导数在研究函数中的应用练习题

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2024全国高考真题数学汇编：导数在研究函数中的应用

2024全国高考真题数学汇编导数在研究函数中的应用一、单选题1．（2024上海高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合 0000,,,M x x x x f x f x R ，在使得 1,1M 的所有 f x 中，下列成立的是（）A ．存在 f x 是偶函数B ．存在 f x 在2x 处取最大值C ．存在 f x 是严格增函数D ．存在 f x 在=1x 处取到极小值二、多选题2．（2024全国高考真题）设函数2()(1)(4)f x x x ，则（）A ．3x 是()f x 的极小值点B ．当01x 时， 2()f x f xC ．当12x 时，4(21)0f xD ．当10x 时，(2)()f x f x 3．（2024全国高考真题）设函数32()231f x x ax ，则（）A ．当1a 时，()f x 有三个零点B ．当0a 时，0x 是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b 为曲线()y f x 的对称轴D ．存在a ，使得点 1,1f 为曲线()y f x 的对称中心三、填空题4．（2024全国高考真题）曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．四、解答题5．（2024全国高考真题）已知函数3()e x f x ax a ．(1)当1a 时，求曲线()y f x 在点 1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．6．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x ax x x ．(1)当2a 时，求 f x 的极值；(2)当0x 时， 0f x ，求a 的取值范围．7．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x a x x ．(1)求 f x 的单调区间；(2)当2a 时，证明：当1x 时， 1e x f x 恒成立．8．（2024上海高考真题）对于一个函数 f x 和一个点 ,M a b ，令 22()()s x x a f x b ，若 00,P x f x 是 s x 取到最小值的点，则称P 是M 在 f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x，求证：对于点 0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在 f x 的“最近点”；(2)对于 e ,1,0x f x M ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在 f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x 在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x 在定义域R 上存在导函数()f x ，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点11,M t f t g t ， 21,M t f t g t ．若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，试判断 f x 的单调性．9．（2024北京高考真题）设函数 ln 10f x x k x k ，直线l 是曲线 y f x 在点 ,0t f t t 处的切线．(1)当1k 时，求 f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点 0,0.(3)当1k 时，设点 ,0A t f t t ， 0,C f t ， 0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S △△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10 ，1.60ln51.61 ，1.94ln71.95 ）10．（2024天津高考真题）设函数 ln f x x x ．(1)求 f x 图象上点 1,1f 处的切线方程；(2)若 f x a x 在 0,x 时恒成立，求a 的值；(3)若 12,0,1x x ，证明 121212f x f x x x ．11．（2024全国高考真题）已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x (1)若0b ，且()0f x ，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x 是中心对称图形；(3)若()2f x 当且仅当12x ，求b 的取值范围．参考答案1．B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数2,1,111,1x f x x x x即可判断.【详解】对于A ，若存在()y f x 是偶函数,取01[1,1]x ,则对于任意(,1),()(1)x f x f ,而(1)(1)f f ,矛盾,故A 错误；对于B ，可构造函数 2,1,,11,1,1,x f x x x x满足集合 1,1M ，当1x 时，则 2f x ，当11x 时， 1,1f x ，当1x 时， 1f x ，则该函数 f x 的最大值是 2f ，则B 正确；对C ，假设存在 f x ，使得 f x 严格递增，则M R ，与已知 1,1M 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在 f x ，使得 f x 在=1x 处取极小值，则在1 的左侧附近存在n ，使得 1f n f ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．ACD【分析】求出函数 f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数 f x 在 1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数 f x 的定义域为R ，而 22141313f x x x x x x ，易知当 1,3x 时， 0f x ，当 ,1x 或 3,x 时， 0f x 函数 f x 在 ,1 上单调递增，在 1,3上单调递减，在 3, 上单调递增，故3x 是函数 f x 的极小值点，正确；对B ，当01x 时， 210x x x x ，所以210x x ，而由上可知，函数 f x 在 0,1上单调递增，所以 2f x f x ，错误；对C ，当12x 时，1213x ，而由上可知，函数 f x 在 1,3上单调递减，所以 1213f f x f ，即 4210f x ，正确；对D ，当10x 时， 222(2)()12141220f x f x x x x x x x ，所以(2)()f x f x ，正确；故选：ACD.3．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x 为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a ，由于1a ，故 ,0,x a 时()0f x ，故()f x 在 ,0,,a 上单调递增，(0,)x a 时，()0f x ，()f x 单调递减，则()f x 在0x 处取到极大值，在x a 处取到极小值，由(0)10 f ，3()10f a a ，则(0)()0f f a ，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a ，3(2)410f a a ，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a ，则()f x 在(1,0),(,2)a a 上各有一个零点，于是1a 时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a ，a<0时，(,0),()0x a f x ，()f x 单调递减，,()0x 时()0f x ，()f x 单调递增，此时()f x 在0x 处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x ，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x ，根据二项式定理，等式右边3(2)b x 展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x ，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a ，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a ，于是266(126)(1224)1812a a x a x a即126012240181266a a a a，解得2a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax ，2()66f x x ax ，()126f x x a ，由()02a f x x ，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122a a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x ；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x 的解，即,33b b f aa是三次函数的对称中心4． 2,1 【分析】将函数转化为方程，令 2331x x x a ，分离参数a ，构造新函数 3251,g x x x x 结合导数求得 g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令 2331x x x a ，即3251a x x x ，令 32510,g x x x x x 则 2325351g x x x x x ，令 00g x x 得1x ，当 0,1x 时， 0g x ， g x 单调递减，当 1,x 时， 0g x ， g x 单调递增， 01,12g g ，因为曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，所以等价于y a 与 g x 有两个交点，所以 2,1a .故答案为：2,1 5．(1) e 110x y (2)1, 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a 和0a 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e x f x a 有零点，可得0a ，进而利用导数求 f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a 时，则()e 1x f x x ，()e 1x f x ，可得(1)e 2f ，(1)e 1f ，即切点坐标为 1,e 2 ，切线斜率e 1k ，所以切线方程为 e 2e 11y x ，即 e 110x y .（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若0a ，则()0f x 对任意x R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，则 120g a a a，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, ；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若()f x 有极小值，则()e x f x a 有零点，令()e 0x f x a ，可得e x a ，可知e x y 与y a 有交点，则a ，若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，符合题意，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，因为则2,ln 1y a y a 在 0, 内单调递增，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, .6．(1)极小值为0，无极大值.(2)12a 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a 、102a 、0a 分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当2a 时，()(12)ln(1)f x x x x ，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x，因为12ln(1),11y x y x在 1, 上为增函数，故()f x 在 1, 上为增函数，而(0)0f ，故当10x 时，()0f x ，当0x 时，()0f x ，故 f x 在0x 处取极小值且极小值为 00f ，无极大值.（2） 11ln 11ln 1,011a x ax f x a x a x x x x，设 1ln 1,01a x s x a x x x，则222111211111a a x a a ax a s x x x x x ，当12a 时， 0s x ，故 s x 在 0, 上为增函数，故 00s x s ，即 0f x ，所以 f x 在 0, 上为增函数，故 00f x f .当102a 时，当0x 0s x ，故 s x 在210,a a 上为减函数，故在210,a a上 0s x s ，即在210,a a上 0f x 即 f x 为减函数，故在210,a a上 00f x f ，不合题意，舍.当0a ，此时 0s x 在 0, 上恒成立，同理可得在 0, 上 00f x f 恒成立，不合题意，舍；综上，12a .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x 时，1e 21ln 0x x x 即可.【详解】（1）()f x 定义域为(0,) ，11()ax f x a x x当0a 时，1()0ax f x x，故()f x 在(0,) 上单调递减；当0a 时，1,x a时，()0f x ，()f x 单调递增，当10,x a时，()0f x ，()f x 单调递减.综上所述，当0a 时，()f x 的单调递减区间为(0,) ；0a 时，()f x 的单调递增区间为1,a ，单调递减区间为10,a.（2）2a ，且1x 时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ，令1()e 21ln (1)x g x x x x ，下证()0g x 即可.11()e 2x g x x ，再令()()h x g x ，则121()e x h x x，显然()h x 在(1,) 上递增，则0()(1)e 10h x h ，即()()g x h x 在(1,) 上递增，故0()(1)e 210g x g ，即()g x 在(1,) 上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g ，问题得证8．(1)证明见解析(2)存在，0,1P (3)严格单调递减【分析】（1）代入(0,0)M ，利用基本不等式即可；（2）由题得 22(1)e x s x x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；（3）根据题意得到 10200s x s x ，对两等式化简得 01()f xg t ，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明0x t ，最后得到函数单调性.【详解】（1）当(0,0)M 时， 222211(0)02s x x x x x ，当且仅当221x x 即1x 时取等号，故对于点 0,0M ，存在点 1,1P ，使得该点是 0,0M 在 f x 的“最近点”．（2）由题设可得 2222(1)e 0(1)e x x s x x x ，则 2212e x s x x ，因为 221,2e x y x y 均为R 上单调递增函数，则 2212e xs x x 在R 上为严格增函数，而 00s ，故当0x 时， 0s x ，当0x 时， 0s x ，故 min 02s x s ，此时 0,1P ，而 e ,01x f x k f ，故 f x 在点P 处的切线方程为1y x .而01110MP k ，故1MP k k ，故直线MP 与 y f x 在点P 处的切线垂直．（3）设 221(1)()s x x t f x f t g t ，222(1)()s x x t f x f t g t ，而 12(1)2()s x x t f x f t g t f x ， 22(1)2()s x x t f x f t g t f x ，若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，设 00,P x y ，则0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则0x 也是两函数的极小值点，则存在0x ,使得 10200s x s x ，即 10000212()()0s x x t f x f x f t g t ① 20000212()()0s x x t f x f x f t g t ②由①②相等得 044()0g t f x ，即 01()0f x g t ，即 01()f x g t，又因为函数()g x 在定义域R 上恒正，则 010()f xg t 恒成立，接下来证明0x t ，因为0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，则 1020(),()s x s t s x s t ，即 2220011x t f x f t g t g t ，③ 2220011x t f x f t g t g t ，④③ ④得 222200222()2()22()x t f x f t g t g t 即 22000x t f x f t ，因为 2200,00x t f x f t 则 0000x t f x f t，解得0x t ，则 10()f tg t 恒成立，因为t 的任意性，则 f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到 01()f x g t，再利用最值点定义得到0x t 即可.9．(1)单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入1k ，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t ，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S 得到13ln(1)21501t t t t ，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t研究其零点即可.【详解】（1）1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x，当 1,0x 时， 0f x ；当 0,x ，()0f x ¢>；()f x 在(1,0) 上单调递减，在(0,) 上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .（2）()11k f x x ，切线l 的斜率为11k t，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t，即ln(1)1k t k t t tt ，则ln(1)1t t t ，ln(1)01t t t ，令()ln(1)1t F t t t，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t 存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t ，()F t 在(0,) 上单调递增，()(0)0F t F ，()F t 在(0,) 无零点，与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）1k 时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x.1()2ACO S tf t ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t 时，若0q ，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q .所以0q ，则切线l 的方程为 111ln 1x t y t t t，令0x ，则ln(1)1t y q y t t.215ACO ABO S S ，则2()15ln(1)1t tf t t t t，13ln(1)21501t t t t ，记15()13ln(1)2(0)1th t t t t t，满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t ，当10,2t时， 0h t ，此时 h t 单调递减；当1,42t时， 0h t ，此时 h t 单调递增；当 4,t 时， 0h t ，此时 h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.10．(1)1y x (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a ，再证明2a 时条件满足；（3）先确定 f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于 ln f x x x ，故 ln 1f x x .所以 10f ， 11f ，所以所求的切线经过 1,0，且斜率为1，故其方程为1y x .（2）设 1ln h t t t ，则 111t h t t t，从而当01t 时 0h t ，当1t 时 0h t .所以 h t 在 0,1上递减，在 1, 上递增，这就说明 1h t h ，即1ln t t ，且等号成立当且仅当1t .设 12ln g t a t t ，则ln 1f x a x x x a x x a x g .当 0,x0, ，所以命题等价于对任意 0,t ，都有 0g t .一方面，若对任意 0,t ，都有 0g t ，则对 0,t 有112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t，取2t ，得01a ，故10a .再取t，得2022a a a，所以2a .另一方面，若2a ，则对任意 0,t 都有 212ln 20g t t t h t ，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2.（3）先证明一个结论：对0a b ，有 ln 1ln 1f b f a a b b a.证明：前面已经证明不等式1ln t t ，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b，所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a，即 ln 1ln 1f b f a a b b a.由 ln 1f x x ，可知当10e x 时 0f x ，当1ex 时()0f x ¢>.所以 f x 在10,e上递减，在1,e上递增.不妨设12x x ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x 时，有122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x ，结论成立；情况二：当1210e x x 时，有 12121122ln ln f x f x f x f x x x x x .对任意的10,e c，设ln ln x x x c cln 1x x 由于 x单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c，且当2124ln 1x c c，2cx2ln 1c 可知2ln 1ln 1ln 102c x x c.所以 x 在 0,c 上存在零点0x ，再结合 x 单调递增，即知00x x 时 0x ，0x x c 时 0x .故 x 在 00,x 上递减，在 0,x c 上递增.①当0x x c 时，有 0x c ；②当00x x112221e e f f c，故我们可以取1,1q c .从而当201cx q1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c.再根据 x 在 00,x 上递减，即知对00x x 都有 0x ；综合①②可知对任意0x c ，都有 0x ，即ln ln 0x x x c c .根据10,e c和0x c 的任意性，取2c x ，1x x，就得到1122ln ln 0x x x x .所以12121122ln ln f x f x f x f x x x x x 情况三：当12101e x x时，根据情况一和情况二的讨论，可得11e f x f21e f f x而根据 f x 的单调性，知 1211e f x f x f x f或 1221e f x f x f f x .故一定有12f x f x 成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合 f x 的单调性进行分类讨论.11．(1)2 (2)证明见解析(3)23b【分析】（1）求出 min 2f x a 后根据()0f x 可求a 的最小值；（2）设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，可证 ,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n 也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断 12f 即2a ，再根据()2f x 在 1,2上恒成立可求得23b .【详解】（1）0b 时， ln 2xf x ax x，其中 0,2x ，则112,0,222f x a a x x x x x，因为 22212x x x x，当且仅当1x 时等号成立，故 min 2f x a ，而 0f x 成立，故20a 即2a ，所以a 的最小值为2 .，（2） 3ln12x f x ax b x x的定义域为 0,2，设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n ，因为 ,P m n 在 y f x 图象上，故 3ln 12m n am b m m，而 3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m，2n a ，所以 2,2Q m a n 也在 y f x 图象上，由P 的任意性可得 y f x 图象为中心对称图形，且对称中心为 1,a .（3）因为 2f x 当且仅当12x ，故1x 为 2f x 的一个解，所以 12f 即2a ，先考虑12x 时， 2f x 恒成立.此时 2f x 即为 3ln21102x x b x x在 1,2上恒成立，设 10,1t x ，则31ln201t t bt t在 0,1上恒成立，设 31ln2,0,11t g t t bt t t，则2222232322311t bt b g t bt t t，当0b ，232332320bt b b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当203b 时，2323230bt b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当23b ，则当01t 时， 0g t故在上 g t 为减函数，故 00g t g ，不合题意，舍；综上， 2f x 在 1,2上恒成立时23b .而当23b 时，而23b 时，由上述过程可得 g t 在 0,1递增，故 0g t 的解为 0,1，即 2f x 的解为 1,2.综上，23b .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.。

导数在研究函数中的应用练习题(基础、经典、好用)

导数在研究函数中的应用一、选择题1．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点2．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f（x）x在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数3．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是() A．(0，1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D．(0，1 2)4．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有() A．f(x)≥f(a) B．f(x)≤f(a)C．f(x)＞f(a) D．f(x)＜f(a)5．若函数f(x)＝xx2＋a(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为()A.33 B. 3 C.3＋1 D.3－1二、填空题6．函数f(x)＝xln x的单调递减区间是________．7．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________．8．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．三、解答题9．(2013·肇庆调研)已知函数f(x)＝ax2＋b ln x在x＝1处有极值1 2.(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．10．设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．11．(2013·惠州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数g(x)＝2x＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．导数在研究函数中的应用解析及答案一、选择题1．【解析】∵f(x)＝2x＋ln x(x>0)，∴f′(x)＝－2x2＋1x.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点．【答案】 D2．【解析】由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a＜1，又g(x)＝f（x）x＝x＋ax－2a，则g′(x)＝1－ax2，易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)＞0，所以g(x)为增函数．【答案】 D3．【解析】f′(x)＝3x2－6b，令f′(x)＝0得x2＝2b，由题意知0＜2b＜1，∴0＜b＜12，故选D.【答案】 D4．【解析】由(x －a )f ′(x )≥0知，当x ＞a 时，f ′(x )≥0；当x ＜a 时，f ′(x )≤0. ∴当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值，则f (x )≥f (a )．【答案】 A5．【解析】 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2（x 2＋a ）2＝a －x 2（x 2＋a ）2.令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝－a (舍)，①若a ≤1时，即0＜a ≤1时，在[1，＋∞)上f ′(x )＜0，f (x )max ＝f (1)＝11＋a＝33. 解得a ＝3－1，符合题意． ②若a ＞1，在[1，a ]上f ′(x )＞0；在[a ，＋∞)上f ′(x )＜0. ∴f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，解得a ＝34＜1，不符合题意，综上知，a ＝3－1. 【答案】 D 二、填空题6．【解析】 f ′(x )＝ln x －1ln 2x ，令f ′(x )＜0得 ln x －1＜0，且ln x ≠0. ∴0＜x ＜1或1＜x ＜e ，故函数的单调递减区间是(0，1)和(1，e)．【答案】 (0，1)，(1，e)7．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，且f (x )在x ＝－1处的极值为0. ∴⎩⎨⎧f （－1）＝（－1）3＋3m （－1）2＋n （－1）＋m 2＝0，f ′（－1）＝3×（－1）2＋6m （－1）＋n ＝0， ∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3或⎩⎨⎧m ＝2，n ＝9，当⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾，当⎩⎨⎧m ＝2n ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，显然x ＝－1是极值点，符合题意， ∴m ＋n ＝11. 【答案】 118．【解析】由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－（x －1）（x －3）x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t ＜1＜t ＋1或t ＜3＜t ＋1，得0＜t ＜1或2＜t ＜3. 【答案】 (0，1)∪(2，3) 三、解答题9．【解】 (1)f ′(x )＝2ax ＋b x ，又f (x )在x ＝1处有极值12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝12，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0.解之得a ＝12且b ＝－1. (2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0，1)，单调增区间是(1，＋∞)． 10．【解】 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx (x ＞0)，又f (x )过点P (1，0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎨⎧f （1）＝0，f ′（1）＝2，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2. 解之得a ＝－1，b ＝3.(2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x ＞0，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x .当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 11．【解】 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ，由已知f ′(2)＝1，解得a ＝－3.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．①当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a ＜0时，f ′(x )＝2（x ＋－a ）（x －－a ）x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：x (0，－a )－a (－a ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )；单调递增区间是(－a ，＋∞)．(3)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x 得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax ，由已知函数g (x )为[1，2]上的单调减函数，则－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1，2]上恒成立．即a≤1x－x2在[1，2]上恒成立．令h(x)＝1x－x2，h′(x)＝－1x2－2x＝－(1x2＋2x)＜0，所以h(x)在[1，2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－7 2，所以a≤－7 2.。

考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（）.A 有极大值，无极小值.B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值.D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。

【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=，x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e e e x x则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g x f x x ¢= , 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（）A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C. ]1,2[-D. ]0,2[- 【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（） A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C. 4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。

