第四章 非线性规划1-约束极值问题
非线性规划
1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中,很多实际问题可以归结为线性规划,但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容,已发展为运筹学的重要分支,并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的,40年代后期进入系统研究,1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论,前者实际上就是多元函数的极值问题,是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂,因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外,还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题;把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果,但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。
由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
非线性规划高考知识点归纳总结
非线性规划高考知识点归纳总结非线性规划是运筹学中的一个重要分支,它主要研究在非线性目标函数和非线性约束条件下的优化问题。
在高考数学中,非线性规划通常不会作为主要考点,但了解其基本概念和简单应用对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。
首先,非线性规划问题可以定义为:给定一个目标函数 \( f(x_1,x_2, ..., x_n) \) 和一组约束条件 \( g_i(x_1, x_2, ..., x_n) \leq 0 \)(对于 \( i = 1, 2, ..., m \)),以及 \( h_j(x_1,x_2, ..., x_n) = 0 \)(对于 \( j = 1, 2, ..., p \)),求 \( x \) 的值,使得目标函数 \( f \) 达到最大值或最小值。
在高考中,非线性规划的知识点通常包括以下几个方面:1. 目标函数与约束条件:理解目标函数和约束条件在非线性规划中的作用,以及它们如何影响问题的解。
2. 可行域:掌握如何根据约束条件确定可行域,这是求解非线性规划问题的基础。
3. 拉格朗日乘数法:了解拉格朗日乘数法的基本原理,以及如何利用它求解带有等式约束的非线性规划问题。
4. KKT条件:掌握KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件,这是求解非线性规划问题的必要条件。
5. 数值方法:了解一些基本的数值方法,如梯度下降法、牛顿法等,这些方法在实际求解非线性规划问题时非常有用。
6. 实际应用:能够将非线性规划的概念应用到实际问题中,如资源分配、成本最小化等。
在复习非线性规划时,建议从以下几个步骤进行:- 理解概念:首先,要理解非线性规划的基本概念,包括目标函数、约束条件、可行域等。
- 掌握方法:其次,要掌握求解非线性规划问题的基本方法,如拉格朗日乘数法和KKT条件。
- 练习题目:通过大量的练习题目来巩固知识点,提高解题能力。
- 实际应用:尝试将非线性规划的概念应用到实际问题中,提高解决实际问题的能力。
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同,非线性规划可能存在多个局部最优解,而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用,如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为:最小化或最大化 f(x),其中 f(x) 是一个非线性函数,x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0,其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题,可以使用不同的优化算法,如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值,并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性,这些问题通常很难解析地求解。
因此,常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制,如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量,以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如,优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案,以最大程度地提高性能。
在管理学中,非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如,优化一个公司的广告预算,以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素,如广告投入和市场需求,以找到最佳的广告投放策略。
总之,非线性规划是一种重要的优化方法,用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大,但通过合适的优化算法,可以找到最佳的解决方案。
约束条件下的极值
在数学优化问题中,当我们寻找某个函数在满足一定约束条件下的极值(最大值或最小值)时,我们通常面对的是带有约束条件的优化问题。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法(Lagrange Multiplier Method)或者KKT条件(Karush-Kuhn-Tucker Conditions,对于非线性优化问题中的约束条件)等方法来解决。
例如,设有函数f(x, y)要在区域D内找极值,区域D由g(x, y)=c这样的一组或几组约束条件定义,这里的c是一个常数。
拉格朗日乘数法的基本思想是构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λ(g(x, y) - c),其中λ是拉格朗日乘子。
接下来需要求解L(x, y, λ)的偏导数,并令它们等于零,得到一组方程组,解这个方程组就可以找到可能的极值点。
对于KKT条件,它扩展了拉格朗日乘数法,适用于更广泛的优化问题,包括不等式约束。
在满足KKT条件的情况下,优化问题的解有可能是最优解。
具体步骤如下:
1.构造拉格朗日函数(若有不等式约束,需要构造广义拉格朗日函数)。
2.对目标函数和所有的约束函数分别求偏导数,并令它们等于零,得到必要条
件。
3.检验求得的点是否满足KKT条件,包括互补松弛条件、梯度条件以及可行
性条件(即该点必须位于可行域内)。
4.对于可能的极值点,还需进行二阶条件检验(如海森矩阵判别法)来判断是
局部极大值、局部极小值还是鞍点。
通过这些方法,我们可以在给定约束条件下寻找到函数的极值点。
非线性规划
S X gi X 0, i 1, 2, , m; h j X 0, j 1, 2, , p; X En
[例题 2.5] 求解无约束极值问题 min f X x1 5 x2
解:任取 X
0
2, 1 , f X 0
T
1 0 2 0 T 2 1 4, 10 , A , , A 0 10 0 1 10
0
f X 1 , f X f X f X 2 f X 0
0
T
0
T
2
0
0
X 1 X 0 0f X 0 2, 1 ,
T
f X 1 0, 0 ,
0 , f x 半正定;反之,如果在 x 点有 f x 0 , f x 正定,
2
2
则 x 为严格局部最小解。 定理 2.3 设 f x 是 n 元可微凸函数,如果 f x
