【高中数学(竞赛)知识点提纲】
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
高中数学竞赛知识点整理
高中数学竞赛知识点整理
一、代数知识
1.一元二次方程：
（1）一元二次方程的解法：
a、利用求根公式：解一元二次方程的根：
若ax2 + bx + c = 0，则x1 = (-b + √(b2 - 4ac))/2a，x2 = (-b -
√(b2 - 4ac))/2a
b、利用因式分解法：
将一元二次方程化为两个一元一次方程，求解。
2.一元一次方程：
（1）一元一次方程的解法：
a、利用移项法：把一元一次方程化为一元一次不等式，求解。
b、利用乘除法：将一元一次方程的系数化简，求解。
3.二元一次方程组：
（1）二元一次方程组的解法：
a、利用消元法：把二元一次方程组化为一元一次方程组，求解。
b、利用代入法：将一个方程的解代入另一个方程，求解。
4.不等式：
（1）一元一次不等式的解法：
a、利用移项法：将一元一次不等式化为一元一次方程，求解。
b、利用乘除法：将一元一次不等式的系数化简，求解。
二、几何知识
1.直线与圆：
（1）直线与圆的位置关系：
a、直线与圆有共点：直线与圆相切；
b、直线与圆无共点：直线与圆相交；
c、直线与圆有共线：直线与圆相离；
2.三角形：
（1）三角形的性质：
a、直角三角形：有两条直角边；
b、等腰三角形：有两条等长边；
c、等边三角形：三条边。
高二数学竞赛题知识点
高二数学竞赛题知识点在高二数学竞赛中，学生们通常会遇到各种各样的数学问题和题目。
为了取得好成绩，竞赛选手需要了解并掌握一些重要的数学知识点。
本文将介绍一些高二数学竞赛中常见的知识点和相应的解题技巧。
一、函数与方程1. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要内容。
解一元二次方程可以使用求根公式和配方法。
在竞赛中，对于一元二次方程的解法要熟练掌握，并注意考虑方程是否有唯一解或无解的情况。
2. 指数与对数函数指数与对数函数是高中数学中的另一重要内容。
学生们需要了解指数与对数的基本性质，掌握指数与对数函数的图像和性质，以及指数方程与对数方程的解法。
二、平面几何1. 相似三角形相似三角形是平面几何中的重要概念。
学生们需要知道相似三角形的基本定义和性质，能够判断两个三角形是否相似，并应用相似三角形的性质解决相关问题。
2. 圆的性质圆是平面几何中的基本图形，学生们需要了解圆的圆心、半径、直径等基本概念，以及圆的切线、弦、弧、扇形等性质。
在竞赛中，对于圆的性质的掌握十分重要。
三、立体几何1. 空间几何体的体积、表面积与相关性质学生们需要掌握立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等常见几何体的体积和表面积的计算方法，了解它们的相关性质，并能够应用这些知识解题。
2. 空间向量空间向量是高中数学中的重要概念，学生们需要掌握向量的加法、减法和数量积的计算方法，了解向量的共线与垂直关系等基本性质。
在竞赛中，向量的应用常常涉及平面向量和空间向量的结合。
四、概率与统计1. 排列与组合排列与组合是概率与统计中的基本内容，学生们需要熟练掌握排列与组合的计算方法，并能够应用它们解决相关问题。
2. 概率的计算概率是概率与统计的核心内容，学生们需要掌握概率的基本定义、性质和计算方法，能够利用概率解决实际问题，例如计算事件的概率、条件概率和独立事件等。
总结：高二数学竞赛题目涉及的知识点广泛且深入，要取得好成绩，学生们需要充分准备。
本文介绍了一些高二数学竞赛题常见的知识点和解题技巧，包括函数与方程、平面几何、立体几何以及概率与统计。
高一数学竞赛知识点
高一数学竞赛知识点在高中阶段，数学竞赛成为了学生们展示才华和水平的重要途径之一。
参加数学竞赛不仅可以考验学生的数学能力，还可以培养他们的思维逻辑和问题解决能力。
然而，能够在数学竞赛中脱颖而出并不容易，需要学生们掌握一些重要的数学知识点。
本文将介绍高一数学竞赛的一些重要知识点，帮助学生们在竞赛中取得优异的成绩。
一、函数与方程在数学竞赛中，函数与方程是最基本也是最重要的知识点之一。
学生们应该熟悉各种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，以及它们的性质与图像。
此外，掌握方程的解法也非常重要。
学生们需要理解方程的基本概念和性质，能够灵活地应用不同的解法求解各种类型的方程。
二、排列与组合排列与组合是高一数学竞赛中常见的题型。
学生们需要了解排列与组合的基本定义和计算公式，并能够熟练地应用到各种实际问题中。
在解答排列与组合问题时，学生们应该注意题目中的条件限制，灵活运用计数原理和容斥原理等方法，确保得出正确的结果。
三、数列与数列极限数列与数列极限也是高一数学竞赛中常见的考点。
学生们需要对数列的概念和性质有清晰的认识，能够计算数列的通项公式和前n项和。
此外，理解数列极限的概念和性质也非常重要。
学生们需要学会判断数列的收敛性，并能够计算收敛数列的极限值。
四、不等式不等式在高一数学竞赛中也扮演着重要的角色。
学生们需要熟悉不等式的基本性质和解法，并能够应用到各种实际问题中。
掌握不等式的加减乘除运算规则、平方与开方不等式、绝对值不等式等是解决不等式问题的关键。
五、平面几何平面几何是数学竞赛中常见的另一大考点。
学生们需要掌握平面几何中的基本定义和性质，能够灵活运用各种几何定理和公式解决各种几何问题。
熟练掌握平面几何的计算方法以及对称性质和相似性质等是高中数学竞赛中得分的关键。
六、立体几何除了平面几何，立体几何也是高一数学竞赛中重要的考点之一。
学生们需要了解立体几何中的基本概念和性质，能够运用立体几何的公式和计算方法解决各种立体几何问题。
数学竞赛必考知识点总结
