同理可得：a3＝3，b3＝9，故点B的坐标为（3，9），依此推出：点B[（n+1，（n+1）2]，进而求解；（3）①点A（0，0），点A n（2n，0）、点B n（n，n2），则△AA n B n为等腰直角三角形，则AA n2＝2AB n2，即（2n）2＝2（n2+n4），即可求解；②y Cn﹣1＝﹣（m﹣n+1）2+（n﹣1）2，y Cn＝﹣（m﹣n）2+n2，则C n﹣1∁n＝y Cn﹣y Cn﹣1＝﹣（m﹣n）2+n2+（m﹣n+1）2﹣（n﹣1）2＝2m，进而求解．解：（1）A1（2，0），则C1＝2，则C2＝2+2＝4，将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，解得，则点A2（4，0），将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2＝2，b2＝4；故y2＝﹣（x﹣a2）2+b2＝﹣（x﹣2）2+4；（2）同理可得：a3＝3，b3＝9，故点B的坐标为（3，9），依此推出：点B[（n+1，（n+1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y＝x2，故答案为：（3，9）；[（n+1，（n+1）2]；y＝x2；（3）①存在，理由：∵点A（0，0），点A n（2n，0）、点B n（n，n2），∴△AA n B n为等腰直角三角形，则AA n2＝2AB n2，即（2n）2＝2（n2+n4），解得：n＝1（不合题意的值已舍去），抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+1；②∵y Cn﹣1＝﹣（m﹣n+1）2+（n﹣1）2，y Cn＝﹣（m﹣n）2+n2，∴C n﹣1∁n＝y Cn﹣y Cn﹣1＝﹣（m﹣n）2+n2+（m﹣n+1）2﹣（n﹣1）2＝2m，同理可得∁n C n+1＝2m，故C n﹣1∁n＝∁n C n+1．。
厦门市同安区六校2020届新人教版九年级上期中联考数学试题含答案(全套样卷)
2020-2021学年度第一学期期中联考数学科试卷满分:150 分；考试时间:12020 分钟联考学校:竹坝学校、莲美中学、凤南中学、梧侣学校、澳溪中学、厦门市第二外国语学校一、选择题(本大题10小题，每小题4分，共40分)1、下列关于x的方程中，是一元二次方程的有()A．2x+1=0 B．y2+x=1 C．x2﹣1=0 D．x2+=12、方程x2﹣2x=0的根是( )A．x1=x2=0 B．x1=x2=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣23、关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是()A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4、已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+2的值等于()A．4 B．1 C．0 D．﹣15、一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(x-3)(x-4)=0的根，则这个三角形的周长( )A．13 B．11或13 C．11 D．11和136、用配方法解下列方程时，配方有错误的是()A．2m2+m﹣1=0化为B．x2﹣6x+4=0化为(x﹣3)2=5C．2t2﹣3t﹣2=0化为D．3y2﹣4y+1=0化为7、抛物线y=(x+2)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是()A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位8．如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC 于点M，以下结论正确的是()A．BE=CE B．FM=MC C．AM⊥FC D．BF⊥CF9．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高() A．4元或6元B．4元C．6元D．8元10．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论:①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a+b+c＞0．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11.抛物线y=2(x+3)2+1的顶点坐标是___________12．已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=．13．如果函数y=(k﹣3)+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．14．已知抛物线y=x2﹣2(k+1)x+16的顶点在x轴上，则k的值是．15．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．16．如图，Rt△OAB的顶点A(﹣2，4)在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为．三、解答题(共86分)17．(7分)解方程:x2﹣6x﹣16=018．(7分)解方程:2x2+3=7x；19．(7分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．20207分)求抛物线y=-2x2+8x-8的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2020-2021学年人教版九年级中考数学练习试题1
2020-2021学年人教新版中考数学练习试题1一．选择题1．如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c．下列结论：①a+b+c＞0；②abc＞0；③a+b﹣c＜0；④．其中正确的是（）A．①②③B．②③C．①④D．②③④2．下列计算正确的是（）A．＝（y≠0）B．÷＝C．|﹣2|＝2﹣D．2﹣＝13．下列计算正确的是（）A．4a﹣2a＝2B．2（a+2b）＝2a+2bC．7ab﹣（﹣3ab）＝4ab D．﹣a2﹣a2＝﹣2a24．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（）A．∠α+∠β﹣∠γ＝90°B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°C．∠γ+∠β﹣∠α＝180°D．∠α+∠β+∠γ＝180°5．下列说法错误的是（）A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞bC．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+26．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°7．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边DC上一点，且DE：EC＝3：1，连接AE并延长，与BC的延长线交于点G，AE与BD交于点F，则△GEC的面积与△DEF的面积之比为（）A．1：3B．3：7C．4：21D．7：278．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C 以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2B．4C．2D．4二．填空题9．的平方根是．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，分别以点A和点C为圆心，大于AC 长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC与点D、E．若AE＝4cm，△ABD的周长为cm．11．如图，在平面直角坐标系中，点A从点M（0，5）出发向原点O匀速运动，与此同时点B从点N（3，0）出发，在x轴正半轴上以相同的速度向右运动，当点A到达终点O 时，两点同时停止运动．连接AB，以线段AB为一边在第一象限内作正方形ABCD，则正方形ABCD面积的最小值为．12．若x+y＝4，x2+y2＝6，则xy＝．13．科学防疫从勤洗手开始，一双没洗干净的手上带有各种细菌病毒大约850000000个，这个数据用科学记数法表示为．14．若关于x的分式方程，有负数解，则实数a的取值范围是．15．如图，直线y＝kx﹣b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx﹣b 的解集为．16．在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为．17．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC ＝．18．平面直角坐标系xOy中，已知点A（8，0）及第一象限的动点P（x，y），且x+y＝10．设△OPA的面积为S，周长为l．给出下列结论：①0≤y≤10；②≤PA＜2；③S＝﹣4x+40；④l的最小值为8+2其中所有正确结论的代号是．三．解答题19．先化简，再求值：÷（1﹣），其中a是方程x2+x﹣2＝0的解．20．（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；（2）解不等式组：．21．在一个不透明的箱子内装入标记数字分别为﹣1，2，3，﹣6的四个小球，小球除标记数字不同外其他都相同．随机取出一个小球，记下标记的数字为m，不放回；再从箱内剩下的球中再随机取出一个小球，记下标记的数字为n．请用画树状图或列表的方法，求“点（m，n）在第二象限”的概率．22．随着生活水平的日益提高，人们越来越喜欢过节，节日的仪式感日渐浓烈，某校举行了“母亲节暖心特别行动”，从中随机调查了部分同学的暖心行动，并将其分为A，B，C，D四种类型（分别对应送服务、送鲜花、送红包、送话语）．现根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）该校共抽查了多少名同学的暖心行动？（2）求出扇形统计图中扇形B的圆心角度数？（3）若该校共有2400名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？23．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．（1）求证：EF＝BF；（2）在上述条件下，若AC＝BD，G是BD上一点，且BG：GD＝3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．24．某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元/台），m 与x的关系如图所示．（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为，x的取值范围为；（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？（3）求当天销售利润低于10800元的天数．25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k ≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求△OAM的面积S．（3）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小并求出此时点P的坐标．26．如图，在矩形ABCD中，＝，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．（1）GF与AE之间的位置关系是：，的值是：，请证明你的结论；（2）连接CP，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．27．定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形．（1）已知∠A＝120°，∠B＝50°，∠C＝α，请直接写出一个α的值，使四边形ABCD为幸福四边形；（2）如图1，△ABC中，D、E分别是边AB，AC上的点，AE＝DE．求证：四边形DBCE 为幸福四边形；（3）在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作⊙O，与边AB交于另一点F，与边BC交于点G，且BF＝FC．①求证：E G是⊙O的直径；②连接FG，若AE＝1，BG＝7，∠BGF﹣∠B＝45°，求EG的长和幸福四边形DBCE的周长．28．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题1．解：由数轴可得：a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，∴a+b+c＜0，故①错误；∵a，b，c中两负一正，∴abc＞0，故②正确；∵a＜0，b＜0，c＞0，∴a+b﹣c＜0，故③正确；∵a＜﹣2＜b＜﹣1，∴0＜＜1，故④正确．综上，可知，正确的有3个．故选：D．2．解：A、原式不能化简，不符合题意；B、原式＝•＝x，不符合题意；C、原式＝2﹣，符合题意；D、原式＝，不符合题意．故选：C．3．解：A、应为4a﹣2a＝2a，故选项错误；B、应为2（a+2b）＝2a+4b，故选项错误；C、应为7ab﹣（﹣3ab）＝10ab，故选项错误；D、﹣a2﹣a2＝﹣2a2，故选项正确．故选：D．4．解：∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故选：B ．5．解：A 、若a +3＞b +3，则a ＞b ，原变形正确，故此选项不符合题意； B 、若＞，则a ＞b ，原变形正确，故此选项不符合题意；C 、若a ＞b ，则ac ＞bc ，这里必须满足c ≠0，原变形错误，故此选项符合题意；D 、若a ＞b ，则a +3＞b +2，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：C ．6．解：∵∠ECD 是△BCE 的一个外角， ∴∠ECD ＝∠B +∠E ＝35°+25°＝60°， ∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACD ＝2∠ECD ＝120°， 故选：C ．7．解：∵平行四边形ABCD ， ∴CD ＝AB ，CD ∥AB ，AD ∥BC ，∴△GEC ∽△GAB ，△GEC ∽AED ，△DEF ∽△ABF ， ∵DE ：EC ＝3：1，∴EC ：CD ＝1：4，DE ：AB ＝3：4， ∴＝＝，＝＝，＝＝；设S △ECG ＝a ，则S △ABG ＝16a ，S △ADE ＝9a ，∴四边形ABCE 的面积为16a ﹣a ＝15a ，平行四边形ABCD 的面积为9a +15a ＝24a ， ∴S △ABD ＝12a ，因此S △ABF ﹣S △DEF ＝3a ， 设S △DEF ＝x ，则S △ABF ＝3a +x ， 于是＝， 解得，x ＝a ，∴△GEC 的面积与△DEF 的面积之比为a ： a ＝，故选：D ．8．解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为，点Q的速度为，故点P、Q的速度比为3：，故设点P、Q的速度分别为：3v、v，由图2知，当x＝2时，y＝6，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×v＝2v，y＝AB×BQ＝6v×2v＝6，解得：v＝1，故点P、Q的速度分别为：3，，AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝6，如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝x＝4，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣4＝2，故点P作PH⊥BC于点H，PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝3﹣2＝，PQ＝＝＝2，故选：C．二．填空题9．解：＝10，10的平方根是．故答案为：±．10．解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴∠C＝90°﹣60°＝30°，由作图可知，DE垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠C＝∠DAC＝30°，∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，∴∠B＝∠BAD＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵AD＝＝（cm），∴△ABD的周长＝8（cm）．故答案为8．11．解：由题意可得，NB＝MA，则AO+OB＝8，设AO＝x，则OB＝8﹣x，＝AB2＝AO2+OB2＝x2+（8﹣x）2＝2（x﹣4）2+32，∵S正方形ABCD∴当x＝4时，正方形ABCD的面积取得最小值32，故答案为：32．12．解：将x+y＝4两边平方得：（x+y）2＝x2+y2+2xy＝16，把x2+y2＝6代入得：6+2xy＝16，解得：xy＝5，故答案为：513．解：850 000 000＝8.5×108．故答案是：8.5×108．14．解：，分式方程去分母得：1﹣x﹣3＝a，移项合并得：﹣x＝a+2，解得：x＝﹣a﹣2，∵分式方程的解为负数，∴﹣a﹣2＜0且﹣a﹣2+3≠0，解得：a＞﹣2且a≠1．故答案为：a＞﹣2且a≠1．15．解：不等式4x+2＜kx﹣b表示的是直线y＝4x+2的图象位于直线y＝kx﹣b的图象的下方，则由点A（﹣1，﹣2）的坐标得：x＜﹣1．故答案为：x＜﹣1．16．解：作△AB C的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM＝AB＝＝3，∴OA＝＝3，∴CM＝OC+OM＝3+3，∴S＝AB•CM＝×6×（3+3）＝9+9．△ABC故答案为：9+9．17．解：AB＝BC＝＝，AC＝＝，则AB2+BC2＝5+5＝10＝AC2，则△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝45°，则cos∠BAC＝．故答案为：．18．解：如图所示，∵A（8，0），P（x，y），△OPA的面积为S，∴S＝OA•y＝×8y＝4y．∵x+y＝10，∴y＝10﹣x，∴S＝4（10﹣x）＝40﹣4x；∵0≠y和y≠10，若y＝0，则O、P、A三点在一条直线上；若y＝10，则x＝0，P点落在y轴上，与题干不合∴①0≤y≤10，错误；②≤PA＜2，正确；③S＝﹣4x+40，正确；④l的最小值为8+2，正确；故答案为：②③④．三．解答题19．解：原式＝•＝，∵a是方程x2+x﹣2＝0的解，∴a＝1（没有意义舍去）或a＝﹣2，则原式＝﹣．20．解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1；（2）解不等式2x＞1﹣x，得：x＞，解不等式2（2x+1）＜x+4，得：x＜，则不等式组的解集为＜x＜．21．解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种等可能出现的结果，其中点（m，n）在第二象限的有4种，所以点（m，n）在第二象限的概率为＝．22．解：（1）20÷25%＝80（人），答：该校共抽查了80名同学的暖心行动．（2）360°×＝144°，答：扇形统计图中扇形B的圆心角度数为144°．（3）2400×＝960（人），答：该校2400名同学中进行送鲜花行动的约有960名．23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2BO，∵BD＝2AB，∴AB＝BO，∵E为OA中点，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∵F为BC中点，∴EF＝BF＝CF，即EF＝BF；（2）四边形EBFG是菱形，证明：连接CG，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2BO＝2OD，∴BD＝2AB＝2CD，∴OC＝CD，∵BG：GD＝3：1，OB＝OD，∴G为OD中点，∴CG⊥OD（三线合一定理），即∠CGB＝90°，∵F为BC中点，∴GF＝BC＝AD，∵E为OA中点，G为OD中点，∴EG∥AD，EG＝AD，∴EG∥BC，EG＝BC，∵F为BC中点，∴BF＝BC，EG＝GF，即EG∥BF，EG＝BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∵EG＝GF，∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．24．解：（1）根据题意，得y与x的解析式为：y＝22+2（x﹣1）＝2x+20（1≤x≤12），故答案为：y＝2x+20，1≤x≤12；（2）设当天的销售利润为w元，则当1≤x≤6时，w＝（1200﹣800）（2x+20）＝800x+8000，∴w随x的增大而增大，＝800×6+8000＝12800．∴当x＝6时，w最大值当6＜x≤12时，设m＝kx+b，将（6，800）和（10，1000）代入得：，解得：，∴m与x的关系式为：m＝50x+500，∴w＝[1200﹣（50x+500）]×（2x+20）＝﹣100x2+400x+14000＝﹣100（x﹣2）2+14400．∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数，∴当x＝7时，w有最大值，为11900元，∵12800＞11900，＝12800元，∴当x＝6时，w最大，且w最大值答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元．（3）由（2）可得，1≤x≤6时，800x+8000＜10800，解得：x＜3.5则第1﹣3天当天利润低于10800元，当6＜x≤12时，﹣100（x﹣2）2+14400＜10800，解得x＜﹣4（舍去），或x＞8，∴第9﹣12天当天利润低于10800元，故当天销售利润低于10800元的天数有7天．25．解：（1）将B（4，1）代入y＝得：．∴k＝4．∴y＝．将B（4，1）代入y＝mx+5得：1＝4m+5，∴y＝﹣x+5．（2）在y＝中，令x＝1，解得y＝4．∴A（1，4）．∴S＝×1×4＝2．（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（﹣1，4）．连接BN交y轴于点P，点P即为所求．设直线BN的关系式为y＝kx+b，由，得，∴y＝﹣x+．∴点P的坐标为（0，）．26．解：（1）GF⊥AE，．理由如下：由折叠性质可知，∠AOF＝∠EOF，∵∠AOF+∠EOF＝180°，∴∠AOF＝∠EOF＝90°，∴AE⊥GF；过G作GM⊥AB于M，如图，得矩形ADGM，则AD＝GM，∠MFG+∠MGF＝90°，∵∠MFG+∠FAO＝90°，∴∠BAE＝∠MGF，∵∠B＝∠FMG＝90°，∴△ABE∽△GMF，∴＝2，∴，故答案为：AE⊥GF；；（2）延长BC与GP，两延长线交于点L，过P作PK⊥CL于点K，如图，由折叠知，∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，∴∠PEL+∠L＝90°，∵∠BCD＝∠DCL＝90°，∴∠CGP+∠L＝90°，∴∠PEL＝∠CGL，∵∠BEF+∠BFE＝∠BEF+∠PEL＝90°，∴∠BFE＝∠PEL＝∠CGL，∵tan∠CGP＝，∴tan∠bBFE＝，不妨设BE＝3x，则BF＝4x，∴AF＝EF＝，∴AB＝9x，∵AE＝2FG，GF＝2，∴AG＝4，在Rt△ABE中，由勾股定理得81x2+9x2＝160，解得x＝，∴AB＝9×＝12，BE＝4，∴EP＝AD＝＝6，CE＝BC﹣BE＝6﹣4＝2，∵tan∠PEK＝，不妨设PK＝3y，EK＝4y，在Rt△PEK中，由勾股定理得16y2+9y2＝62，解得，y＝，∴PK＝，EK＝，∴CK＝EK﹣EC＝，∴CP＝．27．（1）解：∵∠A＝120°，∠B＝50°，∠C＝α，∴∠D＝360°﹣120°﹣50°﹣α＝190°﹣α，若∠A＝∠B﹣∠D，则120°＝50°﹣（190°﹣α），解得：α＝260°（舍），若∠A＝∠D﹣∠B，则120°＝（190°﹣α）﹣50°，解得：a＝20°，若∠B＝∠A﹣∠C，则50°＝120°﹣α，解得：α＝70°，若∠B＝∠C﹣∠A，则50°＝α﹣120°，解得：α＝170°，若∠C＝∠B﹣∠D，则α＝50°﹣（190°﹣α），无解，若∠C＝∠D﹣∠B，则α＝（190°﹣α）﹣50°，解得：α＝70°，若∠D＝∠A﹣∠C，则190°﹣α＝120°﹣α，无解，若∠D＝∠C﹣∠A，则190°﹣α＝α﹣120°，解得：α＝155°，综上，α的值是20°或70°或170°或155°（写一个即可），故答案为：20°或70°或170°或155°（写一个即可）；（2）证明：如图1，设∠A＝x，∠C＝y，则∠B＝180°﹣x﹣y，∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠A＝x，∴∠BDE＝180°﹣x，在四边形DBCE中，∠B＝180°﹣x﹣y＝∠BDE﹣∠C，∴四边形DBCE为幸福四边形；（3）①证明：如图2，∵D、F、G、E四点都在⊙O上，∴∠ADE＝∠FGE，∵∠ADE＝∠A，∴∠FGE＝∠A，∵∠FGE＝∠ACF，∴∠A＝∠ACF，∵BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵∠A+∠B+∠BCA＝180°，∴∠ACF+∠BCF＝90°，即∠ACB＝90°，∴EG是⊙O的直径；②如图3，过E作EH⊥AB于H，连接DG，∵BF＝CF，∴∠B＝∠BCF＝∠BDG，∴BG＝DG＝7，∵EG是⊙O的直径，∴∠GDE＝90°，∵DE＝AE＝1，∴EG＝＝5，∵∠BGF﹣∠B＝45°，∠BGF﹣∠BCF＝∠CFG，∴∠CFG＝∠CEG＝45°，∴△ECG是等腰直角三角形，∴CE＝CG＝5，∴BC＝7+5＝12，AC＝5+1＝6，∴AB＝＝＝6，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△AHE∽△ACB，∴，即，∴AH＝，∵AE＝DE，EH⊥AD，∴AD＝2AH＝，∴幸福四边形DBCE的周长＝BD+ED+CE+BC＝6﹣+1+5+12＝18+．28．解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴C（0，﹣2），B（4，0），将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，，∴y＝x﹣2；（2）∵∴，＝，，若以C为顶点，则CE2＝CF2，∴，解得：m1＝2，m2＝4（舍去），若以E为顶点，则EC2＝EF2，∴＝，解得：m3＝4﹣，m4＝4+（舍去），综合以上得m＝2或m＝4﹣．（3）①∵AC＝，BC＝2，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），②如图，当△BPM∽△ABC时，过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°，∴∠BMR＝∠MPH，∴△PHM∽△MRB，∴又∵AB∥HR，∴∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，令BR＝a，MR＝2a，又∵∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，∴，∴PH＝4a，HM＝2a，∴PQ＝PH﹣QH＝3a，∴HR＝4a，∴P（4﹣4a，3a），又∵点P在抛物线上，将P（4﹣4a，3a）代入y＝x﹣2得：（4﹣4a）﹣2＝3a，∴a（8a﹣13）＝0，a1＝0（舍），a2＝．∴．∴符合条件的点P为P1（﹣1，0）或．。
2020-2021学年福建省厦门市思明区双十中学九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）函数y＝﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C．D．3．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m＞﹣1C．m＞1D．m＜﹣14．（4分）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小5．（4分）如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°6．（4分）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm ，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800B．（50+2x）（80+2 x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝28007．（4分）如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB 绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（）A．（，）B．（1，）C．（，）D．（，）8．（4分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②③9．（4分）已知二次函数的顶点坐标为（2，﹣1），图象与x交于P，Q两点，且PQ＝6，若图象经过（1，a），（3，b），（﹣1，c），（﹣3，d）四个点，则a，b，c，d中值一定为正数的是（）A．a B．b C．c D．d10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，则a＝．12．（4分）不等式组的解集是．13．（4分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AD⊥DE，BD＝5，DE＝3，则BE的长是．14．（4分）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的最大值是．15．（4分）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为．16．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过平行四边形ABCD的顶点A，B（1，m），D（7，1），它的对称轴经过AC，BD的交点，若AB＝5，则这条抛物线的解析式为．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（6分）解方程：2x2＝4x﹣118．（8分）化简并求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．19．（8分）如图，在⊙O中，若＝，且AD＝3，求CB的长度．20．（8分）如图，在边长为1的方格纸中建立直角坐标系，△OAB旋转得到△OA'B′，观察图形并回答问题：（1）请将作图过程补充完整；并说明△OAB是如何旋转得到△OA'B'．（2）填空：△OAA′的形状是．21．（8分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）求AB的长度和点D的坐标；（2）请你写出一种平移方法，使抛物线经过平移后与坐标轴只有两个交点．（不需证明）22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0．其中m、n是常数．（1）若m＝n+3，试判断该一元二次方程根的情况；（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点（m，n）关于原点的对称点在直线y＝x+2上，求m的值．23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，连接BM．（1）∠BCM＝，连接BN，则BN的长是．（2）求证：AC⊥BM；（3）连接AN，求AN的长．24．（14分）某企业生产一种新产品，每件成本50元．（1）由于新产品市场占有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y1（件）与月份x（月）满足一次函数关系；随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量y2（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．①分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；②已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+x（1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p＝x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．（2）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时，按整月计算）．为了出售去年积压的4000件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回拢资金并确保获利，企业决定降价销售，每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50件，且要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？25．（14分）如图1，抛物线的顶点为P（1，9），与x轴的交于点A和点B（4，0）．（1）M为x轴上方抛物线上一点，MB与抛物线的对称轴交于点C，若∠COB＝2∠CBO ，求点M的坐标；（2）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新的抛物线为：y＝ax2+bx+h，E，F是y ＝ax2+bx+h在第一象限内互不重合的两点，EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足分别为G，H，若存在这样的点E，F，满足△GEO≌△HOF，求h的取值范围．2020-2021学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；D．正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．2．（4分）函数y＝﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵二次项系数a＜0，∴开口方向向下，∵一次项系数b＝0，∴对称轴为y轴，∵常数项c＝1，∴图象与y轴交于（0，1），故选：B．【点评】考查二次函数的图象的性质：二次项系数a＜0，开口方向向下；一次项系数b ＝0，对称轴为y轴；常数项是抛物线与y轴的交点的纵坐标．3．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m＞﹣1C．m＞1D．m＜﹣1【分析】方程没有实数根，则Δ＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：由题意知，Δ＝4﹣4m＜0，∴m＞1故选：C．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．4．（4分）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴A、C正确，D不正确；令y＝0可得（x﹣1）2＝0，该方程有两个相等的实数根，∴抛物线与x轴有一个交点，∴B正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．5．（4分）如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵点C是弧AB的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．6．（4分）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800B．（50+2x）（80+2 x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800【分析】根据矩形的面积＝长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（整个挂图的长﹣2个边框的宽度）×（整个挂图的宽+2个边框的宽度）＝风景画的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可．【解答】解：依题意，设边框的宽为xcm，（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7．（4分）如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB 绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（）A．（，）B．（1，）C．（，）D．（，）【分析】如图，作BH⊥OA于H．证明BB′∥OA，求出BH即可解决问题．【解答】解：如图，作BH⊥OA于H．∵A（1，0），△AOB，△ABB′都是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝BB′＝1，∠OAB＝∠ABB′＝60°，∴BB′∥OA，∵BH⊥OA，∴OH＝AH＝，BH＝OH＝，∴B′（，），故选：C．【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（4分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②③【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型．9．（4分）已知二次函数的顶点坐标为（2，﹣1），图象与x交于P，Q两点，且PQ＝6，若图象经过（1，a），（3，b），（﹣1，c），（﹣3，d）四个点，则a，b，c，d中值一定为正数的是（）A．a B．b C．c D．d【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x轴的交点坐标，从而可以判断a、b、c、d的正负，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），此函数图象与x轴相交于P、Q 两点，且PQ＝6，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），∵此函数图象通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，∴a＜0，b＜0，c＝0，d＞0，故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b＝a+1或b＝﹣（a+1），当b＝a+1时，﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a＝0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，∴，∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，则a＝1．【分析】根据方程的根的定义把x＝﹣1代入方程，计算即可．【解答】解：∵x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，∴（﹣1）2﹣a＝0，解得，a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的一般步骤、方程的根的定义是解题的关键．12．（4分）不等式组的解集是x＜﹣1．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＜2，由②得：x＜﹣1，则不等式组的解集为x＜﹣1．故答案为：x＜﹣1．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．13．（4分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AD⊥DE，BD＝5，DE＝3，则BE的长是2．【分析】根据中心对称的性质得到：AB＝DE＝3，∠DAB＝∠ADE＝90°，在直角△ABD中利用勾股定理求得AD＝4，则CD＝AC＝2；然后在直角△DCE最后再次利用勾股定理求得CE的长度，则BE＝2CE．【解答】解：根据中心对称的性质得到：AB＝DE＝3，∠DAB＝∠ADE＝90°，DC＝AC ，EC＝BC．在直角△ABD中，BD＝5，AB＝3，根据勾股定理，得AD＝＝＝4，则CD＝AC＝2．在直角△DCE中，CE＝＝＝．所以BE＝2CE＝2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了勾股定理，中心对称．中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．14．（4分）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的最大值是﹣3．【分析】直接利用二次函数的性质求解．【解答】解：y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y＝a（x﹣k）2+h，当a＞0时，x＝k时，y有最小值h，当a＜0时，x＝k时，y有最大值h．15．（4分）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（4，2）．【分析】画出平面直角坐标系，作出线段AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）．故答案为（4，2）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．16．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过平行四边形ABCD的顶点A，B（1，m），D（7，1），它的对称轴经过AC，BD的交点，若AB＝5，则这条抛物线的解析式为或y＝﹣+﹣．【分析】设抛物线解析式后利用平行四边形的性质以及抛物线的对称轴可得出A（4，a+b+c﹣4），在利用D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）和对称轴为直线x＝4可列出方程，得到牌抛物线解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC，BD互相平分且O'为AC，BD的中点，又因为B（1，m），D（7，1），所以，所以抛物线对称轴为直线x＝4，过点A作AE⊥直线x＝1于点E，因为AE＝3，AB＝5，由勾股定理可得“，又因为B（1，m），所以A（4，m﹣4）或（4，m+4），因为B在抛物线上，所以B（1，a+b+c），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4），根据抛物线经过点D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4）且对称轴为直线x ＝4可列方程为：或，解得：或．