第4章 矩阵的广义逆
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5
矩阵的单边逆
m n nm 设 A C , 如果有 G C , 使得 定义 1
GA En
1 则称G为A的左逆矩阵 , 记为G AL .
如果
AG Em
1 则称G为A的右逆矩阵 , 记为G AR .
6
命题1 设 A C mn，则
(1) A左可逆的充要条件是 A为列满秩矩阵 ; (2) A右可逆的充要条件是 A为行满秩矩阵 .
定义 3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在， 使（ 1 ）成立，即 AGA A ，则称 G 为 A 的一个 {1}-广义逆，记为
G A{1} 或 G A{1} ，也称 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 G A ， 即有 AA A A ． （5）
A为列满秩
7
推论 设 A C mn , 则
(1) A左可逆的充要条件是 N ( A) {0};
( 2) A右可逆的充要条件是 R( A) C m .
证 充分性：N ( A) {0}
rank ( A) n
必要性： A左可逆
Ax 0只有零解
A为列满秩
1 AL A En
x N ( A)
16
Er 例 2 证明：若 A 0
Er 0
0 E r G12 ，则 A ， 即 0 mn G21 G22 nm
G12 ， G22 nm
0 Er G 0 21
其中 G12 , G21 , G22 是任意给定的．
证 充分性： A为列满秩
( A H A)1 A H A En
A H A为满秩矩阵 G ( AH A)1 AH GA En
1 rank ( A) rank ( AL A) rank ( En ) n
A左可逆 1 A 必要性： L A En
rank ( A) n
（2）同理可证
4
例: A=
1 2 2 23 C 2 2 3
减号逆举例
有下列两个实质不同的减号逆: A-=
3 0 2 2 0 1
或
1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 6 0 0
证:易见两种情形都有AA-=E2,从而,对任意bC2, AA-b=b Ax=b 有解 x=A-bC2 即对任意 bR(A)=C2,Ax=b 的解都可表示为x=A-b 所 以,这两个A-都是A的减号逆. 注:此例说明减号逆一般不唯一.
（2）满足方程（1）与（2）的广义逆矩阵类记为 A{1, 2}
A 其中任意一个确定的广义逆，称为自反减号逆，记为 r
（3）满足方程（1）与（3）的广义逆矩阵类记为 A{1, 3} 其中任意一个确定的广义逆，称为最小范数广义逆，记为 Am （4）满足方程（1）与（4）的广义逆矩阵类记为 A{1, 4} 其中任意一个确定的广义逆，称为最小二乘广义逆，记为 Al （5）满足全部4个M-P方程的广义逆矩阵类记为 A{1, 2, 3, 4}
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方 便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之， 按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆 矩阵共有 15 类，即
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
Er G12 证明 因为对任意的 G ，都有 G 22 nm 21
Er 0
所以
0 Er G12 Er G G 0 21 22 nm0 mn
E r G12 A G 21 G22 nm
, 使其满足 AGA A
“”b C m , 方程Ax b有解x Gb, 证明： n m 即 AGb b 那么， z C , 有Az C , AGAz Az 从而， AGA A.
“” 设x0是方程 Ax b的解，即 Ax0 b.
rank ( A ) rank ( A) 证 :rank ( A) rank ( AA A) rank ( AA ) rank ( A )
1 2 1 AR 0 1 0 0
10
§4.1 Moore-Penrose广义逆矩阵
4. 1. 1 广义逆矩阵的基本概念
定义1
定义2 设 A C mn 为任意复数矩阵，如果存在复矩阵
G C nm ，满足
（1）AGA A
（2） GAG G
使得
AGb b ( b R( A))
m n
则称G为A的广义逆矩阵 , 记为G A .
定理1设 A C
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在 G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C
m n
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
nm
充要条件是存在 G C
这类广义逆对给定的 A 来说只有唯一的一个广义逆， 称为加号逆，或穆尔-彭诺斯广义逆 记为 A
下面分别介绍这5类广义逆矩阵.
