曲线的离心率求法
求离心率取值范围的八种方法-求离心率的方法总结
为 ， 焦点 到相 应 准 线 的 距 离 不 小 于 １ 则 该 椭 圆 的 离 ．
心 率 的 取值 范 围是 （
Ａ．（ ， ） １
）
Ｂ （ ） ． ０，
解 析 ： ｚ一 ２ Ｃ
解 析 ：设 Ｆ一目 由 Ｉ — ｌ ：２ ｌ ， ＰＦ１ ｌ ＰＦ２ １ ａ， ＰＦ】 一 ｌ
・
５ ・ ４
数 学教 育研 究
２１ ０ １年第 ４ 期
４ｊ ＰＦ
得Ｉ 警 ｌ 警． 目 ：Ｆ＝ ＇ ｌ ＇ 一 Ｐ Ｐ 一 ． Ｆ ２ 一ｓ
１ ７ ９
焦 点 Ｆ作 双 曲线 在 第 一 ， 象 限 的渐 近 线 的垂 线 ｚ若 ｚ 三 ． 与 曲 线 Ｃ的 两 支 各 有 一 个 交 点 ． 双 曲 线 离 心 率 的 取 求 值范围．
２ １ 年 第 ４期 ０１
数 学 教 育 研 究
・ ３ ５ ・
求 离 心率 取值 范 围的八 种方 法
方 海 兵 （ 安徽省太和县第八中学 ２６０） ３６０
离 ， 是 圆 锥 曲 线 的 一 个 重 要 性 质 ， 近 几 年 高 ｌ ｆ 率 在
． ・ ．
考 中频 繁 出现 ， 求 离 心 率 的 取 值 范 围 又 是 较 为 复 杂 而 的 一种 ， 面 介 绍 八 种 求 离 心 率 的 方 法 ， 大 家 参 考 ． 下 供
＜２
．
’ ． ．
２ ｅ＜ ５ ． √ 。 Ｐ ． ＜ 。 ‘ ＜√ ． ｌ ＜ ‘ 选 Ｂ ．故 ．
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又 ・ ． ・
一 １ ．ａ － Ｃ ≥ ・ ２ ・ ≥ ２ ２ ．ｂ ≥ ．
圆锥曲线之求解离心率
一、快速求离心率的两种技巧 1. 赋值法适用于知道c b a ,,中两者之间的关系，如b a 2=,令12==b a ,,则233==e c , 2. 齐次式（等式两边次数和相同）如ac b 22=,则ac c a 222=-,该式左右两边次数之和都是二次,因此同乘21a 得e e 212=-,解得21+-=e （负值舍去）如22442c a c a =-应同乘41a ,2333ac c a =-应同乘31a注意:齐次式的方法必须消去b ,如222422c ab b a c b a =++⇒=+就无法用此法, 应该222222244442c a ac a c b ac a c b a c -=-+⇒=-+⇒=- 二、利用顶角求离心率的取值范围在椭圆中,顶角∠211F P F 最大. 证明:设∠θ=21PF F ,由余弦定理知()1412422424222222222-≥-=--+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m b mn b mn mn c n m mn c n m θcos 当且仅当n m =,θcos 取得取最小值.又因为(]πθ，0∈,θcos 单调递减,所以θcos 取得取最小值时,θ最大,此时a n m ==,=θ∠211F P F .例1. 椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 为其上一点,且∠321π=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .例2.（2017全国I,12）设B A ,是椭圆1322=+my x C :长轴的两个端点,若C上存在点M 满足∠︒=120AMB ,则m 的取值范围是A . (][)+∞⋃,,910B . (][)+∞⋃,,930C . (][)+∞⋃,,410D . (][)+∞⋃,,430变式1：若B A ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,长轴的两个端点,Q 为椭圆上的一点,使∠︒=120AQB ,求此椭圆离心率最小值为 .变式2:已知21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a b y a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,且∠9021=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .三、利用焦半径求离心率取值范围在椭圆中,21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,则c a PF c a +≤≤-2同理,双曲线中,a c PF -≥2. 例1.椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 是椭圆上一点,且212PF PF =,则此椭圆离心率的取值范围是 . 例2.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,点P 在双曲线的右支上,且214PF PF =,则此双曲线离心率e 的最大值为 .变式1.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,P 是双曲线上异于实轴端点的点,满足1221F PF a F PF c ∠=∠sin sin ,则双曲线离心率e 的取值范围是( )A . ()3121++, B . ()+∞+,21C . ()212+, D . ()211+,四、利用渐近线求离心率取值范围过双曲线内一点①与双曲线只有一个交点的直线有两条(与渐近线平行)②与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,,a b a b③与双曲线左、右两支相交于两点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+-a b a b ,.例1. 斜率为2的直线过中心在原点且焦点在x 轴上的双曲线的右焦点,与双曲线的两个焦点分别在左右两支上,则双曲线离心率的取值范围是 例2.设双曲线()01222>=-a y ax C :与直线1=+y x l :相交于两个不同的点B A ,,求双曲线C 的离心率e 的取值范围.变式 1. 已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( )A . (]21,B . ()21,C . [)+∞,2 D . ()+∞,2五、椭圆与双曲线共焦点问题 例1.已知共焦点21F F ,的的椭圆与双曲线,它们的一个公共点是P ,若021=⋅P F P F ,则椭圆的离心率1e 与双曲线的离心率2e 的关系式为( ) A .2112221=+e e B . 2112221=-e e C . 22221=+e e D . 22122=-e e变式 1. 设椭圆11022=+y x 双曲线1822=-y x 的公共焦点分别为21F F ,, P 是这两个曲线的交点,则21F PF ∆的外接圆半径为( )A . 1B . 2C . 22D . 3变式 2. 