离散数学---谓词公式与解释

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左孝凌离散数学课件2.3谓词公式与翻译

解法1 这只大红书柜摆满了那些古书。解法2 x y 设 A(x)：x是书柜设 F(x,y)：x摆满了y
解法1中R(x)表示x是大红书柜, 解法2中A(x) ∧B(x) ∧C(x)也可表示大红书柜,但用A(x) ∧B(x) ∧C(x)将更方便于对书柜的大小颜色进行讨论
B(x)：x是大的 D(y)：y是古老的 F(x,y)：x摆满了y
例题1 并非每个实数都是有理数。
设 R(x)：x是实数。 Q（x）：X是有理数。
每个实数都是有理数表示为： (x)( R( x) Q( x))
(x)( R( x) Q( x)) 并非每个实数都是有理数表示为：
例题2 没有不犯错误的人
解本语句即为“不存在不犯错误的人”。设 M(x)：x 是人。 F(x)：x犯错误。 “存在不犯错误的人”表示为： “不存在不犯错误的人”表示为：(x(M ( x) F ( x)) 等价于“任何人都要犯错误”或“所有人都要犯错误”。所以此命题也可符号化为： (x)(M ( x) F ( x))
2.7谓词演算的推理理论
2
2.3谓词公式与翻译
一、谓词公式
• 定义1：n元谓词A(x1，x2...xn) 称为谓词演算的原子公式。 • 定义2：谓词演算的合式公式,可由下述各条组成: ① 原子公式是合式公式。 ② 若A 是合式公式，则(A)也是合式公式。 ③ 若A，B是合式公式，则(A ∧ B)，(A ∨ B)，(A B)， (A B)也是合式公式。 ④ 若A是合式公式，x是A中出现的任何变元 ,则(x)A , (x)A，也是合式公式。 ⑤ 只有有限次应用(1)~(4)得到的公式是合式公式.
练习1
（3）没有不能表示成分数的有理数。
解：令D(x): x是有理数。F(x):x能表示成分数。则符号化为： (x)(D(x) F(x)) 或 (x)(D(x)∧ F(x)) 真值为１。

《应用离散数学》谓词公式及其解释

§2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。

（1）))()((y x Q x P x ，→∀（2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀ （3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解（1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。

（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是y ∃的约束变元。

（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。

2. 设个体域}21{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。

（1）))()((x Q x P x →∀ （2）))()((x Q x P x ∧∃解（1）解释1I ：个体域}21{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。

（2）解释2I ：个体域}21{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。

3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。

（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀（2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀解（1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。

离散数学谓词公式与解释

可以看出,在谓词公式中一个变元可能既是约束出现,同
时又有自由出现,则该变元既是自由变元又是约束变元,
西本质上这两种出现,用的是一个符号,实质上是不同的
华大学
含义。为避免混淆,需要改名。改名要采用以下规则, 使谓词公式的含义不改变。
1、换名规则：对约束变元进行换名。
将量词辖域内出现的某个约束变元及其相应量词中的指导变元，可以换成一个其他变元，改变元不能与本辖域内的其他变元同名，公式中的其他部分不改变。
1. 个体变元、个体常元是项；
2. 若 f(x1,x2,,xn) 是任意n元函数，t1,t2,…,tn 是项，
则 f(t1,t2,,tn) 是项；
3. 有限次的应用1，2得到项。
一、合式公式的定义：
原子公式： f(x1,x2,,xn) 为n元谓词符号，t1,t2,…,tn 是
项，则 f(t1,t2,,tn) 是原子公式；
对x (F(x,y)∧y G(x,y)) F(x,y) 改为： x (F(x,t)∧y G(x,y)) F(s,t) 或者为：t (F(t,y)∧y G(t,y)) F(x,y)
谓词公式的解释
西谓词逻辑中的解释(赋值)
华大在Βιβλιοθήκη 题逻辑对每个命题符号作个真值指定可以得一个
学
公式的一个指派,又称赋值,又称解释。如公式中共出现n个不同的命题符号,则共有2n个解释,因而可以列出公式的真值表。而谓词逻辑中公式的赋值解释是怎样的呢？
例如公式：x F(x,a)∧x G(f(x),a)
三、谓词公式的赋值(解释)
一个解释由4部分组成：
（1）非空个体域D；
西华
（2）D中特定元素；
大（3）D上特定函数；学（4）D上特定谓词。

