自动控制原理课件 第九章 状态空间分析法
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自动控制原理课件8状态空间分析法
1 2 3
解析法
通过解状态方程和输出方程，得到系统的状态和 输出响应。
数值法
采用数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等， 对状态方程和输出方程进行离散化求解，得到系 统的离散时间响应。
线性时不变系统的性质
分析线性时不变系统的稳定性、可控性和可观测 性等性质，为系统设计和控制提供依据。
状态空间模型的求解方法
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
计算复杂度和提高计算效率。
状态空间分析法的优势与局限性
01 02 03 04
局限性
对于非线性系统和时变系统，建立状态空间模型可能较为复杂。
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
描述输入对状态变量的影响。
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
描述输入对状态变量的影响。
计算复杂度和提高计算效率。
02 状态空间模型的建立
02 状态空间模型的建立
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
第九章 状态空间分析法
Y = CX
系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间 表达式，或称状态空间描述。 表达式，或称状态空间描述。 对于前例，其状态空间描述为： 对于前例，其状态空间描述为：
& X = AX + bu Y = CX
多输入多输出系统的状态空间表达式为： 多输入多输出系统的状态空间表达式为： 系统的状态空间表达式为
§9.2 传递函数与动态方程的关系
由于一个系统既可以用传递函数（微分方程）来描述，又 由于一个系统既可以用传递函数（微分方程）来描述， 可以用动态方程来描述。因此这两种描述间必然有着内在联系。 可以用动态方程来描述。因此这两种描述间必然有着内在联系。
du1 (t ) C1 dt = i (t ) − i2 (t ) C duc (t ) = i (t ) 2 2 dt u1 (t ) − uc (t ) i2 (t ) = R2 u (t ) − u1 (t ) i (t ) = r R1 y = uc
D U
+
B
+
& X
x
+
∫
A
Y
C
+
四、状态空间表达式的模拟结构图 模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。 模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。
五、状态空间表达式的特点： 状态空间表达式的特点：
1、状态变量的选择不是唯一的，选择不同的状态变量，就得 状态变量的选择不是唯一的，选择不同的状态变量， 到不同的状态变量描述方程。但是不论选择哪一组状态变量， 到不同的状态变量描述方程。但是不论选择哪一组状态变量， 一个 n 阶系统只能有 n 个状态。这 n 个状态： x1(t), 个状态。 个状态： x2(t), … , xn(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变 (t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变 量组。 量组。 2、状态空间描述是系统“输入－状态－输出”诸变量间的时 状态空间描述是系统“输入－状态－输出” 域描述，揭示了系统的全部信息。因面比传递函数描述更为 域描述，揭示了系统的全部信息。 全面、完善。 全面、完善。 4、系统状态变化是一个运动过程，用微分方程进行描述；而 系统状态变化是一个运动过程，用微分方程进行描述； 输出方程为代数方程。 输出方程为代数方程。
自动控制原理状态空间法
自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
自动控制原理状态空间法共78页
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
自动控制原理ห้องสมุดไป่ตู้态空间法
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
自动控制原理ห้องสมุดไป่ตู้态空间法
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
自动控制原理(第九章)
15
一、 线性系统的状态空间描述（14）
4、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种：一直接根据 系统的机理建立相应的微分方程或差分方程，继而选择有关 的物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式；二是 由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态空间表达式。