导数在研究函数的综合应用(三)：高考数学一轮复习基础必刷题

导数在研究函数的综合应用（三）------高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则()y f x =的图像可能为（）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =在区间(),a b 内的极小值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+单调递增区间是（）A ．（0,+∞）B ．（-∞,0）C ．（0,1）D ．（1,+∞）4．已知函数()286ln 1f x x x x =-++，则()f x 的极大值为（）A ．10B ．6-C ．7-D ．05．函数2()2ln f x x x m x =-+在定义域上是增函数，则实数m 的取值范围为（）A ．12m ≥B ．12m >C ．12m ≤D ．12m <6．若定义在R 上的函数()y f x =的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，则不等式()()20x f x '+>的解集为（）．A ．()()(),32,11,-∞-⋃--⋃+∞B ．()()3,11,--⋃+∞C ．()()3,10,1-- D ．()()3,21,1--⋃-7．如果直线l 与两条曲线都相切，则称l 为这两条曲线的公切线，如果曲线1:ln C y x =和曲线()2:0x aC y x x-=>有且仅有两条公切线，那么常数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()1,e D ．(),e +∞8．函数||()sin =-x f x e x 的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．函数()43ln f x x x x=++的单调递减区间是______．10．若函数()32f x x bx cx d =+++的单调递减区间为()1,3-，则b c +=_________．11．若过定点(1,e)P 恰好可作曲线e (0)x y a a =>的两条切线，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题12．已知函数f （x ）＝ax 2ex ﹣1（a ≠0）.（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知a ＞0且x ∈[1，+∞），若函数f （x ）没有零点，求a 的取值范围.13．确定下列函数的单调区间：(1)2y x x =-；(2)3y x x =-．14．已知1x =-，2x =是函数32()13x f x ax bx =-+++的两个极值点.（1）求()f x 的解析式；（2）记()()g x f x m =-，[24]x ∈-，，若函数()g x 有三个零点，求m 的取值范围.15．已知函数2()(1)x f x ax bx e -=++，其中e 为自然对数的底数.（1）若a =0，求函数()f x 的单调区间；（2）若1,3a b ==，证明x ＞0时，()f x ＜52ln x x x-+参考答案：1．D 【解析】【分析】根据导数图象，可知函数的单调性，并且结合()00f '=，即可排除选项.【详解】由导数图象可知，()0f x '≥，所以函数单调递增，故排除C ；并且()00f '=，故排除AB ；满足条件的只有D.故选：D 2．A 【解析】【分析】结合导函数图象确定正确选项.【详解】函数的极小值点0x 需满足左减右增，即()'00f x =且左侧()'0f x <，右侧()'0f x >，由图可知，一共有1个点符合.故选：A 3．C 【解析】【分析】求导，令导数大于0，解不等式可得.【详解】()ln 1f x x x =-+的定义域为(0,)+∞令11()10x f x x x-'=-=>，解得01x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1).故选：C 4．B 【解析】【分析】利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()213628x x f x x x x--'=-+=,令()0f x '=，解得1x =或3x =，故x ()0,11()1,33()3,+∞()f x '0>0=0<0=0>()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 的极大值为()16f =-，故选：B.5．A 【解析】【分析】根据导数与单调性的关系即可求出．【详解】依题可知，()220mf x x x'=-+≥在()0,∞+上恒成立，即221122222m x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，所以12m ≥．故选：A ．6．A 【解析】利用()y f x =的图象如图判断()f x 单调性，进而判断()f x '在对应区间的正负，解不等式即可【详解】由图像可知：()f x '在（-3，-1），（1，+∞）为正，在（-∞，-3），（-1,1）为负.()()20x f x '+>可化为:20()0x f x +>>'⎧⎨⎩或20()0x f x +<<'⎧⎨⎩解得:-2<x <-1或x >1或x <-3故不等式的解集为：()()(),32,11,-∞-⋃--⋃+∞.故选：A 【点睛】导函数()f x '与原函数()f x 的单调性的关系：（1）()0f x '>⇒原函数在对应区间单增；()0f x '<⇒原函数在对应区间单减；（2）原函数在对应区间单增⇒()0f x '≥；原函数在对应区间单减⇒()0f x '≤.7．B 【解析】【分析】把曲线1C 和曲线2C)1ln 2x -=-有且仅有两解.记())()ln 2,0f x x x =->，利用导数研究单调性和极值，建立不等式20-<-<，即可解得.【详解】曲线1:ln C y x =上一点()11,ln A x x ，11y x '=，切线方程为：1111ln y x x x =-+.曲线()2:0x a C y x x -=>上一点22,1a B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22a y x '=，切线方程为：22221a a y x x x =+-.若直线l 与两条曲线都相切，则有2121212ln 11a x x a x x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去2x)1ln 2x -=-因为曲线1:ln C y x =和曲线()2:0x aC y x x-=>有且仅有两条公切线，)1ln 2x -=-有且仅有两解.记())()ln 2,0f x x x =->，则())1ln 2f x x x '=-+=令()0f x '>，得1x >，所以()f x 在()1,+∞上单增；()0f x '<，得01x <<，所以()f x 在()0,1上单增.所以()()min 12f x f ==-.又有()0f x =，解得：0x =（舍）或2x e =.当0x +→，则()0f x →；当x →∞，则()f x →+∞；而0-≤)1ln 2x -=-有且仅有两解，只需20-<-<，解得：01a <<.故选：B 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.8．B 【解析】【分析】由导数判断函数的单调性及指数的增长趋势即可判断.【详解】当0x >时，()e cos 1cos 0=->-≥'x f x x x ，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，()cos 1cos 0-=--<--≤'x f x e x x ，∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，排除A 、D ；又由指数函数增长趋势，排除C.故选：B ．9．()0,1【解析】求出导函数()'f x ，在(0,)+∞上解不等式()0f x '<可得()f x 的单调减区间．【详解】()()()'2+41431x x f x x x x-=-+=，其中0x >，令()'0f x <，则(0,1)x ∈，故函数()43ln f x x x x =++的单调减区间为(0,1)，故答案为：(0,1)．【点睛】一般地，若()f x 在区间(,)a b 上可导，我们用'()0f x <求，则()f x 在(,)a b 上的减区间，反之，若()f x 在区间(,)a b 上可导且为减函数，则()0f x '≤，注意求单调区间前先确定函数的定义域．10．12-【解析】求出()'f x ，由1-和3是()0f x '=的根可得．【详解】由题意2()32f x x bx c '=++，所以2320x bx c ++=的两根为1-和3，所以2133133bc ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，所以3,9b c =-=-，12b c +=-．故答案为：12-．11．(1,)+∞【解析】【分析】求出函数的导数，设切点为(,)m n ，由导数的几何意义和两点的斜率公式可得e(2)e m m a-=-，设()(2)e x f x x =-，利用导数求出其单调区间和极值，再画出函数的图象，结合图象可得a 的取值范围【详解】由e (0)x y a a =>，得e x y a '=，切点为(,)m n ，则切线的斜率为e m a ，所以切线方程为e ()m y n a x m -=-，因为e m n a =，所以e e ()m m y a a x m -=-，因为点(1,e)P 在切线上，所以e e e (1)m m a a m -=-，得e(2)e m m a-=-，令()(2)e x f x x =-，则()(1)e x f x x '=-，当1x >时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减，所以()f x 在1x =处取得极小值e -，当x →-∞时，()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，由题意可得直线ey a=-与函数()f x 的图象有两个交点，所以ee 0a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞12．（1）当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞），单调递减区间为（﹣2,0）；当a ＜0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣2,0），单调递减区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞）；（2）1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.【解析】（1）先求导f '（x ）＝2axex +ax 2ex ＝axex （2+x ），再分a ＞0和a ＜0进行讨论即可得解；（2）根据（1）可知，当a ＞0时，f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，则保证f （1）＞0即可得解.【详解】（1）f '（x ）＝2axex +ax 2ex ＝axex （2+x ），令f '（x ）＝0，则x ＝0或x ＝﹣2，①若a ＞0，当x ＜﹣2时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当﹣2＜x ＜0时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；②若a ＜0，当x ＜﹣2时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当﹣2＜x ＜0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞0时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；综上所述，当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）；当a ＜0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）.（2）当a ＞0时，由（1）可知，f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，若函数没有零点，则f （1）＝ae ﹣1＞0，解得1a e＞，故a 的取值范围为1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，在高考中考压轴题，属于难题.13．(1)单调递增区间为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)单调递增区间为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫∞⎪⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）求得导函数，利用导数的正负即可求得单调区间.（2）求得导函数，利用导数的正负即可求得单调区间.(1)2y x x =-，12y x '∴=-，当0y '=时，12x =.当0y '>时，12x <，当0y '<时，12x >，∴2y x x =-的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)3y x x =-，213y x '∴=-，当0y '=时，3x =.当0y '>时，33x -<<，当0y '<时，3x >，或3x <-∴3y x x =-的单调递增区间为33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭.14．（1）3211()2132f x x x x =-+++；（2）15,63⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据极值点的定义，可知方程()0f x '=的两个解即为1x =-，2x =，代入即得结果；（2）根据题意，将方程()0g x =转化为()f x m =，则函数()y f x =与直线y m =在区间[2-，4]上有三个交点，进而求解m 的取值范围．【详解】解：（1）因为32()13x f x ax bx =-+++，所以2()2f x x ax b '=-++根据极值点定义，方程()0f x '=的两个根即为1x =-，2x =，2()2f x x ax b '=-++ ，代入1x =-，2x =，可得120440a b a b --+=⎧⎨-++=⎩，解之可得，122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故有3211()2132f x x x x =-+++；（2）根据题意，3211()2132g x x x x m =-+++-，[2x ∈-，4]，根据题意，可得方程32112132m x x x =-+++在区间[2-，4]内有三个实数根，即函数3211()2132f x x x x =-+++与直线y m =在区间[2-，4]内有三个交点，又因为2()2f x x x '=-++，则令()0f x '>，解得12x -<<；令()0f x '<，解得2x >或1x <-，所以函数()f x 在[)2,1--，(]2,4上单调递减，在(1,2)-上单调递增；又因为1(1)6f -=-，()1323f =，5(2)3f -=，()1343f =-，函数图象如下所示：若使函数3211()2132f x x x x =-+++与直线y m =有三个交点，则需使1563m -< ，即15,63m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦．15．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得()f x 的导数，讨论0b =，0b >，0b <，解不等式可得所求单调区间；（2）分别求得()f x 的最大值，()52ln P x x x x =-+的最小值，比较即可得证.【详解】（1）若0a =，则'2(1)(1)()()x x x x be e bx bx b f x e e -+-+-==，（i ）当0b =时，'1()0x f x e-=<，函数()f x 在R 上单调递减；（ii ）当0b ≠时，'1[(1()xb x b f x e ---=，①若0b >，当1(,1)x b∈-∞-时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；当1(1,)x b∈-+∞时，'()0f x <，函数()f x 单调递减.②若0b <，当1(,1)x b∈-∞-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当1(1,)x b∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.综上可知，当0b >时，函数()f x 的单调递增区间为1(,1)b -∞-，单调递减区间为1(1,)b-+∞；当0b =时，函数()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；当0b <时，函数()f x 的单调递增区间为1(1,)b -+∞，单调递减区间为1(,1)b -∞-；（2）若1,3,a b ==则2()(31)x f x x x e -=++，0x >，要证不等式()52ln f x x x x <-+，即证23152ln x x x x x x e++<-+，记()52ln P x x x x =-+，则'1()2ln 1ln P x x x x x=-++⋅=-+，故当(0,)x e ∈时，'()0P x <，函数()P x 单调递减，当(+)x e ∈∞，时，'()0P x >，函数()P x 单调递增，所以()()52ln 5P x p e e e e e ≥=-+=-；又22'2(23)(31)2(2)(1)()()x x x x x x e x x e x x x x f x e e e +-++--++-===-，故(0,1)x ∈时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，所以0x >时，5()(1)f x f e ≤=因为 2.7e ≈，所以55(5)5()0e e e e --=-+>，所以55e e->，所以0x >时，()52ln f x x x x <-+.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性及最值，考查了学生转化的问题的能力及计算能力，是中档题.。

高中数学选择性必修二专题5 3 导数在研究函数中的应用(A卷基础篇)(含答案)

专题5. 3导数在研究函数中的应用（2）（A 卷基础篇）（新教材人教A 版,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·全国高二课时练习）设()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，且在(,)a b 内可导，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的极值点一定是最值点B ．()f x 的最值点一定是极值点C ．()f x 在区间[,]a b 上可能没有极值点D ．()f x 在区间[,]a b 上可能没有最值点【答案】C【解析】根据函数的极值与最值的概念知，()f x 的极值点不一定是最值点，()f x 的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A ，B ，D 都不正确，若函数()f x 在区间[,]a b 上单调，则函数()f x 在区间[,]a b 上没有极值点，所以C 正确．故选：C.2．（2020·全国高二单元测试）如图是函数y ＝f （x ）的导数y ＝f '（x ）的图象，则下面判断正确的是（）A ．在（﹣3，1）内f （x ）是增函数B ．在x ＝1时，f （x ）取得极大值C ．在（4，5）内f （x ）是增函数D ．在x ＝2时，f （x ）取得极小值【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，在（﹣3，32-）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，A 错误；对于B ，在（32-，2）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，x ＝1不是f （x ）的极大值点，B 错误；对于C ，在（4，5）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，C 正确；对于D ，在（32-，2）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，在（2，4）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，则在x ＝2时f （x ）取得极大值，D 错误；故选：C ．3．（2020·横峰中学高三月考（文））已知函数()ln f x x ax =-在2x =处取得极值，则a =（） A ．1B ．2C ．12D ．-2【答案】C【解析】 ()'1f x a x=-，依题意()'20f =，即110,22a a -==. 此时()()'112022x f x x x x -=-=>，所以()f x 在区间()0,2上递增，在区间()2,+∞上递减，所以()f x 在2x =处取得极大值，符合题意. 所以12a =. 故选：C4．（2020·霍邱县第二中学高二月考（文））已知函数()31f x ax bx =++的图象在点()1,1a b ++处的切线斜率为6，且函数()f x 在2x =处取得极值，则a b +=（）A ．263-B ．7C ．223D ．263【答案】C【解析】由题可知：()'23f x ax b =+，则36,120,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得23a =-，8b =. 经检验，当23a =-，8b =时，()f x 在2x =处取得极大值，所以223a b +=. 故选：C 5．（2020·北京高二期末）已知函数31()43f x x x =-，则()f x ）的极大值点为（） A ．4x =-B ．4x =C ．2x =-D ．2x = 【答案】C【解析】由31()43f x x x =-，得：()24f x x '=-.由()240f x x '=->，得：2x <-，或2x >. 由()240f x x '=-<，得：22x -<<. 所以函数()f x 的增区间为()(),2,2,-∞-+∞.函数()f x 的减区间为()2,2-.所以，2x =-是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点.故选：C.6．（2020·河南信阳市·高二期末（文））设()21cos 2=+f x x x ，则函数()f x （） A ．有且仅有一个极小值B ．有且仅有一个极大值C ．有无数个极值D ．没有极值【答案】A【解析】 ()sin f x x x '=-，()1cos 0f x x ''=-≥，∴()f x '单调递增且()00f '=，∴当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故()f x 有唯一的极小值点.故选：A.7．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二月考（理））函数()33f x x ax a =--在()0,1内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．01a ≤<B ．01a <<C ．11a -<<D ．102a << 【答案】B【解析】 ∵函数f （x ）=x 3﹣3ax ﹣a 在（0，1）内有最小值，∴f′（x ）=3x 2﹣3a=3（x 2﹣a ），①若a ≤0，可得f′（x ）≥0，f （x ）在（0，1）上单调递增，f （x ）在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a ＞0，f′（x ）=0解得x=当x f （x ）为增函数，0＜x f （x ）在所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．综上所述，a 的取值范围为（0，1）故答案为B8．（2020·佳木斯市第二中学高二期末（文））若函数()321233f x x x =+-在区间(),3a a +内既存在最大值也存在最小值，则a 的取值范围是（）A ．()3,2--B ．()3,1--C ．()2,1--D ．()2,0-【答案】A【解析】由()22(2)0f x x x x x '=+=+=得2x =-或0x =，可以判断()f x 在0x =处取得极小值()203f =-，在2x =-处取得极大值()223f -=. 令()23f x =-，得3x =-或0x =，令()23f x =，得2x =-或1x =，由题意知函数()f x 在开区间(),3a a +内的最大、最小值只能在2x =-和0x =处取得，结合函数()f x 的图象可得：03132a a <+≤⎧⎨-≤<-⎩，解得32a -<<-，故a 的取值范围是()3,2--.故选：A 9．（2020·全国高三专题练习（文））函数()sin xf x ae x =-在0x =处有极值,则a 的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】C【解析】由题意得：()cos x f x ae x '=-()f x 在0x =处有极值 ()0cos010f a a '∴=-=-=，解得：1a =经检验满足题意，本题正确选项：C10．（2020·湖北宜昌市·高二期末）若1x =是函数3221()(1)(33)3f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（）A ．-3B ．2C ．-2或3D ．–3或2【答案】D【解析】由题意，知：22()2(1)(33)f x x a x a a '=++-+-且()01f '=，∴260+-=a a ，解得：3a =-或2a =.当3a =-时，2()43(1)(3)f x x x x x '=-+=--，即在1x =的左侧(0)30f '=>，右侧(2)10f '=-<，所以1x =是极值点，而非拐点；当2a =时，2()67(1)(7)f x x x x x '=+-=-+，即在1x =的左侧(0)70f '=-<，右侧(2)90f '=>，所以1x =是极值点，而非拐点；故选：D第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·四川成都市·高三开学考试（文））已知函数()sin 2f x x x =-，则()f x 在[,]22ππ-上的最小值是_______________.【答案】1-π【解析】在[,]22ππ-上，有()cos 20f x x '=-<，知：()f x 单调递减， ∴min ()()sin 21222f x f ππππ==-⨯=-，故答案为：1-π.12．（2020·昆明呈贡新区中学（云南大学附属中学呈贡校区）高三月考（理））若x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，则a ＝________. 【答案】14 【解析】因为3()3f x ax x =-，所以2()33f x ax '=-，因为x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，所以(2)1230f a '=-=，故14a =，经验证当14a =时，2x =是()f x 的一个极值点. 所以14a =. 故答案为：1413．（2019·浙江高三专题练习）若函数321()3f x x x =-在[1,1]-，则函数的最小值是 _______ ；最大值是_________. 【答案】43-0 【解析】由题得2()=2f x x x '-，令2()=2=0f x x x '-得x=2（舍去）或0，因为42(1),(0)0,f(1)33f f -=-==-，所以函数的最小值是43-，最大值为0. 故答案为4;0.3- 14．（2020·东台创新高级中学高二月考）已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______．【答案】1e -【解析】因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x '=+，由()0f x '>得1x e >；由()0f x '<得10x e<<；所以函数()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()y f x =的极小值为1111ln f e e e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故答案为：1e-. 15．（2019·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学高二月考（文））函数()327f x x x =-的极值是：________和________.【答案】-54 54【解析】由函数()327f x x x =-有()()()2327=333f x x x x '=--+ 令()0f x '>解得3x >或3x <-.令()0f x '<解得33x -<<所以函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，在()3,3-上单调递减，在()3+∞，上单调递增. 所以当3x =-时，函数()f x 有极大值()()()33327354f -=--⨯-=，当3x =时，函数()f x 有极小值()33327354f =-⨯=-. 故答案为：54-， 54.16．（2019·浙江绍兴市·高二期末）函数()2()1xf x x x e =--（其中2.718e =…是自然对数的底数）的极值点是________；极大值=________.【答案】1或－225e【解析】由已知得 ()()'22()1212( 2) (1)x x x f x x x x e x x e x x e =--+-=+-=+-，e 0x >，令'()0f x =，可得2x =-或1x =，当2x <-时'()0f x >，即函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增；当21x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 在区间(1,0)-上单调递减；当1x >时，'()0f x >，即函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．故()f x 的极值点为2-或1，且极大值为25(2)f e -=．故答案为(1). 1或－2 (2). 25e ． 17．（2020·全国高三专题练习）设()f x '是奇函数()f x 的导函数，()23f -=-，且对任意x ∈R 都有()2f x '<，则()2f =_________，使得()e 2e 1x x f <-成立的x 的取值范围是_________．【答案】3 ()ln 2,+∞【解析】∵()f x 是奇函数，∴()()223f f =--=，设()()2g x f x x =-，则()()22g f =-41=-，()()20g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减，由()e 2e 1x x f <-得()e e 21x x f -<-，即()()2e x g g <，∴e 2x >，得ln 2x >，故答案为：3；()ln 2,+∞．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·全国高三（文））已知函数3()31f x x x =-+.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数的极值；(要列表).【答案】（1）增区间为()(),1,1,-∞-+∞，减区间为()1,1-；（2）极大值为3，极小值为1-.【解析】（1）3()31f x x x =-+，/2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=-+，设'()0f x =可得1x =或1x =-.①当/()0f x >时，1x >或1x <-；②当/()0f x <时，11x -<<，所以()f x 的单调增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调减区间为：()1,1-.（2）由（1）可得，当x 变化时，/()f x ，()f x 的变化情况如下表：当1x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -=当1x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =-.19.（2020·海南省直辖县级行政单位·临高二中高二月考）若()32133f x x x x =+-，R x ∈，求：（1）()f x 的单调增区间；（2）()f x 在[]0,2上的最小值和最大值.【答案】(1) 增区间为()()3,1-∞-+∞，，;(2) ()max 2,3f x = ()min 53f x =-. 【解析】（1）()/223f x x x =+-，由 ()0f x '>解得31x x -或，()f x 的增区间为()()3,1-∞-+∞，，；（2）()2230f x x x =+-='， 3x =-（舍）或1x =， ()15113-33f =+-=, ()00f =, ()32122223233f =⨯+-⨯=， ()max 2,3f x = ()min 53f x =- 20.（2020·北京通州区·高二期末）已知函数3()31f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在[1，2]上的最大值和最小值.【答案】（1）310x y +-= ；（2）最大值f (2)3=，最小值f (1)1=- .【解析】（1）由3()31f x x x =-+得，'2()33f x x =-，所以(0)1f =，'(0)3f =-，所以曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程13(0)y x -=--即310x y +-=；（2）令'()0f x >可得1x >或1x <-，此时函数单调递增，令'()0f x <可得11x -<<，此时函数单调递减，故函数()f x 在[1，2]上单调递增，所以()f x 的最大值f （2）3=，最小值f （1）1=-.21．（2020·江苏宿迁市·宿豫中学高二月考）已知函数1()(cos sin )(0)22x f x e x x x π=+≤≤, （1）计算函数()f x 的导数()f x '的表达式; （2）求函数()f x 的值域.【答案】（1）()cos xf x e x '=;（2）211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）因为1()(cos sin )(0)22x f x e x x x π=+≤≤, 所以11()(cos sin )(sin cos )cos 22x x x f x e x x e x x e x '=++-+=. 故函数()f x 的导数()cos x f x e x '=;（2）02x π≤≤, ()cos 0x f x e x '∴=≥,函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数, 所以m n 0i ()(0)11(cos0sin 0)22e f x f +===, 所以22max 11(cos sin ()()222)22f x e f e πππππ+===; 故函数()f x 的值域为211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 22．（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））已知函数321()23f x x bx x a =-++，2x =是()f x 的一个极值点．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若当[1,?3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) ()y f x =的单调递增区间为(,?1)-∞，(2,?+)∞ (2) 01a <<【解析】（Ⅰ）2()22f x x bx '=-+. ∵2x =是的一个极值点，∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32b =. 令()0f x '>，则，解得1x <或2x >.∴函数()y f x =的单调递增区间为(,?1)-∞，(2,?+)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时()0f x '<，(2,3)x ∈时()0f x '>， ∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1,?3]x ∈时，要使22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+，即22233a a +>+，解得 01a <<.。