故抛物线的解析式为：或y＝﹣+﹣．【点评】本题重点利用平行四边形的性质和二次函数的性质的一道综合应用题，能够准确画出图象是解题的关键．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（6分）解方程：2x2＝4x﹣1【分析】根据公式法即可求出答案．【解答】解：原方程化为：2x2﹣4x+1＝0，∴a＝2，b＝﹣4，c＝1，∴△＝16﹣8＝8，∴x＝＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18．（8分）化简并求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（8分）如图，在⊙O中，若＝，且AD＝3，求CB的长度．【分析】根据＝，得到＝，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到CB＝AD．【解答】解：∵＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴CB＝AD＝3．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．20．（8分）如图，在边长为1的方格纸中建立直角坐标系，△OAB旋转得到△OA'B′，观察图形并回答问题：（1）请将作图过程补充完整；并说明△OAB是如何旋转得到△OA'B'．（2）填空：△OAA′的形状是等腰直角三角形．【分析】（1）首先判断出旋转角是90°，作出点B的对应点B′即可．（2）利用勾股定理的逆定理证明∠AOA′＝90°即可．【解答】解：（1）如图，△OA'B'即为所求．观察图象可知，△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'．（2）△AOA′是等腰直角三角形．理由：∵OA＝OA′＝5，AA′＝5，∴AO2+OA′2＝AA′2，∴∠AOA′＝90°，∴△AOA′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（8分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）求AB的长度和点D的坐标；（2）请你写出一种平移方法，使抛物线经过平移后与坐标轴只有两个交点．（不需证明）【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为两点式和顶点式，分别求得点A、B、D的坐标；（2）若要与坐标轴只有两个交点，只需抛物线与x轴相切即可，最简单的办法直接往上平移4个单位．【解答】解：（1）由y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）得到：A（﹣3，0），B（1，0），则AB＝|﹣3﹣1|＝4．由y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4得到：D（﹣1，﹣4）．（2）若要抛物线与坐标轴只有两个交点，抛物线与x轴相切即可．将抛物线向上平移4个单位即可，此时抛物线的解析式为y＝（x+1）2．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变为顶点式；（2）若与对称轴只有两个交点，只能相交．22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0．其中m、n是常数．（1）若m＝n+3，试判断该一元二次方程根的情况；（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点（m，n）关于原点的对称点在直线y＝x+2上，求m的值．【分析】（1）进行判别式的值得到Δ＝m2﹣4×2n，把m＝n+3代入后变形得到Δ＝（n ﹣1）2+8，则利用非负数的性质可判断Δ＞0，从而根据判别式的意义得到方程根的情况；（2）利用判别式的意义得到m2﹣8n＝0，再利用关于原点对称的点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征得到﹣n＝﹣m+2，即n＝m﹣2，消去n得到m2﹣8（m﹣2）＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）∵m＝n+3，∴Δ＝m2﹣4×2n＝（n+3）2﹣8n＝n2﹣2n+9＝（n﹣1）2+8，而（n﹣1）2≥0，∴（n﹣1）2+8＞0，即Δ＞0，∴该一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）根据题意得Δ＝m2﹣4×2n＝0，∵点（m，n）关于原点的对称点为（﹣m，﹣n），∴﹣n＝﹣m+2，即n＝m﹣2，把n＝m﹣2代入m2﹣8n＝0得m2﹣8（m﹣2）＝0，整理得m2﹣8m+16＝0，解得m1＝m2＝4，即m的值为4．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，连接BM．（1）∠BCM＝105°，连接BN，则BN的长是．（2）求证：AC⊥BM；（3）连接AN，求AN的长．【分析】（1）由旋转的性质可得BC＝CN，∠BCN＝60°＝∠ACM，AC＝CM，可得∠BCM＝∠BCA+∠ACM＝105°，△BCN是等边三角形，即可求解；（2）可证△ACM是等边三角形，可得AM＝CM，可证BM垂直平分AC，可得结论；（3）连接AN，并延长AN交CM于H，可证AH垂直平分CM，可求NH和AH的长，即可求解．【解答】解：（1）连接BN，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝2，∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，∴BC＝CN，∠BCN＝60°＝∠ACM，AC＝CM，∴∠BCM＝∠BCA+∠ACM＝105°，△BCN是等边三角形，∴BN＝BC＝，故答案为：105°，；（2）连接AM，∵AC＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AM＝CM，又∵BC＝BA，∴BM垂直平分AC，∴BM⊥AC；（3）连接AN，并延长AN交CM于H，如图，∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，∴CA＝CM＝2，CN＝MN＝CB＝AB＝，∠ACM＝60°，∠CNM＝∠CBA＝90°，∴△ACM为等边三角形，∴AC＝AM，而NC＝NM，∴AH垂直平分CM，∴CH＝NH＝CM＝1，AH＝CH＝，∴AN＝AH﹣NH＝﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形．24．（14分）某企业生产一种新产品，每件成本50元．（1）由于新产品市场占有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y1（件）与月份x（月）满足一次函数关系；随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量y2（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．①分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；②已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+x （1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p＝x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．（2）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时，按整月计算）．为了出售去年积压的4000件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回拢资金并确保获利，企业决定降价销售，每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50件，且要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？【分析】（1）设出一次函数与二次函数解析式，利用待定系数法求出即可；（2）利用获得的利润＝（每件产品的利润﹣额外支出的杂费）×月销售量，列出函数分段对比即可；（3）把两种方案分别计算比较结果即可．【解答】解：（1）设y1＝kx+b，把（1，600）（4，450）代入解析式得，，解得，∴y1＝﹣50x+650；把x＝6代入y1得y1＝﹣50×6+650＝350；设y2＝a（x﹣6）2+350，把（10，430）代入y2得430＝a（10﹣6）2+350，得a＝5，∴y2＝5（x﹣6）2+350．（2）设所获得的利润为W，当1≤x≤6时，W＝（60+x﹣50﹣x）（﹣50x+650）＝﹣100（x﹣4）2+8100；在4月份时，获得的最大利润为8100元；当7≤x≤12时，W＝[5（x﹣6）2+350]（60+6×﹣50﹣×6）＝110（x﹣6）2+7700，∵y随x增大而增大，∴当x＝12时，获得的利润最大，最大利润为110×（12﹣6）2+7700＝11660元；综上所知12月获得的利润最大，这个最大值为11660元．（3）设降价m元销售，所获得的利润为W，由题意得W＝（70﹣50﹣m）×4000﹣6000×＝﹣4000m+80000﹣6000×，∵要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，∴≤5，∴9≤m＜20，4000能被350+50m整除且符合题意，m可以取9、13，当m＝9，W＝14000；当m＝13，W＝4000；答：当降价9元时，利润最大为14000元．【点评】此题综合考查了二次函数的实际应用，以及利用函数解决方案选择的问题，注意分段函数的运用．25．（14分）如图1，抛物线的顶点为P（1，9），与x轴的交于点A和点B（4，0）．（1）M为x轴上方抛物线上一点，MB与抛物线的对称轴交于点C，若∠COB＝2∠CBO ，求点M的坐标；（2）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新的抛物线为：y＝ax2+bx+h，E，F是y ＝ax2+bx+h在第一象限内互不重合的两点，EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足分别为G，H，若存在这样的点E，F，满足△GEO≌△HOF，求h的取值范围．【分析】（1）由∠COB＝2∠CBO得到∠ACO＝∠CAO，则OC＝OA＝2，进而求解；（2）点E（m，n），则点F的坐标为（n，m），则，得到n＝3﹣m ，求出h＝m2﹣2m+n＝（m﹣）2+，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+9，将点B的坐标代入上式得：0＝a（4﹣1）2+9，解得a＝﹣1，故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8①，由函数的对称性知，点A（﹣2，0），设函数对称轴交x轴于点H，连接AC，根据函数的对称性知，AC＝BC，则∠CAB＝∠CBA，∵∠COB＝2∠CBO＝∠CAO+∠ACO，∴∠ACO＝∠CAO，则OC＝OA＝2，而OH＝1，则Rt△COH中，CH＝＝＝，故点C的坐标为（1，），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+②，联立①②并解得，故点M的坐标为（﹣2，2﹣）；（2）∵新抛物线是将原抛物线沿对称轴平移，则新抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+h，∵△GEO≌△HOF，则OH＝EG，FH＝OG，设点E（m，n），则点F的坐标为（n，m），将点E、F的坐标代入抛物线表达式得，①﹣②并整理得：（n﹣m）（m+n﹣3）＝0，由题意得：m≠n，故m+n＝3，即n＝3﹣m，∵m≠n，故m≠n≠，∵n＞0，m＞0，故n＝3﹣m＞0，故0＜m＜3且m≠，由①得：h＝m2﹣2m+n＝m2﹣2m+3﹣m＝（m﹣）2+，∵1＞0，故该抛物线开口向上，当m＝时，y取得最小值，最小值为，即h＞，当x＝3时，y取得最大值，最大值为3，故＜h＜3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的平移、三角形全等等，综合性强，难度较大．。
2021-2022学年九年级数学上学期期中测试模拟试卷1
数学九年级（上）2021-2022学年九年级数学上学期期中测试模拟试卷1考试时间：100分钟；试卷满分：100分题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（）A．a≤B．a＞0 C．a≠0 D．a＞3．（3分）四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A．1：3：2：4 B．7：5：10：8 C．13：1：5：17 D．1：2：3：4 4．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°5．（3分）不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根6．（3分）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小7．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣58．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5y12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（）A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞3 D．﹣1＜x＜3 9．（3分）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（）A．70°B．110°C．120°D．140°10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）11．（3分）方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是．12．（3分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是．13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+a2x+a﹣3＝0的一个根是1，则3a2+3a﹣4的的值为．。
人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案(含2套题)
密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和4 B ．3和﹣4 C ．3和﹣1 D ．3和1 2．二次函数y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 3．将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60°4．用配方法解方程x 2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x+3）2=﹣4 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=5 D ．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1=0 B ．x 2+3x+2=0 C ．2015x 2+11x ﹣20=0 D ．x 2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）7．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC=3：5，则AB 的长为（ ）A ． cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm8．已知抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c ，则下列说法中错误的是（ ）A ．a 确定抛物线的形状与开口方向B ．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变 C ．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D ．若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 、b 、c 的值全变 9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ）A ．64B ．16C ．24D ．32封线内不得10．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是_________．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为_________．13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离_________．14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC•AB，AD2=CD•AC，AE2=DE•AD，则AE的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E点，则DE长度的取值范围是_________．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程：x2+x﹣2=0．18．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（﹣4），求这个二次函数的解析式．19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根（1）求x1+x2，x1x2的值；（2）求2x12+6x2﹣2015的值．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题20．如图所示，△ABC 与点O 在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形； （2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转180°后的图形；（2）若⊙M 能盖住△ABC ，则⊙M 的半径最小值为_________．21．如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，垂足为E ，点D 在CA 的延长线上，若∠DAB+ ∠AOB=60°（1）求∠AOB 的度数； （2）若AE=1，求BC 的长．22．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是：S=60t ﹣1.5t 2（1）直接指出飞机着陆时的速度； （2）直接指出t 的取值范围；（3）画出函数S 的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停来？23．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点D 从B 点出发沿B →A 方向在线段BA 上以a cm/s 速度运动，与此同时，点E 从线段BC 的某个端点出发，以b cm/s 速度在线段BC 上运动，当D 到达A 点后，D 、E 运动停止，运动时间为t （秒）（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时：密封 线 内 不 得①求∠AFC 的度数； ②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE 为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．24．定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．（1）已知抛物线的焦点F （0，），准线l ：，求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式为：y=x 2﹣n 2，点A （0，）（n ≠0），B （1，2﹣n 2），P 为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P 点坐标；（3）若（2）中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．B ． 2．A ． 3． B ．4.C ．5.D ．6.D ．7.B ．8.D ． 9. D ．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10.C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣1的对称轴是 直线x=﹣ ． 