已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且321π=∠PF F ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A .334 B . 332 C .3 D . 3 六、圆锥曲线再论共焦点模型设椭圆和双曲线的长半轴分别为21a a ,,由椭圆和双曲线的定义知22112122a PF PF a PF PF =-=+,解得212211a a PF a a PF -=+=例1.椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,它们在第一象限的交点为A ,且21AF AF ⊥,︒=∠3021F AF ,则椭圆与双曲线的离心率之积为( )A . 2B . 3C .21D .23 例2.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为21F F ,,且两条曲线在第一象限的交点为P ,21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若101=PF ,椭圆与双曲线的离心率分别为21e e ,,则121+⋅e e 的取值范围为( )A . ()+∞,1B . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,34 C .⎪⎭⎫⎝⎛+∞,56 D . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,910变式1.已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且11PF PF >,椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,若211F F PF =,则3321e e +的最小值为( )A . 326+B . 226+C . 8D . 6变式2. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,都在x 轴上,记椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ,若21F PF ∆是以1PF (1F 为左焦点)为底边的等腰三角形,双曲线的离心率为3,则椭圆的离心率为七、圆锥曲线三站共焦点模型设θ221=∠PF F ,在21F PF ∆中,221211212122cb a a PF PFc F F +==+=由余弦定理知,()()()θθθ212421222212121221212221221cos cos cos +-=+-+=-+=PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF F F可得()θθ212212212121cos cos +=+-=b c a PF PF ,θθθθtan cos sin sin 21212121222121b b PF PF S PF F =+==∆ 同理可得,θtan 2221b S PF F =∆ 所以θθtan tan 2221b b =⇒()()222222212222221a c c a a c c a -=-⇒-=-θθθcos sin tan 两边同时除以2c ,得到1222212=+e e θθcos sin 例1.设21e e ,分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和圆锥曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足021=⋅PF PF ,则()2212221e e e e +的值为( ) A .21B . 1C . 2D . 不确定 例2.已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则当211e e 取最大值时,的值分别是( )A .2622, B . 2521, C . 633, D . 342, 变式 1. 已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则2111e e +的最大值为 .变式2.已知椭圆1C 和双曲线2C 焦点相同,且离心率互为倒数,21F F ,是它们的公共21e e ,焦点,P 是椭圆与双曲线在第一象限的交点,若321π=∠PF F ,则椭圆1C 的离心率为A .33 B . 23 C . 22 D . 21八、圆锥曲线线段最值问题空间中定点到圆锥曲线上动点线段长度问题 处理策略:1. 二次函数 2. 参数方程例1. 设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是A . 25B .246+ C . 27+ D . 26九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式椭圆的第二定义:平面上到定点F 的距离与到定直线的距离之比为常数e .对椭圆12222=+b y a x ,相对于焦点()0,c F 的准线方程是c a x 2=设过左焦点1F 的直线交椭圆于点B A ,,过A 向准线ca x 2=作垂线于点D⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=θcos 1211AF c c a e AD e AF e AD AF 解得θcos c a b AF -=21同理可得,θcos c a b BF +=21设()121>=λλAF AF ,得θθθθθθλcos cos cos cos cos cos e e c a c a c a b c a b -+=-+=+-=1122⇒11-+=λλθcos e 即1111BF AF BF AF e +-==和差θcos例1. 双曲线),(:0012222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 与B A ,两点,若FB AF 4=,则C 的离心率为例2. 已知椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的离心率为23,过右焦点F 且斜率为)(0>k k 的直线与C 相交于与B A ,两点.若BF AF 3=,则=k变式 1. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且FD BF 2=,则C 的离心率为变式 2. 设椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的右焦点F ,过F 的直线与椭圆C 相交于与B A ,两点,直线l 的倾斜角为︒60,FB AF 2= (1) 求椭圆C 的离心率 (2) 如果215=AB ,求椭圆C 的的方程.十、椭圆的焦半径公式坐标式 设椭圆上一点),(y x A ,则exa AF ex a AF -=+=21例1. 