数学竞赛必考知识点总结一、基本概念与基本操作1. 整数2. 质数3. 最大公约数和最小公倍数4. 分数5. 百分数6. 有理数7. 实数8. 绝对值9. 分解质因数10. 基本运算11. 去分母12. 乘法公式、分配律、结合律、交换律13. 化简14.幂15.开方16.约分17. 合并同类项18. 海伦公式19. 二次根式20. 对数二、代数与方程式1. 代数式2. 一元一次方程3. 一元一次方程组4. 二元一次方程5. 一元二次方程6. 二元二次方程7. 一元一次不等式8. 解方程组的方法9. 分式方程10. 绝对值方程11. 方程的根与系数的关系12. 各类方程应用题13. 根据方程求解对应的函数表达式三、函数1. 函数的概念2. 函数的性质3. 一次函数4. 二次函数5. 幂函数6. 对数函数7. 指数函数8. 函数的求解9. 函数的图像和性质10. 函数的变化规律11. 函数的定义域和值域12. 函数的图像与特性13. 函数关系的应用题14. 不等式的解法四、三角函数1. 角的概念2. 三角函数的概念3. 正弦、余弦、正切、余切函数的性质4. 三角函数的图象及性质5. 角度制和弧度制的互换6. 锐角三角函数的定义7. 三角函数的基本关系8. 三角函数的图像与性质9. 三角函数的定积分10. 三角函数的方程11. 三角函数的不等式12. 三角函数的应用题五、平面向量与空间向量1. 向量的概念2. 向量的性质3. 向量的线性运算4. 向量的数量积5. 向量的夹角与垂直6. 向量的叉乘7. 平面向量的运算8. 空间向量的坐标表示9. 空间向量的数量积10. 空间向量的叉乘11. 平面与立体几何相关题目六、集合与函数1. 集合的概念2. 集合间的关系3. 集合的基本运算4. 集合的应用题5. 映射的概念6. 映射的类型7. 函数的概念8. 函数的性质9. 函数的图像与性质10. 函数的应用题七、数列与级数1. 递推数列2. 常数列3. 等差数列4. 等比数列5. 数列的性质6. 等差数列的和7. 等比数列的和8. 求和公式的应用9. 数列应用题10. 级数的性质11. 级数的求和八、概率与统计1. 随机事件与概率的概念2. 事件的概率3. 条件概率与事件的独立性4. 随机变量与概率分布5. 二项分布6. 正态分布7. 统计图表的绘制与分析8. 样本调查与结果的推论九、解析几何1. 点、直线、平面2. 直线与平面的位置关系3. 球面、圆柱面、圆锥面4. 圆锥曲线的方程与性质5. 空间曲线与曲面6. 几何方程应用题总结：数学竞赛知识点包括基本概念与基本操作、代数与方程式、函数、三角函数、平面向量与空间向量、集合与函数、数列与级数、概率与统计、解析几何等内容。
高一数学竞赛知识点
高一数学竞赛知识点一、集合与函数1. 集合的概念：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示法等。
3. 集合的运算：并集、交集、差集、补集等。
4. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。
5. 函数的性质：单射、满射、一一对应、复合函数等。
二、数列与数列极限1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数。
2. 等差数列：数列中的任意两项之差都相等。
3. 等比数列：数列中的任意两项之比都相等。
4. 通项公式：数列中的第n项与n的关系式。
5. 数列极限：数列随着项数无限增加，趋向于一个确定的值。
6. 数列极限的性质：唯一性、保序性、四则运算性质等。
三、函数的性质与图像1. 函数的奇偶性：奇函数和偶函数的定义与性质。
2. 函数的周期性：周期函数的定义与性质。
3. 函数的单调性：增函数和减函数的定义与判定方法。
4. 函数的极值：局部极大值和局部极小值的概念与求解方法。
5. 函数的图像：函数的图像与坐标轴的交点、拐点、对称轴等。
四、数学归纳法1. 数学归纳法的原理：从已知条件推导出未知结论的一种方法。
2. 数学归纳法的基本步骤：证明基本情况、假设成立、推导出下一步结论。
3. 数学归纳法的应用：证明数列、不等式、恒等式等的成立性。
五、平面几何1. 平面几何的基本概念：点、线、面、角等的定义与性质。
2. 直线和平面的关系：相交、平行、垂直等的判定方法。
3. 三角形的性质：内角和、外角和、中位线、高线等的性质。
4. 相似三角形：相似三角形的判定条件、比例关系及其应用。
5. 圆的性质：圆心角、弧长、弦长、切线等的性质。
6. 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质。
六、概率与统计1. 随机事件：随机事件的概念、必然事件、不可能事件及其运算。
2. 概率的计算：频率概率、几何概率、古典概型等的计算方法。
3. 条件概率：事件A在事件B发生的条件下发生的概率。
高中数学竞赛笔记
高中数学竞赛笔记一、数学竞赛概述数学竞赛是考察学生数学能力和思维能力的竞赛活动。
主要考察学生的数学基础、解题技巧和思维能力。
高中数学竞赛主要涉及的知识点包括代数、几何、数论和组合数学等。
二、知识点梳理1. 代数部分(1) 一元二次方程、分式方程、根式方程的解法(2) 集合的概念、性质、运算(3) 函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性(4) 导数的概念及运算(5) 数列的概念、分类及性质(6) 排列组合的概念及运算(7) 二项式定理及其应用2. 几何部分(1) 平面几何的基本性质及定理(2) 空间几何体的表面积和体积(3) 平面解析几何中的直线、圆、圆锥曲线的性质及定理(4) 向量的概念、运算及几何意义3. 数论部分(1) 质数、合数、因数、倍数等基本概念(2) 数的整除性及最大公约数、最小公倍数(3) 同余方程及中国剩余定理(4) 数论中的一些重要定理，如费马小定理、欧拉定理等4. 组合数学部分(1) 组合计数原理及组合恒等式(2) 排列组合的应用，如计数原理、概率初步等(3) 组合几何的基本概念及性质(4) 图论的基本概念及定理，如欧拉路径、欧拉回路等三、解题技巧总结1. 代数部分：善于运用代数变换、因式分解、配方等方法简化问题。
同时，要注意观察式子的结构，利用已知的公式和定理来解决问题。
2. 几何部分：注重图形的几何意义，通过直观想象和推理来解决问题。
同时，要掌握一些常用的几何定理和公式，如勾股定理、射影定理等。
3. 数论部分：善于运用整除性、同余方程等基本概念来解决问题。
同时，要注意观察数字的规律和特点，利用数论中的定理来求解问题。