12．已知x=（b 2﹣4c ＞0），则x 2+bx+c 的值为 0 ．13．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ．则AB 和CD 之间的距离 7cn 或17cm ．14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2=BC •AB ，AD 2=CD •AC ，AE 2=DE •AD ，则AE 的长为 ﹣2 ．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是 x ＞3或x ＜﹣1 ．16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是 （2﹣3）a ≤DE ≤a ． ．三、解答题（共8小题，共72分）17． 解：分解因式得：（x ﹣1）（x+2）=0， 可得x ﹣1=0或x+2=0，题解得：x 1=1，x 2=﹣2．18.解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a ﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣3）2﹣1．19.解：（1）∵∴x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣5，；（2）∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 12﹣3x 1﹣5=0， ∴x 12=3x 1+5，∴2x 12+6x 2﹣2015=2（3x 1+5）+6x 2﹣2015=6（x 1+x 2）﹣2015=﹣1987．20.解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作； （2）如图，△A ″B ″C ″为所求；（3）如图，点M 为△ABC 的外接圆的圆心，此时⊙M 是能盖住△ABC 的最小的圆，⊙M 的半径为=．故答案为．21.解：（1）连接OC ， ∵OA ⊥BC ，OC=OB ，∴∠AOC=∠AOB ，∠ACO=∠ABO ，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB ，∠ACO=∠OAB ， ∴∠DAB=∠AOC ，∴∠DAB=∠AOB ，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB ，设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，OE=r ﹣1， 由勾股定理得，r 2=（r ）2+（r ﹣1）2， 解得r=4，∵OB=OC ，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22.解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S 取得最大值时，飞机停下来，则S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600， 此时t=20因此t 的取值范围是0≤t ≤20； （3）如图，S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．23.解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC 和△CEA 中，，∴△BDC ≌△CEA ， ∴∠BCD=∠CAE ，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°， ∴∠AFC=120°；②延长FD 到G ，使得FG=FA ，连接GA 、GB ，过点B 作BH ⊥FG于H ，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA ，密 封 内∴△FAG 是等边三角形，∴AG=AF=FG ，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°， ∴∠GAF=∠BAC ， ∴∠GAB=∠FAC ． 在△AGB 和△AFC 中，，∴△AGB ≌△AFC ，∴GB=FC ，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°． 设AF=x ，FC=y ，则有FG=AF=x ，BG=CF=y ． 在Rt △BHG 中，BH=BG •sin ∠BGH=BG •sin60°=y ，GH=BG •cos ∠BGH=BG •cos60°=y ， ∴FH=FG ﹣GH=x ﹣y ． 在Rt △BHF 中，BF 2=BH 2+FH 2 =（y ）2+（x ﹣y ）2=x 2﹣xy+y 2．∴==1；（2）过点E 作EN ⊥AB 于N ，连接MC ，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t ，CE=2（t ﹣3）=2t ﹣∴BE=6﹣（2t ﹣6）=12﹣2t ，BN=BE •cosB=BE=6﹣t ， ∴DN=t ﹣（6﹣t ）=2t ﹣6， ∴DN=EC ．∵△DEM 是等边三角形， ∴DE=EM ，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°∴∠NDE=∠MEC ． 在△DNE 和△ECM 中，，∴△DNE ≌△ECM ， ∴∠DNE=∠ECM=90°，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴M 点运动的路径为过点C 垂直于BC 的一条线段．当t=3时，E 在点B ，D 在AB 的中点， 此时CM=EN=CD=BC •sinB=6×=3；当t=6时，E 在点C ，D 在点A ， 此时点M 在点C ．∴当3≤t ≤6时，M 点所经历的路径长为3．24.解：（1）设抛物线上有一点（x ，y ）， 由定义知：x 2+（y ﹣）2=|y+|2，解得y=ax 2；（2）如图1，由（1）得抛物线y=x 2的焦点为（0，），准线为y=﹣，∴y=x 2﹣n 2由y=x 2向下平移n 2个单位所得， ∴其焦点为A （0，﹣n 2），准线为y=﹣﹣n 2， 由定义知P 为抛物线上的点，则PA=PH ， ∴PA+PH 最短为P 、B 、A 共线，此时P 在P ′处， ∵x=1，∴y=1﹣n 2＜2﹣n 2， ∴点B 在抛物线内，∴BI=y B ﹣y I =2﹣n 2﹣（﹣﹣n 2）=，∴PA+PB 的最小值为，此时P 点坐标为（1，1﹣n 2）； （3）由（2）知E （|n|，0），C （0，n 2），设OQ=m （m ＞0），则CQ=QE=n 2﹣m ，在Rt △OQE 中，由勾股定理得|n|2+m 2=（n 2﹣m ）2， 解得m=﹣， 则QC=+=QN ，∴ON=QN ﹣m=1， 即点N （0，1）， 故AM 过定点N （0，1）．密 封 线 得 人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程x 2=3x 的解是（ ）A ．x=﹣3B ．x=3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=﹣3 3．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和134．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．45．若a 为方程x 2+x ﹣5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ）A ．12B ．6C ．9D ．166．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥17．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC A 逆时针旋转60°后得到的△AB ′C ′，则∠BAC ′等于（A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°8．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ A ．y=1+x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向上平移3到的抛物线，其解析式是（ ）A ．y=2（x+1）2+3B ．y=2（x ﹣1）2﹣3C ．y=2（x+1）2﹣3D ．y=2（x ﹣1）2+3 10．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，1） C ．（2，﹣1） D ．（﹣2，﹣1）11．函数y=﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（﹣2，﹣1） D ．2，1）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的x 、y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 2 3y51﹣1 ﹣1 1则该二次函数图象的对称轴为（ ）A ．y 轴B ．直线x=C ．直线x=2D ．直线x= 13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014．已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知0≤x ≤，那么函数y=﹣2x 2+8x ﹣6的最大值是（ ） A ．﹣10.5 B ．2 C ．﹣2.5 D ．﹣6 二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解方程：x 2﹣4x+2=0．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ． （1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由．19．一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店日净收入．（ 日净收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出 ）（1）当5＜x ≤10时，y= ；当x ＞10时， y= ；（2）若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．21．已知关于x的一元二次方程．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．22．某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2010年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2012年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2014年初完工并还清银行贷款），同时开始房屋出售，总面积为5万平方米，费用的5%开发商聘请调查公司进行了市场调研，发现在该片区，定位每平方米3000100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长2.5房地产开发商预计售房净利润为8660万．（1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2发商不再出售，准备作为商业用房对外出租）每平方米多少元？23．正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C另一条直角边与边CD的延长线交于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EGEG=BE+DG；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．如图，已知点A （0，1），C （4，3），E （，），P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部（不在各边上）的一动点，点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+1以P 为顶点． （1）说明点A ，C ，E 在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax 2+bx+1的开口方向？请说明理由； （3）设抛物线y=ax 2+bx+1与x 轴有交点F 、G （F 在G 的左侧），△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，这时能确定a 、b 的值吗？若能，请求出a ，b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围．参考答案一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．B ．2. C ．3. B ．4. C ．5．B ．6．A ．7．A ．8．D ．9．A ． 10.B ．11.B ．12.D ．13.A ．14.D ．15.C ．二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解：x 2﹣4x=﹣2 x 2﹣4x+4=2 （x ﹣2）2=2或 ∴，．17．解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4， ∵抛物线经过点B （3，0）， ∴a （3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1，∴y=（x ﹣1）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣3．18．（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴∠OCD=60°，CO=CD ， ∴△OCD 是等边三角形； （2）解：△AOD 为直角三角形． 理由：∵△COD 是等边三角形．答 题∴∠ODC=60°，∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC ﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD 是直角三角形．19.解：（1）由题意得：当5＜x ≤10时，y=400（x ﹣5）﹣600； 当x ＞10时，y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=﹣40x 2+100x ﹣4600．即y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10）．故答案是：400（x ﹣5）﹣600；﹣40x 2+100x ﹣4600； （2）由（1）知，y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10） 当y=1560时，（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=1560， 解得：x 1=11，x 2=14，答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元；20．解：（1）作图如右：△A 1B 1C 1即为所求；（2）作图如右：△A 2B 2C 2即为所求；（3）x 的值为6或7．21.解：（1）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以，方程有两个实数根；（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2， 原方程为x 2﹣5x+6=0⇒x 1=2，x 2=3即，等腰三角形的三边为3，3，2． 则周长为8，面积为若底为3，则原方程为x 2﹣4x+4=0⇒x 1=x 2=2 即，等腰三角形的三边为2，2，3． 则周长为7，面积为22.解：（1）15×100=1500万， 1500×10%×2=300万，1500+3500+3500×5%×2=5350万， 1500×5%×2=150万，四者相加1500+300+5350+150=7300万． 答：该房地产开发商总的投资成本是7300万；（2）设房价每平方米上涨x 个100元，依题意有 （5﹣0.1x ）=8660+7300， 解得x 1=12，x 2=8，又因为当x 1=12时，卖房时间为30个月，此时超过两年，所以舍去；当x 2=8时，卖房时间为20个月； 则房价为3000+8×100=3800元． 答：房价应定为每平方米3800元．23.解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ． ∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ， ∴∠BAE=∠DAF ． 在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE ≌△ADF （ASA ） ∴AE=AF ；（2）如图②，连接AG ， ∵∠MAN=90°，∠M=45°， ∴∠N=∠M=45°， ∴AM=AN ．∵点G 是斜边MN 的中点， ∴∠EAG=∠NAG=45°．密 封 题∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE ≌△ADF ， ∴∠BAE=∠DAF ，AE=AF ， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG ． 在△AGE 和AGF 中，，∴△AGE ≌AGF （SAS ）， ∴EG=GF ． ∵GF=GD+DF ， ∴GF=GD+BE ， ∴EG=BE+DG ；（3）G 不一定是边CD 的中点． 理由：设AB=6k ，GF=5k ，BE=x ， ∴CE=6k ﹣x ，EG=5k ，CF=CD+DF=6k+x ， ∴CG=CF ﹣GF=k+x ，在Rt △ECG 中，由勾股定理，得 （6k ﹣x ）2+（k+x ）2=（5k ）2， 解得：x 1=2k ，x 2=3k ，∴CG=4k 或3k ．∴点G 不一定是边CD 的中点．24.解：（1）由题意，A （0，1）、C （4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1 将点E 的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=．∵左边=右边∴点E 在直线y=x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上；（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 的内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下． 解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+1的顶点P 的纵坐标为，且P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜＜3，由1＜1﹣得﹣＞0．∴a ＜0．∴抛物线开口向下； （3）连接GA 、FA ．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵S △GAO ﹣S △FAO =3∴GO •AO ﹣FO •AO=3． ∵OA=1， ∴GO ﹣FO=6．设F （x 1，0），G （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+1=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0 ∴x 1•x 2=＜0， ∴x 1＜0＜x 2 ∴GO=x 2、FO=﹣x 1∴x 2﹣（﹣x 1）=6，即x 2+x 1=6 ∵x 2+x 1=，∴=6∴b=﹣6a∴抛物线的解析式为：y=ax 2﹣6ax+1，其顶点P 的坐标为（3，1﹣9a ）∵顶点P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜1﹣9a ＜3， ∴﹣＜a ＜0① 由方程组，得ax 2﹣（6a+）x=0， ∴x=0或x==6+，当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点， 则有：0＜6+≤， 解得：﹣a ＜﹣②，综合①②，得﹣＜a ＜﹣，∵b=﹣6a ， ∴＜b ＜．。
人教版九年级数学中考模拟试卷及答案解析