已知ABC ∆是椭圆192522=+y x 的内接三角形,F 是椭圆的右焦点,且ABC ∆的重心在原点0,则C B A ,,三点到F 的距离之和为( )A . 9B . 15C . 12D . 8变式1. 已知椭圆13422=+y x 的左右焦点分别为21F F ,,P 为椭圆上一动点. (1) 求21PF PF 的取值范围； (2) 求21PF PF ⋅的取值范围.九、快速求离心率的两种技巧 十、利用顶角求离心率的取值范围 例1.解:由题意知,有一点P 使∠321π=PF F ,则椭圆的顶角∠3211π≥F P F ,所以∠621π≥F OP ,又因为a c F OP =21sin ,则21621=≥=πsin sin a c F OP 故⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈121,e例2.变式1.变式2.十一、利用焦半径求离心率取值范围例1.例2.变式1.十二、利用渐近线求离心率取值范围例1变式1十三、椭圆与双曲线共焦点问题例1变式2十四、圆锥曲线再论共焦点模型例1例2变式1变式2十五、圆锥曲线三站共焦点模型例1例2变式1变式2十六、圆锥曲线线段最值问题例1九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式例1例2变式1变式2十、椭圆的焦半径公式坐标式例1变式1。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。
二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。
1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ． 答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
曲线的离心率求法
圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+， （2）双曲线：222c b a =+3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解，或者带入曲线求解 （3）利用三角形的相似关系 （4）利用点线距离关系4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的坐标是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、考点一：求离心率 方法一：焦点三角形问题例1（1）：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．3 B ．6 C ．13 D ．16答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
求圆锥曲线离心率的几种方法
关于椭圆离心率设椭圆得左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P,使,求离心率e 得取值范围。
解法1:利用曲线范围 设P(x,y ）,又知,则将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()解法３:利用三角函数有界性 记||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有解法4:利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即解法5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||解法6:巧用图形得几何特性 由，知点Ｐ在以为直径得圆上。
又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点Ｐ 故有演练一、直接求出或求出a与ｂ得比值,以求解。
在椭圆中,,1、已知椭圆得长轴长就是短轴长得2倍,则椭圆得离心率等于_＿＿＿＿2、已知椭圆两条准线间得距离就是焦距得２倍,则其离心率为_____３、若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆得离心率为＿___4、已知矩形ＡBＣD,AＢ=4,BC＝3,则以Ａ、Ｂ为焦点,且过C、D两点得椭圆得离心率为＿__5、若椭圆短轴端点为满足,则椭圆得离心率为＿＿_6、、已知则当ｍｎ取得最小值时,椭圆得得离心率为_＿＿_７、椭圆得焦点为,,两条准线与轴得交点分别为,若,则该椭圆离心率得取值范围就是____＿＿_＿_8、已知F１为椭圆得左焦点,Ａ、B分别为椭圆得右顶点与上顶点，P为椭圆上得点,当ＰF1⊥F1A,PO∥AB(Ｏ为椭圆中心)时,椭圆得离心率为＿__＿_______9、P就是椭圆＋=1（a>b＞0)上一点,就是椭圆得左右焦点,已知椭圆得离心率为＿＿＿__10、已知就是椭圆得两个焦点,P就是椭圆上一点,若，则椭圆得离心率为____＿＿_１1、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴得弦长为，焦点到相应准线得距离为1,则该椭圆得离心率为_＿＿_＿__二、构造得齐次式,解出1.已知椭圆得焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆得离心率就是____２.以椭圆得右焦点F２为圆心作圆，使该圆过椭圆得中心并且与椭圆交于M、Ｎ两点,椭圆得左焦点为F1,直线ＭF１与圆相切，则椭圆得离心率就是____＿３.以椭圆得一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆得中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣ＭF∣=∣MO∣,则椭圆得离心率就是_＿__＿4.设椭圆得两个焦点分别为F1、、F2,过F２作椭圆长轴得垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆得离心率就是____＿５.已知Ｆ１、F2就是椭圆得两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直得直线交椭圆于A、Ｂ两点,若△ABF2就是正三角形,则这个椭圆得离心率就是_＿_＿_三、寻找特殊图形中得不等关系或解三角形。
双曲线离心率求解技巧
双曲线离心率求解技巧双曲线是数学中一种常见的曲线形状，其特点是离心率大于1。
在解决问题和分析双曲线时，了解和计算离心率是一项重要的技巧。
下面是一些关于双曲线离心率求解技巧的详细说明。
首先，让我们回顾一下双曲线的定义。
双曲线可以通过以下方程表示：(x²/a²) - (y²/b²) = 1其中，a和b是曲线的两个参数，通过改变这两个参数的值可以调整曲线的形状。
曲线的离心率可以通过参数a 和b来计算，具体方法如下：1. 找到曲线的焦点坐标。
双曲线的焦点坐标可以通过下面的公式计算：c = √(a² + b²)其中，c是双曲线曲线的焦点到原点的距离。
