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2019年2[1]4无穷小与无穷大.ppt
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x 1 (1) f ( x) ; (2) f ( x) e x . x x 1 解 (1) 因为 是 x 1 时无穷小, x x 所以 是 x 1 时的无穷大; x 1
(2) 因为e x是 x 时的无穷小, 1 所以 x 即e x是 x 时无穷大. e
三、无穷小的性质
又因为x 0, x为无穷小, 所以利用性质2可得 1 lim x sin 0. x 0 x
1 lim x sin ？ x x
sin x lim x x
？
例
2 1 求 lim . 2 x x x
2 1 解 因为当x 时, 和 均为无穷小, 2 x x 2 1 由性质1可得 lim 0. 2 x x x
x
lim tan x .
2
与无穷小相仿,应当注意以下几点:
(1) 说函数f ( x)是无穷大, 必须指明自变量x的变化趋势;
(2) 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
切不可把绝对值很大的常数认为是无穷大.
二、无穷小与无穷大的关系
定理 在自变量的同一变化过程中,
若
若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷小, 且 f ( x ) 0 , 则 为无穷大. f ( x)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
1 . 例 求极限 lim 2 x 1 x 2x 1
解
因为 x 2 x 1 0,( x 1),
2
所以 x 2x 1 当 x 1 时为无穷小,
2
1 所以 2 是 x 1 时的无穷大 x 2x 1
显然两个无穷小的商的极限会出现不同的情况， 原因在哪儿？
无穷小无穷大课件
定义1. 若 则称函数
(或 x ) 时 , 函数
则
为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 ! 因为
C
当
时,
C 显然 C 只能是 0 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
证: lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
0, 0, 当 0 x x0 时,有
f (x) A
f (x) A lim 0
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
作业 P41~42 2; 4；5
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数 当
但
所以
时,
不是无穷大 !
3. 若
则直线 x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
铅直渐近线
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例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使
只要取 1 , 则对满足
M
即 的一切 x , 有
所以
说明: 直线 x 1 为曲线
的铅直渐近线 .
渐近线
《无穷小无穷大》课件
无穷小是极限为零的变量或函数。
无穷小是数学分析中的一个重要概念，是 研究函数极限和连续性的基础。
无穷小是相对于自变量的某个变化范围而 言的，不是绝对的零。
无无穷小的性质
无穷小具有局部性、相对 性和极限性。
无穷小是相对于自变量的 某个变化趋势而言的，不 是绝对的零。
无穷小具有可加性、可减 性、可乘性和可除性等性 质。
无穷大的应用
无穷大在数学分析、实数理论、集合论等领域有着广泛的应用，是研究数学的基 础概念之一。
在实际应用中，无穷大可以用来描述物理现象和工程问题，例如在电路分析中， 无穷大可以用来表示电源电压或电流的极限值。
04
无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的基 础
无穷小是无限趋近于0的数，而无穷 大是无限增大的数。无穷小和无穷大 之间的关系是相互依存的，无穷小是 无穷大的基础，因为任何无穷大的数 都可以分解为无穷小的数相加或相乘 。
无穷大分为实无穷和潜无穷两种类型 ，实无穷认为存在一个最大的数或集 合，而潜无穷则认为数列或集合可以 无限地增大而没有最大值。
无穷大的性质
01
无穷大具有传递性，即如果一个 数或集合大于另一个数或集合， 且后者大于另一个数或集合，则 前者也大于后者。
02
无穷大具有不可比较性，即无法 比较两个无穷大的大小，因为它 们都超出了任何有限的界限。
无穷级数和无穷乘积是微积分中的重 要工具，无穷小和无穷大在它们的计 算和证明中也有着重要的应用。
导数和积分
导数和积分是微积分中的重要概念， 无穷小和无穷大在导数和积分的计算 中也有着重要的应用。
物理中的应用
相对论
在相对论中，时间和空间都是相 对的，无穷小和无穷大在相对论 中有着重要的应用，例如光速的
1-4无穷小与无穷大精品PPT课件
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x0
lim 1 x x 0 lim 1 x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例3
1
lim e x
x0
1
lim e x 0
x0
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
《高等数学》无穷小与无穷大、无穷小的比较 ppt课件
取 Xma X 1,x X2 { }当 , x X时,恒有
, 22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
定理 3
有界函数与无穷小的乘积是无穷 小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 x l x 0 i f ( x ) m a ,则 0 ,当 0 |x x 0 | 时 , |f ( x ) a | |( f ( x ) a ) 0 | ,
即x当 x0时 , f(x)a是一个.无穷 令 ( x ) f ( x ) a , 则 ( x ) 0 ( x x 0 ) , 且 f( x ) a ( x )( x x 结论 ?