人教版九年级数学中考模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上．1．5的绝对值是（）A．5 B．﹣5 C．±5 D．2．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．3．在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（）A．0.54×107B．54×105C．5.4×106D．5.4×1074．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≤3 D．x≥﹣35．下列计算中，正确的是（）A．2a+3b=5ab B．（3a3）2=6a6C．a6+a2=a3D．﹣3a+2a=﹣a6．如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO=PO，若∠C=50°，则∠A的度数为（）A．25° B．35° C．15° D．50°7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=130°，则∠AOC的大小是（）A．130°B．120°C．110°D．100°8．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（）A．乘坐高铁对旅客的行李的检查B．了解全校师生对重庆一中85周年校庆文艺表演节目的满意程度C．调查初2016级15班全体同学的身高情况D．对新研发的新型战斗机的零部件进行检查9．如图是一组有规律的图案，第1个图案由1个▲组成，第2个图案由4个▲组成，第3个图案由7个▲组成，第4个图案由10个▲组成，…，则第7个图案▲的个数为（）A．16 B．17 C．18 D．1910．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（）A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣411．如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米12．使得关于x的不等式组有解，且使分式方程﹣=2有非负整数解的所有的m的和是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣7 D．0二、填空题（本大题6小题，每小题题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上.13．已知△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为．14．计算（﹣）﹣1+（2﹣1）0﹣|tan45°﹣2|= ．15．从﹣1，0，1，3，4五个数字中，随机抽取一个数，记为a．那么，使一次函数y=﹣3x+a 不经过三象限的概率是．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC 于M，N两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．17．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步600米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则b= ．18．如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与AD的交点C′处，DF= ．三、解答题（本大题2小题，每小题8分，共16分19．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．求证：AB=CD．20．（8分）某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行统计调查，并绘制了统计表及统计图，如图所示．（1）这50名学生每人一周内的零花钱数额的平均数是元/人；（2）如果把全班50名学生每人一周内的零花钱按照不同数额人数绘制成扇形统计图，则一周内的零花钱数额为20元的人数所占的圆心角度数是．（3）据统计该校的1500人中，每人每周的零花钱有75%在学校超市消费，试估计该校学生每周在学校超市消费的零花钱总金额为多少元？四、解答题（本大题4小题，每小题10分，共40分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.21．（10分）化简下列各式（1）（a﹣b）2+（2a﹣b）（a﹣2b）（2）．22．（10分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．23．（10分）小程经营的是一家服装店，店里有一款毛衣和一款牛仔裤销售非常可观，至2016年1月开店以来，平均每天可卖出毛衣10件，牛仔裤20件，已知买1件毛衣和3件牛仔裤与买2件毛衣和1件牛仔裤需要的钱一样多，都为500元．（1）求买一件毛衣和一件牛仔裤各需要多少钱？（2）双十一将至，小程经营的网店提前对该毛衣和牛仔裤开启了促销活动，活动当天，毛衣每件售价降低了a%，销售量在原来的基础上上涨2a%，牛仔裤每件售价也降低了a%，但销售量和原来一样，当天，这两件商品总的销售额为3960元，求a的值．24．（10分）当一个多位数位数为偶数时，在其中间位插入一位数k，（0≤k≤9，且k为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．请阅读以上材料，解决下列问题．（1）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数；（2）对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m，得其关联数（0≤m≤9，且m为3的倍数），试证明：所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除．五.解答题.（本大题共2小题，25题10分，共22分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.25．（10分）△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，（1）如图1，点M是BA延长线上一点，连结CM，K是AC上一点，BK延长线交CM于N，∠MBN=∠MCA=15°，BK=8求CM的长度．（2）如图2，直线l经过点C，AF⊥l于点F，AE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接ED．求证：AF=BE+DE．26．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+x+3 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点C，点D 与点C关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m，0），过点P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q．（1）求直线BD的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线 l 交 BD 于点M，当△DQB面积最大时，在x轴上找一点E，使QE+EB的值最小，求E的坐标和最小值．（3）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上．1．5的绝对值是（）A．5 B．﹣5 C．±5 D．【考点】15：绝对值．【分析】根据绝对值的定义，可直接得出5的绝对值．【解答】解：|5|=5，故选：A．【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是解决本题的关键．2．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（）A．0.54×107B．54×105C．5.4×106D．5.4×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：5400000用科学记数法表示为5.4×106，故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≤3 D．x≥﹣3【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，3﹣x＞0，解得x＜3．故选B．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．5．下列计算中，正确的是（）A．2a+3b=5ab B．（3a3）2=6a6C．a6+a2=a3D．﹣3a+2a=﹣a【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项．【分析】合并同类项法则，积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、2a和3b不能合并，故本选项错误；B、结果是9a6，故本选项错误；C、a6和a2不能合并，故本选项错误；D、结果是﹣a，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了同类项，合并同类项，积的乘方的应用，能正确运用法则进行计算是解此题的关键，难度不是很大．6．如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO=PO，若∠C=50°，则∠A的度数为（）A．25° B．35° C．15° D．50°【考点】JA：平行线的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】根据AB∥CD，CP交AB于O，可得∠POB=∠C，再利用AO=PO，可得∠A=∠P，然后即可求得∠A的度数．【解答】解：∵AB∥CD，CP交AB于O，∴∠POB=∠C，∵∠C=50°，∴∠POB=50°，∵AO=PO，∴∠A=∠P，∴∠A=25°．故选：A．【点评】此题主要考查学生对平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．要求学生应熟练掌握．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=130°，则∠AOC的大小是（）A．130°B．120°C．110°D．100°【考点】M6：圆内接四边形的性质；M5：圆周角定理．【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°﹣∠B=50°，然后根据圆周角定理求∠AOC．【解答】解：∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°﹣130°=50°，∴∠AOC=2∠D=100°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．8．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（）A．乘坐高铁对旅客的行李的检查B．了解全校师生对重庆一中85周年校庆文艺表演节目的满意程度C．调查初2016级15班全体同学的身高情况D．对新研发的新型战斗机的零部件进行检查【考点】V2：全面调查与抽样调查．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：乘坐高铁对旅客的行李的检查适合采用全面调查，A错误；了解全校师生对重庆一中85周年校庆文艺表演节目的满意程度适合采用全抽样调查，B正确；调查初2016级15班全体同学的身高情况适合采用全面调查，C错误；对新研发的新型战斗机的零部件进行检查适合采用全面调查，D错误，故选：B．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．9．如图是一组有规律的图案，第1个图案由1个▲组成，第2个图案由4个▲组成，第3个图案由7个▲组成，第4个图案由10个▲组成，…，则第7个图案▲的个数为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】仔细观察图形可知：第一个图形有1个三角形；第二个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第三个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第四个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n 个图形有3n﹣3+1=3n﹣2个三角形；进一步代入求得答案即可．【解答】解：观察发现：第一个图形有1个三角形；第二个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第三个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第四个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3n﹣3+1=3n﹣2个三角形；则第7个图案中▲的个数为3×7﹣2=19．故选D．【点评】此题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律，利用规律，解决问题．10．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（）A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣4【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【分析】首先利用相反数的定义得出a+b=0，再利用提取公因式法将原式变形求出答案．【解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∴a2+ab﹣4=a（a+b）﹣4=0﹣4=﹣4．故选：D．【点评】此题主要考查了提取公因式的应用以及相反数的定义，正确将原式变形是解题关键．11．如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．【解答】解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，∴==．设BD=5k（米），AD=12k（米），则AB=13k（米）．∵AB=13（米），∴k=1，∴BD=5（米），AD=12（米）．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8（米），∴BC=10.8﹣5≈5.8（米）．故选：D．【点评】本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．12．使得关于x的不等式组有解，且使分式方程﹣=2有非负整数解的所有的m的和是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣7 D．0【考点】B2：分式方程的解；CB：解一元一次不等式组．【分析】根据不等式组有解，可得m的范围，根据分式方程有非负整数解，可得5+m是3的倍数，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组有解，得到m﹣9＜﹣2m+6，解得：m＜5，分式方程整理得： +=2，去分母得：1+m﹣x=2x﹣4，解得：x=，由分式方程﹣=2有非负整数解，得5+m=0，m1=﹣5，5+m=3，m2=﹣2，5+m=6，m3=1（舍），5+m=9，m4=4，使得关于x的不等式组有解，且使分式方程﹣=2有非负整数解的所有的m的和﹣5+（﹣2）+4=﹣3，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题（本大题6小题，每小题题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上.13．已知△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为4：9 ．【考点】S7：相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴S△ABC：S△DEF=（）2=4：9．故答案为：4：9．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．14．计算（﹣）﹣1+（2﹣1）0﹣|tan45°﹣2|= ﹣2．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：原式=﹣2+1﹣2+1=﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．从﹣1，0，1，3，4五个数字中，随机抽取一个数，记为a．那么，使一次函数y=﹣3x+a 不经过三象限的概率是．【考点】X4：概率公式；F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】根据一次函数y=﹣3x+a不经过三象限得出a的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=﹣3x+a不经过三象限，∴a≥0，∴五个数字中符合条件的数有：0，1，3，4共4个，∴一次函数y=﹣3x+a不经过三象限的概率=．故答案为：．【点评】本题考查的是概率公式，熟知概率=所求情况数与总情况数之比是解答此题的关键．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC 于M，N两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．【考点】MO：扇形面积的计算；KQ：勾股定理；MC：切线的性质．【分析】我们只要根据勾股定理求出AD的长度，再用三角形的面积减去扇形的面积即可．【解答】解：连接AD，∵⊙A与BC相切于点D，AB=AC，∠A=120°，∴∠ABD=∠ACD=30°，AD⊥BC，∴AB=2AD，由勾股定理知BD2+AD2=AB2，即+AD2=（2AD）2解得AD=1，△ABC的面积=2×1÷2=，扇形MAN得面积=π×12×=，所以阴影部分的面积=．【点评】解此题的关键是求出圆的半径，即三角形的高，再相减即可．17．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步600米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则b= 192 ．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】由图象可以看出甲2秒跑了8米可以求出甲的速度为4米/秒，由乙跑的距离﹣甲跑的距离就可以得出结论．【解答】解：由图象，得甲的速度为：8÷2=4米/秒，乙走完全程时甲乙相距的路程为：b=600﹣4（100+2）=192，故答案为：192．【点评】此题考查了一次函数的应用，追击问题的运用，解答时求出甲的速度是解答本题的关键．18．如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与AD的交点C′处，DF= ．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】首先连接CC′，可以得到CC′是∠EC′D的平分线，所以CB′=CD，又AB′=AB，所以B′是对角线中点，AC=2AB，所以∠ACB=30°，即可得出答案．【解答】解：连接CC′，∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．∴EC=EC′，∴∠1=∠2，∵∠3=∠2，∴∠1=∠3，在△CC′B′与△CC′D中，，∴△CC′B′≌△CC′D，∴CB′=CD，又∵AB′=AB，∴AB′=CB′，所以B′是对角线AC中点，即AC=2AB=8，所以∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，∠ACC′=∠DCC′=30°，∴∠DC′C=∠1=60°，∴∠DC′F=∠FC′C=30°，∴C′F=CF=2DF，∵DF+CF=CD=AB=4，∴DF=．故答案为：．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质，得出CC′是∠EC′D的平分线是解题关键．三、解答题（本大题2小题，每小题8分，共16分19．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．求证：AB=CD．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠C，再根据AAS证出△ABE≌△DCF，从而得出AB=CD．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴AB=CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质证出∠B=∠C．20．某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行统计调查，并绘制了统计表及统计图，如图所示．（1）这50名学生每人一周内的零花钱数额的平均数是12 元/人；（2）如果把全班50名学生每人一周内的零花钱按照不同数额人数绘制成扇形统计图，则一周内的零花钱数额为20元的人数所占的圆心角度数是36°．（3）据统计该校的1500人中，每人每周的零花钱有75%在学校超市消费，试估计该校学生每周在学校超市消费的零花钱总金额为多少元？【考点】VB：扇形统计图；V5：用样本估计总体；W2：加权平均数．【分析】（1）根据加权平均数的计算公式计算可得；（2）用样本中零花钱数额为20元的人数所占的比例乘以360°即可得；（3）用平均数乘以总人数，再乘以75%即可得．【解答】解：（1）平均数是×（5×10+10×15+15×20+20×5）=12元，故答案为：12；（2）一周内的零花钱数额为20元的人数所占的圆心角度数是360°×=36°，故答案为：36°；（3）1500×12×75%=13500元，答：估计该校学生每周在学校超市消费的零花钱总金额为13500元．【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．