大地测量学第六章高斯投影及其计算
高斯投影计算的主要内容
两种方法的解算结果一样，但第一种方法的 解算工作量非常大。通常采用第二种方法， 将控制网直接规划到高斯投影面上。 下面以三角网为例，介绍高斯投影计算的基 本程序：
为了在平面上进行三角网的平差与计算，必 须在椭球面上以大地线构成的三角网，换 算成高斯投影平面上以直线边构成的三角 网 ，具体推算内容如下: • 1 将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为 高斯投影平面上其投影点的平面直角坐标 （x1，y1），称为高斯投影坐标计算。
综上所述，高斯投影坐标计算、平面子午线 收敛角计算、方向改正计算、距离改正计 算，统称为高斯投影计算。
结束了！！！！
谢谢大家！！！
高斯投影计算内容
• 1、由椭球面上各点大地坐标（B，L）求解 各点高斯平面坐标（x，y）：先在椭球面 上解算球面三角形，推算各边大地方位角， 解算各点大地坐标，然后求解各点的高斯 平面坐标。 • 2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至 高斯投影平面，然后解算平面三角形，推 算各边坐标方位角，在平面上进行平差计 算，求解各点的平面直角坐标。
• 2、将起算边的大地方位角A12改换为平面 坐标方位角T12； T12=A12-γ+δ12 式中， γ为坐标北方向相对于真北方向的夹角称为子 午线收敛角。 δ12为投影曲线的弦线相对于投影曲线构成的 夹角投为方向改正。
• 3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上 的直线长度D12： D12=S12+△S △S是由大地线长度改化为高斯平面上直线长度时 加入的改正数，称为距离改正。 • 4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长 分别进行方向改正和距离改正，归算为高斯平面 上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平 差计算，推求各控制点的平面直角坐标。
高斯投影正反算
高斯投影正反算学院：资源与环境工程工程学院专业：测绘工程 学号：X51414012：超一、高斯投影概述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差围的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性。
由于采用了同样法则的分带投影，这即限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。
高斯投影的这些优点必将使它得到广泛的推广和具有国际意义。
二、高斯投影坐标正算公式1.高斯投影必须满足以下三个条件 1）中央子午线投影后为直线 2）中央子午线投影后长度不变 3）投影具有正形性质，即正形投影条件2.高斯正算公式推导1）由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。
2）由于高斯投影是换带投影，在每带经差ｌ是不大的，ｌρ是一个微小量，所以可以将X=X （ｌ，q ），Y=Y （l ，q ）展开为经差为l 的幂级数，它可写成如下的形式X=m 0+m 2l 2+m 4l 4+…Y=m 1l+m 3l 2+m 5l 5+…式中m 0,m1,m2,…是待定系数，他们都是纬度B 的函数。
3）由第三个条件：∂y ∂l =∂x ∂q 和∂x ∂l =-∂y∂q ，将上式分别对l 和q 求偏导2340123423401234...........x m m l m l m l m l y n n l n l n l n l =+++++=+++++可得到下式0312123403121234111,,,, 234111,,,,234dm dm dm dm n n n n dq dq dq dq dn dn dn dn m m m m dq dq dq dq ⎧====⎪⎪⎨⎪=-=-=-=-⎪⎩经过计算可以得出232244524632235242225sin cos sin cos (594)224 sin cos (6158)720cos cos (1)6cos (5181458)120N N x X B B l B B t l NB B t t l Ny N B l B t l NB t t t l ηηηηη=+⋅+-+++-+=⋅+-++-++-三、高斯投影坐标反算公式推导1.思路：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解。
高斯投影正反算公式
⾼斯投影正反算公式⾼斯投影坐标正反算⼀、基本思想：⾼斯投影正算公式就是由⼤地坐标（L ，B ）求解⾼斯平⾯坐标（x ，y ），⽽⾼斯投影反算公式则是由⾼斯平⾯坐标（x ，y ）求解⼤地坐标（L ，B ）。
⼆、计算模型：基本椭球参数：椭球长半轴a椭球扁率f椭球短半轴：(1)b a f =-椭球第⼀偏⼼率：e a= 椭球第⼆偏⼼率：e b'=⾼斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''?''+=ρηηρρ 5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N l t B N l B N y ''-++-''+''+-''+''?''=ηηρηρρ其中：⾓度都为弧度B 为点的纬度，0l L L ''=-，L 为点的经度，0L 为中央⼦午线经度； N 为⼦午圈曲率半径，1222(1sin )N a e B -=-；tan t B =； 222cos e B η'=1803600ρπ''=*其中X 为⼦午线弧长：2402464661616sin cos ()(2)sin sin 33X a B B B a a a a a B a B ??