导数的简单应用
高中数学_导数的简单应用教学设计学情分析教材分析课后反思
《导数的简单应用》教学设计教材分析：教材的地位和作用,导数的简单应用”是高中数学人教A 版教材选修2-2第一章的内容，它是中学数学与大学数学一个的衔接点。
导数的应用我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具 通过本节的学习可以使学生具有树立利用导数处理问题的意识。
根据新课程标准的要求如下：（1）知识与技能目标：能利用导数求函数的单调区间；能结合函数的单调区间求参数的取值范围。
（2） 情感、态度与价值观目标：培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。
3.教学重点与难点：教学重点：(1)函数单调性的判断与单调区间的求法；(2)利用函数的单调性求参数的取值范围。
教学难点：（1）含参函数的单调区间的求法；（2） 构造函数求参数的取值范围。
针对这节复习课的特点我设计了 （一） 必备知识（二）典例分析（三）要点总结（四）课堂达标四个主要教学环节.环节（一）：必备知识：我设计了三个问题（1）由给定某函数图像，让学生观察函数的图像，体会导数与函数单调性，当如果)(x f '>0,与函数y=f(x)在这个区间内单调递增，如果)(x f '<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减的直观印象。
而且直接从图象入手，以直观形象带动学生对知识的回忆，学生在观察原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，既能充分调动学生参与课堂的积极性，又加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。
（2）由给定导函数图像，让学生亲自动手画出原函数的图像，既能充分调动学生参与课堂的积极性，而且直接从问题入手，以问题带动学生对知识的回忆，学生在动手画原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。
（3）通过判断正误，深化学生对概念的理解与掌握，增强学生对概念掌握的准确性与持久性。
2022届高考数学二轮专题：导数的简单应用
导数的简单应用1．导数与函数的单调性1．已知函数22ln 03()()f x x xx a a，若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】20,1,5U 【解析】31()4f x x a x，若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，即31()40f x x a x 或31()40f x x a x在[1，2]上恒成立，即314x a x 或314x a x在[1，2]上恒成立．令1()4h x x x ，则h (x )在[1，2]上单调递增，所以3(2)h a 或3(1)h a，即3152a 或33a，又a >0，所以205a 或a ≥1，故答案为 20,1,5U ．2．若函数2ln )01(2()2a h x x a x x 在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为________．【答案】 1,00, U 【解析】函数2l 1()2n 2h x x ax x，则1()2h x ax x，因为h (x )在[1，4]上存在单调递减区间，所以)0(h x 在[1，4]上有解，所以当x ∈[1，4]时，212a x x有解，令212()g x x x，而当x ∈[1，4]时，令11[,1]4t x ，212()g x x x，即为2()2t t t ，此时min ()(1)1t (此时x ＝1)，所以1a ，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是 1,00, U ，故答案为 1,00, U ．3．已知函数2(n )3l 124f x x x x，则f (x )的极值点为x ＝________；若f (x )在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．【答案】1，3， 0,12,3U 【解析】由题意知3(1)(3)()4(0)x x f x x x x x，由()0f x ，得1x 或3x ，()0f x 时，13x ；()0f x 时，01x 或3x ，所以()f x 在(0,1)和(3,) 上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以函数f (x )的极值点为x ＝1，3．因为函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上不单调，所以111t t 或313t t，解得01t 或23t ，故答案为1，3； 0,12,3U ．4．（多选）若对任意的1x ， 2,x m ，且12x x ，都有122121ln ln 2x x x x x x ，则m 的值可能是（）（注e 2.71828 …为自然对数的底数）A．13B．1eC．3eD．1【答案】BCD【解析】由题意，210x x ，得210x x ，则122121ln ln 2x x x x x x 等价于122121ln ln 2x x x x x x ，即121212ln 2ln 2x x x x x x ，所以 1221ln 2ln 2x x x x ，则2121ln 2ln 2x x x x，令 ln 2x f x x，可得 21f x f x ，又21x x m ，所以 f x 在 ,m 上是减函数，所以 2ln 10x f x x，解得1e x ，则1em ．故m 可能值B、C、D 符合要求，故选BCD．5．已知函数 ln(1)()1xf x xa x aR ，求函数f (x )的单调区间．【答案】答案见解析．【解析】因为ln ()(1)()11f x x xa x x，所以 221111((1))a a x x f x x ax，当a ≤0时， 0f x ，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)．当a ＞0时，由()01f x x，得111x a ；由()01f x x ，得11x a ．所以函数f (x )的单调递增区间是1(1,1)a ；单调递减区间是1(1,)a．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间是1(1,1a；单调递减区间是1(1,)a．6．已知函数2()(1)e xf x k x x ，其中k ∈R ．当2k 时，求函数()f x 的单调区间．【答案】答案见解析．【解析】由题设，()e 2(e 2)xxf x kx x x k ，当0k 时，e 20x k ，令()0f x ，得0x ；令()0f x ，得0x ，故()f x 的单调递增区间为(,0) ，单调递减区间为(0,) ．当02k 时，令()0f x ，得0x 或2ln 0x k，当02k ，即2ln0k时，当()0f x 时，2ln x k 或0x ；当()0f x 时，20ln x k，故()f x 的单调递增区间为(,0) 、2(ln ,)k ，减区间为2(0,ln )k．当2k ，即2ln 0k时，在R 上 0f x 恒成立，故()f x 的单调递增区间为(,) ．7．已知函数2()1e x f x ax x （a R 且0a ）．（1）求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间．【答案】（1）210x y ；（2）答案见解析．【解析】（1）∵2()1e x f x ax x ，∴22()(21)e 1e (21)2e x x xf x ax ax x ax a x ，∴(0)2f ，又(0)1f ，∴12y x ，∴所求切线方程为210x y ．（2）由题意知，函数()f x 的定义域为R ，由（1）知2()(21)2e xf x ax a x ，∴()(1)(2)e xf x ax x ，易知e 0x，①当0a 时，令()0f x ，得2x 或1x a ；令()0f x ，得12x a．②当102a 时，12a ，令()0f x ，得12x a ；令()0f x ，得1x a或2x ．③当12a 时， 0f x ．④当12a 时，12a ，令()0f x ，得12x a ；令()0f x ，得1x a或2x ．综上，当12a时，函数()f x 的单调递增区间为12,a ，单调递减区间为1,a，(,2) ；当12a 时，函数()f x 在R 上单调递减；当102a时，函数()f x 的单调递增区间为1,2a，单调递减区间为(2,) ，1,a；当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为1,a ，(,2) ，单调递减区间为12,a．8．已知函数 2ln af x x a x x，0a ，讨论 f x 的单调性．【答案】答案见解析．【解析】由 f x 的定义域为 0, ，且 222221a a x ax af x x x x．令 22g x x ax a ，则244Δa a ．①当2440Δa a ，即01a 时，对任意的0x 有()0g x ，则()0f x ，此时，函数 y f x 在 0, 上单调递增；②当2440Δa a ，即1a 时，()0g x 有两个不等的实根，设为1x 、2x ，且12x x ，令220x ax a ，解得1x a ，2x a ．解不等式()0f x ，可得a x a解不等式()0f x ，可得0x a 或x a ．此时，函数 y f x 的单调递增区间为(0,a 、()a ，单调递减区间为(a a ．综上，当01a 时，函数 y f x 的单调递增区间为 0, ，无递减区间；当1a 时，函数 y f x 的单调递增区间为(0,a 、()a ，单调递减区间为(a a ．9．已知函数 ln 2af x x x a xR ．（1）若1x 是 f x 的极大值点，求a 的值；（2）讨论 f x 的单调性．【答案】（1）1 ；（2）见解析．【解析】（1）因为 ln 2af x x x x，定义域为 0, ，则212()ax x f x，由1x 是 f x 的极大值点，故0(1)f ，解得1a ，此时 2222211121(1)2f x x x x x x x x x，令0()f x ，则1x 或12（舍），故当 0,1x 时，0()f x ， f x 单调递增；当 1,x ，0()f x ， f x 单调递减，故1x 是 f x 的极大值点，满足题意．故1a ．（2）因为 ln 2af x x x x ，定义域为 0, ，则222122) (f x a x x a x x x，对22y x x a ，其18Δa ，当0Δ 时，即18a 时， 0f x ， f x 在 0, 单调递减；当0Δ 时，即18a时，令 0f x ，则114x ，214x ，且12x x ，当0a 时，120,0x x ，故当 20,x x ，0()f x ， f x 单调递增，当 2,x x ， 0f x ， f x 单调递减；当108a，120x x ，故当 10,x x ， 0f x ， f x 单调递减，当 12,x x x ， 0f x ， f x 单调递增；当 2,x x ， 0f x ， f x 单调递减．综上所述：当0a 时， f x 在1180,4 单调递增，在118,4单调递减；当108a 时， f x 在10,4 和1,4单调递减，在11,44单调递增；当18a时， f x 在 0, 单调递减．2．导数与函数的极值1．已知函数 sin cos xf x a x在区间 π,π 上的图象如图所示，则a （）A．2B．2C．2D．2【答案】B【解析】法一：当 0,πx 时，222cos cos sin cos 1cos cos x a x xa x f x a x a x，设01cos x a，其中 00,πx ，则 00f x ，另外0sin 0x，所以0sin x ，故000sin 2cos x f x a x a a，解得52a ，又因为0π102f a a，所以2a ，故选B．法二：由0π102f a a， sin sin cos cos xm x m x ma x ma a x，从而sin x由于 sin 1x1，解得m，又从图象可以看出 sin 2cos xf x a x，即2m2，解得2a ，由于0a ，故52a，故选B．2．已知函数32()3f x x x ax 在1x 处取得极值，若()f x 的单调递减区间为(,)m n ，n m （）A．5B．4C．5 D．4【答案】B【解析】∵32()3f x x x ax ，∴2()36f x x x a ，由题设可得(1)360f a ，解得9a ，即 ()331f x x x ，令 ()3310f x x x ，解得31x ，则函数()f x 的单减区间 ,m n 就是 3,1 ，则4n m ，故选B．3．已知函数 32,02a f x x x bx a b 的一个极值点为1，则22a b 的最大值为（）A．49B．94C．1681D．8116【答案】D【解析】对 322a f x x x bx求导得 23f x x ax b ，因为函数 f x 的一个极值点为1，所以 130f a b ，所以3a b ，又,0a b ，于是得2239224a b ab，当且仅当32a b 时等号成立，所以ab 的最大值为94，故22a b 的最大值为8116，故选D．4．若函数22e x x a f x x 在R 上无极值，则实数a 的取值范围（）A． 2,2B．C． D．22 ,【答案】D【解析】由22e x x a f x x 可得222e 2e 22e x x xx a x ax x a x f x a ，e 0x 恒成立， 222y x a x a 为开口向上的抛物线，若函数22e x x a f x x 在R 上无极值，则 2220y x a x a 恒成立，所以 22420Δa a ，解得22a ，所以实数a 的取值范围为 2,2 ，故选D．5．若函数3211()(3)(6)32f x x m x m x(m 为常数)在区间[1,) 上有两个极值点，则实数m 取值范围是_________．【答案】3, 【解析】由题意得 236f x x m x m ．∵函数 f x 在 1, 内有两个极值点，∴ 236f x x m x m 在 1, 内与x轴有两个不同的交点，如图所示：∴ 2(3)46011360312Δm m f m m m，解得3m ，故答案为 3, ．6．（多选）已知函数 321f x x ax bx （0a ，b R ）存在极大值和极小值，且极大值与极小值互为相反数，则（）A．2239a b aB．2239a b aC．2219a b aD．2219a b a【答案】B【解析】 321f x x ax bx Q ， 232f x x ax b ，设12,x x 是方程2320x ax b 的两个实数根，根据题意可知12x x ，不妨设12x x ，则12122·33bx x a x x，，且 120f x f x ，即3232111222110x ax bx x ax bx ，化简得22221212121212·2x x x x x x a x x b x x ，将12122·33b x x a x x ，代入化简计算得3348229273a a ab ，2239a b a，选项B 正确，选项ACD 错误，故选B．7．若2x 是函数 2224ln f x x a x a x 的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A． ,2 B． 2, C． 2, D．2,2 【答案】A【解析】 22224224222x a x a x x a a f x x a x x x， 0x 若0a 时，当2x 时， 0f x ；当02x 时， 0f x ，则 f x 在 0,2上单调递减；在 2, 上单调递增．所以当2x 时， f x 取得极小值，与条件不符合，故不满足题意．当2a 时，由 0f x 可得02x 或x a ；由 0f x 可得2x a ，所以在 0,2上单调递增；在 2,a 上单调递减，在 ,a 上单调递增．所以当2x 时， f x 取得极大值，满足条件．当20a 时，由 0f x 可得0x a 或2x ；由 0f x 可得2a x ，所以在 0,a 上单调递增；在 ,2a 上单调递减，在 2, 上单调递增．所以当2x 时， f x 取得极小值，不满足条件．当2a 时， 0f x 在 0, 上恒成立，即 f x 在 0, 上单调递增．此时 f x 无极值．综上所述：2a 满足条件，故选A．8．已知函数 2e 2ln xf x k x kx x，若2x 是函数 f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A． 0,2B．2, C．e ,2D．2e ,4【答案】D【解析】由题意， 2e 2ln 0xf x k x kx x x ， 22e x x f x k x x，记 2e xg x k x ，则 3e 2x x g x x ，则 0,2x 时， 0g x ， g x 单调递减； 2,x 时， 0g x ， g x 单调递增，所以 2mine 24g x g k ．若2e 4k ，则 0,2x 时， 0f x ， f x 单调递减；2,x 时， 0f x ， f x 单调递增，于是2x 是函数 f x 的唯一极值点．若2e 4k ，则 2e 204g k ，易知 21g x k x，于是0x k 时， 0g x ；设 e 2xx x x ， 2e 1e 10xx ，即 x 在 2, 上单调递增，所以 2e 20e xx x ，则6x 时，33e e 327xxx x ，此时 27x g x k ，于是6x 且27x k 时， 0g x ．再结合函数 g x 的单调性可知，函数 g x 在 0,2,2, 两个区间内分别存在唯一一个零点12,x x ，且当 10,x x 时， 0f x ， f x 单调递减， 1,2x x 时， 0f x ，f x 单调递增， 22,x x 时， 0f x ， f x 单调递减， 2,x 时， 0f x ， f x 单调递增，于是函数 f x 存在3个极值点，综上所述2e 4k ，故选D．