4. 组合数学部分：掌握基本的组合计数原理和方法，了解一些常用的排列组合公式。
同时，要注重问题的转化和归纳，利用组合数学的基本概念和定理来求解问题。
四、思维能力训练数学竞赛不仅考察学生的数学基础和解题技巧，还注重学生的思维能力。
因此，学生需要在平时的训练中注重思维能力的训练。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
全国高中数学联赛考试大纲
全国高中数学联赛考试大纲The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 20201.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点、欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
特征方程法第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，求n次迭代,简单的函数方程*。
3.初等数论同余，辗转相除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[X]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
高一数学竞赛知识点总结归纳
高一数学竞赛知识点总结归纳概述：高一数学竞赛是对学生数学能力的全面检测和提升，具有一定的难度和深度。
在竞赛备考过程中，需要对各个知识点进行有效的总结和归纳，以便更好地复习和应对考试。
本文将对高一数学竞赛的知识点进行分类总结和归纳，帮助同学们更好地掌握和理解这些知识点。
一、函数与方程1. 函数的定义和性质- 定义函数的概念和符号表示- 求解函数的定义域和值域- 判断函数的奇偶性和周期性2. 一次函数与二次函数- 求解一次函数和二次函数的零点和解析式- 理解一次函数和二次函数的图象与性质- 应用一次函数和二次函数解决实际问题3. 不等式与方程- 解一元一次不等式和方程- 解一元二次不等式和方程- 组合不等式和方程的解集二、数与集合1. 复数与向量- 复数的定义和运算法则- 解复数方程和不等式- 向量的定义和运算法则- 应用向量解决几何问题2. 集合与运算- 集合的基本概念和表示方法- 集合的运算及其性质- 应用集合解决实际问题三、数列与数列极限1. 等差数列与等比数列- 定义等差数列和等比数列- 求解等差数列和等比数列的通项公式 - 求解数列的和与项数2. 数列的极限- 了解数列极限的概念和性质 - 求解常见数列的极限值- 应用数列极限解决实际问题四、概率与统计1. 概率基础知识- 概率的定义和性质- 概率的计算和应用2. 统计基础知识- 数据的收集和整理- 数据的分析和表示- 统计推断和误差分析五、几何与三角学1. 平面几何- 直线与角的性质- 三角形的定义和性质- 四边形和多边形的性质- 圆的定义和性质2. 空间几何- 空间几何中的直线和平面- 空间几何中的几何体3. 三角函数- 三角函数的基本概念和性质 - 三角函数的图像与变换- 三角函数的应用六、解析几何1. 坐标与向量- 二维坐标系和向量的概念- 坐标和向量的运算- 向量的共线和垂直性- 向量的线性运算2. 直线与曲线- 直线的方程与性质- 圆的方程与性质- 抛物线和双曲线的方程与性质七、数理逻辑与证明1. 命题与命题连接词- 命题的概念和符号表示- 命题连接词的真值表和性质- 命题的等价、否定和充分必要条件2. 数学归纳法与证明方法- 数学归纳法的基本思想和步骤- 证明方法的基本规则和技巧- 应用证明解决实际问题总结：通过对高一数学竞赛知识点的总结和归纳，同学们可以更清晰地了解各个知识点的要点和考点，进一步提升数学竞赛的应试能力。
高一数学竞赛知识点大全
高一数学竞赛知识点大全数学是一门重要的学科，对于学生来说，提前熟悉并掌握数学竞赛的知识点是非常重要的。
本文将为大家总结高一数学竞赛的知识点，帮助大家更好地备战竞赛。
一、代数与函数1. 初步的代数运算：四则运算、分配律、合并同类项等基础运算法则。
2. 整式与分式的乘除：整式与分式的乘法展开、整式与分式的除法。
3. 因式分解：公因式提取法、差平方、完全平方等因式分解方法。
4. 分式运算：分式的加减、化简、乘除等常用运算规则。
5. 线性方程与不等式：一元一次方程与不等式的解法、二元一次方程组的解法和应用。
6. 二次方程与不等式：求根公式、韦达定理、二次不等式的解法和应用。
7. 指数与对数：指数的运算法则、对数的运算法则、指数方程与对数方程的解法。
8. 函数的概念与性质：函数的定义、函数的性质、函数的图像与性质。
9. 函数的运算：函数的加减、乘、除等运算法则。
10. 函数的图像与性质：一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质。
11. 幂函数与指数函数：幂函数与指数函数的图像与性质、幂指对函数的运算法则。
二、几何与立体几何1. 二维图形的性质：重心、垂直、平行、三角不等式等性质。
2. 三角形的性质：角平分线定理、中线定理、垂心与垂足等性质。
3. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形等性质。
4. 圆的性质：圆心角定理、弧长、扇形等性质。
5. 直线与圆的位置关系：点到直线、直线到圆的距离、切线等。
6. 空间几何图形的性质：球的表面积和体积、立体几何图形的面积与体积。
三、概率与统计1. 概率的基本概念：随机事件、样本空间、事件概率等。
2. 概率的计算：频率、古典概型、几何概型等概率计算方法。
3. 统计的基本概念：总体、样本、频数等统计学基本概念。
4. 统计图表的制作与分析：条形图、折线图、饼图等常见统计图的制作与分析方法。
四、数列与数表1. 数列的定义与性质：数列的概念、等差数列、等比数列等性质。
2. 数列的运算与运算规律：数列的加减、乘除等运算法则。
高中数学竞赛基础知识讲解
高中数学竞赛基本知识集锦广州市育才中学数学科 邓军民 整理一、三角函数 常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。