=--++-+02468,,,,a a a a a 为基本常量，按如下公式计算：200468242684468686883535281612815722321637816323216128m a m m m m m m a m m m a m m m m a m a ?=++++=+++=++=+ =??02468,,,,m m m m m 为基本常量，按如下公式计算：22222020426486379(1);;5;;268m a e m e m m e m m e m m e m =-====；⾼斯投影反算公式：此公式换算的精度为0.0001’’.()()()()2222243246532235242225053922461904572012cos 6cos 5282468120cos f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f ft t B B y t t yM N M N t y t t yM N y y l t N B N B y t t t N B L l L ηηηηη=-+++--++=-+++++++=+其中： 0L 为中央⼦午线经度。
高斯投影计算
确定投影关系 -----数学规则 数学规则
x = F1 ( B, L) y = F2 ( B, L)
x = f1 ( q , l ) y = f 2 (q, l )
确定F 确定 1，F2或f1，f2
二、高斯投影条件 (Condition of Gauss projection)
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
2. 具体计算内容
高斯投影
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
m1 = −
dn0 dq 1 dn1 2 dq
1 dn2 3 dq
n0 →m →n2 →m3 →n4 →m5...... 1
m2 = −
m3 = −
1 dm3 n4 = 4 dq
n5 = 1 dm4 5 dq
m4 = −
1 dn3 4 dq
m0 →n1 →m2 →n3 →m4 →n5......
m5 = −
4. 分带投影的缺点 (Shortcoming of belt dispartion) (1) 不便于跨带三角锁网平差 (2) 不利于图幅拼接 解决办法 西带向东带重迭30 西带向东带重迭 ‘ 东带向西带重迭15 东带向西带重迭 ‘
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
1 dn4 5 dq
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
高斯投影高斯投影正算公式
高斯－克吕格投影也称等角横切椭圆柱投 影，它可看作是等角圆柱投影（墨卡托投 影，1569）的一种，它由德国科学家高斯 处理三角测量成果时首先提出，后经克吕 格完善（1919） ，我国于1952年起正式采 用高斯－克吕格投影。
四个世纪以来，世界各国都用墨卡托投影作 为海图的数学基础。当代常用于较大比例尺 分幅海图或赤道附近的航空图。
《大地测量学基础》（FOUNDATION OF GEODESY）
高斯－克吕格投影 高斯平面坐标系与大地坐标系
的关系（1）
测绘学院一系大地测量教研室
上节课内容回顾
☺ 长度比？ m d s
dS
☺ 椭球面到平面的长度比在什么方 向取极值？
子午方向和卯酉方向 MNcosB
☺ 最大角度变形？ sin a b
② 分带的方法
1) 6°带划分 (n为带号 )
6°带中央子午线的经度计算公式 L0 6 n3
已知6°带中央子午线的经度反算带号
n
1 6
(L0
3
)
计算任意经度所在投影带的带号公式
nL的 整 数 商 （ 1有 余 数 时 ） 6
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
② 分带的方法
2) 3°带划分 (n'为带号 )
3°带中央子午线的经度计算公式 L0 3 n
已知3°带中央子午线的经度反算带号 n L 0 3
计算任意经度所在投影带的带号公式 n L 1.5 1 3
③ UTM分带的方法
UTM的分带是从经度180°起向东每6°为一 带，即与国际百万分之一地形图的划分一致；
（135°02′30″）
南海南沙群岛的曾母 暗沙（3°52′）
高斯投影坐标正反算公式
§8.3高斯投影坐标正反算公式任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②假设是正形投影，除了满足正形投影的条件外〔C-R 偏微分方程〕，还有它本身的特殊条件。
高斯投影坐标正算公式： B,l ⇒ x,y高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x 为l 的偶函数，y 为l 的奇函数；0330'≤l ，即20/1/≈''''ρl ，如展开为l 的级数，收敛。
+++=++++=553316644220l m l m l m y l m l m l m m x 〔8-33〕式中 ,,10m m 是待定系数，它们都是纬度B 的函数。
