定积分练习题

定积分

2.定积分的定义

函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作____________，其中f (x )称为________________，x 称为________________，f (x )d x 称为__________， [a ，b ]为________________，a 为____________，b 为______________，“ʃ”称为积分号.

3.ʃb a f (x )d x 的实质

(1)当f (x )在区间[a ，b ]上大于0时，ʃb a f (x )d x 表示______________________________，

这也是定积分的几何意义.

(2)当f (x )在区间[a ，b ]上小于0时，ʃb a f (x )d x 表示________________________________.

(3)当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，ʃb a f (x )d x 表示介于x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间x 轴上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.

4.定积分的运算性质

(1)ʃb a kf (x )d x ＝____________ (k 为常数).

(2)ʃb a [f (x )±g (x )]d x ＝______________________.

(3)ʃb a f (x )d x ＝__________________________.

5.微积分基本定理

一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个

结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )|b a .即ʃb a f (x )d x

＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a ).

6.利用牛顿——莱布尼茨公式求定积分的关键是____________________，可将基本初等函数的导数公式逆向使用.

要点梳理

2. ʃb a f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间 积分下限 积分上限

3.(1)由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积 (2)由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数

4.(1)k ʃb a f (x )d x (2)ʃb a f (x )d x ±ʃb a g (x )d x (3)ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (a

6.求被积函数的原函数

1.直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________.

2.求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为________.

3.ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.

4.由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为____.

5.设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21

f (－x )d x 的值等于 ( ) A.56 B.12 C.23 D.16

1.π

2π2-⎰(sin x ＋cos x )d x 的值是

( ) A.0 B.π4 C.2 D.4

2.已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求

π2π2-⎰f (x )d x 的值，结果是

( ) A.16＋π2

B.π

C.1

D.0

3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]， 则ʃ20f (x )d x 等于 ( )

A.34

B.45

C.56

D.不存在

二、填空题 4.汽车以v ＝3t ＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是_____________ m.

5.曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为___________.

6.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为___________.

1.83

2.[0,2]

3.12

4.π

2

0⎰cos x d x －3π2π

2⎰cos x d x ＋2π3π2⎰cos x d x

5.A

A 组

1.C

2.B

3.C

4.6.5

5.32－ln 2

6.33