离散数学第2章谓词逻辑

命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题，如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化，该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数解：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上）（1）（2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学谓词逻辑

例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0；（3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
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例子
［例2-1.1］张明是位大学生。解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表则原句的谓词形式为S(c)。示客体性质［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张三,l：李四, 多元谓词：表示客体间关系则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下符号化的形式可能不同。
11
这里,M(x)称为特性谓词。应该注意的是,全称量词和存在量词符号化时,引入特性谓词时的形式是不同的。用全称量词符号化时,特性谓词作为条件式的前件；用存在量词符号化时则作为合取式的一项。
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对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )：存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
3
谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表示。谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。

离散数学-谓词演算的推理规则

解： P(x) ：x 是液体， G(x)：x是金属， R(x, y)：x 溶解 y ，
xG(x) y p(y) R(y, x)
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例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
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例5、设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点：全称指定规则（US）（Universal Specification）存在指定规则（ES）（Existential Specification）全称推广规则（UG）（Universal Generalization）存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项；代换实例；重言式，矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。

离散数学逻辑公式大全化简

离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全：
一、对称表达式
1. 对立矛盾：P∧(¬P)，这就意味着，实际上什么都不是真。

2. 波尔定理：(P→Q)∨(Q→P)，即P和Q之一必定是另一个的条件。

3. 谓词逻辑：∀xPx，表明了P是对任意x是真的。

二、蕴涵表达式
1. 因果关系：P→Q，其中P是因，Q是果。

2. 排中律：P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R)，即P既支持Q和R的同时满足，也支持Q和R的分别满足。

3. 简单蕴涵：P→Q，Q即P的蕴涵结果。

三、命题逻辑
1. 范式：¬(P∨Q)即¬P∧¬Q，这表明,若P和Q两者成立其一，则结果
为假。

2. 合取范式：P ∨ Q，表示只要PQ其一成立，结果即成立。

3. 否定范式：P→Q，表示只有当P成立，Q才会成立，否则结果为假。

四、可辩证表达式
1. 含义性质：P→Q，表明当P为真时，Q也可能为真，但可能有证据
表明P为假时，Q也可能为假。

2. 对抗性质：¬P∧Q，表明当P（或Q）被否定时，另一方会加强对这个变量的认可。

3. 不可满足性：P∧¬P，表明两个性质之间存在矛盾，因此，这种形式无法同时满足。

离散数学-谓词逻辑

2-2.6 命题的符号化
在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的符号表达式与论域有关系。例如 1.每个自然数都是整数。 (1).如果论域是自然数集合 N，令 I(x)：x 是整数，则命题的表达式为 xI(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式xI(x)表示“所有客体都是整数”，显然这是假的命题，此表达式已经不能表达原命题了。因此需要添加谓词 N(x)：x 是自然数，用于表明 x 的特性，于是命题的符号表达式为: x(N(x)→I(x)) 4
则 E(a)∈{T,F}。
• 2-2.2 原子谓词公式
定义：称 n 元谓词 P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式。例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x))、B(x,y,a) 都是原子谓词公式。
2-2.3 谓词合式公式 (WFF)(Well Formed Formulas)
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1.原子谓词公式是合式公式。 2.如果 A 是合式公式，则A 也是合式公式。 3.如果 A、B 是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)都是合式公式。 4.如果 A 是合式公式，x 是Ａ中的任何客体变元，则xＡ和xＡ也是合式公式。 5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、x(A(x)→B(x))、xC(x) 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • • 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。注意：公式x(A(x)→B(x))中x 后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略。
2-2.4 量词的作用域(辖域)
定义：在谓词公式中，量词的作用范围称为量词的作用域，也叫量词的辖域。 • • 例如 xA(x)中x 的辖域为 A(x). x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))中 x 的辖域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y)) y 的辖域为 R(x,y)。 • 一般地， • • • 如果量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。如果量词后边是括号，则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。如果多个量词紧挨着出现，则后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。 xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)

离散数学第五章__谓词逻辑详述

5.2.2 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A的 x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元； B(x)中不是约束出现的其它个体变元的出现称为自由出现，这些个体变元称为自由变元。
5.1 个体、谓词和量词
在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。在谓词逻辑中，为揭示命题内部结构及其不同命题的内部结构关系，就按照这两部分对命题进行分析，并且把主语称为个体或客体，把谓语称为谓词。
１.个体、谓词和命题的谓词形式
定义5.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。
称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。一般说来，符号化的步骤如下： ①正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其
中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表达出来。
②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词；在全总论域讨论时，要给出特性谓词。
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后跟条件式，存在量词(x)后跟合取式。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。
例如，在命题“张明是位大学生”中， “张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生，c：张明，则“张明是位大学生”可表示为
S(c)，
或者写成
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总论域，为深入研究命题提供了方便。

