数学分析复习提纲(全部版)
（完整版）最新数学分析知识点最全汇总
（完整版）最新数学分析知识点最全汇总第⼀章实数集与函数§1实数授课章节：第⼀章实数集与函数——§1实数教学⽬的：使学⽣掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运⽤实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运⽤实数绝对值的有关性质以及⼏个常见的不等式．（它们是分析论证的重要⼯具）教学难点：实数集的概念及其应⽤．教学⽅法：讲授．（部分内容⾃学）教学程序：引⾔上节课中，我们与⼤家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给⼤家介绍这门课程的主要内容．⾸先，从⼤家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这⾥的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解⼀下实数的有关性质．⼀、实数及其性质1、实数(,q p q p ?≠有理数:任何有理数都可以⽤分数形式为整数且q 0)表⽰，也可以⽤有限⼗进⼩数或⽆限⼗进⼩数来表⽰.⽆理数:⽤⽆限⼗进不循环⼩数表⽰.{}|R x x =为实数--全体实数的集合．[问题]有理数与⽆理数的表⽰不统⼀，这对统⼀讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限⼩数”（包括整数）也表⽰为“⽆限⼩数”．为此作如下规定：例： 2.001 2.0009999→L ；利⽤上述规定，任何实数都可⽤⼀个确定的⽆限⼩数来表⽰．在此规定下，如何⽐较实数的⼤⼩？2、两实数⼤⼩的⽐较1）定义1给定两个⾮负实数01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L . 其中3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-L L L ；；00,a b 为⾮负整数，,k k a b (1,2,)k =L 为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2,k k a b k ==L ，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在⾮负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==L ，⽽11l l a b ++>，则称x ⼤于y 或y ⼩于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何⾮负实数⼤于任何负实数．2）实数⽐较⼤⼩的等价条件（通过有限⼩数来⽐较）．定义2（不⾜近似与过剩近似）：01.n x a a a =L L 为⾮负实数，称有理数01.n n x a a a =L 为实数x 的n 位不⾜近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =L .对于负实数01.n x a a a =-L L ，其n 位不⾜近似011.10n n n x a a a =--L ；n 位过剩近似01.n n x a a a =-L .注：实数x 的不⾜近似n x 当n 增⼤时不减，即有012x x x ≤≤≤L ；过剩近似n x 当n 增⼤时不增，即有012x x x ≥≥≥L ．命题：记01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L 为两个实数，则x y >的等价条件是：存在⾮负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不⾜近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应⽤例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满⾜x r y <<．证明：由x y <，知：存在⾮负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．3、实数常⽤性质（详见附录Ⅱ．289302P P -）．1）封闭性（实数集R 对,,,+-?÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：,a b R ?∈，关系,,a b a b a b <>=，三者必居其⼀，也只居其⼀.3）传递性：a b c R ?∈，，，,a b b c a c >>>若，则．4）阿基⽶德性：,,0a b R b a n N ?∈>>??∈使得na b >．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另⼀个实数．6）⼀⼀对应关系：实数集R 与数轴上的点有着⼀⼀对应关系．例2．设,a b R ?∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提⽰：反证法．利⽤“有序性”，取a b ε=-）⼆、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥?=?-从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．||x a -表⽰就是数轴上点x 与a 之间的距离．3、性质1）||||0;||00a a a a =-≥=?=（⾮负性）；2）||||a a a -≤≤；3）||a h h a h ；4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三⾓不等式）； 5）||||||ab a b =?；6）||||a ab b =（0b ≠）．三、⼏个重要不等式1、,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤2、均值不等式:对,,,,21+∈?R n a a a Λ记 ,1 )(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M Λ (算术平均值) ,)(1121nn i i n n i a a a a a G ???? ??==∏=Λ (⼏何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=n i i n i i n i a n a n a a a na H Λ (调和平均值)有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤即：1212111n n a a a nna a a +++≤≤+++L L 等号当且仅当n a a a ===Λ21时成⽴.3、Bernoulli 不等式:(在中学已⽤数学归纳法证明过),1->?x 有不等式(1)1, .n x nx n +≥+∈N当1->x 且0≠x ,N ∈n 且2≥n 时,有严格不等式.1)1(nx x n +>+ 证：由01>+x 且>+++++=-++?≠+111)1(1)1( ,01Λn n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+>.1)1( nx x n +>+?4、利⽤⼆项展开式得到的不等式:对,0>?h 由⼆项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+Λ有 >+n h )1( 上式右端任何⼀项.［练习］P4．5［课堂⼩结］：实数：⼀实数及其性质⼆绝对值与不等式. [作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第⼀章实数集与函数——§2数集和确界原理教学⽬的：使学⽣掌握确界原理，建⽴起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运⽤.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应⽤.教学⽅法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导⼊新课.引⾔上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后⼜让⼤家⾃学了第⼀章§1实数的相关内容.下⾯，我们先来检验⼀下⾃学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2) |1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥Q （））（2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满⾜y r x <<.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之⼀.⽽不要做完就完了！⽽要多想想，能否具体问题引出⼀般的结论：⼀般的⽅法？②由上述⼏个⼩题可以体会出“⼤学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，⽽⾮凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语⾔应⽤.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和⼯具.本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与⽆界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.⼀、区间与邻域1、区间（⽤来表⽰变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.有限区间区间⽆限区间，其中{}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ?∈<<=∈≤≤=∈≤<=∈<≤=开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ?∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?⽆限区间2、邻域联想：“邻居”.字⾯意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪⼀类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何⽤数学语⾔来表达呢？（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满⾜不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即 {}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.其中a δ称为该邻域的中⼼，称为该邻域的半径.（2）点a 的空⼼δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-?+@.（3）a 的δ右邻域和点a 的空⼼δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+@@（4）点a 的δ左邻域和点a 的空⼼δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<@@（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分⼤的正数）； {}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-⼆、有界集与⽆界集1、定义1（上、下界）：设S 为R 中的⼀个数集.若存在数()M L ，使得⼀切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，⼜有下界，则称S 为有界集.闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.若数集S 不是有界集，则称S 为⽆界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是⽆界数集,集合∈==) 1 , 0 ( ,1 x xy y E 也是⽆界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯⼀；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +⽆上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取[]0[]1n M M M =+（符号表⽰不超过的最⼤整数），则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界⽆上界的数集，因⽽是⽆界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）⽆限区间都是⽆界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯⼀的吗？对下界呢？(答：不唯⼀，有⽆穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S 是R 中的⼀个数集，若数η满⾜：(1) 对⼀切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最⼩的⼀个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=从定义中可以得出：上确界就是上界中的最⼩者.命题1sup M E = 充要条件1）,x E x M ?∈≤；2）00,,o x S x M εε?>?∈>-使得.证明：必要性，⽤反证法.设2）不成⽴，则00,,o x E x M εε?>?∈≤-使得均有，与M 是上界中最⼩的⼀个⽭盾.充分性（⽤反证法），设M 不是E 的上确界，即0M ?是上界，但0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ?∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是E 的上界⽭盾.定义3（下确界）设S 是R 中的⼀个数集，若数ξ满⾜：（1）对⼀切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最⼤的⼀个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最⼤者.命题2 inf S ξ=的充要条件：1）,x E x ξ?∈≥；2）ε?＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+上确界与下确界统称为确界.例3（1）,) 1(1-+=n S n 则sup S = 1 ；inf S = 0 . （2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 . 注：⾮空有界数集的上（或下）确界是唯⼀的.