2018-2019人教版九年级数学下册-27.2.3 相似三角形的应用举例带教学反思

27.2.3 相似三角形的应用举例

1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；(重点)

2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．(难点

)

一、情境导入

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？

二、合作探究

探究点：相似三角形的应用

【类型一】 利用影子的长度测量物体的高度

如图，某一时刻一根2m 长的竹竿EF 的影长GE 为1.2m ，此时，小红测得一棵被

风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6m ，求树AB 的长．

解析：先利用△BDC ∽△FGE 得到BC 3.6＝21.2，可计算出BC ＝6m ，然后在Rt △ABC 中利用

含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB 的长．

解：如图，CD ＝3.6m ，∵△BDC ∽△FGE ，∴BC CD ＝EF GE ，即BC 3.6＝21.2，∴

BC ＝6m.在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12m ，即树长AB 是12m.

方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题

【类型二】 利用镜子的反射测量物体的高度

小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度．如图，在水平地面点E 处放

一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE ＝20m.当她与镜子的距离CE ＝2.5m 时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B .已知她的眼睛距地面高度DC ＝1.6m ，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度(注：入射角＝反射角)．

解析：根据物理知识得到∠BEA ＝∠DEC ，所以可得△BAE ∽△DCE ，再根据相似三角形的性质解答．

解：如图，∵根据光的反射定律知∠BEA ＝∠DEC ，∵∠BAE ＝∠DCE ＝90°，∴△BAE ∽△DCE ，∴AB DC ＝AE EC .∵CE ＝2.5m ，DC ＝1.6m ，∴AB 1.6＝202.5，∴

AB ＝12.8，∴大楼AB 的高度为12.8m. 方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题

【类型三】 利用标杆测量物体的高度

另一部分在建筑物的墙面上．小

明测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为9.6m ，在墙面上的影长CD 为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m 的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度．

解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 解：如图，过点D 作DE ∥BC ，交AB 于E ，∴DE ＝CB ＝9.6m ，BE ＝CD ＝2m ，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA ∶ED ＝1∶1.2，∴AE ＝8m ，∴AB ＝AE ＋EB ＝8＋2＝10m ，∴学校旗杆的高度为

10m.

方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型四】 利用相似三角形的性质设计方案测量高度

星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念

北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．

解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．在距离纪念碑AB 的地面上

平放一面镜子E ，人退后到D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A .若人眼距地面距离为CD ，测量出CD 、DE 、BE 的长，就可算出纪念碑AB 的高．

解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB 的地面上平放一面镜子E ，人退后到D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A .若人眼距地面距离为CD ，测量出CD 、DE 、BE 的长，就可算出纪念碑AB 的高．

理由：测量出CD 、DE 、BE 的长，因为∠CED ＝∠AEB ，∠D ＝∠B ＝90°，易得△ABE ∽△CDE .根据CD AB ＝DE BE ，即可算出AB 的高．

方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

三、板书设计

1．利用相似三角形测量物体的高度；

2．利用相似三角形测量河的宽度；

3．设计方案测量物体高度．

通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识．基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.