0 ,则 x 是上述问题的最小解。
2
[例题 2.3] 试求二次函数 f x1 , x2 2 x1 8 x1 2 x2 4 x2 20 的极小点。
2 f X 都是半正定的;如果对所有的 X S , 2 f X 都是正定的,则 f X 在 S 上
非线性规划—无约束问题
即X 为f (X ) 的严格局部极小点。
解:设该公司计划经营 第一种设备为 x1件,第二种设备为 x2 件 根据题意 max f ( x1 , x2 ) 30x1 450x2 0.5 x1 (2 0.25x2 ) x2 800 x1 , x2 0
第 4页
由这两个例子可以看出,这两个例子在高等数学中 代表了两类不同类型的极值问题。例1是无条件极值; 例2是有条件极值。
第15页
例: min f(X ) x x
2 1
3 2 2 T 2
解:因为f(X ) (2x 1 , 3x )
T 令f(X ) 0,得X (0, 0)
2 0 2 0 H (X ) ,H (X ) 0 0 0 6x 2 H (X )是半正定矩阵,但在X的任意邻域
X(2) X(1)
X
(1)
X(2)
(1) ( 2) (1 ) X ( 1 ) X X
(1 ) X
( 2)
凸函数
ห้องสมุดไป่ตู้
凹函数
即函数图形上任意两点的连线处处不在这个函数图 形的下方,称它为凸函数,下凸的。 线性函数既是凸函数,又是凹函数。
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凸函数的性质
性质1:设f(X )是凸集上的凸函数,X 1 ,X 2 , ,X k ,
自变量。若某个约束条 件是“”的不等式,不等式 两边乘以“1”。
第 5页
非线性规划的图解问题
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划?非线性规划(Nonlinear Programming,简称NLP)是一种数学优化方法,用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同,非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说,非线性规划可以表示为以下数学模型:minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中,f(x)是目标函数,g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束,x是优化变量,属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂,因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法:1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想,通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件,它集成了各种求解算法和优化工具,可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件,将非线性规划问题转化为线性规划问题,然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题,然后将每个子问题分别求解,并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分,实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中,选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
09非线性规划:无约束极值问题
X
k +1
=X +k P
k
k
其中P 称为搜索方向,k 称为步长
无约束极值问题的解法
一、梯度法(最速下降法):选择负梯度方向为搜索方向
将f ( X k 1 )在X k点处进行多元泰勒展开: f ( X k 1 ) f ( X k P k ) f ( X k ) f ( X k )T P k o( ) 对充分小的,只要f ( X k )T P k 0 即可保证f ( X k 1 ) f ( X k ) f ( X k )T P k || f ( X k )T || || P k || cos 当 =180即P k 与f ( X k )反向时,f ( X k )T P k 0且最小 称P k f ( X k )为负梯度方向,它是函数值下降最快的方向
max y 30x 1 450x 2
产品1 (x1)
工作时间 售价 0.5 30
产品2 (x2)
2+0.25 x2 450
工作时间 限量
800
0.5x1 (2 0.25 x2 ) x2 800
x1、x2 0
二、非线性规划问题的特点
局部最优点不是全局最优点。
三、极值问题
1、一元函数 y=f(x) : ① 局部极值点存在的必要条件:f’(x0)=0,此时求出的 x0 为驻点。 ② 局部极值点存在的充分条件: a. 若f’’(x0)<0,则该点 x0 为局部极大值点。 b. 若f’’(x0)>0,则该点 x0 为局部极小值点。
k k k k T k k
+f (x ) H ( x )f (x )
k T k
对 求导并令导数值为零,得到近似最佳步长 f (x ) f (x ) k k T k k f (x ) H ( x )f (x )
第四章 非线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义
第四章 非线性规划教学重点:凸规划及其性质,无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法,约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。
教学难点:约束最优化问题的最优性条件。
教学课时:24学时主要教学环节的组织:在详细讲解各种算法的基础上,结合例题,给学生以具体的认识,再通过大量习题加以巩固,也可以应用软件包解决一些问题。
第一节 基本概念教学重点:非线性规划问题的引入,非线性方法概述。
教学难点:无。
教学课时:2学时主要教学环节的组织:通过具体问题引入非线性规划模型,在具体讲述非线性规划方法的求解难题。
1、非线性规划问题举例例1 曲线最优拟合问题已知某物体的温度ϕ 与时间t 之间有如下形式的经验函数关系:312c t c c t e φ=++ (*)其中1c ,2c ,3c 是待定参数。
现通过测试获得n 组ϕ与t 之间的实验数据),(i i t ϕ,i=1,2,…,n 。
试确定参数1c ,2c ,3c ,使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点),(i i t ϕ拟合。
∑=++-n 1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ϕ例 2 构件容积问题通过分析我们可以得到如下的规划模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=++++=0,0 2 ..)3/1( max 212121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ基本概念设n T n R x x x ∈=),...,(1,R R q j x h p i x g x f n j i :,...,1),(;,...,1),();(==,如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP):⎪⎩⎪⎨⎧===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)( min约束集或可行域X x ∈∀ MP 的可行解或可行点MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数,称(MP)为非线性规划令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1=T p x h x h x h ))(),...,(()(1=,其中,q n p n R R h R R g :,:,那么(MP )可简记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f X x ∈ 当p=0,q=0时,称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。