命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯⼀的.证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η?A x ∈?有η≤xsup A η'=?对ηη'<，0x A ?∈使0x η<，⽭盾.例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈??= ?+??，1inf 12n Z n n +∈??= ?+?? {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a例4设S 和A 是⾮空数集，且有.A S ?则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥. 例5设A 和B 是⾮空数集.若对A x ∈?和,B y ∈?都有,y x ≤则有.inf sup B A ≤证明：,B y ∈?y 是A 的上界,.sup y A ≤?A sup ?是B 的下界,.inf sup B A ≤?例6A 和B 为⾮空数集,.B A S Y =试证明:{}. inf , inf m in inf B A S = 证明：,S x ∈?有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf m in .infB A x B x ≥?≥即{} inf , inf m in B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf m in inf B A S ≥?⼜S A S ,??的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ?是A 的下界,;inf inf A S ≤?同理有.inf inf B S ≤于是有{} inf , inf m in inf B A S ≤.综上,有{} inf , inf m in inf B A S =.1. 数集与确界的关系:确界不⼀定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是⼀种临界点.（2）⾮空有界数集必有确界(见下⾯的确界原理),但未必有最值.（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设S ⾮空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这⾥我们给⼀个可以接受的说明 ,E R E ?⾮空，E x ∈?，我们可以找到⼀个整数p ，使得p 不是E 上界，⽽1p +是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p Λ和1+p ，我们可以找到⼀个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第⼆位⼩数1q ，,Λ如此下去，最后得到Λ210.q q q p ，它是⼀个实数，即为E 的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下⾯讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为⾮负数，则存在⾮负整数n ，使得1）S x ∈?，有n x >；2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n 10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得 1）S ∈?，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ．再对开区间111(.,.]10n n n n +10等分，同理存在2n ，使得1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何Λ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.->Λ；2）存在S x k ∈，k k n n n n x Λ21.≤．因此得到ΛΛk n n n n 21.=η．以下证明S inf =η．（ⅰ）对任意S x ∈，η>x ；（ⅱ）对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§3函数概念授课章节：第⼀章实数集与函数——§3 函数概念教学⽬的：使学⽣深刻理解函数概念.教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表⽰法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学⽅法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可⾃学.教学程序：引⾔关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进⼀步讨论.⼀、函数的定义１．定义１设,D M R∈，，如果存在对应法则f，使对x D存在唯⼀的⼀个数y M∈与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作→:f D M→ .|x y数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为()f D.f x.全体函数值的集合称为函数f的值域，记作()即{}==∈.()|(),f D y y f x x D２．⼏点说明（1）函数定义的记号中“:f D M→”表⽰按法则f建⽴D到M 的函数关系，|x y→表⽰这两个数集中元素之间的对应关系，也记作→.习惯上称x⾃变量，y为因变量.|()x f x（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便⾃然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表⽰为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ?=∈ 2(),.x x x R ψ=∈（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数⽤公式法（解析法）表⽰时，函数的定义域常取使该运算式⼦有意义的⾃变量的全体，通常称为存在域（⾃然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，⽽只⽤对应法则f 来表⽰⼀个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.（5）函数定义中，x D ?∈，只能有唯⼀的⼀个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同⼀个x 值，可以对应多于⼀个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.⼆、函数的表⽰⽅法1 主要⽅法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图⽰法）.2 可⽤“特殊⽅法”来表⽰的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分⽤不同的公式来表⽰.例如 1,0sgn 0,01,0x x x x >??==??-，（符号函数）（借助于sgnx 可表⽰()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）.2）⽤语⾔叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例１）[]y x =（取整函数）⽐如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 [][]1x x x ≤<+, 即[]01x x ≤-<.与此有关⼀个的函数[]{}y x x x =-@（⾮负⼩数函数）图形是⼀条⼤锯，画出图看⼀看.２）狄利克雷（Dirichlet ）函数1,()0,x D x x ?=??当为有理数,当为⽆理数,这是⼀个病态函数，很有⽤处，却⽆法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最⼩周期，事实上任⼀有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman ）函数 1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q q R x x +?=∈?=??=?当为既约分数),当和内的⽆理数.三函数的四则运算给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =U ，并设D φ≠，定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：()()(),F x f x g x x D=+∈；()()(),G x f x g x x D =-∈；()()(),H x f x g x x D =∈. 若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠g ，可在D g 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()f x L x x Dg x =∈g . 注：１）若12D D D φ==U ，则f 与g 不能进⾏四则运算.２）为叙述⽅便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g+-. 四、复合运算１．引⾔在有些实际问题中函数的⾃变量与因变量通过另外⼀些变量才建⽴起它们之间的对应关系.例：质量为m 的物体⾃由下落，速度为v ，则功率E 为2221122E mv E mg t v gt ?=??=??=?. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把()v t 代⼊f ，即得221(())2f v t mg t =. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从⽽引出下⾯定义）.2．定义（复合函数）设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，{}()E x f x D E =∈g I ，若E φ≠g ，则对每⼀个x E ∈g ，通过g 对应D 内唯⼀⼀个值u ，⽽u ⼜通过f 对应唯⼀⼀个值y ，这就确定了⼀个定义在E g 上的函数，它以x 为⾃变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈g 或()(),y f g x x E =∈g o .简记为f g o .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量.3. 例⼦例 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f =ο并求定义域.例⑴._______________)( ,1)1(2=++=-x f x x x f⑵ .1122xx x x f +=??? ??+ 则) ( )(=x fA. ,2xB. ,12+xC. ,22-xD. .22+x例讨论函数()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R ==∈能否进⾏复合，求复合函数.4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合⽽成.每次复合，都要验证能否进⾏？在哪个数集上进⾏？复合函数的最终定义域是什么？例如：2sin ,1y u u v x ===-，复合成：[1,1]y x =∈-.２）不仅要会复合，更要会分解.把⼀个函数分解成若⼲个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化. ①2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-②2arcsin , 1.y y u u v x =→===+③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===五、反函数１.引⾔在函数()y f x =中把x 叫做⾃变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，⾃变量与因变量的地位并不是绝对的，⽽是相对的，例如：2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是⾃变量，但对t 来讲，u 是因变量.习惯上说函数()y f x =中x 是⾃变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引⼊反函数的概念.２.反函数概念定义设→X f :R 是⼀函数，如果?1x ，X x ∈2, 由)()(2121x f x f x x ≠?≠(或由2121)()(x x x f x f =?=)，则称f 在X 上是 1-1 的.若Y X f →:，)(X f Y =，称f 为满的.若 Y X f →:是满的 1-1 的，则称f 为1-1对应.→X f :R 是1-1 的意味着)(x f y =对固定y ⾄多有⼀个解x ，Y X f →:是1-1 的意味着对Y y ∈，)(x f y =有且仅有⼀个解x .。
《数学分析》考试大纲
《数学分析》考试大纲1．实数集与函数（1）掌握集合的概念与运算，区间与邻域。
理解映射与一一对应概念。
了解几个重要不等式。
理解确界原理。
（2）掌握函数概念。
掌握复合函数方法。
了解反函数存在定理。
理解初等函数。
（3）掌握函数的几种特性（单调性、有界性、奇偶性、周期性等）2. 数列极限（1）理解数列极限概念。
（2）掌握收敛数列的性质。
理解数列极限存在的条件。
3. 函数极限（1）理解函数极限概念，掌握ε-δ论证方法。
（2）掌握函数极限的性质。
理解函数极限存在的条件。
（3）掌握两个重要极限的应用。
（4）掌握无穷小与无穷大概念。
4. 函数的连续性（1）理解函数的连续与间断概念。
（2）了解连续函数的性质。
了解复合函数与反函数的连续性。
理解闭区间上连续函数的性质。
（3）理解函数的一致连续性。
理解初等函数的连续性。
5. 导数和微分（1）掌握导数概念。
（2）掌握求导法则与导数计算。
（3）理解微分概念。
（4）理解高阶导数与高阶微分6. 微分中值定理及其应用（1）理解Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。
（2）掌握Taylor公式和L’Hospital法则。
（3）理解函数的凸性及其性质。
（4）掌握利用导数研究函数的性态及函数作图。
7. 实数的完备性（1）理解子列概念。
理解致密性定理，区间套定理，有限覆盖定理。
理解实数连续性定理的等价性。
（2）了解上、下极限概念。
8．不定积分（1）理解原函数与不定积分概念。
掌握基本积分公式和不定积分的运算法则。
（2）掌握换元积分法与分部积分法。