离散数学中,谓词公式和命题公式的区别

离散数学是一门研究离散对象及其性质的数学分支，它在计算机科学、信息技术以及工程领域具有重要的应用价值。

在离散数学中，谓词公式和命题公式是两个重要的概念，它们在逻辑推理和证明中起着至关重要的作用。

本文将对谓词公式和命题公式进行详细的比较与分析。

1. 谓词公式谓词公式是一种含有变量的复合命题，它通常用来描述对象之间的关系或者属性。

谓词公式由谓词符号和变量组成，例如P(x)、Q(x, y)等。

在谓词公式中，变量可以取代具体的对象，从而得到一个具体的命题。

谓词公式一般可以表示为∀x(∃yP(x, y))，其中∀表示全称量词，∃表示存在量词，P(x, y)表示谓词公式。

谓词公式的真假取决于变量的取值范围和具体的谓词定义。

谓词公式的真假可以通过逻辑运算和推理来确定，通常需要使用证明方法或者真值表等工具来进行验证。

2. 命题公式命题公式是一个不含变量的简单命题，它通常用来表示一个完整的陈述或者断言。

命题公式可以是一个简单的原子命题，也可以是多个原子命题通过逻辑连接词组合而成的复合命题。

“今天下雨”、“2加2等于4”等都可以看作是命题公式。

命题公式的真假只取决于公式本身的内容，它只有两种取值：真和假。

命题公式可以通过真值表的方法来验证其真假，并且可以使用逻辑等价和逻辑推理来进行推导和证明。

3. 谓词公式和命题公式的区别从上面的比较可以看出，谓词公式和命题公式在以下几个方面有着明显的区别：3.1 变量的使用谓词公式使用变量来表示对象之间的关系，而命题公式不含有变量，它是一个固定的陈述或者断言。

谓词公式可以根据变量的取值范围得到不同的命题，而命题公式的真假只取决于公式本身的内容。

3.2 真假的判断谓词公式的真假取决于变量的取值范围和具体的谓词定义，需要使用证明方法或者真值表来进行验证；而命题公式的真假只取决于公式本身的内容，可以通过真值表的方法来验证其真假，并且可以使用逻辑等价和逻辑推理来进行推导和证明。

3.3 表达的含义谓词公式通常用来描述对象之间的关系或者属性，它具有一定的泛化和普适性；而命题公式通常用来表示一个完整的陈述或者断言，它具有明确的含义和指向性。

离散数学19.谓词公式与翻译

谓词合式公式也叫谓词公式，简称ห้องสมุดไป่ตู้式.
下面都是合式公式： P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式： xyP(x) ，P(x)∧Q(x)x.
为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省. 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略.
谓词公式与翻译
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其中x1,x2,...,xn 是客体变元。
例如 Q, A(x) , A(x,y), A(x,f(x)), B(x,y,z), B(x,a,b) 都是原子谓词公式。
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1）原子谓词公式是合式公式； 2）如果A是合式公式，则A也是合式公式； 3）如果A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (AB)都是合式公式； 4）如果A是合式公式，X是A中的任何客体变元，则(X) A和 (X) A也是合式公式； 5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
P(|x-a|,0))→Q(|f(x)-b|, )).
例1 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零. （2）存在小于2的素数. （3）没有不能表示成分数的有理数. （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩.
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零. 则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为：（x)(E(x)∧S(x)).
6
例2 对任意小的正数，存在一个正数，使得当
0<|x-a|<时，有|f(x)-b|<.此时称 lim f x b . xa 解：令P(x,y)表示“x大于y”, Q(x,y)表示“x小于y”,故 lim f x b 可命题符号化为： xa ( )( ) (x)(((P(,0)→P(,0))∧Q(|x-a|,)∧