9．已知函数3()3ln f x x x x ．（1）求曲线 y f x 在点1,1f 处的切线方程；（2）若函数2()()3ln g x f x ax x 在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）730x y ；（2）55,43．【解析】（1）解：因为函数3()3ln f x x x x ，所以 2133f x x x，则21(1)31371f，3(1)131ln14f ，所以曲线 y f x 在点1,1f 处的切线方程为 471y x ，即730x y ．（2）解：因为3232()3ln 3ln 33g x x x x ax x x ax x ，所以2()363g x x ax ，函数2()()3ln g x f x ax x 在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于2()363g x x ax 在区间（2，3）中至少有一个变号零点，因为函数2()363g x x ax 的对称轴为x a ，当2a 或3a 时，函数2()363g x x ax 在区间（2，3）上单调，所以(2)(3)0g g ，即 151230180a a ，解得5543a ，满足题意；当23a 时，函数2()363g x x ax 在区间 2,a 是单调递减，在区间 3a ，是单调递增，则需 2>00g g a或 3>0g g a ，即21512>0330a a 或23018>0330a a，解得514a 或1a ，与23a 相矛盾，所以实数a 的取值范围55,43．10．已知函数 221ln f x x a x a x ，其中a R ．（1）求函数 y f x 的极值；（2）若函数 f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2） 1, ．【解析】（1）∵ 221ln f x x a x a x ，函数 f x 的定义域是 0, ，∴ 222221212210x a x a x x a a f x x a x x x x，当0a 时， 0f x ，函数 f x 单调递增，此时无极值；当0a 时，0x a ， 0f x ，函数 f x 单调递减；x a ， 0f x ，函数 f x 单调递增，故 ln 1f a a a a 是极小值，无极大值；综上：当0a 时无极值；当0a 时， ln 1f a a a a 是极小值，无极大值．（2）当0a 时， f x 单调递增， f x 最多有一零点，不满足条件；当01a 时， f x 的极小值是 ln 1a a a ，设 ln 1g x x x ， 10xg x x， g x 在0x 单调递增，∵ 1ln1110g ，01a ，∴ 0g a ，则 f x 的极小值大于等于零， f x 最多有一零点，不满足条件；当1a 时， f x 的极小值 f a ag a ，∵ 10g a g ， 0f a ，2111210e e e e f a，所以在1,e a必有一零点；2333ln 33ln 3330f a a a a a a a a a a ， f x 在 ,3a a 也有一零点，满足条件，故a 的取值范围是 1, ．3．导数与函数的最值1．已知函数()ln f x x ，()2g x x ，()()f m g n ，则mn 的最小值是（）A．12eB．12eC．2eD．2e【答案】A【解析】由函数()ln f x x ，()2g x x ，()()f m g n ，得ln 2m n ，则1ln 2mn m m，令11()ln ,0,()(1ln )22h m mn m m m h m m ，当1e m 时，()0h m ；当10em 时，()0h m，所以函数 h m 在10,e上递减，在1,e递增，所以min 11()e 2e h m h，即mn 的最小值是12e，故选A．2．已知函数 1ln ,111,12x x f x x x，若m n ，且 2f m f n ，则m n 的最小值等于（）A．42ln 3 B．43ln 2C．23ln 2D．32ln 2【答案】D【解析】由解析式知： f x 在各区间上均为增函数且连续，故在R 上单调递增，且 11f ，所以 2f m f n 时，可设1m n ，则 111ln 22f m f n m n ，得 12ln 1m n n ，于是12ln m n n n ，令 12ln 1g x x x x ，则 21g x x，所以在(1,2)上， 0g x ；在(2,) 上， 0g x ，故()g x 在(1,2)上递减，在(2,) 上递增，所以 g x 的极小值也是最小值，且为 232ln 2g ，故m n 的最小值是32ln 2 ．故选D．3．函数 e ,e 1,x xx af x x x a，若存在1 x R ，对任意x R ， 1f x f x ，则实数a 的取值范围是（）A． ,0 B．,0 C．0,1D．0,1【答案】A【解析】由题意可知，函数 f x 在R 上存在最大值，令 e e x xg x，其中x R ，则e 1e xx g x ．当1x 时， 0g x ，此时函数 g x 单调递增，当1x 时， 0g x ，此时函数 g x 单调递减，所以， max 11g x g ．①若0a ，当x a 时， 111f x x a ，此时 f x 存在最大值；②若0a ，则当x a 时，存在0x a 使得 0011f x x ，此时函数 f x 无最大值．综上所述，0a ，故选A．4．（多选）若函数 3220f x x ax a 在6,23a a上有最大值，则a 的取值可能为（）A．6 B．5C．3 D．2【答案】AB【解析】 322f x x ax ，则 26263a f x x ax x x，当,3a x和 0, 时， 0f x ，函数单调递增；当,03a x时， 0f x ，函数单调递减． f x 在3ax 处取极大值为3327a a f．函数 3220f x x axa 在6,23a a上有最大值，故6233a a a ，且633a a f f，即3236732632a a a a ，解得4a ．故选AB．5．若函数2221e x f x x x a 存在最小值，则实数a 的取值范围是_________．【答案】,0 【解析】因为函数2221e x f x x x a ，所以2243e x f x x x a ，当1a 时， 16430Δa ，2430x x a ，又2e 0x ，所以2243e 0x f x x x a ，所以函数()f x 在R 上单调递增，此时无最小值；当1a 时， 16430Δa ，则2430x x a 有两个不等实根，设2430x x a 两个不等实根 1212,x x x x ，则1222x x ，所以函数()f x 在区间 1,x 和 2,x 上单调递增，在区间 12,x x 上单调递减，所以2x x 是函数()f x 的极小值点，又x 时，2e 0x ，所以 221e0x f x x a，所以要使得函数()f x 存在最小值，则函数()f x 的最小值只能为2()f x ，且2()0f x ，即22222222221e1e 0x x x x a x a，所以2201a ，即20 ，解得0a ，所以 ,0a ，故答案为 ,0 ．6．已知0m ，函数 ln 12x x mxf x x e，若函数 y f f x 与 y f x 有相同的最大值，则m 的取值范围为__________．【答案】 ,2e 【解析】因为 ln 12x x mxf x x e ，所以 21ln xm x x f x x e，因为0m ，所以当01x 时， 0f x ；当1x 时， 0f x ，所以当1x 时， f x 取得最大值1me，因为 y f f x 与 y f x 有相同的最大值，所以11me，解得2m e ，所以m 的取值范围为 ,2e ，故答案为 ,2e ．7．已知函数()e 2xf x x ．（1）求曲线 y f x 在点0,0f 处的切线方程；（2）若 1,1x ，求函数 f x 的最值．【答案】（1）1y x ；（2）函数 f x 的最小值为22ln 2 ，最大值为12e．【解析】（1）函数()e 2xf x x ，求导得()e 2xf x ，则(0)1f ，而(0)1f ，所以曲线 y f x 在点0,0f 处的切线方程为1y x ．（2）由（1）知，由()e 20xf x ，解得ln 2x ，而 1,1x ，当1ln 2x 时，()0f x ；当ln 21x 时，()0f x ，因此，()f x 在[1,ln 2] 上单调递减，在[ln 2,1]上单调递增，则当ln 2x 时，ln 2min ()e 2ln 222ln 2f x ，而1(1)2e f，(1)e 2f ，显然12e 2e ，即有max 1()(1)2ef x f ，所以函数 f x 的最小值为22ln 2 ，最大值为12e．8．已知函数 2ln f x a x x，a R ．（1）若曲线 y f x 在点1,1P f 处的切线垂直于直线2y x ，求a 的值；（2）当0a 时，求函数 f x 在区间 0,e 上的最小值．【答案】（1）1a ；（2）当20e a时，最小值为2e a ；当2e a 时，最小值为2ln a a a ．【解析】（1）解：因为 2ln f x a x x ，所以22()af x x x，∵曲线()y f x 在点1,1P f 处的切线垂直于直线2y x ，又直线2y x 的斜率为1，∴22(1)111af ，∴1a ．（2）解：∵2222(),(0,)a ax f x x x x x，0,0a x Q ， ①当0a 时，在区间 0,e 上22()0f x x，此时函数()f x 在区间 0,e 上单调递减，则函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为2(e)ef ．②当20e a ，即2e a 时，在区间2(0,)a 上()0f x ，此时函数()f x 在区间2(0,)a上单调递减，在区间2(,e]a 上()0f x ，此时函数()f x 在区间2(,e]a上单调递增，则函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为22()ln f a a a a．③当2e a ，即20ea 时，在区间 0,e 上，()0f x ，此时函数()f x 在区间 0,e 上单调递减，则函数()f x 在区间 0,e 上的最小值 e e2f a ．综上所述，当20e a 时，函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为2ea ；当2e a 时，函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为22(ln f a a a a．9．设函数 2e 4xf x mx x m ，m R ．关于m 的函数 h m 表示 f x 在0, 的最小值．（1）求 0h 的值；（2）求 h m 的最大值．【答案】（1） 01h ；（2）2e 2 ．【解析】（1）当0m 时， e xf x x ， e 10xf x ．所以 f x 在 0, 单调递增， min 01f x f ，所以 01h ．（2）注意到无论m 取何值， 22e 2f ，从而 2e 2h m ．下面验证，当2e 14m 时，上述不等式的等号能成立．当2e 14m 时， 22e 1e 44x f x x x ， 2e 1e 12xf x x ．设 F x f x ，则 22e 1e xF x ．当2e 10ln 2x 时， 0F x ，此时函数 F x 单调递减，当2e 1ln 2x 时， 0F x ，此时函数 F x 单调递增，故 F x 在区间210n e ,l 2单调递减，在区间21l e n ,2单调递增．而 020F ， 2e 11e 102F ， 20F ，故 F x 有两个零点，分别为 01x 和2x ．当0x 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递增，当2x 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递减，当2x 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递增，因此 f x 在区间 0, 上单调递增，在 ,2 上单调递减，在 2, 上单调递增．所以 21m e in 0,24h f f．而 202e 2f f ，所以22e 1e 24h．综上所述，当2e 14m 时， h m 取得最大值2e 2 ．。
导数的简单应用(小题)
导数的简单应用(小题)热点一 导数的几何意义与定积分 应用导数的几何意义解题时应注意：(1)f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系，f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，是一个常数； (2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率； (3)切点既在原函数的图象上也在切线上.例1 (1)(2019·湖南省三湘名校联考)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x 6的展开式中，其常数项是15.如图所示，阴影部分是由曲线y ＝x 2和圆x 2＋y 2＝a 及x 轴在第一象限围成的封闭图形，则封闭图形的面积为( )A.π4＋16B.π4－16C.π4D.16答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x 6展开式中，第k 项为T k ＋1＝C k6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2kx12－3k，令12－3k ＝0，可得k ＝4，即常数项为C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24，可得C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＝15，解得a ＝2.曲线y ＝x 2和圆x 2＋y 2＝2在第一象限的交点为(1,1)， 所以阴影部分的面积为π4－ʃ10(x －x 2)d x ＝π4－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 310＝π4－16.(2)(2019·许昌、洛阳质检)已知a >0，曲线f (x )＝3x 2－4ax 与g (x )＝2a 2ln x －b 有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b 的最小值为( )A.0B.－1e 2C.－2e 2D.－4e 2答案 B解析 由f (x )＝3x 2－4ax ，得f ′(x )＝6x －4a ， 由g (x )＝2a 2ln x －b ，得g ′(x )＝2a2x.设两曲线的公共点P (x 0，y 0)，x 0>0， 因为两曲线在公共点处的切线相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧6x 0－4a ＝2a2x 0，y 0＝3x 20－4ax 0，y 0＝2a 2ln x 0－b ，由6x 0－4a ＝2a2x 0，解得x 0＝a ，x 0＝－13a ， 又a >0，所以x 0＝a ，消去y 0，得b ＝2a 2ln a ＋a 2， 设b ＝h (a )＝2a 2ln a ＋a 2，a >0，h ′(a )＝4a ln a ＋4a ， 令h ′(a )＝0，a ＝1e，又0<a <1e 时，h ′(a )<0，a >1e 时，h ′(a )>0，所以a ＝1e 时h (a )取极小值也是最小值，即b min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e 2. 跟踪演练1 (1)(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋2，x ≤2，1－x －32，2<x ≤4，则定积分()412d f x x ⎰的值为( )A.9＋4π8 B.1＋4π4 C.1＋π2 D.3＋2π4答案 A解析 因为f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋2，x ≤2，1－x －32，2<x ≤4，所以()()()424211222d d 123d x x f x x x x =+-⎰⎰⎰－－，＋ ()22211221222d =|x x x x ⨯+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12×22＋2×2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×12＝98， ʃ421－x －32d x 的几何意义为以(3,0)为圆心，以r ＝1为半径的圆，在x 轴上方部分的面积， 因而S ＝12×π×12＝π2，所以()()242122d 123d x x x x +-⎰⎰－＋－＝98＋π2＝9＋4π8. (2)(2019·丹东质检)直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x＋x 相切，则a 等于( ) A.e B.2e C.1 D.2 答案 C解析 设切点为(n ，a e n＋n )，因为y ′＝a e x＋1， 所以切线的斜率为a e n ＋1，切线方程为y －(a e n＋n )＝(a e n＋1)(x －n )， 即y ＝(a e n＋1)x ＋a e n (1－n )， 依题意切线方程为y ＝2x ＋1，故⎩⎪⎨⎪⎧a e n＋1＝2，a e n1－n ＝1，解得a ＝1，n ＝0.热点二 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认； (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.