坐标系中的面积问题——铅垂法

坐标系中的面积问题——铅垂法

【阅读学习】

如下是小明遇到的一个题目，在平面直角坐标系中，求斜放置的△P AB 的面积． 借助面积处理思路（公式，割补，转化）和坐标系问题处理原则（横平竖直的线等），小明是这样思考的：

1. 过点P 作PM ∥y 轴交AB 于一点M ，如图所示， 此时△P AB 被分割成△PMA 和△PMB ，

PAB PMA PMB S S S =+△△△

2. 表达△PMA 和△PMB 面积，要利用好坐标，考虑 把PM 当作公共的底（竖直放置，易表达）， 分别过点A ，B 作PM 的垂线，如图所示，

此时1211

22

PMA PMB S PM h S PM h =⋅⋅=⋅⋅△△，

3. 将目标表达并初步化简

121211

221

()2

PAB PMA PMB

S S S PM h PM h PM h h =+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+△△△ 4. 注意到h 1，h 2是两条水平的线，可以拼接在一起，如图所示，此时h 1+h 2即是A ，B 的水平距离，即h 1+h 2=x B -x A ，代入上一步公式

121211

22

1

()21

()2

PAB PMA PMB

B A S S S PM h PM h PM h h PM x x =+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=⋅⋅-△△△

那么，小明就找到了一个求坐标系下斜放置的三角形的面积公式． 铅垂法求坐标系下斜放置的三角形面积的操作步骤： ①过一点作铅垂线（平行于y 轴的线）； ②达横平竖直的线段长； ③入公式表达面积．

巩固练习

1.如图，点A是直线y=2x上一点，横坐标为3，点B和点C在直线

1

2

y x

上，

且横坐标分别为2，6，连接AB，AC，则S

△ABC

=________．

2.如图，直线y=-x+b上两点A(4，-1)，B(m，4)，点P为(6，2)，则S△P AB=____．

3.如图，点A(1，4)，B(-2，3)，C(2，-1)，则S△ABC=

________．

4.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，

OABC的面积为___________．

小结：当要表达的斜放置的三角形的三个顶点都是定点时，可以过任意顶点作铅垂线，但具体做题时，需要结合图形特征（比如已知的分割线、表达式，点的特殊位置等），选择合适的点作铅垂线．

5.如图，已知点A(2，1)，点B(8，4)，点C是直线AB上方任意一点，且△ABC

的面积为36，若C点坐标为(m，2m-3)，则m=________．

6.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+1与直线l2：y=kx+3交于点A，

两直线分别与x轴交于点B和点C(3，0)，点D是直线AC上一动点，且S△ABD=3，则点D的坐标为_________．

小结：当要表达的斜放置的三角形中有动点时，选择从动点作铅垂线，由于另外两点所在直线是固定的，交点表达起来较为简单．