（3）掌握有理函数的不定积分，三角函数的不定积分和某些无理函数的不定积分。
9. 定积分（1）理解定积分概念。
掌握Newton-Leibniz公式。
（2）了解Darboux上、下和与Darboux上、下积分。
理解可积充要条件和可积函数类。
（3）理解定积分性质。
掌握变限积分及其性质。
理解积分中值定理。
10. 定积分的应用（1）理解微元法的基本思想。
数学分析期末复习提纲
2020数学分析1期末复习提纲一、极限1、熟练掌握数列极限的-N ε语言与函数极限的εδ-语言。
例如lim (,)n n a a a →∞==∞±∞，lim ()x af x b →=(,,,)(,)x a a b +-→∞±∞=∞±∞2、极限的运算法则p30-31例9，例10;p38-39习题9(1-3,6);p53习题2,4,7,8(3-4),10.3、L’Hospital 法则P165-168例1-10，p169习题1(1，2，3，5，6，10，11，12，13，19)4、无穷小量的阶（高阶，同阶，等价无穷小的定义）P167习题1二、连续函数与实数的基本定理1、连续函数的定义与性质（四则运算、反函数、复合），初等函数的连续性。
2、不连续点的类型。
3、有界闭区间上连续函数的性质（有界性，最值性，介值性，一致连续性）P60-63例3例5；p64-65习题7，9，14（1-8），16，174、实数系的六个基本定理（背下来）P79-80习题5，10，11三、导数与微分1、导数的定义，曲线的切线，基本的导数表（p103-104），左右导数P94-95习题2，5；p121习题1（1，2）。
2、导数的四则运算，反函数的导数，复合函数求导，对数求导法。
p109-111习题1-6，9，11，13.3、微分的定义、运算法则，一阶微分形式的不变性。
P114习题1（2，4），2，3（2，4），4（1，3，5）。
4、隐函数与参数方程求导P123例1~例6，p128-129习题3（1，2，3，5，8），5（1，2，5），14（1，3，4，6），15（1，3）。
5、高阶导数p128-129例1~例6；p128-129习题3（1，2，3，5，8），5（1，2，5），14（1，3，4，6），15（1，3）。
四、导数的应用1、中值定理（Fermat 引理，Rolled 、Lagrange 、Cauchy 中值定理）P135习题10、11、12、13、15.2、Taylor 公式，掌握常用的初等函数如1(,sin ,cos ,(1),ln(1),)1x a e x x x x x++-在0x =处的Taylor 展开式。
数学分析考试大纲word
《数学分析》考试大纲Ⅰ 考试性质与目的本科插班生考试是针对专科毕业生参加的选拔性考试，我院将根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体育、全面衡量，择优录取。
考试应有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度。
Ⅱ 考试内容一、考试基本要求要求考生理解和掌握《数学分析》的基本概念，基本原理和基本方法，能运用本科目知识进行，具体分析问题和解决问题的基本能力。
二、考核知识点与考核要求第一章 函数一、考核知识点1、函数的概念函数的定义 函数的表示法 分段函数2、函数的简单性质单调性 奇偶性有界性 周期性3、复合函数、反函数的概念 反函数的图像4、函数的四则运算与复合运算5、基本初等函数类幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数6、初等函数的概念二、考核要求1．识记：①基本初等函数的简单性质及图像。
②初等函数的概念。
2．理解：①函数的概念②函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性。
3．应用：复合函数的复合过程。
第二章 极限一、考核知识点1．数列N -ε定义2．数列极限的性质唯一性，有界性，保号性，保不等式，四则运算定理子数列的概念和性质3．数列极限存在的条件，单调有界定理，数列极限存在的柯西准则，夹逼定理4．函数当x 趋向∞时的极限的概念和函数当x 趋向0x 时的极限的概念和δε-定义 单侧极限的概念5．极限与单侧极限的关系6．函数极限的性质唯一性 有界性保号性 保不等式性 四则运算定理7．函数极限存在的条件单调有界定理 函数极限存在的柯西准则 夹逼定理 函数极限存在的归结原则8．两个重要的极限9．无穷小量与无穷大量，无穷小量阶的概念，无穷小量阶的比较二、考核要求1、识记：①数列、函数极限的性质②无穷小量阶的比较③归结原则2、理解：①数列ε-N定义,函数极限ε-δ定义②无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量与无穷大量的关系③单调有界定理，柯西准则3、应用：①极限的四则运算法则②夹逼定理③用两个重要的极限求极限④无穷小量的性质求极限第三章函数的连续性一、考核知识点1．函数连续的概念函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点及其分类2．函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算复合函数连续性反函数的连续性3．闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值与最小值定理介值性定理4．初等函数的连续性二、考核要求1识记：①函数在一点连续与间断的概念②函数在一点连续与极限存在的关系2．理解：①函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算，复合函数连续性，反函数的连续性②闭区间上连续函数的性质③初等函数在其定义区间上的连续性3．应用：①求函数的间断点及确定其类型②运用介值定理推证简单命题③用连续性求极限第四章导数和微分一、考核知识点1．导数的定义，导数的几何意义，可导与连续的关系2．求导法则与导数的基本公式，导数的四则运算，反函数的导数3．求导方法复合函数的求导法，隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程确定的函数的求导法，求分段函数的导数4．高阶导数的概念高阶导数的定义，高阶导数的计算5．微分的定义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式的不变性二、考核要求1识记：导数的概念及其几何意义，可导性与连续性的关系，2理解：①导数的基本公式、四则运算法则及复合函数求导方法②隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法3．应用：①使用各种求导法则和微分法则求导数和微分。
数学分析复习要点
数学分析复习要点上册第一章实数集与函数内容：实数集相关概念及性质、确界原理，复合函数，反函数，基本初等函数与初等函数，函数的有界性、单调性及奇偶性等相关问题。
重点：邻域，上、下确界的概念，确界原理。
第二章数列极限内容：数列极限的精确定义与性质，单调数列概念，单调有界定理、柯西收敛准则，收敛与发散数列，数列极限存在条件。
重点：数列极限的精确定义，利用ε-Ν定义证题，收敛数列性质，数列极限的求法。
第三章函数极限内容：函数极限的概念与性质、函数极限的存在性，两个重要极限，无穷量及阶的比较，曲线的渐近线。
重点：函数极限的精确定义及其证题，极限的求法，极限存在准则，两个重要极限，常用等价无穷小。
第四章函数的连续性内容：函数的连续与间断的概念，间断点的分类，连续函数的局部性质与闭区间上连续函数的基本性质，初等函数的连续性。
重点：函数在一点连续与左、右连续概念，间断点及分类，连续性的判别，闭区间上连续函数的最值性、有界性、介值性、根的存在性与一致连续性定理，初等函数的连续性及在求极限中应用。
第五章导数和微分内容：导数与高阶导数的概念，导数的几何意义，求导法则与公式、各类型函数（尤其复合函数）的求导（含高阶导数）法，函数极值的概念与费马定理、达布定理、微分与高价微分概念与性质及应用。
重点：导数的几何意义的应用，基本求导公式及求导法，微分形式不变性，可导、可微与连续的关系。
第六章微分中值定理及其应用内容：三个微分中值定理，利用导数研究函数的单调性、不定式极限、泰勒公式，函数的极值与最值的求法，函数的凹凸性及函数的作图。
重点：三个微分中值定理，特别是拉格朗日中值定理及推论，函数单调性与凹凸性的判定及其应用，不定式极限求法、函数的极值与最值的求法及应用。
第七章实数的完备性内容：区间套、点集聚点与开覆盖概念的概念、实数完备性七个基本定理的內容及证明（除确界原理）。
闭区间上连续函数性质的证明。
重点：区间套定理。
第八章不定积分内容：原函数与不定积分的概念与性质，不定积分的求法、重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，利用換元积分法与分部积分法求不定积分。
数学分析考研大纲
数学分析考研大纲第一部分 集合与函数1、集合 实数集、有理数与无理数的调密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限复盖定理。
2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广。
2、函数函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理。
初等函数以及与之相关的性质。
第二部分 极限与连续1、 数列极限数列极限的N ε-定义，收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)nn e n →∞+=及其应用。
2、 函数极限各种类型的一元函数极限的定义（εδ-、M ε-语言 ），函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限：sin10lim 1,lim(1)xx x x x x e →→∞=+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号о与O 的意义。
多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系。
3、 函数的连续性函数连续与间断的概念，一致连续性概念。
连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最值可达性、介值性、一致连续性）。
第三部分 微分学1、一元函数微分学（i ）导数与微分导数概念及其几何意义，可导与连续的关系，导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。
（ii ）微分学基本定理及其应用Feimat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理， Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项)及应用，函数单调性判别法，极值、最值、曲线凹凸性讨论。
数学分析总结复习提纲
数学分析总结复习提纲数学分析（一）总结复习提纲用词说明：本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉”等词的内容为较高要求内容，冠以“会、了解、知道”等词的内容为较低要求内容。
一、内容概述第一章函数、极限与连续§1函数1. 实数集的性质，2. 区间与邻域的概念及其表示，3. 函数的概念与几个特殊函数，4. 函数的奇偶性、周期性、单调性和有界性，4. 复合函数的概念与运算，5. 反函数的定义与性质，6. 初等函数的概念与基本初等函数的性质。
§2 数列极限1. 数列极限的定义以及用定义证明极限，2. 收敛数列的性质，3. 子列的概念以及收敛数列与其子列之间的关系。
§3 函数极限1. ∞x时函数的极限，2. 0x→x→时函数的极限，3. 函数极限的性质，4. 函数极限与数列极限的关系。
§4 无穷小与无穷大1. 无穷小的概念以及函数极限与无穷小的性质，2. 无穷大的概念以及无穷小与无穷大的关系。
§5 极限运算法则1. 无穷小的性质，2. 极限四则运算法则，3. 复合函数的极限运算法则，4. 加逼准则。
§6 单调有界原理与两个重要极限1. 单调有界原理，2. 几个常见不等式，3. 两个重要极限公式。
§7 无穷小的比较1. 无穷小量阶的比较概念，2. 等价无穷小的性质。
§8 函数的连续性与间断点1.函数的连续性概念，2. 函数的间断点及其分类。
§9 连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的四则运算，2. 反函数的连续性，3. 复合函数的连续性，4. 初等函数的连续性。
§10 闭区间上连续函数的性质1. 有界性与最大值最小值定理，2. 零点定理与介值定理。
第二章导数与微分§1 导数的概念1.导数概念的引进，2. 导数的定义，3. 导数的几何意义，4. 函数的连续性与可导性的关系。
§2 函数的求导法则1．导数的四则运算法则，2. 反函数的求导公式，3. 复合函数的求导法则，4. 基本求导公式与求导法则。
数学分析复习重点前八章
数学分析(1)复习纲要一实数集与函数1、理解实数的概念，了解实数的四则运算、有序性、稠密性、阿基米德性等主要性质，会绝对值的常用不等式。
2、了解区间与邻域的概念，了解有界集及上下确界的定义并会证明, 理解确界原理。
3、理解函数的概念和表示法，了解反函数和复合函数的概念，了解基本初等函数的性质和图形。
4、了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。
典型例题：P2，例1；P6，例2。
典型习题：P4，1；P9，4(1)(3)。
二数列极限1、理解数列极限的概念，并掌握用ε—N定义证明数列极限的一般方法。
2、了解收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算和子列的性质，并且掌握求数列极限的相应方法。
3、掌握单调有界定理并会用于证明数列极限的存在性，了解Cauchy收敛准则。
典型例题：P24，例3；P29，例1、2、5；P36，例2。
典型习题：P27，1，2(2)；P33，1(1) (4)，4(6)；P39，1(1) (3)，3(2)。
三函数极限1、理解函数极限的概念(当自变量趋向于无穷或有限点时以及单侧极限)，并掌握“ε—δ”和“ε—M”证明的一般方法。
2、了解函数极限的性质: 唯一性, 局部有界性, 局部保号性,保不等式性和四则运算法则，并且掌握求函数极限的相应方法。
3、了解函数极限存在的条件: 归结原则, 单调有界准则和Cauchy准则。
4、掌握两个重要极限及其求极限应用。
5、了解无穷小(大)量及其阶的概念和应用；了解曲线的渐近线的概念及其求法。
典型例题：P45，例5；P50，例2、3；P53，例1；P56，例1-5；P62，例2、5。
典型习题：P47, 1(1)(2), 2；P51, 1(3)(7), 2(1)；P58, 1(8)(10), 2(3), 4(1)；P66, 2, 4(3)。
四函数的连续性1、理解函数在一点连续的概念(三个等价定义及左右连续)，并会判断间断点的类型。
数学分析全章复习讲义
数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。
第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。
(完整版)《数学分析》考试知识点.