例2 (1)(2019·武邑质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若2f (x )＋f ′(x )>2，f (0)＝5，则不等式f (x )－4e－2x>1的解集为( )A.(1，＋∞)B.(－∞，0)C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(0，＋∞)答案 D解析 设F (x )＝e 2xf (x )－e 2x－4，则F ′(x )＝2e 2x f (x )＋e 2x f ′(x )－2e 2x＝e 2x[2f (x )＋f ′(x )－2]>0，所以函数F (x )＝e 2xf (x )－e 2x－4在R 上为增函数. 又f (0)＝5，所以F (0)＝f (0)－1－4＝0. 又不等式f (x )－4e－2x >1等价于e 2x f (x )－e 2x－4>0，即F (x )>0，解得x >0， 所以不等式的解集为(0，＋∞).(2)已知f (x )＝()x 2＋2ax ln x －12x 2－2ax 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.{1}B.{－1}C.(0,1]D.[－1,0) 答案 B解析 f (x )＝()x 2＋2ax ln x －12x 2－2ax ，f ′(x )＝2(x ＋a )ln x ，∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， 当x ＝1时，f ′(x )＝0满足题意；当x >1时，ln x >0，要使f ′(x )≥0恒成立， 则x ＋a ≥0恒成立.∵x ＋a >1＋a ，∴1＋a ≥0，解得a ≥－1； 当0<x <1时，ln x <0，要使f ′(x )≥0恒成立， 则x ＋a ≤0恒成立，∵x ＋a <1＋a ，∴1＋a ≤0，解得a ≤－1. 综上所述，a ＝－1.跟踪演练2 (1)(2019·咸阳模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈(0，π)，有f ′(x )sin x >f (x )cos x ，且f (x )＋f (－x )＝0，设a ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，b ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，c ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，则( )A.a <b <cB.b <c <aC.a <c <bD.c <b <a答案 A解析 构造函数g (x )＝f xsin x，x ≠k π，k ∈Z，g ′(x )＝f ′x sin x －f x cos xsin 2x>0， 所以函数g (x )在区间(0，π)上是增函数， 因为f (x )＋f (－x )＝0， 即f (x )＝－f (－x )，g (－x )＝f －x－sin x＝f xsin x，所以函数g (x )是偶函数，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2， 代入解析式得到2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，故a <b <c .(2)(2019·临沂质检)函数f (x )＝12ax 2－2ax ＋ln x 在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )A.a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16C.a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫16，12D.a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 函数f (x )＝12ax 2－2ax ＋ln x ，所以f ′(x )＝ax －2a ＋1x ＝ax 2－2ax ＋1x，令g (x )＝ax 2－2ax ＋1，因为函数f (x )在(1,3)上不单调，即g (x )＝ax 2－2ax ＋1在(1,3)上有变号零点，a ＝0时，显然不成立，a ≠0时，只需g (1)·g (3)<0，解得a >1或a <－13，即函数f(x)＝12ax2－2ax＋ln x在(1,3)上不单调的充要条件为a∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)，它的充分不必要条件即为其一个子集.热点三利用导数研究函数的极值、最值利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题：(1)不能忽略函数f(x)的定义域；(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件；(3)函数的极小值不一定比极大值小；(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.例3 (1)(2019·东北三省三校模拟)若函数f(x)＝e x－ax2在区间(0，＋∞)上有两个极值点x1，x2(0<x1<x2)，则实数a的取值范围是( )A.a≤e2B.a>eC.a≤eD.a>e2答案 D解析f(x)＝e x－ax2，可得f′(x)＝e x－2ax，要使f(x)恰有2个正极值点，则方程e x－2ax＝0有2个不相等的正实数根，即2a＝e xx有两个不同的正根，则g(x)＝e xx，x∈(0，＋∞)，y＝2a的图象在y轴右侧有两个不同的交点，求得g′(x)＝e x x－1x2，由g ′(x )<0，可得g (x )＝e xx 在(0,1)上单调递减，由g ′(x )>0，可得g (x )＝exx在(1，＋∞)上单调递增，g (x )min ＝g (1)＝e ，当x →0时，g (x )→＋∞；当x →＋∞时，g (x )→＋∞， 所以当2a >e ，即a >e2时，g (x )＝exx，y ＝2a 的图象在y 轴右侧有两个不同的交点，所以使函数f (x )＝e x －ax 2在区间(0，＋∞)上有两个极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，实数a 的取值范围是a >e2.(2)已知点M 在圆C ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0上，点N 在曲线y ＝1＋ln x 上，则线段MN 的长度的最小值为________. 答案2－1解析 由题可得C (0,2)，圆C 的半径r ＝1. 设N (t,1＋ln t )(t >0)，令f (t )＝|CN |2，则f (t )＝t 2＋(1－ln t )2(t >0)， 所以f ′(t )＝2t ＋2(1－ln t )⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t ＝2t 2＋ln t －1t .令φ(t )＝t 2＋ln t －1(t >0)，易知函数φ(t )在(0，＋∞)上单调递增，且φ(1)＝0， 所以当0<t <1时，f ′(t )<0； 当t >1时，f ′(t )>0，所以f (t )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (t )min ＝f (1)＝2. 因为|MN |≥|CN |－1＝2－1， 所以线段MN 的长度的最小值为2－1.跟踪演练3 (1)(2019·天津市和平区质检)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝0，f ′(1)＝0，但x ＝1不是函数的极值点，则abc 的值为________.答案 9解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，① 又f (1)＝1＋a ＋b ＋c ＝0，②由x ＝1不是f (x )的极值点， 得f ′(x )＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4a 2－12b ＝0，③由①②③解得a ＝－3，b ＝3，c ＝－1， ∴abc ＝9.(2)已知a >0，f (x )＝x e xe x ＋a ，若f (x )的最小值为－1，则a 等于( )A.1e 2B.1eC.eD.e 2 答案 A 解析 由f (x )＝x e xe x＋a， 得f ′(x )＝e x＋x e x e x＋a－x e x ·exe x＋a2＝exe x＋ax ＋a e x ＋a2.令g (x )＝e x＋ax ＋a ，则g ′(x )＝e x＋a >0， ∴g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数， 又g (－1)＝1e>0，∴存在x 0<－1，使得g (x 0)＝0， 即0e x＋ax 0＋a ＝0，① ∴f ′(x 0)＝0，∴函数f (x )在(－∞，x 0)上为减函数，在(x 0，＋∞)上为增函数，则f (x )的最小值为f (x 0)＝000e e x x x a+ ＝－1，即000ee .x x a x =--②联立①②，可得x 0＝－2， 代入①，可得a ＝1e2.真题体验1.(2017·全国Ⅱ，理，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值为( )A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1 答案 A解析 函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·ex －1＝ex －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1].由x ＝－2是函数f (x )的极值点，得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)ex －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2).由ex －1>0恒成立，得当x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点. 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.2.(2019·全国Ⅰ，理，13)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________. 答案 y ＝3x解析 因为y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，所以所求的切线方程为y ＝3x .3.(2018·全国Ⅰ，理，16)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________. 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1). ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值.又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.押题预测1.已知⎝⎛⎭⎪⎫a x －x 6展开式的常数项为15，则(d a a x x -+⎰等于( )A.πB.2＋πC.π2 D.2＋π2答案 C解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k6·(－1)k·a 6－k·362k x-，令3k －62＝0，求得k ＝2，故常数项为C 26·a 4＝15， 可得a ＝±1，∴(d aax x -+⎰＝ʃ1－1x d x ＋ʃ1－11－x 2d x ＝ʃ1－11－x 2d x ，由定积分的几何意义可知ʃ1－11－x 2d x 为x 2＋y 2＝1在x 轴上方的面积，即单位圆面积的一半，∴(πd 2aax x -=.⎰2.已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，若a ＝f (1)，b ＝1e f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，c ＝－e f (－e)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <b <cB.b <c <aC.a <c <bD.b <a <c答案 D解析 令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴g (x )为(0，＋∞)上的单调递增函数， 又g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )， ∴g (x )为偶函数， ∴－e f (－e)＝e f (e)， ∵e>1>1e，∴g (e)>g (1)>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， ∴e f (e)>f (1)>1ef⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 即－e f (－e)>f (1)>1e f⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， ∴b <a <c .3.已知函数f (x )＝(x －3)e x＋a (2ln x －x ＋1)在(1，＋∞)上有两个极值点，且f (x )在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.(e ，＋∞) B.(e,2e 2)C.(2e 2，＋∞) D.(e,2e 2)∪(2e 2，＋∞)答案 C解析 由题意，函数f (x )＝(x －3)e x＋a (2ln x －x ＋1)，可得f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－1＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －a x ＝(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x－a x ，又由函数f (x )在(1，＋∞)上有两个极值点， 则f ′(x )＝0在(1，＋∞)上有两个不同的实数根，即(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x－a x ＝0在(1，＋∞)上有两个解， 即x e x－a ＝0在(1，＋∞)上有不等于2的解， 令g (x )＝x e x ，x >1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x>0， 所以函数g (x )＝x e x在(1，＋∞)上为单调递增函数， 所以a >g (1)＝e 且a ≠g (2)＝2e 2， 又由f (x )在(1,2)上单调递增， 则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，即(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x－a x ≥0在(1,2)上恒成立，即x e x－a ≤0在(1,2)上恒成立， 即a ≥x e x在(1,2)上恒成立，又由函数g (x )＝x e x在(1，＋∞)上为单调递增函数， 所以a >g (2)＝2e 2，综上所述，可得实数a 的取值范围是a >2e 2， 即a ∈(2e 2，＋∞).A 组 专题通关1.设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象在点()t ，f t 处切线的斜率为g (t )，则函数y ＝g (t )的图象一部分可以是( )答案 A解析 因为y ＝x sin x ＋cos x 的导数为y ′＝x cos x ， 所以g (t )＝t cos t ，由g (－t )＝－t cos t ＝－g (t )，知函数g (t )为奇函数， 所以排除B ，D 选项，当从y 轴右侧t →0时，cos t >0，t >0， 所以g (t )>0，故选A.2.(2019·甘青宁联考)若直线y ＝kx －2与曲线y ＝1＋3ln x 相切，则k 等于( ) A.3 B.13 C.2 D.12答案 A解析 设切点为(x 0，kx 0－2)，∵y ＝1＋3ln x 的导数为y ′＝3x，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＝k ， ①kx 0－2＝1＋3ln x 0， ②由①得kx 0＝3，代入②得1＋3ln x 0＝1， 则x 0＝1，k ＝3.3.(2019·怀化模拟)在(1＋x )4(2x －1)的展开式中，x 2项的系数为a ，则ʃa 0(e x＋2x )d x 的值为( ) A.e ＋1 B.e ＋2 C.e 2＋3 D.e 2＋4答案 C解析 因为(1＋x )4(2x －1)＝2x (1＋x )4－(1＋x )4， (1＋x )4展开式的通项为T k ＋1＝C k 4x k，所以在(1＋x )4(2x －1)的展开式中，x 2项的系数为2C 14－C 24＝2， 即a ＝2；所以ʃa 0(e x ＋2x )d x ＝ʃ20(e x＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|20＝(e 2＋22)－e 0＝e 2＋3.4.(2019·全国Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A.a ＝e ，b ＝－1 B.a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1 D.a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 因为y ′＝a e x＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.5.