根据焦点的位置，曲线可以分为两种类型：左右开口和上下开口。
如果曲线是左右开口的，焦点坐标的x分量为±c，y分量为0；如果曲线是上下开口的，焦点坐标的x分量为0，y 分量为±c。
2. 计算离心率。
离心率是一个用来描述在双曲线上的点离焦点的距离和该点到曲线的距离之比。
数学上，离心率可以通过以下公式计算：e = c/a离心率大于1，说明曲线是一个双曲线。
离心率越接近于1，曲线的形状越趋向于直线。
离心率越大，曲线的形状越弯曲。
计算离心率是分析和解决问题的关键步骤之一，因为离心率的大小可以告诉我们关于曲线特性的很多信息。
例如，离心率越大，曲线的焦点越集中，曲线在焦点附近的形状会发生明显变化。
除了上述的求解技巧，还有一些常见的双曲线的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和使用双曲线。
以下是一些常见的例子：1. 长轴和短轴：在双曲线上，a被称为长轴，b被称为短轴。
它们之间的关系是a²- b²= 1。
长轴是双曲线在水平方向上的最长距离，短轴是双曲线在垂直方向上的最短距离。
2. 渐近线：双曲线的渐近线是指曲线在无限远处趋于的直线。
双曲线有两个渐近线，一个是左右开口的情况下的水平渐近线（y = ±(b/a) * x），另一个是上下开口的情况下的垂直渐近线（x = ±(a/b) * y）。
求圆锥曲线的离心率的常用方法
求圆锥曲线的离心率的常用方法一、根据条件先求出a ，c ，利用e=c a 求解 例1 若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为( ) A .34 B .23 C .12 D .14解析：由F 1、F 2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a ﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e=c a =12.故选C . 例2 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A. 32B. 62C. 32 D2 解析：由题设a =2，2c =6，则c =3，e =c a =32,因此选C 二、构建关于a ，c 的齐次等式求解例3 设双曲线x 2a 2﹣y 2b2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线L 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.233解析：由已知，直线L 的方程为bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式，得 aba 2+b 2＝34c ，又c 2=a 2+b 2, ∴4ab=3c 2, 两边平方，得16a 2(c 2﹣a 2)=3c 4.两边同除以a 4，并整理，得 3e 4-16e 2+16=0.解得 e 2＝4或e 2＝43.又0<a<b ，∴e 2＝c 2a 2＝a 2+b 2a 2=1+b 2a 2>2，∴e 2＝4，∴e ＝2.故选A.例4 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120︒，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）62 （C ）63 （D ）33解析：如图2所示，不妨设M(0，b)，F 1(-c,0), F 2(c,0),则|MF 1|=|MF 2|=c 2+b 2.又|F 1F 2|＝2c ，在△F 1MF 2中， 由余弦定理，得cos ∠F 1MF 2＝|MF 1|2+|MF 2|2﹣|F 1F 2|22|MF 1|·|MF 2|,即(c 2+b 2)+(c 2+b 2)﹣4c 22c 2+b 2·c 2+b 2)＝cos 120︒＝﹣12，∴b 2﹣c 2b 2＋c 2＝﹣12， 图2∵b 2＝c 2﹣a 2，∴﹣a 22c 2﹣a 2＝﹣12，∴3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.故选B. 例5 双曲线x 2a 2﹣y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.32解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，∴a=b ，∴c=2a ，∴e ＝c a＝ 2.故选C. 三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e 的取值范围例6 设θ∈(0，π4)，则二次曲线x 2cot θ﹣y 2tan θ=1的离心率的取值范围为( ) A.(0，12) B.(12，22) C.(22，2) D.(2，+∞) 解析：由x 2cot θ﹣y 2tan θ=1，θ∈(0，π4)，得a 2＝tan θ，b 2= cot θ,∴c 2＝a 2+b 2＝tan θ+ cot θ,∴e 2＝c 2a 2＝tan θ+ cot θtan θ＝1+ cot 2θ,∵θ∈(0，π4)，∴cot 2θ>1,∴e 2>2，∴e >2.故选D. 四、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围例7 如图，已知梯形ABCD 中，｜AB ｜＝2｜CD ｜，点E 分有向线段AC →所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围． 解析：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图3所示的直角坐标系x Oy ，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D关于y 轴对称．依题意，记A(﹣c ，0)，C(c 2，h),E(x 0，y 0)，其中c =12｜AB ｜为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0＝-c+λ·c 21+λ＝(λ-2)c 2(1+λ)，y 0＝λh 1+λ． 设双曲线的方程为x 2a 2﹣y 2b 2＝1，则离心率e =c a. 由点C 、E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得 c 24a 2﹣h 2b2＝1 ①， 将点E 的坐标代入双曲线方程得c 24a 2(λ﹣21+λ)2－(λ1+λ)2h 2b 2＝1 ②． 再将e =c a ①、②得 e 24﹣h 2b 2＝1，∴h 2b 2＝e 24﹣1 ③，e 24(λ﹣21+λ)2－(11+λ)2h 2b 2＝1 ④． 将③式代入④式，整理得 e 24（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－3e 2+2． 图3由题设23≤λ≤34得，23≤1－3e 2+2≤34．解得7≤e ≤10． 所以双曲线的离心率的取值范围为［7，10］．。