非线性规划问题的求解方法[优质ppt]
4.2、内点法(内部惩罚函数法): min F ( x, )
s.t. x S
算法: ( 1) 给 定 初 始 内 点 x (0) S , 允 许 误 差 e>0,
障 碍 参 数 (1) , 缩 小 系 数 b (0 ,1) , 置 k= 1 ;
( 2) 以 x (k1) 为 初 始 点 , 求 解 下 列 规 划 问 题 :
f21=subs(fx2x1); f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; else m(k+1)=c*m(k);
min f ( x ) ( k ) B ( x )
s.t. x S
, 令 x (k) 为 所 求 极 小 点
( 3) 如 果 (k)B (x (k) ) e , 则 停 止 计 算 , 得 到 结 果x (k) ,
(k 1) b (k )
非线性规划—无约束问题
f(X ) f(X *) 则称X * 为f(X )在上的严格全局极小点。 f(X *)为严格全局极小值。
如果将上述不等式反向 ,即可得到局部极 大值与全局极大值的定 义。
第11页
定理1:极值存在的必要条件
两边乘以“1”。 第5页
非线性规划的图解问题
图解法可以给人以直观概念,当只有两个自变量时, 非线性规划也像线性规划一样,可以利用图解法。
例:min f (X ) (x1 2)2 (x2 1)2
x1 x2 5 0
A
若令目标函数f ( X)=C
C为某一常数。
则f ( X)=C就代表一条曲线,
一般地,解非线性规划问题要比解线性规划问 题困难的多,因为它不像解线性规划问题有单纯形 法这一通用的方法,非线性规划目前还没有适合于 各种问题的一般算法,各个方法都有自己特定的应 用范围。
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非线性规划模型
例:某金属制品厂要加工一批容积为1米3的长方 形容器,按规格要求,上下底的材料为25元/m2,侧 面的材料为40元/m2,试确定长、宽、高的尺寸,使 这个容器的成本最低。
设容器的长为x1,宽为x2,则高为1/x1x2。根据题意 得:
min
f
( x1 ,
x2 )
50 x1x2
80[
1 x1x2
( x1
x2 )]
x1, x2 0
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例:某公司经营两种设备,第一种设备每件售价30元, 第二种设备每件售价为450元,根据统计,售出一件 第一种设备所需营业时间平均为0.5小时,第二种设备 为(2+0.25x2)小时,其中x2是第二种设备的售出数 量,已知该公司在这段时间内的总营业时间为800小 时,试决定使其营业额最大的营业计划。
《高级运筹学》约束非线性规划
(6) (7)
从几何上看,(5)式的f(x*)和 g1(x*)都通过x*且应共线。 实际上,由于x*是(4)的最优解,所以,当动点x由x*出发 沿着g1(x)=0上的各个方向移动时,目标函数值f(x)均增加, 不仅如此,而且 x由x*出发往g1(x)0的内部移动时(即下 图所示箭头方向),f(x)也应增加。
x*
g1(x) 0
g2(x) 0
由于梯度指向函数值的增加方向,因此,f(x*)和g1(x*) 不仅共线,而且应该是同方向的。即(6)中的
* 1
0,
* 2
0
(8)
总之,(4)的最优解x*应满足条件 (6)(7)(8)
x* g1(x*) g1(x) 0
f (x*) g2(x) 0
f (x*) 1*g1(x*) 2*g2 (x*) 0
s.t. gi (x) 0 hj (x) 0
i 1,..., m j 1,...,l
(9)
构造拉格朗日函数
m
l
L(x,, ) f (x) i gi (x) jhj (x)
i 1
j 1
(10)
min f (x)
xRn
s.t. gi (x) 0 hj (x) 0
i 1,..., m j 1,...,l
求解一般约束非线性规划问题,比无约束问题和线性规 划问题都要复杂得多。
考虑问题
min f (x) x12 x22
s.t. x1 x2 1 0
1 x1 0
1 x2 0
x2
可行域是一个 三角形及其内 部,目标函数 等值线是以原 点为圆心的同 心圆。
1
x*
运筹学 — 无约束非线性规划,约束非线性优化解析
则 x是 f (x) 的R上的最小点(全局极小点)
• 凸规划:
定义:若 R En 为凸集, f ( x) 是R上的凸函数, 则称规划:
min f (x) s.t. x R
为凸规划
定义:若规划问题:
min f (x) s.t. gi (x) 0 i 1, 2, m
其中 f (x) 为凸函数, gi (x) 为凹函数(或 gi (x) 为凸函数) ,则该规划问题为凸规划。
x
k+1
=x +k P
k
k
检查得到的新点x是否为极小值点或近似极小值点。若是, 停止迭代。否则,令 k:=k+1,回2步继续迭代。
• 确定最优步长
k: min f (x +P )
k k
求以 为变量的一元函数 f (xk +Pk ) 的极小值点 (一维搜索)
一维搜索重要性质:在 搜索方向上所得最优点 处的梯度和该搜索方向 正交。
t
(t1 ) 0.2082 (t2 ) 0.0611
b-t1=1.146-0.438>0.5
0 t1
t2
1.416
t
4、第四轮:
a = 0.438, t1=0.708, t2=0.876, b=1.146
(t1 ) 0.0611 (t2 ) 0.0798
b-t1=1.146-0.708<0.5 0
第四章非线性规划
凌翔 龙建成 交通运输工程学院
凸函数定义:
设 f (x) 为定义在n维欧氏空间E中某个凸集R上的函数,若 对任何实数 0 1 以及R中的任意两点 x1 和 x2 ,恒有:
f ( x1 (1 )x2 ) f (x1 ) (1 ) f (x2 )
同济大学_运筹学_非线性规划
无约束极值问题(Unconstrained Optimization) 约束极值问题 (Constrained Optimization)
1.非线性规划应用举例
例1 假设某公司经营两种设备,第一种设备 每件利润30元,第二种设备每件利润4500.05x2元,根据统计售出一件第一种设备所 需要的营业时间平均是0.5小时,第二种设备 是2+0.25x2小时,其中x2是第二种设备的售 出数量,已知该公司在这段时间内的总营业 时间为800小时,试决定其营业额最大的营业 计划。
其中R为可行域
(3)
图解法(Graphical Solution)
非线性规划二维问题的图解法步骤与线性规划相似,但是 作图相对比较复杂,也很难求出坐标的值。
例4
Minf (X) (x1 2)2 (x2 1)2
s.t. x1 x 22 5x 2 0
x1 x2 5 0
x1, x2 0
无约束极值问题(Unconstrained Optimization)
如果非线性规划中不存在约束条件,则称为无约束非线 性规划问题,通常称为无约束极值问题。
Minf (X), X E n
几个定义
局部极小(local minimum)
假设f (x)为定义在n维欧氏空间E n的某一区域R上 的n元实函数,f (x) : R E n E1, 对于x* R,如果
x1, x2 0
例2 北海玩具厂生产一种玩具,设该玩具下 个月的产量为x个,并且所有的产品均可售出。 已知玩具A的单位产品利润随着销量的增加而 减少,其规律是单位产品利润为100-0.5x (元)。该玩具单位产品的原材料消耗量为1 单位,对人工的需求量为2单位。已知该厂下 个月可以提供的原材料为200单位,可以提供 的人工为350单位。问该厂下个月应当如何安 排生产计划,才能使总利润最大?
