初三中考数学 平面直角坐标系与函数的概念
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第四章 函数
课时14. 平面直角坐标系与函数的概念
【课前热身】
1.函数3-=x y 的自变量x 的取值范围是 .
2.若点P(2,k-1)在第一象限,则k 的取值范围是 .
3.点A(-2,1)关于y 轴对称的点的坐标为___________;关于原点对称的点的坐标为________.
4. 如图,葡萄熟了,从葡萄架上落下来,下面图象可以大致反映葡萄下落过程中的速度v 随时间变化情况是( )
5.在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD 顶点
A 、
B 、D 的坐标分别是(0,0),(5,0)(2,3),则
C 点
的坐标是( )
A .(3,7) B.(5,3)
C.(7,3)
D.(8,2)
【考点链接】
1. 坐标平面内的点与______________一一对应.
2. 点的位置
横坐标符号 纵坐标符号
第一象限
第二象限
第三象限 第四象限
3. x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0.
4. P (x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________,关于y 轴对称的点坐标为________,
关于原点对称的点坐标为___________.
5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________.
6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________.
7. x y =有意义,则自变量x 的取值范围是 . x
y 1=有意义,则自变量x 的取值范围是 .
【典例精析】
例1 ⑴ 在平面直角坐标系中,点A 、B 、C 的坐标分别为A (-?2,1),B (-3,
-1),
C(1,-1).若四边形ABCD为平行四边形,那么点D的坐标是_______.(2)将点A(3,1)绕原点O顺时针旋转90°到点B,则点B?的坐标是_____.
例2 ⑴一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体
温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫
了. 图中能基本上反映出亮亮这一天(0时~24时)体温的变化情况的是( )
⑵汽车由长沙驶往相距400km 的广州. 如果汽车的平均速度是100km/h,
那么汽车距广州的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系用图象表示应
为( )
例 3 一农民带了若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,
按市场价售出一些后,又降价出售, 售出土豆千克数与他手中持有的钱线(含备用零钱)的关系如图所示,结合图象回答下列问题:
(1) 农民自带的零钱是多少?
(2) 降价前他每千克土豆出售的价格是多少?
(3) 降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零
钱) 是26元,问他一共带了多少千克土豆.
【中考演练】
1.函数11
+=x y 中,自变量x 的取值范围是 .
2.已知点P 在第二象限,且到x 轴的距离是2,到y 轴的距离是3,则点P 的坐标为 .
3.将点(12),向左平移1个单位,再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是 .
4.点P (-2,3)关于x 轴的对称点的坐标是________.
5.在平面直角坐标系中,点P (-1,2)的位置在 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.(06十堰)学校升旗仪式上,?徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画,这幅图是下图中的( )
7.点A (—3,2)关于y 轴对称的点的坐标是( )
A.(-3,-2)
B.(3,2)
C.(3,-2)
D.(2,-3)
8.若点P (1-m ,m )在第二象限,则下列关系式正确的是( )
A. 0 B. m<0 C. m>0 D. m>l 9.小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长为x(cm)的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围. 10. 如图,点A 坐标为(-1,1),将此小船ABCD 向左平移2个单位,再向上平移3 个单位得A′B′C′D′. (1)画出平面直角坐标系; (2)画出平移后的小船A′B′C′D′,写出A′,B′,C′,D′各点的坐标. 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. 新定义型专题 (一)专题诠释 所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 (二)解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移. 的差倒数是 111(1)2 =--. 已知a 1=-1 3,a 2是a 1的差倒数,a 3是a 2的差倒数,a 4是a 3的差倒数,…,依此类推,a 2009= . 考点二:运算题型中的新定义 例2.对于两个不相等的实数a 、b ,定义一种新的运算如下,*0a b a b a b = +(>)﹣,如: 3*2= =6*(5*4)= . 例3.我们定义ab ad bc cd =-,例如23 45 =2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2,若x ,y 均为整数,且满足1< 14x y <3,则x+y 的值是 . 考点三:探索题型中的新定义 例4.定义:到凸四边形一组对边距离相等,到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图 1,PH=PJ ,PI=PG ,则点P 就是四边形ABCD 的准内点. (1)如图2,∠AFD 与∠DEC 的角平分线FP ,EP 相交于点P .求证:点P 是四边形ABCD 的准内点. (2)分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点.(作图工具不限,不写作法,但要有必要的说明) (3)判断下列命题的真假,在括号内填“真”或“假”. ①任意凸四边形一定存在准内点.( ) ②任意凸四边形一定只有一个准内点.( ) ③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点,则PA+PB=PC+PD 或PA+PC=PB+PD .( ) 考点四:阅读材料题型中的新定义 阅读材料 我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型,来逐步认识这个事物; 比如我们通过学习两类特殊的四边形,即平行四边形和梯形(继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等)来逐步认识四边形; 中考数学知识点总结 一、常用数学公式 公式分类公式表达式 乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 二、基本方法 1、配方法 所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 最新的2019中考新定义题 1.在平面直角坐标系xOy 中的某圆上,有弦MN ,取MN 的中点P ,我们规定:点P 到某点(直线)的距离叫 做“弦中距”,用符号“d 中”表示. 以(3,0)W -为圆心,半径为2的圆上. (1)已知弦MN 长度为2. ①如图1:当MN ∥x 轴时,直接写出到原点O 的d 中的长度; ②如果MN 在圆上运动时,在图2中画出示意图,并直接写出到点O 的d 中的取值范围. (2)已知点(5,0)M -,点N 为⊙W 上的一动点,有直线2y x =-,求到直线2y x =-的d 中 的最大值. 2.1所示,若点P 是 抛物线14 y =PH PF =M 的距离之和的最小 值为d ,称d 4y x = 的关联距离;当24d ≤≤时,称点M 为抛物线21 4 y x =的关联点. (1)在点1(20)M , ,2(12)M ,,3(45)M ,,4(04)M -,中,抛物线21 4 y x =的关联点是______ ; (2)如图2,在矩形ABCD 中,点(1)A t , ,点(13)A t +,C ( t . ①若t =4,点M 在矩形ABCD 上,求点M 关于抛物线2 14 y x =的关联距离d 的取值范围; ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线2 14 y x = 的关联点,则t 的取值范围是__________. 