但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。
先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cosαα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±= 积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=三倍角公式()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3二、某些特殊角的三角函数值三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。
这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。
要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子求值：76cos 74cos 72cosπππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。
高中数学竞赛知识点提纲
【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set）1.1集.合的阶，集.合之间的关系。
1.2集.合的分划1.3子集，子集族1.4容斥原理1.5极端原理1.6抽屉原理2. 函数（function）2.1函数的基本概念2.1.1映射2.1.1.1单射2.1.1.2满射2.1.1.3一一映射（双射）2.1.2函数的定义域、值域2.2函数的性质2.2.1对称性2.2.2单调性2.2.3奇偶性2.2.4周期性2.2.5凹凸性2.2.6连续性2.2.7可导性2.2.8有界性2.2.9收敛性2.3初等函数2.3.1一次、二次、三次函数2.3.2幂函数2.3.3双勾函数2.3.4指数、对数函数2.4函数的迭代2.5函数方程3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算3.3三角恒等式、不等式、最值3.4正弦、余弦定理3.5反三角函数3.6三角方程4. 向量（vector）4.1向量的运算4.2向量的坐标表示，数量积5. 数列（sequence）5.1数列通项公式求解5.1.1换元法5.1.2特征根法5.1.3不动点法5.1.4迭代法5.1.5数学归纳法5.1.6代换法5.1.7待定系数法5.1.8阶差法5.2数列求和5.2.1裂项相消法5.2.2错位相减法5.2.3倒序相加法5.2.4分组分解法5.2.5归纳猜想法6．不等式（inequality）6.1解不等式6.2重要不等式6.2.1均值不等式6.2.2柯西不等式6.2.3排序不等式6.2.4契比雪夫不等式6.2.5赫尔德不等式6.2.6权方和不等式6.2.7幂平均不等式6.2.8琴生不等式6.2.9 Schur不等式6.2.10嵌入不等式6.2.11卡尔松不等式6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式6.3.2调整法(放缩法)6.3.3归纳法6.3.4切线法6.3.5展开法6.3.6局部法6.3.7反证法6.3.8其他7.解析几何（analyticgeometry）7.1直线与二次曲线方程7.2直线与二次曲线性质7.3参数方程7.4极坐标系8．立体几何（solidgeometry）8.1空间中元素位置关系8.2空间中距离和角的计算8.3棱柱，棱锥，四面体性质8.4体积，表面积8.5球，球面8.6三面角*8.7空间向量9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability）9.1排列组合的基本公式9.1.1加法、乘法原理9.1.2无重复的排列组合9.1.3可重复的排列组合9.1.4圆排列、项链排列9.1.5一类不定方程非负整数解的个数9.1.6错位排列数9.1.7 Fibonacci数9.1.8 Catalan数9.2计数方法9.2.1映射法9.2.2容斥原理9.2.3递推法9.2.4折线法9.2.5算两次法9.2.6母函数法9.3证明组合恒等式的方法9.3.1 Abel法9.3.2算子方法9.3.3组合模型法9.3.4归纳与递推方法9.3.5母函数法9.3.6组合互逆公式9.4二项式定理9.5概率9.5.1独立事件概率9.5.2互逆事件概率9.5.3条件概率9.5.4全概率公式，贝叶斯公式9.5.5现代概率，几何概率9.6数学期望与方差9.7概率分布9.7.1二项分布9.7.2几何分布9.7.3正态分布10.极限，导数（limits,derivatives）10.1极限定义，求法10.2导数定义，求法10.3导数的应用10.3.1判断单调性10.3.2求最值10.3.3判断凹凸性10.4洛比达法则10.5偏导数11.复数（complexnumbers）11.1复数概念及基本运算11.2复数的几个形式11.2.1复数的代数形式11.2.2复数的三角形式11.2.3复数的指数形式11.2.4复数的几何形式11.3复数的几何意义，复平面11.4复数与三角，复数与方程11.5单位根及应用12.平面几何（planegeometry）12.1几个重要的平面几何定理/引理12.1.1梅勒劳斯定理12.1.2塞瓦定理12.1.3托勒密定理12.1.4西姆松定理12.1.5斯特瓦尔特定理12.1.6张角定理12.1.7欧拉定理12.1.8九点圆定理12.1.9沢山引理12.2圆幂，根轴12.3三角形的巧合点12.3.1内心12.3.2外心12.3.3重心12.3.4垂心12.3.5旁心12.3.6费马点12.4调和点列12.5圆内接调和四边形12.6完全四边形12.7几何变换12.7.1平移变换12.7.2旋转变换12.7.3位似变换12.7.4对称变换（反射变换）12.7.5反演变换12.7.6配极变换12.8几何不等式12.9平面几何常用方法12.9.1纯几何方法12.9.2三角法12.9.3解析法12.9.4复数法12.9.5向量法12.9.6面积法13.