定理1
limf (x)a f(x) a (x),
xx0 (x)
其 ,( x ) 0 中 ( x x 0 , ( x ) .)
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2
在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小.
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0, X 10,X 20,使得
当xX1时恒 有 2; 当xX2时恒 有 2;
limx2 .
x
(ii) y x3,
limx3 . (iii), (iv) 自己画
, 22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
定理 3
有界函数与无穷小的乘积是无穷 小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 x l x 0 i f ( x ) m a ,则 0 ,当 0 |x x 0 | 时 , |f ( x ) a | |( f ( x ) a ) 0 | ,
即x当 x0时 , f(x)a是一个.无穷 令 ( x ) f ( x ) a , 则 ( x ) 0 ( x x 0 ) , 且 f( x ) a ( x )( x x 结论 ?
定理1
limf (x)a f(x) a (x),
xx0 (x)
其 ,( x ) 0 中 ( x x 0 , ( x ) .)
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2
在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小.
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0, X 10,X 20,使得
当xX1时恒 有 2; 当xX2时恒 有 2;
limx2 .
x
(ii) y x3,
limx3 . (iii), (iv) 自己画
1-5-无穷小与无穷大的性质PPT课件
二、根据定义证明:当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么条件,能使 y 104 .
函数与极限
18
三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 ,但当 xx
x 0 时 ,这个函数不是无穷大.
函数与极限
19
练习题答案
一、1、0；
3、 ； 二、0 x 1 .
函数与极限
15
思考题
若 f ( x) 0，且 lim f ( x) A， x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
函数与极限
16
思考题解答
不能保证.
例 f (x) 1 x
x 0,
lim f ( x) lim 1 A 0.
x
x x
有 f (x) 1 0 x
函数与极限
17
一、填空题:
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
函数与极限
14
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
函数与极限
1
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值
是无穷大,问 x 应满足什么条件,能使 y 104 .
函数与极限
18
三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 ,但当 xx
x 0 时 ,这个函数不是无穷大.
函数与极限
19
练习题答案
一、1、0；
3、 ； 二、0 x 1 .
函数与极限
15
思考题
若 f ( x) 0，且 lim f ( x) A， x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
函数与极限
16
思考题解答
不能保证.
例 f (x) 1 x
x 0,
lim f ( x) lim 1 A 0.
x
x x
有 f (x) 1 0 x
函数与极限
17
一、填空题:
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
函数与极限
14
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
函数与极限
1
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值
无穷大与无穷小课件
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证
1 例 f ( x) = x
∀ x > 0,
1 有 f ( x) = > 0 x
1 lim f ( x ) = lim = A = 0. x → +∞ x x → +∞
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 无穷小与无穷大的关系 四、小结 思考题
一、无穷小
无穷小. 1.定义 极限为零的变量称为无穷小 定义: 极限为零的变量称为无穷小 定义
定义 1 如果函数 如果函数 f (x)当 x → x0(或 x → ∞)时的极 限为零， 么称函数 f (x)当 x → x0(或 x → ∞)时的 那 限为零， 无穷小, 无穷小,记作 lim f ( x) = 0 (或lim f ( x) = 0).
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 、主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
x→x0
lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + α( x),
时的无穷小. 其中α(x)是当x → x0时的无穷小
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 将一般极限问题转化为特殊极限问题 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷 小);
无穷小与无穷大及四则运算ppt课件
本文首先引入了无穷小与无穷大的概念，并详细解释了无穷小的定义，即当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于零的变量。着，通过实例演示了如何判断一个函数是否为无穷小，并深入探讨了无穷小的性质，包括有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小，以及有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。此外，还通过具体例子展示了如何利用这些性质进行极限运算。最后，本文对无穷小进行了比较，定义了高阶、低阶、同阶以及等价无穷小，并通过实例加以说明。这些内容为理解和应用无穷小与无穷大在四则运算中的规则提供了坚实的基础。