已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (0)＝12，则不等式f (x )－12e x<0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.(0，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.(－∞，0)答案 B解析 构造函数g (x )＝f xex， 则g ′(x )＝f ′x －f xex，因为f ′(x )<f (x )，所以g ′(x )<0， 故函数g (x )在R 上为减函数， 又f (0)＝12，所以g (0)＝f 0e＝12， 则不等式f (x )－12e x <0可化为f xe x<12， 即g (x )<12＝g (0)，所以x >0，即所求不等式的解集为(0，＋∞).6.(2019·广州测试)已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)·e x －1－f (0)x ＋12x 2，则f (x )的单调递增区间为( ) A.(－∞，0) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)答案 D解析 由题意得f ′(x )＝f ′(1)ex －1－f (0)＋x ，令x ＝1，则f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1， ∴f (0)＝1，令x ＝0，则f (0)＝f ′(1)e －1， ∴f ′(1)＝e ， ∴f (x )＝e x－x ＋12x 2，∴f ′(x )＝e x－1＋x ，令g (x )＝e x －1＋x ，则g ′(x )＝e x＋1>0. ∴g (x )为增函数， 又g (0)＝0，∴当x >0时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 即f (x )在(0，＋∞)上单调递增.7.若函数f (x )＝e x－x 2－ax (其中e 是自然对数的底数)的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则函数g (x )＝f ′x －bx在(0，＋∞)上的最小值为( )A.－1B.eC.e －2D.e 2答案 C解析 因为f ′(x )＝e x－2x －a ， 所以f ′(0)＝1－a .由题意知1－a ＝2，解得a ＝－1， 因此f (x )＝e x－x 2＋x ，而f (0)＝1， 于是1＝2×0＋b ，解得b ＝1，因此g (x )＝f ′x －b x ＝e x －2x ＋1－1x ＝e x －2xx，所以g ′(x )＝exx －1x 2， 令g ′(x )＝0得x ＝1，当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )为减函数； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )为增函数， 故g (x )在x ＝1处取得极小值，即g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (1)＝e －2.8.若曲线y ＝x －ln x 与曲线y ＝ax 3＋x ＋1在公共点处有相同的切线，则实数a 等于( ) A.e 23 B.－e 23 C.－e 3 D.e 3 答案 B解析 设两曲线的公共点为P (m ，n )，m >0， 由y ＝x －ln x ，得y ′＝1－1x，则曲线y ＝x －ln x 在点P (m ，n )处的切线的方程为y －m ＋ln m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m (x －m )，即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1mx ＋1－ln m .由y ＝ax 3＋x ＋1，得y ′＝3ax 2＋1，则曲线y ＝ax 3＋x ＋1在点P (m ，n )处的切线的方程为y －am 3－m －1＝(3am 2＋1)(x －m )，即y ＝(3am 2＋1)x －2am 3＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－1m ＝3am 2＋1，1－ln m ＝－2am 3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32e ,-a ＝－e23.9.(2019·岳阳模拟)已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )＝32－x－1与g (x )＝x2－a e x互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e 2，4eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 2，2e D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 3，2e 2 答案 B解析 由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减， 所以函数f (x )只有一个零点2. 即|2－β|<1，得1<β<3.函数g (x )＝x 2－a e x在区间(1,3)上存在零点， 由x 2－a e x＝0，得a ＝x 2ex .令h (x )＝x 2e x ，x ∈(1,3)，h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x 2－xe x， 所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，所以只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2. 10.(2019·四川省六市联考)若函数y ＝e x －e －x(x >0)的图象始终在射线y ＝ax (x >0)的上方，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，e] B.(－∞，2] C.(0,2] D.(0，e]答案 B解析 依题意设f (x )＝e x －e －x， 则f ′(x )＝e x ＋e －x>0， 故函数在x >0时为递增函数，且易知当x >0时f ′(x )＝e x ＋e －x单调递增， 当x →0时，f ′(0)→2， 故f ′(x )>2，而a 是直线y ＝ax 的斜率，直线过原点，要使函数y ＝e x－e －x(x >0)的图象始终在射线y ＝ax (x >0)的上方，则需a ≤2. 11.(2019·吉林调研)设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意实数x ，都有f (x )＝f (－x )＋2x ，当x <0时，f ′(x )<2x ＋1，若f (1－a )≤f (－a )＋2－2a ，则实数a 的最小值为( )A.－1B.－12C.12 D.1答案 C解析 设g (x )＝f (x )－x 2－x ， 则g ′(x )＝f ′(x )－2x －1，因为当x <0时，f ′(x )<2x ＋1，则g ′(x )<0， 所以当x <0时，g (x )为单调递减函数， 因为g (x )＝f (x )－x 2－x ， 所以g (－x )＝f (－x )－x 2＋x ， 又因为f (x )＝f (－x )＋2x ，所以g (x )－g (－x )＝f (x )－f (－x )－2x ＝0， 即g (x )为偶函数，将不等式f (1－a )≤f (－a )＋2－2a ， 等价变形得f (1－a )－(1－a )2－(1－a ) ≤f (－a )－(－a )2－(－a )， 即g (1－a )≤g (－a )，又因为g (x )为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减， 则在(0，＋∞)上单调递增，|1－a |≤|a |，解得a ≥12，所以a 的最小值为12.12.(2019·江淮联考)若对∀x 1，x 2∈(m ，＋∞)，且x 1<x 2，都有x 1ln x 2－x 2ln x 1x 2－x 1<1，则m 的最小值是( )注：(e 为自然对数的底数，即e ＝2.718 28…) A.1e B.e C.1 D.3e 答案 C解析 由题意，当0≤m <x 1<x 2时， 由x 1ln x 2－x 2ln x 1x 2－x 1<1，等价于x 1ln x 2－x 2ln x 1<x 2－x 1， 即x 1ln x 2＋x 1<x 2ln x 1＋x 2， 故x 1(ln x 2＋1)<x 2(ln x 1＋1)， 故ln x 2＋1x 2<ln x 1＋1x 1，令f (x )＝ln x ＋1x，则f (x 2)<f (x 1)，又∵x 2>x 1>m ≥0，故f (x )在(m ，＋∞)上递减， 又由f ′(x )＝－ln xx 2，当f ′(x )<0，解得x >1，故f (x )在(1，＋∞)上递减，故m ≥1.13.(2019·福建适应性练习)已知定义在R 上的函数f (x )＝ex ＋1－e x ＋x 2＋2m (x －1)(m >0)，当x 1＋x 2＝1时，不等式f (x 1)≥f (x 2)恒成立，则实数x 1的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析 由f (x 1)≥f (x 2)， 可得111e e xx ＋－＋x 21＋2m (x 1－1)≥221ee x x ＋－＋x 22＋2m (x 2－1)，即()()121211e e e e x x x x -＋＋－－＋(x 21－x 22)＋2m (x 1－x 2)≥0.因为x 1＋x 2＝1，所以问题可转化为()()1111121e e e e x x x x -＋－－－－＋(2m ＋1)(2x 1－1)≥0恒成立， 记g (x )＝(ex ＋1－e2－x)－(e x －e1－x)＋(2m ＋1)(2x －1)，g ′(x )＝(e x ＋1＋e 2－x )－(e x ＋e 1－x )＋2(2m ＋1)＝(ex ＋1－e x )＋(e2－x－e1－x)＋2(2m ＋1)＝e x (e －1)＋e 2－x(1－e －1)＋2(2m ＋1)>0，所以g (x )在R 上单调递增.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 所以当x ≥12时，g (x )≥0恒成立，即实数x 1的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 14.分别在曲线y ＝ln x 与直线y ＝2x ＋6上各取一点M 与N ，则|MN |的最小值为________. 答案()7＋ln 255解析 由y ＝ln x (x >0)，得y ′＝1x ，令1x＝2，即x ＝12，y ＝ln 12＝－ln 2，则曲线y ＝ln x 上与直线y ＝2x ＋6平行的切线的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2，由点到直线的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×12＋ln 2＋65＝()7＋ln 255，即|MN |min ＝()7＋ln 255.15.(2019·衡水调研)已知函数f (x )＝12x 2＋tan θx ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠π2，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，1上是单调函数，其中θ是直线l 的倾斜角，则θ的所有可能取值区间为________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析 f ′(x )＝x ＋tan θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，1上是单调函数， 则有f ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，1恒大于等于0或恒小于等于0， 若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，1上单调递减，则f ′(x )≤0， f ′(1)＝1＋tan θ≤0，故tan θ≤－1，即θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4， 若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，1上单调递增， 则f ′(x )≥0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－33＋tan θ≥0， 所以tan θ≥33，即θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2， 综上所述，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.16.已知函数f (x )＝mx 2＋2x －2ex，m ∈[]1，e ，x ∈[1,2]，g (m )＝f (x )max －f (x )min ，则关于m的不等式g (m )≥4e2的解集为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤24－e ，e解析 由f (x )＝mx 2＋2x －2ex，得f ′(x )＝()2mx ＋2e x －()mx 2＋2x －2e x()e x 2＝2mx ＋2－mx 2－2x ＋2e x＝－mx 2＋()2－2m x －4e x＝－()mx ＋2x －2ex，∵m ∈[]1，e ，x ∈[1,2]，∴f ′(x )≥0，因此函数f (x )在区间[1,2]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝4m ＋2e 2，f (x )min ＝f (1)＝me ，从而g (m )＝f (x )max －f (x )min ＝4m ＋2e 2－m e ＝4m ＋2－m ee 2， 令4m ＋2－m e e 2≥4e 2，得m ≥24－e， 又m ∈[1，e]，∴m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤24－e ，e . 故不等式g (m )≥4e 2的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤24－e ，e .B 组 能力提高17.已知函数f (x )的导函数f ′(x )满足(x ＋x ln x )f ′(x )<f (x )对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞恒成立，则下列不等式中一定成立的是( ) A.2f (1)>f (e) B.e 2f (1)>f (e) C.2f (1)<f (e) D.e f (1)<f (e)答案 A 解析 令g (x )＝f x1＋ln x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，由(x ＋x ln x )f ′(x )<f (x )， 得(1＋ln x )f ′(x )－1xf (x )<0，又g ′(x )＝f ′x1＋ln x －fx1x1＋ln x2，则g ′(x )<0，故g (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递减； 故g (e)<g (1)，即f e2<f 11，∴2f (1)>f (e).18.(2019·洛阳统考)若函数f (x )＝e x－(m ＋1)ln x ＋2(m ＋1)x －1恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为( )A.(－e 2，－e) B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12D.()－∞，－e －1答案 D解析 由题可得f ′(x )＝e x－m ＋1x＋2(m ＋1)，x >0， 因为函数f (x )＝e x－(m ＋1)ln x ＋2(m ＋1)x －1恰有两个极值点， 所以函数f ′(x )＝e x－m ＋1x＋2(m ＋1)(x >0)有两个不同的变号零点. 令e x－m ＋1x＋2(m ＋1)＝0， 等价转化成x e x1－2x ＝m ＋1(x >0)有两个不同的实数根，记h (x )＝x e x1－2x，所以h ′(x )＝x e x ′1－2x －x e x 1－2x ′1－2x2＝－e x2x ＋1x －11－2x2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )>0， 此时函数h (x )在此区间上递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，h ′(x )>0， 此时函数h (x )在此区间上递增， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， 此时函数h (x )在此区间上递减， 作出h (x )＝x e x1－2x的简图如图，要使得x e x1－2x＝m＋1有两个不同的实数根，则h(1)>m＋1，即－e>m＋1，整理得m<－1－e.。
经济数学微积分导数在经济学中的简单应用
总成本函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称 为边际收益（函数）.