求圆锥曲线离心率的几种方法
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a ba 2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
双曲线的离心率的求法
双曲线的离心率的求法1.设1F 、2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使得︒=∠3021F PF ，︒=∠12012F PF ，则双曲线的离心率为 （ ▲ )A ．2B ．3C ．123+D ．213+2.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF 为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）3.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ． [，+∞） B ． [2，+∞） C ．D ． （1，2] 4.已知12,F F 是两个定点，点P 是以1F 和2F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点， 并且12PF PF ⊥，1e 和2e 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有A ．2212114e e +=B ．22124e e +=C ．2212112e e +=D ．22122e e += 5.设12,F F 分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点。
若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且123AF AF =，则双曲线的离心率为A．2 B．2 C．2 D6过双曲线的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ．若，则双曲线的离心率为 A ．B ．C ．D ．7设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为( )．A. B. D.38.已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是A B ．2 C D9如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为10.已知点P 是双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若 212121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=成立，则双曲线的离心率为 11设F 1、F 2分别为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点, A 为双曲线的左顶点, 以F 1F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M 、N 两点, 且满足∠MAN=120o , 则该双曲线的离心率为12已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线右支上存在点P 使得1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该双曲线离心率的取值范围为。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
圆锥曲线离心率的求解方法
陈 永 丽
（ 苏州 市吴 中 区东 山 中学 ， 苏 苏 州 江 ２００ ） １ １７
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摘 要 ：离 心 率 在 圆 锥 曲 线 问题 中有 着 重 要 的 应 用 ， 它 的 变化 会 直 接 导 致 曲 线 类 型 和 形 状 的 变化 ， 围绕 求 圆锥 曲 线 离心 率 的 有 关 问题 在 近 几 年 的 高 考 题 中屡 次 出现 ，本 文 结 合 高 考 试 题 和 各 类 模 拟 试 题 来 阐述 解 决 这 类 问题 的一 些 方 法 。
，
的 交 点 Ｍ恰 为 线 段 Ｏ Ｔ的 中 点 ， 则 该 椭 圆 的 离 心 率 为 图２ （０ ９ 江 苏 省 高 考 题 ） ２０ 年 解 析 ： － ， ） Ｂ （ ， ｂ ， ０， ） Ｆ ｃ ０ 设Ａ （ ａ ０ ， ｉＯ － ） Ｂ （ ｂ ， （ ， ）
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这 一 类 型 的 题 目要 根 据 题 设 条 件 ，借 助 ａｂ ｃ ． 的 关 、 、２ 间 系 ， 通ａｃ 沟 、 的关 系 ， 到 关 于ａ ｃ 二 次 齐 次 式 ， 而 得 到 关 得 、的 进 于ｅ 一元 二次 方 程 ， 而 解 得 离 心 率 ｅ 的 从 ． 例 ２如 图 ２ 在 平 面 直 角 坐 标 系 ｘ ｙ ， Ａ ， 。Ｂ 为 椭 圆 ． ， ｏ 中 Ａ ， Ｂ ， ２ ● ＝ （＞ ＞ ） 四个 顶 点 ， ＋ １ａ ｂ ０ 的
文 中共 介 绍 了五 种 求 圆锥 曲 线 的 方 法 。 关键词 ： 圆锥 曲线 离 心 率 求解 方 法
所 以 可 将 Ｍ点 的 坐 标 代 入 椭 圆 方
２ ２
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路
圆锥曲线的离心率是一个非负实数，表示椭圆或双曲线在长轴与短轴之间的偏离程度。
下面是三种思路来求解圆锥曲线离心率范围的问题：
1. 几何定义法：
根据圆锥曲线的定义，可以通过几何性质来求解其离心率范围。
对于椭圆，其离心率范围是0到1，即0≤e<1；对于双曲线，其离心率范围大于1，即e>1。
这种方法是直观和简单的，适用于初步了解圆锥曲线的性质。
2. 参数方程法：
圆锥曲线可以用参数方程表示，形式为x=f(t)，y=g(t)，其中
t是参数。
通过参数方程可以计算圆锥曲线上的点与焦点的距离，并据此确定离心率的范围。
具体步骤是：首先计算离焦点的距离d1，再计算离顶点的距离d2，最后求取d1/d2的范围。
如果d1/d2 < 1，则表示点离焦点的距离小于离顶点的距离，
即离心率小于1；如果d1/d2 > 1，则表示点离焦点的距离大于
离顶点的距离，即离心率大于1。
3. 方程法：
对于标准的圆锥曲线方程，可以通过方程进行计算来求解离
心率的范围。
以椭圆为例，标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
根据离心率的定义，可以推导出离心率e与半长轴a和半短轴b之间的关系，即e