四、解答题（本大题4小题，每小题10分，共40分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.21．（10分）（2017•开县一模）化简下列各式（1）（a﹣b）2+（2a﹣b）（a﹣2b）（2）．【考点】6C：分式的混合运算；4I：整式的混合运算．【分析】（1）利用乘法公式展开，然后合并同类项即可；（2）先把括号内通分后进行同分母的减法运算，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【解答】解：（1）原式=a2﹣2ab+b2+2a2﹣ab﹣4ab+2b2=3a2﹣7ab+3b2；（2）原式=、====．【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了整式的混合运算．22．（10分）（2004•黄冈）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；（2）交点A、C的坐标是方程组的解，解之即得；从图形上可看出△AOC的面积为两小三角形面积之和，根据三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，则S△ABO=•|BO|•|BA|=•（﹣x）•y=，∴xy=﹣3，又∵y=，即xy=k，∴k=﹣3．∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；（2）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），A、C两点坐标满足∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=OD•（|x1|+|x2|）=×2×（3+1）=4．【点评】此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．23．（10分）（2017•开县一模）小程经营的是一家服装店，店里有一款毛衣和一款牛仔裤销售非常可观，至2016年1月开店以来，平均每天可卖出毛衣10件，牛仔裤20件，已知买1件毛衣和3件牛仔裤与买2件毛衣和1件牛仔裤需要的钱一样多，都为500元．（1）求买一件毛衣和一件牛仔裤各需要多少钱？（2）双十一将至，小程经营的网店提前对该毛衣和牛仔裤开启了促销活动，活动当天，毛衣每件售价降低了a%，销售量在原来的基础上上涨2a%，牛仔裤每件售价也降低了a%，但销售量和原来一样，当天，这两件商品总的销售额为3960元，求a的值．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）可设买一件毛衣需要x元钱，买一件牛仔裤需要y元钱，根据等量关系：①买1件毛衣的钱数+买3件牛仔裤的钱数=500元；②买2件毛衣的钱数+买1件牛仔裤的钱数=500元，列出方程组求解即可；（2）根据等量关系：两件商品总的销售额为3960元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设买一件毛衣需要x元钱，买一件牛仔裤需要y元钱，依题意有，解得．答：买一件毛衣需要200元钱，买一件牛仔裤需要100元钱．（2）依题意有：200（1﹣a%）×10（1+2a%）+100（1﹣a%）×20=3960，解得a1=﹣10（舍去），a2=10．故a的值为10．【点评】考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程（组），再求解．24．（10分）（2017•开县一模）当一个多位数位数为偶数时，在其中间位插入一位数k，（0≤k≤9，且k为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．请阅读以上材料，解决下列问题．（1）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数；（2）对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m，得其关联数（0≤m≤9，且m为3的倍数），试证明：所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除．【考点】#6：约数与倍数；1C：有理数的乘法．【分析】（1）设原数为ab=10a+b，其关联数为amb=100a+10m+b，根据关联数为原数的9倍即可得出b与a、m之间的关系，结合a、b、m的特点即可得出结论；（2）设原数为a1a2a3…a n﹣2a n﹣1a n（n为偶数），关联数为a1a2a3…m…a n﹣2a n﹣1a n，找出原数的10倍，将关联数与原数10倍相减得：m•﹣9×（…a n﹣1a n），再根据m 和9均为3的倍数，由此即可证出结论．【解答】（1）解：设原数为ab=10a+b，其关联数为amb=100a+10m+b，∵amb=9ab，∴100a+10m+b=9×（10a+b），∴5a+5m=4b，∴5（a+m）=4b，∵b、m为整数，a为正整数，且a、b、m均为一位数，∴b=5，a+m=4，∴a=1，m=3；a=2，m=2；a=3，m=1；a=4，b=0．∴满足条件的三位关联数为135、225、315和405．（2）证明：设原数为a1a2a3…a n﹣2a n﹣1a n（n为偶数），关联数为a1a2a3…m…a n﹣2a n﹣1a n，原数10倍为a1a2a3…a n﹣2a n﹣1a n0，将关联数与原数10倍相减得：m•﹣9×（…a n﹣1a n），∵m和9均为3的倍数，∴关联数与原数10倍的差一定能被3整除．【点评】本题考查了约数与倍数以及有理数的乘法，解题的关键是：（1）找出b与a、m（2）将关联数与原数的10做差得出m•﹣9×（…a n﹣1a n）．本之间的关系；题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，设出合适的未知量是解题的关键．五.解答题.（本大题共2小题，25题10分，共22分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.25．（10分）（2017•开县一模）△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，（1）如图1，点M是BA延长线上一点，连结CM，K是AC上一点，BK延长线交CM于N，∠MBN=∠MCA=15°，BK=8求CM的长度．（2）如图2，直线l经过点C，AF⊥l于点F，AE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接ED．求证：AF=BE+DE．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）如图1，过C作CD⊥AB于D，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，得到∠KBC=30°，根据直角三角形的性质得到BC=4，求得CD=BC=2，解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，连接DF，CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD，∠CDB=90°，由全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，推出△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到∠EDB=∠FDC，DE=DF，根据余角的性质得到∠EDF=90°，根据等腰直角三角形的性质得到EF=DE，于是得到结论．【解答】解：（1）如图1，过C作CD⊥AB于D，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∵∠MBN=15°，∴∠KBC=30°，∵BK=8，∴BC=4，∴CD=BC=2，∵∠MCA=15°，∠BAC=45°，∴∠M=30°，∴CM=2CD=4；（2）如图2，连接DF，CD，∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF，∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°，在△BCE与△ACF中，。
2020-2021学年度第一学期江苏省南京市鼓楼区九年级期中考试数学模拟试卷(含解析)
2020-2021学年度第一学期江苏省南京市鼓楼区九年级期中考试数学模拟试卷一、选择题（本大题共2小题，每小题2分，共12分．请把答案填写在答题卡相应位置上）.1.一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A. 1，4，3B. 0，﹣4，﹣3C. 1，﹣4，3D. 1，﹣4，﹣32.已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 实数根的个数与实数b的取值有关3.有下列四个命题:①经过三个点一定可以作圆②等弧所对的圆周角相等;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等; ④在同圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦.其中正确的有( )A. 0B. 1C. 2D. 34.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A. 55°B. 65°C. 60°D. 75°5.如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC 边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300m2运动时间为（）A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定6.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A（8，0）．与y轴分别交于点B（0，4）与点C（0，16）．则圆心M到坐标原点O的距离是（）A. 10B. 8 √2C. 4 √13D. 2 √41二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7.一元二次方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，则c=________．8.用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________.9.设m ，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝________.10.一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．11.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB=________.12.如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为________.13.如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC 的外接圆，则BC的长等于________.14.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2−8x+12=0的根，则该三角形的周长为________.15.疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是________.16.如图，点0为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点0为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=________三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解答下列各题：（1）用配方法解方程：x2−8x−4=0 .（2）已知一元二次方程2x2−mx−m=0的一个根是−12.求m的值和方程的另一个根.18.已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²-mx+ m2- 14=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少?19.如图1，有一张长40cm,宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒.（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高.20.如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E, AB=CD,连接AD、BC .求证：（1）弧AD=弧BC ；（2）AE=CE .21.如图，在方格纸中，A，B，C三点都在小方格的顶点上（每个小方格的边长为1）．（1）在图甲中画一个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形，并求出它的周长．（2）在图乙中画一个经过A，B，C三点的圆，并求出圆的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O 交BD于E，交AD于F，且弧AE=弧CE，连接OA、OF.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数.24.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45° .（1）求∠EBC的大小；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积.25.阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x ，y ，z构成“和谐三数组”.，材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba ．x1⋅x2=ca问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数________；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a ，b ，c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0(b ，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；的图象上，且三点的（3）若A(m ，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数y=4x纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．26.如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC=60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE//CD交DA的延长线于点E，若AD=2，DC=3，求△BDE的面积．27.问题提出：（1）如图①，半圆O的直径AB=10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是________. （2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值.（3）如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.答案一、选择题1.解：一元二次方程x2-4x-3=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，-4，-3．故答案为：D．2.解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根.故答案为：A.3.解：①经过在同一条直线上的三个点不能作圆，只有三个点不在同一条直线上时才可以作圆，故本小题不符合题意；②等弧所对的圆周角相等，符合圆周角定理，故本小题符合题意；③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以到三角形各顶点的距离都相等，故本小题符合题意；④在同圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本小题不符合题意．故答案为：C．4.解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∠BDC＝65°，∴∠ODB＝∠ODC＝12故答案为：B.5.解：设运动的时间为t，则AP=2t，CQ=3t∴PC=50-2t∵∠C=90°，S△PCQ=300·PC·CQ=300∴12解得t1=5，t2=20.故答案为：C。
2020-2021学年河北保定九年级上数学期中试卷
2020-2021学年河北保定九年级上数学期中试卷一、选择题1. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=2,b=4,d=3，则c的值为( )A.8 3B.6C.1D.322. 矩形不一定具备的性质是( )A.对角线互相垂直B.对角线相等C.是轴对称图形D.是中心对称图形3. 如图，以边长为6的正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的横坐标为3，则点C的坐标为( )A.(3,−3)B.(−3,−3)C.(−6,6)D.(−3,3)4. 物体形状的比例在匀称与协调上提供了一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．当矩形的宽与长之比约为0.618时，这个矩形称为黄金矩形．下列物品的形状不能看作黄金矩形的有( )A.3个B.2个C.0个D.1个5. 将一元二次方程y2−y−34=0化成(y+ℎ)2=b(ℎ，b为常数）的形式，则ℎ，b的值分别是( )A.−1,14B.12,34C.12，1 D.−12，16. 小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（）A.去掉一副扑克牌中的大小王和四个花色的扑克牌2后，从中任意抽取一张，所抽扑克牌的花色是梅花的概率B.路旁停放着青桔、摩拜和美团共4辆共享单车，后来小明骑走一辆，则小明骑走的刚好是青桔单车的概率C.抽屉里有初中各年级数学课本共6册，随机取出1册书，刚好是九年级上册的概率D.任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率7. 下表列出几组x和ax2+bx+c的对应值．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1的一较小根为x1，则对x1的估计正确的是（）A.2.72<x1<2.8B.−0.73<x1<−0.7C.−0.8<x1<−0.78D.−0.78<x1<−0.738. 图1大矩形的长为9，宽为x，把它按如图方式从两侧向中间折叠成一个小矩形（如图2）.若图2这个小矩形与图1原矩形相似，则x的值为( )A.2.7B.3√2C.3√3D.2√39. 如图，A转盘被平分为两部分，B转盘被平分为三部分．转动A，B转盘各一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个颜色的区域．如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，就配成了紫色．那么同时转动两个转盘，配成紫色的概率为( )A.2 3B.13C.16D.1510. 如图，某铁道口栏杆的短臂长1.6m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高( )A.8mB.6mC.5mD.5.5m11. 若关于x的方程(k+1)x2+2x+2=0没有实数根，则k的取值范围是( )A.k>−2且k≠−1B.k>−12C.k=−1D.k<−212. 如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE:EC=2:1，则△DEF的面积与△BAF 的面积之比为( )A.4:9B.1:4C.2:1D.2:313. 近两年来，肉类价格逐渐攀升，据统计，某地2018年初猪肉单价为14元/斤，2020年初猪肉单价为29元/斤．设猪肉单价的年平均增长率为x，根据题意，列方程为( )A.14+14(1+x)2=29B.14(1+x)2=29C.14(1+x)=29D.14(1−x)2=2914. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AD在x轴上，AO=2,OD=1,按住AD不动，将正方形沿箭头方向推至变形为AB′C′D，点B落在y轴正半轴上点B′处，点C落在点C′处，则点C′的坐标为( )A.(1,√5)B.(3,√5)C.(2,2)D.(1,√3)15. 在实数范围内，对于任意实数m，n(m≠0)规定一种新运算：m⊗n=m n+mn−3，如：3⊗2=32+3×2−3=12.则关于代数式(−y)⊗2的说法正确的是( )A.有最小值，为−4B.有最大值，为0C.其值为0D.其值总是负数16. 如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=3，对角线BD=6，点E在BD上，BE=4，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA向点A运动，连接PE并延长，交DC于点F，设运动时间为t秒．