3.边际利润
总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为 边际收益（函数）.
由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以
即边际利润为边际收益与边际成本之差.
边际利润的情形分析 >0,表示再销售1个单位 产品，总利润的增加量.
=0,表示再销售1个单位 产品，总利润不再增加.
很小时）的关
即 当需求价格弹性大于1时，应降价增加收益.
当需求价格弹性小于1时，应提价增加收益.
当需求价格弹性等于1时，当价格变化时， 总收益不变．
例9 某商品的需求量Q关于价格P的函数为 Q=50-5P
求P=2,5,6时的需求的价格弹性，并说明其 经济意义以及相应增加销售收益的策略.
解
经济意义： P=2时，价格上涨1%，需求量将下降0.25% P=5时，价格上涨1%，需求量将下降1% P=6时，价格上涨1%，需求量将下降1.5%
销售策略： 当0<P<5时，宜采取提高价格，增加收益
当5<P<10时，宜采取降低价格，增加收益
3. 供给弹性
例10 设某产品的供给函数
，求供给
弹性函数及
的供给弹性.
解
4. 收益弹性
三、小结
边际的基本概念
1、边际成本 3、边际利润
边际函数的计算
2、边际收益 4、边际需求
弹性的基本概念
1、需求弹性 3、收益弹性
弹性函数的计算
2、供给弹性
<0,表示再销售1个单位 产品,总利润的减少量.
例3 设某产品生产单位的总成本为，
求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本； (2)生产900个单位到1000个单位时的总成
导数在物理中的应用举例
导数在物理中的应用举例引言在物理学中，导数是一种非常重要的概念，它描述了物理量随着时间或空间的变化率。
导数的应用广泛，可以帮助我们理解和解决许多物理问题。
本文将以几个具体的例子来说明导数在物理中的应用。
1. 速度和加速度一个最经典的例子是描述物体的速度和加速度。
在物理学中，速度是位置随时间的导数，即速度是位置的变化率。
类似地，加速度是速度随时间的导数，即加速度是速度的变化率。
这两个概念在描述动态物体的运动时非常重要。
考虑一个简单的例子：一个投掷物体在重力作用下自由下落。
我们可以通过计算高度和时间之间的关系来确定物体的速度和加速度。
通过求解位移公式和时间的导数，我们可以得到物体的速度和加速度。
这些数值可以帮助我们分析物体的运动轨迹，并预测其未来的位置和速度。
2. 力和功另一个应用导数的例子是描述力和功。
在物理学中，力是物体受到的作用，而功是力在物体上所做的功。
通过力和功的关系，我们可以计算物体所受的力以及力所做的功。
考虑一个简单的情况：一个物体以恒定的力推动另一个物体。
我们可以通过计算作用力和位移之间的关系来确定所做的功。
通过计算力对时间的导数，我们可以得到力对时间的变化率，也就是力的大小。
同时，通过计算位移对时间的导数，我们可以得到物体的速度。
这些数值可以帮助我们理解力的作用方式，并计算力所做的功。
3. 电路中的电流和电压导数在电路中的应用也非常重要。
在电路中，电流和电压是两个关键的物理量。
电流是电荷随时间的导数，而电压是电势随时间的导数。
电流和电压的知识可以帮助我们理解电路的行为，并计算电路中的能量转换和传输。
考虑一个简单的电路：一个直流电流通过一个电阻。
我们可以通过计算电势差和电阻之间的关系来确定电路中的电流。
通过计算电荷对时间的导数，我们可以得到电流的大小。
同时，通过计算电势差对时间的导数，我们可以得到电压的大小。
这些数值可以帮助我们分析电路的特性，并进行电能计算。
4. 光学中的折射定律导数也在光学中发挥着重要的作用。
导数在生活中应用例子
导数在生活中的应用如下：导数是微分学的重要组成部分，是研究函数性质、曲线性态的重要工具,也是解决实际生活中某些优化问题的重要方法。
探讨了运用导数求解实际生活中有关用料、成本、利润及选址方面问题的方法。
导数（Derivative)也叫微商，是一种特殊的极限，它反映了函数中因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，是微积分中重要的基础概念是联系初等数学与高等数学的桥梁。
在研究几何、证明不等式等方面起着重要的作用，在探究函数性质、寻求函数极值与最值以及描绘函数图形等方面也起着重要的作用，同时，也为解决某些实际应用问题提供了重要的方法。
在实际生活中经常出现的一些谋求利润最大、耗材最少、或效率最高、位置最佳等与经济或科学研究有关的问题，这些问题称之为优化问题，如何找到解决该类问题的最佳方案是求解该类问题的关键，而利用导数就可以简捷地解决这些问题，从而真正解决我们的实际生活问题。
运用导数求解优化问题的方法与注意事项：实际生活中的优化问题，如选址最佳、用料最省、利润最大等问题，本质上就是最值问题，这些问题与求函数的最值问题有着密切的联系，而这些问题可以转化为函数问题，利用导数知识得以简捷的解决。
解决优化问题的方法：首先对现实问题进行分析，找出各个变量之间的关系，建立相对应的函数关系式，将实际问题转化为用函数表示的数学问题。
再结合实际情况确定自变量的定义域，创造函数在闭区间上求最值的情景，通过对函数求导、确定驻点和不可导点、比较函数在区间端点、极值点和不可导点处的函数值，获得所求函数的最大（小）值，最后将数学问题回归到现实问题，根据数学问题的答案回答优化问题最佳方案或策略。
导数在经济发展中具有重要的作用。
随着经济的飞速发展，经济学家们面对共享经济下的各种复杂竞争，对其进行了深入研究。
导数对于经济学的研究具有重要的意义，例如经济学中的边际问题、弹性问题等等都可以利用导数来解决。
利用导数解决经济学中的一些复杂问题，能够将复杂问题简单化。
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。
一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。
具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。
如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。
例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。
二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。
1. 用定义式计算。
根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。
这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。
2. 利用导数的性质计算。
导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。
例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。
3. 利用数值计算方法计算。
数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。
例谈导数的几个简单的应用
例谈导数的几个简单的应用王耀辉高中阶段学习导数以后，常常把导数作为研究函数单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题等来运用．实际上，它还有其他方面更多的应用．本文就根据高中学过的一些内容，列举了导数的几个简单的应用，供读者学习时参考．1．利用导数的定义求极限 在一些教辅资料、高考题中，出现了一类特殊极限求值问题，最常见的是00型，感觉不好求．若能灵活运用导数的定义，问题便会迎刃而解．例1．求值：（1）0sin lim x x x →，（2）0ln(1)lim x x x→+． 解：（1）根据导数的定义，该式实际上为求函数()sin f x x =在点0x =处的导数． 所以00sin sin sin 0lim =lim x x x x x x→→-00(sin )|cos |cos 01x x x x =='====． （2）根据导数的定义，该式实际上为求函数()ln(1)f x x =+在点0x =处的导数． 所以000ln(1)1lim=[ln(1)]||11x x x x x x x ==→+'+==+． 例2．（2010年全国卷文科21题）设函数2()(1)x f x x e ax =--．若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．解：由已知得()(1)x f x x e ax =--≥0（x ≥0），即1x e ax --≥0（x ≥0）， 当0x =时，a R ∈；当0x >时，分离参数得1x e a x -≤（0x >），令1()x e g x x-=（0x >），求导得21()x x xe e g x x-+'=（0x >），再令()1x x h x xe e =-+（0x >），则()0x h x xe '=>（0x >），∴()1x x h x xe e =-+在(0,)+∞上递增，∴()(0)0h x h >=，∴()0g x '>，∴1()x e g x x-=在(0,)+∞上递增．∴0()lim ()x g x g x →>，所以0lim ()x a g x →≤．因为00001lim ()=lim =lim 0x x x x x e e e g x xx →→→---00()||1x x x x e e =='===，所以1a ≤． 综上所述，实数a 的取值范围为1a ≤．2．利用函数极值点导数为零的性质，在三角函数中求值例3．已知()sin 2cos 2()f x a x x a R =+∈图像的一条对称轴方程为2x π=，则a 的值为（ ）A ．12B C ．3 D ．2 解析：由于三角函数的对称轴与其曲线的交点为极值点，所以由()2cos 22sin 2f x a x x '=-，得()2cos 2sin =0266f a πππ'=-，故3a =． 例4．已知函数()cos f x x x =的图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π解析：设函数()f x 图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后的函数解析式为：()cos())g x x x ϕϕ=++，由于()g x 为偶函数，所以(0)0g '=．又()sin())g x x x ϕϕ'=-+-+，所以sin 0ϕϕ-=，tan ϕ=ϕ的最小值为23π．例5．已知2cos sin x x -=，求tan x 的值．解析：设()2cos sin f x x x =-，则曲线()2cos sin f x x x =-过点(,t ．由于2cos sin )x x x x -=+cos cos sin )x x ϕϕ=+)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==所以函数()2cos sin f x x x =-在点(,t 处取极小值，导数为零．即()2sin cos 0f t t t '=--=，所以1tan 2t =-，从而1tan 2x =-．3．导数在数列求和中的应用例6．已知数列{}n a 的通项为12n n a n -=⋅，求数列{}n a 前n 项的和n S ．解析：令2x =，则11ni i i x -=⋅∑1()n i i x ='=∑12(1)1(1)=1(1)nn n x x n x n x x x +'⎡⎤--++⋅=⎢⎥--⎣⎦所以n S 121(1)22=(12)n n n n +-+⋅+⋅-1=1(1)22n nn n +-+⋅+⋅4．导数在二项式中的应用例7．证明：1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋯+=⋅．证明：令012233(1)n n nn n n n n x C C x C x C x C x +=+++++…，对等式两边求导，得：1121321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++…， 令1x =，代入上式即得1123223n n n n n n n C C C nC -⋅=+++⋯+，即1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋯+=⋅．5．导数在三角恒等变换公式中的应用在三角恒等变换公式中，公式多，不易记，应用导数可以将这些恒等式进行沟通．（1）两角和、差的三角函数公式cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（），①视α为变量，β为常量，对等式①两边求导，得sin()sin cos cos sin αβαβαβ--=-+即sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，②反过来，视α为变量，β为常量，对等式②两边求导，得cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（）故利用上述求导方法有：cos cos cos sin sin αβαβαβ±=（）αα对求导对求导sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±（2）二倍角公式 22cos 2cos sin ααα=-αα对求导对求导sin 22sin cos ααα=（3）积化和差公式 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- αα对求导对求导1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-， 1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=+-- αα对求导对求导1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=-+--． 当然，导数的应用不只这些，本文只是抛砖引玉，有兴趣的读者还可以继续探索．。
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用在数学中，导数是一个十分常见的概念，它的定义和应用范围都非常广泛。
本文将分别从导数的定义和应用这两个方面进行详细探讨。
一、导数的定义导数，又称微商，是数学中一个十分基础的概念。
它表示函数在某一点处的变化速率，具体定义如下：设函数 f(x) 在点 x0 处连续，则函数 f(x) 在点 x0 处的导数f’(x0) 定义为：f’(x0) = lim f(x) - f(x0)x→x0 ----------------x - x0其中，x0 是任意实数，x 与 x0 之间的差值可以趋近于0但不能等于0。
这个定义可以简单解释为：在函数的某一点处，如果微小的变化量 dx 对应的函数变化量为 dy，那么导数f’(x) 就是 dy/dx 的极限值。
二、导数的应用导数具有许多实际应用，下面我们将就导数在各个领域中的应用进行探讨。
1. 极值问题在微积分中，一个函数在某一点的导数可以告诉我们该函数在该点处是否有极值。
换句话说，如果一个函数在某一点处的导数为0，则该点就是函数的一个可能的极值点。
我们可以通过对该函数导数的符号进行分析来确定是极大值或极小值。
2. 斜率问题导数也可以用来描述曲线的斜率。
当我们求出一条曲线在某一点的导数时，这个导数就可以告诉我们该点处该曲线的切线的斜率。
切线的斜率在几何学的角度来讲，就代表了曲线在该点处的斜率。
3. 最速下降线导数还可以用于求解物理问题，如最速下降线。
假设一个物体在空气中落下时受到阻力，那么它将在空气中以一个最快的速度下落。
这个速度可以通过求解物体所受阻力的函数的导数来得到，这个导数的零点就表示物体以最快速度下落时的速度。
4. 泰勒级数最后，导数还可以用于计算函数的泰勒级数。
泰勒级数是一个多项式，它可以代表一个周期性函数，并且可以用无限个次数的导数来确定。
总的来说，导数是微积分中一个重要的概念，它不仅可以用来解决极值问题和斜率问题，还可以用于计算最速下降线和泰勒级数等。
导数在经济学中的简单应用
=
1 2
10
P
P
=
p
P 20
2
(2)P 3,
EP
p3
3 17
(3)
ER 1
Ep
14， 总收益增加 14 %
17
17
12/31/2023
2 0
一、主要内容
dy y dy ydx y dy o(x) dx
关系
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数
微分
dy yx
求导法则
12/31/2023
y f ( x0 x) f ( x0 )
如函数 f ( x)在点 x0可微，则
y dy |xx0 f ( x0 )x
假如 x 1, 则 y f ( x0 )
这说明当 x在 x0点改变“一个单位”时，y相应的近似改变 f ( x0 )个单位。 边际函数值描述了 f (x)在点 x0处的变化速度.