高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析

高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·，于是y′＝f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．【答案】(0，e)【解析】由题意知y′＝x (－ln x＋·)＝x·(1－ln x)，x>0，>0，x>0，令y′>0，则1－ln x>0，所以0<x<e.2.已知函数f(x)＝(ax＋1)e x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值．【答案】（1）见解析（2）当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.【解析】解：依题意，函数的定义域为R，f′(x)＝(ax＋1)′e x＋(ax＋1)(e x)′＝e x(ax＋a＋1)．(1)①当a＝0时，f′(x)＝e x>0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；②当a>0时，由f′(x)>0，解得x>－，由f′(x)<0，解得x<－，则f(x)的单调递增区间为(－，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－∞，－)；③当a<0时，由f′(x)>0，解得x<－，由f′(x)<0解得，x>－，则f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，f(x)的单调递减区间为(－，＋∞)．(2)①当时，)上是减函数，在(－，0)上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－)＝－a·；②当时，即当0<a≤1时，f(x)在[－2,0]上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－2)＝.综上，当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.3.函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________.【答案】1【解析】f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，1<x<3，f′(x)<0；x<1或x>3，f′(x)>0，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1.4.设，曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若对于任意的，恒成立，求的范围；(3)求证：【解析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x−)，设g(x)＝lnx−m(x−)，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．（3）由（2）知，当x＞1时，m＝时，lnx＜(x−)成立．不妨令x＝，k∈N*，得出[ln(2k+1)−ln(2k−1)]＜，k∈N*，再分别令k=1，2，，n．得到n个不等式，最后累加可得．(1) 2分由题设，∴，. 4分(2),，，即设，即.6分①若，，这与题设矛盾. 7分②若方程的判别式当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立. 8分当时，方程，设两根为，当,单调递增，，与题设矛盾.综上所述， . 10分(3) 由(2)知,当时, 时,成立.不妨令所以，11分12分累加可得∴∴ ---------------14分【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.导数在最大值、最小值问题中的应用．5.已知函数.（1）当时，证明：当时，；（2）当时，证明：.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当时，转化为，对函数求导，利用单调递增，单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将转化为且，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.(1)时，，令，，∴在上为增函数 3分，∴当时，，得证． 6分(2)令，，时，，时，即在上为减函数，在上为增函数 9分∴①令，，∴时，，时，即在上为减函数，在上为增函数∴②∴由①②得． 12分【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.6.已知函数.（1）当a=l时，求的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围；（3）令，是否存在实数a，当(e是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；（3）存在实数.【解析】（1）把代入函数解析式得，且定义域为，利用导数法可求出函数的单调区间，由，分别解不等式，，注意函数定义域，从而可求出函数的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数在上是减函数，则其导函数在上恒成立，又因为，所以函数，必有，从而解得实数的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得，则，令，解得，通过对是否在区间上进行分类讨论，可求得当时，有，满足条件，从而可求出实数的值.（1）当时，. 2分因为函数的定义域为，所以当时，，当时，.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 4分（2）在上恒成立.令，有， 6分得，. 8分（3）假设存在实数，使有最小值3，. 9分当时，在上单调递减，，（舍去）； 10分②当时，在上单调递减，在上单调递增.，解得，满足条件； 12分③当时，在上单调递减，，（舍去）. 13分综上，存在实数，使得当时，有最小值3. 14分【考点】1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.7.设函数f(x)＝x－2msin x＋(2m－1)sin xcos x(m为实数)在(0，π)上为增函数，则m的取值范围为()A．[0，]B．(0，)C．(0，]D．[0，)【答案】A【解析】∵f(x)在区间(0，π)上是增函数，∴f′(x)＝1－2mcos x＋2(m－)cos 2x＝2[(2m－1)cos2x－mcos x＋1－m]＝2(cos x－1)[(2m－1)cos x＋(m－1)]＞0在(0，π)上恒成立，令cos x＝t，则－1＜t＜1，即不等式(t－1)[(2m－1)t＋(m－1)]＞0在(－1,1)上恒成立，①若m＞，则t＜在(－1,1)上恒成立，则只需≥1，即＜m≤，②当m＝时，则0·t＋－1＜0，在(－1,1)上显然成立；③若m＜，则t＞在(－1,1)上恒成立，则只需≤－1，即0≤m＜．综上所述，所求实数m的取值范围是[0，]．8.已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xe x，则（）A．1是f（x）的极小值点B．﹣1是f（x）的极小值点C．1是f（x）的极大值点D．﹣1是f（x）的极大值点【答案】B【解析】f（x）=xe x⇒f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0⇒x＞﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞）；令f′（x）＜0⇒x＜﹣1，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），故﹣1是f（x）的极小值点．故选：B．9.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.10.已知函数f(x)＝x2－mlnx＋(m－1)x，当m≤0时，试讨论函数f(x)的单调性；【答案】当－1<m≤0时单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；当m≤－1时，单调递增区间是和，单调递减区间是【解析】函数的定义域为，f′(x)＝x－＋(m－1)＝.①当－1<m≤0时，令f′(x)>0，得0<x<－m或x>1，令f′(x)<0，得－m<x<1，∴函数f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；②当m≤－1时，同理可得，函数f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是.11.若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是________．【答案】a≥3【解析】f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令g(x)＝－2x，求导可得g(x)在上的最大值为3，所以a≥3.12.函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是()A．(-∞,0)B．(0,+∞)C．(-∞,-3)和(1,+∞)D．(-3,1)【答案】D【解析】y'=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3)>0x2+2x-3<0-3<x<1,∴函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是(-3,1).13.若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．【答案】-4【解析】∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a.又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝－1×4＝－4.14.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为 ()．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．15.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有一个解，求实数m的取值范围；（3）当且，时，若有，求证：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为和；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；（2）若方程有解有解，则原问题转化为求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域内即可，由（1）知，，方程有且只有一个根，又的值域为，;（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即，同理，又，，且在上单调递减，，即.试题解析：（1），令，即，解得，令，即，解得，或，的递增区间为，递减区间为和. 4分（2）由（1）知，， 6分方程有且只有一个根，又的值域为，由图象知8分（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即， 11分，又，，且在上单调递减，，即. 13分【考点】1.导数在函数单调性上的应用；2. 导数与函数最值.16.某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。

一轮复习课时训练§2.11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例

第二章§11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．使函数f(x)＝x ＋2cosx 在[0，π2]上取最大值的x 为A ．0B ．π6C ．π3D ．π22．已知a>0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 03．已知R 上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x)>0的解集为A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)4．若a>2，则函数f(x)＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点5．已知函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d(b ，c ，d 为常数)，当k ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时， f(x)－k ＝0只有一个实数根；当k ∈(0,4)时，f(x)－k ＝0有3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数f(x)有2个极值点；②函数f(x)有3个极值点；③f(x)＝4和 f ′(x)＝0有一个相同的实根；④f(x)＝0和f ′(x)＝0有一个相同的实根．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1没有极值，则a的取值范围为________．7．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝－x(x＋1)，则函数g(x)＝f(log a x)(0<a<1)的单调递减区间是________．8．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示．当x为________时，正三棱柱的体积最大，最大值是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知某工厂生产x件产品的成本为C＝25 000＋200x＋140x2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x－4，g(x)＝ax2＋x－8.(1)求函数f(x)的极值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：f ′(x)＝1－2sinx ，当f ′(x)＝0时，解得x ＝π6，从而可以求得函数f(x)在[0，π2]上的递增区间为[0，π6]，递减区间为[π6，π2]，所以f(x)取最大值时x 为π6.答案：B2．解析：设函数f(x)＝12ax 2－bx ，∴f ′(x)＝ax －b ，由已知可得f ′(x 0)＝ax 0－b ＝0，又因为a>0，所以可知x 0是函数的极小值点，也是最小值点．由最小值定义可知C 项正确．答案：C3．解析：据题意观察函数的图象，由函数的单调性与导数之间的关系可得，当－1<x<1时，f ′(x)<0；当x>1或x<－1时，f ′(x)>0，故(x 2－2x －3)f ′(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3>0f ′(x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3<0，f ′(x )<0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x<－1或x>3x<－1或x>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<3－1<x<1⇔x<－1或x>3或－1<x<1. 答案：D4．解析：f ′(x)＝x 2－2ax ，由a>2，所以在(0,2a)上，f(x)单调递减，所以f(x)在区间(0,2)也是单调递减．因为f(0)＝1，f(2)＝83－4a ＋1＝11－12a 3<0，根据根的存在性定理知道在区间(0,2)上有1个零点．答案：B5．解析：利用数形结合可知①③④正确．答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：f ′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，当原函数没有极值时，Δ＝36a 2－36(a ＋2)≤0，解得－1≤a ≤2. 答案：[－1,2]7．解析：由f ′(x)＝－x(x ＋1)≤0得x ≤－1或x ≥0，即f(x)的递减区间为(－∞，－1]或 [0，＋∞)，f(x)的递增区间为[－1,0]．∵0<a<1，∴y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数． ∴g(x)＝f(log a x)(0<a<1)单调递减时－1≤log a x ≤0，∴1≤x ≤1a .∴g(x)的减区间为[1，1a ]．答案：[1，1a]8．解析：由图可知体积y ＝34(a －2x)2×33x ＝14x(a －2x)2(0<x<a2)，所以 y ′＝14(a －2x)(a －6x)＝0时，解得x ＝a 6或x ＝a 2(舍)，所以当x ＝a6时取最大值，且为a 354.答案：a 6 a 354三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x40，y ′＝－25 000x 2＋140，令y ′＝0得x ＝1 000.当在x ∈(0，1 000)时y ′<0；在x ∈(1 000，＋∞)时y ′>0，故当x ＝1 000时，y 取最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为S ＝500x －(25 000＋200x ＋x 240)＝300x －25 000－x 240，S ′＝300－x20，令S ′＝0，得x ＝6 000，当在x ∈(0,6 000)时S ′>0；在x ∈(6 000，＋∞)时S ′<0，故当x ＝6 000时，S 取最大值，因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．10.（本小题满分18分（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝x 3＋2x 2＋x －4，g(x)＝ax 2＋x －8. (1)求函数f(x)的极值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x)＝3x 2＋4x ＋1，令f ′(x)＝0，解得：x 1＝－1或x 2＝－13.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：∴当x ＝－1时，f(x)取得极大值为－4；当x ＝－13时，f(x)取得极小值为－11227.(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋4.F(x)≥0在[0，＋∞)恒成立⇔F(x)min ≥0，x ∈[0，＋∞)． ①若2－a ≥0，显然F(x)min ＝4>0； ②若2－a<0，F ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ，令F ′(x)＝0，解得x ＝0，x ＝2a －43，当0<x<2a －43时，F ′(x)<0.当x>2a －43时，F ′(x)>0.∴当x ∈[0，＋∞)，F(x)min ＝F(2a －43)≥0，即(2a －43)3＋(2－a)(2a －43)2＋4≥0，整理得－4(a －2)327＋4≥0.解不等式得：a ≤5，∴2<a ≤5. 综上所述a 的取值范围为(－∞，5]．。

《利用导数研究函数的性质》典型例题

− + ( ∈ ).在直线
= 上是否存在点,使得过点至少有两条直线与曲线 = ()相切?若存
在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
点拨
这是一道考查导数的实际应用问题,了解数学模型中的参数、结论的实际含义.与
存在性有关的不等式证明或求参数取值范围的问题转化为函数最值问题,把图形位
学而优 · 教有方

+ − = − + − ,
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
题型3 求导数应用中“存在性”问题(数学建模)
典例3
[简单问题解决能力]已知函数() =

− + ( ∈ ).在直线
= 上是否存在点,使得过点至少有两条直线与曲线 = ()相切?若存

解析由() ≥ + + ,得 − ( + ) − ≥ 在 ∈ 上恒成立.
设() = − ( + ) − ,则′() = − ( + ).
由′() = − ( + ) = ,得 = ( + ), ( > −).
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
人教B版同步教材名师课件
利用导数研究函数的性质
---典型例题
学而优 · 教有方
考情分析
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
导数与函数内容的结合命题已成为高考的热点题型,应引起足够的重视.理解
函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数单调性,掌握利用导数求函
数极值、最值的方法,会利用导数解决某些实际问题.以导数为研究函数的重

2019届高考(文)《导数在研究函数中的应用》专题达标试卷(含答案)(可编辑修改word版)

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关闭W o r d文档返回原板块一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)课时提升作业(十四) 导数在研究函数中的应用(45 分钟100 分)1.(2018·天津模拟)若函数f(x)=x3-6b x+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是()A.(0,1)B.(-∞,1)1C.(0,+∞)D.0,22.(2018·青岛模拟)函数y=l n x-x在x∈(0,e]上的最大值为()A.eB.1C.-1D.-e[:3.(2018·孝感模拟)函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,3)和(1,+∞)D.(-3,1)4.(2018·嘉兴模拟)对于在R上可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有()A.f(x)≥f(a)B.f(x)≤f(a)C.f(x)>f(a)D.f(x)<f(a)5.(2018·鄂州模拟)设函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立,则( )A.3f(l n2)>2f(l n3)B.3f(l n2)=2f(l n3)C.3f(l n2)<2f(l n3)D.3f(l n2)与2f(l n3)的大小不确定1 6.(2018·大纲版全国卷)若函数f(x)=x2+ax+x在12, + ∞是增函数,则a 的取值范围是( )A.[- 1,0] C.[0,3]B.[-1,+∞) D.[3,+∞)7.(2018·成都模拟)函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x)=f′(x0)·(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,且a<x0<b,那么( )()A.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极大值点B.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极小值点C.F′(x0)≠0,x=x0不是F(x)的极值点D.F′(x0)≠0,x=x0是F(x)的极值点e x e28.(能力挑战题)(2018·辽宁高考)设函数f(x)满足x2f′(x)+2x f(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)()x 8A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)9.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为.10.(2018·衡水模拟)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,x-1045f(x)1221下列关于函数 f(x)的①函数f(x)的值域为[1,2];②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 有4 个零点.其中真111.已知y=x3+b x2+(b+2)x+3在R上不是增函数,则b的取值范围是.31 a12.(能力挑战题)(2018·厦门模拟)若函数f(x)=|x3|-x2+(3-a)|x|+b有六个不同的单调区间,则实数a的取3 2值范围是.三、解答题(13题12分,14～15题各14分)113.(2018·北京模拟)已知函数f(x)=x2-a l n x(a>0).2(1)若f(x)在 x=2 处的切线与直线 3x-2y+1 =0 平行,求f(x)的单调区间.(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值.114.(2018·广州模拟)已知函数f(x)=l n x-ax2-2x.2(1)若函数 f(x)在x=2 处取得极值,求实数a 的值.(2)若函数 f(x)在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围.4x15.(能力挑战题)(2018·郑州模拟)已知函数f(x)=,x∈[0,2].3x2 + 3(1)求 f(x)的值域.1(2)设a≠0,函数g(x)=ax3-a2x,x∈[0,2].若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[0,2],使f(x1)-g(x0)=0,求实数a3的取值范围.1.【解析】选D.f′(x)=3x2-6b,令f′(x)=0得x2=2b,答案解析由题意知,0<1 2b<1,所以0<b<.22.【解析】选C.函数y=l n x-x的定义域为(0,+∞),1 1 ‒ x又y′=-1=,令y′=0得x=1,x x当x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增;当x∈(1,e)时,y′<0,函数单调递减.当x=1时,函数取得最大值-1,故选C.3.【解析】选D.y′=-2xe x+(3-x2)e x=-(x2+2x-3)e x=-(x-1)(x+3)e x,y′>0⇒-3<x<1,所以函数的递增区间为(-3,1).4.【思路点拨】分x>a 和x<a 两种情况讨论得 f(x)的单调性后求解.【解析】选 A .由(x -a )f ′(x )≥0 知, 当 x >a 时,f ′(x )≥0,所以 f (x )在(a ,+∞)上为增函数;当 x <a 时,f ′(x )≤0,所以 f (x )在(-∞,a )上为减函数,得 f (x )m i n =f (a ),所以 f (x )≥f (a ). f (x) f '(x)e x ‒ f(x)e x f '(x) ‒ f(x)5. 【解析】选 C .令 g (x )= e x ,则 g ′(x )= e 2x = e x,因为对任意 x∈R 都有f (ln2)f (ln3)f ′(x )-f (x )>0,所以g ′(x )>0,即 g (x )在 R 上单调递增,又 l n 2<l n 3,所以 g (l n 2)<g (l n 3),即 eln2 < e ln3 ,所以f (ln2) f (ln3)2 <3 ,即 3f (l n 2)<2f (l n 3),故选 C . (1)6. 【思路点拨】先求出 f (x )的导函数 f ′(x ),利用 x ∈2, + ∞ 时 f ′(x )≥0 确定 a 的取值范围. 1(1) (1)【解析】选 D .f ′(x )=2x +a - ,因为 f (x )在 x ∈ x 2 2, + ∞ 上为增函数,即当 x∈ 2, + ∞ 时,f ′(x )≥0,即1 1 1(1)2x +a - ≥0,则 a ≥ -2x ,令 g (x )= -2x ,而 g (x )在 x ∈ x 2 x 2 x 22, + ∞ 上为减函数,所以 g (x )m ax <3,故 a ≥3.7. 【思路点拨】y =g (x )是函数 y =f (x )在点 P (x 0,f (x 0))处的切线,故 g ′(x )=f ′(x 0),据此判断 F ′(x 0)是否为 0,再进一步判断在 x =x 0 两侧 F ′(x )的符号. 【解析】选 B .F ′(x )=f ′(x )-g ′(x )=f ′(x )-f ′(x 0),所以 F ′(x 0)=f ′(x 0)-f ′(x 0)=0,又当 x <x 0 时,从图象上看,f ′(x )<f ′(x 0),即 F ′(x )<0,此时函数 F (x )=f (x )-g (x )为减函数,同理,当 x>x 0 时,函数 F(x)为增函数.8. 【思路点拨】结合题目条件,观察式子的特点,构造函数,利用导数研究极值问题.e x 2f(x) e x ‒ 2x 2f(x) 【解析】选 D .由题意知f ′(x )= - = ,x3xx3令 g (x )=e x -2x 2f (x ),则 g ′(x )=e x -2x 2f ′(x )-4x f (x ) 2e x =e x -2(x 2f ′(x )+2x f (x ))=e x -x( 2)=e x1 ‒x.由 g ′(x )=0 得 x =2,当 x =2 时,e2g (x )m i n =e 2-2×22× =0.8g(x)即g(x)≥0,则当x>0时,f′(x)=≥0,x3故f(x)在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.9.【解析】x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2c x+c2)=x3-2c x2+c2x,所以f′(x)=3x2-4c x+c2,所以f′(2)=3×4-8c+c2=0,解得c=2或c=6,当c=2时,不能取极大值,所以c=6.答案:6【误区警示】本题易出现由f′(2)=0求出c后,不验证是否能够取到极大值这一条件,导致产生增根.10.【解析】由y=f′(x)的图象知,y=f(x)在(-1,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,4)上递增,在(4,5)上递减,故②正确;当x=0与x=4时,y=f(x)取极大值,当x=2时,y=f(x)取极小值,因为f(2)的值不确定,故①④不正确;对于③,t 的最大值为5.答案:②111.【解析】假设y=x3+b x2+(b+2)x+3在R上是增函数,则y′≥0恒成立.即x2+2b x+b+2≥0恒成立,所以Δ=4b2-34(b+2)≤0成立,解得-1≤b≤2,故所求为b<-1或b>2.答案:b<-1或b>2[:12.【思路点拨】根据奇偶性,只需保证f′(x)=0在(0,+∞)上有两个不同实根即可.1 a【解析】因为函数f(x)=|x3|-x2+(3-a)|x|+b,所以f(-x)=f(x),3 2所以 f(x)是偶函数,因为 f(x)有六个不同的单调区间,又因为函数为偶函数,所以当 x>0 时,有三个单调区间,即f′(x)=x2-ax+3-a=0有两个不同的正根,所以23 ‒ a > 0,a2+ 4a ‒ 12 > 0,解得:2<a<3.答案:(2,3)13.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).{ a > 0,2a x 2 ‒ a f ′(x )=x - = .xx4 ‒ a 3 由 f (x )在 x =2 处的切线与直线 3x -2y +1=0 平行,则 f ′(2)== ,a =1.2 21 x2 ‒ 1 此时 f (x )= x 2-l n x ,f ′(x )= .2x令 f ′(x )=0,得 x =1.f (x )与 f ′(x )随 x 的变化情况如下:所以,f (x )的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).a x 2 ‒ a (2)由 f ′(x )=x - = .xx由 a >0 及定义域为(0,+∞), 令 f ′(x )=0,得 x = a .1①若 a ≤1,即 0<a ≤1,在(1,e )上,f ′(x )>0,f (x )在[1,e ]上单调递增,f (x )m i n =f (1)= ;2②若 1< 在(1,a <e ,即 1<a <e 2,a)上,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 在( a ,e )上,f ′(x )>0,f (x )单调递增, 1因此在[1,e ]上,f (x )m i n =f ( a ) )= a (1-l n a );2③若 a ≥e ,即 a ≥e 2,在(1,e )上,f ′(x )<0,f (x )在[1,e ]上单调递减, 1f (x )m i n =f (e )= e 2-a .21综上,当 0<a ≤1 时,f (x )m i n = ;1当 1<a <e 2 时,f (x )m i n = a (1-l n a );2x (0,1) 1 (1,+∞) f ′(x ) - 0+ f(x)↘12↗而 f (0)=0,f (1)= ,f (2)=,所以当 x ∈[0,2]时,f (x )的值域是 0, 1当 a ≥e 2 时,f (x )m i n = e2-a .2a x 2 + 2x ‒ 114.【解析】(1)f ′(x )=-(x >0),x因为 x =2 时,f (x )取得极值.3所以 f ′(2)=0,解得 a =- ,经检验符合题意.4(2)函数 f (x )定义域为(0,+∞). 依题意 f ′(x )≥0 在 x >0 时恒成立,即 ax 2+2x-1≤0 在 x>0 时恒成立.1 ‒ 2x 1 2则 a≤x 2=(x‒ 1)-1 在 x>0 时恒成立,[ 1 2]即 a≤(x‒ 1)1‒ 1(x >0),min2当 x =1 时,(x ‒ 1)-1 取最小值-1,所以 a 的取值范围是(-∞,-1].15.【思路点拨】(1)用导数法求 f (x )的最值,进而得f (x )的值域.(2)根据条件得到f (x )在[0,2]上的值域为g (x ) 在[0,2]上的值域的子集,构建不等式求解.4 1 ‒ x 2 【解析】(1)f ′(x )= · ,令 f ′(x )=0,得 x =1 或 x =-1.3 (x 2 + 1)2当 x ∈(0,1)时,f ′(x )>0,f (x )在(0,1)上单调递增; 当 x ∈(1,2)时,f ′(x )<0,f (x )在(1,2)上单调递减, 2 8[ 2]3 15 3(2) 设函数g (x )在[0,2]上的值域是 A ,因为若对任意 x 1∈[0,2],总存在 x 0∈[0,2], 使 f (x 1)-g (x 0)=0,[ 2]所以 0, 3⊆A .g ′(x )=ax 2-a 2.①当 x ∈(0,2),a <0 时,g ′( x )<0,所以函数 g (x )在(0,2)上单调递减..0, ⊆A ,所以 g (2)= a -2a 2≥ ,解得 ≤a ≤1. ]8[ 2]因为 g (0)=0,g (2)= a -2a 2<0,当 x ∈[0,2]时,不满足30, ⊆A ; 3②当 x ∈(0,2),a >0 时,g ′(x )=a (x - a )(x+ a ),令 g ′(x )=0,得 x = a 或 x=- a (舍去).(i )x ∈[0,2],0]3 3 3 3(ii )当 x ∈[0,2]2 时,g ′(x )<0,所以函数 g (x )在(0,2)上单调递减. [ 2]因为 g (0)=0,g (2)= a -2a 2<0,所以当 x ∈[0,2]时,不满足30, ⊆A .3综上可知,实数 a 的取值范围是1,1 . 3关闭 W o r d 文档返回原板块[ 所以 g (0)=0,g (a )<0.因为。