由第三个条件知：qyl x l y q x ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (8-33)式分别对l 和q 求偏导数并代入上式----=++++++=+++5533156342442204523164253l dqdm l dq dm l dq dm l m l m l m l dqdm l dq dm dq dm l m l m m (8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l 前的系数应相等，即dq dm m dqdm m dqdm m 2312013121⋅=⋅-==(8-35)(8-35)是一种递推公式，只要确定了0m 就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X ，即(8-33)式第一式中，当0=l时有：0m X x == (8-36) 顾及(对于中央子午线)B V Mr M B N dq dB M dBdXcos cos 2==== 得：B V cB N r dq dB dB dX dq dX dq dm m cos cos 01===⋅===(8-37,38)B B Ndq dB dB dm dq dm m cos sin 22121112=⋅-=⋅-= (8-39)依次求得6543,,,m m m m 并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2lt t B B N lt B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N lt B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ (8-42) 高斯投影坐标反算公式x,y ⇒B,l投影方程：),(),(21y x l y x B ϕϕ== (8-43)满足以下三个条件：①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
高斯投影及其计算资料
由图可知
tan 90 A P2P3 MdB N cos Bdq dq P1P3 rdl N cos Bdl dl
即
dl tan Adq
于是
等量纬度
m2
dx2 dy2
r2[(dq)2 dl
2 ]
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
于是有
x F1B, L 相当于 x xq,l
y
F2
B,
L
y yq,l
dx
x q
dq
x l
dl
dy
y
dq
y
dl
q l
代入
ds2 dx2 dy2
ds2
x q
2
dq 2
2
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
x q
x l
dq
dl
x l
2
dl
2
y q
2
dq
2
2
y q
y l
dq
dl
y l
2
dl
2
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
ds2
x q
2
y q
2
dq
2
2
x q
x l
y q
y l
高斯投影及换带计算
测绘学院《大地测量学基础》课件
10
6.2 高斯投影概述（重点）
1、控制测量对地图投影的要求
1）等角投影（又称正形投影）
2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起 的改正数。
3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样 的计算公式和用表把各带联成整体 。
测绘学院《大地测量学基础》课件
8
• 3、中国各种地图投影：
1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方 位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割 圆锥投影。
• 2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正 轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投 影（宽带）。
• 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时 期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯克吕格投影（解放以后）。
x F1(L, B) y F2 (L, B)
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上 的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平 面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差 异称作投影的变形
测绘学院《大地测量学基础》课件
4
长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
（1）该点位于6˚ 带的第几带？
（第19带）
（2）该带中央子午线经度是多少？
（L。=6º×19-3º=111˚）
（3）该点在中央子午线的哪一侧？
（先去掉带号，原来横坐标y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西侧）
（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？
（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）
大地测量高斯投影正反算
高斯投影正反算姓名：王义文班级：四班学号：2009301610135程序说明：本程序基于MFC基本对话框，由于MFC程序构建框架的代码冗长，打印出来恐怕影响阅读效率，所以下面的代码是经过剔除之后的一些核心代码，希望老师谅解！界面关联变量说明：纬度值的度、分、秒分别与B_DD,B_MM,B_SS相关联，缺省项自动设定为0。
经度值的度、分、秒分别与L_DD,L_MM,L_SS相关联，同上。
L0_DD则表示为L0的值，单位：度。
x,y分别与坐标值关联，且y为加500KM以后的值。
单位：米。
m_keshi=1是克氏椭球，=0为IAG椭球，且此处不能缺省。
m_zheng=1表示正算，=0为反算，且此处不能缺省。
核心代码说明：void C高斯投影正反算4Dlg::OnBnClickedRadio3() //此处为正算的设定，如果正算，设定输入焦{ 点在B_DD。