积，即
R(Q) QP QP(Q),
式中，P P(Q)是需求函数 Q Q(P)的反函数，也称需求函
数，于是有，R(Q) [QP(Q)] P(Q) QP(Q).
12/31/2023
7
例3 设某产品的需求函数为
P 10 Q , 5
求销售量为30个单位时的总收益、平均收益与边际收益。
总收益： R(Q )
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv,
（4）(
u) v
uv v2
uv
(v
0).
(2) 反函数旳求导法则
如果函数x ( y)的反函数为y f (x),则有
f
( x)
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用
导数是微积分中的重要概念，它代表了一个函数在某一点的局部变化率。
在实际生活中，导数有很多运用，下面我将介绍其中几个常见的应用：
1. 最优化问题：最优化是导数应用的一个重要领域，通过求函数的导数可以找到函
数的最大值或最小值。
在经济学中，市场需求曲线和供给曲线的交点处的价格和数量是市
场的均衡点，通过求导可以找到这个均衡点。
2. 积分求面积和体积：导数与积分是微积分的两大基本运算，导数可以用来求解函
数的变化率，而积分则可以反过来求解函数的变化量。
通过对速度函数求积分可以求得物
体的位移，对密度函数求积分可以求得物体的质量。
3. 实际问题的建模：导数有助于将复杂的实际问题转化为更简单的数学问题。
在物
理学中，当我们知道一个物体的加速度和初始速度时，可以通过对加速度函数积分求得速
度函数，再对速度函数积分求得位移函数，从而得到物体的运动轨迹。
4. 统计分析：导数在统计学中的应用很广泛，在回归分析中，通过求导可以得到最
小二乘法的估计结果，帮助我们找到最佳拟合的直线。
导数还可以用来求解概率密度函数、累积分布函数和概率分布函数等统计量。
5. 金融工程：导数在金融工程中也有重要的应用。
在期权定价模型中，通过对期权
收益率函数求导可以得到期权的风险中性概率，从而推导出期权的定价公式。
导数还可以
用来计算利率衍生品的风险敞口和风险管理。
导数在实际生活中的应用非常广泛，无论是在经济学、物理学、统计学还是金融工程
等领域，都有重要的作用。
掌握导数的概念和运用方法，可以帮助我们更好地理解和解决
实际问题。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析20---导数的简单应用
高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析导数的简单应用微专题1导数的几何意义及其应用导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P 处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．『典型题训练』1．若过函数f(x)＝ln x－2x图象上一点的切线与直线y＝2x＋1平行，则该切线方程为()A．2x－y－1＝0B．2x－y－2ln2＋1＝0C．2x－y－2ln2－1＝0D．2x＋y－2ln2－1＝02．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l过定点()A．(0，2) B．(1，0)C．(1，a＋1) D．(e，1))，则曲线y＝f(x)在x＝0 3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝cos x－xf′(π2处的切线方程是()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．x－2y＋2＝0 D．x＋2y＋1＝04．已知函数f(x)＝a e x＋x2的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝(2e+2)x＋b，那么ab＝()A．2 B．1 C．－1 D．－25．[2021·重庆三模]已知曲线C1：f(x)＝e x＋a和曲线C2：g(x)＝ln (x＋b)＋a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是()，+∞)B．[0，＋∞)A．[−94]C．(−∞，1]D．(−∞，94在点(－1，－3)处的切线方程为________________．6．[2021·全国甲卷(理)]曲线y＝2x−1x+2微专题2利用导数研究函数的单调性『常考常用结论』导数与单调性的关系1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．『提分题组训练』1．[2021·山东烟台模拟]已知a＝ln12 020+2 0192 020，b＝ln12 021+2 0202 021，c＝ln12 022+2 0212 022，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b2．函数f(x)＝x2－a ln x在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(0，2] B．(2，＋∞)C．(－∞，2] D．(－∞，2)3．已知函数f(x)＝23x3－ax2＋4x在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是()A．(2√2，＋∞) B．[2√2，＋∞)C．(－∞，－2√2) D．(－∞，－2√2]4．若函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(－π，0)，f′(x)sin x<f(x)cos x恒成立，则()A．√2f(−5π6)>f(−3π4)B．f(−5π6)>√2f(−3π4)C．√2f(−5π6)<f(−3π4)D．f(−5π6)<√2f(−3π4)5．定义在R上的函数f(x)满足f(x)>1－f′(x)，f(0)＝6，则不等式f(x)>1＋5e x(e为自然对数的底数)的解集为()A．(0，＋∞) B．(5，＋∞)C．(－∞，0)∪(5，+∞) D.(−∞，0)6．[2021·山东济南一模]设a＝2022ln2020，b＝2021ln2021，c＝2020ln2022，则() A．a>c>b B．c>b>aC．b>a>c D．a>b>c微专题3利用导数研究函数的极值、最值『常考常用结论』导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最小者”．『提分题组训练』1．已知函数f(x)＝12sin2x＋sin x，则f(x)的最小值是()A．－3√32B．3√32C．－3√34D．3√342．[2021·全国乙卷(理)]设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则()A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜a 2D ．ab ＞a 23．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为() A ．(3，－3) B ．(－4，11) C ．(3，－3)或(－4，11) D ．(4，11)4．若函数f (x )＝x 3－3x 在区间(2a ，3－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是() A ．(－3，1) B ．(－2，1) C ．(−3，−12) D ．(－2，－1]5．若函数f (x )＝12e 2x －m e x －m2x 2有两个极值点，则实数m 的取值范围是() A ．(12，+∞) B ．(1，＋∞) C ．(e 2，+∞) D ．(e ，＋∞) 6．[2021·山东模拟]若函数f (x )＝{2x−2−2m ，x <12x 3−6x 2，x ≥1有最小值，则m 的一个正整数取值可以为________．参考答案导数的简单应用微专题1导数的几何意义及其应用典型题训练1．解析：由题意，求导函数可得y ′＝1x －2， ∵切线与直线y ＝2x ＋1平行， ∴1x －2＝2， ∴x ＝14，∴切点P 坐标为(14，−2ln 2−12)，∴过点P 且与直线y ＝2x ＋1平行的切线方程为y ＋2ln2＋12＝2(x −14)，即2x －y －2ln2－1＝0.故选C.答案：C2．解析：由f (x )＝ax －ln x ＋1⇒f ′(x )＝a －1x ，f ′(1)＝a －1，f (1)＝a ＋1，故过(1，f (1))处的切线方程为：y ＝(a －1)(x －1)＋a ＋1＝(a －1)x ＋2，故l 过定点(0，2)．故选A.答案：A3．解析：∵f (x )＝cos x －xf ′(π2)， ∴f ′(x )＝－sin x －f ′(π2)，∴f ′(π2)＝－sin π2－f ′(π2)＝－1－f ′(π2)， 解得：f ′(π2)＝－12，∴f (x )＝cos x ＋12x ，f ′(x )＝－sin x ＋12，∴f (0)＝1，f ′(0)＝12，∴y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －1＝12x ，即x －2y ＋2＝0.故选C.4．解析：因为f (x )＝a e x ＋x 2，所以f ′(x )＝a e x ＋2x ，因此切线方程的斜率k ＝f ′(1)＝a e ＋2，所以有a e ＋2＝2e ＋2，得a ＝2，又切点在切线上，可得切点坐标为(1，2e ＋2＋b )， 将切点代入f (x )中，有f (1)＝2e ＋1＝2e ＋2＋b ，得b ＝－1， 所以ab ＝－2.故选D. 答案：D5．解析：f ′(x )＝e x ，g ′(x )＝1x+b ，设斜率为1的切线在C 1，C 2上的切点横坐标分别为x 1，x 2，由题知e x 1＝1x2+b＝1，∴x 1＝0，x 2＝1－b ，两点处的切线方程分别为y －(1＋a )＝x 和y －a 2＝x －(1－b )， 故a ＋1＝a 2－1＋b ，即b ＝2＋a －a 2＝－(a −12)2＋94≤94.故选D. 答案：D6．解析：y ′＝(2x−1x+2)′＝2(x+2)−(2x−1)(x+2)2＝5(x+2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(−1+2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即y ＝5x ＋2.答案：y ＝5x ＋2微专题2利用导数研究函数的单调性提分题组训练1．解析：构造函数f (x )＝ln x ＋1－x ，f ′(x )＝1x－1＝1−x x，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (12 020)>f (12 021)>f (12 022)，a >b >c .故选A.2．解析：由题意得，f ′(x )＝2x －ax ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤2x 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 因为2x 2在x ∈[1，＋∞)的最小值为2， 所以m ≤2.故选C. 答案：C3．解析：f ′(x )＝2x 2－2ax ＋4，由题意得∃x ∈(－2，－1)，使得不等式f ′(x )＝2(x 2－ax ＋2)<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <(x +2x )max ，令g (x )＝x ＋2x ，x ∈(－2，－1)， 则g ′(x )＝1－2x 2＝x 2−2x 2，令g ′(x )>0，解得－2<x <－√2， 令g ′(x )<0，解得－√2<x <－1，故g (x )在(－2，－√2)上单调递增，在(－√2，－1)上单调递减， 故g (x )max ＝g (－√2)＝－2√2，故满足条件的a 的范围是(－∞，－2√2)， 故选C. 答案：C4．解析：因为任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x <f (x )cos x 恒成立， 即任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x －f (x )cos x <0恒成立， 又x ∈(－π，0)时，sin x <0，所以[f (x )sin x ]′＝f ′(x )sin x−f (x )cos x(sin x )2<0，所以f (x )sin x 在(－π，0)上单调递减， 因为－5π6<－3π4，所以f(−5π6)sin(−5π6)>f(−3π4)sin(−3π4)，即f(−5π6)−12>f(−3π4)−√22，所以√2f (−5π6)<f (−3π4)，故选C.答案：C5．解析：设g (x )＝e x f (x )－e x ，因为f (x )>1－f ′(x )，所以g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0，所以g (x )是R 上的增函数， 又g (0)＝e 0f (0)－e 0＝5，所以不等式f (x )>1＋5e x 可化为e xf (x )－e x >5，即g (x )>g (0)，所以x >0.故选A.答案：A6．解析：令f (x )＝ln xx+1且x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝1+1x−ln x (x+1)2，若g (x )＝1＋1x －ln x ，则在x ∈(0，＋∞)上g ′(x )＝－1x 2−1x <0，即g (x )单调递减， 又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1e 2－1<0，即∃x 0∈(1e ，e 2)使g (x 0)＝0， ∴在(x 0，＋∞)上g (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )单调递减； ∴f (2021)<f (2020)，有ln 20212 022<ln 20202 021，即a >b ，令m (x )＝ln xx−1且x ∈(0，1)∪(1，+∞)，则m ′(x )＝1−1x−ln x (x−1)2，若n (x )＝1－1x －ln x ，则n ′(x )＝1x (1x －1)，即在x ∈(0，1)上n (x )单调递增，在x ∈(1，＋∞)上n (x )单调递减，∴n (x )<n (1)＝0，即m ′(x )<0，m (x )在x ∈(1，＋∞)上递减， ∴m (2022)<m (2021)，有ln 20222 021<ln 20212 020，即b >c ，故选D.答案：D微专题3利用导数研究函数的极值、最值提分题组训练1．解析：由题得f ′(x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)， 所以当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )取得最小值时，cos x ＝12，此时sin x ＝±√32， 当sin x ＝－√32时，f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＝－3√34； 当sin x ＝√32时，f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＝3√34； 所以f (x )的最小值是－3√34.故选C.