离散数学第二章第二节

7
第2-2讲作业
P62 1eg，2，3a，7 P65 2bc，3b，4，5
8
第2-2讲谓词公式与翻译
1. 谓词演算的合式公式 2. 用谓词公式表达命题 3. 约束变元和自由变元 4. 约束变元的换名规则
5.自由变元的代入规则
6. 第2-2讲作业
1
1、谓词演算的合式公式
定义１不出现命题连接词和量词的ｎ元谓词Ｐ（x1，x2，...，xn）（ｎ≥０）称为谓词演算的原子公式，简称原子谓词公式。
根据这个定义，命题、命题变元、简单命题函数统称为谓词演算的原子公式。如：R, Q(x), P(x,y), P(f(x),y), A(x,y,z), A(x,a,y当按下列规则生成： ⑴ 原子谓词公式是合式公式； ⑵ 若Ａ是谓词公式，则Ａ是合式公式； ⑶ 若Ａ、Ｂ是谓词公式，则Ａ∧Ｂ，Ａ∨Ｂ，Ａ→Ｂ，ＡＢ是合式公式； ⑷ 若Ａ是谓词公式，ｘ是Ａ中出现的任意客体变元，则(ｘ)Ａ和(ｘ)Ａ都是合式公式 ⑸ 有限次应用规则⑴－⑷所得到的式子是合式公式。
6
5、自由变元的代入规则
对谓词公式的自由变元可以用与原公式中所有变元名称不同的符号去代替，但必须处处代替。
例如： (1) (x)P(x,y)∨Q(z,y) (x)P(x,w)∨Q(z,w) (2) (x)(y)（P(x,y)∨Q(y,z)）∧(x)P(x,y) (x)y)（P(x,y)∨Q(y,z)）∧(u)P(u,v)
3、约束变元和自由变元(续)
Ｐ（x1 ， x2 ， … ， xn ）是ｎ元谓词，它有ｎ个相互独立的自由变元。若对其中ｋ个变元进行约束,则成为ｎ－ｋ元谓词。因此，谓词公式中如果没有自由变元出现，则该式就成为一个命题。例如，P(x,y,z)是三元谓词，而 (x)P(x,y,z)是二元谓词，(y)(x)P(x,y,z)是一元谓词。量词对变元的约束与量词的次序有关。多个量词连续出现时,约定按从左到右的次序读出。量词的次序不能颠倒，否则会改变命题的意义。例如,(y)(x)(x<(y-2))表示“对任何ｙ均存在ｘ，使得x<(y-2)” ；而(x)(y)(x<(y-2))表示“存在ｘ对任何ｙ均有x<(y-2)” 。又如，(y)(x)(x<(y-2))表示“存在ｙ，有ｘ，使得x<(y-2) ”。

