(硕)《抽样技术》第三讲 等概率与不等概率抽样比较研究

三、严格的πPS抽样
n是固定的；一阶包含概率与单 是固定的； 位规模大小严格成比例， 位规模大小严格成比例，即
πi = nZi
1.当 n = 2 的情况下 1.当 布鲁尔估计法： 布鲁尔估计法： 要求： 要求：总体中最大的单位必须小 于全部单位大小总和的 1 2
记第一个被抽取的单位为i 记第一个被抽取的单位为i,第一个单位 成比例的概率抽取。 按与 Z i (1 − Z i ) 成比例的概率抽取。
设从总体中不放回地抽去 n 个 单位， 单位， 令 π i 为第 i 个单位入样的概率 (一阶包含概率). 一阶包含概率). π ij 为第 i 和第 j 个单位同时入 样的概率(二阶包含概率). 样的概率(二阶包含概率).
1. 霍维茨 汤普森估计量 霍维茨-汤普森 汤普森估计量
总体总值的估计量 X ˆ 估计量的方差为
2
( )
ˆ xi XHH M = ∑ m − M n ( n −1) i=1 i 0
第三节 不重复的 不等概率抽样
一、基本概念 1. πPS 抽样：不放回的与单元规模 抽样：
大小成比例的概率抽样称为严格的
πPS 抽样。 抽样。
2. 在不重复的不等概率抽样中，总 在不重复的不等概率抽样中， 体中的每个单位每次被抽中的概率 为 Zi 。
两个单位同时入样概率称为 二阶包含概率。 二阶包含概率。
包含概率的性质： 包含概率的性质：
（1）
∑π
i =1 N
N
i
=n = ( n − 1) π i
（2）
∑π
i≠ j N
ij
1 ∑∑i π ij = 2 n ( n − 1) （3） i =1 j >
N
二、霍维茨-汤普森和耶茨 格 汤普森和耶茨-格 霍维茨 汤普森和耶茨 伦迪-森 伦迪 森 估计量
2）不足： 不足：
设计复杂，难以操作 设计复杂，
4.不等概抽样分类 4.不等概抽样分类
1 ）重复的不等概抽样: 重复的不等概抽样: 在抽样之前, 在抽样之前,对每一个单位赋 予一个确定的概率( 予一个确定的概率(一般是单 位的规模与被抽的概率成正 ),在放回的每一次抽取中 在放回的每一次抽取中, 比),在放回的每一次抽取中,每 个单位被抽中的概率不变. 个单位被抽中的概率不变.
Zj
(1 − Zi − Z j ) 的概 第三个单位按 率在余下的N 个单位中抽取。 率在余下的N-2个单位中抽取。
Zk
总值的估计量 抽样方差
其中
1 n ˆ X R = ∑ ti n i =1
n
ˆ = 1 ∑ t −X ˆ V XR i R n( n −1) i=1
( )
(
)
2
x1 x2 t1 = , t2 = x1 + (1 − z1 ) , L , z1 z2 xn tn = x1 + x2 + L + xn −1 + (1 − z1 − z2 − L − zn −1 ) zn
第三讲 等概率 与不等概率抽样 比较研究
第一节 等概抽样 与不等概抽样概述
一、等概率抽样概述
1.操作方法 1.操作方法 2.适用场合 2.适用场合 3. 优点与不足之处
二、不等概抽样概述
1.操作方法 1.操作方法 2.适用场合 2.适用场合 1）总体单位的调查标志差异大
A.按单位的规模大小分层抽样，对 A.按单位的规模大小分层抽样， 按单位的规模大小分层抽样 单位规模大的层抽取的比例高。 单位规模大的层抽取的比例高。 B.按单位规模的大小决定入样的概 B.按单位规模的大小决定入样的概 使规模大的单位入样概率大， 率，使规模大的单位入样概率大， 规模小的单位入样概率小。 规模小的单位入样概率小。
2）不重复的不等概抽样
在抽样之前, 在抽样之前,对每一个单位赋予一 个确定的概率, 个确定的概率,并对每一次抽取的 概率进行精心的设计,以保证n 概率进行精心的设计,以保证n次 不放回的抽样中总体中的每一个 单位被抽取的概率等于预先赋予 的入样概率. 的入样概率. 不重复的不等概抽样, 不重复的不等概抽样,常用方法的 是样本量固定, 是样本量固定,总体中的每一个单 位的入样概率与单位的规模大小 严格成正比例. 严格成正比例.