《数学分析》考试知识点题目类型及所占比例：填空题（20分）、解答题（60分）、证明题(70分)考试范围：一、极限和函数的连续性考试内容：1映射与函数的概念及表示法，函数的四则运算、复合函数与反函数的求法，函数的有界性、奇偶性、单调性与周期性；2数列与函数极限的定义与性质，函数的左右极限，无穷小量与无穷大量的概念及关系、无穷小量与无穷大量的阶，极限的计算；3函数的连续性和一致连续性；4实数系的连续性；5连续函数的各种性质。
考试要求：1理解映射与函数的概念，掌握函数的表示法；会函数的四则运算、复合运算；知道反函数及隐函数存在的条件及求法；了解初等函数的概念，会求初等函数的定义域；2理解函数与数列极限(包括左右)的概念，会用极限的概念证明有关极限的命题；熟练掌握极限的四则运算及性质；会问题及简单的求函数熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量的概念及基本性质。
掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。
掌握实数系的基本定理。
熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。
熟练掌握闭区间上连续函数的性质。
二、一元函数微分学考试主要内容：微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式；导数的应用。
考试要求：理解导数和微分的概念。
熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。
熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。
能用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。
掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。
三、一元函数积分学考试主要内容：定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。
考试要求：理解不定积分的概念。
掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。
数学分析提纲
推论 ：（有界性） 若函数 f ( x) 在闭区间 [ a , b] 上连续， 则 f ( x) 在闭区间 [ a , b] 上有界。
(b)( 介值性定理 ) 若函数 f ( x) 在闭区间 [ a , b] 上连续，且 f ( a) f (b) ，若 为
f (a) 与 f (b) 介于之间的任何实数 （ f (a)
数学分析提纲
一、实数集与函数 二、数列极限
1. 数列极限的概念 2. 收敛数列的性质
（1） (唯一性 ) 若数列 { an} 收敛，则它只有一个极限．
(2)( 有界性 ) 若数列 { an } 收敛，则 { an } 为有界数列，即存在正数 M ，使得对一切正整数
有 | an | M . (3) (保号性 ) 若 lim an a 0 (或 <0)，则对任何 a (0, a) (或 a
f
xn
都存在且相等．
（ 2）单调有界定理 ：相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应
的定理．现以 x x0 这种类型为例叙述如下：设 f 为定义在 U (x0 ) 上的单调有界函数，
则右极限 lim f ( x) 存在．
x x0
（3）柯西准则：设函数
f 在 U ( x0;
) 内有定义 . lim f ( x) 存在的充要条件是 :任给 x x0
0,则 f g当 x
lim f ( x)
x x0
.
lim g ( x)
x x0
3. 函数极限存在的条件
x0 时极限存在 , 且有
（ 1 ）归结原则：设
f 在 U 0 x0 ;
' 内有定义．
lim f
x x0
(完整版)数学分析复习资料及公式大全
导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
完整版)数学分析复习资料及公式大全
完整版)数学分析复习资料及公式大全导数公式：求导是微积分的重要内容之一，掌握导数公式对于解题至关重要。
常见的导数公式如下：tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)·tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)·cot(x)ax的导数为ax·ln(a)log_a(x)的导数为1/(x·ln(a))基本积分表：积分是微积分的重要内容之一，掌握基本积分表对于解题至关重要。
常见的基本积分表如下：arcsin(x)的导数为1/(sqrt(1-x^2))arccos(x)的导数为-1/(sqrt(1-x^2))arctan(x)的导数为1/(1+x^2)arcctan(x)的导数为-1/(1+x^2)tan(x)dx=-ln|cos(x)|+Ccot(x)dx=ln|sin(x)|+Csec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+Ccsc(x)dx=ln|csc(x)-cot(x)|+Cdx/x=ln|x|+Csin(x)dx=-cos(x)+Ccos(x)dx=sin(x)+Cdx/(x^2+a^2)=1/a·arctan(x/a)+Cdx/(a^2-x^2)=1/(2a)·ln|(a+x)/(a-x)|+C dx/(a^2+x^2)=1/a·ln|(a+x)/x|+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+C e^x dx=e^x+Csin^2(x)dx=1/2·(x-sin(x)cos(x))+C cos^2(x)dx=1/2·(x+sin(x)cos(x))+Csec(x)·tan(x)dx=sec(x)+Ccsc(x)·cot(x)dx=-csc(x)+Ca^x dx=a^x/ln(a)+Csinh(x)dx=cosh(x)+Ccosh(x)dx=sinh(x)+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+Cπ/2+πn (n为整数)lim(1+x)→∞=e=2.xxxxxxxxxxxxxxx。
《数学分析》科目考试大纲
《数学分析》科目考试大纲考试内容及要求：第一章实数集与函数（一）考核知识点1．实数集的性质2．确界定义和确界原理3．函数的概念及表示法，分段函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数4. 具有某些特性的函数（二）考核要求1. 实数集的性质（1）熟练掌握：（i）实数及其性质；（ii）绝对值与不等式.（2）深刻理解：（i）实数有序性，大小关系的传递性，稠密性，阿基米德性，实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系；（ii）绝对值的定义及性质.（3）简单应用：（i）会比较实数的大小，能在数轴上表示不等式的解；（ii）会利用绝对值的性质证明简单的不等式.（4）综合应用：会利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式，会解简单的不等式.2. 确界定义和确界原理（1）熟练掌握：（i）区间与邻域；（ii）有界集、无界集与确界原理.（2）深刻理解：（i）区间与邻域的定义及表示法；（ii）确界的定义及确界原理.（3）简单应用：用区间表示不等式的解，证明数集的有界性，求数集的上、下确界.（4）综合应用：会用确界的定义证明某个实数是某数集的上确界（或下确界），证明某数集无界.3. 函数的概念（1）熟练掌握：（i）函数的定义；（ii）函数的表示法；（iii）函数的四则运算；（iv）复合函数；（v）反函数；（vi）初等函数.（2）深刻理解：（i）函数概念的两大要素；（ii）分段函数，掌握整数部分函数，小数部分函数，符号函数，狄利克雷和黎曼函数；（iii）函数能够进行四则运算的条件；（iv）复合函数中内函数的值域与外函数的定义域的关系；（v）反函数存在的条件.（3）简单应用：会求函数的定义域、值域，比较几个函数的大小，会求分段函数和复合函数的表达式，能熟练地描绘六类基本初等函数的图像.（4）综合应用：作简单的复合函数的图像，求函数的反函数，证明有关的不等式，会建立简单应用问题的函数关系.4. 具有某些特性的函数（1）熟练掌握：（i）有界函数；（ii）单调函数；（iii）奇函数和偶函数；（iv）周期函数.（2）深刻理解：（i）有界函数和无界函数的定义；（ii）单调函数的定义及其图像的性质；（iii）奇函数和偶函数的定义及其图像的性质；（iv）周期函数的定义及其图像的性质..（3）简单应用：（i）会求函数的上下界，判断无界函数；（ii）判断函数的单调性；（iii）判断周期函数；（iv）判断函数的奇偶性.（4）综合应用：利用函数的各种特性解决简单的应用问题.第二章数列极限(一) 考核知识点1．数列极限的定义2．收敛数列的性质3．数列极限存在的条件(二) 考核要求1. 数列极限的定义ε定义，数（1）熟练掌握：数列的敛散性概念，数列极限的N-列极限的几何意义.ε定义”的逻辑结构，深刻理（2）深刻理解：数列极限的“N-ε定义”解ε的任意性，N的相应性；用“N-ε定义”的证明数列的极限的表述方法；“N-否定说法.（3）简单应用：能够通过观察法初步判断数列的敛散性.ε语言”证明数列的极限存在.（4）综合应用：会用“N-2. 收敛数列的性质（1）熟练掌握：数列极限的唯一性，有界性，收敛数列的保号性，保不等式性，迫敛性，数列极限的四则运算法则，数列子列的概念.（2）深刻理解：收敛数列诸性质的证明.（3）简单应用：运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限.（4）综合应用：运用数列极限的唯一性，收敛数列的有界性、保号性，数列极限的迫敛性等证明数列的各种性质，判断发散数列.3.数列极限存在的条件（1）熟练掌握：（i）单调有界原理；（ii）柯西收敛准则.（2）深刻理解：单调有界原理和柯西收敛准则的实质及其否定命题.（3）简单应用：会用单调有界原理证明某些极限的存在性.（4）综合应用：会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极限问题，会用柯西收敛准则的否定命题证明数列发散.第三章 函数极限(一) 考核知识点1．函数极限的定义2．函数极限的性质3．函数极限存在的条件4．两个重要的极限5．无穷大量与无穷小量(二) 考核要求1.函数极限的定义（1）熟练掌握：（i ）∞→x 时函数极限的定义；（ii ）0x x →时函数极限的定义.（2）深刻理解：（i ）A x f x =∞→)(lim 的“X -ε定义”的逻辑结构，深刻理解ε的任意性，X 的相应性；用“X-ε定义”证明函数极限的表述方法；“X -ε定义”的否定说法.（ii ）A x f x x =→)(lim 0的“δε-定义”的逻辑结构，深刻理解ε的任意性，δ的相应性；用“δε-定义”证明函数极限的表述方法；单侧极限和极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件；“δε-定义”的否定说法.（3）简单应用： 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”证明简单函数的极限.（4）综合应用： 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”等分析语言证明一般的函数极限问题；用极限存在的充要条件证明极限不存在.2.