第四章 非线性规划1-约束极值问题
第四章 非线性规划⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩无约束最优化问题线性规划约束最优化问题非线性规划⎧⎨⎩凸规划约束最优化问题非凸规划⎧⎨⎩直接解法约束最优化问题求解方法间接解法间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。
由于这类方法可以选用有效的无约束优化方法,且易于处理同时具有不等式约束和等式约束的问题,因而在工程优化中得到了广泛的应用。
直接解法是在满足不等式约束的可行设汁区域内直接按索问题的约束最优解。
第一节 目标函数的约束极值问题所谓约束优化设计问题的最优性条件.就是指在满足等式和不等式约束条件下,其目标函数值最小的点必须满足的条件,须注意的是,这只是对约束的局部最优解而言。
对于带有约束条件的目标函数,其求最优解的过程可归结为:一、约束与方向的定义 一)起作用约束与松弛约束对于一个不等式约束()0g X ≤来说,如果所讨论的设计点()k X 使该约束()0g X =(或者说()k X当时正处在该约束的边界上)时,则称这个约束是()k X点的一个起作用约束或紧约束,而其他满足()0g X <的约束称为松弛约束。
冗余约束40g ≤当一个设计点同时有几个约束起作用时,即可定义起作用约束集合为{}()()()|()0,1,2,,k k u I X u g X u m ===其意义是对()k X点此时所有起作用约束下标的集合。
二)冗余约束如果一个不等式约束条件的约束面(即()0g X =)对可行域的大小不发生影响,或是约束面不与可行域D 相交,即此约束称为冗余约束。
三)可行方向可行方向:一个设计点()k X 在可行域内,沿某一个方向S 移动,仍可得到一个属于可行域的新点,则称该方向为可行方向。
1)设计点为自由点 设计点()k X 在可行域内是一个自由点,在各个方向上都可以作出移动得到新点仍属于可行域,如图所示。
2)设计点为约束边界点当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时,它的移动就会受到可行性的限制。
《有约束极值问题》课件
一种用于解决非线性规划问题的迭代
算法,通过计算目标函数的梯度来寻
找最优解。
3
遗传算法
一种用于解决整数规划问题的启发式 算法,通过模拟生物进化过程寻找最 优解。
案例分析
生产线优化
通过优化生产线的配置和工艺参数,实现生产 效率的最大化。
供应链优化
通过优化供应链网络和运输方案,降低成本并 提高服务质量。
问题分类
线性规划
研究代数形式的线性目标函数和线性约束条 件下的极值问题。
整数规划
研究目标函数和约束条件都是整数的极值问 题。
非线性规划
研究非线性目标函数和非线性约束条件下的 极值问题。
多目标规划
研究含有多个目标函数的极值问题。
常见解法
1
单纯形法
一种用于解决线性规划问题的基本算
梯度 最优解。
《有约束极值问题》PPT 课件
通过本课件,我们将一起探索有约束极值问题,从背景、分类、常见解法、 案例分析、问题讨论,最后总结该问题的内容并展望未来的研究方向和应用 前景。
问题背景
有约束极值问题指的是在一定约束条件下寻找使得目标函数取得最大值或最小值的问题。在本节中,我 们将介绍有约束极值问题的定义和意义。
投资组合优化
通过优化资产配置和风险控制,实现投资组合 的最优化。
项目调度优化
通过优化项目的资源分配和任务安排,提高项 目的执行效率。
问题讨论
1 约束条件的灵活性
2 算法的效率和准确性
在有约束极值问题中,如何有效平衡约束 条件的限制和问题求解的需要?
如何选择合适的算法来解决不同类型的有 约束极值问题,并保证求解结果的准确性?