答案：C 2．解析：当a >0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图1所示，观察可知b >a .当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .综上，可知必有ab >a 2成立．故选D.答案：D3．解析：由f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2，求导f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，由函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则{f(1)=10f′(1)=0，即{1−a−b+a2=103−2a−b=0，解得{a=−4b=11或{a=3b=−3，当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此时f(x)在定义域R上为增函数，无极值，舍去．当a＝－4，b＝11，f′(x)＝3x2＋8x－11，x＝1为极小值点，符合题意，故选B.答案：B4．解析：因为函数f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得最大值，又f(－1)＝f(2)＝2，且f(x)在区间(2a，3－a2)上有最大值，所以2a<－1<3－a2≤2，解得－2<a≤－1，所以实数a的取值范围是(－2，－1]故选D.答案：D5．解析：依题意，f′(x)＝e2x－m e x－mx有两个变号零点，令f′(x)＝0，即e2x－m e x－mx＝0，则e2x＝m(e x+x)，显然m≠0，则1m ＝e x+xe2x，设g(x)＝e x+xe2x，则g′(x)＝(e x+1)·e2x−(e x+x)·2e2xe4x ＝1−e x−2xe2x，设h(x)＝1－e x－2x，则h′(x)＝－e x－2<0，∴h(x)在R上单调递减，又h(0)＝0，∴当x∈(－∞，0)时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0，＋∞)时，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)max＝g(0)＝1，且x→－∞时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0，<1，解得m>1.∴0<1m故选B.答案：B6．解析：y＝2x－2－2m在(－∞，1)上单调递增，∴y＝2x－2－2m>－2m；当x≥1时，y＝2x3－6x2，此时，y′＝6x2－12x＝6x(x－2)．∴y＝2x3－6x2在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴y＝2x3－6x2在[1，＋∞)上的最小值为－8，函数f(x)有最小值，则－2m≥－8，即m≤4，故m的一个正整数取值可以为4.答案：4。
《导数在生活中的简单应用》教学案例
《导数在生活中的简单应用》教学案例
一、案例介绍
通过本案例，学习生活中的导数应用，能够帮助学生结合实际，深入理解并发挥导数的作用。
二、案例分析
1.计算变化的速度
在工业当中，机器的生产速率是一项重要的考量指标。
经济学也是如此，许多因素会改变经济的速度，比如公司的生产能力和投资的总量等。
在这种情况下，求出变化的速度就显得非常重要。
这时我们就要用到导数，它可以帮助我们求出变量随着某个指标变化产生的变化速度。
2.计算函数最大值或最小值
导数也可以用来求函数的最值，比如可以用来求最优化问题，比如机器学习中的最佳拟合或经济的最优生产量等。
可以使用导数的概念来求出函数的极值点，比如令导数等于零得到函数极值点，也可以令导数等于无穷小得到函数最高点等，这些都靠着求导数的方法来完成。
3.解决定积分
导数也可以用来求积分，根据微积分里的积分计算公式$\int
\frac{dx}{f(x)}=log(|f(x)|)+c$，我们可以看出求取积分依赖于解决导数的问题，这在数学模型的建立中非常重要，比如生产成本可以用函数的积分表示法来分析，而这都需要先求出某函数的导数才能得到。
4.画函数图象
有时画函数图像也要靠求导数，因为极值点的判断也要通过求导数的方法来实现，比如用拉格朗日法则得到函数图像的极值点，用求导数的方法得到函数的极值。
三、案例结论
从上述案例我们可以看出，导数在生活中有非常多的应用，从计算变化的速度、求函数的最大值或最小值、求定积分、画函数图象等，都需要用到导数的概念。
求导数不仅可以提高我们对函数的理解和熟悉程度，还能够更好地理解问题所在，更人性化和完善地解决问题。
哪些计算运用导数的方法
哪些计算运用导数的方法首先，要明白什么是导数。
导数是一项数学概念，通常用来表示一个函数在一个点处的变化率。
它是描述函数从一个点到另一点的变化强度的量化指标。
导数是计算函数曲线上两点之间斜率的数学工具，它能反映函数的变化趋势，帮助理解函数的变化。
导数计算应用到许多领域，可以解决有关函数的极值、泰勒公式、坐标变换、复杂函数的计算等问题，这些都是通过导数的计算而实现的。
它的运用范围很广，可以从经济、制造业、建筑、理论物理、社会学等多个方面来认识。
经济学中，导数计算被广泛应用用来分析消费者行为，探究价格效应，比较产品之间的价值关系，分析投资回报率等等。
在制造业，导数计算可以帮助企业优化产品的设计，提升产品的质量和性能。
它还可以用来建模和分析设备的运行规律，精确调整设备参数，有效改善设备性能。
建筑学中，导数计算可以用来模拟建筑物在受力情况下的变形，探究构件的变形情况，从而了解建筑物在受力情况下的变形能力。
它还可以用来计算受力情况下建筑结构的分布变化，帮助设计师调整结构设计，使建筑更加安全。
理论物理学中，导数计算可以用来分析物理系统的动力学，分析物理变量的变化规律，从而提出物理解释。
它还可以用来测量物质和粒子之间的相互作用，建立解析模型，深入了解物理系统的变化规律。
社会学中，导数计算可以用来建模和分析社会现象的变化，从而掌握社会的运行规律，研究推动社会发展的动力。
它还可以用来解释社会系统的演化规律，研究社会变量之间的相互关系，找出影响社会发展的原因和规律。
以上就是关于计算运用导数的方法的简单介绍。
导数计算方法的运用范围很广，可以应用到许多领域，如经济、制造业、建筑、理论物理、社会学等。
它是一种重要的数学工具，可以用来衡量函数变化的强度，帮助人们理解函数的变化规律，从而有效解决实际问题。
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。
导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。
而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。
这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。
接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。
1．导数与函数的极值、最值解读函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。
函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。
最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。
函数最值在极值点处或区间的断点处取得。
2．导数在实际生活中的应用解读生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。
例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23260()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：()2()2(0)2a V x x a x x =-<< 答案：6a x =。
导数在实际中的应用的简单举例
答：关于导数，我们知道，它是微积分的核心概念。
它有着及其丰富的背景和广泛的应用。
我们的教材，通过大量的实例，引导同学们经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，体会导数的思想，理解导数的含义，并且通过用导数研究函数的单调性，极值等性质和解决各种最优化问题，让我们的学生充分体会到导数在解决数学问题和实际问题中的广泛应用和强大力量。
例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，都能够引领我们的学生深刻体会到导数在解决实际问题中的重大作用．具体说来，总结如下1．研究函数性质导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤．在熟练运用导数工具研究函数的性质同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.2．证明不等式成立证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性. 由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式.3．求解参数范围给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式. 在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要.4．研究曲线的切线问题导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中. 解决此类相切问题，一般先求函数的导数，依据曲线在处的切线斜率为而进行研究. 由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图象上，从而对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常设切点坐标并联立方程组而求解.5．解决实践问题在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题. 我们先把实际情景翻译为数学语言，找出情景中主要的关系，抽象出具体的数学问题，化归为研究目标函数的最大(小)值，从而可利用导数方法简捷求解，此类问题称为优化问题.解答此类问题时，需要抓住三个基本步骤：①建立函数关系；②求极值点，确定最大(小)值；③回归优化方案．最后再举出一个用导数解决实际问题的实例如下：[例]用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．易错点：读不懂题，不能化未知为已知；即使能够建立函数关系也不关注实际背景．错因分析：函数观念弱化，无法建立函数关系，建模能力弱．解决策略：解决实际优化问题的关键在于建立数学模型（目标函数），通过把题目中的主要关系（等量和不等量关系）形式化，把实际问题抽象成数学问题，再选择适当的方法求解．简解：设容器底面长方形宽为，则长为，依题意，容器的高为．显然，即的取值范围是．记容器的容积为，则．对此函数求导得，．令，解得；令，解得．所以，当时，取得最大值1.8，这时容器的长为．答：容器底面的长为m、宽为m时，容器的容积最大，最大容积为．关于导数的在实际问题中的应用，其实是博大精深的，我们也不过只是研究了其皮毛而已，在今后的学习中，我会更多的关注这个问题的。
导数的应用
导数的应用
导数是微积分中的重要概念，它有许多应用。
以下是一些常见的导数应用：
1. 切线和法线：导数可以用来确定函数曲线在某一点的切线和法线。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线的负倒数。
2. 最值问题：导数可以用来解决最值问题。
例如，对于一个函数，它的局部最大值或最小值出现在它的导数为零的点，或者在导数发生跃变的点。
3. 函数的增减性和凹凸性：导数可以用来研究函数的增减性和凹凸性。
如果函数在某一区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，函数是递减的。
函数的凹凸性则与导数的二阶导数有关。
4. 曲线的弧长：导数可以用来计算曲线的弧长。
通过对曲
线的参数方程或者极坐标方程进行导数运算，可以得到弧
长公式。
5. 高阶导数：导数可以进行高阶运算，即对导数再进行导数。
高阶导数可用于描述函数的曲率、加速度等更高阶的
变化特性。
以上只是导数的一些简单应用，实际上导数在数学、物理、经济学等领域有着广泛的应用，包括优化问题、速度与加
速度的计算、函数逼近等等。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用非常广泛。
在物体运动中，导数可以帮助我们计算速度和加速度，从而预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数也被广泛应用，帮助我们找到函数的最大值和最小值。
在经济学中，导数被用于边际分析，帮助企业和政府做出决策以最大化利润或效益。
在医学领域，导数可以帮助分析身体的变化和疾病的发展趋势。
而在工程领域，导数则被用于解决各种实际问题，例如设计建筑结构和优化生产过程。
导数在不同领域中都起着重要作用，通过综合运用导数，我们能够更好地解决各种实际生活中的问题。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、速度、加速度、最优化、边际分析、医学、工程领域、重要作用、解决问题1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用是一种重要的数学概念，它广泛应用于各个领域，为解决实际生活中的问题提供了有效的数学工具。
导数是函数在某一点处的变化率，它可以帮助我们理解事物的变化规律，并从中得出一些有用的结论。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动速度和加速度，帮助我们预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产和经营活动。
在经济学中，导数被应用于边际分析中，帮助我们确定最优的生产和消费决策。
在医学领域，导数被用来描述生物体的变化规律，帮助医生做出诊断和治疗方案。
工程领域的实际情况中，导数被广泛应用于设计和优化工程系统，提高生产效率和质量。
导数在不同领域中均起着重要作用，综合运用导数能够解决各种实际生活问题，为我们的生活带来更多便利和效率。
2. 正文2.1 物体运动的速度和加速度物体运动的速度和加速度是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学中，我们经常需要研究物体在运动中的速度和加速度变化情况，而导数提供了一种有效的工具来描述这些变化。
我们知道速度是描述物体在单位时间内所经历的位移量，而加速度则是描述速度在单位时间内的改变量。
简单来说，速度是位移关于时间的导数，而加速度则是速度关于时间的导数。
导数的简单应用
点击进入相应模块
【考纲要求】
1. 导数的概念及其几何意义
(1)了解导数概念的实际背景．
(2)解导数的几何意义．
2.导数的运算
（1）能根据导数的定义，求函数y=c,y=x,y=x2,y= 1 的导数. x
（2）能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则
求简单函数的导数.
