大地测量学第六章高斯投影及其计算
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应用大地测量学
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
（重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介
5、将各阶导数代入上式得最后正算公式。
基本公式：6-21，实用公式：6-24，精确公式：6-26。
（B，L）计算（x，y）正算公式中子午弧长 X的计算（见本书151页公式5-41）
X C [ β0B ( β2c o s Bβ4c o s3B β6c o s5B β8c o s7B ) s i n B ] ;
应用大地测量学
§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
§6.1.4 正形投影的一般公式
应用大地测量学
§6.1.2 正形投影特性
1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变， a=b。长度比仅与点位置有关，不同点投影有不同的长度比。
2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件 是在微小范围内成立。正形投影又叫等角投影。
采用正形投影，在有限范围内，使地形图上的图形与椭球 面上的相应图形保持相似。
应用大地测量学
§6.1.3 正形投影的一般条件
正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
推导过程：由长度比的定义顾及正形投影的特性导出。
几何投影--中心投影
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
（二）投影变形 投影变形不可避免（褶皱或破裂）。有角度变形、长度
变形和面积变形三种。根据实际需要选择某种变形为零或 使其减小到某一适当程度。如高斯投影，保持角度不变形， 但长度和面积有变形。
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
高斯平面直角坐标系的X轴和Y轴。
x
N
N
O
O
y
S S
应用大地测量学
§6.2.1 高斯投影的基本概念
高斯投影的条件： （1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求； （2）中央子午线投影后是一条直线； （3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等 于1。 （4）高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外， 不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1，且离开 中央子午线愈远，长度变形愈大。
§6.1.4 正形投影的一般公式
根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)—黎 曼(Riemann)条件，式中，f代表任意解析函数。
x iy f (q il)
通过证明，上述复变函数能满足正形投影的必要和充分条 件。也就是说能满足上述复变函数的函数f，都能满足正形投 影条件。根据该式可以导出高斯投影坐标计算公式。
应用大地测量学
§6.2.4 高斯投影的计算内容
第二种方法的具体推算内容如下: 1、将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为高斯平面坐标（x1，y1）—— 高斯投影坐标计算。 2、将起算边的大地方位角A12改换为平面坐标方位角T12；
T12=A12-γ+δ12 式中，γ为子午线收敛角，δ12为方向改正。 3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上的直线长度D12：
应用大地测量学
§6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系
§6.2.1 高斯投影的基本概念
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
§6.2.3 高斯投影的分带
§6.2.4 高斯投影的计算内容
Байду номын сангаас
应用大地测量学
§6.2.1 高斯投影的基本概念
高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影。在高斯投影
平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，分别为
§6.1.4 正形投影的一般公式
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
（一）几何投影及其变形
几何投影——又叫透视投影，有中心投影、平行投影等。 特点：有几何意义，有投影函数。
数学投影——是数学的投影，建立椭球面大地坐标（B、 L）与投影平面上对应的坐标（x、y）之间的函数关系。 无几何意义，是一种数学变换。
应用大地测量学
§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
§6.1.4 正形投影的一般公式
应用大地测量学
§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
C a 2/b； 对 应 不 同 的 椭 球， 其 参 数 不 同 ， 所 计 算的 X不 同 。
上式可以变换为：
B
X C β0
（ β2c o s Bβ4c o s3B β6c o s5B β8c o s7B ） s i n B ，
依 此 公 式 按 迭 代 法 可 以由 X求 B。
应用大地测量学
式 中β , 0
1
3 e2 4
4 5 e4 64
175e6 256
11025e8， 16384
β2
β0
1 ， β4
15 e4 32
175e6 384
3 6 7 5e8， 8192
β6
35e6 96
735 e8， 2048
β8
315 e8， 1024
a
x' x
,b
y' y
若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。
若ab=1，则为等面积投影。
椭球面上的微分圆：
投影平面上对应为微分椭圆：
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
