(参考资料)结构有限元练习题

䁡䁠 Ͷ쳌䁡
䁠Ͷ2쳌
2=
䁠쳌쳌 䁠ͳ 2
2䁠Ͷ
䁠䁡
总刚度矩阵为
䁠Ͷ2쳌 ͳ䁠2ͳ䁡
1. 说明弹性力学中的几个基本假设。（5 分） 2. 简述线应变与切应变的几何含义。（5 分） 3. 有限单元法的基本思想是什么？它有哪些优点？（5 分） 4. 简述用有限单元法分析的基本步骤。（5 分） 5. 结构刚度矩阵有什么性质和特点？（5 分） 6. 有限元解的收敛准则是什么？（5 分）
7. 一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸。板长 16cm，宽 5cm，厚 1cm。 材料的弹性模量 E = 200GPa，= 0.3。均匀拉力 p = 10MPa。试用有限元法求解 板内应力，并和精确解比较（提示：可利用结构对称性，并用 2 个三角形单元对 结构进行离散）。（20 分）
单元 1 的刚度矩阵：
Ͷ䁠쳌 ͳͳ 䁠䁡쳌Ͷ
䁡䁠 Ͷ쳌䁡
䁠Ͷ2쳌
= 香 ∗‫כ‬
䁠쳌쳌
䁠ͳ 2 2䁠Ͷ
䁠䁡
䁠Ͷ2쳌
ͳ䁠2ͳ䁡
䁠䁡
䁠2Ͷ Ͷ
䁠ͳ 2 ͳ䁠 䁡䁡
=
䁠쳌쳌 䁠ͳ 2
䁠䁡 䁠2Ͷ Ͷ
䁠쳌쳌
䁠2Ͷ Ͷ
䁠ͳ 2
䁠䁡
2䁠Ͷ
䁠ͳ 2
䁠ͳ 2 2䁠Ͷ
䁠 䁡 ͳ䁠 䁡䁡
䁠䁡
ͳ䁠 䁡䁡
当单元 2 按 432 对应单元 1 的 123 排码时，两个单元刚度矩阵内容完全一样。 单元 2 的刚度矩阵：
75 kN 75 kN 75 kN
75 kN
1500 mm 5
A
B
750 mm
1500 mm 4
其中，A 点为固定铰支座，B 点为活动铰支座，外圈杆：80mm10mm，内部杆： 70mm10mm，E = 206GPa，自重 78500kg/m3, = 0.3。 （请注意：只有最后一题可以使用有限元软件计算，其它需要计算题目请给出详
p
p
8. 如图所示的平面四边形单元模型，利用四边形插值函数证明坐标点（6.0， 8.0）对应于局部坐标中的点（1，1）。对 = 0.5 和= -0.5，确定其在整体坐标 系中的坐标。（10 分）
y
3, 8 6, 8 9, 8
-1, 1
1, 1
1.5, 4 I
III
IV
5, 4 II
8.5, 4 x
0, 0
细计算步骤。）
1、 弹性力学基本假设： 1）连续性：整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不存在空隙， 连续函数来描述应力、应变、变形、位移； 2）完全弹性：服从胡克定律σ = E ∗ ε，任意瞬时反应完全取决于该瞬时物体 所受的载荷，而与加载历史和加载顺序无关； 3）均匀性：整个物体由同一种材料组成，整个物体具有相同的物理特性 4）各向同性：物体的弹性性质在所有各个方向上是相同的； 5）小位移和小变形：建立变形体的平衡方程时我们可以用变形前的尺寸来代 替变形后的尺寸，而这种代替不至于引起显著的误差。
算、位移约束条件确定； 2）等效结点力的计算； 3）刚度矩阵的计算（先逐个计算单元刚度，在组装成整体刚度矩阵）； 4）建立整体平衡方程，引入约束，求解结点位移； 5）应力计算。 5、 结构刚度矩阵有什么性质和特点？ 答：对称性，奇异性，稀疏性；刚度矩阵中每一列元素表示使弹性体的某一节点 在坐标轴方向发生单位位移而其他节点都保持为零的变形状态时在各节点 上所需要施加的节点力。 刚度矩阵主对角线上的元素恒为正。 6、 有限元解的收敛准则是什么？ 答： 1）完备性要求：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是 m 阶，则有限元法收 敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是 m 次完全多项式，或者说试探 函数中必须包括本身和至少 m 阶导数为常数的项，单元的差值函数满足上述要 求时，我们称单元是完备的。 2）协调性要求：如果出现在泛函中的最高阶导数是 m 阶，则试探函数在单元交 界面上必须具有 Cm-1 的连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至 m-1 阶 的连续导数，当单元的差值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的
2、 简述线应变与切应变的几何含义。 答：线应变：在直角坐标系中所取单元体为正六面体时，三条相互垂直的棱边的
长度在变形前后的改变量与原长之比，定义为线应变，用ε来表示。线应变 以伸长为正，缩短为负； 切应变：表示单元的两条相互垂直的棱边，在变形后的直角改变量。定义为 角应变或切应变，用γ表示。切应变以直角减少为正，反之为负。 3、 有限单元法的基本思想是什么？它有哪些优点？ 答：基本思想：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边 界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表 示求解域内待求的未知厂变量。 优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计 算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他 CAD 软件中导入建好 的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化 设计方法相结合，以便发挥各自的优点。 4、 简述用有限单元法分析的基本步骤。 答： 1）将结构进行离散化，包括单元划分、结点编号、单元编号、结点坐标计
4, 0
8, 0
-1, -1
1, -1
单元 III 的，空间
9. 一四边固支的正方形薄板，边长为 l=10 cm，厚度为 t=1 mm，弹性模量为 E=210 GPa，泊松比= 0.3，若薄板在正中间承受集中载荷 P=2 kN，求薄板 中间点的位移。（10 分）
10. 求：1. 最大挠度。2. 最大应力。3. 变形图。4. 应力图。（30 分）
0
0
5
5
2
Βιβλιοθήκη Baidu
3
3
2
平面三角形单元面积为
2A =
=䁠 쳌2
弹性矩阵为
䁠䁡
D=
2
单元 1 应变矩阵为：
= 2䁠 ͳ쳌 䁠䁡 䁠䁡
2
2
䁡
䁠2
=2
2
䁡=
22䁡 䁡
2
单元 1 的应力矩阵：
䁠2
2
2
䁠2
䁠2 2
䁡䁠ͳ䁡 䁡
=香∗ 䁡䁠 쳌 쳌 䁡䁠ͳ䁡 䁡
䁡䁠 쳌 쳌
= Ͷ䁠 2
Ͷ䁡䁠
Ͷ䁠 2
Ͷ䁡䁠
䁠䁡쳌Ͷ
Ͷ䁠쳌 ͳͳ
7、 一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸。板长 16cm，宽 5cm，厚 1cm。
材料的弹性模量 E = 200GPa，= 0.3。均匀拉力 p = 10MPa。试用有限元法
求解板内应力，并和精确解比较。
答：
3
4
②
1
1
2
如图
结点编号 1
2
3
4
单元号 1
2
X 坐标
0
16
0
16 相邻结点 1
4
Y 坐标