x,y为只读项。
m_zheng=1;((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT1))->SetFocus();((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT1))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT2))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT3))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT4))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT5))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT6))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT7))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT8))->SetReadOnly();((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT9))->SetReadOnly();}void C高斯投影正反算4Dlg::OnBnClickedRadio4() //反算的设定：设置输入焦点在L0_DD，且B，{ L的角度值为只读。
高斯投影及换带计算
测绘学院《大地测量学基础》课件
24
高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角 坐标系的异同点 ：
不同点： 1、 x，y轴互异。 2、 坐标象限不同。 3、表示直线方向的方位角
定义不同。 相同点：
数学计算公式相同。
测绘学院《大地测量学基础》课件
Ⅳx
o
Ⅲ
α Ⅰp
D
y
Ⅱ
x=Dcosα
y=Dsinα
高斯平面直角坐标系
y3
6N
3 f
cos
Bf
1
2t
2 f
2 f
y5
120N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
2 f
测绘学院《大地测量学基础》课件
30
3、高斯投影坐 标正反算公式的
几何解释 ：
①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且 为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴， 其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。
B B f
tf 2M f N f
y2
tf
24M
f
N
3 f
5
3t
2 f
2 f
9
2 f
t
2 f
y4
过所求点P作中央子午线的垂线，
tf
720M
f
N
5 f
y
61
90t
2 f
45t
4 f
y6
该垂线与中央子午线的交点的纬 度，称垂足纬度。其值由子午线 弧长计算公式反算求得。
高斯投影及其计算
x y
FF12((BB,,ll))
f (z) f (z0)
f
(z0 )( z
x iy f (q il)
z0 )
f
(z0 ) (z 2!
z0 )2
设 z q il，z0 q ，在高斯投影分带中，经差 l 一般仅为 1.5
或
3 ，
f (q)
l2 2
d 2 f (q) dq 2
l4 24
d 4 f (q) dq 4
l 6 d 6 f (q)
720
dq6
il
df (q) l3
dq 6
d 3 f (q) l5 d 5 f (q)
dq3
120
dq5
l2 d2X l4 d4X l6 d6X
i
y q
f l
(x iy) l
x i y l l
又:
f f (q il) f q (q il) q (q il) f f (q il) i f
l (q il) l
（三）投影长度比与变形指标
投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该线段实际 长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。长度变形—— v= m-1
变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上微分圆： 投影平面上对应为微分椭圆：
大地测量学基础
第一节 地图投影概念和正形投影性质
（四）地图投影的分类
高斯投影坐标计算
本节要点提要
1、高斯投影坐标正算公式 2、高斯投影坐标反算公式 3、高斯投影坐标正算的数值公式 4、高斯投影坐标反算的迭代计算公式
地图投影的分类
• 按投影变形性质分类: 等角投影 等距投影 等积投影
a=b
• 按投影面分类 : 圆锥面 正轴投影 切投影
a=1 or b=1
圆柱(椭圆柱) 面 横轴投影 割投影
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影 条件。
高斯投影坐标正算
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件（中央子午线投影后为直线） 可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即 中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子 午线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式
d m d m d m 1 1 0 1 m m m = 2 1 2 3 d q 2 d q 3 d q
m0=?