（五）地图投影的分类
等角投影——投影后角度不变，保持小范围内图形相似。 等面积投影——用于某些专题地图，投影后面积不变。 平面投影——投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。 圆锥面投影——圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学 投影。 圆柱面投影——圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午面上相切， 按数字投影。 正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。 横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。 斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。
应用大地测量学
§6.1.3 正形投影的一般条件
正形投影的一般条件的推导过程
应用大地测量学
§6.1.3 正形投影的一般条件
其推证步骤为： 1、从长度比表达式出发
，求出m2与dx2，dy2和dB2，dl2关系式：
m2
d s 2
d
S
d x2 d y2
d x2
( M d B )2 ( N c o s B d L2) ( N c o s B2)[ (
L0 3° 9°
75° 81° 87° 93° 99° 105° 111° 117° 123° 129° 135°
N1
2
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
L 0° 6° 12°72° 78° 84° 90° 96° 102° 108° 114° 120° 126° 132° 138°
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
推证过程： 1、高斯投影坐标正算函数式 2、根据正形投影的一般公式： x+iy=f（q+il）以及高斯投影的条件 推导正算公式，可以将一般公式在q处展为il 的台劳级数。 3、将以上公式在e（B，0）点展开， 此处中央子午线长度比 m=1，有
4、由
求各阶导数。
n 1 23
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
应用大地测量学
§6.2.3 高斯投影的分带
6°带带号N和中央子午线经度 LN的关系式：LN=6N-3
3°带带号n和中央子午线经度 Ln的关系式：Ln=3n
6°带与3°带带号之间的关系为:n=2N-1
国家统一坐标的表示方法：X坐标为正，Y坐标加 500km后前面冠以带号。如在39带中Y坐标自然值分别为 12345.678和-12345.678m，国家统一坐标分别为 39512345.678和39487654.322m。但在坐标计算中应 去掉带号，减去500km，恢复坐标自然值。
（四）主方向、变形椭圆与变形指标
主方向—— 若将地球椭球面上过一点的两个互为正交的方向投影 到平面上，一般不能再保持正交，但其中总有一组椭球面上正交的方 向投影后保持正交，这两个方向称为主方向。
主方向投影后具有最大和最小长度比，即，长度比极值所在地方向
就是主方向。
变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。
（三）投影长度比与长度变形 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该
线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。一般m与 点位以及与方向有关。
长度变形—— 长度比与1之差。v= m-1 v > 0 时，投影后长度将增大，v < 0时，投影后长度 缩短。
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
d y2 M d B )2
d L2 ]
NcosB
2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数（l为与中央子午线的经差）；
3、对 x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号E、F、G；
4、根据长度比m与方向A无关，F=0，E=G；
5、由E=G、F=0，得一般条件：
应用大地测量学
D12=S12+△S 式中△S为距离改正。 4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长分别进行方向改正和距离 改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计 算，推求各控制点的平面直角坐标。
应用大地测量学
§6.2.4 高斯投影的计算内容
高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计 算、距离改正计算，统称为高斯投影计算。
x=F1（B、L）
y=F2（B、L）
（6-1）
上式表示椭球面上一点与投影面上对应点之间坐标的解 析关系，称为坐标投影公式，函数F1、F2称为投影函数。
给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
几何投影--垂直投影
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
y/（km） 10
20
30
40
50
100 150 200 250 300
长度变 形m-1
1/810000 1/202000 1/90000 1/50000 1/32000 1/8000 1/3500 1/2000 1/1300 1/900
应用大地测量学
§6.2.3 高斯投影的分带
为限制长度投影变形，采取分带投影。分带有6度分带和3度分带两种方法。
应用大地测量学
§6.2.4 高斯投影的计算内容
计算方法：
1、由椭球面上各点大地坐标（B，L）求解各点高 斯平面坐标（x，y）：先在椭球面上解算球面三角形， 推算各边大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解 各点的高斯平面坐标。（计算工作量大）
2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投 影平面，然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角， 在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