甲、乙、丙对这个问题进行了研究，并得出自己的结论如下．甲：当t=103秒时，四边形PADF是平行四边形；乙：当t=103秒时，四边形PADF是矩形；丙：在点P运动过程中，总有S四边形EBCF−S四边形EPAD=3S△EDF.下列判断正确的是( )A.乙不正确，甲、丙正确B.甲正确，乙、丙不正确C.丙正确，甲、乙不正确D.甲不正确，乙、丙正确二、填空题若关于x的一元二次方程(a−2)x2+2x+a2−4=0有一个根为0，则a的值为________.如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E在CD上，连接AE，BE．若CE=3，△ABE的面积为8，则BC=________，△DBE的周长为________.如图，点T是等腰△ABC的底边AB上的一点，且BC2=BT⋅BA，连接CT．(1)△CBT与△ABC________（填“相似”或“不相似”）;(2)点P在CT上（不与点C，T重合），过点P作直线截得一些小三角形，其中与△ABC相似的小三角形（以CT 或CP为边的除外）共有________个．三、解答题(1)解方程x2−4x−5=0；(2)已知关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−m−1=0. ①判别式b2−4ac=________，该方程的根的情况是有________个实数根；②当m=0时，解这个一元二次方程．如图，已知∠BAE+∠ABF=180∘，∠ABF的平分线交AE于点D，在BF上截取BC=AB，连接CD．若BC= 6，求四边形ABCD的周长．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE分别与CD，AC相交于点F，E，且FB=2CF．求证：CF=2EF.一个不透明的布袋里有材质、形状、大小完全相同的4个小球，它们的表面分别印有数字1，2，3，4（每个小球只印有一个数字）.(1)若从布袋中随机取走1个小球，然后放入1个印有数字3的小球，充分搅匀后，再从布袋中随机摸出1个小球，则摸出的小球恰好印有数字3的概率是________.(2)从布袋里随机摸出一个小球，把该小球上的数字记为x，从剩下的3个小球中随机摸出一个小球，把该小球上的数字记为y．利用画树状图或列表的方法，求点(x,y)在直线y=4上的概率．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE=DF，∠AEC=90∘.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接EF，∠2=∠1，AB=5，BE:AE=1:2，求EF的长．某果蔬批发商进口一批榴莲，每天可卖出1000千克，每千克可盈利（毛利润）18元．经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克榴莲的售价每降低0.7元，每天可多售出56千克榴莲．(1)若每千克榴莲可盈利16元，①每天能卖出________千克；②每天能盈利多少元？(2)暑假期间商家准备降价促销，一方面要让顾客明显感受到榴莲便宜了，同时又能保证每天销售榴莲的毛利润为18480元，那么每千克榴莲应降价多少元？在菱形ABCD中，∠DAB=60∘，AB=4，点P为射线AB上一动点，连接DP，作∠DPE=∠DAB，PE交射线DA于点E，点O是△APE三边的垂直平分线的交点．(1)如图1，当点O在AB边上时，∠DPA=________°，AE=__________；(2)如图2，若点E在边DA的延长线上，当AP长为多少时，PE//AC？(3)若点E在边AD上，当AP长为何值时，AE长有最大值？并求出AE长的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年河北保定九年级上数学期中试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】比较熔段【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】矩来兴性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】正方来的性稳坐标正测形性质中心对称都的坐标变证【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】黄明分护【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】解因末二什方似-配方法一因顿即方奇的一般形式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】频数（率）分布直方水利用频都升计概率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】估计水于二术方程洲近似解【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】相似多明形研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】列表法三树状图州概水常式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】相似三使形的应以【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】一元二较方程熔定义根体判展式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】平行四表形型性质相验极角家的锰质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】此题暂无答案【考点】一元二射方程的象多——爱长率问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14. 【答案】此题暂无答案【考点】坐标正测形性质勾体定展正方来的性稳【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】此题暂无答案【考点】定射新从号非负数的常树：偶次方【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】此题暂无答案【考点】动表问擦相验极角家的锰质与判定平行四射形的判放【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】一元二表方病的解一元二较方程熔定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角表的病积正方来的性稳勾体定展【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】相似三使形的判碳【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】解一较燥次延程抗因式分解法根体判展式解于视二南方创-公式法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】角平都北的定义等常三树力良性质与判定菱因顿判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】相验极角家的锰质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】概水常式等可能表件型概率列表法三树状图州一次常数图按上点入适标特点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平行四表形型性质矩根的惯定相验极角家的锰质与判定矩来兴性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】一元水于方技散应用——利润问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】菱形的来定与筒质含因梯否角样直角三角形等三三程形写建质与判定平行线明判轮与性质相三三疫续的都定与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年天津耀华中学九年级上学期期中质量调查数学模拟试卷(1)
九年级上学期期中质量调查数学模拟试卷（1）试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填在下面的表格里.题号12345678910答案1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是2.已知一元一次方程x2 +x -1 = 0 ，下列判断错误的是（A）该方程有两个相等的实数根（B）该方程有两个不相等的实数根（C）该方程无实数根（D）该方程根的情况不确定3.用配方法解方程x2 - 4x + 2 = 0 ，下列配方正确的是（A）(x-2)2=2（C）(x-2)2=-2（B）(x+2)2=2（D）(x-2)2=64.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点 C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y =x2 -x - 2B. y =-x2 +x +2C. y =x2 -x - 2 或y =-x2 +x + 2D. y =-x2 -x - 2 或y =x2 +x + 25.如图，是的外接圆，，的半径为4，则AC 的长等于A. B. C. D. 86.如图，已知▱ABCD 中，于点E，以点B 为中心取旋转角等于，把顺时针旋转，得到连接若，，则的大小为A. B. C. D.7.若抛物线y＝2x2﹣3x﹣k 与x 轴没有交点，则k 的取值范围为（）A．k≤﹣B．k＜﹣C．k≥﹣且k≠0D．k＞﹣且k≠08，如图，四边形 ABCD 是⊙O 内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD 的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°9，已知下列命题：①长度相等的两条弧所对的圆心角相等。
②直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴。
③平分弦的直径垂直于这条弦。
④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等。
2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期中试卷及答案
2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期中试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A. B.3561x x -=-（）2310x y -+=C. D. 2270x x --=213x x=+【答案】C【解析】 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此判断即可．【详解】解：A 、该方程中的未知数x 的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意；B 、该方程中含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；C 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；D 、该方程不属于整式方程，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这20ax bx c ++=是在做题过程中容易忽视的知识点．2. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】据中心对称图形概念，逐项检验作答．【详解】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，只有选项B 可以看作是中心对称图形．故选：B ．【点睛】考查中心对称图形，容易题，错误原因是不会区分轴对称图形和中心对称图形．3. 一元二次方程化为一般形式后，，，的2531x x x -=+()200++=≠ax bx c a a b c 值分别是（ ）A. ，，B. ，， 5a =4b =-1c =-5a =4b =1c =C. ，，D. ，，4a =5b =-1c =5a =-4b =1c =-【答案】A【解析】【分析】直接利用移项、合并同类项，即可得出a ，b ，c 的值．【详解】一元二次方程化为一般形式后， 2531x x x -=+20ax bx c ++=，25410x x --=则，，．5a =4b =-1c =-故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．4. 一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为269x +=（），则另一个一元一次方程为（ ）63x +=A. B. C. D. 63x -=-69x +=-69x +=63x +=-【答案】D【解析】【分析】利用直接开平方法求解可得答案．【详解】解：∵，269x +=（）∴x+6=3或x+6=-3，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5. 用配方法解方程时，配方所得的方程为（ ）2640x x ++=A. B. C. D. ()235x +=()234-=x ()2313x +=()265x +=【答案】A【解析】【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．【详解】解：∵，2640x x ++=∴，264x x +=-∴，即．2695x x ++=()235x +=故选：A ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可x 20x px q ++=12x =23x =-化为（ ）A.B. ()()230x x ++=()()230+-=x xC.D. ()()230x x --=()()230x x -+=【答案】D【解析】【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的两根分别为=2，=-3， 20x px q ++=1x 2x ∴2-3=-p，2×（-3）=q ，∴p=1，q=-6，∴原方程为，260x x +-=∴原方程可化为（x-2）（x+3）=0．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．7. 一元二次方程的两个根分别为和，则二次函数 20ax bx c ++=3-1-2y ax bx c =++的对称轴是（ ）A.B. C. D. 2x =-2x =3x =-1x =-【答案】A【解析】【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式．【详解】解：∵一元二次方程的两个根为−3和−1， 20ax bx c ＋＋＝∴ ＝−4． 12b x x a-＋＝∴二次函数的对称轴为x ＝−＝． 2y ax bx c =++2b a ()114222b a ⎛⎫⨯-=⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A ．【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．8. 若点，，都在二次函数的图象上，则，1(3,)A y -()2B 2,y -()32,C y 223y x x =--1y ，的大小关系是（ ）2y 3y A. B. C. D. 123y y y <<213y y y <<321y y y <<312y y y <<【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x ＜1时，y 随x 的增大而减小，即可得出答案．【详解】解：∵，()222314y x x x =--=--∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，C （2，）关于直线x=1的对称点是（0，），3y 3y ∵-3＜-2＜0＜1，∴＜＜，3y 2y 1y 故选：C ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．9. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）A. x （x+1）=28B.12(1)28x x -=C.D. x （x-1）=28 (1)28x x +=12【答案】D【解析】 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设比赛组织者应邀请x 个队参赛， 根据题意得：x （x-1）=4×7， 12即x （x-1）=28． 12故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．10. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处．那么旋转的角度等于（ ）A. 55°B. 60°C. 65°D. 80°【答案】B【解析】 【详解】试题分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB 1是等边三角形，即可得出旋转角度．解：∵在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处，∴AB 1=BC ，BB 1=B 1C ，AB=AB 1，12∴BB 1=AB=AB 1，∴△ABB 1是等边三角形，∴∠BAB 1=60°，∴旋转的角度等于60°．故选B ．11. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A.B. C. D. 8101214【答案】B【解析】【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x （x+1）人，依题意列方程：1+x+x （1+x ）=121，解方程即可求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，依题意得1+x+x （1+x ）=121，即，2(1)121x +=解方程得=10，=-12（舍去）．1x 2x 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1．E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为，则S 关于的函数图象大致是（ ）x xA. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件可知，设为，则，AEH BFE CGF DHG △≌△≌△≌△AE x 1AH x =-根据勾股定理，进而可求出函数解析式，由此可求出答22222(1)EH AE AH x x =+=+-案．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，∴，，AB BC CD DA ===90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒又∵，AE BF CG DH ===∴，BE CF DG AH ===（SAS ）．AEH BFE CGF DHG ∴△≌△≌△≌△设为，则，AE x 1AH x =-根据勾股定理，得，22222(1)EH AE AH x x =+=+-即22(1)s x x =+-2221x x =-+22()1x x =-+ 2112(144x x =-+-+， 2112()22x =-+所求函数图象是一条开口向上的抛物线，对称轴是直线． ∴12x =由题意可知自变量的取值范围是．01x <<故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断二次函数的自变量取值范围，开口方向及对称轴．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 在平面直角坐标系中，为原点，将点绕点逆时针旋转得点，则点O ()2,0A O 90︒A 'A '的坐标为_____． 【答案】02（，）【解析】【分析】利用图象法，画出图形解决问题即可．【详解】解：如图，观察图象可知，A′（0，2）．故答案为：（0，2）．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．14. 二次函数的最大值为_______．22y x x =-+【答案】1【解析】【分析】根据二次函数的性质直接求解即可．【详解】解：22y x x =-+∵a=-1＜0∴当时有最大值 2=--12-2b x a ==即：2=-1211y +⨯=故答案为：1．【点睛】本题考查二次函数的最值，根据抛物线的开口方向，在时，函数有最值． =-2b x a 15. 若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的2610x x -+=()20x p q ++=p q +值为______．【答案】11-【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得出p 、q 的值，据此可得答案．【详解】解：∵-6x+1=0，2x ∴-6x=-1，2x ∴-6x+9=-1+9，即，2x ()()2380x +-+-=⎡⎤⎣⎦∴p=-3，q=-8，则p+q=-3-8=-11，故答案为：-11．