多项式（polynomials）13.1多项式恒等定理13.2多项式的根及应用13.2.1韦达定理13.2.2虚根成对原理13.3多项式的整除，互质13.4拉格朗日插值多项式13.5差分多项式13.6牛顿公式13.7单位根13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematicalinduction）14.1第一数学归纳法14.2第二数学归纳法14.3螺旋归纳法14.4跳跃归纳法14.5反向归纳法14.6最小数原理15. 初等数论（elementarynumber theory）15.1整数，整除15.2同余15.3素数，合数15.4算术基本定理15.5费马小定理，欧拉定理15.6拉格朗日定理，威尔逊定理15.7裴蜀定理15.8平方数15.9中国剩余定理15.10高斯函数15.11指数，阶，原根15.12二次剩余理论15.12.1二次剩余定理及性质15.12.2 Legendre符号15.12.3 Gauss二次互反律15.13不定方程15.13.1不定方程解法15.13.1.1同余法15.13.1.2构造法15.13.1.3无穷递降法15.13.1.4反证法15.13.1.5不等式估计法15.13.1.6配方法，因式分解法15.13.2重要不定方程15.13.2.1一次不定方程（组）15.13.2.2勾股方程15.13.2.3 Pell方程15.14 p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics）16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）16.3存在性问题17.6其~他~ 16.4组合极值问题16.5操作变换，对策问题16.6组合几何16.6.1凸包16.6.2覆盖16.6.3分割16.6.4整点16.7图论16.7.1图的定义，性质16.7.2简单图，连通图16.7.3完全图，树16.7.4二部图，k部图16.7.5托兰定理16.7.6染色与拉姆塞问题16.7.7欧拉与哈密顿问题16.7.8有向图，竞赛图16.8组合方法16.8.1映射法，对应法，枚举法16.8.2算两次法16.8.3递推法16.8.4抽屉原理16.8.5极端原理16.8.6容斥原理16.8.7平均值原理16.8.8介值原理16.8.9母函数法16.8.10染色方法16.8.11赋值法16.8.12不变量法16.8.13反证法16.8.14构造法16.8.15数学归纳法16.8.16调整法16.8.17最小数原理16.8.18组合计数法17.其他（others）17.1微积分，泰勒展开17.2矩阵，行列式17.3空间解析几何17.4连分数17.5级数，p级数，调和级数，幂级数。
2021年全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容欧阳光明（2021.03.07）一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
数学高三竞赛知识点
数学高三竞赛知识点高三数学竞赛是学生们在高三阶段参与的一项重要活动，是考察学生数学能力和应对复杂问题的机会。
在准备竞赛的过程中，掌握一些重要的数学知识点是至关重要的。
本文将为您总结和归纳一些高三数学竞赛常见的知识点。
一、函数与方程1. 函数的性质与变化：了解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，掌握用图像和表达式表示函数的方法。
2. 一次、二次函数：熟悉一次函数和二次函数的性质、图像、方程及应用，能灵活运用一次、二次函数解决实际问题。
3. 指数与对数函数：理解指数和对数函数的定义及性质，能够解决指数、对数方程和不等式。
4. 三角函数：熟悉常见的三角函数及其图像、性质，能够灵活运用三角函数解决实际问题。
5. 复数与多项式：掌握复数的定义及运算法则，了解多项式的性质和相关定理，能够求解多项式方程及应用。
二、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质：了解数列的定义、通项公式、前n项和及数列的递推关系，掌握数列的性质和常见数列的求和公式。
2. 等差数列与等比数列：熟悉等差数列和等比数列的性质、通项公式、前n项和以及等差数列与等比数列之间的相互转化，能够解决与数列相关的问题。
3. 递归数列与数学归纳法：了解递归数列的定义和特点，掌握数学归纳法的基本思想和应用，能够利用数学归纳法证明和解决问题。
三、几何1. 平面几何：熟悉平面几何的基本概念、性质和定理，包括平面图形的面积、周长计算，平面几何的变换等。
2. 空间几何：了解线、面、体的性质和关系，能够应用空间几何解决实际问题，如体积的计算、射影的性质等。
3. 三角形和圆的性质：掌握三角形的基本性质与判定条件，了解圆的性质和相关定理，能够灵活运用三角形和圆的性质解决相关问题。
四、概率与统计1. 概率的基本概念：了解概率的定义、计算方法和性质，掌握事件的概率计算和复合事件的概率计算。
2. 统计与统计图表：熟悉统计的基本方法和常用统计图表的绘制，能够进行样本调查和数据分析，包括频率分布、样本均值、标准差等。
高中数学竞赛基本知识点
i =1
fi pi
注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方 法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。 (2)不动点法 当 f(x)=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子：
an+1
=
a an c an
不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑
先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去
举个例子
求值： cos 2 + cos 4 + cos 6
7
7
7
提示：乘以 2sin 2 ，化简后再除下去。 7
求值： cos2 10 + cos2 50 − sin 40sin 80