总结和展望
主要内容总结
非线性规划问题的求解方法
(3) 求出沿 P (k)方向前进的步长 (k )
(4) 得到新的点 X (k+1), X (k1) X (k ) (k ) P(k )
检验 X (k+1)是否最优,如果是最优,则迭代结束,
否则 k k 1,转到(2)执行。
注意:数值求解最优化问题的计算效率取决
a 1, b 1 ,a,b 为常数,通常取 a=b=2。
算法步骤
(1)给定初始点 x(0),初始罚因子 (1) , 放大系数 c>1;允许误差 e>0,设置 k=1;
(2)以 x(k-1)作为搜索初始点,求解无约束规划问题 min f (x) P(x) ,令 x(k)为所求极小点。
(3)当 P(x(k) ) e ,则停止计算,得到点 x(k); 否则,令 (k1) c(k) ,返回(2)执行。
如何将此算法模块化:
罚项函数: P(x(k) ) 无约束规划目标函数: f (x) P(x)
求解非线性规划模型例子
min( x12 x22 ) s.t. (x1 1)3 x22 0
仅适合于不等式约束的最优化问题
其中 f (x), gi (x)(i 1,2,, m)
都是连续函数,将模型的定义域记为 S {x | gi (x) 0,i 1,2,, m}
构造辅助函数 为了保持迭代点含于可行域内部,我们定义
障碍函数 F(x, ) f (x) B(x)
没有用到目标函数的导数问题的转化技巧近似为一个无约束规划直接搜索法以梯度法为基础的间接法无约束规划的matlab求解函数数学建模案例分析截断切割飞机排队在非线性最优化问题当中如果目标函数能以解析函数表示可行域由不等式约束确定则可以利用目标函数和可行域的已知性质在理论上推导出目标函数为最优值的必要条件这种方法就称为间接法也称为解析法
非线性规划求极值题目:非线性规划求极值目标函数MINF(X)或MAX
非线性规划求极值题目:非线性规划求极值目标函数min F(X) 或max F(X)X 自变量向量{x1,x2,…xn}约束条件c i<=gi(X) <= d i i=1,2,…ma j<=x j<=b j j=1,2,…n技术要求:使用VB6、VC6或Fortran任何一种语言编写算法,实现求解。
优化方法要求采用“牛顿法”、“共轭法”和“复合形法”。
在指定的计算精度,1000次以内必须完成迭代算法,计算耗时<100ms。
提供详细设计说明书,程序中应有相应注释。
费用:每一种算法费用1500元,三种算法费用共4500元项目内容描述:模块定义如下:(以VB6函数为例)Public Function OptimizeMethod(lngMode As Long, lngItMax As Long, _lngN As Long, sngG() As Single, sngH() As Single, _lngM As Long, strExpImplicit() As String, _strExpObject As String, _sngXX() As Single) As Long'函数返回值'*************************************************************'OptimizeMethod=0 计算完成,有解'OptimizeMethod=-1001 约束表达式有误'OptimizeMethod=-1002 目标函数表达式有误'OptimizeMethod=-1003 超过规定的迭代次数任不能求解'输入参数'*************************************************************'lngMode-------------极值模式lngMode = -1 求极小值;lngMode = 1 求极大值'lngItMax------------最大允许迭代次数'lngN----------------自变量个数'sngG()--------------显示约束最小值数组'sngH()--------------显示约束最大值数组'lngM----------------隐式约束条件个数'strExpImplicit()----隐式约束条件表达式数组,例如2*x1+3*x2^2-5*x4^3'strExpObject--------目标函数表达式,例如(x1+4*x2^2+x3+100*x4)/(x1^2+5*x3^3)'输出参数'*************************************************************'sngXX()--------------计算结果数组End Function注意:其它常数,例如反射因子、收敛参数在程序初始化时给定。
什么是KT点
第三讲非线性规划§4约束极值问题(1)问题min(),{|()0,1,}jf XR X g X j l⎧⎨=≥=⎩<1>思路:有约束→无约束; 非线性→线性; 复杂→简;一、最优性条件1. 可行下降方向(有用约束,可行方向,下降方向) (1) 有用(效)约束设<1>式的(),()jf Xg X有一阶连续偏导设(0)X是一个可行解, 下一步考察时,要讨论约束.分析: 应有(0)(0)(0)()0()0()0j j j g X g X g X ⎧>⎪≥→⎨=⎪⎩ 若(0)()0j g X>,则在(0)()U X内,有()0j g X >, 此时各个方向均可选. 若(0)()0j g X =,则(0)X∈()0j g X =形成的边界, 影响下一步选向.1x 2x {()0}R X g X =≥()f X ()0j g X =(0)X故称()0j g X =是(0)X 点的有效约束. (2) 可行方向(对可行域来说) 设(0)X 为可行点, P 为某方向, 若存在00λ>, 使得(0)0,[0,]XP R λλλ+∈∈则称P 是(0)X 点的一个可行方向. (a) 可行方向P 与有效约束(0)()0j g X=的梯度(0)()j g X ∇关系是:(0)()0T j g X P ∇≥.记有效约束下标集(0){|()0,1}j J j g X j l ==≤≤ 若P 为(0)X 的可行方向, 则 存在00λ>, 使得当0[0,]λλ∈,有(0)(0)()()0,j j g X P g X j J λ+≥=∈从而(0)(0)0d ()()0,d j T j g X P g X P j J λλλ=+=∇≥∈见下图.(b)反之, 若(0)()0Tj g XP ∇>, 则P 必为可行方向.