= √(a^2 - b^2)/a。
根据这个公式，可以计算出离心率e的范围。
综上所述，这是三种常见的思路用来求解圆锥曲线离心率范围的问题。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和所给的条件。
双曲线离心率的求法
双曲线离心率的求法在化学领域中，离心率（eccentricity）是指椭圆曲线形状（ellipses）长短轴两端之间的中间有多长的距离，双曲线离心率（hyperbolic eccentricity）是一种常见的曲线，它位于传统的椭圆曲线（ellipses）之后。
双曲线的离心率可以通过一系列的特定算法或公式来求解。
双曲线离心率的求解公式是根据双曲线的对称性来确定的。
双曲线的对称性可以通过它的弧长参数（arc length parameter）来定义。
大多数情况下，双曲线的弧长参数r/r0是用于求解它的离心率的。
下面是一个双曲线离心率的求解公式：双曲线离心率（e）＝√(1-(r/r0)^2)这个公式定义了双曲线的离心率，其中r/r0表示双曲线的弧长参数，e表示双曲线的离心率。
这个公式可以用来计算任何双曲线的离心率，但是在使用这个公式之前，必须确定双曲线的弧长参数。
另一种求解双曲线离心率的方法是使用现有的椭圆离心率公式，这个公式可以用来求解任何椭圆的离心率：椭圆离心率（e）＝√(a^2-b^2/a^2)其中a,b分别为椭圆的长半轴（major axis）和短半轴（minor axis）。
可以使用这个公式来求解任何双曲线的离心率，使用这种方法可以准确求解双曲线的离心率，而且这个公式不需要计算双曲线的弧长参数，只要确定椭圆的长半轴（major axis）和短半轴（minor axis），就可以求解出双曲线的离心率。
虽然这两种方法都可以求解出双曲线的离心率，但从精准性以及计算简单性上考虑，相比较而言椭圆公式求解双曲线离心率更为可行。
尤其是在双曲线的弧长参数很难确定的情况下，使用椭圆公式求解双曲线离心率更加简易，并且结果更为准确。
因此，椭圆公式求解双曲线离心率是比较理想的一种方法。
高二文科数学离心率的五种求法(精)
离心率的五种求法椭圆的离心率0<e<1，双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=c来解决。
ax2例1：已知双曲线2-y2=1（a>0）的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为a（） 3233 B. C. D. 2322223ac-132解：抛物线y=-6x的准线是x=，即双曲线的右准线x===，则2c2-3c-2=0，解得2cc2A.c=2，a=，e=c2，故选D =a3变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(3,0)，则其离心率为（）3211 B. C. D. 4324解：由F1(1,0)、F2(3,0)知 2c=3-1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=3，∴a=2，c=1，c1所以离心率e==.故选C. a2A.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（） A. 36 B. C. D 2 222c3=，因此选C a2解：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=x2y2变式练习3：点P（-3，1）在椭圆2+2=1（a>b>0）的左准线上，过点P且方向为=(2,-5)的光线，ab经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A 112BCD 32325(x+3)，关于y=-2的反射光线（对称关系）为5x-2y+5=0，则2解：由题意知，入射光线为y-1=-⎧a2c⎪=3c=1a=e==解得，，则，故选A ⎨ca3⎪-5c+5=0⎩二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
x2y2例2：已知F1、F2是双曲线2-2=1（a>0,b>0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若ab边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） +1 D. +1 2c解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为-，由焦半径公式2PF1=-exp-a， A. 4+2 B. 3-1 C.2c⎛c⎫c⎛⎫⎛c⎫即c=-⨯ -⎪-a，得⎪-2 ⎪-2=0，解得 a⎝2⎭⎝a⎭⎝a⎭ce==1+（1-3舍去），故选D ax2y2变式练习1：设双曲线2-2=1（0<a<b）的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线ab的距离为3c，则双曲线的离心率为( ) 4A. 2B.C. 2D. 2 3解：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，得aba2+b2=c， 422242又c=a+b, ∴4ab=3c,两边平方，得16a2c2-a2=3c4，整理得3e-16e+16=0， 2() c2a2+b2b2422=1+>2e=4，∴e=2，故选A 得e=4或e=，又0<a<b ，∴e=2=，∴223aaa22变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，则双曲线的离心率为（）∠F1MF2=1200，A B 6 C D 323解：如图所示，不妨设M(0,b)，F1(-c,0)，F2(c,0)，则MF1=MF2=c2+b2，又F1F2=2c，在∆F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2= MF1+MF2-F1F22MF1⋅MF2222,b2-c211c2+b2+c2+b2-4c2即-=，∴， =-22222b+c22c+b()()-a213222∵b=c-a，∴2，∴，∴，∴，故选B e==-3a=2ce=22222c-a222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∆F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
离心率问题的7种题型15种方法