n−1
若 p=1，则显然 an=a1+ f (i)，n≥2 i =1
( ) 若 p≠1，则两边同时除以 pn+1，变形为
a n+1 p n+1
=
an pn
+
fn p n+1
( ) ( ) 利用叠加法易得
an pn
=
a1 p
n−1
+
i =1
fi p i+1
，从而
an
=
p
n−1
a1
+
n−1
2
2
sin − sin = 2 cos + sin −
2
2
cos + cos = 2 cos + cos −
高中数学竞赛知识点整理
不等式块1．排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤则n n b a b a b a +++ 2211（同序和）jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和）1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和） 其中一排列j ,12设有n H Q n =3 4 则.21212211nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 例题讲解1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++2．0,,>c b a ，求证：.)(3c b a c b a abc c b a ++≥3．：.222,,,333222222ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+求证 4．设*21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同， 求证：.32131211223221n a a a a n n ++++≤++++ . 5．利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++6．已知a 789．n 1.轮换技巧.(ab +-c b 22≥+2. 不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且cb ,， ca 都大于等于1. 评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题.（2）本题可作如下推广：若≥=>n a na a i a a a n i a 2121),,,2,1(0则.)(2121n a a a n n a a a +++ （3）本题还可用其他方法得证。
因ab b a b a b a ≥，同理c a a c b c c b a c a c c b c b ≥≥,，另cb ac b a c b a c b a ≥，4式相乘即得证.（4）设.lg lg lg ,0c b a c b a ≥≥≥≥≥则例3等价于,lg lg lg lg a b b a b b a a +≥+类似例4可证.lg lg lg lg lg lg lg lg lg a c b b c a a c c b b a c c b b a a ++≥++≥++事实上，一般地有排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则n n b a b a b a +++ 2211（顺序和）n j n j j b a b a b a +++≥ 2121（乱序和）1111b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）其中n j j j n ,,2,1,,,21 是的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立..如b a 2+⋅≥3. cc 12⋅+2，即4.设b b ,,21又2112>所以1a ，故,121b b ≥5.ca a c bc c b ab b a 2,2,2223222≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证.评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.如n n x x x x x x x x x +++≥+++ 2112322221，可在不等式两边同时加上.132x x x x n ++++ 再如证)0,,(256)())(1)(1(32233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时，可连续使用基本不等式. （2）基本不等式有各种变式如2)2(222b a b a +≤+等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.6. 思路分析：不等式左边是a 、b 的4次式，右边为常数81，如何也转化为a 、b 的4次式呢. 要证,8144≥+b a 即证.)(81444b a b a +≥+评述：（1）本题方法具有一定的普遍性.如已知,0,1321≥=++i x x x x 求证：3231x x + .3133≥+x 右侧的31可理解为.)(313321x x x ++再如已知0321=++x x x ，求证：3221x x x x + +013≤x x ，此处可以把0理解为2321)(83x x x ++，当然本题另有简使证法. （27. 证明:211,x x b = =21x xn n x x x x x x 1112211⋅++⋅+⋅≥ （逆序和）=n ， 评述:对na a a 1,,1,121 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，n n A G ≤. 8. 分析:原不等式等价于111)11(1++<++n n n n ，故可设法使其左边转化为n 个数的几何平均，而右边为其算术平均.评述:（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等式形式相近.类似可证.)111(11(21++++<+n n n n （2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁.9.证明:先证左边不等式∴ （*）式成立，故原左边不等式成立.其次证右边不等式⇔ 1322111-+++<-n n n n （**）（**。