离散数学判断公式类型

离散数学判断公式类型离散数学是一门研究离散对象及其性质、关系和运算的数学学科。

在离散数学中，有许多重要的公式和定理，可以帮助我们判断公式的类型。

本文将介绍几种常见的公式类型，并对其进行简要解释。

一、命题逻辑公式命题逻辑是离散数学的一个重要分支，它研究命题之间的逻辑关系。

在命题逻辑中，我们常常会遇到命题的合取、析取和否定等运算。

命题逻辑公式指的是由命题变量、逻辑运算符和括号组成的表达式。

例如，p∧q表示命题p和命题q的合取，p∨q表示命题p和命题q的析取，¬p表示命题p的否定。

命题逻辑公式可以通过真值表或推理规则来进行验证。

二、谓词逻辑公式谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它引入了谓词和量词的概念。

谓词逻辑公式是由谓词变量、量词、逻辑运算符和括号组成的表达式。

谓词逻辑公式可以表示关于个体和关系的命题。

例如，∀x (P(x)→Q(x))表示对于所有的个体x，如果P(x)成立，则Q(x)也成立。

谓词逻辑公式可以通过真值表或归纳法来进行验证。

三、集合论公式集合论是离散数学的另一个重要分支，它研究集合及其性质、关系和运算。

在集合论中，我们常常会遇到集合的交、并、补和差等运算。

集合论公式是由集合变量、集合运算符和括号组成的表达式。

例如，A∩B表示集合A和集合B的交集，A∪B表示集合A和集合B的并集，A\B表示集合A和集合B的差集。

集合论公式可以通过集合图或Venn图来进行验证。

四、图论公式图论是离散数学的重要分支之一，它研究图及其性质、关系和运算。

在图论中，我们常常会遇到图的顶点数、边数和度数等概念。

图论公式是由图变量、图运算符和括号组成的表达式。

例如，V表示图的顶点数，E表示图的边数，deg(v)表示图中顶点v的度数。

图论公式可以通过图的表示和计算来进行验证。

五、组合数学公式组合数学是离散数学的另一个重要分支，它研究组合结构及其性质、关系和计数。

在组合数学中，我们常常会遇到排列、组合和二项式系数等概念。

02-23.1 谓词公式的解释和分类-课件

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离散数学及其应用
例题（续）
解 (1) xF(g(x,y),z) x(xy=z)，不是命题，真值不确定。（2）xF(g(x,a),x)F(x,y) x(xa=x)(x=y) x(0=x)(x=y) 1，因为蕴含式前件为假。（3）xyzF(f(x,y),z) xyz(x+y=z) 1。定理2.3.1 封闭的谓词公式在任何解释下都变成命题。证明略。不是闭式的谓词公式在某些解释下也可能变成命题，如公式(2)
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离散数学及其应用
例题
判断下列公式是永真式还是矛盾式。
1. xF(x)xF(x);
2. xF(x)(yG(y) xF(x));
3. F(x,y) (G(x,y) F(x,y)); 解 1. xF(x)xF(x)为永真式。 2. 因为p(qp) 1，而xF(x)(yG(y)xF(x))是p(qp)
离散数学及其应用
离散数学及其应用
谓词公式的解释和分类
华南理工大学计算机科学与工程学院
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离散数学及其应用
谓词公式的解释和分类
谓词公式的解释定义谓词逻辑中公式A的一个解释（或赋值）I由如下四部分组成： 1. 非空的个体域集合D； 2. A中的每个常元符号，指定D中的某个特定的元素； 3. A中的每个n元函数符号，指定Dn到D的某个特定的函数； 4. A中的每个n元谓词符号，指定Dn到{0,1}的某个特定的谓词；
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离散数学及其应用
例题
给定解释I如下： I. 个体域为自然数集合N； II. a=0； III. N中特定的函数f(x,y)=x+y，g(x,y)=xy； IV.N中特定的谓词F(x,y)：x=y。在
解释I下，求下列公式的真值。

离散数学自考第二章

定义 1.辖域（作用域）：紧接在量词后面括号内的谓词公式。辖域（辖域作用域）
例： ∀xP(x) , ∃x(P(x) ∧Q(x)) 。若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
2.指导变元（作用变元）：紧接在量词后面括号内的X。指导变元（作用变元）指导变元 3.约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。约束变元：约束变元 4.自由变元：当且仅当不受量词的约束。自由变元：自由变元
例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”，则可用下列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。例：C—“总是要死的。” j：张三；t：老虎；e：桌子。则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元（客体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称C(x)为命题函数。定义》《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组成的表达式，称为命题函数。
2.区别是命题还是命题函数的方法（a）若谓词公式中出现自由变元，则该公式为命题函数；（b）若谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为命题。
例： ∀xP(x,y,z)是二元谓词， ∃y∀xP(x,y,z)是一元谓词，而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一个命题。
3.代入规则：对公式中的自由变元的更改叫做代入。代入规则：代入规则 (a)对公式中出现该自由变元的每一处进行代入， (b)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不能相同。
∃x (A(x) ∨B(x)) ⇔ ∃xA(x) ∨ ∃xB(x) ∀x(A(x)∧B(x)) ⇔ ∀xA(x)∧ ∀xB(x) (∃x (A(x) → B(x)) ⇔ ∀xA(x) → ∃xB(x) ∀xA(x) ∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) ∨ B(x)) x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ ∃ x（A(x) ∧ B(x)） ∃xA(x) → ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) → B(x))