（1）根据系统机理建立状态空间表达式 通过例题来介绍根据系统机理建立线性定常连续系统 状态空间表达式的方法。
若状态 x 、输入 u 、输出 y 的维数分别为 n, p, q, 则称 n n 矩阵 A(t )及 G (k ) 为系统矩阵或状态矩阵或系数矩阵， 称 n p矩阵 B (t )及 H (k )为控制矩阵或输入矩阵，称 q n 矩阵 C (t ) 及C (k )为观测矩阵或输出矩阵，
12
x (t ) x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t )
T
则向量 x (t ) 称为 n 维状态向量。
8
一、 线性系统的状态空间描述（7）
状态空间: 以 n 个状态量作为基底所组成的 n维空间称 为状态空间。 状态轨线： 系统在任一时刻的状态，在状态空间中用 一点来表示，随着时间的推移，系统状态在变化，并在状 态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间 中随时间变化的轨迹称为状态轨迹或状态轨线。 状态方程： 描述系统状态变量与输入变量之间关系的 一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离 散时间系统）称为系统的状态方程。状态方程表征了系统 由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为 x(t ) f x(t ), u(t ), t 或 x(t k 1 ) f x(t k ), u(t k ), t k
常具有微分方程或差分方程的形式，称为状态方程。另一 T x x1 , x 2 ,, x n 及变量u u1 , u 2 , , u p T 个是表征系统内部变量 T 和输出变量 y y1 , y 2 , , y q 间转换关系的数学式，具有 代数方程的形式，称为输出方程。 仅当在系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有 等价关系。
《自动控制原理》第九章 线性系统的状态空间分析与综合
第九章 线性系统的状态空间分析与综合在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。
可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。
经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。
现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。
由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。
9-1 线性系统的状态空间描述1. 系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。
自动控制原理第九章线性离散控制系统
e -Ts
1 - e-Ts s
注意：这里的输入为1×δ(t)，是单位幅 值脉冲经理想脉冲调制后的信号，即单 位理想脉冲，其拉氏变换为1。
16
u( t )
1
0
uh( t )
1
0T
1 0 -1
说明：零阶保持器实际的传递函数
u( t )
零阶 uh ( t )
保持器
实际的 u( t ) 1( t ) - 1( t - )
t
7
单位幅值脉冲与理想脉冲的区别
δT (t)
1
δT (t)
0 T 2T
t
0 T 2T
t
用 1( t ) 表示 0 时刻的单位幅值脉冲，则第nT 时刻的单位幅值 脉冲为 1( t - nT ) 1( t - nT ) - 1( t - nT - ) , n 0 , 1, 2,
当 0 时， 其拉氏变换为
- s - max 0 max s
2s
s 2max 时
F( j )
- s - max 0 max s
2s
13
s 2max 时
F( j )
- 2s
-
-
s
max
0
max
s
2s
只有满足 s 2max，采样信号 f ( t ) 才包含了原信号
f ( t )的全部信息，因此可以不失真地重现原信号。
说明：采样定理只提供了选择采样周期的理论依据，对于 实际的反馈控制系统，连续反馈信号的上限频率（带宽） 通常难以准确地确定，因此选择采样周期一般依靠估计。
15
u( t )
1
0
uh( t )
1
0T
1 0 -1
精品课件-自动控制原理-第9章
【例9-6】 已知图9-3所示电路的输入量为电流i，现 指定电容C1和C2上的电压uC1、uC2为输出量， L1、L2、C1和C2 为已知的独立变量。试建立此电路网络的状态空间表达式。
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性 图 9-3 电路系统
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
解 根据基尔霍夫电流定律，可以得到a、b和c三个节点 处的电流关系分别为