(完整版)高中数学竞赛知识点
数学均值不等式被称为均值不等式。
·即调停平均数不高出几何平均数，几何平均数不高出算术平均数，算术平均数不高出平方平均数，简记为“调几算方”。
其中：，被称为调停平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。
一般形式设函数（当 r 不等于 0 时）；（当r=0时），有时，。
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特别状况，即。
特例⑴对实数 a,b ，有（当且仅当a=b 时取“号=”），（当且仅当 a=-b 时取“=号”）⑵对非负实数a,b，有，即⑶对非负实数a,b，有⑷对实数 a,b ，有⑸对非负实数a,b，有⑹对实数 a,b ，有⑺对实数 a,b,c ，有⑻对非负数a,b ，有⑼对非负数a,b,c ，有在几个特例中，最出名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM 不等式）：当 n=2 时，上式即：当且仅当时，等号成立。
依照均值不等式的简化，有一个简单结论，即。
排序不等式基本形式：排序不等式的证明要证只需证依照基本不等式只需证∴原结论正确棣莫弗定理设两个复数（用三角形式表示），则：复数乘方公式：.圆排列定义从 n 个不同样元素中不重复地取出m （1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n 个不同样元素的圆排列。
若是一个m-圆排列旋转可以获取另一个m- 圆排列，则认为这两个圆排列相同。
计算公式n 个不同样元素的特别地，当m=n m- 圆排列个数N 为：时， n 个不同样元素作成的圆排列总数N 为：。
费马小定理小定理 (Fermat Theory) (a,p)=1 ，那么 a(p- 1) ≡1（ mod p 有一个公数 1) ，那么 a 的 (p-1)是数中的一个重要定理，其内容：若是 p 是数，且）。
即：若是 a 是整数， p 是数，且 a,p 互 (即两者只次方除以 p 的余数恒等于 1。
组合恒等式合数 C(k,n) 的定：从n 个不同样元素中取k 个行合的个数。
2023高中数学竞赛知识点梳理
2023高中数学竞赛知识点梳理
一. 整数与有理数
1. 整数的概念
2. 整数的运算法则
3. 整数的绝对值与相反数
4. 有理数的概念
5. 有理数的四则运算
6. 有理数的比较大小
二. 直线与平面几何
1. 直线的性质与分类
2. 直线的方程
3. 平面的性质与分类
4. 平面的方程
5. 直线与平面的位置关系
三. 函数与方程
1. 函数的定义与性质
2. 一元一次方程与一元一次不等式
3. 一元二次方程与一元二次不等式
4. 指数与对数函数
5. 三角函数
四. 图形的性质与变化
1. 几何图形的性质与分类
2. 三角形的性质与分类
3. 四边形的性质与分类
4. 圆的性质
5. 图形的相似与全等变换
五. 概率与统计
1. 随机事件与概率的基本概念
2. 事件的运算与概率的计算
3. 统计的基本概念与方法
4. 数据的整理与分析
5. 抽样与推断
六. 三角函数与解三角形
1. 三角函数的定义与性质
2. 三角函数的图像与单调性
3. 三角方程与三角恒等式
4. 解三角形的基本方法与应用
七. 进阶数学知识
1. 数列与数列的通项公式
2. 极限与连续性
3. 导数与微分
4. 积分与定积分
5. 向量与解析几何
以上是2023高中数学竞赛的基本知识点梳理，希望能帮助你更好地准备竞赛。
祝你取得优异成绩！。
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【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set）
1.1集.合的阶，集.合之间的关系。
1.2集.合的分划
1.3子集，子集族
1.4容斥原理
1.5极端原理
1.6抽屉原理
2. 函数（function）
2.1函数的基本概念
2.1.1映射
2.1.1.1单射
2.1.1.2满射
2.1.1.3一一映射（双射）
2.1.2函数的定义域、值域
2.2函数的性质
2.2.1对称性
2.2.2单调性
2.2.3奇偶性
2.2.4周期性
2.2.5凹凸性
2.2.6连续性
2.2.7可导性
2.2.8有界性
2.2.9收敛性
2.3初等函数
2.3.1一次、二次、三次函数
2.3.2幂函数
2.3.3双勾函数
2.3.4指数、对数函数
2.4函数的迭代
2.5函数方程
3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质
3.2三角函数运算
3.3三角恒等式、不等式、最值
3.4正弦、余弦定理
3.5反三角函数
3.6三角方程
4. 向量（vector）4.1向量的运算
4.2向量的坐标表示，数量积
5. 数列（sequence）
5.1数列通项公式求解
5.1.1换元法
5.1.2特征根法
5.1.3不动点法
5.1.4迭代法
5.1.5数学归纳法
5.1.6代换法
5.1.7待定系数法
5.1.8阶差法
5.2数列求和
5.2.1裂项相消法
5.2.2错位相减法
5.2.3倒序相加法
5.2.4分组分解法
5.2.5归纳猜想法
6．不等式（inequality）6.1解不等式
6.2重要不等式
6.2.1均值不等式
6.2.2柯西不等式
6.2.3排序不等式
6.2.4契比雪夫不等式
6.2.5赫尔德不等式
6.2.6权方和不等式
6.2.7幂平均不等式
6.2.8琴生不等式
6.2.9 Schur不等式
6.2.10嵌入不等式
6.2.11卡尔松不等式
6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式
6.3.2调整法(放缩法)
6.3.3归纳法
6.3.4切线法