2022年高考数学利用导数研究函数的单调性专项练习含答案

专题10 利用导数研究函数的单调性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知函数f(x)=e |2x|−4ax 2，对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有 (x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是 ( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]2. f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)<0，对任意正数a ，b ，若a 0时，xf′(x)−f(x)<0，若a =f(e)e,b =f(ln2)ln2,c =f(−3)−3，则a,b,c 的大小关系正确的是( )A. a 0的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−1)C. (−∞,−1) ∪(1,2)D. (−1,1)∪(2,+∞)6. 已知函数f(x)=e x−x 22−1，若f(x)≥kx 在x ∈[0,+∞)时总成立，则实数k 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e 2]7. 设点P 为函数f(x)=12x 2+2ax 与g(x)=3a 2lnx +b(a >0)的图像的公共点，以P 为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( )A. 23e 23B. 32e 23C. 23e 32D. 32e 328.已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f′(x)e x在区间[0,2]上的最小值为()A. −3eB. −2eC. eD. 2e9.已知函数f(x)=xe x−mx+m2(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上有两个零点，则m的范围是()A. (0,e)B. (0,2e)C. (e,+∞)D. (2e,+∞)10.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)=a x g(x)(a>0,且a≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列{f(n)g(n)}的前n项和大于363，则n的最小值为()A. 4B. 5C. 6D. 7二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式e x−1f(x)<f(2x−1)的解集为__________．12.若函数f(x)=xx2+a (a>0)在[1,+∞)上的最大值为√33，则a的值为________．13.已知函数f(x)=a−x2(0<x<√a)在其图象上任意一点P(t,f(t))处的切线，与x轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，设△OMN(O是坐标原点)的面积为S(t)，当t=t0时，S(t)取得最小值，则√at0的值为．14.函数f(x)的定义域为R，f(0)=2，对于任意的x∈R，f(x)+f’(x)>1，则不等式e x f(x)>e x+1的解集为__________．三、解答题（本大题共3小题，共30分）15.已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx+1．(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．16.已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=e x−1−1．(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≤g(x)+a在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．17.已知函数f(x)=ax +lnx，g(x)=12bx2−2x+2，a,b∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)记函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，当a=0时，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．专题10 利用导数研究函数的单调性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）18. 已知函数f(x)=e |2x|−4ax 2，对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有 (x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是 ( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]【答案】A【解析】解：因为对任意x 1<0，x 2<0，都有(x 2−x 1)[f (x 2)−f (x 1)]<0，所以函数f (x )在(−∞,0]单调递减．又因为f(x)=e |2x|−4ax 2=e −2x −4ax 2，所以f′(x )=−2e −2x −8ax ，因此−2e −2x −8ax ≤0对(−∞,0]恒成立，即4a ≤−e −2x x对(−∞,0]恒成立．令ℎ(x )=−e −2x x，则ℎ′(x )=e −2x (2x+1)x 2，因此当x ∈(−∞,−12)时，ℎ′(x )<0，函数ℎ(x )是减函数；当x ∈(−12,0)时，ℎ′(x )>0，函数ℎ(x )是增函数，所以当x =−12时，函数ℎ(x )有最小值ℎ(−12)=2e ，因此4a ≤2e ，即a ≤e2．故选A ．19. f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)<0，对任意正数a ，b ，若a 0)，则g′(x)=[xf(x)]′=xf′(x)+f(x)<0， ∴函数g(x)在(0,+∞)上是减函数， ∵a g(b)即bf(b)<af(a)故选C．20.已知函数f(x)=e x−ax2(a∈R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (e4,+∞) B. (e2,+∞) C. (e24,+∞) D. (e22,+∞)【答案】C【解析】解：令f(x)=e x−ax2=0，当x=0时显然不成立，故a=e xx2，令g(x)=e xx2，则问题转化为直线y=a与g(x)=exx2的图象有三个交点，∵g′(x)=(x−2)e xx3，令g′(x)=0，解得x=2，∴当x<0或x>2时，g′(x)>0，g(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增，当0<x<2时，g′(x)<0，g(x)在(0,2)上单调递减，g(x)在x=2处取极小值，g(2)=e24，作出g(x)的图象如下：要使直线y=a与曲线g(x)=e xx2有三个交点，，则a>e24，故实数a的取值范围是．故选C．21.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，若a=f(e)e ,b=f(ln2)ln2,c=f(−3)−3，则a,b,c的大小关系正确的是()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. c<a0时，∵xf′(x)−f(x)<0， ∴g′(x)<0，∴函数g(x)在(0,+∞)单调递减．又∵函数f(x)为奇函数， ∴g(x)=f(x)x是偶函数，∴c =f(−3)−3=g(−3)=g(3)，∵a =f(e)e=g(e)，b =f(ln2)ln2=g(ln2)，ln2<1<e <3，∴g(3)<g(e)<g(ln2)， ∴c <a 0的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−1)C. (−∞,−1) ∪(1,2)D. (−1,1)∪(2,+∞)【答案】D【解析】解：由图知，f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，单调递减区间为(−1,1)，所以在区间(−∞,−1)及(1,+∞)上，f′(x)>0，在(−1,1)上，f′(x)<0，又(x −2)f′(x)>0，所以{x −2>0f′(x)>0或{x −2<0f′(x)<0, 得x >2或−1<x <1，即不等式(x −2)f′(x)>0的解集为(−1,1)∪(2,+∞)．故选D ．23.已知函数f(x)=e x−x22−1，若f(x)≥kx在x∈[0,+∞)时总成立，则实数k的取值范围是()A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e2]【答案】A【解析】解：当x=0时，f(x)≥kx显然恒成立；当x>0时，f(x)≥kx即为e x−12x2−kx−1≥0，设g(x)=e x−12x2−kx−1(x>0)，则g′(x)=e x−x−k，令ℎ(x)=g′(x)=e x−x−k，ℎ′(x)=e x−1>0，∴函数g′(x)在(0,+∞)上为增函数，①当k≤1时，g′(x)>g′(0)=1−k≥0，故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，∴g(x)>g(0)=0，即f(x)≥kx成立；②当k>1时，g′(0)=1−k<0，g′(k)=e k−2k>0，故存在x0∈(0,k)，使得g′(x0)= 0，∴当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，则g(x)<g(0)=0，即f(x)<kx，不符题意；综上所述，实数k的取值范围为(−∞,1]．故选：A．24.设点P为函数f(x)=12x2+2ax与g(x)=3a2lnx+b(a>0)的图像的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为()A. 23e23 B. 32e23 C. 23e32 D. 32e32【答案】B【解析】解：设P(x0,y0)，由于点P为两曲线的公切点，则12x02+2ax0=3a2lnx0+b．又在点P处的切线斜率相同，则f′(x0)=g′(x0)，即x0+2a=3a2x0，即(x0+3a)(x0−a)= 0．又a>0，x0>0，所以x0=a，于是b=52a2−3a2lna，其中a>0．设ℎ(x)=52x2−3x2lnx，其中x>0，则ℎ′(x)=2x(1−3lnx)，其中x>0，所以ℎ(x)在(0,e 13)内单调递增，在(e13,+∞)内单调递减，所以实数b 的最大值为ℎ(e 13)=32e 23．故选B ．25. 已知函数f(x)=13x 3+mx 2+nx +2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f′(x)e x 在区间[0,2]上的最小值为( )A. −3eB. −2eC. eD. 2e【答案】B【解析】f′(x)=x 2+2mx +n ，要使导函数f′(x)为偶函数，则m =0，故f(x)=13x 3+nx +2，则f(1)=13+n +2=−23，解得n =−3，所以f′(x)=x 2−3，故g(x)=e x (x 2−3)，g′(x)=e x (x 2−3+2x)=e x (x −1)(x +3)，当x ∈[0,1)时，g′(x)<0，当x ∈(1,2]时，g′(x)>0．所以函数g(x)在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增，所以函数g(x)在区间[0,2]上的最小值为g(1)=e ×(1−3)=−2e ．故选B ．26. 已知函数f(x)=xe x −mx +m 2(e 为自然对数的底数)在(0,+∞)上有两个零点，则m 的范围是( )A. (0,e)B. (0,2e)C. (e,+∞)D. (2e,+∞)【答案】D【解析】解：由f(x)=xe x −mx +m 2=0得xe x =mx −m 2=m(x −12)，当x =12时，方程不成立，即x ≠12，则m =xe xx−12，设ℎ(x)=xe xx−12，(x >0且x ≠12)，则ℎ′(x)=(xe x )′(x−12)−xe x(x−12)2=e x (x 2−12x−12)(x−12)2=12e x(x−1)(2x+1)(x−12)2，∵x >0且x ≠12，∴由ℎ′(x)=0得x =1，当x >1时，ℎ′(x)>0，函数为增函数，当0<x <1且x ≠12时，ℎ′(x)<0，函数为减函数，则当x =1时函数取得极小值，极小值为ℎ(1)=2e ，当0<x <12时，ℎ(x)<0，且单调递减，作出函数ℎ(x)的图象如图：要使m =xe xx−12有两个不同的根，则m >2e 即可，即实数m 的取值范围是(2e,+∞)，方法2：由f(x)=xe x −mx +m 2=0得xe x =mx −m 2=m(x −12)，设g(x)=xe x ，ℎ(x)=m(x −12)，g′(x)=e x +xe x =(x +1)e x ，当x >0时，g′(x)>0，则g(x)为增函数，设ℎ(x)=m(x −12)与g(x)=xe x 相切时的切点为(a,ae a )，切线斜率k =(a +1)e a ，则切线方程为y −ae a =(a +1)e a (x −a)，当切线过(12,0)时，−ae a =(a +1)e a (12−a)，即−a =12a +12−a 2−a ，即2a 2−a −1=0，得a =1或a =−12(舍)，则切线斜率k =(1+1)e =2e ，要使g(x)与ℎ(x)在(0,+∞)上有两个不同的交点，则m >2e ，即实数m 的取值范围是(2e,+∞) 故选：D ．27. 已知f(x),g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)=a x g(x)(a >0,且a ≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列{f(n)g(n)}的前n 项和大于363，则n 的最小值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】解：∵f(x)=a x ⋅g(x)(a >0且a ≠1)，∴f(x)g(x)=a x ，又∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x)， ∴(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g 2(x)>0，∴f(x)g(x)=a x 是增函数， ∴a >1， ∵f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103．∴a +a −1=103，解得a =13或a =3，综上得a =3．∴数列{f(n)g(n)}是等比数列，f (n )g (n )=3n ． ∵数列{f(n)g(n)}的前n 项和大于363， ∴3+32+33+⋯+3n =3(1−3n )1−3=12(3n+1−3)>363，即3n+1>729，∴n +1>6，解得n >5． ∴n 的最小值为6．故选C ．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）28. 设定义域为R 的函数f (x )满足f′(x )>f (x )，则不等式e x−1f (x )<f (2x −1)的解集为__________．【答案】(1,+∞) 【解析】解：设F(x)=f(x)e x，则F ′(x)=f ′(x)−f(x)e x，∵f ′(x)>f(x)，∴F ′(x)>0，即函数F(x)在定义域R 上单调递增， ∵e x−1f(x)<f(2x −1)， ∴f(x)e x<f(2x−1)e 2x−1，即F(x)<F(2x −1)，∴x <2x −1，即x >1，∴不等式e x−1f(x)<f(2x −1)的解集为(1,+∞)，故答案为(1,+∞)．29. 若函数f(x)=xx 2+a (a >0)在[1,+∞)上的最大值为√33，则a 的值为________．【答案】√3−1【解析】解：f′(x)=x 2+a−2x2(x2+a)2=a−x2(x2+a)2，当x>√a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当−√a<x<√a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x=√a时，f(x)=√a2a =√33，√a=√32<1，不合题意．∴f(x)最大值=f(1)=11+a=√33，a=√3−1，经检验a=√3−1满足题意．故答案为√3−1．30.已知函数f(x)=a−x2(0<x<√a)在其图象上任意一点P(t,f(t))处的切线，与x轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，设△OMN(O是坐标原点)的面积为S(t)，当t=t0时，S(t)取得最小值，则√at0的值为．【答案】√3【解析】解：因为f(x)=a−x2(0<x<√a)，所以f′(x)=−2x，所以在点P处的切线的斜率为k=f′(t)=−2t，又f(t)=a−t2，所以在点P处切线方程为y−(a−t2)=−2t(x−t)，令x=0，得y N=a+t2，令y=0得x M=t2+a2t，所以是坐标原点)的面积为：S(t)=12(a+t2)·t2+a2t=14·t4+2at2+a2t=14(t3+2at+a2t)，所以S′(t)=14(3t2+2a−a2t2)=14·3t4+2at2−a2t2，由S′(t)=0，得t=√a3，当0<t<√a3时，S′(t)<0，函数S(t)单调递增，当t>√a3时，S′(t)<0，函数S(t)单调递增，所以当t=√a3时，S(t)取得最小值，此时t0=√a3，所以√a t 0=√a √a 3=√3．故答案为√3．31. 函数f(x)的定义域为R ，f(0)=2，对于任意的x ∈R ，f(x)+f’(x)>1，则不等式e x f(x)>e x +1的解集为__________．【答案】(0,+∞)【解析】解：构造函数g (x )=e x ·f (x )−e x ，则g ′(x )=e x ·f (x )+e x ·f ′(x )−e x=e x [f (x )+f ′(x )]−e x >e x −e x =0，∴g (x )=e x ·f (x )−e x 为R 上的增函数，∵g (0)=e 0·f (0)−e 0=1，∴不等式e x ·f(x)>e x +1转化为g (x )>g (0)，∴x >0．则解集为(0,+∞)．故答案为(0,+∞)．三、解答题（本大题共3小题，共30分）32. 已知函数f(x)=12x 2−(a +1)x +alnx +1．(Ⅰ)若x =3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由题意知函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x −(a +1)+a x， ∵x =3是f(x)的极值点，∴f′(3)=3−(a +1)+a 3=0，解得a =3，当a =3时，f′(x)=(x−1)(x−3)x ，当x 变化时，故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增；(Ⅱ)要使得f(x)≥1恒成立，即当x>0时，12x2−(a+1)x+alnx≥0恒成立，设g(x)=12x2−(a+1)x+alnx，则g′(x)=x−(a+1)+ax=(x−1)(x−a)x，(ⅰ)当a≤0时，由g′(x)<0得单减区间为(0,1)，由g′(x)>0得单增区间为(1,+∞)，故g(x)min=g(1)=−a−12≥0，得a≤−12；(ii)当0<a<1时，由g′(x)<0得单减区间为(a,1)，由g′(x)>0得单增区间为(0,a)，(1,+∞)，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意；(iii)当a=1时，g(x)在(0,+∞)上单调递增，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意；(iv)当a>1时，由g′(x)<0得单减区间为(1,a)，由g′(x)>0得单增区间为(0,1)，(a,+∞)，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意．综上所述，a的取值范围为(−∞,−12]．33.已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=e x−1−1．(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≤g(x)+a在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)定义域是(0,+∞)，f′(x)=a+1x =ax+1x，当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)单调递增，无减区间；当a<0时，函数f(x)在(0,−1a )单调递增，在(−1a,+∞)单调递减，(2)由已知e x−1−lnx−ax−1+a≥0在x≥1恒成立，令F(x)=e x−1−lnx−ax−1+a，x≥1，则F′(x)=e x−1−1x−a，易得F′(x)在[1,+∞)递增，∴F′(x)≥F′(1)=−a，①当a≤0时，F′(x)≥0，F(x)在[1,+∞)递增，所以F(x)≥F(1)=0成立，符合题意．②当a>0时，F′(1)=−a<0，且当x=ln(a+1)+1时，F′(x)=a+1−1x−a=1−1x>0，∴∃x0∈(1,+∞)，使F′(x0)=0，即∃x∈(1,x0)时F′(x)<0，F(x)在(1,x0)递减，F(x)<F(1)=0，不符合题意．综上得a≤0．34.已知函数f(x)=ax +lnx，g(x)=12bx2−2x+2，a,b∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)记函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，当a=0时，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．【答案】解：的定义域是(0,+∞)，且 f′(x)=−ax2+1x=x−ax2；①若a⩽0，则f′(x)>0，f(x)的单调增区间是(0,+∞)，②若a>0，令f′(x)=0，得x=a，当0<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0，∴f(x)的单调减区间是(0,a)，单调增区间是(a,+∞)；综上，当a⩽0时，f(x)的单调增区间是(0,+∞)，无单调减区间；当a>0时，f(x)的单调减区间是(0,a)，单调增区间是(a,+∞)；(2)a=0时，，∴ℎ′(x)=bx−2+1x =bx2−2x+1x ，∵ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，则ℎ′(x)=0在(0,1)上有唯一实数解，且两侧异号，由ℎ′(x)=0，得bx2−2x+1=0；令p(x)=bx2−2x+1，则p(x)在(0,1)上有且只有一个零点，易知p(0)=1>0，①当b =0，由p(x)=0，得x =12，满足题意;②当b >0时，由{Δ=4−4b >0p (1)=b −1<0，解得00p (1)=b −1<0，得b <1，故b <0；综上所述，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点时，b <1．故实数b 的取值范围为(−∞,1)．。