(0)(0)(0)()()()()T j j j g X P g X g X P o λλλ+=+∇+Q (0)1()0g X=(0)2()0g X =(0)2()g X∇(0)1()g X ∇P(0)X •<1>对有效约束(0)()0j g X =,只要λ充分小,得(0)()0j g X P λ+≥, 所以P 是可行方向;<2>对无效约束(0)()0j g X >,同样只要λ充分小, 就有(0)()0j g XP λ+≥,故P 也是可行方向;事实上, 对无效(0)()0j g X>,P ∀都是可行方向.(3) 下降方向(对目标函数来说) 设(0)XR ∈, 对某P 方向, 若在00[0,],0λλλ''∈>内, 有(0)(0)()()f X P f X λ+<则称P 是一个下降方向. 下降方向判定: 若(0)()0Tf XP ∇<,则P 是(0)X 的一个下降方向.因为(0)()()f X f X P λ=+(0)(0)()()()T f X f X P o λλ=+∇+,只要λ充分小, 都有(0)()()f X f X <.(4) 可行下降方向若(0)X R ∈的某方向P 是 可行方向+下降方向, 则称P 是(0)X 的可行下降方向. 即 存在00λ>,当0[0,]λλ∈时,有(0)()0j g X P λ+≥且(0)(0)()()f X P f X λ+<,是继续寻优方向. 讨论: (0)X非极小值点⇔存在可行下降方向P ; (0)X极小值点 ⇔ 无可行下降方向P ;(可行但不下降,或下降不可行)定理(局部极(最)小必要条件)设X *是min (),{()0}i f X X g X ∈≥局部极小点,(),(),j f X g X j J ∈(有效约束下标集)在X *处可微, (),j g X j J ∉在X *处连续,则在X *处无可行下降方向P ,即不存在P , 使**()0,,()0,T j Tg X P j J f X P ⎧∇>∈⎨∇<⎩(**) 证 否则由(**)及前面的分析, 可找出可行下降点 →X *非局部极小值点→矛盾. 如图 所示1x 2x ()f X *∇()f X 1()g X *∇*问题:min (),{|()0,1,}j f X R X g X j l ⎧⎨=≥=⎩<1>2. 库恩—塔克条件(局部最小的必要条件) 是非线性规划中最重要成果之一 (1) Gordan 引理(不加证明) 设12,,...,l A A A 是l 个n 维向量, 则P ∃/,使0,1,2,...,T j A P j l <=⇔ 0j μ∃≥,不全为零, 使10lj j j A μ==∑.(不指向同侧的向量, 正组合为零)(如l =3,n =2)若同侧, 则有P (图a), 否则无P (图b),但可正组为0.(2) Fritz John 定理设X *是<1>极小值点, ()f X 和()j g X 有一阶连续偏导数, 则存在不全为零的01,,...,l μμμ, 使3A 1A 2A PH ()a 3A 1A 2A P H()b⎧⎪⎨⎪⎩01()()0()0,1,2,...,0,1,2,...,lj j j j j j f X g X g X j l j lμμμμ**=*∇-∇===≥=∑证明 因X *是问题<1>的解, 故由定理4, 不存在可行下降方向P, 使()0()0,TTj f X P g X P j J**⎧∇<⎪⎨-∇<∈⎪⎩ 由Gordan 引理,存在不全为零非负数0,,j j Jμμ∈使0()()0j j j Jf Xg X μμ**∈∇-∇=∑对无效约束j J ∉, 令0j μ=, 则()0j j g X μ*∇=从而有(对所有l )01()()0lj j j f X g X μμ**=∇-∇=∑且有()0,0,1,2,...,j j j g X j l μμ*=≥=, 证毕.注1: 类似于条件极值的必要条件.注2 若00μ=,则有效约束的()j g X *∇正线性相关→同侧→有可行下降方向→X *非极值点. 故一般设()j g X *∇线性无关→00μ>. 以上条件称为 Fritz John 条件, *X 称为Fritz John 点.(3) 必要条件 (库恩-塔克条件)设X *是<1>极小值点, ()f X 和()j g X 有一阶连续偏导,且有效约束梯度线性无关,则1,...,l μμ**∃, 使⎧⎪⎨⎪⎩1()()0()0,1,2,...,0,1,2,...,lj j j j j j f X g X g X j l j lμμμ***=***∇-∇===≥=∑<2>证明 由Fritz John 引理, ()j g X *∇j J ∈线性无关得00μ>, 作00/0j μμμ*=>, 即得<2>.式<2>=库恩-塔克条件. 相应点=库恩-塔克点. 简称K-T 条件, K-T 点. 对一般非线性规划min (),()0,1,()0,1,i j f X h X i m g X j l⎧⎪==⇒⎨⎪≥=⎩ min (),()0,()0,1,()0,1,i ij f X h X h X i m g X j l⎧≥⎪⎨-≥=⎪≥=⎩<3> 它的K-T 条件如下设X *是<3>极小值点, 相应函数有一阶连续偏导,且有效约束的()i h X *∇和(),j g X j J *∇∈线性无关,则12(,,...,)T m Γγγγ****∃=和1(,...,)Tl M μμ***=,使11()()()0()0,1,2,...,0,1,2,...,m lii j j i j j j j f X h X g X g X j lj lγμμμ*****==***∇-∇-∇===≥=∑∑<4>其中12,,...,m γγγ***,1,...,l μμ**称为广义Lagrange 乘子. 注1 对凸规划, K-T 条件也是充分的. 设k X 为某可行解, 若kX 是极小点,且1()0kg X =,2x ()f X 1()0k g X =和2()0kg X =,则()()k f X∇必与,1()k g X ∇和2()k g X ∇同侧, 否则有可行下降方向.由1()k g X ∇和2()kg X ∇线性无关1122()()()k k f X g X g X μμ*∇=∇+∇即1122()()()0k k f X g X g X μμ*∇-∇-∇=()()k f X -∇()1()0k g X =例10 用库恩-塔克条件解非线性规划2max ()(4)16f x x x ⎧=-⎨≤≤⎩. 