离散数学精选笔记

离散数学精选笔记一、集合论基础。

1. 集合的定义与表示。

- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。

通常用大写字母表示集合，如A、B、C等。

- 集合的表示方法有列举法和描述法。

- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，例如A = {1,2,3}。

- 描述法：用谓词来描述集合中元素的性质，例如B={xx是偶数且x < 10}。

2. 集合间的关系。

- 包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A包含于B，记作A⊆ B。

当A⊆ B且A≠ B时，称A是B的真子集，记作A⊂ B。

- 相等关系：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。

3. 集合的运算。

- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。

- 并集：A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。

- 补集：设全集为U，A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。

- 集合运算的性质：- 交换律：A∩ B = B∩ A，A∪ B=B∪ A。

- 结合律：(A∩ B)∩ C = A∩(B∩ C)，(A∪ B)∪ C=A∪(B∪ C)。

- 分配律：A∩(B∪ C)=(A∩ B)∪(A∩ C)，A∪(B∩ C)=(A∪ B)∩(A∪ C)。

二、命题逻辑。

1. 命题与命题联结词。

- 命题是能够判断真假的陈述句。

例如“今天是晴天”是一个命题。

- 命题联结词：- 否定¬：若P为命题，则¬ P表示“P不成立”。

- 合取wedge：Pwedge Q表示“P并且Q”，当P和Q都为真时，Pwedge Q为真。

- 析取vee：Pvee Q表示“P或者Q”，当P和Q至少有一个为真时，Pvee Q为真。

- 蕴涵to：Pto Q表示“如果P，那么Q”，当P为真Q为假时，Pto Q为假，其余情况为真。

- 等价↔：P↔ Q表示“P当且仅当Q”，当P和Q同真同假时，P↔ Q为真。

2. 命题公式及其分类。

- 命题公式是由命题变元（通常用P、Q、R等表示）和命题联结词按照一定规则组成的符号串。

离散数学21.谓词演算的等价式

(x)(A(x)∨B(x)) (A(a1)∨B(a1))∨(A(a2)∨B(a2))∨…∨(A(an)∨B(an)) (A(a1)∨A(a2)∨...∨A(an))∨(B(a1)∨B(a2)∨...∨B(an)) (x)A(x)∨(x)B(x)
1. (x)P(x)(x)P(x)； 2. (x)P(x)(x)P(x). 对这两个公式可以证明如下：证明：设论域为{a1,a2,....,an}，则 (x)P(x)(P(a1)∧P(a2)∧...∧P(an))
P(a1)∨P(a2)∨...∨P(an)(x)P(x). 类似可以证明另一个公式.
(x)P(x)表示：不是所有人都是优等生.
(x) P(x)表示：有些人不是优等生.
(x)P(x)表示：没有人是优等生.
(x)P(x)表示：所有人都不是优等生.
显然：
“不是所有人都是优等生.”与“有些人不是优等生.”是等价的.
“没有人是优等生.”与“所有人都不是优等生.”是等价的.于是有：
从这两个公式，可以总结出如下规律：
将量词前的“”移到量词的后边，全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词;反之也要做相应改变.
4、量词作用域的扩张与收缩
在量词的作用域中，对于合取或者析取项，如果其中一个为命题，则可将该命题移直量词辖域外.
1. (x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B； 2. (x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B； 3. (x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B； 4. (x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B； 5. (x)A(x)→B(x)(A(x)→B)； 6. (x)A(x)→B(x)(A(x)→B)； 7. B→(x)A(x)(x)(B→A(x))；
谓词演算的等价式

离散数学23谓词公式与翻译

(A→B)和(A↔B)是合式公式。 ⑷ 如果A是合式公式，x是A中出现的任意个体变
元，则(x)A，(x)A是合式公式。 ⑸ 只有有限次地应用⑴、⑵、⑶、⑷所得的公式是合式公式。
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二、命题翻译
谓词公式也有以下约定： ⑴ 最外层的括号可以省略。 ⑵ 如果按¬、∧、∨、→、↔在运算中的优先级别，省略括号后不改变原来的运算次序，可以省略括号，但量词后面括号不能省略。
1一谓词公式简单命题函数与逻辑联结词可以组合成一些命题表达式与命题公式概念类似不是所有谓词表达式都可以成为谓词公式并进行谓词演算下面介绍谓词的合式公式的概念
一、谓词公式
简单命题函数与逻辑联结词可以组合成一些命题表达式与命题公式概念类似，不是所有谓词表达式都可以成为谓词公式并进行谓词演算，下面介绍谓词的合式公式的概念。
以上只是一般准则，具体应用时会有例外
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本课小结
谓词公式命题翻译
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课后作业
补充:用谓词写出下列各断言 (1)长江比黄河长,金陵饭店比北京饭店高. (2)南京位于武汉和上海之间. (3)不是所有男人都比女人高. (4)有而且仅有一个素数是偶数. (5)凡是资本家都会剥削人,但剥削人者未必都
A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(a,b)
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二、命题翻译
由例题4可知，由命题翻译成谓词演算公式，机动性很大，对个体刻划尝试的不同就可翻译成不同的谓词公式。一般的，对日常语言，我们可以有一个大体的准则，根据这些准则可以进行命题的翻译。
名词：专用名词（如南京、刘翔等）是客体
该命题符号化为： ¬(x) (y) (F(x)∧G(y)→H(x,y))