高中数学利用导数研究函数的单调性精选练习题

利用导数研究函数的单调性精选题24道一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k -C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >--7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是．11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为．13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是．14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f--（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是．15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为．17．函数212yxln x=-的单调递减区间为．18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为．19．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x e f x f x -<-的解为．三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．22．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．利用导数研究函数的单调性精选题24道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞【分析】由已知当0x >时总有()()0x f x f x '-<成立，可判断函数()()f xg x x=为减函数，由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，可证明()g x 为(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，根据函数()g x 在(0,)+∞上的单调性和奇偶性，模拟()g x 的图象，而不等式()0f x >等价于()0x g x ⋅>，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设()()f x g x x =，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．故选：A ．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-【分析】求出()f x 的导数，由题意可得()0f x '…恒成立，设c o s (11)t x t=-剟，即有25430ta t -+…，对t 讨论，分0t=，01t <…，10t -<…，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+的导数为2()1c o s 2c o s 3f x x a x'=-+，由题意可得()0f x '…恒成立，即为21c o s 2c o s 03x a x -+…，即有254c o s c o s 033x a x -+…，设co s (11)t x t =-剟，即有25430ta t -+…，当0t =时，不等式显然成立；当01t <…时，534a t t-…，由54tt-在(0，1]递增，可得1t =时，取得最大值1-，可得31a -…，即13a -…；当10t -<…时，534a t t-…，由54tt-在[1-，0)递增，可得1t=-时，取得最小值1，可得31a …，即13a …．综上可得a 的范围是1[3-，1]3．另解：设co s (11)tx t =-剟，即有25430ta t -+…，由题意可得5430a -+…，且5430a --…，解得a 的范围是1[3-，1]3．故选：C ．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：(0)0f d =>，排除D ，当x→+∞时，y →+∞，0a ∴>，排除C ，函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则()0f x '=有两个不同的正实根，则12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a>，b ∴<，0c>，方法22:()32f x a x b x c'=++，由图象知当当1x x <时函数递增，当12x x x <<时函数递减，则()f x '对应的图象开口向上，则0a>，且12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a >，b ∴<，0c>，方法3:(0)0f d =>，排除D ，函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则(0)0f c '=>，排除B ，C ，故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及(0)f 的符号是解决本题的关键．4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<，()(0)0f x f >=，且()0f x '>，()()g x xf x ∴=，则()()()0g x f x xf x '=+'>，()g x ∴在(0,)+∞单调递增，且()()g x x f x =偶函数，22(lo g 5.1)(lo g 5.1)a g g ∴=-=，则22lo g 5.13<<，0.8122<<，由()g x 在(0,)+∞单调递增，则0.82(2)(lo g 5.1)g g g<<（3），b a c∴<<，故选：C ．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题． 5．若函数21()f x xa x x=++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是()A ．[1-，0]B ．[1-，)+∞C ．[0，3]D ．[3，)+∞【分析】由函数21()f x xa x x=++在1(2，)+∞上是增函数，可得21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，进而可转化为212a xx-…在1(2，)+∞上恒成立，构造函数求出212xx-在1(2，)+∞上的最值，可得a 的取值范围．【解答】解：21()f x x a x x=++在1(2，)+∞上是增函数，故21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，即212a x x-…在1(2，)+∞上恒成立，令21()2h x x x=-，则32()2h x x'=--，当1(2x ∈，)+∞时，()0h x '<，则()h x 为减函数．1()()32h x h ∴<=3a ∴…．故选：D ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．6．若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k- C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >-- 【分析】根据导数的概念得出()(0)1f x f k x->>，用11x k =-代入可判断出11()11f k k >--，即可判断答案．【解答】解；()(0)(0)limx f x f f x →-'=-()1f x k '>>， ∴()(0)1f x f k x ->>，即()11f x k x+>>，当11xk =-时，11()1111k f k k k k +>⨯=---，即11()1111k f k k k >-=---故11()11f k k >--，所以11()11f k k <--，一定出错，另解：设()()1g x f x kx =-+，(0)0g =，且()()0g x f x k '='->，()g x 在R 上递增，1k >，对选项一一判断，可得C错．故选：C ．【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题． 7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．【分析】先化简2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B ，D ．再根据导函数的导函数小于0的x 的范围，确定导函数在(3π-，)3π上单调递减，从而排除C ，即可得出正确答案．【解答】解：由2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，1()s in 2f x x x ∴'=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ．又1()c o s 2f x x''=-，当33x ππ-<<时，1c o s 2x>，()0f x ∴''<，故函数()yf x ='在区间(3π-，)3π上单调递减，故排除C ．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是 [1-，1]2．【分析】求出()f x 的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得()f x 在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得()f x 为奇函数，原不等式即为221a a-…，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数31()2xxf x x x ee=-+-的导数为： 211()3220xxxxf x x e ee'=-++-+=…，可得()f x 在R 上递增；又331()()()220xxxxf x f x x x e ex x ee--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则2(1)(2)0f a f a -+…，即有2(2)(1)f a f a --… 由((1))(1)f a f a --=--，2(2)(1)f a f a -…，即有221a a -…，解得112a-剟，故答案为：[1-，1]2．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为(1,)-+∞ ．【分析】构建函数()()(24)F x f x x =-+，由(1)2f -=得出(1)F -的值，求出()F x 的导函数，根据()2f x '>，得到()F x 在R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到()F x 大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设()()(24)F x f x x =-+，则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=，又对任意x R∈，()2f x '>，所以()()20F x f x '='->，即()F x 在R 上单调递增，则()0F x >的解集为(1,)-+∞，即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞．故答案为：(1,)-+∞【点评】本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1) ．【分析】构造函数()()f x g x x=，利用()g x 的导数判断函数()g x 的单调性与奇偶性，画出函数()g x 的大致图象，结合图形求出不等式()0f x >的解集．【解答】解：设()()f xg x x=，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．()0f x ∴>成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1)．故答案为：(-∞，1)(0-⋃，1)．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目． 11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是 12a …．【分析】首先分析3()f x x x=-，其单调区间．然后根据无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调，判断()(21)34f x a x a =-+-的单调性，求出a 的取值范围即可．【解答】解：对于函数3()f x x x=-，2()31f x x '=-x t>当2310x ->时，即3x>或3x<-此时3()f x x x=-，为增函数当2310x -<时，33x -<<x t>，3()f x x x∴=-，一定存在单调递增区间要使无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调()(21)34f x a x a ∴=-+-不能为增函数210a ∴-…∴12a …故答案为：12a …．【点评】本题考查函数单调性的判定与应用，3次函数与1次函数的单调性的判断，属于中档题． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞ ．【分析】构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，依题意可知它是偶函数且在(0,)+∞上单调递增，于是2()f x x>等价转化为()g x g>（1），即(||)(|1|)||1g x g x >⇒>，从而可得答案．【解答】解：令2()()(0)f xg x x x=≠，则243()2()()2()()x f x x f x x f x f x g x xx'-'-'==，因为足()2()0x f x f x '->，所以，当0x>时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增．又()f x 是偶函数，故2()()(0)f xg x x x=≠也是偶函数，而f（1）1=，故g （1）2(1)1f f==（1）1=，因此，2()f x x>⇔2()1f x x>，即()g x g >（1），即(||)(|1|)g x g >所以，||1x >，解得：1x >或1x<-．则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，故答案为：(-∞，1)(1-⋃，)+∞．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，并判断它为偶函数且在(0,)+∞上单调递增是关键，考查等价转化思想与逻辑思维能力及运算能力，属于中档题． 13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是(2,)+∞ ．【分析】先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可．【解答】解：()(2)xf x x e'=-，令()0f x '>，解得：2x >，()f x ∴在(2,)+∞递增，故答案为：(2,)+∞．【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题． 14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f --（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是(-∞，1] ．【分析】令21()()2g x f x x=-，由()()g x g x -+=，可得函数()g x 为奇函数．利用导数可得函数()g x 在R 上是增函数，(2)f a f--（a ）22a-…，即(2)g a g-…（a ），可得2a a-…，由此解得a 的范围．【解答】解：令21()()2g x f x x=-，2211()()()()022g x g x f x xf x x-+=--+-=，∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='->，故函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，故函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数，由(0)0f =，可得()g x 在R 上是增函数． (2)f a f--（a ）22a-…，等价于2(2)(2)2a f a f---…（a ）22a-，即(2)g a g-…（a ），2a a∴-…，解得1a …，故答案为：(-∞，1]．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为3 ．【分析】由题意得2()f x a x b x c'=++在R 上恒大于或等于0，得0a>，△240ba c =-…，将此代入a b c b a++-，将式子进行放缩，以b a为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决．【解答】解：由题意2()0f x a x b x c '=++…在R 上恒成立，则0a>，△240ba c =-…．∴222222111()441b b a a b ba b c aa b a c aa b b aa b aa b aa++++++++==----…令(1)b tt a=>，222111(2)1(13)194(16)31414141t ta b c t t t b at t t t +++++-+===-++-----厖．（当且仅当4t =，即4bc a==时取“=” )故答案为：3【点评】本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为[1，)+∞ ．【分析】函数21()22f x m xl nx x =+-在定义域(0)x >内是增函数⇔2121()20f x m x mxx x'=+-⇔-厖对于任意0x>．⇔221()m a xm xx-…．利用导数即可得出．【解答】解：函数21()22f x m x l n xx =+-在定义域(0)x >内是增函数，∴1()20f x m x x'=+-…，化为221m xx-…．令221()g x xx=-，233222(1)()x g x xxx-'=-+=-，解()g x '>，得01x <<；解()0g x '<，得1x >．因此当1x =时，()g x 取得最大值，g （1）1=．1m ∴…．故答案为[1，)+∞．【点评】正确把问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键． 17．函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1] ．【分析】根据题意，先求函数212yxln x=-的定义域，进而求得其导数，即211xy x x x-'=-=，令其导数小于等于0，可得210x x -…，结合函数的定义域，解可得答案．【解答】解：对于函数212yxln x=-，易得其定义域为{|0}x x>，211x y x xx-'=-=，令210x x-…，又由0x>，则221010x x x-⇔-剟，且0x>；解可得01x <…，即函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1]，故答案为(0，1]【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域． 18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为2[1,]3- ．【分析】对函数进行求导即可求出单调区间．【解答】解：31()242f x x x x =+-+2()32(32)(1)f x x x x x ∴'=+-=-+令2()0,13f x x '-剟?．∴函数的单调减区间为2[1,]3-．【点评】此题较为容易，考查了导数与函数的单调性问题，注意区间端点的取值就可以了． 19．设定义域为R的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x ef x f x -<-的解为(1,)+∞ ．【分析】令()()xf xg x e=，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．【解答】解：令()()xf xg x e=，则()()()xf x f xg x e'-'=>，故()g x 在R 递增，不等式1()(21)x e f x f x -<-，即21()(21)xx f x f x ee--<，故()(21)g x g x <-，故21xx <-，解得：1x >，故答案为：(1,)+∞【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，函数的导数22211()1a xa x f x xxx-+'=--+=-，设2()1g x x a x =-+，当0a …时，()0g x >恒成立，即()0f x '<恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，当0a>时，判别式△24a =-，①当02a <…时，△0…，即()0g x …，即()0f x '…恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数， ②当2a>时，x ，()f x '，()f x 的变化如下表：综上当2a …时，()f x 在(0,)+∞上是减函数，当2a>时，在(02和2，)+∞上是减函数，则22上是增函数．（2）由（1）知2a>，不妨设12x x <，则121x x <<<，121x x =，则1221122112121()()()(1)()2()()f x f x x x a ln x ln x x x a ln x ln x x x -=-++-=-+-，则12121212()()()2f x f x a ln x ln x x x x x --=-+--，则问题转为证明12121ln x ln x x x -<-即可，即证明1212ln x ln x x x ->-，则111111ln x lnx x x ->-，即11111ln x ln x x x +>-，即证11112ln x x x >-在(0,1)上恒成立，设1()2h x ln x x x=-+，(01)x <<，其中h （1）0=，求导得222222121(1)()10x x x h x xxxx-+-'=--=-=-<，则()h x 在(0,1)上单调递减，()h x h∴>（1），即120ln xx x-+>，故12ln x x x>-，则1212()()2f x f x a x x -<--成立．（2）另解：注意到11()()f x a ln x f x x x=--=-，即1()()0f x f x +=，不妨设12x x <，由韦达定理得121x x =，122x x a +=>，得121x x <<<，121x x =，可得221()()0f x f x +=，即12()()0f x f x +=，要证1212()()2f x f x a x x -<--，只要证2212()()2f x f x a x x --<--，即证22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >，构造函数()2a h x a ln x a x x=-+，(1)x >，22(1)()a x h x x--'=…，()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，()h x h∴<（1）0=，20a a ln x a x x∴-+<成立，即22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >成立．即1212()()2f x f x a x x -<--成立．【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）化简()(1)(1)xf x x x e=-+．()1f x a x +…，下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)xg x e x '=->>，推出结论；③当0a …时，推出结果，然后得到a 的取值范围．法二：0x …时，2()(1)10xg x e x a x =-++…恒成立，推出()g x '，求解[()]g x ''，当(0)10g a '=-…时，判断函数的单调性，判断满足题意，当(0)10g a '=-<时，推出()(0)0g m g <=，不合题意，得到结果．【解答】解：（1）因为2()(1)xf x x e=-，x R∈，所以2()(12)xf x x x e'=--，令()0f x '=可知1x=-±当1x<--1x>-+()0f x '<，当11x --<<-+时()0f x '>，所以()f x在(,1-∞--，(1-+)+∞上单调递减，在(1--，1-+上单调递增；（2）由题可知()(1)(1)xf x x x e=-+．下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，设函数()(1)xh x x e=-，则()0(0)xh x x e x '=-<>，因此()h x 在[0，)+∞上单调递减，又因为(0)1h =，所以()1h x …，所以()(1)()11f x x h x x a x =+++剟；②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)x g x e x '=->>，所以()g x 在[0，)+∞上单调递增，又(0)1010g =--=，所以1x e x +…．因为当01x <<时2()(1)(1)f x x x >-+，所以22(1)(1)1(1)x x a x x a x x -+--=---，取0(0,1)2x =，则2000(1)(1)10x x a x -+--=，所以00()1f x a x >+，矛盾；③当0a …时，取0(0,1)2x =，则20000()(1)(1)11f x x x a x >-+=+…，矛盾；综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞．（2）法二：0x …时，2()(1)10x g x e x a x =-++…恒成立，2()(21)x g x e x x a'=+-+，2[()](41)0(0)xg x e x x x ''=++>…，()g x '在0x …时单调递增，当(0)10g a '=-…时，0x>时()0g x '>恒成立，()g x 单调递增，则0x …时，()(0)0g x g =…，符合题意，当(0)10g a '=-<时，(||)0g a '>，于是存在0m>使得()g m '=，当0x m<<时，()0g x '<，()g x 单调递减，有()(0)0g x g <=，不合题意，所以1a …．综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力． 22．已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出()f x 的导数，讨论当0a …时，2e a<-时，2e a=-时，02e a -<<，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由2()(2)(1)x f x x e a x =-+-，可得()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a '=-+-=-+，①当0a …时，由()0f x '>，可得1x>；由()0f x '<，可得1x<，即有()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增（如右上图）； ②当0a <时，（如右下图），由20xe a +=，可得(2)x ln a =-，由(2)1ln a -=，解得2e a=-，若2e a =-，则()0f x '…恒成立，即有()f x 在R 上递增；若2e a <-时，由()0f x '>，可得1x<或(2)x ln a >-；由()0f x '<，可得1(2)x ln a <<-．即有()f x 在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增；在(1，(2))ln a -递减；若02e a -<<，由()0f x '>，可得(2)xln a <-或1x>；由()0f x '<，可得(2)1ln a x -<<．即有()f x 在(-∞，(2))ln a -，(1,)+∞递增；在((2)ln a -，1)递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当0a>时，()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增，且f（1）0e =-<，x→+∞，()f x →+∞；当x→-∞时()0f x >或找到一个1x <使得()0f x >对于0a>恒成立，()f x 有两个零点；②当0a =时，()(2)xf x x e=-，所以()f x 只有一个零点2x=；③当0a <时，若2e a<-时，()f x 在(1，(2))ln a -递减，在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增，又当1x …时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点；当2e a -…时，在(-∞，(2))ln a -单调增，在(1,)+∞单调增，在((2)ln a -，1)单调减，只有((2))f ln a -等于0才有两个零点，而当1x …时，()0f x <，所以只有一个零点不符题意．综上可得，()f x 有两个零点时，a 的取值范围为(0,)+∞．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题． 24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．【分析】（1）通过对函数()1(0)f x x a ln x x =-->求导，分0a …、0a>两种情况考虑导函数()f x '与0的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知1ln x x -…，进而取特殊值可知11(1)22kkln +<，*k N∈．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知2111(1)(1)(1)222ne ++⋯+<，另一方面可知2111(1)(1)(1)2222n++⋯+>，从而当3n …时，2111(1)(1)(1)(2222n++⋯+∈，)e ，比较可得结论．【解答】解：（1）因为函数()1f x x a ln x=--，0x>，所以()1a x a f x x x-'=-=，且f（1）0=．所以当0a …时()0f x '>恒成立，此时()yf x =在(0,)+∞上单调递增，故当01x <<时，()f x f <（1）0=，这与()0f x …矛盾；当0a>时令()0f x '=，解得x a=，所以()y f x =在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，即()m in f x f=（a ），若1a≠，则f （a ）f<（1）0=，从而与()0f x …矛盾；所以1a =；（2）由（1）可知当1a =时()10f x x ln x =--…，即1ln x x -…，所以(1)ln xx +…当且仅当0x=时取等号，所以11(1)22kkln +<，*k N∈．221111111(1)(1)(1)112222222nnnln ln ln ++++⋯++<++⋯+=-<，即2111(1)(1)(1)222ne++⋯+<；因为m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<成立，当3n=时，23111135(1)(1)(1)222264+++=>，所以m 的最小值为3．【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．。