（重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介
5、将各阶导数代入上式得最后正算公式。
基本公式：6-21，实用公式：6-24，精确公式：6-26。
（B，L）计算（x，y）正算公式中子午弧长 X的计算（见本书151页公式5-41）
X C [ β0B ( β2c o s Bβ4c o s3B β6c o s5B β8c o s7B ) s i n B ] ;
应用大地测量学
§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
§6.1.4 正形投影的一般公式
应用大地测量学
§6.1.2 正形投影特性
1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变， a=b。长度比仅与点位置有关，不同点投影有不同的长度比。
2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件 是在微小范围内成立。正形投影又叫等角投影。
采用正形投影，在有限范围内，使地形图上的图形与椭球 面上的相应图形保持相似。
应用大地测量学
§6.1.3 正形投影的一般条件
正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
推导过程：由长度比的定义顾及正形投影的特性导出。
几何投影--中心投影
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
（二）投影变形 投影变形不可避免（褶皱或破裂）。有角度变形、长度
变形和面积变形三种。根据实际需要选择某种变形为零或 使其减小到某一适当程度。如高斯投影，保持角度不变形， 但长度和面积有变形。
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
高斯平面直角坐标系的X轴和Y轴。
x
N
N
O
O
y
S S
应用大地测量学
§6.2.1 高斯投影的基本概念
高斯投影的条件： （1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求； （2）中央子午线投影后是一条直线； （3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等 于1。 （4）高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外， 不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1，且离开 中央子午线愈远，长度变形愈大。
§6.1.4 正形投影的一般公式
根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)—黎 曼(Riemann)条件，式中，f代表任意解析函数。
x iy f (q il)
通过证明，上述复变函数能满足正形投影的必要和充分条 件。也就是说能满足上述复变函数的函数f，都能满足正形投 影条件。根据该式可以导出高斯投影坐标计算公式。
应用大地测量学
§6.2.4 高斯投影的计算内容
第二种方法的具体推算内容如下: 1、将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为高斯平面坐标（x1，y1）—— 高斯投影坐标计算。 2、将起算边的大地方位角A12改换为平面坐标方位角T12；
T12=A12-γ+δ12 式中，γ为子午线收敛角，δ12为方向改正。 3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上的直线长度D12：
应用大地测量学
§6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系
§6.2.1 高斯投影的基本概念
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
§6.2.3 高斯投影的分带
§6.2.4 高斯投影的计算内容
Байду номын сангаас
应用大地测量学
§6.2.1 高斯投影的基本概念
高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影。在高斯投影
平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，分别为
§6.1.4 正形投影的一般公式
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
（一）几何投影及其变形
几何投影——又叫透视投影，有中心投影、平行投影等。 特点：有几何意义，有投影函数。
数学投影——是数学的投影，建立椭球面大地坐标（B、 L）与投影平面上对应的坐标（x、y）之间的函数关系。 无几何意义，是一种数学变换。
应用大地测量学
§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
§6.1.4 正形投影的一般公式
应用大地测量学
§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
C a 2/b； 对 应 不 同 的 椭 球， 其 参 数 不 同 ， 所 计 算的 X不 同 。
上式可以变换为：
B
X C β0
（ β2c o s Bβ4c o s3B β6c o s5B β8c o s7B ） s i n B ，
依 此 公 式 按 迭 代 法 可 以由 X求 B。
应用大地测量学
式 中β , 0
1
3 e2 4
4 5 e4 64
175e6 256
11025e8， 16384
β2
β0
1 ， β4
15 e4 32
175e6 384
3 6 7 5e8， 8192
β6
35e6 96
735 e8， 2048
β8
315 e8， 1024
a
x' x
,b
y' y
若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。
若ab=1，则为等面积投影。
椭球面上的微分圆：
投影平面上对应为微分椭圆：
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
（五）地图投影的分类