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
可把上式表示为如下两个一阶微分方程:
u2
(t)
1 C
i(t)i(t )来自1 Lu2 (t)
R L
i(t)
1 L
u1 (t )
取状态变量x1=u2(t)，x2=i(t)，则系统的状态方程为
输出方程
x1
1 C
x2
描x述2 系 统 L1输x出1 量RL与x状2 态 变L1 量u1 间的函数关系式，
通常，对于单变量系统，状态方程习惯写成如下形式:
x1 a11x1 a12x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu
(9.1)
输出方程为
y=c1x1+c2x2+…+cnxn+du 写成矩阵向量形式为
x1 x2
1
L
0
u
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
若指定角速度ω为输出，则系统的输出方程为
y x2 0
1
x1 x2
若指定机械旋转部分转角θ为输出，则系统需增加一个
状态量x3=θ，并且有
x3 x2
(9.2)
x Ax Bu
y
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性 图 9-3 电路系统
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
解 根据基尔霍夫电流定律，可以得到a、b和c三个节点 处的电流关系分别为
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
可把上式表示为如下两个一阶微分方程:
u2
(t)
1 C
i(t)i(t )来自1 Lu2 (t)
R L
i(t)
1 L
u1 (t )
取状态变量x1=u2(t)，x2=i(t)，则系统的状态方程为
输出方程
x1
1 C
x2
描x述2 系 统 L1输x出1 量RL与x状2 态 变L1 量u1 间的函数关系式，
通常，对于单变量系统，状态方程习惯写成如下形式:
x1 a11x1 a12x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu
(9.1)
输出方程为
y=c1x1+c2x2+…+cnxn+du 写成矩阵向量形式为
x1 x2
1
L
0
u
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
若指定角速度ω为输出，则系统的输出方程为
y x2 0
1
x1 x2
若指定机械旋转部分转角θ为输出，则系统需增加一个
状态量x3=θ，并且有
x3 x2
(9.2)
x Ax Bu
y
自动控制原理课件8状态空间分析法
自动控制原理课件8状态空间分析 法
目录
• 状态空间分析法概述 • 线性系统的状态空间分析 • 非线性系统的状态空间分析 • 状态空间分析法的应用
01
状态空间分析法概述
Chapter
状态空间的概念
状态变量
描述系统动态行为的内部变量， 通常选取系统的输入、输出及内 部变量作为状态变量。
状态方程
描述系统内部状态变量之间关系 的数学模型，通常采用微分方程 或差分方程形式表示。
故障隔离和定位
结合状态空间方法和故障诊断算法，可以隔离和 定位故障源，提高故障处理的效率和准确性。
3
故障预测和预防
利用状态空间方法和数据挖掘技术，可以对控制 系统的故障进行预测和预防，降低故障发生的概 率。
THANKS
感谢观看
在控制系统仿真制系统的动态行为，验证 控制策略的有效性。
系统分析和调试
通过仿真实验，分析系统的性能指标，对系统进行调 试和优化。
多目标优化
利用状态空间方法，可以对多个性能指标进行优化， 实现多目标控制。
在控制系统故障诊断中的应用
1 2
故障检测和诊断
通过状态空间方法，可以检测和诊断控制系统的 故障，及时采取措施进行修复和维护。
状态方程定义
描述系统内部状态变量随时间变化的数学模型，通常表示为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A 和B是系统矩阵。
建立状态方程
根据系统的物理特性和输入输出关系，通过适当的方法建立状态方程。
状态方程解法
通过求解状态方程，可以得到系统的状态响应。
线性系统的稳定性
稳定性的定义
极点配置的方法
通过求解线性矩阵不等式或优化问题，找到合适的 控制输入u(t)，使得系统的极点配置在期望的位置 上。
目录
• 状态空间分析法概述 • 线性系统的状态空间分析 • 非线性系统的状态空间分析 • 状态空间分析法的应用
01
状态空间分析法概述
Chapter
状态空间的概念
状态变量
描述系统动态行为的内部变量， 通常选取系统的输入、输出及内 部变量作为状态变量。
状态方程
描述系统内部状态变量之间关系 的数学模型，通常采用微分方程 或差分方程形式表示。
故障隔离和定位
结合状态空间方法和故障诊断算法，可以隔离和 定位故障源，提高故障处理的效率和准确性。
3
故障预测和预防
利用状态空间方法和数据挖掘技术，可以对控制 系统的故障进行预测和预防，降低故障发生的概 率。
THANKS
感谢观看
在控制系统仿真制系统的动态行为，验证 控制策略的有效性。
系统分析和调试