３) 由第二条件（中央子午线投影后长度不变）可 知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应 该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。
Байду номын сангаас
a· b=1
平面投影 斜轴投影
• 按投影的中心轴线: • 按椭球面与投影面的切割情况分:
高斯投影特性（三个）： – 中央子午线投影后为一直线，且长度不变； 其它经线为凹向中央子午线的曲线，且长 度改变。 – 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其 它纬线呈凸向赤道的曲线。 – 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线 与纬度也互相垂直，即高斯投影为等角投 影。
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影 坐标正算公式精度为0.001m
高斯投影坐标计算
d m d m d m 2 4 0 2 2 4 4 m 3 m l 5 m l l l 3 5 1 d q d q d q d m d m d m 3 5 3 3 1 2 m l 4 m l l l 5l 2 4 d q d q d q
(3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈 厉害，长度变形也愈大。
谢谢!
由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式
d m d m d m 1 1 0 1 m m m = 2 1 2 3 d q 2 d q 3 d q
m0=?
３) 由第二条件（中央子午线投影后长度不变）可 知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应 该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。
B，l 的单位为弧度。
Bf为x值对应的底点纬度， tf ηf Mf Nf 均为底点纬度 的函数。
当l＜3.5°时，
上式换算精度达0.0001″
高斯投影反算公式的几何解释
2 4 B B ( ny ny f 2 4
)
=B B f
Bf
P″(0,Bf)
3、高斯投影坐标正算的数值公式 将75国际椭球参数代入前面推导的高斯计算公式， 经过一些简单变化，可得高斯投影正算公式。 高斯投影正算公式:
y N N cosB f f 2 cos Bf )sinBf cosBf b2 (0.50.00336975 2 2 b 0 . 333333 ( 0 . 1666667 0 . 001123 cos B ) cos Bf 3 f 2 2 b 0.25(0.161612 0 . 005617 cos B ) cos Bf 4 f 2 2 b 0 . 2 ( 0 . 16667 0 . 00878 cos B ) cos Bf 5 f
6 高斯投影及其计算
其推证步骤为：
1、从长度比表达式出发 系式； ，求出m2与dx2，dy2和dB2，dl2关
2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数； 3、对 x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号E、F、G； 4、根据长度比m与方向A无关，得F=0，E=G； 5、由E=G、F=0得主要条件。
应用大地测量学
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
二、正形投影特性
两个基本要求： 1、任一点上，投影长度比m 为一常数，不随方向而变， 仅与点位臵有关。 2、投影后角度不变形。又叫保角映射。条件是在微小范 围内成立。 所以，正形投影的特性是：投影长度比m仅与点的位臵有 关，而与方向无关。
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
四、正形投影一般公式
根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)—黎曼 (Riemann)条件，式中，f代表任意解析函数。
x iy f (q il )
证明：
f x iy x y i q q q q f x iy x y i l l l l
x y x y q q l l
2 2 2 2
x y q l
x y l q
从椭球面到平面投影的柯西-黎曼条件
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
2 2
第六章 高斯—克吕格投影
3N
6
cos (1 tg )
3
5N
120
cos5 (5 18tg 2 4tg 4 4 ) ......