函数极限的性质（1）熟练掌握：函数极限的唯一性，有极限的函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性，函数极限的迫敛性，函数极限的四则运算法则.（2）深刻理解：函数极限诸性质的证明.（3）简单应用：运用函数极限的四则运算法则计算函数的极限.（4）综合应用：运用函数极限的唯一性，局部有界性、局部保号性，函数极限的迫敛性等证明函数的各种性质.3.函数极限存在的条件（1）熟练掌握：（i ）归结原则；（ii ）柯西收敛准则.（2）深刻理解：归结原则和柯西收敛准则的实质.（3）简单应用：会用归结原则证明函数的极限不存在，用柯西收敛准则证明函数极限存在.（4）综合应用：用柯西收敛准则的否定命题证明函数极限不存在.4.两个重要的极限（1）熟练掌握：1sin lim 0=→x x x ，e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim . （2）深刻理解：两个重要极限的证明.（3）简单应用：利用两个重要极限求极限的方法.（4）综合应用：综合利用归结原则和两个重要极限求极限的方法.5.无穷小量与无穷大量（1）熟练掌握：无穷小量，无穷大量.（2）深刻理解：无穷小量和无穷大量的性质和关系，无穷小量的比较.（3）简单应用：无穷小量的比较方法，用无穷小量和无穷大量求极限.（4）综合应用：用等价无穷小求极限.第四章 函数的连续性（一）考核知识点1．连续性概念2．连续函数的性质3．初等函数的连续性（二）考核要求1. 连续性概念（1）熟练掌握：函数在一点的连续性，区间上的连续函数，间断点及其分类.（2）深刻理解：函数在一点左、右连续的概念，函数在一点的连续的充要条件.（3）简单应用：用定义证明函数在一点连续.（4）综合应用：利用函数在一点的连续的充要条件证明函数在一点连续.2.连续函数的性质（1）熟练掌握：连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性，复合函数的连续性.（2）深刻理解：一致连续性.（3）简单应用：用连续函数求极限.（4）综合应用：证明函数的一致连续性，利用闭区间上连续函数的基本性质论证某些问题.3.初等函数的连续性（1）熟练掌握：基本初等函数的连续性.（2）深刻理解：初等函数在其定义的区间内连续.（3）简单应用：证明基本初等函数在定义域内连续，判断初等函数间断点的类型.（4）综合应用：证明一般初等函数在定义域内连续，判断分段函数间断点的类型.第五章导数与微分（一）考核知识点1．导数的概念2．求导法则3．参变量函数的导数4．高阶导数5．微分（二）考核要求1.导数的概念（1）熟练掌握：导数的定义，导函数.（2）深刻理解：函数在一点的变化率，左、右导数，导数的几何意义，导函数的介值性，函数可导与连续的关系.（3）简单应用：会求函数的平均变化率，确定曲线切线的斜率，求函数的稳定点.（4）综合应用：求分段函数的导数，运用导数概念证明曲线的某些几何性质.2.求导法则（1）熟练掌握：导数的四则运算，反函数的导数，复合导数的导数，基本求导法则与公式.（2）深刻理解：导数的四则运算、反函数的导数、复合导数的导数、基本求导法则与公式的证明.（3）简单应用：会用各种求导法则计算初等函数的导数.（4）综合应用：综合运用各种求导法则计算函数的导数.3.参变量函数的导数（1）熟练掌握：参变量函数的导数的定义.（2）深刻理解：参变量函数的导数的几何意义.（3）简单应用：会求参变量函数所确定函数的导数.（4）综合应用：利用参变量函数的导数证明曲线的某些几何性质.4.高阶导数（1）熟练掌握：高阶导数的定义.（2）深刻理解：高阶导函数的概念.（3）简单应用：高阶导数的计算.（4）综合应用：利用莱布尼茨公式计算高阶导数，计算参变量函数的高阶导数.5.微分（1）熟练掌握：微分概念.（2）深刻理解：微分的几何意义，导数与微分的关系，一阶微分形式的不变性.（3）简单应用：微分的计算.（4）综合应用：高阶微分的计算，微分在近似计算中的应用.第六章微分中值定理及其应用（一）考核知识点1．拉格朗日定理和函数单调性2．柯西中值定理和不定式极限3．泰勒公式4．函数的极值与最值5．函数的凸性与拐点，函数图像的讨论（二）考核要求1.拉格朗日定理和函数单调性（1）熟练掌握：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，函数单调性.（2）深刻理解：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论、证明方法，它们的几何意义.（3）简单应用：判断函数是否满足罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会求简单函数的中值点.（4）综合应用：用拉格朗日中值定理证明函数的单调性，利用拉格朗日中值定理和函数的单调性，证明某些恒等式和不等式.2. 柯西中值定理和不定式极限（1）熟练掌握：柯西中值定理，不定式的极限.（2）深刻理解：柯西中值定理的证明方法，求不定式极限的方法.（3）简单应用：求不定式的极限.（4）综合应用：用柯西中值定理证明某些带中值的等式.3. 泰勒公式（1）熟练掌握：泰勒定理，泰勒公式，麦克劳林公式.（2）深刻理解：泰勒定理的实质，泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系.（3）简单应用：利用泰勒定理展开六种函数的麦克劳林公式，余项估计.（4）综合应用：利用泰勒公式和等价无穷小变换计算极限，泰勒公式在近似计算上的应用.4. 函数的极值与最大〔小〕值（1）熟练掌握：函数的极值与最值，取极值的必要条件，驻点.（2）深刻理解：判断极值的两个充分条件.（3）简单应用：会求函数极值与最值.（4）综合应用：证明某些不等式，解决求最值的应用问题.5. 函数的凸性与拐点，函数图像的讨论（1）熟练掌握：函数图像的凸性与拐点，函数图像的性态.（2）深刻理解：凸函数，函数为凸函数的充要条件，曲线的渐近线.（3）简单应用：判断函数图像的凸性与拐点，渐近线的求法，函数图像的性态的讨论，简单函数图像的描绘.（4）综合应用：利用函数的凸性证明不等式.第七章实数的完备性（一）考核知识点1．关于实数集完备性的基本定理2．闭区间上连续函数性质的证明（二）考核要求1.关于实数集完备性的基本定理（1）熟练掌握：实数集完备性的意义，实数集完备性的几个基本定理.（2）深刻理解：区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理的条件和结论，它们的证明方法，理解有理数集不满足完备性定理的原因（3）简单应用：会求数集的聚点、确界.（4）综合应用：实数集完备性的几个基本定理的等价性证明.2. 闭区间上连续函数性质的证明（1）熟练掌握：闭区间上连续函数的有界性，有最大、最小值性，介值性和一致连续性.（2）深刻理解：闭区间上连续函数性质的证明思路和方法.第八章不定积分（一）考核知识点1．不定积分概念与基本积分公式2．换元积分法与分部积分法3．有理函数和可化为有理函数的不定积分（二）考核要求1.不定积分概念与基本积分公式（1）熟练掌握：原函数、不定积分及二者的区别，基本积分表.（2）深刻理解：原函数与导数的关系，不定积分的基本性质，不定积分的几何意义.（3）简单应用：会求简单初等函数的不定积分.（4）综合应用：根据不定积分的几何意义求曲线方程.2.换元积分法与分部积分法（1）熟练掌握：换元积分法，分部积分法.（2）深刻理解：换元积分法与复合函数求导法则的关系，分部积分法与乘积求导法的关系.（3）简单应用：会用换元积分法与分部积分法计算简单函数的不定积分.（4）综合应用：综合运用换元积分法与分部积分法计算某些函数的不定积分，证明某些递推公式.3.有理函数和可化为有理函数的不定积分（1）熟练掌握：有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.（2）深刻理解：以上各种不定积分的计算步骤.（3）应用：会算有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.第九章定积分（一）考核知识点1．定积分概念和性质2．可积条件3．微积分学基本定理·定积分的计算（二）考核要求1.定积分概念和性质（1）熟练掌握：定积分的实际背景，黎曼和，定积分的性质.（2）深刻理解：构造积分和的方法，定积分及其性质的几何意义.（3）简单应用：用定积分定义计算简单函数的定积分，利用定积分的性质比较积分的大小，估计积分值.（4）综合应用：用定积分定义计算某些复杂和式的极限，利用定积分的性质证明不等式，论证函数的某些性质.2.可积条件（1）熟练掌握：可积的必要条件和充分条件，可积函数类.（2）深刻理解：达布和，可积准则及其证明方法.（3）简单应用：判断函数的可积性.（4）综合应用：论证可积函数的某些性质.3.微积分学基本定理和定积分的计算（1）熟练掌握：变限定积分所确定的函数及其性质，微积分学基本定理.（2）深刻理解：微积分学基本定理的实质，原函数的存在性.（3）简单应用：用牛顿——莱布尼茨公式计算定积分，用换元积分法与分部积分法计算定积分.（4）综合应用：综合运用各种方法计算定积分.第十章定积分的应用（一）考核知识点：平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积（二）考核要求1．熟练掌握：用定积分表达和计算一些几何量.2．深刻理解：定积分的应用的实质—微元法.3．应用：计算平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积.第十一章反常积分（一）考核知识点1．反常积分概念2．无穷积分的性质与收敛判别3．瑕积分的性质与收敛判别（二）考核要求1.反常积分概念（1）熟练掌握：两类反常积分的定义.（2）深刻理解：反常积分即变限定积分的极限.2.无穷积分的性质与收敛判别（1）熟练掌握：无穷积分的性质，条件收敛，绝对收敛.（2）深刻理解：比较判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法.（3）简单应用：计算无穷积分，判别无穷积分的收敛性.（4）综合应用：运用无穷积分的性质和判别法论证某些问题.3.瑕积分的性质与收敛判别（1）熟练掌握：瑕积分的性质，条件收敛，绝对收敛.（2）深刻理解：比较判别法.（3）简单应用：计算，瑕积分，判别瑕积分的收敛性.（4）综合应用：运用瑕积分的性质和判别法论证某些问题.第十二章数项级数（一）考核知识点1．级数的收敛性2．正项级数和一般项级数（二）考核要求1. 级数的收敛性（1）熟练掌握：数项级数的定义.（2）深刻理解：级数收敛、发散的概念，收敛级数的性质，级数收敛的柯西准则.（3）简单应用：判断级数的收敛和发散.（4）综合应用：应用柯西准则讨论级数的敛散性.2.正项级数（1）熟练掌握：正项级数收敛的必要条件，正项级数的比较原则.（2）深刻理解：正项级数收敛比式判别法，根式判别法和积分判别法.（3）简单应用：判别正项级数的收敛性.（4）综合应用：运用正项级数收敛的必要条件，比较原则和几个判别法等论证一些问题.3.一般项级数（1）熟练掌握：交错级数的概念，条件收敛与绝对收敛的概念及关系，莱布尼茨判别法.（2）深刻理解：绝对收敛级数的性质，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法.（3）应用：判别一般项级数的收敛性.第十三章函数列与函数项级数（一）考核知识点1．一致收敛性2．一致收敛函数列与函数项级数的性质（二）考核要求1.一致收敛性（1）熟练掌握：函数列与函数项级数的一致收敛性的定义，一致收敛的充要条件.