通过仿真实验，分析系统的性能指标，对系统进行调 试和优化。
多目标优化
利用状态空间方法，可以对多个性能指标进行优化， 实现多目标控制。
在控制系统故障诊断中的应用
1 2
故障检测和诊断
通过状态空间方法，可以检测和诊断控制系统的 故障，及时采取措施进行修复和维护。
状态方程定义
描述系统内部状态变量随时间变化的数学模型，通常表示为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A 和B是系统矩阵。
建立状态方程
根据系统的物理特性和输入输出关系，通过适当的方法建立状态方程。
状态方程解法
通过求解状态方程，可以得到系统的状态响应。
线性系统的稳定性
稳定性的定义
极点配置的方法
通过求解线性矩阵不等式或优化问题，找到合适的 控制输入u(t)，使得系统的极点配置在期望的位置 上。
《自动控制原理》系统数学描述的两种基本类型
松弛性 若系统的输出y[t0 ,]由输入u[t0, ]唯一确定，则称系 统在 时刻是松弛的。从能量的观点看，系统在t0时刻是松弛的意味 着系统在时刻不存贮能量。例如RLC网络，若所有电容两端的电压 和流过电感的电流在 t0 时刻均为零(即初始条件为零)，则称网络在 t0 时刻是松弛的。若网络不是松弛的，则其输出不仅由输入决定， 而且与初始条件有关。
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。
自动控制原理课件：状态空间分析
如果系统完全可观测的， 那么在t0≤t≤t1时间间隔内，给定 输出y(t)，就可由上述方程唯一确定x(0)。 这就要求nm×n维 可观测性矩阵的秩为n，即
C CA =n rankP = rank n −1 CA
必要性: 设rankP<n,则存在x(0), 使得Px(0)=0, 即
我们有
10 X 1 (s) = X 2 (s) s+5
状态空间方程的可控性和可观测性
定义 2.1 如果在一个有限的时间内施加一个无约束的控制向量, 使 系统由初始状态x(t0)转移到任一状态, 则称该系统在时间t0时 为状态可控的。 定义 2.2 如果系统的状态x(t0)在有限时间内可由输出的观测值确定, 那么称系统在时刻t0是状态可观测的。 控制系统的状态完全可控性 设状态方程为:
y1 (t ) = g1 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
y2 (t ) = g 2 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
ym (t ) = g m ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
定义:
x(t ) = [ x1 (t ), , xn (t )]
A(t)称为状态矩阵, B(t)称为输入矩阵 C(t)称为输出矩阵, D(t)称为直接传输矩阵
D(t )
u (t )
B(t )
+
x(t )
•
+
∫ dt
A(t )
x(t )
C (t )
+
+
y (t )
如果向量函数f和g不显含时间t, 则称该系统定常系统：
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
C CA =n rankP = rank n −1 CA
必要性: 设rankP<n,则存在x(0), 使得Px(0)=0, 即
我们有
10 X 1 (s) = X 2 (s) s+5
状态空间方程的可控性和可观测性
定义 2.1 如果在一个有限的时间内施加一个无约束的控制向量, 使 系统由初始状态x(t0)转移到任一状态, 则称该系统在时间t0时 为状态可控的。 定义 2.2 如果系统的状态x(t0)在有限时间内可由输出的观测值确定, 那么称系统在时刻t0是状态可观测的。 控制系统的状态完全可控性 设状态方程为:
y1 (t ) = g1 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
y2 (t ) = g 2 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
ym (t ) = g m ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
定义:
x(t ) = [ x1 (t ), , xn (t )]
A(t)称为状态矩阵, B(t)称为输入矩阵 C(t)称为输出矩阵, D(t)称为直接传输矩阵
D(t )
u (t )
B(t )
+
x(t )
•
+
∫ dt
A(t )
x(t )
C (t )
+
+
y (t )
如果向量函数f和g不显含时间t, 则称该系统定常系统：
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
自动控制原理状态空间法
自动控制原理状态 空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
例2,设下图的RLC网络,如果电流 i(t,0电) 容电压
• 状态方程描述了 t0时刻和状态 x(和t0 )输入 u(t0所, 决)定的系统在 的t 行 t为0 .