（6-7）
16
经纬线形状：
本投影通常是按一定的经差分带投影，每带的经差一般不大（6或3）。
17
图6-2 高斯-克吕格投影全球经纬格网
18
x s
y x
x
-dy
N
由于对取导数比较复杂，以下利用等角 条件加以变换，得：
x x r M y y r M
o
-dy
-dx F 图6-3 子午线收敛角
A’
y
y tg x
25
或利用下式
x x x x d d d dx tg y y y y dy d d d
同理可得：
考虑到H=（EG-F2）=(x/)(y/)-(y/)(x/) 是一个面积元素， 恒为正，在上面两式的开方中，只有当第一个式子取负号，第二个式子 取正号时，才恒成立。所以等角条件还可以表示为：
x r y M
y r x M
10
第六章
高斯-克吕格投影
（Gauss-Krüger Projection）
§6-1 高斯-克吕格投影的原理和公式
投影性质
等角横切椭圆柱投影
名称由来
德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年 代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投 影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。
2
概念
2 2 2 2 2 2
15
高斯—克吕格投影的直角坐标公式：
将以上求得的各个系数a代入前面的方程，加以整理，有：
大地测量学第六章高斯投影及其计算
d y2 M d B )2
d L2 ]
NcosB
2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数（l为与中央子午线的经差）；
3、对 x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号E、F、G；
4、根据长度比m与方向A无关，F=0，E=G；
5、由E=G、F=0，得一般条件：
应用大地测量学
（三）投影长度比与长度变形 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该
线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。一般m与 点位以及与方向有关。
长度变形—— 长度比与1之差。v= m-1 v > 0 时，投影后长度将增大，v < 0时，投影后长度 缩短。
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
应用大地测量学
§6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系
§6.2.1 高斯投影的基本概念
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
§6.2.3 高斯投影的分带
§6.2.4 高斯投影的计算内容
应用大地测量学
§6.2.1 高斯投影的基本概念
(完整版)高斯投影正反算
高斯投影正反算学院：资源与环境工程工程学院专业：测绘工程学号：X51414012姓名：孙超一、高斯投影概述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性。
由于采用了同样法则的分带投影，这即限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。
高斯投影的这些优点必将使它得到广泛的推广和具有国际意义。
二、高斯投影坐标正算公式1.高斯投影必须满足以下三个条件1）中央子午线投影后为直线2）中央子午线投影后长度不变3）投影具有正形性质，即正形投影条件2.高斯正算公式推导1）由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。
2）由于高斯投影是换带投影，在每带内经差ｌ是不大的，ｌρ是一个微小量，所以可以将 X=X （ｌ，q ），Y=Y （l ，q ）展开为经差为l 的幂级数，它可写成如下的形式X=m 0+m 2l 2+m 4l 4+…Y=m 1l+m 3l 2+m 5l 5+…式中m 0,m1,m2,…是待定系数，他们都是纬度B 的函数。
3）由第三个条件：∂y ∂l =∂x ∂q 和∂x ∂l =-∂y ∂q ，将上式分别对l 和q 求偏导2340123423401234...........x m m l m l m l m l y n n l n l n l n l =+++++=+++++可得到下式0312123403121234111,,,, 234111,,,,234dm dm dm dm n n n n dq dq dq dq dn dn dn dn m m m m dq dq dq dq ⎧====⎪⎪⎨⎪=-=-=-=-⎪⎩L L 经过计算可以得出232244524632235242225sin cos sin cos (594)224sin cos (6158)720cos cos (1) 6cos (5181458)120N N x X B B l B B t l N B B t t l N y N B l B t l N B t t t l ηηηηη=+⋅+-+++-+=⋅+-++-++-三、高斯投影坐标反算公式推导1.思路：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
（重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介
5、将各阶导数代入上式得最后正算公式。
基本公式：6-21，实用公式：6-24，精确公式：6-26。
（B，L）计算（x，y）正算公式中子午弧长 X的计算（见本书151页公式5-41）
X C [ β0B ( β2c o s Bβ4c o s3B β6c o s5B β8c o s7B ) s i n B ] ;
应用大地测量学
§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
§6.1.4 正形投影的一般公式
应用大地测量学
§6.1.2 正形投影特性
1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变， a=b。长度比仅与点位置有关，不同点投影有不同的长度比。
2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件 是在微小范围内成立。正形投影又叫等角投影。
采用正形投影，在有限范围内，使地形图上的图形与椭球 面上的相应图形保持相似。
应用大地测量学
§6.1.3 正形投影的一般条件
正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
推导过程：由长度比的定义顾及正形投影的特性导出。
几何投影--中心投影
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
（二）投影变形 投影变形不可避免（褶皱或破裂）。有角度变形、长度