13
(1) A §4.2 广义逆矩阵
问题的引入 定义1 设A C mn , 如果b C m , 只要Ax b有解， 则 x Gnmb 一定是解，那么称 G 是 A 的一种广义逆。 记为G A (减号逆 )。 定 义 3 设 A C mn , 如果存在矩阵 G C nm ,
0 Er 0 0 mn
0 0 mn
17
Er G12 证明 因为对任意的 G ，都有 G 22 nm 21
Er 0
所以
0 Er G12 Er G G 0 21 22 nm0 mn
1 2 1 例2 设矩阵A为 A 0 1 2
0 1 0 0 1 0 1 2 3 2 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0
0 0 1 0 2 3 1 2 0 1
8
Hale Waihona Puke Baidu
1 2 1 例 1 设矩阵A为 A 0 1 求A的一个左逆矩阵 AL . 0 0 解 1 2 1 0 0
( A E3 ) 0 0
1 0
0 1 0 0 0 1
1 0 1 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1
第4章 矩阵的广义逆
§4.1 Moore-Penrose广义逆矩阵
(1) A §4.2 广义逆矩阵
§4.3 广义逆矩阵A{1,2} §4.4 广义逆矩阵A{1,3} §4.5 广义逆矩阵A{1,4} §4.6 M-P广义逆矩阵 §4. 7 广义逆在解线性方程组中的应用 §4. 8 几种计算 A+ 的直接方法
15
由AGA A可得： AGAx0 Ax0 b 即，AGb b, 说明x Gb是方程 Ax b 的解. G是A的减号逆 , G A . m n nm 设 A C , 且 A C 是A的一个广义 推论 1 逆矩阵A , 则
(1) 4.2.1 广义逆 A 的定义和构造
第4章 矩阵的广义逆
广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，是线 性方程组的求解问题的实际需要，设有线性方程组 Ax b 当 A 是 n阶方阵，且 | A | 0 时，则方程组存在唯一解且可表示为： x A 1b 但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵 A 往往是奇异方阵或是 任意的 m n 矩阵（一般 m n ），显然不存在通常的逆矩阵 1 A ，这就促使人们去想象能否推广逆矩阵的概念，引进某种具有 普通逆矩阵类似性质的矩阵 G ，使方程组的解仍可以表示为 x Gb 的形式． 1920年穆尔（Moore）首先提出了广义逆矩阵的概念，但 其后的30 年未引起人们的重视．直到1955年彭诺斯（Penrose） 利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的新的更简便实用的定义 之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，其理论和应 用得到了迅速发展，已成为矩阵论的一个重要分支，广义逆矩 阵在数理统计、最优化理论、控制理论、系统识别、数字图象 1 处理等许多领域都具有重要应用．
但应用较多的是以下 5 类： A{1} ， A{1, 2} ， A{1, 3} ， A{1, 4} ， A{1, 2, 3, 4} ． 下面将会看到，只有 A{1, 2, 3, 4} 是唯一确定的，其他各类广义 12 逆矩阵都不唯一：
（1）满足方程（1）的广义逆矩阵类记为 A{1} ，其中任意一个确 定的广义逆，称为减号逆，记为 A ；
3
减号逆
若一般线性方程组 Ax=b, ACmn,xCn,bCm (1) 对任意bR(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵 A-Cnm 称为A的一个减号逆. 因为当ACnnn时,(1)的解都可表示为 x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆: A-=A-1. 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵的推广.
E r G12 A G 21 G22 nm
H
( AG) （3）
H
AG（4） (GA)
GA
11
4个方程的全部或一部分，则称G为A 的一个广义逆矩阵，并把上 面4个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果 G满足 M-P的4个方程式，则G称为A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为 ， G A{1,2,3,4} 一般地，如果 G满足4个M-P方程式中的第 i1 , i2 ,ik (1 k 4) 个，则称 G为 A的一种弱逆，记为 G A{i1 , i2 ,ik }
1 1 x En x AL ( Ax ) AL 00
N ( A) {0}
初等变换求左(右)逆矩阵:
A Em E n G ( 2) Q (1) P ( A E m ) G 0 * E n
0 *
1 1 AL 0
2 0 1 0
9
1 求A的一个右逆矩阵 AR . 1 2 1 1 0 0 解 0 1 2 0 1 2 A 1 2 1 1 0 0 E 3 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0 例 1 设 A 1 0 ， B 0 1 0 ，C 0 0 1 ，由于 1 0 ABA A ， ACA A ， 所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
显然，减号广义逆不唯一，并且减号逆是普通逆矩阵的 推广．
2
本章着重介绍广义逆矩阵的概念、性质、计算方法 和应用．
线性方程组一般理论复习
定理A:线性方程组 Ax=b, ACnn,x,bCn 对任意右端b都有唯一解的充要条件是A-1存在. 证:必要性 令Ax(i)=ei,i=1,…n,X=(x(1),…x(n))Cnn 其中ei为En的第i列(今后将常用此记号) 则 AX=(Ax(1),…,Ax(n))=(e1,…,en)=En A-1=X. 充分性 若A-1存在,则对任意右端b Ax=b x=A-1b 即 x=A-1b是线性方程组Ax=b的唯一解.