2.输出方程
• 输出方程是在指定输出变量情况下,(输出变量 往往是选取可以量测的物理量)其输出变量与 状态变量以及输入变量之间的关系. 用
y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
• 其中: • y(t是) m×1维向量, y(t) R, m1 • C(t是) m×n维向量, C(t) ,Rmn • D(t是) m×r维向量, D(t) ,Rmr
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y(n) a1 y(n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
• 对方程(1),若已知 y(,t0], y(,t0], y(n1) (,t0和] 则可u[完t0 , 全) 确定系统在 的行为t,故 t而0 可选取
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
例2,设下图的RLC网络,如果电流 i(t,0电) 容电压
• 状态方程描述了 t0时刻和状态 x(和t0 )输入 u(t0所, 决)定的系统在 的t 行 t为0 .
2.输出方程
• 输出方程是在指定输出变量情况下,(输出变量 往往是选取可以量测的物理量)其输出变量与 状态变量以及输入变量之间的关系. 用
y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
• 其中: • y(t是) m×1维向量, y(t) R, m1 • C(t是) m×n维向量, C(t) ,Rmn • D(t是) m×r维向量, D(t) ,Rmr
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y(n) a1 y(n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
• 对方程(1),若已知 y(,t0], y(,t0], y(n1) (,t0和] 则可u[完t0 , 全) 确定系统在 的行为t,故 t而0 可选取
第九章 状态空间分析法——第二次课自动控制理论
y 0 0 0 1 x du
能观标准状态图
2.线性定常连续系统的能观性判据
C CA 2 rankS0 rank CA n CAn 1
能观的充要件是
C CA 2 对于多输入系统，能观性充要条件是 rankS0 rank CA n CAn 1
2.线性定常连续系统的能控性判据
设系统的动态方程为
x t = Ax t +bu t y t = cx t
能控的充要条件是
rankSc rank b Ab A2b An 1b
n n
n
对于多输入系统，u为r×1维向量，B为n×r矩阵，能控 性的判据为
试判别系统的能控性和能观性 解：
rank B
系统的状态能控。
1 0 1 0 2 1 2 1 C , CA 1 0 0 3 2 1 1 0
1 0 1 0 2 rankS0 rank 2 1 2 1
系统的状态能观。
练习：给定系统的动态方程为
x1 1 1 x1 0 x1 x x 1 u, y 1 0 x 2 2 1 2 2
试判定该系统的能控性和能观测性。 解:
1 1 0 已知 A , b 1 , C 1 0 2 1 0 1 的秩rankS = 2 c 矩阵 Sc [b Ab] 1 1 C 1 0 矩阵 So 1 1 的秩rankSo= 2 CA
x t = Ax t +bu t
《自动控制原理》线性定常连续系统状态空间表达式的建立
+ (bn−2 − h2 − an−1h1 − an−2h0 )u(n−2) ++ (b1 − hn−1 − an−1hn−2 − an−2hn−3 −− a1h0 )u
+ (b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −− a1h1 − a0h0 )u
选择 h0 , h1, hn−1 ，使得上式中u的各阶导
的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导
数项，可以选择如下的一组状态变量。
设
bn
0
，选取： x1 = y − h0u
xi = xi−1 − hi−1u， i = 2,3,, n
其中h0, h1, , hn−1是n个待定系数
x• • •
xi = xi−1 − hi−1u • • •
x1
+
1 L
u ( t)
x2 0
y=0
x1
1
x2
令 x=x 1x2T 为状态向量
则： x • =−
R−
L
1 L
x+
1
L u ( t)
1 c
0
0
y=0 1 x
补充：
• 由（A,B,C,D) 画状态变量图 • 由电路→基本方程→状态变量图→(A,B,C,D) • 状态变量选取不唯一 • D0的解释 • 充放电过程的解释 • 状态方程的稳态求解
（1）求其状态空间表达式 （2）画出其状态变量图
解：选 x1 = y
.
x2 = y
..