（2）深刻理解：一致收敛定义的否定叙述，一致收敛的柯西准则，函数列与函数项级数一致收敛性的判别法（3）应用：会用一致收敛性的定义或判别法判别函数列的一致收敛性，用M判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法判别一些函数级数的一致收敛性.2.一致收敛函数列与函数项级数的性质（1）熟练掌握：一致收敛函数列的极限函数与函数项级数的和函数.（2）深刻理解：连续性，可积性，可微性定理.（3）简单应用：由定理讨论函数项级数的和函数的连续性，可积性，可微性.（4）综合应用：由定理证明和函数的分析性质，计算函数项级数的积分.第十四章幂级数（一）考核知识点1．幂级数2．函数的幂级数展开式（二）考核要求1.幂级数（1）熟练掌握：幂级数的定义.（2）深刻理解：幂级数的性质.（3）应用：幂级数的计算，求幂级数的收敛半径、收敛域.2.函数的幂级数展开式（1）熟练掌握：泰勒级数定义.（2）深刻理解：泰勒级数和麦克劳林级数.（3）简单应用：六个常用的初等函数的麦克劳林级数.（4）综合应用：把一些简单的函数展成泰勒级数或麦克劳林级数.第十六章多元函数的极限与连续（一）考核知识点1．平面点集与多元函数2．二元函数的极限和连续性（二）考核要求1.平面点集与多元函数（1）熟练掌握：二元函数和二元函数极限的定义.弄清二重极限与累次极限的区别极其联系.（2）深刻理解：平面点集的一些概念：邻域、内点、界点、聚点、开区域、闭区域、有界区域、无界区域等.完备性定理.（3）简单应用：求函数的定义域，画定义域的图形，说明何种点集.（4）综合应用：判断平面点集的性质及其平面点集的聚点与界点.2.二元函数的极限和连续性（1）熟练掌握：二元函数的极限和连续性的概念.（2）深刻理解：累次极限和二元连续函数的性质.（3）简单应用：求累次极限，运用连续性定理.（4）综合应用：会求函数的极限.讨论函数的连续性.第十七章多元函数微分学（一）考核知识点1．可微性2．复合函数微分法3．方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题（二）考核要求1.可微性（1）熟练掌握：可微与全微分定义.可微性几何意义及应用.（2）深刻理解：可微性条件.（3）简单应用：可微性充分条件.（4）综合应用：求函数的导数.2.复合函数微分法（1）熟练掌握：复合函数的有关定义.（2）深刻理解：复合函数的全微分（3）简单应用：复合函数的求导法则.（4）综合应用：求函数的偏导数或导数.3.方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题（1）熟练掌握：方向导数与梯度的定义.（2）深刻理解：中值定理和极值充分条件.（3）简单应用：熟练计算偏导数和高阶偏导数.（4）综合应用：运用泰勒公式解决极值问题.第十八章隐函数定理及其应用（一）考核知识点1．隐函数及隐函数组2．几何应用和条件极值（二）考核要求1.隐函数及隐函数组（1）熟练掌握：隐函数及隐函数组的概念，反函数组与坐标变换.（2）深刻理解：隐函数定理和隐函数组的定理.（3）简单应用：隐函数存在性的条件分析.（4）综合应用：对隐函数求导.2.几何应用和条件极值（1）熟练掌握：平面曲线、空间曲线的切线于法平面，曲面的切平面与法线.（2）深刻理解：条件极值.（3）简单应用：拉格朗日函数.（4）综合应用：应用拉格朗日乘数法求函数的条件极值.第十九章含参量积分（一）考核知识点1．含参量正常积分2．含参量反常积分（二）考核要求1. 含参量正常积分（1）熟练掌握：含参量积分的定义.（2）深刻理解：含参量积分的连续性、可微性、可积性.（3）简单应用：累次积分.（4）综合应用：求函数的积分.2. 含参量反常积分（1）熟练掌握：含参量反常积分的定义.（2）深刻理解：含参量反常积分的性质.（3）简单应用：一致收敛及其判别法.（4）综合应用：证明一致收敛性.第二十章曲线积分（一）考核知识点1．第一型曲线积分2．第二型曲线积分（二）考核要求1. 第一型曲线积分（1）熟练掌握：第一型曲线积分的定义.（2）深刻理解：第一型曲线积分的性质.（3）应用：第一型曲线积分的计算.2. 第二型曲线积分（1）熟练掌握：第二型曲线积分的定义.（2）深刻理解：第二型曲线积分的性质，第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系.（3）应用：第二型曲线积分的计算.第二十一章重积分（一）考核知识点1．二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算2．格林公式•曲线积分与路线的无关性3．二重积分的变量变换与三重积分4．重积分的应用（二）考核要求1.二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算（1）熟练掌握：二重积分的概念极其存在性，平面图形的存在性.（2）深刻理解：二重积分的性质.二元函数的可积性定理.（3）简单应用：直角坐标系下二重积分的计算.（4）综合应用：计算二重积分及二重积分所围的区域.2. 格林公式•曲线积分与路线的无关性（1）熟练掌握：连通区域的概念，（2）深刻理解：格林公式，积分与路线的无关性定理.（3）简单应用：验证积分与路线无关并会求积分.（4）综合应用：应用格林公式计算曲线积分.3.二重积分的变量变换与三重积分（1）熟练掌握：三重积分的概念.（2）深刻理解：二重积分的可积函数类与性质，二重积分的变量变换公式与化三重积分为累次积分.（3）简单应用：用极坐标计算二重积分，会三重积分换元法.（4）综合应用：对积分进行极坐标变换并计算二重积分.计算三重积分及累次积分.第二十二章曲面积分（一）考核知识点1．第一型曲面积分和第二型曲面积分2．高斯公式与托克斯公式（二）考核要求1.第一型曲面积分和第二型曲面积分（1）熟练掌握：第一型曲面积分和第二型曲面积分的定义及二者之间的关系.（2）深刻理解：第一型曲面积分和第二型曲面积分的物理背景.（3）应用：第一型曲面积分和第二型曲面积分的计算.2.高斯公式与托克斯公式（1）熟练掌握：高斯公式和斯托克斯公式的物理意义.（2）深刻理解：高斯公式和斯托克斯公式及其证明过程.（3）应用：用高斯公式和斯托克斯公式计算曲面积分.。
(整理)数学分析提纲
数学分析提纲一、实数集与函数 二、数列极限 1. 数列极限的概念 2. 收敛数列的性质（1）(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．(2)(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有.||M a n ≤(3) (保号性) 若0lim >=∞→a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a '))0,(a ∈，存在正数N ，使得当N n >时有a a n '>(或a a n '<)．(4)(保不等式性) 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列．若存在正数0N ，使得当0N n >时，有n n b a <，则.lim lim n n n n b a ∞→∞→≤(5)(迫敛性) 设收敛数列{}{}n n b a ,都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0N n >时有 n n n b c a ≤≤，则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim ．3. 数列极限存在的条件（1）单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．（2）柯西(Cauchy)收敛准则：数列}{n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N ，使得当N m n >,时有ε<-m n a a ． 三、函数极限 1. 函数极限的概念 2. 函数极限的性质在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限： 1)();lim x f x +∞→ 2)();lim x f x -∞→ 3)();lim x f x ∞→4)();lim 0x f x x → 5)();lim 0x f x x +→ 6)().lim 0x f x x -→下面以第4)种类型的极限为代表叙述并证明这些性质. (1) (唯一性) 若极限()x f x x 0lim →存在, 则此极限是唯一的.(2)(局部有界性) 若()x f x x 0lim →存在,则f 在0x 的某空心领域()00x U内有界(3)(局部保号性) 若()0lim 0>=→A x f x x (或0<),则对任何正数A r <(或A r -<),存在(),00x U使得对一切()00x U x ∈有 ()0>>r x f (或()0<-<r x f ).(4)定理3.5(保不等式性) 设()x f x x 0lim → 与 )(lim 0x g x x →都存在,且在某邻域);(00δ'x U 内有()x f ≤()x g ,则()x f x x 0lim →≤()x g x x 0lim →(5)定理 3.6(迫敛性) 设()(),lim lim 00A x g x f x x x x ==→→ 且在某()δ';00x U 内有()()(),x g x h x f ≤≤则().lim 0A x h x x =→(6)定理 3.7(四则运算法则) 若极限()x f x x 0lim →与()x g x x 0lim →都存在,则函数g f g f ⋅±,当0x x →时极限也存在,且1)()()[]()();lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±2)()()[]()();lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=又若()0lim 0≠→x g x x ,则gf当0x x →时极限存在,且有3)()().)(lim )(lim limx g x f x g x f x x x x x x →→→= 3. 函数极限存在的条件 （1）归结原则：设f 在()'0;δx U 内有定义．()x f x x 0lim →存在的充要条件是：对任何含于()'0;δx U且以0x为极限的数列{}n x ，极限()n n x f ∞→lim 都存在且相等．（2）单调有界定理 ：相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理．现以+→0x x 这种类型为例叙述如下：设f 为定义在)(0x U+上的单调有界函数，则右极限)(lim 0x f x x +→存在．（3）柯西准则：设函数f 在);(0δ'x U内有定义.)(lim 0x f x x →存在的充要条件是:任给0>ε,存在正数)(δδ'<,使得对任何);(,0δx U x x∈'''有ε<''-'|)()(|x f x f .4. 两个重要极限(1).1sin lim0=→x x x (2).e xx x =+∞→)11(lim .5. 无穷小量和无穷大量（1）无穷小量 （2）无穷小量阶的比较 （3）等价无穷小代换定理 （4）无穷大量 四、函数的连续性 1.连续性的概念（1）函数在一点的连续性 （2）间断点及其分类 （3）区间上的连续函数 2.连续函数的性质 (1)连续函数的局部性质（a ）（局部连续性）若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点的某邻域内有界。
高 三 数 学 复 习 提 纲