方差估计（耶茨-格伦迪-森） 方差估计（耶茨-格伦迪-
ˆ vYGS X B
( )
π 1π 2 − π 12 x1 x2 = − π 12 π1 π 2
2
2. 当 n > 2 的情况下
1) 水野方法:要求总体中单位大小 水野方法: 差异不能太大. 差异不能太大.样本单位是逐个抽取 抽取第一个样本单位的概率: 的.抽取第一个样本单位的概率:
3. 包含概率
在不放回的不等概率抽样中, 在不放回的不等概率抽样中, 每个单位被包含到样本中的 概率为 π i ； 任意两个单位同时被包含到 样本中的概率为 π ij ； 以上统称为包含概率。 以上统称为包含概率。
一阶包含概率 πi
第 i 个单位在所有可能样本 出现的概率称为一阶包含概 率。
二阶包含概率 πij
抽取第一个样本单位后,在剩下的N 抽取第一个样本单位后,在剩下的N1个单位中采用无放回等概率的方 法抽取剩下的n 个单位. 法抽取剩下的n-1个单位.
n( N −1) Zi n −1 Z = − , N −n N −n i = 1,2,L, N
* i
一阶包含概率
π i = nZ i
二阶包含概率
n−1 N −n * * n−2 πij = ( Zi +Zj ) + N −n N −1 N −2
xi
上式可以写成： 上式可以写成：
ห้องสมุดไป่ตู้
ˆ % V xHT = ∑
i =1 N
( )
N
1− πi
πi
π i j − π iπ j x + 2∑∑ xi x j π iπ j i =1 j >i
N N 2 i N N i =1 j >i
% %% = ∑ ∆ ii xi2 + 2∑∑ ∆ ij xi x j
2）群大小不等的整群抽样 3）初级单位大小不同的阶段 抽样 4）等距抽样中的应用
3. 优点与不足
1）优点： 优点：
比较有效地解决调查的总体单位 与抽样的总体单位不一致、 与抽样的总体单位不一致、调查 单位在总体中所占的比重不一致 的问题。 的问题。 可以改善估计量， 可以改善估计量，提高估计精度 而设计。 而设计。
ˆ V X HT = ∑
i =1
HT
=∑
i =1
n
πi
xi
(
)
N
1− πi
πi
π i j − π iπ j x + 2∑∑ xi x j π iπ j i =1 j > i
N N 2 i
若令： xi = 若令： %
πi ∆ii = π i (1 − π i ) , ∆ ij = π ij − π iπ j
三、非严格的πPS抽样 非严格的π
在非严格的πPS抽样中 在非严格的πPS抽样中， 抽样中， 样本量可以不固定， 样本量可以不固定，允许 为随机变量。 为随机变量。可以不是严 格不放回的， 格不放回的，允许一阶包 含概率 πi 与单位规模大 小近似成正比。 小近似成正比。
耶茨耶茨-格伦迪方法 样本单位是逐个抽取的， 样本单位是逐个抽取的，保证每次 都以未入样的单位的规模大小成比 例的概率抽取。 例的概率抽取。 的概率抽取； 第一个单位按 Z i 的概率抽取； 第二个单位按 (1− Zi ) 的概率在余 下的N 个单位中抽取； 下的N-1个单位中抽取；
i =1 N
%% = ∑∑ ∆ ij xi x j
i =1 j =1
N
结论：用霍维茨 汤普森估计量 结论：用霍维茨-汤普森估计量 和用简单随机估计量对常住居民 总人数的估计， 总人数的估计，其总值的平均数 都是2520。 都是 。 霍维茨-汤普森估计 汤普森估计， 霍维茨 汤普森估计，每个样本 单位被抽取的概率不同， 单位被抽取的概率不同，简单随 机估计每个样本单位被抽取的概 率相同，但它们都是无偏估计。 率相同，但它们都是无偏估计。 霍维茨-汤普森估计的总值比简 霍维茨 汤普森估计的总值比简 单随机估计更集中于总体的平均 数。
i =1
N
Mi 总体的规模为 M 0 , M 0 = ∑ M i , Z i = M0 i =1
N
总体单位的规模为 M i 对于样本而言，样本单位的规模为 对于样本而言，
m1 , m2 L , mn
汉森-赫维茨的估计量（ 汉森-赫维茨的估计量（无偏估计 量）
ˆ = 1 ∑ xi X HH n i =1 zi
2. 耶茨 格伦迪 森 估计量 耶茨-格伦迪 格伦迪-森
估计量的方差
ˆ VYGS X HT
(
)
2 1 % % % = − ∑∑ ∆ ij ( xi − x j ) 2 i =1 j =1 N N
π ij > 0, i ≠ j
ˆ vYGS X HT
(
)
2 1 % % % = − ∑∑ ∆ ij ( xi − x j ) 2 i =1 j =1 n n
二、汉森-赫维茨估计 汉森设总体为N 现按PPS抽样 设总体为N，现按PPS抽样， 抽样， 个样本单位， 从总体中抽取 n 个样本单位， 所调查的指标为 x 。样本观 测值 x , x L, x
1 2 n
抽到第 i 个单位的概率为
Z i ( 0 ≤ Z i ≤ 1; i = 1, 2, L , N ) , ∑ Z i = 1
令
Z i (1 − Z i ) D=∑ i =1 1 − 2 Z i
N
πij 可以写成