高三数学利用导数研究函数的单调性试题

高三数学利用导数研究函数的单调性试题1.（本小题满分13分）设函数（为常数，是自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【答案】（I）的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.【解析】（I）函数的定义域为，由可得，得到的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）分，，，时，讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.试题解析：（I）函数的定义域为，由可得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由（I）知，时，函数在内单调递减，故在内不存在极值点；当时，设函数，因为，当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点；当时，得时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以函数的最小值为，函数在内存在两个极值点；当且仅当，解得，综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.【考点】应用导数研究函数的单调性、极值，分类讨论思想，不等式组的解法.2.函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为________．【答案】(0，＋∞)【解析】函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调增区间是(0，＋∞)．3.已知函数函数在处取得极值1.（1）求实数b，c的值；（2）求在区间[-2，2]上的最大值．【答案】（1）（2）详见解析.【解析】（1）根据分段函数可知，时，，根据函数在处，取得极值1，可知,,求出与,并且回代函数，验证能够满足在处函数取得极值；（2）当时，函数,,求函数的极值点，与端点值，判定最大值，当时，,,设，显然大于0，所以只要讨论三种情况的正负，取得函数的单调性，闭区间内求最大值，再与的最大值比较大小.（1）由题意当时，，当时，，依题意得，经检验符合条件. 4分（2）由（1）知，当时，，，令得当变化时，的变化情况如下表：+—由上表可知在上的最大值为. 7分当时,.，令，当时，显然恒成立，当时，在单调递减，所以恒成立.此时函数在上的最大值为；当时，在上，当时, 在上所以在上，函数为单调递增函数.∴在最大值为，，故函数在上最大值为.综上：当时，在上的最大值为；当时, 在最大值为. 12分【考点】1.利用导数求函数的极值；2.利用导致求函数的最值.4.已知函数f(x)＝ax3＋(a－2)x＋c的图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)若g(x)＝－2ln x在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．【答案】（1）f(x)＝x3－x＋3（2）[1，＋∞)【解析】(1)∵f′(x)＝ax2＋a－2，由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f′(1)＝0.得即∴f(x)＝x3－x＋3.(2)∵g(x)＝－2ln x＝kx－－2ln x，∴g′(x)＝k＋－＝.∵函数y＝g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴若函数y＝g(x)在其定义域内为单调增函数，则函数g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx2＋k－2x≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．即k≥在区间(0，＋∞)上恒成立．令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，则h(x)＝＝≤1(当且仅当x＝1时取等号)．∴k≥1.∴实数k的取值范围是[1，＋∞)．5.已知函数其中a是实数．设，为该函数图象上的两点，且．（1）指出函数f(x)的单调区间;（2）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且，求的最小值;（3）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【答案】（1）[－1，0)，(0，+∞)（2）1（3）(－ln2－1，+∞)【解析】（1）函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，+∞)．（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有．当x<0时，对函数f(x)求导，得．因为，所以，所以．因此当且仅当，即且时等号成立．所以函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，的最小值为1．（3）当或时，，故．当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为，即．当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为，即．两切线重合的充要条件是由（1）式及知，．由（1）（2）式得，．设，则．所以是减函数．则．所以．又当且趋近于－1时，无限增大，所以a的取值范围是．故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是．6.已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x2－4x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．【答案】(1) f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)【解析】(1)f′(x)＝a＋＝ (x＞0)．①当a≥0时，由于x＞0，故ax＋1＞0，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－.在区间上，f′(x)＞0，在区间上，f′(x)＜0，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)由题意得f(x)max ＜g(x)max，而g(x)max＝2，由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－.故a的取值范围为.7.设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.【答案】(1) a>- (2) f(x)max = 【解析】(1)f(x)=-x 3+x 2+2ax,∴f'(x)=-x 2+x+2a,当x ∈[,+∞)时,f'(x)的最大值为f'()=+2a.函数f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,即导函数在(,+∞)上存在函数值大于零成立, ∴+2a>0a>-.(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f'(x)=-x 2+x+2a 的图象开口向下,且对称轴为x=, ∴f'(1)=-1+1+2a=2a>0, f'(4)=-16+4+2a=2a-12<0,则必有一点x 0∈[1,4]使得f'(x 0)=0,此时函数f(x)在[1,x 0]上单调递增,在[x 0,4]上单调递减, f(1)=-++2a=+2a>0,∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a, ∴-+8a=-,得a=1,此时,由f'(x 0)=-+x 0+2=0得x 0=2或-1(舍去), 所以函数f(x)max =f(2)=.8. 若函数f(x)＝x 3－x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．【答案】-4【解析】∵f(x)＝x 3－x 2＋ax ＋4，∴f′(x)＝x 2－3x ＋a.又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a ＝－1×4＝－4.9. 函数y ＝x 2－ln x 的单调减区间是 ( )． A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)【答案】B【解析】y ′＝x －，且x ＞0，令y ′＝x －≤0，解之得0＜x ≤1. ∴函数的单调减区间为(0,1]10. 没函数在(0，+)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数，取函数，恒有，则A ．K 的最大值为B ．K 的最小值为C ．K 的最大值为2D ．K 的最小值为2【答案】B 【解析】由，，得；当时，，当时，，即在时取到最大值，而恒成立，所以，故的最小值为，选B.【考点】应用导数研究函数的单调性及最值，不等式恒成立问题.11.设函数，若时，有极小值，（1）求实数的取值；（2）若数列中，，求证：数列的前项和；（3）设函数，若有极值且极值为，则与是否具有确定的大小关系？证明你的结论.【答案】(1)；（2）详见解析；（3）不具有.【解析】(1)对函数求导，再由极小值的定义，代入得到导数为0以及相应的函数值，从而得到；（2）由上问得到数列为递增的数列，所以，将代入即可得证；（3）先对函数求导，计算得极小值点.再通过作出比较大小，即构造函数.再计算该函数的极小值，又因为.从而的极值与不具有明确的大小关系.试题解析：（1） 1分3分4分（2）由条件和第（1）问可知，函数在上单调递增， 5分7分（3），由有极值且的定义域为可知：异号，极小值点为， 8分9分令，构造函数，由条件和第（1）问可知：时，有极小值而 11分所以可能大于0或可能等于0或可能小于0，即的极值与不具有明确的大小关系. 13分【考点】1.函数的求导法则；2.函数的单调性；3.极值；4.作差法比较大小.12.若函数有大于零的极值点，则的取值范围是_________.【答案】【解析】，令，∴，∴.【考点】函数的极值.13.已知定义在上的函数，其中为常数.（1）当是函数的一个极值点，求的值；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）当时，若，在处取得最大值，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3） .【解析】(1) 本小题首先由可得，因为是是函数的一个极值点，所以；(2) 本小题首先利用导数的公式和法则求得，根据函数在区间上是增函数，讨论参数的不同取值对单调性的影响；（3）本小题首先求得，然后求得导数，然后讨论单调性，求最值即可.试题解析：（1）由可得因为是是函数的一个极值点，所以（2）①当时，在区间上是增函数，所以符合题意②当时，，令当时，对任意的，，所以符合题意当时，时，，所以，即符合题意综上所述，实数的取值范围为（3）当时，所以令，即显然设方程的两个实根分别为，则不妨设当时，为极小值所以在上的最大值只能是或当时，由于在上是递减函数，所以最大值为所以在上的最大值只能是或由已知在处取得最大值，所以即，解得又因为，所以实数的取值范围为【考点】1.导数公式与法则；2.函数的单调性；3.等价转化.14.若函数在上的导函数为，且不等式恒成立，又常数，满足，则下列不等式一定成立的是 .①；②；③；④.【答案】①【解析】令，.，因为,所以，即在上是增函数.由得，即，所以.所以①成立，③不成立；再令，.所以，因为不能确定是否大于0，所以单调性不能确定，即不知道与的大小关系，所以②④不一定成立.因此本题填①.【考点】利用导数研究函数的单调性、导数的运算法则、利用函数单调性比较大小15.设函数，其中为常数。

高二数学利用导数研究函数的单调性试题

高二数学利用导数研究函数的单调性试题1.若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为()A．1B．C．D．【答案】B【解析】设P，点P到直线y＝x－2的距离==，设=（），所以==，当＜0时，＜0，当＞0时，＞0，则在（0,1）是减函数，在（1，+）上是增函数，则当=1时，取极小值也是最小值=2，此时=，故选B.考点:点到直线的距离公式，导数的综合运用2.直线与函数的图像有三个相异的交点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】得列表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ ) ++y画出大到图象可得：-2<a<2,故选A.【考点】函数的极值.3.已知函数有极大值和极小值，则的取值范围为()A．－12B．－36C．－1或2D．－3或6【答案】D【解析】,函数有极大值与极小值，则，即方程有两个不等的根，所以，解得或．【考点】函数的极值．4.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】显然x=1时，有|a|≥1，a≤-1或a≥1．令g（x）=ax3-lnx，g′(x)＝3ax2−＝=g（1）当a≤-1时，对任意x∈（0，1]，g′(x)＝＜0，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=a≤-1，此时g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值为0，不适合题意．当a≥1时，对任意x∈（0，1]，g′(x)＝＝0，∴x＝函数在（0，）上单调递减，在（,+∞）上单调递增∴|g（x）|的最小值为g()＝+ ，解得：a≥∴实数a 取值范围是[，+∞),故答案为.【考点】导数知识的运用，函数的单调性与最值，分类讨论的数学思想，函数恒成立问题.5.函数的单调减区间为___________.【答案】【解析】因为，解得，因此函数的单调减区间为.【考点】导数求单调区间6.设函数（1）试问函数能否在处取得极值，请说明理由;（2）若，当时，函数的图像有两个公共点，求的取值范围.【答案】（1）函数不能在处取得极值，理由详见试题解析;（2）的取值范围是.【解析】（1）先对函数求导，因为函数在实数上单调递增，故函数不可再处取得极值.（2）函数与的图像在有两个公共点，即方程在有两解，结合函数的单调性可求的取值范围.（1），当时，，而此时，函数在实数上单调递增，故函数不可再处取得极值.（2）当时，，函数与的图像在有两个公共点，即方程在有两解，方程可转化为，设，则，令，解得，所以函数在递增，在上递减.，所以要使得方程有两解需.【考点】导函数的综合应用、构造思想、转化与化归思想.7.已知若,使得成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】由题可知的最大值为，又，当时，减函数，当时，，为增函数，所以有最小值为.若,使得成立,只需.【考点】利用导数判断函数的单调性.8.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】，在区间内是增函数，在区间内恒成立，由，故【考点】导数与单调性，恒成立问题9.(本小题满分15分)若函数在时取得极值，且当时，恒成立.（1）求实数的值；（2）求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，是方程的一个根，设另一个根是，则，所有（2）所以，，令，解得+0-0+极大值又，所以，当时，。

高中数学利用导数研究函数的最值精选题

利用导数研究函数的最值精选题25道一．选择题（共9小题）1．已知f（x）＝ln（x2+1），g（x）＝（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣] 2．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1B．C．D．3．函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20B．18C．3D．04．已知函数f（x）＝lnx﹣x+﹣1，g（x）＝x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）5．已知函数f（x）＝e x﹣aln（ax﹣a）+a（a＞0），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）6．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）7．f（x）＝x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．48．直线x＝t（t＞0）与函数f（x）＝x2+1，g（x）＝lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1B．C．D．9．已知关于x的不等式﹣x﹣alnx≥1对于任意x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1﹣e]B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，2﹣e2]二．填空题（共13小题）10．已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．11．若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．12．f（x）＝x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是．13．设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣≥0恒成立，则λ的取值范围是14．已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值15．函数y＝x+2cos x在区间上的最大值是．16．函数在（0，e2]上的最大值是．17．设函数与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．18．已知函数f（x）＝xe x﹣mx，若f（x）≥lnx+x+1对x∈（0，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是．19．已知函数f（x）＝ae x+ln﹣2（a＞0），若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为．20．函数f（x）＝（x+1）e x的最小值是21．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx，对定义域内的任意x都有f（x）≥kx﹣2，则实数k的取值范围是．22．函数f（x）＝x2+x﹣2lnx的最小值．三．解答题（共3小题）23．已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．24．已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．25．已知f（x）＝a（x﹣lnx）+，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．利用导数研究函数的最值精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知f（x）＝ln（x2+1），g（x）＝（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围．【解答】解：因为x1∈[0，3]时，f（x1）∈[0，ln10]；x2∈[1，2]时，g（x2）∈[﹣m，﹣m]．故只需0≥﹣m⇒m≥．故选：A．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题．2．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1B．C．D．【分析】将两个函数作差，得到函数y＝f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx，求导数得＝当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选：D．【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．3．函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20B．18C．3D．0【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）＝x3﹣3x﹣1，∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max＝f（2）＝f（﹣1）＝1，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣19∴f（x）max﹣f（x）min＝20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．4．已知函数f（x）＝lnx﹣x+﹣1，g（x）＝x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【分析】利用导数研究函数f（x）的最值问题，根据题意对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可．【解答】解：∵函数f（x）＝lnx﹣x﹣1，（x＞0）∴f′（x）＝﹣+＝＝，若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；f（x）在x∈（0，2）上有极值，f（x）在x＝1处取极小值也是最小值f（x）min＝f（1）＝﹣+﹣1＝﹣；∵g（x）＝x2﹣2bx+4＝（x﹣b）2+4﹣b2，对称轴x＝b，x∈[1，2]，当b＜1时，g（x）在x＝1处取最小值g（x）min＝g（1）＝1﹣2b+4＝5﹣2b；当1＜b＜2时，g（x）在x＝b处取最小值g（x）min＝g（b）＝4﹣b2；当b＞2时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）min＝g（2）＝4﹣4b+4＝8﹣4b；∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，当b＜1时，≥5﹣2b，解得b≥，故b无解；当b＞2时，≥8﹣4b，解得b≥，综上：b≥，故选：A．【点评】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求闭区间上函数的最值，根据不等式恒成立转化为最值恒成立是解决本题的关键．综合性较强，运算较大，有一定的难度．5．已知函数f（x）＝e x﹣aln（ax﹣a）+a（a＞0），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）【分析】根据f（x）＞0恒成立可得e x﹣lna+x﹣lna＞e ln（x﹣1）+ln（x﹣1），构造函数g（x）＝e x+x，由g（x）的单调性可得x﹣lna＞ln（x﹣1），用放缩法求出ln（x﹣1）﹣x的最大值，从而得到a的取值范围．【解答】解：∵f（x）＝e x﹣aln（ax﹣a）+a＞0（a＞0）恒成立，∴，∴e x﹣lna+x﹣lna＞ln（x﹣1）+x﹣1，∴e x﹣lna+x﹣lna＞e ln（x﹣1）+ln（x﹣1）．令g（x）＝e x+x，易得g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴x﹣lna＞ln（x﹣1），∴﹣lna＞ln（x﹣1）﹣x．∵ln（x﹣1）﹣x≤x﹣2﹣x＝﹣2，∴﹣lna＞﹣2，∴0＜a＜e2，∴实数a的取值范围为（0，e2）．故选：B．【点评】本题考查了函数恒成立问题和放缩法的应用，考查了转化思想和计算能力，属难题．6．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）【分析】由题意，求导f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，在（﹣2，0）上是减函数，作其图象如右图，令x3+x2﹣＝﹣得，x＝0或x＝﹣3；则结合图象可知，；解得，a∈[﹣3，0）；故选：C．【点评】本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．7．f（x）＝x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．4【分析】由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．【解答】解：f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f'（x）＝0可得x＝0或2（2舍去），当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，∴当x＝0时，f（x）取得最大值为f（0）＝2．故选：C．【点评】此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值，解题的关键是求导要精确．8．直线x＝t（t＞0）与函数f（x）＝x2+1，g（x）＝lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1B．C．D．【分析】将两个函数作差，得到函数y＝f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx+1，求导数得y′＝2x﹣＝当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数所以当x＝时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为．故选：B．【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．9．已知关于x的不等式﹣x﹣alnx≥1对于任意x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1﹣e]B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，2﹣e2]【分析】分离参数，构造函数，对x﹣3e x＝e x﹣3lnx变形以及e x﹣1≥x，即可求得a的取值范围．【解答】解：由题意可知，分离参数，令，由题意可知，a≤f（x）min，由，又e x﹣1≥x，当x＝0时等号成立，所以≥＝﹣3，当x﹣3lnx＝0时等号成立，由，令，，易知h（x）在（0，e）上单增，在（e，+∞）单减，所以，所以方程有解．所以a≤﹣3，故选：B．【点评】本题考查利用导数的综合应用，考查分离参数方法的应用，考查e x﹣1≥x恒等式的应用，在选择及填空题可以直接应用，在解答题中，需要构造函数证明，然后再利用，考查转化思想，属于中档题．二．填空题（共13小题）10．已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【分析】由题意可得T＝2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x＝或cos x＝﹣1，可得此时x＝，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x＝，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（）＝，f（π）＝0，f（）＝﹣，f（0）＝0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．11．若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【分析】推导出f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）＝2x（3x ﹣a）＞0，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）＝2x（3x ﹣a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a＝3，从而f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）＝﹣+1＝0，解得a＝3，f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）＝﹣4，f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）min＝f（﹣1）＝﹣4，f（x）max＝f（0）＝1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min＝﹣4+1＝﹣3．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．12．f（x）＝x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是2．【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＝0得x＝0或x＝2（舍），当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以当x＝0时，函数取得极大值即最大值，所以f（x）的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题．13．设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣≥0恒成立，则λ的取值范围是[，+∞）【分析】法一：由题意可得（eλx﹣）min≥0，设f（x）＝eλx﹣，x＞0，求出导数和单调区间、极小值点m和最小值点，可令最小值为0，解方程可得m，λ，进而得到所求最小值；法二：由于y＝eλx与y＝互为反函数，故图象关于y＝x对称，采用极限思想求解．【解答】解：实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣≥0恒成立，即为（eλx﹣）min≥0，设f（x）＝eλx﹣，x＞0，f′（x）＝λeλx﹣，令f′（x）＝0，可得eλx＝，由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得y＝eλx和y＝有且只有一个交点，设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值．即有eλm＝，令eλm﹣＝0，可得m＝e，λ＝．则当λ≥时，不等式eλx﹣≥0恒成立．则λ的最小值为另解：由于y＝eλx与y＝互为反函数，故图象关于y＝x对称，考虑极限情况，y＝x恰为这两个函数的公切线，此时斜率k＝1，再用导数求得切线斜率的表达式为k＝，即可得λ的最小值为．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及运用导数求得单调区间、极值和最值，考查方程思想，以及运算能力，属于中档题．14．已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值e﹣1【分析】不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．求得，（x＞0），的最小值即可k 的取值．【解答】解：不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．令，（x＞0），，令g（x）＝e x（x﹣1）+lnx，（x＞0），则g′（x）＝xe x+＞0∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1∴k≤e﹣1．故答案为：e﹣1．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．15．函数y＝x+2cos x在区间上的最大值是．【分析】对函数y＝x+2cos x进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．【解答】解：∵y＝x+2cos x，∴y′＝1﹣2sin x令y′＝0而x∈则x＝，当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x＝时取极大值，也是最大值；故答案为【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．16．函数在（0，e2]上的最大值是．【分析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．【解答】解：函数，，令f′（x）＝0，解得x＝e．因为0＜e＜e2，函数f（x）在x∈（0，e]上单调递增，在x∈[e，e2]单调递减；x＝e时，f（x）取得最大值，f（e）＝．故答案为：．【点评】本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．17．设函数与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．【分析】设公共点坐标为（x0，y0），求出两个函数的导数，利用f'（x0）＝g'（x0），推出，然后构造函数，利用导函数单调性求解函数的最值即可．【解答】解：设公共点坐标为（x0，y0），则，所以有f'（x0）＝g'（x0），即，解出x0＝a（舍去），又y0＝f（x0）＝g（x0），所以有，故，所以有，对b求导有b'＝﹣2a（1+lna），故b关于a的函数在为增函数，在为减函数，所以当时b有最大值．故答案为：．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性、最值的求法，考查计算能力．18．已知函数f（x）＝xe x﹣mx，若f（x）≥lnx+x+1对x∈（0，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，0]．【分析】函数f（x）＝xe x﹣mx，若f（x）≥lnx+x+1对x∈（0，+∞）恒成立，等价于：m+1≤e x﹣，x∈（0，+∞）恒成立．令g（x）＝e x﹣，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出结论．另解：令g（x）＝e x﹣x﹣1，可得g（x）在R上的单调性，原命题等价于：xe x﹣（x+lnx）﹣1≥mx．即e x+lnx﹣（x+lnx）﹣1≥mx．令h（x）＝x+lnx，利用其单调性即可证明结论．【解答】解：函数f（x）＝xe x﹣mx，若f（x）≥lnx+x+1对x∈（0，+∞）恒成立，等价于：m+1≤e x﹣，x∈（0，+∞）恒成立．令g（x）＝e x﹣，x∈（0，+∞），则g′（x）＝e x+＝，令h（x）＝x2e x+lnx，则h′（x）＝（x2+2x）e x+＞0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，又h（）＝﹣1＜0，h（1）＝e＞0，∴存在唯一x0∈（，1），使得+lnx0＝0，化为：x0＝，两边取对数可得：x0+lnx0＝ln（﹣lnx0）+（﹣lnx0），令u（x）＝x+lnx，可得函数u（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，因此x0＝﹣lnx0，可得＝．∴函数g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min＝g（x0）＝﹣＝﹣＝1，∴m+1≤1，解得m≤0．故实数m的取值范围是（﹣∞，0]．另解：令g（x）＝e x﹣x﹣1，g′（x）＝e x﹣1，可得g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．∴g（x）＝e x﹣x﹣1≥g（0）＝0，即e x﹣x﹣1≥0．原命题等价于：xe x﹣（x+lnx）﹣1≥mx．即e x+lnx﹣（x+lnx）﹣1≥mx．令h（x）＝x+lnx，可得：h（x）在（0，+∞）上单调递增．h（）＝﹣1＜0，h（1）＝1＞0，∴存在唯一x0∈（，1），使得h（x0）＝0，∴≥0，因此m≤0．故答案为：（﹣∞，0]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、同构法、等价转化方法，注意对于函数零点存在又无法求出的问题的解决方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．已知函数f（x）＝ae x+ln﹣2（a＞0），若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（e，+∞）．【分析】求出e x+lna+x+lna＞e ln（x+2）+ln（x+2），得到lna＞ln（x+2）﹣x，令g（x）＝ln （x+2）﹣x，（x＞﹣2），根据函数的单调性求出g（x）的最大值，求出a的取值范围即可．【解答】解：f（x）＝ae x+ln﹣2（a＞0），函数f（x）的定义域是（﹣2，+∞），若f（x）＞0恒成立，则e x+lna+lna＞ln（x+2）+2，两边加上x得到：e x+lna+x+lna＞x+2+ln（x+2）＝e ln（x+2）+ln（x+2），∵y＝e x+x单调递增，∴x+lna＞ln（x+2），即lna＞ln（x+2）﹣x，令g（x）＝ln（x+2）﹣x，（x＞﹣2），则g′（x）＝﹣1＝，∵x∈（﹣2，﹣1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，故lna＞g（x）max＝g（﹣1）＝1，故a＞e，故答案为：（e，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．20．函数f（x）＝（x+1）e x的最小值是【分析】求出函数f（x）＝（x+1）e x的导数，进一步求出函数f（x）＝（x+1）e x的单调区间，得到函数f（x）＝（x+1）e x的最小值；【解答】解：由f（x）＝（x+1）e x，得f′（x）＝（x+2）e x；当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当x＞﹣2时，f′（x）＞0，所以函数f（x）＝（x+1）e x在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增；所以当x＝﹣2时，函数f（x）＝（x+1）e x有最小值；故答案为：．【点评】本题考查函数最值，考查利用函数导数分析函数单调性从而得到函数最值，属于基础题．21．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx，对定义域内的任意x都有f（x）≥kx﹣2，则实数k的取值范围是（﹣∞，1﹣]．【分析】先分离出k，得到k≤1+﹣在x＞0时恒成立，再处理g（x）＝1+，x＞0的最小值即可解决问题．【解答】解：∵f（x）＝x﹣1﹣lnx≥kx﹣2，∴kx≤x+1﹣lnx，x＞0，也即k≤1+﹣在x＞0时恒成立．令g（x）＝1+，x＞0，则g′（x）＝，x＞0，令g′（x）＝0⇒x＝e2．易知g（x）在x∈（0，e2）上单调递减，g（x）在x∈（e2，+∞）上单调递增，故g（x）min＝g（e2）＝1﹣，∴k．故填：（﹣∞，1﹣]．【点评】本题主要考查导数在处理最值问题中的简单应用，属于基础题．22．函数f（x）＝x2+x﹣2lnx的最小值．【分析】求出函数的导数，利用函数的单调性转化求解函数的最小值．【解答】解：因为，易知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以．故答案为：．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．三．解答题（共3小题）23．已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．【分析】（1）推导出x＞0，f′（x）＝ae x﹣，由x＝2是f（x）的极值点，解得a＝，从而f（x）＝e x﹣lnx﹣1，进而f′（x）＝，由此能求出f（x）的单调区间．（2）法一：当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）＝﹣lnx﹣1，x＞0，则﹣，由此利用导数性质能证明当a≥时，f（x）≥0．法二：f（x）≥0，即a≥，x＞0，令g（x）＝，x＞0，则，利用导数性质得g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，g（x）≤g（1）＝，由此能证明当a≥时，f（x）≥0．法三：当a时，f（x）≥，即只需证明，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可求解．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）＝ae x﹣，∵x＝2是f（x）的极值点，∴f′（2）＝ae2﹣＝0，解得a＝，∴f（x）＝e x﹣lnx﹣1，∴f′（x）＝，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间是（0，2），单调递增区间是（2，+∞）．（2）证法一：当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）＝﹣lnx﹣1，x＞0，则﹣，由﹣＝0，得x＝1，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴x＝1是g（x）的最小值点，故当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0，∴当a≥时，f（x）＝ae x﹣lnx﹣1≥0．证法二：∵函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1，∴f（x）≥0，即a≥，x＞0，令g（x）＝，x＞0，则，x＞0，∴g′（1）＝0，当0＜x＜1时，，﹣lnx＞0，g′（x）＞0，当x＞1时，，﹣lnx＜0，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，g（x）≤g（1）＝，∵a≥，∴a≥g（x）．∴当a≥时，f（x）≥0．证法三：当a时，f（x）≥，即只需证明，由于，则e x≥elnex⇔xe x≥exlnex⇔xe x≥e lnex lnex，令g（x）＝xe x，则g'（x）＝e x（x+1）＞0，即g（x）为增函数，又易证x≥lnex＝lnx+1，故g（x）≥g（lnex），即xe x≥e lnex lnex成立，故当时，f（x）≥0．【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．24．已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）＝f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）＝cos﹣＝﹣．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．25．已知f（x）＝a（x﹣lnx）+，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（Ⅱ）方法一、构造函数F（x）＝f（x）﹣f′（x），令g（x）＝x﹣lnx，h（x）＝．则F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立；方法二、不等式f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立，即x﹣lnx+﹣＞0，结合x﹣1≥lnx，利用放缩法可得x﹣lnx+﹣＞，然后说明不等式右侧的代数式恒大于等于0，则结论得证．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝a（x﹣lnx）+，得f′（x）＝a（1﹣）+＝＝（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a＝2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）方法一、解：∵a＝1，令F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝x﹣lnx﹣1＝x﹣lnx+．令g（x）＝x﹣lnx，h（x）＝．则F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）＝1，当且仅当x＝1时取等号；又，设φ（x）＝﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）＝1，φ（2）＝﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）＝1，h（2）＝，因此h（x）≥h（2）＝，当且仅当x＝2取等号，∴f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）＝，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．方法二、不等式f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立，即x﹣lnx+﹣＞0，令h（x）＝x﹣lnx﹣1，得h′（x）＝1﹣＝，可得当x∈[1，2]时，h′（x）≥0，h（x）单调递增，h（x）≥0，即x﹣1≥lnx，于是，x﹣lnx+﹣≥＝．当且仅当x＝1时上式等号成立．又x∈[1，2]时，3x2﹣2＞0，2﹣x≥0，2x3＞0，∴x﹣lnx+﹣＝≥0．等号当且仅当x＝2时取得，故两个等号不能同时取到，∴x﹣lnx+﹣＞0，即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题。

