四科联赛(数学)

四科联赛（数学）

时间45分钟，总分60分

一、选择题（每题3分，共18分）

1、下列四个几何体中，主视图、左视图与俯视图是全等图形的几何体是……（ ）

A 、球

B 、圆柱

C 、三棱柱

D 、圆锥

2、某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I （A ）与电阻R （Ω）成反比例，图所表示的是该电源路中电流I 与电阻R 之间关系的图象，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为（ ）

A 、R

2I = B 、R 3I =

C 、R 6I =

D 、R 6I -= 3、三双不同的袜子放在抽屉里，某天停电后房间里一片漆黑，某人想从这些袜子里取出一双，为了保证他一定能够取到一双袜子，他至少应该取出………………（ ）

A 、3只袜子

B 、4只袜子

C 、5只袜子

D 、6只袜子

4、如图，在△ABC 中，BC = 8cm ，AB 的垂直

平分线交AB 于点D ，交边AC 点于E ，△BCE 的周

长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）

A 、6cm

B 、8cm

C 、10cm

D 、12cm

5、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是………………………………………………………………………………………（ ）

A 、AC = BD ，A

B CD B 、AD ‖B

C ，∠A = ∠C C 、AO = BO = CO = DO ，AC ⊥B

D D 、AO = CO ，BO = DO ，AB = BC ∥ =

6、正比例函数x y =与反比例函数x

y 1= 的图像相交于A ，C 两点，AB ⊥x 轴于D （如图），

则四边形ABCD 的面积为（ ）

A 、1

B 、23

C 、2

D 、2

5 二、填空题（每题3分，共18分）

1、如果关于x 的方程042=++ax x 有两个相等的实根，则=a 。

2、一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降到48.6元，那么平均每次降价的百分率为 。

3、在三角形纸片ABCD 中，∠C = 90o ，∠A = 30 o ，AC = 3，

折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折叠与AB ，AC 分别相交于点

D 和点

E ，折痕DE 的长为 。

4、用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰

梯形的上底长与下底长比是 。

5、5名学生中生日不在同一个月的概率是 。

6、两个反比例函数x y 3=，x

y 6=在第一象限内的图象 如图所示点P 1、P 2、P 3…P 2005在反比例函数x y 6=图象上，它 们横坐标分别是x 1，x 2，x 3…x 2005，纵坐标分别是1，3，5…共

2005个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3…P 2005分别作y 轴的平行线， 与x

y 3=的图像的交点依次是Q 1（x 1，y 1）Q 2(x 2，y 2)Q 3(x 3，y 3) … Q 2005(x 2005，y 2005)，则=2005y 。

三、解答题（每题6分，共24分）

1、已知关于x 的一元二次方程()0433422=-++++k k x x k 的一个根为O ，求k 的值。

2、把大小和形状一模一样的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数1，2，3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张，试求取出的两张卡片数学之和为偶数的概率。（要求用树状图或列表方法求解）

3、在□ABCD 的纸片中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于O ，将△ABC 沿对角线AC 翻转180o ，得到△AB ˊC 。

（1）求证：以A 、C 、D 、B ˊ为顶点的四边形是矩形。

（2）若四边形ABCD 的面积S = 12cm ，求翻折后纸片重叠部分的面积

4、如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在点C （1， 2

1）处，两直角边分别与x ，y 轴平行，纸板的另两个顶点A 、B 恰好为直线2

9+=kx y 与双曲线)0(>=m x

m y 的交点。 （1）求m 和k 的值。

（2）设双曲线)0(>=m x

m y 在A 、B 之间的部分为L ，让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 交于M 、N 两点，请探究是否存

在点P 使得AB MN 2

1=，写出你的探究过程和结论。

参考答案

一、选择题

1、A

2、C

3、B

4、C

5、B

6、C

二、填空题

1、±4

2、10%

3、1

4、1：2

5、144

55

6、2004.5 三、解答题

1、解：把0=x 代入方程，得0432=-+k k

解得：4,121-==k k ，又∵04≠+k ，∴1,4=-≠k k

2、解：（法1）画树状图

第一组

第二组

由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种。 （法2）列表如下：

∴9

5=p 3、（1）证： ⇒□ACDB ′是矩形。

（2）重叠部分即△AEC ，∵E 是短形ACDB ˊ对角线交点。

∴S △ACE = 21 S △ACD =

41 S □ABCD =23124

1cm =⨯。 4、（1）∵点A 、B 在双曲线)0(>=m x

m y 上，且AC ∥y 轴，BC ∥x 轴， ∴点A 、B 的坐标分别（1，m ）、（2m ，2

1）。 又点A 、B 在直线29+=kx y 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2922

129mk k m 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=;21,4m k 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=.4,21m k ⎭⎬⎫∠='∠⇒⊥'⇒⎪⎭

⎪⎬⎫='⇒⎭⎬⎫=⇒'='⇒⇒'Rt AC B AB AC ACDB CD AB CD AB ABCD AB ：AB CD AB AB CD ABCD D ，B 是平行四边形平行四边形由折叠知平行平行平行四边形连结