矩阵的单边逆
m n nm 设 A C , 如果有 G C , 使得 定义 1
GA En
1 则称G为A的左逆矩阵 , 记为G AL .
如果
AG Em
1 则称G为A的右逆矩阵 , 记为G AR .
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命题1 设 A C mn，则
(1) A左可逆的充要条件是 A为列满秩矩阵 ; (2) A右可逆的充要条件是 A为行满秩矩阵 .
定义 3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在， 使（ 1 ）成立，即 AGA A ，则称 G 为 A 的一个 {1}-广义逆，记为
G A{1} 或 G A{1} ，也称 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 G A ， 即有 AA A A ． （5）
A为列满秩
7
推论 设 A C mn , 则
(1) A左可逆的充要条件是 N ( A) {0};
( 2) A右可逆的充要条件是 R( A) C m .
证 充分性：N ( A) {0}
rank ( A) n
必要性： A左可逆
Ax 0只有零解
A为列满秩
1 AL A En
x N ( A)
16
Er 例 2 证明：若 A 0
Er 0
0 E r G12 ，则 A ， 即 0 mn G21 G22 nm
G12 ， G22 nm
0 Er G 0 21
其中 G12 , G21 , G22 是任意给定的．
证 充分性： A为列满秩
( A H A)1 A H A En
A H A为满秩矩阵 G ( AH A)1 AH GA En
1 rank ( A) rank ( AL A) rank ( En ) n
A左可逆 1 A 必要性： L A En
rank ( A) n
（2）同理可证
4
例: A=
1 2 2 23 C 2 2 3
减号逆举例
有下列两个实质不同的减号逆: A-=
3 0 2 2 0 1
或
1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 6 0 0
证:易见两种情形都有AA-=E2,从而,对任意bC2, AA-b=b Ax=b 有解 x=A-bC2 即对任意 bR(A)=C2,Ax=b 的解都可表示为x=A-b 所 以,这两个A-都是A的减号逆. 注:此例说明减号逆一般不唯一.
（2）满足方程（1）与（2）的广义逆矩阵类记为 A{1, 2}
A 其中任意一个确定的广义逆，称为自反减号逆，记为 r
（3）满足方程（1）与（3）的广义逆矩阵类记为 A{1, 3} 其中任意一个确定的广义逆，称为最小范数广义逆，记为 Am （4）满足方程（1）与（4）的广义逆矩阵类记为 A{1, 4} 其中任意一个确定的广义逆，称为最小二乘广义逆，记为 Al （5）满足全部4个M-P方程的广义逆矩阵类记为 A{1, 2, 3, 4}
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方 便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之， 按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆 矩阵共有 15 类，即
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
Er G12 证明 因为对任意的 G ，都有 G 22 nm 21
Er 0
所以
0 Er G12 Er G G 0 21 22 nm0 mn
E r G12 A G 21 G22 nm
, 使其满足 AGA A
“”b C m , 方程Ax b有解x Gb, 证明： n m 即 AGb b 那么， z C , 有Az C , AGAz Az 从而， AGA A.
“” 设x0是方程 Ax b的解，即 Ax0 b.
rank ( A ) rank ( A) 证 :rank ( A) rank ( AA A) rank ( AA ) rank ( A )
1 2 1 AR 0 1 0 0
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§4.1 Moore-Penrose广义逆矩阵
4. 1. 1 广义逆矩阵的基本概念
定义1
定义2 设 A C mn 为任意复数矩阵，如果存在复矩阵
G C nm ，满足
（1）AGA A
（2） GAG G
使得
AGb b ( b R( A))
m n
则称G为A的广义逆矩阵 , 记为G A .
定理1设 A C
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在 G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C
m n
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
nm
充要条件是存在 G C
这类广义逆对给定的 A 来说只有唯一的一个广义逆， 称为加号逆，或穆尔-彭诺斯广义逆 记为 A
下面分别介绍这5类广义逆矩阵.