3.对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y (x ≠0),将它的纵坐标y 与横坐标x 的比 y x 称为点Q 的“理想值”,记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”2 21 Q L = =--. (1)①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上,则点Q 的“理想值”Q L 等于_________; ②如图,C ,⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上,则点Q 的“理想值” Q L 的取值范围是 . (2)点D 在直线+3y x =上,⊙D 的半径为1,点Q 在⊙D 上运动时都有 0≤L Q ,求点D 的横坐标D x 的取值范围; (3)(2,)M m (m >0),Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点,当0≤L Q ≤ 二次函数综合题训练题型集合 1、如图1,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上. (1)求m的值及这个二次函数的关系式; (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间 的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说 明理由. 2、如图2,已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B.(1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 -9 -1 -1 A B 图2 P B A C O x y Q 图3 3、如图3,已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0),A(4,0),B(3,3)三点,连结AB ,过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. (1) 求这条抛物线的函数关系式. (2) 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中,点P 沿着线段0A 向A 点运动,点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t (秒) (0<t <4),△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式; ② 当t 为何值时,S 有最大值,最大值是多少?并指出此时△PQA 的形状; ③ 是否存在这样的t 值,使得△PQA 是直角三角形?若存在,请直接写出此时P 、Q 两点的坐标;若不存在,请说明理由. 7、(07海南中考)如图7,直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . (1)求该二次函数的关系式; (2)设该二次函数的图象的顶点为M ,求四边形AOCM 的面积; (3)有两动点D 、E 同时从点O 出发,其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动,点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动, 当D 、E 两点相遇时,它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时,ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中,是否存在DE ∥OC ,若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由; ②请求出S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; ③设0S 是②中函数S 的最大值,那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x 2019-2020年中考数学专题复习新定义问题【专题点拨】 新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念,然后利用新定义、新概念解题,其解题步骤一般都可分为以下几步:1.阅读定义或概念,并理解;2.总结信息,建立数模; 3.解决数模,回顾检查.“新概念”试题,其设计新颖,构思独特,思维容量大,既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力,又能考查学生知识迁移的能力和数学素养,同时还兼具了区分选拔的功能 . 【解题策略】 具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决 【典例解析】 类型一:规律题型中的新定义 例题1:(2015?永州,第10题3分)定义[x]为不超过x的最大整数,如[3.6]=3,[0.6]=0,[﹣3.6]=﹣4.对于任意实数x,下列式子中错误的是() A.[x]=x(x为整数) B.0≤x﹣[x]<1 C.[x+y]≤[x]+[y]D.[n+x]=n+[x](n为整数) 【解析】:根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算 【解答】:解:A、∵[x]为不超过x的最大整数, ∴当x是整数时,[x]=x,成立; B、∵[x]为不超过x的最大整数,∴0≤x﹣[x]<1,成立; C、例如,[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9,[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+(﹣4)=﹣10,∵﹣9>﹣10, ∴[﹣5.4﹣3.2]>[﹣5.4]+[﹣3.2], ∴[x+y]≤[x]+[y]不成立, D、[n+x]=n+[x](n为整数),成立; 故选:C. 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用,解决本题的关键是理解新定义.新定义解题是近几年中考常考的题型. 中考数学重点知识点及重要题型 知识点1:一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2.一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4,常数项是-2. 3.一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3,常数项是-7. 4.把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2:直角坐标系与点的位置 1.直角坐标系中,点A (3,0)在y 轴上。 2.直角坐标系中,x 轴上的任意点的横坐标为0. 3.直角坐标系中,点A (1,1)在第一象限. 4.直角坐标系中,点A (-2,3)在第四象限. 5.直角坐标系中,点A (-2,1)在第二象限. 知识点3:已知自变量的值求函数值 1.当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2.当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3.当x=-1时,函数y=3 21-x 的值为1. 知识点4:基本函数的概念及性质 1.函数y=-8x 是一次函数. 2.函数y=4x+1是正比例函数. 3.函数x y 2 1-=是反比例函数. 4.抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5.抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. 6.抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7.反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5:数据的平均数中位数与众数 1.数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2.数据3,4,2,4,4的众数是4. 3.数据1,2,3,4,5的中位数是3. 知识点6:特殊三角函数值 1.cos30°= 2 3. 2.sin 260°+ cos 260°= 1. 3.2sin30°+ tan45°= 2. 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
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