x3 = y
则： x1 = x2 x2 = x3
x3 = −6x1 − 8x2 − 5x3 + 3u
y = x1
状态空间表达式为
+ (b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −− a1h1 − a0h0 )u
选择 h0 , h1, hn−1 ，使得上式中u的各阶导
的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导
数项，可以选择如下的一组状态变量。
设
bn
0
，选取： x1 = y − h0u
xi = xi−1 − hi−1u， i = 2,3,, n
其中h0, h1, , hn−1是n个待定系数
x• • •
xi = xi−1 − hi−1u • • •
x1
+
1 L
u ( t)
x2 0
y=0
x1
1
x2
令 x=x 1x2T 为状态向量
则： x • =−
R−
L
1 L
x+
1
L u ( t)
1 c
0
0
y=0 1 x
补充：
• 由（A,B,C,D) 画状态变量图 • 由电路→基本方程→状态变量图→(A,B,C,D) • 状态变量选取不唯一 • D0的解释 • 充放电过程的解释 • 状态方程的稳态求解
（1）求其状态空间表达式 （2）画出其状态变量图
解：选 x1 = y
.
x2 = y
..
x3 = y
则： x1 = x2 x2 = x3
x3 = −6x1 − 8x2 − 5x3 + 3u
y = x1
状态空间表达式为
考研必备之自动化专业自控原理第九章状态空间分析法答案
F(t) k i (z y)m ,z935.1已知机械系统如图 9-7所示，m 「m 2为质量块，m ,受外力F(t)作用。
弹簧的弹性系数如图示,如不计摩擦，自选一定数目的状态变量，建立系统的状态空间描述。
提示：设中间变量质量块mi 的位移为Z ，根据牛顿定律有同理对质量块m 2有k 1(z y)k 2y m 2y②设状态变量X 1z x 2 z X 1 X 3y X 4 y X 3由式①x 2 zk 1 X 1k 1 F(t) X 3m 1m 1m 1由式②X 4 yk 1X 1 k 1k 2 X 3m 2m 2因此有0 10 1X 1 k 1k1X 1 X 1 X 2 X 3 叶0 0 m10 k ? 1 X 2X 3 m 1 F(t) y 0 00 X 2 1 0 2X 3 k 1 0k 1 0 X 4m 2m2X 4X 49.3.5.2 已知系统结构图 如图 9-8 所示。
试写出系统的状态方程和输出方程 (要求与成矢量形式)X 2 1 X 1 y—a ------------------------ r * s 22 10 XX u提示： 2 1 11 Ox图 9-7 题 9.3.5.1(1) y 5y 7y 3y u 6u 8u (2) y 5y 7y3y u 3u 2u0 1 00 提示: (1) x0 0 1 x0 u，状态结构图略3751y 8 6 1 x935.3 已知系统的微分方程，试建立其相应的状态空间描述，并画出相应的状态结构图。
构图略。
0 1 0 0⑵x0 01 x 0 u，状态结3 7 5 1y145 x u9.3.5.4判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的 A 阵。
1 0 0 (1)①(t) 0 sin t cost 0 cost sin t 提示：(1)不是状态转移矩阵，因为①(0) I 。
(2) 1 2t-(1 e ) 22te9.3.5.5 9.3.5.6 (2)是。
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状态方程为 写成
x1 x2
x2 2x1 2x2 2u
x1 x2
0
2
1
2
x1 x2
0
2
u
18
输出
y 1
0
x1 x2
图9-4 例9-3系统的结构图
19
多输入-多输出系统
图9-6 多变量系统
20
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b1pu p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b2 pu p
4. 正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和 运用可控性判据和可观性判据。
4
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5. 熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可控系统 化为可控标准形。能对不可控系统进行可控性分解。
6. 正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题 转化为对偶系统的可控性问题来研究。
7. 正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、 可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实 现、可观性标准形实现的构成方法。
,B
xn
0 0 0 1 a0 a1 a2 an1
0
（9-19）
15
系统结构图如图所示
图9-3
16
例9-3
考虑用下列常微分方程描述的系统
y 2 y 2 y 2u
输入为 u ，输出为y 。 试求系统的状态方程和输出方程。
17
解：
取状态变量 x1 y, x2 y
A
a21
a22
a2
n
B
b21
b22
b2
p
an1
an2
ann
bn1
bn2
bnp
22
输出变量方程
y1 c11x1 c12x2 c1nxn d11u1 d1pup y2 c21x1 c22x2 c2nxn d21u1 d2 pup