13
(1) A §4.2 广义逆矩阵
问题的引入 定义1 设A C mn , 如果b C m , 只要Ax b有解， 则 x Gnmb 一定是解，那么称 G 是 A 的一种广义逆。 记为G A (减号逆 )。 定 义 3 设 A C mn , 如果存在矩阵 G C nm ,
0 Er 0 0 mn
0 0 mn
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Er G12 证明 因为对任意的 G ，都有 G 22 nm 21
Er 0
所以
0 Er G12 Er G G 0 21 22 nm0 mn
1 2 1 例2 设矩阵A为 A 0 1 2
0 1 0 0 1 0 1 2 3 2 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0
0 0 1 0 2 3 1 2 0 1
8
Hale Waihona Puke Baidu
1 2 1 例 1 设矩阵A为 A 0 1 求A的一个左逆矩阵 AL . 0 0 解 1 2 1 0 0
( A E3 ) 0 0
1 0
0 1 0 0 0 1
1 0 1 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1
第4章 矩阵的广义逆
§4.1 Moore-Penrose广义逆矩阵
(1) A §4.2 广义逆矩阵
§4.3 广义逆矩阵A{1,2} §4.4 广义逆矩阵A{1,3} §4.5 广义逆矩阵A{1,4} §4.6 M-P广义逆矩阵 §4. 7 广义逆在解线性方程组中的应用 §4. 8 几种计算 A+ 的直接方法
15
由AGA A可得： AGAx0 Ax0 b 即，AGb b, 说明x Gb是方程 Ax b 的解. G是A的减号逆 , G A . m n nm 设 A C , 且 A C 是A的一个广义 推论 1 逆矩阵A , 则
(1) 4.2.1 广义逆 A 的定义和构造
第4章 矩阵的广义逆
广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，是线 性方程组的求解问题的实际需要，设有线性方程组 Ax b 当 A 是 n阶方阵，且 | A | 0 时，则方程组存在唯一解且可表示为： x A 1b 但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵 A 往往是奇异方阵或是 任意的 m n 矩阵（一般 m n ），显然不存在通常的逆矩阵 1 A ，这就促使人们去想象能否推广逆矩阵的概念，引进某种具有 普通逆矩阵类似性质的矩阵 G ，使方程组的解仍可以表示为 x Gb 的形式． 1920年穆尔（Moore）首先提出了广义逆矩阵的概念，但 其后的30 年未引起人们的重视．直到1955年彭诺斯（Penrose） 利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的新的更简便实用的定义 之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，其理论和应 用得到了迅速发展，已成为矩阵论的一个重要分支，广义逆矩 阵在数理统计、最优化理论、控制理论、系统识别、数字图象 1 处理等许多领域都具有重要应用．
但应用较多的是以下 5 类： A{1} ， A{1, 2} ， A{1, 3} ， A{1, 4} ， A{1, 2, 3, 4} ． 下面将会看到，只有 A{1, 2, 3, 4} 是唯一确定的，其他各类广义 12 逆矩阵都不唯一：
（1）满足方程（1）的广义逆矩阵类记为 A{1} ，其中任意一个确 定的广义逆，称为减号逆，记为 A ；
3
减号逆
若一般线性方程组 Ax=b, ACmn,xCn,bCm (1) 对任意bR(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵 A-Cnm 称为A的一个减号逆. 因为当ACnnn时,(1)的解都可表示为 x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆: A-=A-1. 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵的推广.
E r G12 A G 21 G22 nm
H
( AG) （3）
H
AG（4） (GA)
GA
11
4个方程的全部或一部分，则称G为A 的一个广义逆矩阵，并把上 面4个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果 G满足 M-P的4个方程式，则G称为A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为 ， G A{1,2,3,4} 一般地，如果 G满足4个M-P方程式中的第 i1 , i2 ,ik (1 k 4) 个，则称 G为 A的一种弱逆，记为 G A{i1 , i2 ,ik }
1 1 x En x AL ( Ax ) AL 00
N ( A) {0}
初等变换求左(右)逆矩阵:
A Em E n G ( 2) Q (1) P ( A E m ) G 0 * E n
0 *
1 1 AL 0
2 0 1 0
9
1 求A的一个右逆矩阵 AR . 1 2 1 1 0 0 解 0 1 2 0 1 2 A 1 2 1 1 0 0 E 3 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0 例 1 设 A 1 0 ， B 0 1 0 ，C 0 0 1 ，由于 1 0 ABA A ， ACA A ， 所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
显然，减号广义逆不唯一，并且减号逆是普通逆矩阵的 推广．
2
本章着重介绍广义逆矩阵的概念、性质、计算方法 和应用．
线性方程组一般理论复习
定理A:线性方程组 Ax=b, ACnn,x,bCn 对任意右端b都有唯一解的充要条件是A-1存在. 证:必要性 令Ax(i)=ei,i=1,…n,X=(x(1),…x(n))Cnn 其中ei为En的第i列(今后将常用此记号) 则 AX=(Ax(1),…,Ax(n))=(e1,…,en)=En A-1=X. 充分性 若A-1存在,则对任意右端b Ax=b x=A-1b 即 x=A-1b是线性方程组Ax=b的唯一解.