变形和面积变形三种。根据实际需要选择某种变形为零或 使其减小到某一适当程度。如高斯投影，保持角度不变形， 但长度和面积有变形。
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
高斯平面直角坐标系的X轴和Y轴。
x
N
N
O
O
y
S S
应用大地测量学
§6.2.1 高斯投影的基本概念
高斯投影的条件： （1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求； （2）中央子午线投影后是一条直线； （3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等 于1。 （4）高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外， 不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1，且离开 中央子午线愈远，长度变形愈大。
§6.1.4 正形投影的一般公式
根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)—黎 曼(Riemann)条件，式中，f代表任意解析函数。
x iy f (q il)
通过证明，上述复变函数能满足正形投影的必要和充分条 件。也就是说能满足上述复变函数的函数f，都能满足正形投 影条件。根据该式可以导出高斯投影坐标计算公式。
应用大地测量学
§6.2.4 高斯投影的计算内容
第二种方法的具体推算内容如下: 1、将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为高斯平面坐标（x1，y1）—— 高斯投影坐标计算。 2、将起算边的大地方位角A12改换为平面坐标方位角T12；
T12=A12-γ+δ12 式中，γ为子午线收敛角，δ12为方向改正。 3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上的直线长度D12：
应用大地测量学
§6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系
§6.2.1 高斯投影的基本概念
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
§6.2.3 高斯投影的分带
§6.2.4 高斯投影的计算内容
Байду номын сангаас
应用大地测量学
§6.2.1 高斯投影的基本概念
高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影。在高斯投影
平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，分别为
§6.1.4 正形投影的一般公式
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
（一）几何投影及其变形
几何投影——又叫透视投影，有中心投影、平行投影等。 特点：有几何意义，有投影函数。
数学投影——是数学的投影，建立椭球面大地坐标（B、 L）与投影平面上对应的坐标（x、y）之间的函数关系。 无几何意义，是一种数学变换。
应用大地测量学
§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
§6.1.4 正形投影的一般公式
应用大地测量学
§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
C a 2/b； 对 应 不 同 的 椭 球， 其 参 数 不 同 ， 所 计 算的 X不 同 。
上式可以变换为：
B
X C β0
（ β2c o s Bβ4c o s3B β6c o s5B β8c o s7B ） s i n B ，
依 此 公 式 按 迭 代 法 可 以由 X求 B。
应用大地测量学
式 中β , 0
1
3 e2 4
4 5 e4 64
175e6 256
11025e8， 16384
β2
β0
1 ， β4
15 e4 32
175e6 384
3 6 7 5e8， 8192
β6
35e6 96
735 e8， 2048
β8
315 e8， 1024
a
x' x
,b
y' y
若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。
若ab=1，则为等面积投影。
椭球面上的微分圆：
投影平面上对应为微分椭圆：
应用大地测量学
§6.1.1 地图投影及其变形
（五）地图投影的分类
等角投影——投影后角度不变，保持小范围内图形相似。 等面积投影——用于某些专题地图，投影后面积不变。 平面投影——投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。 圆锥面投影——圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学 投影。 圆柱面投影——圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午面上相切， 按数字投影。 正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。 横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。 斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。
应用大地测量学
§6.1.3 正形投影的一般条件
正形投影的一般条件的推导过程
应用大地测量学
§6.1.3 正形投影的一般条件
其推证步骤为： 1、从长度比表达式出发
，求出m2与dx2，dy2和dB2，dl2关系式：
m2
d s 2
d
S
d x2 d y2
d x2
( M d B )2 ( N c o s B d L2) ( N c o s B2)[ (
L0 3° 9°
75° 81° 87° 93° 99° 105° 111° 117° 123° 129° 135°
N1
2
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
L 0° 6° 12°72° 78° 84° 90° 96° 102° 108° 114° 120° 126° 132° 138°
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
推证过程： 1、高斯投影坐标正算函数式 2、根据正形投影的一般公式： x+iy=f（q+il）以及高斯投影的条件 推导正算公式，可以将一般公式在q处展为il 的台劳级数。 3、将以上公式在e（B，0）点展开， 此处中央子午线长度比 m=1，有
4、由
求各阶导数。
n 1 23
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
应用大地测量学
§6.2.3 高斯投影的分带
6°带带号N和中央子午线经度 LN的关系式：LN=6N-3
3°带带号n和中央子午线经度 Ln的关系式：Ln=3n