7
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一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
已知 t时0 状态， t 时t0的输入，可确定
时任一变量的运动状况。
t t0
： 状态变量 确定动力学系统状态的最小一组变
量
。 t
x2
t
如果完全描述一个给定系统的动态行 为需要n个状态变量，那么状态向量 定义为X(t)。
8. 正确理解状态反馈对可控性、可观性的影响, 正确理解 状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。
5
9. 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌 握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状 态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。
10. 正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的 概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统 BIBO稳定的方法。
第九章
状态空间分析方法
1
主要内容
9-1 状态空间方法基础 9-2 线性系统的可控性和可观性 9-3 状态反馈和状态观测器 9-4 有界输入、有界输出的稳定性 9-5 李雅普诺夫第二方法
返回主目2 录
引言：前面几章所学的内容称为经典控制理
论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作 一简单比较。
经典控制理论
设计的解析性，与计 算机结合，主要在时 间域进行。
基本要求
1. 掌握由系统输入-输出的微分方程式、系统动态结 构图及简单物理模型图建立系统状态空间模型的 方法。
2. 熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域 和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态 方程计算传递函数的公式。
3. 正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换 前、后动态方程各矩阵的关系。
………
xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bnpu p
x1 , x2 , , xn 为状态变量；
u1 , u 2 , , u p
y1 , y2 , , yq
为输入量； 为输出变量。
21
矩阵形式：
x Ax Βu
式中
a11 a12 a1n
b11 b12 b1p
11. 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和 解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。
6
9-1 状态空间方法 基础
• 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单 输入、单输出系统。
• 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采 用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了， 为系统的分析研究提供了有力的工具。
现代控制理论
(20世纪50年代前) (20世纪50年代后)
研究对象
单输入单输出的线 可以比较复杂 性定常系统
数学模型 数学基础
传递函数 (输入、输出描述)
运算微积、复变函 数
状态方程 (可描述内部行为)
线性代数、矩阵理论
设计方法的 特点
非唯一性、试凑成 分多, 经验起很大 作用。主要在复数 域进行。 3
i(t)dt
则有
x1
R L
x1
1 L
x2
1 L
e(t)
x2
1 c
x1
写成
x
R L
1
C
1 L 0
x
1 L 0
u
12
二、系统的状态空间表达式
单输入-单输出线性定常系统
y n an1 y n1 an2 y n2 a0 y u
若给出 (t=0) 时的时初就值可确定y(0、系) 统y的(、0行) …为。、 y(n1) (0和)
X t
xn t
： 状态空间 由 X(张t) 成的n维向量空间。
对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一 个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间 中的一条轨迹。
9
例9-2
• 设一RLC网络如图所示。
回路方程为
e(t)
Ri(t)
L
di(t) dt
1 C
i(t)dt
图9-2 RLC网络
10
选择状态变量
x1(t) i(t) , x2 (t) i(t)dt
则有
x1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e
x2 x1
写成 输出
R
x
L
1 CL
x
1 L
u
1 0 0
1 y(t) c(t) C11x2
0
1 C
x
若选另一组状态变量
x1(t) i(t) ,
1 x2 (t) C
u t ,t 0
选取状态变量
x1 y, x2 y, , xn yn1
13
x1 x2 x2 x3 xn1 xn xn a0 x1 a1x2 an1xn u （9-17）
14
或写成
x Ax Bx
0 1 0 0
0
x1
x2
0
0
1
0
0 0
x
,A