6.3.5展开法
6.3.6局部法
6.3.7反证法
6.3.8其他
7.解析几何（analyticgeometry）
7.1直线与二次曲线方程
7.2直线与二次曲线性质
7.3参数方程
7.4极坐标系
8．立体几何（solidgeometry）
8.1空间中元素位置关系
8.2空间中距离和角的计算
8.3棱柱，棱锥，四面体性质
8.4体积，表面积
8.5球，球面
8.6三面角*
8.7空间向量
9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability）
9.1排列组合的基本公式
9.1.1加法、乘法原理
9.1.2无重复的排列组合
9.1.3可重复的排列组合
9.1.4圆排列、项链排列
9.1.5一类不定方程非负整数解的个数9.1.6错位排列数
9.1.7 Fibonacci数
9.1.8 Catalan数
9.2计数方法
9.2.1映射法
9.2.2容斥原理
9.2.3递推法
9.2.4折线法
9.2.5算两次法
9.2.6母函数法
9.3证明组合恒等式的方法
9.3.1 Abel法
9.3.2算子方法
9.3.3组合模型法
9.3.4归纳与递推方法
9.3.5母函数法
9.3.6组合互逆公式9.4二项式定理
9.5概率
9.5.1独立事件概率
9.5.2互逆事件概率
9.5.3条件概率
9.5.4全概率公式，贝叶斯公式
9.5.5现代概率，几何概率
9.6数学期望与方差
9.7概率分布
9.7.1二项分布
9.7.2几何分布
9.7.3正态分布
10.极限，导数（limits,derivatives）10.1极限定义，求法
10.2导数定义，求法
10.3导数的应用
10.3.1判断单调性
10.3.2求最值
10.3.3判断凹凸性
10.4洛比达法则
10.5偏导数
11.复数（complexnumbers）
11.1复数概念及基本运算
11.2复数的几个形式
11.2.1复数的代数形式
11.2.2复数的三角形式
11.2.3复数的指数形式
11.2.4复数的几何形式
11.3复数的几何意义，复平面
11.4复数与三角，复数与方程
11.5单位根及应用
12.平面几何（planegeometry）12.1几个重要的平面几何定理/引理12.1.1梅勒劳斯定理
12.1.2塞瓦定理
12.1.3托勒密定理
12.1.4西姆松定理
12.1.5斯特瓦尔特定理
12.1.6张角定理
12.1.7欧拉定理
12.1.8九点圆定理
12.1.9沢山引理
12.2圆幂，根轴
12.3三角形的巧合点
12.3.1内心
12.3.2外心
12.3.3重心
12.3.4垂心
12.3.5旁心
12.3.6费马点
12.4调和点列
12.5圆内接调和四边形
12.6完全四边形
12.7几何变换
12.7.1平移变换
12.7.2旋转变换
12.7.3位似变换
12.7.4对称变换（反射变换）12.7.5反演变换
12.7.6配极变换
12.8几何不等式
12.9平面几何常用方法
12.9.1纯几何方法
12.9.2三角法
12.9.3解析法
12.9.4复数法
12.9.5向量法
12.9.6面积法
13.多项式（polynomials）
13.1多项式恒等定理
13.2多项式的根及应用
13.2.1韦达定理
13.2.2虚根成对原理
13.3多项式的整除，互质
13.4拉格朗日插值多项式
13.5差分多项式
13.6牛顿公式
13.7单位根
13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematicalinduction）14.1第一数学归纳法
14.2第二数学归纳法
14.3螺旋归纳法
14.4跳跃归纳法
14.5反向归纳法
14.6最小数原理
15. 初等数论（elementarynumber theory）15.1整数，整除
15.2同余
15.3素数，合数
15.4算术基本定理
15.5费马小定理，欧拉定理
15.6拉格朗日定理，威尔逊定理
15.7裴蜀定理
15.8平方数
15.9中国剩余定理
15.10高斯函数
15.11指数，阶，原根
15.12二次剩余理论
15.12.1二次剩余定理及性质
15.12.2 Legendre符号
15.12.3 Gauss二次互反律
15.13不定方程
15.13.1不定方程解法
15.13.1.1同余法
15.13.1.2构造法
15.13.1.3无穷递降法
15.13.1.4反证法
15.13.1.5不等式估计法
15.13.1.6配方法，因式分解法
15.13.2重要不定方程
15.13.2.1一次不定方程（组）
15.13.2.2勾股方程
15.13.2.3 Pell方程
15.14 p进制进位制，p进制表示
16.组合问题（combinatorics）
16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）
16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）
16.3存在性问题
17.6其~他~ 16.4组合极值问题
16.5操作变换，对策问题
16.6组合几何
16.6.1凸包
16.6.2覆盖
16.6.3分割
16.6.4整点
16.7图论
16.7.1图的定义，性质
16.7.2简单图，连通图
16.7.3完全图，树
16.7.4二部图，k部图
16.7.5托兰定理
16.7.6染色与拉姆塞问题
16.7.7欧拉与哈密顿问题
16.7.8有向图，竞赛图
16.8组合方法
16.8.1映射法，对应法，枚举法
16.8.2算两次法
16.8.3递推法
16.8.4抽屉原理
16.8.5极端原理
16.8.6容斥原理
16.8.7平均值原理
16.8.8介值原理
16.8.9母函数法
16.8.10染色方法
16.8.11赋值法
16.8.12不变量法
16.8.13反证法
16.8.14构造法
16.8.15数学归纳法
16.8.16调整法
16.8.17最小数原理
16.8.18组合计数法
17.其他（others）
17.1微积分，泰勒展开
17.2矩阵，行列式
17.3空间解析几何
17.4连分数
17.5级数，p级数，调和级数，幂级数。