离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式题型一 椭圆离心率的求值方法一 定义法求离心率1. 已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（ ） A .31 B .21 C .22 D .322 【解析】 14222=+y a x ，∵ a 2−4=4⇒a =2√2 ，则 e =c a =2√2=√22 ，选C2. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12c e a ==，选B3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25D . 15【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得：2225230,5230c ac a e e +-=+-=，选B4. 椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为【解析】椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=55方法二运用通径求离心率5.设椭圆C2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于【解析】不妨假设椭圆中的a=1，则F1（﹣c，0），F2（c，0），当x=c时，由2222x ya b+=1得y=ab2=b2，即A（c，b2），B（c，﹣b2），设D（0，m），∵F1，D，B三点共线，∴，得m=﹣2b2，即D（0，﹣2b2），∴若AD⊥F1B，在，即=﹣1，即3b4=4c2，则3b2=2c=3（1﹣c2）=2c，即3c2+2c﹣3=0，解得c==，则c=，∵a=1，∴离心率e=ac=336.从椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥O P(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是【解析】由题意知A(a,0)，B(0，b)，P2,bca⎛⎫-⎪⎝⎭∵AB∥O P，∴2b bac a-=-.∴b＝c；又∵a2＝b2＋c2，∴22212cea==.∴2e=7.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【解法一】设1(,0)F c-，2(,0)F c，由题意易知，21212,PF F F c PF===，1212212F Fcea PF PF∴====+【解法二】由题意易知，2122,PF FF c ==由通径得22=a b PF ，故22c=ab ，解得e 1方法三 运用e =e = 8. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为【解】 如图，，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF |=2|FD |，得，a 2=3c 2，解得e ==33，9. 经过椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。
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圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+， （2）双曲线：222c b a =+3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解，或者带入曲线求解 （3）利用三角形的相似关系 （4）利用点线距离关系4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的坐标是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、考点一：求离心率 方法一：焦点三角形问题例1（1）：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A．3 B．6 C ．13 D ．16答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
（2）：椭圆(2221012x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。
（3）：设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49D.3 答案：B（4）．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为椭圆的右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33 C.12 D.13方法二：利用坐标运算例2（1）．已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1·k 2|＝14，则椭圆的离心率为________．（2）：如图，在平面直角坐标系xOy 中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T ，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .答案：1212,,,A A B B 22221(0)x y a b a b+=>>F 12A B 1B F OT MOT 5e =方法三：三角形的相似关系例3．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B.12 C.22 D.32方法四：利用点线距离关系例4．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．例3：如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）A.4 答案：B考点二：求离心率的取值范围方法一：通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式例1（1）.椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．（2）．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 （3）：已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． (1,1+D ． (2,1+答案：B小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题方法二：题目中某点的坐标是否有范围要求例2（1）：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若椭圆上存在点P 使1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. ()1- B. 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C. 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. )1,1-答案：D（2）：已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 5⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B. 2⎫⎪⎪⎣⎭ C. 0,5⎛ ⎝⎦ D. 0,2⎛⎝⎦思路一：考虑在椭圆上的点P 与焦点连线所成的角中，当P 位于椭圆短轴顶点位置时，12F PF ∠达到最大值。