解 变为 212min ()(4)()10()60f x x g x x g x x ⎧=--⎪=-≥⎨⎪=-≥⎩, 16412()2(4),()1,()1f x x g x g x ∇=--∇=∇=-, 引入广义拉格朗日乘子12,μμ**, 则有所以1212122(4)0(1)0(6)0,0x x x μμμμμμ*********⎧---+=⎪-=⎪⎨-=⎪⎪≥⎩, 具体分析如下. 若120,0,μμ**>>引出矛盾, 无解;若120,0μμ**>=:1x *=,点; ()9f x *=(1μ*=6)若120,0μμ**==:4x *=,()0f x *=;若120,0μμ**=>:6x *=,()4f x *=(2μ*=4)所以最大值点1x *=, 最大值()9f x *=. 注: 2()(4)f x x =--非凸函数, 在[1,6]上有两个局部最小值点. 还有一个”驻点”附加例题(略)用K-T 条件解非线性规划1642min ()(3)05f x x x ⎧=-⎨≤≤⎩. 解 212min ()(3),()0,()50f x x g x x g x x ⎧=-⎪=≥⎨⎪=-≥⎩,(是凸规划) 12()2(3),()1,()1f x x g x g x ∇=-∇=∇=-,所以1212122(3)00(5)0,0x x x μμμμμμ*********⎧--+=⎪=⎪⎨-=⎪⎪≥⎩, 具体分析如下. 若120,0,μμ**≠≠引出矛盾, 无解;若120,0,μμ**≠=解得10,6x μ**==-,非K-T 点; 若120,0,μμ**=≠解得15,4x μ**==-,非K-T 点; 若120,0,μμ**==解得3x *=,()0f x *=全局最小.习题4.1 已知非线性规划131212max ()(1)0,0f X x x x x x =⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩的极大点为(1,0), 试(1) 转化目标函数后, 写出其K-T 条件;(2) 求出K-T 点..4.2 试用K-T 条件求解问题2min ()(4)16f X x x =-≤≤.。
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第四章 非线性规划⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩无约束最优化问题线性规划约束最优化问题非线性规划⎧⎨⎩凸规划约束最优化问题非凸规划⎧⎨⎩直接解法约束最优化问题求解方法间接解法间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。
由于这类方法可以选用有效的无约束优化方法,且易于处理同时具有不等式约束和等式约束的问题,因而在工程优化中得到了广泛的应用。
直接解法是在满足不等式约束的可行设汁区域内直接按索问题的约束最优解。
第一节 目标函数的约束极值问题所谓约束优化设计问题的最优性条件.就是指在满足等式和不等式约束条件下,其目标函数值最小的点必须满足的条件,须注意的是,这只是对约束的局部最优解而言。
对于带有约束条件的目标函数,其求最优解的过程可归结为:一、约束与方向的定义 一)起作用约束与松弛约束对于一个不等式约束()0g X ≤来说,如果所讨论的设计点()k X 使该约束()0g X =(或者说()k X当时正处在该约束的边界上)时,则称这个约束是()k X点的一个起作用约束或紧约束,而其他满足()0g X <的约束称为松弛约束。
冗余约束40g ≤当一个设计点同时有几个约束起作用时,即可定义起作用约束集合为{}()()()|()0,1,2,,k k u I X u g X u m ===其意义是对()k X点此时所有起作用约束下标的集合。
二)冗余约束如果一个不等式约束条件的约束面(即()0g X =)对可行域的大小不发生影响,或是约束面不与可行域D 相交,即此约束称为冗余约束。
三)可行方向可行方向:一个设计点()k X 在可行域内,沿某一个方向S 移动,仍可得到一个属于可行域的新点,则称该方向为可行方向。
1)设计点为自由点 设计点()k X 在可行域内是一个自由点,在各个方向上都可以作出移动得到新点仍属于可行域,如图所示。
2)设计点为约束边界点当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时,它的移动就会受到可行性的限制。
此时,()k X 点的可行方向S 必满足条件:()0T k i S g X ∇≤ (解释:()()cos ,()T k k T k i i i S g X S g X S g X ∇=∇∇,,()90T k i S g X ∇≥︒)) 当,()90T k i S g X ∇=︒时,方向S 是约束函数ig 在()k X 点处的切线方向,即()0T k i S g X ∇=。
当某个设计点x 同时有几个约束起作用时(如图中的x 点是约束10g =和约束20g =约束面的交点),其可行方向集合为:{}()1()|()0,()T k k u V X S S g X u I X =∇≤∈即图中阴影部分的任一方向都是可行方向。
同理,对于有不等式约束起作用约束集合和等式约束的情况,其可行方向的集合为:()1|()0,()()|()0)T k k u T kv S S g X u I X V X S S h X ⎧⎫∇≤∈⎪⎪=⎨⎬∇=⎪⎪⎩⎭四)下降可行方向沿某一个可行方向S 移动一个微小距离δ>0,有()()()()k k f X S f X δ+<,(亦即f (()k X )的方向导数小于0),则称S 为下降可行方向。
对于一个求目标函数极小化问题,当沿某个可行方向向量作出微小的移动时,其目标函数的变化为:(1)()()()()()()()k k k T k f X f X S f X S f X αα+=+≈+∇对于充分小()0k α>,若存在方向,使得()(1)()()[()()]/0T k k k S f X f X f X α+∇=-<成立,则()k X不是函数的局部极小点,因为沿着S 方向存在目标函数值更小的点。
反之,若对于任何可行方向S 均有()(1)()()[()()]/0T k k k S f X f X f X α+∇=-≥成立,则()k X 是函数的局部极小点,因为沿着任意S 方向找不到一个目标函数值更小的点。
()()0T k S f X ∇=刚好是上式的一种极限情况。