高 三 数 学 复 习 提 纲排列、组合、二项式定理一．基础知识:1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.3.排列数公式mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=.4.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m-=-; （3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.5.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 6.组合数的两个性质(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =mn C 1+.注:规定10=n C .7.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=;（2）1m mn n n C C n m-=-; （3）11m m n n n C C m --=; （4）∑=nr rn C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ .(7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C .(8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 .(10)n nn n n nn C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 8.排列数与组合数的关系m mnn A m C=⋅！ .9．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n mn A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.9．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n nnn p n p n n n m p m C C C N mm=⋅⋅=-. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!! (2)11c b a m C C C N m mn n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-.10.二项式定理 nn n r r n r n n n n n nn nb C b a C b a C b aC a C b a ++++++=+--- 22211)( ;二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=. .二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n 为偶数，中间一项（第2n ＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数最大；（3）;2;2131221-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n n nnn n n n C C C C C C C C11.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为)]1()1([21--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([21-+f f ；概率一．基础知识:1.等可能性事件的概率()mP A n=.2.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．164.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 3.独立事件A ，B 同时发生的概率 P(A ·B)= P(A)·P(B).4.n 个独立事件同时发生的概率P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 5.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k kn k n n P k C P P -=-6. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件；7.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （AB ）＝1－P(A)P(B)； 8.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （A ∙B ）＝1－P(A )P(B )；概率与统计一．基础知识:1.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）0(1,2,)i P i ≥=; （2）121P P ++=.2.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++170.数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E pξ=.4.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+5.标准差σξ=ξD .6.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p qp ξ-===，则2qD pξ=.7.方差与期望的关系()22D E E ξξξ=-.8.正态分布密度函数()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.9.标准正态分布密度函数()()22,,x f x x -=∈-∞+∞. 10.对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率()x F x μσ-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭.()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<< ()()21F x F x =-21x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.二．基本方法和数学思想1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）p i ≥0,i=1,2,...; (2) p 1+p 2+ (1)2.二项分布：记作ξ～B （n,p ）,其中n,p 为参数，,)(k n k k n q p C k P -==ξ并记),;(p n k b q p C k n k k n =-；1 12 2 n n （2）方差D ξ＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p E x p E x p E x 2222121)()()(ξξξ ;（3）标准差ξξξξξδξD a b a D b aE b a E D 2)(;)(;=++=+=；（4）若ξ～B （n,p ）,则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1-p;4.掌握抽样的三种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签法和随机数表法）；（2）系统抽样，也叫等距离抽样；（3）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；6.正态总体的概率密度函数：,,21)(222)(R x ex f x ∈=-σμσπ式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数与标准差；7.正态曲线的性质：（1）曲线在x ＝μ 时处于最高点，由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；（2）曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦；（3）曲线在x 轴上方，并且关于直线x=μ 对称；8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布),(2σμN 的概率 P （x 1<ξ<x 2）,可由变换t x =-σμ而得)()(σμφ-=x x F ，于是有P （x 1<ξ<x 2）＝)()(12σμφσμφ---x x ；9.假设检验的基本思想：（1）提出统计假设，确定随机变量服从正态分布),(2σμN ；（2）确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-；（3）作出推断：如果a ∈)3,3(σμσμ+-，接受统计假设；如果a ∉)3,3(σμσμ+-,由于这是小概率事件，就拒绝假设；导数一．基础知识:1.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()lim lim x x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆.2.瞬时速度00()()()limlim t t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.3.瞬时加速度00()()()limlim t t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆.4.)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim lim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆.5. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.6.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nxn Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='.(5) x x 1)(ln ='；e a xx a log 1)(log ='.(6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.7.导数的运算法则 （1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 8.复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.10.判别)(0x f 是极大（小）值的方法当函数)(x f 在点0x 处连续时， （1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.二．基本方法和数学思想1.导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量（2）);()(x f x x f y -∆+=∆(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; （3）取极限,得导数xy x f x ∆∆='→∆0lim )(;3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；4.导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；（2）求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值 6导数与函数的单调性的关系㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