所以若椭圆上存在12PF PF ⊥的点P ，则短轴顶点与焦点连线所成的角90θ≥，考虑该角与,,a b c 的关系，由椭圆对称性可知，2452OPF θ∠=≥，所以22t a n 1OF cOPF OPb∠==≥，即2222c b c b c a c ≥⇒≥⇒≥-，进而2212c a ≥即212e ≥，解得2e ≥，再由()0,1e ∈可得2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭思路二：由12PF PF ⊥可得1290F PF ∠=，进而想到焦点三角形12F PF 的面积：122212tan2F PF F PF S b b ∠==，另一方面：121212F PF P P SF F y c y =⋅⋅=⋅，从而22P P b c y b y c ⋅=⇒=，因为P 在椭圆上，所以[],P y b b ∈-，即2P b y b b c c =≤⇒≤，再同思路一可解得：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭思路三：12PF PF ⊥可想到120PF PF ⋅=，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。
设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -，则有()()12,,,PF c x y PF c x y =---=--，则222120P F P F x y c ⋅=+-=，即P 点一定在以O 为圆心，c 为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径r b ≥时才可有交点，所以c b ≥，同思路一可解得2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭注：本题对P 在圆上也可由12PF PF ⊥判定出P 在以12F F 为直径的圆上，进而写出圆方程思路四：开始同思路三一样，得到P 所在圆方程为222x y c +=，因为P 在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：222222222b x a y a b x y c⎧+=⎪⎨+=⎪⎩代入消去x 可得：()2222222b c y a y a b -+=，整理后可得：422422b c y b y c =⇒=，由[],y b b ∈-可得：4222b y b c b c =≤⇒≥，同思路一即可解得：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭答案：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解 （3）．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫23，1B.⎣⎡⎦⎤13，22 C.⎣⎡⎭⎫13，1 D.⎝⎛⎦⎤0，13 （4）：设点12,A A 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，若在椭圆上存在异于点12,A A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0,2⎛ ⎝⎭C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D. 2⎛⎫⎪⎝⎭答案：D小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标 三、好题精选1、（2016，新余一中模拟）已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A.1+ B.12 C. 12- D. 1-2、已知12,F F 分别是双曲线()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)1,+∞ B ．)1,++∞ C ．(1,1+D ．)1,+∞3、设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线左支上存在一点M ，使得()110F M OM OF ⋅+=，O 为坐标原点，且123MF MF =，则该双曲线的离心率为（ ）A.1 B.12+C.+ D.2+ 4、（2016四川高三第一次联考）椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆22222bt x y c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，（c 为椭圆的半焦距）对任意[]1,2t ∈恒有四个交点，则椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A. 40,5⎛⎤⎥⎝⎦ B.4,15⎛⎫⎪⎝⎭C. 0,17⎛ ⎝⎦D. 4175⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5、（2015，新课标II ）已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则E 的离心率为（ ）A.B. 2C.D.6、（2016，宜昌第一中学12月考）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M在双曲线的左支上，且217MF MF =，则此双曲线离心率的最大值为（ ） A ．43 B ．53 C ． 2 D ．737、（2015，山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 离心率为________8、（2014，浙江）设直线()300x y m m -+=≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点,A B ，若点(),0P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是______ 习题答案： 1、答案：A解析：由抛物线方程可得：()()0,1,0,1A B -，过P 作准线的垂线，垂足为M ，所以PB PM =，所以1sin PA m PBPAM==，可知m 取得最大值时，PAM ∠最小，数形结合可知当AP 与抛物线相切时，PAM∠最小。