等角投影——投影后角度不变，保持小范围内图形相似。 等面积投影——用于某些专题地图，投影后面积不变。 平面投影——投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。 圆锥面投影——圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学 投影。 圆柱面投影——圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午面上相切， 按数字投影。 正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。 横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。 斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。
应用大地测量学
§6.1.3 正形投影的一般条件
正形投影的一般条件的推导过程
应用大地测量学
§6.1.3 正形投影的一般条件
其推证步骤为： 1、从长度比表达式出发
，求出m2与dx2，dy2和dB2，dl2关系式：
m2
d s 2
d
S
d x2 d y2
d x2
( M d B )2 ( N c o s B d L2) ( N c o s B2)[ (
L0 3° 9°
75° 81° 87° 93° 99° 105° 111° 117° 123° 129° 135°
N1
2
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
L 0° 6° 12°72° 78° 84° 90° 96° 102° 108° 114° 120° 126° 132° 138°
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
推证过程： 1、高斯投影坐标正算函数式 2、根据正形投影的一般公式： x+iy=f（q+il）以及高斯投影的条件 推导正算公式，可以将一般公式在q处展为il 的台劳级数。 3、将以上公式在e（B，0）点展开， 此处中央子午线长度比 m=1，有
4、由
求各阶导数。
n 1 23
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
应用大地测量学
§6.2.3 高斯投影的分带
6°带带号N和中央子午线经度 LN的关系式：LN=6N-3
3°带带号n和中央子午线经度 Ln的关系式：Ln=3n
6°带与3°带带号之间的关系为:n=2N-1
国家统一坐标的表示方法：X坐标为正，Y坐标加 500km后前面冠以带号。如在39带中Y坐标自然值分别为 12345.678和-12345.678m，国家统一坐标分别为 39512345.678和39487654.322m。但在坐标计算中应 去掉带号，减去500km，恢复坐标自然值。
（四）主方向、变形椭圆与变形指标
主方向—— 若将地球椭球面上过一点的两个互为正交的方向投影 到平面上，一般不能再保持正交，但其中总有一组椭球面上正交的方 向投影后保持正交，这两个方向称为主方向。
主方向投影后具有最大和最小长度比，即，长度比极值所在地方向
就是主方向。
变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。
（三）投影长度比与长度变形 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该
线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。一般m与 点位以及与方向有关。
长度变形—— 长度比与1之差。v= m-1 v > 0 时，投影后长度将增大，v < 0时，投影后长度 缩短。
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
d y2 M d B )2
d L2 ]
NcosB
2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数（l为与中央子午线的经差）；
3、对 x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号E、F、G；
4、根据长度比m与方向A无关，F=0，E=G；
5、由E=G、F=0，得一般条件：
应用大地测量学
D12=S12+△S 式中△S为距离改正。 4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长分别进行方向改正和距离 改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计 算，推求各控制点的平面直角坐标。
应用大地测量学
§6.2.4 高斯投影的计算内容
高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计 算、距离改正计算，统称为高斯投影计算。
x=F1（B、L）
y=F2（B、L）
（6-1）
上式表示椭球面上一点与投影面上对应点之间坐标的解 析关系，称为坐标投影公式，函数F1、F2称为投影函数。
给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
几何投影--垂直投影
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
y/（km） 10
20
30
40
50
100 150 200 250 300
长度变 形m-1
1/810000 1/202000 1/90000 1/50000 1/32000 1/8000 1/3500 1/2000 1/1300 1/900
应用大地测量学
§6.2.3 高斯投影的分带
为限制长度投影变形，采取分带投影。分带有6度分带和3度分带两种方法。
应用大地测量学
§6.2.4 高斯投影的计算内容
计算方法：
1、由椭球面上各点大地坐标（B，L）求解各点高 斯平面坐标（x，y）：先在椭球面上解算球面三角形， 推算各边大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解 各点的高斯平面坐标。（计算工作量大）
2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投 影平面，然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角， 在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。