数学分析复习提纲(全部版)
数学分析（4）复习提纲第一部分 实数理论§1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。
（1）域公理： （2）全序公理：（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='⋃3°x x A x A x '<⇒'∈'∀∈∀,则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。
评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理：有限覆盖定理：（Heine-Borel ）聚点定理：(Weierstrass)致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。
习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？§2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理§3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。
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数学分析（4）复习提纲第一部分 实数理论§1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。
（1）域公理： （2）全序公理：（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='⋃3°x x A x A x '<⇒'∈'∀∈∀,则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。
评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理：有限覆盖定理：（Heine-Borel ）聚点定理：(Weierstrass)致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。
习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？§2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理§3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。
（P173） 习题7 证明上面三种定义的等价性。
第二部分 级数理论§1 数项级数前言 级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。
上（下）极限是研究级数的一个有力工具。
对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。
级数的收敛性与无穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。
一、Cauchy 收敛准则Λ++=∑∞=211u u un n几个概念 部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？ 收敛的必要条件∑∞=1n nu收敛⇒0→n u评注 此结论由1--=n n n S S u 两边取极限即得证，也可由下面的Cauchy 收敛准则得到。
要注意此性质与无穷积分有较大差别。
对于收敛的无穷积分⎰+∞adx x f )(即使0)(>x f 也不能推出)(0)(+∞→→x x f （参见反常积分）Cauchy 收敛准则∑∞=1n nu收敛⇔,,,,0p N n N ∀>∀∃>∀ε有ε<+++=-++++p n n n n p n u u u S S Λ21思考 正面叙述级数发散的Cauchy 准则。
加括号 对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。
也就是说收敛的级数满足结合律。
评注 只要认识到加括号后级数的部分和是原级数部分和的子列即可得到这一结论。
我们常常利用这一点证明一个级数的发散性，即先证明加括号的发散，从而推出原级数（去括号的）也发散。
二、正项级数正项级数的特点是部分和数列是单调递增的，由此得： 基本结论 正项级数收敛⇔其部分和有上界。
比较判别法：比较判别法的极限形式：评注 对于比较判别法，主要考虑n 充分大以后（0n n >）n u 与n v 的大小关系，因此极限形式更方便。
如果)0(lim+∞<<=l l v u nn，要认识到，当n 充分大时，n u 与n v 是“等价”的，即大小“差不多”，确切地说当0n n >时，存在正常数1c 和2c 使n n n v c u v c 21≤≤，由此n n n u c v u c 21'≤≤'。
如果0=l 或∞+，它们的“大小”关系如何？ 根式判别法 设l u nn =lim ，当1<l 时，∑nu收敛；当1>l 时，∑nu发散。
比式判别法 1lim1<=+q u u nn ，则∑n u 收敛； 1lim1>=+q u u nn ，则∑n u 发散。
习题1 证明上面根式判别法 习题2 证明nn n n n n n n u uu u u u 11lim lim lim lim++≤≤≤（0>n u ） 推论：l u l u u n n nn =⇒=+lim lim1评注 由习题2知，用比式判别法能判别的，用根式判别法一定能判别，但反之不然。
也就是说根式判别法比比式判别法更有效。
换言之，凡根式法无能为力时，比式法一定也无能为力。
但是，它们在判别发散时，却没有谁比谁有优势可言，都是用一般项不趋于零来推断的。
这一点要特别注意，我们在讨论幂级数的收敛半径时就要用到此结论。
习题3 考虑级数Λ++++++3322312131213121，说明根式法比比式法更有效。
评注 无论是比式判别法还是根式判别法，其实质都与等比级数∑ncq比较的，对于-p 级数∑p n 1必然失效。
（这种级数的通项比等比级数的通项收敛于零的速度要慢）。
如果与-p 级数比较还可以得到更细致的一些判别法，拉贝判别法就是其中之一。
积分判别法：拉贝判别法的极限形式：习题4 [P17，11（1）]用拉贝法判别级数∑+⋅-121!)!2(!)!12(n n n 的收敛性，并说明比式法与根式法都无效。
三、一般项级数评注 对一般项级数∑nu（有无穷多个正项，且有无穷多个负项），一般首先要考虑绝对收敛性（即∑nu是否收敛），如果是绝对收敛，当然原级也收敛，如果是用根式或比式判别法得到∑nu发散，则∑nu必发散（这在前面的评注中已经说过了）。
Leibniz 判别法：Able 引理：k k v u ,，n k ,,2,1Λ=是两数组，k u 单调，k k v v ++=Λ1σ，则)2(11n nk kk u u A vu +≤∑=，其中A k ≤σ对于形如∑nn ba 的级数，设{}n a 单调，把Able 引理用于∑++=pn n k kk ba 1)2(21p n n a a M +++≤其中M 满足：M S S bM bS b nb p n pn n k kn k kb n2)()(11)(≤-=⇒≤=+++==∑∑ 再结合Cauchy 准则，附加适当的条件使)2(21p n n a a M +++能充分小，便可得到Able 和Dirichlet 判别法D 判别法：（1）{}n a 单调；（2）0→n a ；（3）∑nb有界，则∑nn ba 收敛。
A 判别法：（1）{}n a 单调；（2）{}n a 有界；（3）∑nb收敛，则∑nn ba 收敛。
评注 记住A 和D 判别法的关键是记住Able 引理。
这两个判别法在函数项级数以及反常积分中还有不同的表现。
习题5 用D 判别法直接证明Leibniz 判别法和Able 判别法。
习题6 讨论级数Λ+-+-+-ααα61514131211（R ∈α）的收敛性。
提示：分0≤α，10<α<，1=α，1>α情况讨论。
答案：1=α时，收敛，其它发散。
习题7 利用级数收敛性，证明数列n nx n ln 1211-+++=Λ的极限存在。
（注：此极限称为Euler 常数Λ577216.0=）提示：把n x 看成某数列的部分和。
即11x a =，),3,2(1Λ=-=-n x x a n n n ，等价地要证明∑n a 收敛，)1(21)]1(211[1)11ln(12222no n n o n n n n n a n +-=+--+=-+=四、绝对收敛与条件收敛级数的性质重排定理：设∑nu绝对收敛，其和为S ，则任意重排后得到的新级数也绝对收敛且其和不变。
Riemann 定理：设∑nu条件收敛，又+∞≤≤≤∞-βα，则一定存在∑nu的重排级数∑'nu ，使其部分和nS '满足：α='nS lim ，β='nS lim 。
也就是说一个条件收敛的级数，适当重排后可收敛到任意指定的数，也可按任意指定的方式发散。
柯西定理：设∑nu和∑nv都绝对收敛，A un=∑，B v n =∑，则对所有乘积项j i v u 按任意顺序排列得到的新级数也绝对收敛且其和等于AB 。
评注 两个级数的乘积最常用的是对角线排列，即0110v u v u v u c n n n n +++=-Λ∑nc也称∑nu和∑nv的柯西乘积。
§2 函数项级数前言 函数列是数列的推广，由函数列的收敛又可定义函数项级数的收敛。
数列的极限（或数项级数的和）定义了一个数，而函数列的极限函数（或函数项级数的和函数）就定义了一个函数，这样定义的函数往往不是初等函数。
我们关心的是极限函数（或和函数）的分析性质（连续性、可微性、可积性）能否保留下来，实质是运算次序是否可交换的问题。
一、函数列（函数项级数）的一致收敛几个概念 对于函数列：逐点收敛（也称点态收敛）？收敛域？极限函数？一致收敛？对于函数项级数如何叙述以上概念？评注 逐点收敛是局部性质，完全就是数列的收敛问题。
而一致收敛是整体性质，是我们研究的重点。
思考 正面叙述不一致收敛。
用范数定义一致收敛 记)(sup x f f Dx ∈∞=（称为f 的一致范数或无穷大范数），如果)0(0)()(sup →→-=-∈∞n x f x f ff n Dx n ，则称)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f 。
评注 ∞-gf 就是两个函数的距离。
定义的等价性是显然的（见P29，Th13.2）。
这个定义往往使用起来更方便（参见P30，例3）。
二、函数项级数一致收敛的判别法Cauchy 准则： 必要条件：∑)(x un一致收敛⇒0)(→x u n （一致）M 判别法（控制收敛判别法）： Able 与Dirichlet 判别法：习题8 设),2,1(],,[)(Λ=∈n b a C x u n ，∑)(x un在),(b a 上一致收敛，证明：（1）∑∑)(),(b u a u n n收敛 （2）∑)(x un在],[b a 上一致收敛。