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16. 若，则关于的方程的实数根的个数为_______．2k ≥x 22210x k x k k -+-+=【答案】2【解析】【分析】计算根的判别式，根据k 的取值范围，得到判别式的取值范围，即可得到结论．【详解】解：∵，22210x k x k k -+-+=∴△= 22(2)4(1)k k k ---+=，4(1)k -因为，2k ≥所以，4(1)0k -＞故方程有两个不相等的实数根，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．17. 某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，则2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为______【答案】10%【解析】【分析】设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为，根据题意列一元二次方程，x 解方程可得答案．【详解】解：设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为，则x()220000124200,x +=()21 1.21,x ∴+=或 1 1.1x ∴+=1 1.1,x +=-1210%, 2.1,x x ∴==-经检验：不合题意，舍去，2 2.1x =-答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%.故答案为：10%.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，增长率问题，掌握一元二次方程的增长率问题的解答是求解的关键．18. 若抛物线（为常数）与轴的两个交点都在轴的正半轴上，则的取2y x x k =--k x x k 值范围是______．【答案】## 104-<<k 0.250k -<<【解析】【分析】根据题意可得：抛物线与y 轴交于正半轴，从而 且()()2140k ∆=--⨯-> ，即可求解．0k ->【详解】解：设x 1，x 2是抛物线和x 轴的交点横坐标，∵抛物线y ＝x 2﹣x﹣k 与x 轴的两个交点都在x 轴正半轴上，∴ 且 ，()()2140k ∆=--⨯->12·0x x k =->解得：． 104-<<k 故答案为：． 104-<<k 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和图象，熟练掌握二次函数的性质和图象，运用数形结合思想是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． ABC ()50A ，()32B -，()13C --，（1）请在图中作出关于原点对称的，并写出各顶点的坐标；ABC A B C '''V A B C '''V （2）求的面积．A B C '''V S 【答案】（1）见解析 （2）的面积A B C '''V 8S =【解析】【分析】（1）先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点A′，点B′，点C′的坐标，然后描出点A′，点B′，点C′，最后顺次连接点A′，点B′，点C′即可；（2）根据△A′B′C′的面积等于其所在的长方形面积减去周围三个小三角形面积求解即可．【小问1详解】关于原点对称的图形如图所示．ABC点A 的对称点的坐标为； A '()50-，点的对称点的坐标为； B B '()32-，点的对称点的坐标为． C C '()13，【小问2详解】解：由题意可得： 11185256382222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯．18=【点睛】本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．20. 解下列关于的方程．x （1）；()2130x --=（2）．23620x x --=【答案】（1），11x =-21x =（2）， 1x =2x =【解析】【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；（2）利用公式法求解即可．【小问1详解】解：移项，得． 213x -=（）开方得：，1-=x解得，11x =-21x =【小问2详解】解：∵23620x x --=∴，，．3a =6b =-2c =-∴．()()2246432600b ac ∆=-=--⨯⨯-=>∴方程有两个不等的实数根∴ x =解得，． 1x =2x =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．21. 已知关于的一元二次方程（为常数）．x 220x x m ++=m（1）若是该方程的一个实数根，求的值；1x =m （2）当时，求该方程的实数根；6m =-（3）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．m 【答案】（1）3m =-（2）， 132x =22x =-（3）的取值范围是 m 18m <【解析】 【分析】（1）代入x=1可得出关于m 的方程，解之即可得出m 的值；（2）代入m=-6，利用因式分解法解一元二次方程，即可得出方程的实数根；（3）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围．【小问1详解】解：将x=1代入原方程，得：2+1+m=0，解得：m=-3，∴m 的值为-3；【小问2详解】解：当m=-6时，原方程为，2260x x +-=∴（2x-3）（x+2）=0，解得：=，=-2， 1x 322x ∴该方程得实数根为=，=-2； 1x 322x 【小问3详解】解：∵该方程有两个不相等的实数根，∴，21420m ∆=-⨯⨯>∴m＜， 18∴m 的取值范围为m ＜． 18【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）代入x=1求出m 值；（2）代入m 的值，解一元二次方程；（3）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．22. 已知二次函数的图象为抛物线．243y x x =-+C （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；C （2）当时，求该二次函数的函数值的取值范围；23x -≤≤y （3）将抛物线先向左平移个单位长度，得到抛物线；再将抛物线向上平移个单C 11C 1C 2位长度，得到抛物线．请直接写出抛物线，对应的函数解析式．2C 1C 2C 【答案】（1）抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为C C 2x =()2,1-（2）函数值的取值范围是y 115y -≤≤（3）抛物线对应的函数解析式为；抛物线对应的函数解析式为1C 22y x x =-2C ．222y x x -=+【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质进行解题即可；（2）根据二次函数的增减性进行解题即可；（3）根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减进行解题即可．【小问1详解】解：∵，=10a >∴抛物线的开口向上．C ∵，224321y x x x =-+=--（）∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．C 2x =21-（，）【小问2详解】解：∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 22x -≤≤y x 23x ≤≤y x ∵当时，；当时，，x=2时，y=-1，2x =-15y =3x =0y =∴函数值的取值范围是：．y 115y -≤≤【小问3详解】解：∵抛物线向左平移个单位长度：，1222+11=2y x x x =---（）∴抛物线对应的函数解析式为；1C 22y x x =-∵再向上平移两个单位：222y x x -=+∴抛物线对应的函数解析式为．2C 222y x x -=+【点睛】本题考查二次函数的性质和平移．熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键．23. 一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个30A ∠=︒90C ∠=︒12AB =矩形CDEF ，其中，点D ，E ，F ，分别在AC ，AB ，BC 上．设AE 的长为x ，矩形CDEF 的面积为S ．（1）写出S 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当矩形CDEF 的面积为AE 的长；（3）当AE 的长为多少时，矩形CDEF 的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1） ()2012CDEF S x x =+<<矩形（2）AE 的长为4或8（3）当点E 为AB 的中点时，矩形CDEF 的面积最大，最大面积是【解析】【分析】（1）先确定，再由矩形的性质得到，根据含30°角直角012x <<90AFE ∠=︒三角形的性质解得，，接着由勾股定理得到12EF AE =162BC AB ==，最后根据矩形的面AC ==CF AC AF AE =-=积公式解答即可；（2）由矩形CDEF 的面积为，再)26x -+=利用直接开平方解题；（3）利用配方法得到，据此解答． )26CDEF S x =-+矩形【小问1详解】解：解：∵，，点E 与点A 点B 均不重合，12AB =AE x =∴，012x <<∵四边形CDEF 是矩形，∴，90AFE ∠=︒∵，30A ∠=︒∴， 12EF AE =在中，，，，Rt ABC △90C ∠=︒30A ∠=︒12AB =∴， 162BC AB ==根据勾股定理得：AC ==∴， CF AC AF AE =-=∴； ()210122CDEF S CF EF x x x x ⎛⎫=⋅==+<< ⎪ ⎪⎝⎭矩形【小问2详解】根据题意得，2CDEF S x =+=矩形2(6)36x ⎡⎤--=⎣⎦， )26x -+=()264x -=62x ∴-=±解得：，，14x =28x =∴AE 的长为4或8； 【小问3详解】∵ ()2012CDEF S x =+<<矩形212)x x =-2221266)x x =-+-2(6)36x ⎤=--⎦， )26x =-+∴当时，矩形CDEF 的面积最大，6x =即当点E 为AB 的中点时，矩形CDEF 的面积最大，最大面积是．【点睛】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，涉及解一元二次方程、求二次函数的最值、矩形的性质、含30°角直角三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．24. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点Rt ABC △90ACB ∠=︒ABC C DEC 的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接．B E A D AB DE BC F BE（1）求证：平分；DC ADE ∠（2）试判断与的位置关系，并说明理由；BE AB （3）若， 求的大小（直接写出结果即可）．BE BD =ABC ∠【答案】（1）见解析 （2），理由见解析BE AB ⊥（3）的大小为ABC ∠22.5︒【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可；（2）结论：AB⊥BE．证明∠DBE+∠DCE=180°，即可解决问题；（3）连接AF ．过点B 作BH⊥CD 交CD 的延长线于H ，作BT⊥CE 于T ，证明△BHD≌△BTE，推出CB 是∠DCE 的角平分线，得到∠ACD=45°，据此求解即可解决问题．【小问1详解】证明：∵△DCE 是由△ACB 旋转得到，∴CA=CD，∠A=∠CDE，∴∠A=∠CDA，∴∠CDA=∠CDE，∴CD 平分∠ADE；【小问2详解】解：结论：BE⊥AB．由旋转的性质可知，∠ACD=∠BCE，∵CA=CD，CB=CE ，∴∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB，∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB=180°，∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE=180°，∴∠DCE+∠DBE=180°，∵∠DCE=90°，∴∠DBE=90°，∴BE⊥AB；【小问3详解】解：如图，连接AF ，过点B 作BH⊥CD 交CD 的延长线于H ，作BT⊥CE 于T ，∵∠H=∠BTC=∠HCT=90°，∴∠HBT=∠DBE=90°，∴∠DBH=∠EBT，∵BD=BE，∠H=∠BTE=90°，∴△BHD≌△BTE（AAS ），∴BH=BT，∵BH⊥CH，BT⊥CE，∴CB 是∠DCE 的角平分线， ∴∠DCB=∠ECB=∠DCE=45°，12∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠FCD=45°，∵AC=CD， ∴∠CAD=∠ADC==67.5°， 180452︒-︒∴∠ABC=90°-∠CAD=22.5°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明△BHD≌△BTE．25. 已知抛物线（为常数，）交轴于点，点，26y ax bx =++a 0a ≠x ()6,0A ()1,0B -交轴于点．y C （1）求点的坐标和抛物线的解析式；C （2）是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴平行线，交直线于点，P AC P y ACD 当取得最大值时，求点的坐标；PD P（3）是抛物线的对称轴上一点，为抛物线上一点；当直线垂直平分的M l N AC AMN 边时，求点的坐标．MN N【答案】（1）y ＝−x 2＋5x ＋6，C （0，6）；（2）P （3，12）；（3）（）或72） 72【解析】【分析】（1）当x ＝0时，y ＝6，可求点C 坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）先求出直线AC 的解析式，再设D （t ，−t ＋6）（0＜t ＜6），知P （t ，−t 2＋5t ＋6），从而得PD ＝−（t −3）2＋9，据此可得答案；（3）先判断出NF∥x 轴，进而求出点N 的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线经过点A （6，0），B （−1，0）， 26y ax bx =++∴， 6036660a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴， 15a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y ＝−x 2＋5x ＋6，当x ＝0时，y ＝6，∴点C （0，6）；（2）如图（1），∵A（6，0），C （0，6），∴直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6，设D （t ，−t ＋6）（0＜t ＜6），则P （t ，−t 2＋5t ＋6），∴PD＝−t 2＋5t ＋6−（−t ＋6）＝−t 2＋6t ＝−（t −3）2＋9，当t ＝3时，PD 最大，此时，−t 2＋5t ＋6＝12，∴P（3，12）；（3）如图（2），设直线AC 与抛物线的对称轴l 的交点为F ，连接NF ，∵点F 在线段MN 的垂直平分线AC 上，∴FM＝FN ，∠NFC＝∠MFC，∵l∥y 轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，∴NF∥x 轴，由（2）知，直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6，由（1）可知：抛物线的对称轴为直线x= 52当x ＝时，y ＝， 5272∴F（，）， 5252∴点N 的纵坐标为， 72设N 的坐标为（m ，−m 2＋5m ＋6），∴−m 2＋5m ＋6＝， 72或m∴点N ，，）． 7272【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD ＝PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．。
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南华中学九年级数学上册期中模拟试卷 班级 姓名 成绩
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列图形中，不是中心对称图形的是( ) A ．五角星 B ．菱形 C ．矩形 D ．线段
2．下列函数中，是二次函数的为( )
3．若点A(3-m ，n+2)关于原点的对称点B 的坐标是(-3，2)，则m ，n 的值为( )
A.m=-6,n= -4
B.m=O,n=-4 C ．m=6,n=4 D ．m=6,n=-4
4．下列方程为一元二次方程的是( )
5关于x 的一元二次方程.01)12(2=-+++k x k x 根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．根的情况无法判定
6．已知关于x 的方程;0)3(4
122=+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 可取的最大整数是( ) A. 2 B. -1 C. 0 D. 1 7．抛物线:b x a y ++=2)1(的一部分如图，该抛物线在y 轴右侧部分
与x 轴交点的坐标是( )
8．二次函数c bx ax y ++=2
与一次函数y=ax+c 在同一直角坐标系内的大致图象是( )
9．设,αβ是方程0122=--x x 的两根，则代数式αβαβ++的值是( )
A.l
B. -1
C. 3
D. -3
10.若a+b+c=0，那么一元二次方程:02
=++c bx ax 必有一根是( )
A.O
B.l
C. -1
D.2
二、填空题(每题4分，共24分)
11．函数y=2x 2+4x-5用配方法转化为y=a(x-h)2+k 的形式是 12.方程2x 2+ px-q=0的两根是-4，2，则p+q 的值是
13.如图，D 是等腰直角三角形ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A
按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则么DAD ′的度数是
14.关于x 的一元二次方程x 2+4x-2m=0有两个实数根，则m 的取值范围
是
15．二次函数223y x x =-+-的顶点坐标是___________，对称轴是___________.
16．抛物线y=x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是_________．
三、解答题(共66分)
17.(14分)用适当的方法解下列方程:
(1)2420x x -+= (2) (x-l)(x-2)=3
18.(8分)已知抛物线y=x 2＋ (m －4)x －m 与x 轴交于A ，B 两点，且关于y 轴对称．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求A ，B 之间的距离．
19.(8分)要为一幅矩形照片配一个镜框，如图所示，要求镜框的四条边宽度都是1.5cm，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长比宽多llcm，求照片的面积.
20209分)已知二次函数y= 2x2-mx-m2．
(1)求证:对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，O)，求B点坐标．
21.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
(1)求n的值；
(2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
22. (9分)在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
(2)点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积；若不存在，说明理由．
23．(9分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴上两点，C，D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1，与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这
条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为(0，-2
3
)，点M是抛物线C 2．y=mx2 -2mx-3m(m＜0)
的顶点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最值；若不存在，请说明理由；
(3)当△BDM为直角三角形时，求m的值．。