51 导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例-艺考生文化课百日冲刺

（五十一）导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例1．函数x x x y cos sin +=在下面哪个区间内是增函数)23,2.(ππA )2,.(ππB )25,23.(ππC )3,2.(ππD 2．已知函数m m x x x f (62)23+-=（为常数）在[ -2，2]上有最大值3，那么此函数在[ -2，2]上的最小值是37.-A 29.-B 5.-C D ．以上都不对x x x x f 33)(323+-=⋅的极值点的个数是A ．OB ．1C ．2D ．34．已知对任意实数x ，都有=--=-)(),()(x g x f x f ),(x g 且0>x 时，,0)(,0)(>>x g x f 则0<x 时0)(,0)(>>⋅x g x f A 0)(,0)(<>⋅x g x f B 0)(,0)(><⋅x g x f C 0)(,0)(<<⋅x g x f D5．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 )2,1.(-A ),6()3,.(+∞--∞ B )6,3.(-C ),2()1,(∞+--∞⋅ D 6．设,R a ∈若函数R x ax e y x∈+=,有大于零的极值点，则 1.-<a A 1.->a B e a C .1.-> e a D 1.-< 7．函数13)(23+-=x x x f 在x=____处取得极小值．8．已知函数,)(23c bx ax x x f +++=曲线)(x f y =在点x=1处的切线f 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线L 的距离为,1010若);(,32x f y x ==时有极值 (1)求a ，b ，c 的值； (2)求)(x f y =在[ -3，1]上的最大值和最小值．9．已知函数.ln )(x x x f =(1)求)(x f 的最小值；(2)若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围．10．某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交)31(≤≤a a 元的管理费，预计当每件商品的售价为)98(≤≤x x 元时，一年的销售量为2)10(x -万件．(1)求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式L(x)（销售一件商品获得的利润));4(+-=a x l(2)当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L 最大，并求出L 的最大值M(a)．11.已知函数,1ln )(xb x x a x f ++=曲线)(x f y =在点(1，))1(f 处的切线方程为.032=-+y x (1)求a ，b 的值； (2)证明：当,0>x 且1=/x 时，1ln )(->x x x f12.设函数.42)(,31)(223c x x x g ax ax x x f ++=--= (1)试问函数f(x)能否在x= -1处取得极值？说明理由；’(2)若,1-=a 当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点，求c 的取值范围．。

高中数学选修1-1同步练习题库：导数在研究函数中的应用(简答题：困难)

导数在研究函数中的应用（简答题：困难）1、已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．2、已知函数.（1）若函数与在处有相同的切线，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围.（3）若，恒有成立，求实数的最大值.3、已知函数(,是自然对数的底数).（1）若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围；（2）求函数的极值；（3）设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．4、已知函数为常数），曲线在与轴的交点处的切线斜率为. （1）求的值及函数的单调区间；（2）若，且，试证明：.5、已知,.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）设正实数，满足，当时，求证：对任意的两个正实数，总有.6、设函数 .(1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.7、已知，函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证：8、已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）. （1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值.9、已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）. （1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极小值，求实数的取值范围.10、已知函数在处取得极小值.（1）求实数的值；（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由.11、设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证.（参考知识：若，则有）12、设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；（3）令，，证明：.13、已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.14、已知函数.（1）求的单调区间；（2）设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有；（3）若方程为实数）有两个正实数根且,求证:.15、己知函数，．（I）求函数上零点的个数；（II）设，若函数在上是增函数．求实数的取值范围．16、（本小题满分16分）已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．（Ⅰ）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；（Ⅱ）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12ln x恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．17、已知函数，．（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明：．18、已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.19、已知函数.（1）当时，求函数的最值；（2）当时，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设函数，数列满足，，求证：，.20、已知函数，．（1）分别求函数与在区间上的极值；（2）求证：对任意，．21、已知函数（常数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线与直线相切，证明：.22、已知函数（，为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若，函数在上为增函数，求实数的取值范围.23、设函数.（1）若，证明：在上存在唯一零点；（2）设函数，（表示中的较小值），若，求的取值范围.24、知函数f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．（1）判断函数 f （x）的单调性；（2）若函数 f （x）有两个极值点x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜﹣3．25、已知函数（其中）．（1）求在处的切线方程；（2）已知函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．26、设函数，=.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数有两个零点.(1)求满足条件的最小正整数的值；(2)求证：.27、已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：对任意的，有.28、设函数，其中是自然对数的底数.(1)若在上为单调函数，求实数的取值范围；(2)若，求证：有唯一零点的充要条件是.29、设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．（1）求常数的值；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：对于任意的正整数，不等式恒成立.30、已知函数．（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．31、设函数，(1)当时，求函数的单调区间；(2)当，时，求证：.32、已知函数（）.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；（Ⅱ）若函数有两个极值点，求的取值范围；（Ⅲ）证明：当时，.33、已知函数，.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，函数的两个极值点为，，且.求证：.34、已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.35、已知数列满足：证明：当时（I）;（II）；(III)36、已知函数.（1）求函数的极值点；（2）设，若函数在内有两个极值点，求证：.37、已知函数．（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；（2）求证：．38、已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．39、已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。