根据以上分析,对于点()k X的可行方向()1()k S V X ∈,若满足()()0T k S f X∇<(或[()]0T k S f X -∇>,此时方向向量与负梯度方向夹角小于90︒)的条件,则称此可行方向S为目标函数的下降可行方向,并定义{}{}2()|()0|[()]0T k T k V X S S f X S S f X =∇<=-∇>为()k X点的目标函数下降可行方向集合。
二、约束问题的最优解条件 一)约束极值问题的不同情况在约束条件下的优化问题比无约束条件下的优化问题更为复杂,因为约束最优点不仅与目标函数本身的性质有关,而且还与约束函数的性质有关。
在存在约束的条件下,为了要满足约束条件的限制,其最优点即约束最优点,不一定是目标函数的自然极值点,如图所示。
约束问题最优点可能出现两种情况:一种是最优点在可行域的内部,即最优点*X 是个内点,此时的所有约束均为不起支配作用,这就是说,目标函数无约束极小点也就是约束最优点;(无约束极值)另一种情况是最优点在可行域的边界上,对于这种情况,其极值条件不仅与目标函数而且也与约束集合的性质有关,即该点既在起作用约束的约束面上,又是目标函数值最小的点。
(约束极值)二)约束极值的必要条件——库恩-塔克条件()k X 点成为约束最优点(*)X 的必要条件为:是否存在一个可行方向()1()k S V X ∈,使得()()0Tk S f X∇<,若存在,则()k X 不是(*)X 。
或者:在()k X点周围是否存在下降可行方向,用集合的形式表示为:{}{}()12()()|()0,()|()0k k k k Tk k kk Tk u V X V X S S g X u I X SS f X =∇≤∈∇<=Φ()()1.只有一个起作用约束条件的情况从设计空间的几何意义可以很清楚的了解到这一点。
在图a 中,目标函数和约束函数均为凸函数,仅有一个起作用的约束,在()k X存在一个可行方向向量S ,使得()()0T k S f X ∇<(或()[()]0T k S f X -∇>)成立,S 就是一个可行下降方向,()k X不是约束最优点。
目标函数在该点处沿约束面的切线方向的方向导数或变化率不等于零,不稳定点在图b 中,在()k X不存在一个可行方向向量S ,使得()()0T k S f X ∇<(或()[()]0T k S f X -∇>)成立,因此()k X 是一个局部约束最优点。
此处是目标函数等值线与约束函数边界的切点,在该点处约束函数的梯度向量与目标函数的负梯度向量重合。
目标函数在该点处沿约束面的切线方向的方向导数或变化率等于零。
2.有两个起作用的约束条件的情况图a ,()k X 为非约束最优点,()()k f X-∇位于()1()k g X ∇和()2()k g X ∇构成的夹角之外。
图b ,()k X为约束最优点,()()k f X-∇位于()1()k g X ∇和()2()k g X ∇构成的夹角之内。
这时,()()k f X-∇可以表示为()1()k g X ∇和()2()k g X ∇的线性组合:()()()112212()()() (,>0)k k k f X g X g X λλλλ-∇=∇+∇3.一般情况将上述条件推广到一般情况,表述如下: 设某一设计点()k X有q 个起作用约束,也就是()k X在q 个约束面的交集上。
()k X为局部最优点的必要条件是:目标函数负梯度()()k f X -∇可以表示成所有起作用约束()()k u g X ∇的线性组合,即:()()1()() (>0,(1,2,,))qk k u u u u f Xg X u q λλ=-∇=∇=∑其中这就是约束优化问题最优解的必要条件——库恩-塔克条件(Kuhn-Tucker condition ) 4. 库恩-塔克条件的几何意义库恩-塔克条件的几何意义如图,起作用约束的梯度向量,在设计空间内构成一个椎体,目标函数的负梯度方向应包含在此椎体内。
库恩-塔克条件判定的只是局部最优点,只有当目标函数和约束函数均为凸函数时(即所谓的凸规划问题),判定的条件极值点才是全域最优点,并且库恩-塔克条件也才是充分条件。
库恩-塔克条件的重要性在于:X是否为条件极值点;(1)可以通过这个条件检验()k(2)可以检验一种搜索方法是否合理,如果用这种方法求得的最优点符合K-T条件,则该方法可以认为是可行的。
三)k-T条件的算例作业:三、约束优化迭代终止准则 库恩-塔克条件:()()1()() (>0,(1,2,,))rk k u u u u f Xg X u r λλ=-∇=∇=∑其中()()()0k k u u u I X i ig X f X x x λ∈∂∂⇒+=∂∂∑ (i=1,2,3, …,n )用矩阵形式表示: 令() F f X =1212()()()()(,,)(,,)TnTn f X f X f X F f X x x x b b b ∂∂∂⇒∇=∇=∂∂∂= 12()()()() ()(,,)Tu u u u u u u ng X g X g X g g X g g X x x x ∂∂∂=⇒∇=∇=∂∂∂ 令 12(,,)r G g g g ∇=∇∇∇ r 为起作用约束的数目121111222212()()()()()()()()()r r r n nn n rg X g X g X xx x g X g X g X x x x g X g X g X xx x ⨯∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪∂∂∂= ⎪ ⎪⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭ 令 121(,,)T r r C λλλ⨯=11n n r r F G C ⨯⨯⨯⇒-∇=∇于是库恩-塔克条件可写为方程组1(1,2,,))ri u ui u b g i n λ=-=∇=∑这样得到了n 个方程,而未知数只有r 个,r<n 是一个超静定方程。
这样可能出现三种情况:(1)有唯一解;(2)无解(即不存在满足所有这些方程的乘子u λ);(3)方程的解是不定的,无穷个解 (1)(2)是正常预料中的结果,而(3)则是一种当起作用约束的梯度向量不完全独立时出现的情况。
引入公式11n n r r F G C D ⨯⨯⨯-∇=∇+ (D 为补偿向量)且令0()T G D ∇=零向量 (D 与所有起作用约束正交)这样,可以得到K-T 条件的另一种描述方法:D=0(零向量),且Ci>0时,则设计点为约束极值点。