高中数学利用导数研究函数的极值精选题

利用导数研究函数的极值精选题27道一．选择题（共8小题） 1．设函数()(21)xf x e x a x a=--+，其中1a<，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是( )A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24e D ．3[,1)2e2．若2x=-是函数21()(1)x f x x a x e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为()A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．13．已知a 为函数3()12f x x x=-的极小值点，则(a =)A ．4-B ．2-C ．4D ．24．已知a 为常数，函数()()f x x ln x a x =-有两个极值点1x ，212()(x x x <)A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-5．已知函数()()f x x ln x a x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞6．设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x=-处取得极小值，则函数()y x f x ='的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．设函数32()2f x x e x m x ln x=-+-，记()()f xg x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(-∞，21]e e+B ．(0，21]e e+C ．21(e e+，)+∞D ．21(e e--，21]e e+8．已知函数322()f x x a x b x a=+++在1x=处有极值10，则f（2）等于()A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18二．填空题（共14小题） 9．若函数2()1xaf x x +=+在1x=处取极值，则a=．10．若函数32()4f x x x a x =+--在区间(1,1)-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为．11．已知函数21()2f x x ln x x=+，0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题：①010x e<<；②01x e>；③00()0f x x +<；④00()0f x x +>；其中正确的命题是．（填出所有正确命题的序号） 12．已知32()31f x a x x =+-存在唯一的零点0x ，且0x <，则实数a 的取值范围是．13．直线ya=与函数3()3f x x x=-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是．14．已知函数32()3(0)f x x a x a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是． 15．若函数21()2f x xx a ln x=-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是． 16．设函数()xf x x e=，则()f x 的极值为；17．已知1x ，2x 是函数2()2f x x m ln x x=+-，mR∈的两个极值点，若12x x <，则12()f x x 的取值范围为． 18．2()()f x x x c =-在2x=处有极大值，则常数c 的值为．19．已知函数213,10()132,01x g x x x x x ⎧--<⎪=+⎨⎪-+<⎩……，若方程()0g x m x m --=有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是． 20．已知函数()2xf x e ln x =--，下列说法正确的是．①()f x 有且仅有一个极值点； ②()f x 有零点；③若()f x 极小值点为0x ，则010()2f x <<； ④若()f x 极小值点为0x ，则01()12f x <<．21．已知函数2()xf x a e x=-有两个极值点，则实数a 的取值范围是．22．已知函数211,0,2(),0xe x x x ef x ln x x x⎧--+⎪⎪=⎨⎪>⋅⎪⎩…若方程()0f x m -=恰有两个实根，则实数m 的取值范围是．三．解答题（共5小题） 23．已知函数2()f x a x a x x ln x=--，且()0f x …．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．24．已知函数2()x f x e a x=-．（1）若1a =，证明：当0x …时，()1f x …；（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．25．已知函数21()xa xx f x e+-=．（1）求曲线()yf x =在点(0,1)-处的切线方程；（2）证明：当1a …时，()0f x e +…．26．已知函数2()(2)(1)2f x x a x ln x x=+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x>时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．27．设函数2()(1)()f x ln x a x x =++-，其中a R∈，（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0x∀>，()0f x …成立，求a 的取值范围．利用导数研究函数的极值精选题27道参考答案与试题解析一．选择题（共8小题） 1．设函数()(21)xf x e x a x a=--+，其中1a<，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是( )A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24e D ．3[,1)2e【分析】设()(21)xg x e x =-，ya x a=-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y a x a=-的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1a g ->=-且1(1)3g e a a--=---…，解关于a 的不等式组可得．【解答】解：设()(21)xg x e x =-，ya x a=-，由题意知存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线ya x a=-的下方，()(21)2(21)xxxg x e x ee x '=-+=+，∴当12x <-时，()0g x '<，当12x>-时，()0g x '>，∴当12x=-时，()g x 取最小值122e--，当0x=时，(0)1g =-，当1x=时，g （1）0e =>，直线y a x a=-恒过定点(1,0)且斜率为a ，故(0)1ag ->=-且1(1)3g e a a--=---…，解得312a e<…故选：D ．【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．2．若2x=-是函数21()(1)x f x x a x e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为()A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a ，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．【解答】解：函数21()(1)x f x x a x e-=+-，可得121()(2)(1)x x f x x a ex a x e--'=+++-，2x =-是函数21()(1)x f x x a x e-=+-的极值点，可得：33(2)(4)(421)0f a ea e --'-=-++--=，即4(32)0a a -++-=．解得1a =-．可得121()(21)(1)x x f x x e x x e--'=-+--，21(2)x x x e-=+-，函数的极值点为：2x =-，1x=，当2x<-或1x>时，()0f x '>函数是增函数，(2,1)x ∈-时，函数是减函数， 1x =时，函数取得极小值：f（1）211(111)1e-=--=-．故选：A ．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力． 3．已知a 为函数3()12f x x x=-的极小值点，则(a=)A ．4-B ．2-C ．4D ．2【分析】可求导数得到2()312f x x '=-，可通过判断导数符号从而得出()f x 的极小值点，从而得出a 的值．【解答】解：2()312f x x '=-；2x ∴<-时，()0f x '>，22x -<<时，()0f x '<，2x>时，()0f x '>；2x ∴=是()f x 的极小值点；又a 为()f x 的极小值点；2a ∴=．故选：D ．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象． 4．已知a 为常数，函数()()f x x ln x a x =-有两个极值点1x ，212()(x x x <)A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-【分析】先求出()f x '，令()0f x '=，由题意可得21ln xa x =-有两个解1x ，2x ⇔函数()12g x l n x a x =+-有且只有两个零点()g x ⇔'在(0,)+∞上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．【解答】解：()12f x ln x a x'=+-，(0)x>令()0f x '=，由题意可得21ln xa x =-有两个解1x ，2x ⇔函数()12g x ln x a x =+-有且只有两个零点()g x ⇔'在(0,)+∞上的唯一的极值不等于0．112()2a xg x a xx-'=-=． ①当0a …时，()g x '>，()f x '单调递增，因此()()g x f x ='至多有一个零点，不符合题意，应舍去． ②当0a>时，令()g x '=，解得12xa=，1(0,)2x a∈，()g x '>，函数()g x 单调递增；1(,)2x a∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减．12x a∴=是函数()g x 的极大值点，则1()02g a>，即111(2)02lnln a a+-=->，(2)0ln a ∴<，021a ∴<<，即102a <<．故当102a <<时，()g x =有两个根1x ，2x ，且1212x x a<<，又g （1）120a =->，12112x x a∴<<<，从而可知函数()f x 在区间1(0,)x 上递减，在区间1(x ，2)x 上递增，在区间2(x ，)+∞上递减．1()f x f∴<（1）0a =-<，2()f x f>（1）12a =->-．故选：D ．【点评】本题考查了利用导数研究函数极值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．5．已知函数()()f x x ln x a x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C ．(0,1)D ．(0,)+∞【分析】先求导函数，函数()()f x x ln x a x =-有两个极值点，等价于()21f x ln x a x '=-+有两个零点，等价于函数yln x=与21y a x =-的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a 的取值范围．【解答】解：函数()()f x x ln x a x =-，则1()()21f x ln x a x x a ln x a x x'=-+-=-+，令()210f x ln x a x '=-+=得21ln xa x =-，函数()()f x x ln x a x =-有两个极值点，等价于()21f x ln x a x '=-+有两个零点，等价于函数y ln x=与21y a x =-的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当12a=时，直线21y a x =-与y ln x =的图象相切，由图可知，当102a <<时，y ln x=与21y a x =-的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是1(0,)2．另解：函数()()f x x ln x a x =-，则1()()21f x ln x a x x a ln x a x x'=-+-=-+，令()210f x ln x a x '=-+=得21ln xa x =-，可得12ln xa x +=有两个不同的解，设1()ln xg x x+=，则2()ln x g x x-'=，当1x>时，()g x 递减，01x <<时，()g x 递增，可得g （1）取得极大值1，作出()y g x =的图象，可得021a <<，即102a <<，故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷． 6．设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x=-处取得极小值，则函数()y x f x ='的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】由题设条件知：当2x>-时，()0x f x '<；当2x =-时，()x f x '=；当2x<-时，()0x f x '>．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x=-处取得极小值，∴当2x>-时，()0f x '>；当2x =-时，()0f x '=；当2x<-时，()0f x '<．∴当2x>-时，()0x f x '<；当2x =-时，()0x f x '=；当2x<-时，()x f x '>．故选：A ．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用． 7．设函数32()2f x x e x m x ln x=-+-，记()()f xg x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(-∞，21]e e+B ．(0，21]e e+C ．21(e e+，)+∞ D ．21(e e--，21]e e+【分析】由题意先求函数的定义域，再化简为方程3220x e x m x ln x -+-=有解，则32222x e xln xln x m x e x xx-++==-++，求导求函数22ln x mx e x x=-++的值域，从而得m 的取值范围．【解答】解：32()2f x x e x m x ln x=-+-的定义域为(0,)+∞，又()()f x g x x=，∴函数()g x 至少存在一个零点可化为函数32()2f x x e x m x ln x=-+-至少有一个零点；即方程3220x e x m x ln x -+-=有解，则32222x e xln xln x mx e x xx-++==-++， 2211222()ln x ln x m x e x e xx--'=-++=--+；故当(0,)x e ∈时，0m '>，当(,)x e ∈+∞时，0m '<；则22ln x mxe x x=-++在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，故22112m ee e eee-+⋅⋅+=+…；又当0x +→时，22ln x mxe x x=-++→-∞，故21m ee+…；故选：A ．【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系，属于中档题． 8．已知函数322()f x x a x b x a=+++在1x=处有极值10，则f（2）等于()A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18【分析】根据函数在1x =处有极值时说明函数在1x =处的导数为0，又因为2()32f x x a x b'=++，所以得到：f '（1）320a b =++=，又因为f（1）10=，所以可求出a 与b 的值确定解析式，最终将2x =代入求出答案．【解答】解：2()32f x x a x b'=++，∴2232032411012011a b b a a a b a a a b ++=⎧=--=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+++=--==-⎪⎩⎩⎩或33a b =-⎧⎨=⎩①当33a b =-⎧⎨=⎩时，2()3(1)0f x x '=-…，∴在1x=处不存在极值；②当411a b =⎧⎨=-⎩时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-(x ∴∈113-，1)，()0f x '<，(1,)x ∈+∞，()0f x '>，符合题意．∴411a b =⎧⎨=-⎩，f ∴（2）816221618=+-+=．故选：C ．【点评】本题主要考查导数为0时取到函数的极值的问题，这里多注意联立方程组求未知数的思想，本题要注意0()0f x '=是0xx =是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验．二．填空题（共14小题） 9．若函数2()1xaf x x +=+在1x=处取极值，则a=3 ．【分析】先求出()f x '，因为1x=处取极值，所以1是()0f x '=的根，代入求出a 即可．【解答】解：22222222()(1)(1)x x x ax x a f x x x +--+-'==++．因为()f x 在1处取极值，所以1是()0f x '=的根，将1x=代入得3a=．故答案为3【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力． 10．若函数32()4f x x x a x =+--在区间(1,1)-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为[1，5)．【分析】首先利用函数的导数与极值的关系，由于函数32()4f x x x a x =+--在区间(1,1)-恰有一个极值点，所以(1)f f '-'（1）0<，故可求实数a 的取值范围．【解答】解：由题意，2()32f x x x a'=+-，则(1)f f '-'（1）0<，即(1)(5)0a a --<，解得15a <<，另外，当1a =时，函数32()4f x x xx =+--在区间(1,1)-恰有一个极值点，当5a=时，函数32()54f x x x x =+--在区间(1,1)-没有一个极值点，故答案为：[1，5)．【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法，属于中档题． 11．已知函数21()2f x x ln x x=+，0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题：①010x e<<；②01x e>；③00()0f x x +<；④00()0f x x +>；其中正确的命题是 ①③ ．（填出所有正确命题的序号）【分析】求导数，利用零点存在定理，可判断①②；20000000000111()(1)0222f x x x ln x x x x ln x x x +=++=++=-<，可判断③④．【解答】解：函数21()2f x x ln x x=+，(0)x>()1f x ln x x ∴'=++，易得()1f x ln x x'=++在(0,)+∞递增，11()0f e e ∴'=>，x →，()f x '→-∞，010x e∴<<，即①正确，②不正确；0010ln x x ++=220000000000111()(1)0222f x x x ln x x x x ln x x x ∴+=++=++=-<，即③正确，④不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力、转化思想，属于中档题． 12．已知32()31f x a x x =+-存在唯一的零点x ，且00x <，则实数a 的取值范围是(,2)-∞- ．【分析】讨论a 的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：()i 当0a =时，2()31f x x =-+，令()0f x =，解得3x=±，函数()f x 有两个零点，舍去．()ii 当0a≠时，22()363()f x a xx a x x a'=+=+，令()0f x '=，解得0x=或2a-．①当0a <时，20a->，当2xa>-或0x<，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；当20x a<<-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增．∴故2x a=-是函数()f x 的极大值点，0是函数()f x 的极小值点．函数32()31f x a x x =+-存在唯一的零点x ，且00x <，则22228124()110f aa aa-=-+-=-<，即24a >得2a >（舍)或2a<-．②当0a >时，20a -<，当2xa<-或0x>时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当20x a-<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减．2x a∴=-是函数()f x 的极大值点，0是函数()f x 的极小值点．(0)10f =-<，∴函数()f x 在(0,)+∞上存在一个零点，此时不满足条件．综上可得：实数a 的取值范围是(,2)-∞-．故答案为：(,2)-∞-．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 13．直线y a=与函数3()3f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是(2,2)- ．【分析】先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数3()3f x x x=-对应的大致图象，平移直线ya=即可得出结论．【解答】解：令2()330f x x '=-=，得1x=±，可求得()f x 的极大值为(1)2f -=，极小值为f（1）2=-，如图所示，当满足22a -<<时，恰有三个不同公共点．故答案为：(2,2)-【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及数形结合思想的应用，是对基础知识的考查，属于基础题． 14．已知函数32()3(0)f x x a x a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是)2+∞ ．【分析】先利用导数求函数的极大值和极小值，再解不等式．【解答】解22()33(0)f x x a a '=->，∴由()0f x '>得：xa>或xa<-，由()0f x '<得：ax a-<<．∴当x a=时，()f x 有极小值，xa=-时，()f x 有极大值．由题意得：333330300a a a a a a a ⎧-+<⎪-++>⎨⎪>⎩解得2a>．故答案为)2+∞【点评】本题考查导数求函数的极值．解决函数的极值问题，导数是唯一方法．极值点左右两边的导数符号必须相反． 15．若函数21()2f x xx a ln x=-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是1(0,)4．【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质可求．【解答】解：因为21()2f x xx a ln x=-+有两个不同的极值点，所以2()10a xx a f x x xx-+'=-+==在(0,)+∞有2个不同的零点，所以2x x a -+=在(0,)+∞有2个不同的零点，所以1400a a =->⎧⎨>⎩，解可得，104a <<．故答案为：1(0,)4．【点评】本题主要考查了函数极值的存在条件的应用，属于基础试题． 16．设函数()xf x x e=，则()f x 的极值为1e-；【分析】求导，解关于导函数的不等式，根据极值定义得解．【解答】解：函数的定义域为R ，()(1)x xxf x e x ex e'=+=+，令()0f x '>，得1x >-；令()0f x '<，得1x<-；故函数()f x 在1x=-处取得极小值，且极小值为1e-．故答案为：1e-．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题． 17．已知1x ，2x 是函数2()2f x x m ln x x=+-，mR∈的两个极值点，若12x x <，则12()f x x 的取值范围为3(22ln --，0) ．【分析】可得方程2220x x m -+=在(0,)+∞上有两个不等的正根．1212480110022m x x m m x x ⎧⎪=->⎪+=>⇒<<⎨⎪⎪=>⎩．1102x <<，则2211111111112211()2(1)1121211f x x x m ln x x x ln x x x ln x x x x x -+--==+=-++--．令1()121g x x x ln xx =-++-，1(0)2x <<．利用导数即可求得12()f x x 的取值范围故答案．【解答】解：因为2()2f x x x m ln x=-+，222()x x mt x x-+'=，所以()f x 有两个极值点1x 、2x 等价于方程2220x x m -+=在(0,)+∞上有两个不等的正根．∴1212480110022m x x m m x x ⎧⎪=->⎪+=>⇒<<⎨⎪⎪=>⎩．1102x <<，则2211111111112211()2(1)1121211f x x x m ln x x x ln x x x ln x x x x x -+--==+=-++--．令1()121g x x x ln xx =-++-，1(0)2x <<．21()21(1)g x ln x x '=+--102x <<，212210ln x ln ∴+<-+<．102x ∴<<时，()0g x '<．故()g x 在1(0,)2递减，32()02ln g x --<<．则12()f x x 的取值范围为3(22ln --，0)．故答案为：3(22ln --，0)．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力． 18．2()()f x x x c =-在2x=处有极大值，则常数c 的值为 6 ．【分析】先求出()f x '，根据()f x 在2x=处有极大值则有f '（2）0=得到c 的值为2或6，先让2c=然后利用导数求出函数的单调区间，从而得到2x =取到极小值矛盾，所以舍去，所以得到c 的值即可．【解答】解：322()2f x x cxc x=-+，22()34f x x c x c'=-+， f '（2）02c =⇒=或6c =．若2c =，2()384f x x x '=-+，令2()03f x x '>⇒<或2x>，2()023f x x '<⇒<<，故函数在2(,)3-∞及(2,)+∞上单调递增，在2(3，2)上单调递减，2x ∴=是极小值点．故2c =不合题意，6c=．故答案为6【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．19．已知函数213,10()132,01x g x x x x x ⎧--<⎪=+⎨⎪-+<⎩……，若方程()0g x m x m --=有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是 9(,2][0,2)4m ∈-- ．【分析】()0g x m x m --=可化为()(1)g x m x =+，从而化为函数()yg x =与(1)ym x =+的图象有两个不同的交点；再讨论以确定实数m 的取值范围．【解答】解：由()0g x m x m --=得()(1)g x m x =+，原方程有两个相异的实根等价于两函数()y g x =与(1)y m x =+的图象有两个不同的交点．当0m>时，易知临界位置为(1)ym x =+过点(0,2)和(1,0)，分别求出这两个位置的斜率12k =和2k =，由图可知此时[0m ∈，2)；当0m<时，设过点(1,0)-函数1()31g x x =-+，(1x ∈-，0]的图象作切线的切点为0(x ，0)y ，则由函数的导数为21()(1)g x x '=-+得：0200001(1)1131y x x y x ⎧-=⎪++⎪⎨⎪=-⎪+⎩，解得：001332x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得切线的斜率为194k =-，而过点(1,0)-，(0,2)-的斜率为12k =-，故可知9(4m ∈-，2]-，则9(4m∈-，2][0-，2)．故答案为：9(,2][0,2)4m∈--．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题． 20．已知函数()2xf x e ln x =--，下列说法正确的是 ①③ ．①()f x 有且仅有一个极值点； ②()f x 有零点；③若()f x 极小值点为0x ，则010()2f x <<； ④若()f x 极小值点为0x ，则01()12f x <<．【分析】先求出导函数()f x '，∴(T ex tran slatio n failed )，设()1x g x x e =-，(0,)x ∈+∞，利用导数得到函数()1x g x x e =-在(0,)+∞上单调递增，又1211()110222g e =⨯-=-<，g （1）10e =->，故存在唯一01(,1)2x ∈，使得0()g x =，所以()f x 有且仅有一个极值点，再利用01(,1)2x ∈，分析0()f x 的范围即可．【解答】解：()2xf x e ln x =--，(0,)x ∈+∞，∴(T ex tran slatio n failed )，设()1xg x x e =-，(0,)x ∈+∞，()0x xg x e x e'∴=+>恒成立，∴函数()1xg x x e =-，在(0,)+∞上单调递增，又1211()110222g e =⨯-=-<，g （1）10e =->，∴存在唯一01(,1)2x ∈，使得0()g x =，()f x ∴有且仅有一个极值点，当01(,)2x x ∈时，()g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0(x x ∈，1)时，()g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增，x ∴是()f x 的极小值点，且满足01(,1)2x ∈，00()10x g x x e=-=，∴0011,x ex lnln x x x ===-，∴000001()22x f x e ln x x x =--=+-，对勾函数1yx x=+在1(2，1)上单调递减，∴0011222x x <+<+，∴010()2f x <<，∴函数()f x 恒大于0，无零点，综上所述：正确的是①③，故答案为：①③．【点评】本题主要考查了利用导数以及函数的极值，是中档题． 21．已知函数2()xf x a e x=-有两个极值点，则实数a 的取值范围是2(0,)e．【分析】求出函数的导数，问题转化为ya=和2()xx g x e=在R 上有2个交点，根据函数的单调性求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可．【解答】解：()2xf x a e x'=-，若函数2()x f x a e x=-有两个极值点，则ya=和2()xx g x e=在R 上有2个交点，22()xx g x e-'=，(,1)x ∈-∞时，即()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，故()m a x g x g=（1）2e=，而20xx e>恒成立，所以20a e<<，故答案为：2(0,)e ．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．22．已知函数211,0,2(),0xe x x x ef x ln x x x ⎧--+⎪⎪=⎨⎪>⋅⎪⎩…若方程()0f x m -=恰有两个实根，则实数m 的取值范围是1(,0]{}e-∞ ．【分析】研究0x>与0x …时，()f x 的单调性、极值情况，画出图象，然后研究y a=与()y f x =恰有两个交点时a 的取值范围．【解答】解：（1）0x …时，()1x f x e x '=--，易知(0)0f '=，而()10xf x e ''=-<，所以()f x '在(-∞，0]上递减，故()(0)0f x f ''=…，故()f x 在(-∞，0]上递增，且1()(0)1f x f e=+…，当x→-∞时，()f x →-∞．（2）0x >时，21()ln x f x x-'=，令()0f x '>，得0x e<<；()0f x '<得xe>；故()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞递减，故0x >时，1()()m a x f x f e e==；0x→时，()f x →-∞；x→+∞时，()0f x →．由题意，若方程()0f x m -=恰有两个实根，只需ym=与()yf x =恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线ym=在图示①，②位置时，与()yf x =有两个交点，所以m 的范围是：1(,0]{}e-∞．故答案为：1(,0]{}e-∞．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值等性质，进而结合图象研究函数的零点问题．属于中档题．三．解答题（共5小题） 23．已知函数2()f x a x a x x ln x=--，且()0f x …．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．【分析】（1）通过分析可知()0f x …等价于()h x a x a ln x =--…，进而利用1()h x a x'=-可得1()()m in h x h a =，从而可得结论；（2）通过（1）可知2()f x x x x ln x=--，记()()22t x f x x l n x ='=--，解不等式可知1()()2102m in t x t ln ==-<，从而可知()0f x '=存在两根0x ，2x ，利用()f x 必存在唯一极大值点0x 及012x <可知01()4f x <，另一方面可知0211()()f x f e e>=．【解答】解：（1）因为2()()(0)f x a x a x x ln x x a x a ln x x =--=-->，则()0f x …等价于()h x a x a ln x =--…，求导可知1()h x a x'=-．则当0a …时()0h x '<，即()yh x =在(0,)+∞上单调递减，所以当01x >时，0()h x h<（1）0=，矛盾，故0a>．因为当10x a<<时()0h x '<、当1xa>时()h x '>，所以1()()m inh x h a =，又因为h （1）10a a ln =--=，所以11a =，解得1a=；另解：因为f（1）0=，所以()0f x …等价于()f x 在0x>时的最小值为f（1），所以等价于()f x 在1x=处是极小值，所以解得1a=；（2）由（1）可知2()f x x x x ln x=--，()22f x x ln x'=--，令()0f x '=，可得220xln x --=，记()22t x x ln x=--，则1()2t x x'=-，令()t x '=，解得12x=，所以()t x 在区间1(0,)2上单调递减，在1(2，)+∞上单调递增，所以1()()2102m in t x t ln ==-<，又2212()0t ee=>，所以()t x 在1(0,)2上存在唯一零点，所以()t x =有解，即()0f x '=存在两根0x ，2x ，且不妨设()f x '在0(0,)x 上为正、在0(x ，2)x 上为负、在2(x ，)+∞上为正，所以()f x 必存在唯一极大值点0x ，且00220x ln x --=，所以222200000000000()22f x x x x ln x x x x x x x =--=-+-=-，由012x <可知20002111()()224m a x f x x x <-=-+=；由1()0f e'<可知0112x e<<，所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，1)e 上单调递减，所以0211()()f x f e e>=；综上所述，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题． 24．已知函数2()xf x e a x=-．（1）若1a =，证明：当0x …时，()1f x …；（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，（2）方法一：分离参数可得2x e ax=在(0,)+∞只有一个根，即函数ya=与2()x e G x x=的图象在(0,)+∞只有一个交点．结合图象即可求得a ．方法二：①当0a …时，2()0x f x e a x=->，()f x 在(0,)+∞没有零点．②当0a>时，设函数2()1xh x a x e-=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点()h x ⇔在(0,)+∞只有一个零点．利用()(2)xh x a x x e-'=-，可得())h x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，结合函数()h x 图象即可求得a ．【解答】解：（1）证明：当1a =时，函数2()x f x e x=-．则()2xf x e x'=-，令()2xg x e x=-，则()2xg x e '=-，令()g x '=，得2x ln =．当(0,2)x ln ∈时，()0g x '<，当(2,)x ln ∈+∞时，()g x '>，2()(2)222220ln g x g ln eln ln ∴=-⋅=->…，()f x ∴在[0，)+∞单调递增，()(0)1f x f ∴=…．（2）方法一：()f x 在(0,)+∞只有一个零点⇔方程2xe a x-=在(0,)+∞只有一个根，2x e a x⇔=在(0,)+∞只有一个根，即函数ya=与2()x e G x x=的图象在(0,)+∞只有一个交点．3(2)()xe x G x x-'=，当(0,2)x ∈时，()0G x '<，当(2,)∈+∞时，()G x '>，()G x ∴在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，当0x→时，()G x →+∞，当→+∞时，()G x →+∞， ()f x ∴在(0,)+∞只有一个零点时，aG=（2）24e=．方法二：①当0a …时，2()0x f x e a x=->，()f x 在(0,)+∞没有零点．②当0a>时，设函数2()1xh x a x e-=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点()h x ⇔在(0,)+∞只有一个零点．()(2)xh x a x x e-'=-，当(0,2)x ∈时，()0h x '<，当(2,)x ∈+∞时，()h x '>，()h x ∴在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，∴24()(2)1m in a h x h e==-，(0)x …．当h （2）0<时，即24ea >，()i 由于(0)1h =，当0x>时，2xe x>，可得33342241616161(4)11110()(2)aaa a ah a eea a=-=->-=->．()h x 在(0,)+∞有2个零点()ii 当h （2）0>时，即24ea <，()h x 在(0,)+∞没有零点， ()iii 当h （2）0=时，即24ea=，()h x 在(0,)+∞只有一个零点，综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24ea=．【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题． 25．已知函数21()xa xx f x e+-=．（1）求曲线()yf x =在点(0,1)-处的切线方程；（2）证明：当1a …时，()0f x e +…．【分析】（1）22(21)(1)()()xxxa x e a xx ef x e +-+-'=由(0)2f '=，可得切线斜率2k=，即可得到切线方程．（2）可得22(21)(1)(1)(2)()()xxxxa x e a x x ea x x f x e e+-+-+-'==-．可得()f x 在1(,)a-∞-，(2,)+∞递减，在1(a-，2)递增，注意到1a …时，函数2()1g x a x x =+-在(2,)+∞单调递增，且g （2）410a =+>只需1()a m inx e e=--…，即可．【解答】解：（1）22(21)(1)(1)(2)()()xxxxa x e a x x ea x x f x e e +-+-+-'==-．(0)2f ∴'=，即曲线()yf x =在点(0,1)-处的切线斜率2k=，∴曲线()yf x =在点(0,1)-处的切线方程为(1)2y x--=．即210xy --=为所求．（2）证明：函数()f x 的定义域为：R ，可得22(21)(1)(1)(2)()()xxxxa x e a x x ea x x f x e e+-+-+-'==-．令()0f x '=，可得1212,0x x a==-<，当1(,)x a ∈-∞-时，()0f x '<，1(,2)x a ∈-时，()0f x '>，(2,)x ∈+∞时，()0f x '<．()f x ∴在1(,)a-∞-，(2,)+∞递减，在1(a-，2)递增，注意到1a …时，函数2()1g x a x x =+-在(2,)+∞单调递增，且g （2）410a =+>，故()g x 在(2,)+∞上恒大于零，即21()xa xx f x e+-=在(2,)+∞上恒大于零．函数()f x 的图象如下：1a …，∴1(0,1]a ∈，则11()a f e ea-=--…，1()a m inf x e e∴=--…，∴当1a …时，()0f x e +…．【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．。

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导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
2.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程________的根；
③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________.
3.函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函
数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的________；
②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
要点梳理
1.><
2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0②f′(x)<0f′(x)>0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值
3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b)
(3)①极值②f(a)，f(b)
1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________.
2.函数f(x)＝e x－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”).
3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.
4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断：
①f(x)在[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；
④x＝3是f(x)的极小值点.
其中正确的判断是________.(填序号)
5.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则
( ) A.a <－1
B.a >－1
C.a >－1e
D.a <－1e 一、选择题
1.函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是
( )
A.－2
B.0
C.2
D.4 2.已知函数f (x )的图象过点(0，－5)，它的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得最大值－5时，x 的值应为
( ) A.－1 B.0 C.1 D.±1
3.函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝
f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定
( ) A.有最小值
B.有最大值
C.是减函数
D.是增函数
二、填空题 4.若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1
在x ＝1处取极值，则a ＝___________________________________. 5.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________.
6.已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.
基础自测
1.(－∞，－1)和(1，＋∞)
2.减函数
3.[－3，＋∞)
4.②③
5.A
A组
1.C
2.B
3.D
4.3
5.－37
6.－2。