【拓展提升】 1.求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤 第一步：求导数f′(x); 第二步：求方程f′(x)=0的根x0; 第三步：检查f′(x)在x=x0左右的符号： ①左正右负⇔f(x)在x=x0处取极大值； ②左负右正⇔f(x)在x=x0处取极小值.
2.求函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值的步骤 第一步：求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)； 第二步：将y=f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大 的一个为最大值，最小的一个为最小值.
3.(交汇新)已知函数f(x)的定义域为［-2, +∞),部分对应值如下表：f′(x)为f(x)的 导函数，函数y=f′(x)的图象如图所示.若 两正数a，b满足f(2a+b)＜1，则 2b 6 的取值范围是( )
a3
A(6 ,14)
53
C( 4 ,12)
35
B(12 , 8)
73
2 A．（-1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）
2.(2012·洛阳模拟) 已知函数f(x)＝(－ax2－2x＋a)·ex(a∈R).
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在[－1，1]上单调递减，求实数a的取值范围.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三讲导数的简单应用考点一导数的几何意义1．导数公式(1)(sin x)′＝cos x；(2)(cos x)′＝－sin x；(3)(a x)′＝a x ln a(a>0)；(4)(log a x)′＝1x ln a(a>0，且a≠1)．2．导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．[对点训练]1．(2018·兰州质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)[解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x －1上，故选C.[答案]C2．(2018·大同模拟)过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为()A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0[解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，y 0＝x 30－2x 0，则曲线在(x 0，y 0)处的切线斜率为y ′＝3x 20－2，当x 0＝1时斜率为1，切线方程为x －y －2＝0，当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为x 30－2x 0＋1x 0－1＝x 20＋x 0－1＝3x 20－2，解得x 0＝－12，其斜率为－54，切线方程为5x ＋4y －1＝0，所以A 正确，故选A.[答案] A3．(2018·西安质检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．3[解析] 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B.[答案] B4．若曲线y ＝x 在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a ＝________.[解析] y ＝x ＝x12 ，∴y ′＝12x －12 ，于是曲线在点(a ，a )处的切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2；令y ＝0，得x＝－a，∴三角形的面积S＝12·a2·|－a|＝a a4＝2，解得a＝4.[答案]4[快速审题]看到求切线，想到用导数的几何意义．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．考点二利用导数研究函数的单调性1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可．2．若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．角度1：根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围[解题指导]求f′(x)→解f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立→得出结果[解析]由题意得f′(x)＝2x＋a＋3x＝2x2＋ax＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴g(x)＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴Δ＝a2－24≤0或⎩⎨⎧ －a 4≤1，g (1)≥0，∴－26≤a ≤26或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，a ≥－5， 即a ≥－26，故选C.[答案] C角度2：利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性[解] 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－ax 2＋x －a x 2，令h (x )＝－ax 2＋x －a ，记Δ＝1－4a 2，当Δ≤0时，即a ≥12时， －ax 2＋x －a ≤0，f ′(x )≤0，此时函数f (x )在(0，＋∞)上递减．当Δ＝1－4a 2>0，即当0<a <12时， 由－ax 2＋x －a ＝0，解得：x 1＝1＋1－4a 22a ，x 2＝1－1－4a 22a， 显然x 1>x 2>0，故此时函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 22a ，1＋1－4a 22a 上递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 22a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 22a ，＋∞上递减， 综上，0<a <12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 22a ，1＋1－4a 22a 上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 22a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 22a ，＋∞上递减， a ≥12时，函数f (x )在(0，＋∞)上递减．[探究追问1] 若把例2的条件“a >0”变为“a ∈R ”，其他条件不变，则f (x )的单调性如何？[解] 由例2解的内容知：f ′(x )＝－ax 2＋x －a x 2，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝－ax 2＋x －a .当a ≤0时，h (x )>0恒成立，所以f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，同例2解的内容．综上：a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上递增．0<a <12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 22a ，1＋1－4a 22a 上递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 22a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 22a ，＋∞上递减， a ≥12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．[探究追问2] 若将例2中函数“f (x )”变为“f (x )＝1x ＋(1－a )ln x ＋ax ”，“a >0”变为“a ∈R ”试讨论f (x )的单调性．[解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2＋1－a x ＋a＝ax 2＋(1－a )x －1x 2＝(x －1)(ax ＋1)x 2. 当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2，令f ′(x )>0，则x >1，令f ′(x )<0，则0<x <1，所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．当a ≠0时，f ′(x )＝a (x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a x 2，①当a >0时，x ＋1a >0，令f ′(x )>0，则x >1，令f ′(x )<0，则0<x <1，所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，②当a ＝－1时，1＝－1a ，f ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0， 所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减；③当－1<a <0时，1<－1a ，令f ′(x )>0，则1<x <－1a ，令f ′(x )<0，则0<x <1或x >－1a ，所以函数f (x )在区间(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1a 上单调递增； ④当a <－1时，1>－1a ，令f ′(x )>0，则－1a <x <1，令f ′(x )<0，则0<x <－1a 或x >1，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 和(1，＋∞)上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1上单调递增． 综上，当a ≥0时，函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；当a ＝－1时，函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，函数f (x )在区间(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1a 上单调递增； 当a <－1时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，(1＋∞)上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1上单调递增． 利用导数研究函数单调性的3个关注点(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论．(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(3)在不能通过因式分解求出根时，根据一元二次不等式对应方程的判别式或特殊值进行分类讨论．[对点训练]1．[角度1]若函数f (x )＝x ＋4m x －m ln x 在[1,2]上为减函数，则m的最小值为( )A.32B.34C.23D.43[解析] 因为f (x )＝x ＋4m x －m ln x 在[1,2]上为减函数，所以f ′(x )＝1－4m x 2－m x ＝x 2－mx －4m x 2≤0在[1,2]上恒成立，所以x 2－mx －4m ≤0在[1,2]上恒成立．令g (x )＝x 2－mx －4m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝1－m －4m ≤0，g (2)＝4－2m －4m ≤0，所以m ≥23，故m 的最小值为23，故选C. [答案] C2．[角度2]已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．[解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －1＋1x ＝2ax 2－x ＋1x. ①当a ＝0时， f ′(x )＝－x ＋1x .显然，当x ∈(0,1)时， f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．②当a ≠0时，对于2ax 2－x ＋1＝0，Δ＝(－1)2－4×2a ×1＝1－8a .若Δ≤0，即a ≥18，因为a >0，所以2ax 2－x ＋1≥0恒成立，即f ′(x )≥0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若Δ>0，即0<a <18或a <0，方程2ax 2－x ＋1＝0的两根为x 1＝1－1－8a 4a ，x 2＝1＋1－8a 4a. 当a <0时，x 1>0，x 2<0.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4a 时，2ax 2－x ＋1>0, f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，＋∞时，2ax 2－x ＋1<0, f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．当0<a <18时，x 2>x 1>0.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4a 时，2ax 2－x ＋1>0, f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，1＋1－8a 4a 时，2ax 2－x ＋1<0, f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－8a 4a ，＋∞时，2ax 2－x ＋1>0, f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上，当a ＝0时， f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；当a ≥18时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当0<a <18时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－8a 4a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，1＋1－8a 4a ； 当a <0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，＋∞. 考点三 利用导数研究函数的极值与最值1．若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．2．设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．角度1：根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围[解析] f ′(x )＝1x ＋x －⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m ，由f ′(x )＝0得(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m ＝0，∴x ＝m 或x ＝1m .显然m >0.当且仅当0<m <2≤1m 或0<1m <2≤m 时，函数f (x )在区间(0,2)内有且仅有一个极值点．若0<m <2≤1m ，即0<m ≤12，则当x ∈(0，m )时，f ′(x )>0，当x ∈(m,2)时，f ′(x )<0，函数f (x )有极大值点x ＝m .若0<1m <2≤m ，即m ≥2，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 时， f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，2时， f ′(x )<0，函数f (x )有极大值点x ＝1m .综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)，故选B. [答案] B角度2：利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值[解题指导] (1)求f ′(x )→f ′(x )＝0有两不等正根→确定a 的范围(2)分离参数λ→借助x 1＋x 2，x 1·x 2转化关系式→构造关于a 的函数→求函数的最大值[解] (1)由题设知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞), f ′(x )＝x 2－ax ＋a x，且f ′(x )＝0有两个不同的正根，即x 2－ax ＋a ＝0有两个不同的正根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a >0，a >0， ∴a >4.(2)不等式f (x 1)＋f (x 2)<λ(x 1＋x 2)恒成立等价于λ>f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2恒成立． f (x 1)＋f (x 2)＝a ln x 1＋12x 21－ax 1＋a ln x 2＋12x 22－ax 2.由(1)可知x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a ，∴f (x 1)＋f (x 2)＝a (ln x 1＋ln x 2)＋12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＝a ln(x 1x 2)＋12[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－a (x 1＋x 2)＝a ln a ＋12(a 2－2a )－a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a －12a －1， ∴f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2＝ln a －12a －1， 令y ＝ln a －12a －1，则y ′＝1a －12.∵a >4，∴y ′<0，∴y ＝ln a －12a －1在(4，＋∞)上单调递减，∴y <ln4－3，∴λ≥ln4－3.∴λ的最小值是ln4－3.研究极值、最值问题的3个关注点(1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．[对点训练]1．[角度1](2018·福建泉州一模)函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2－x ＋2(0≤x ≤1)在x ＝1处取得最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，35C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，35 D ．(－∞，1][解析] f ′(x )＝3ax 2＋2(a －1)x －1，x ∈[0,1]，a ＝0时，f ′(x )＝－2x －1<0，f (x )在[0,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)符合题意；a ≠0时，Δ＝4(a 2＋a ＋1)>0，x 1＝1－a －a 2＋a ＋13a ，x 2＝1－a ＋a 2＋a ＋13a ，a >0时，若f (x )在x ＝1处取最小值，只需x 1≤0且x 2≥1，解得0<a ≤35，a <0时，若f (x )在x ＝1处取最小值，只需x 1≥1或x 2≤0，解得a <0；综上a ≤35，故选C.[答案] C2．[角度2](2017·北京卷)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1，f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)，即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝－2sin x ·e x≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，且仅在x ＝0处等号成立，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. 1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴a －1＝0，解得a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x ，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，故曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x ，故选D.[答案] D2．(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________．[解析] ∵f (x )＝e x ln x ，∴f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ， ∴f ′(1)＝e 1×(ln1＋1)＝e.[答案] e3．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.[解析] 设f (x )＝(ax ＋1)e x ，则f ′(x )＝(ax ＋a ＋1)e x ，所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3.[答案] －34．(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ；(2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x .f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等．有时出现在解答题第一问．热点课题6 导数与函数的单调性与最值[感悟体验]已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x ，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[1，e]上的最小值为－2，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x， 所以f (1)＝－2，f ′(1)＝0.所以切线方程为y ＝－2.(2)函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，当a >0时，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x ＝2ax 2－(a ＋2)x ＋1x＝(2x －1)(ax －1)x， 令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1，e]上单调递增．所以f (x )在[1，e]上的最小值为f (1)＝－2，符合题意；②当1<1a <e ，即1e <a <1时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增，所以f (x )在[1，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (1)＝－2，不符合题意； ③当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )在[1，e]上的最小值为f (e)<f (1)＝－2，不符合题意； 综上，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．专题跟踪训练(十二)一、选择题1．(2018·福建福州八校联考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( )A ．－eB ．2C ．－2D ．e[解析] 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2，故选B.[答案] B2．函数f (x )＝x ＋1x 的极值情况是( )A ．当x ＝1时，取极小值2，但无极大值B ．当x ＝－1时，取极大值－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，取极小值－2；当x ＝1时，取极大值2D ．当x ＝－1时，取极大值－2；当x ＝1时，取极小值2[解析] 求导得f ′(x )＝1－1x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，所以当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2，故选D.[答案] D3．(2018·聊城模拟)已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )[解析] 由题图知当0<x <1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减，排除A 、B.当x >1时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增．所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增，当－1<x <0时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以当x ＝－1时，函数取得极大值，排除D.符合条件的只有C 项，故选C.[答案] C4．(2018·南昌一模)若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 由题意知x >0，f ′(x )＝1＋a x ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则方程1＋a x ＝0在x >0上有解，则x ＝－a ，所以a <0，故选C.[答案] C5．(2018·海南八校联考)已知函数f (x )＝3ln x －x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 在区间(1,3)上有最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，112 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，112 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 [解析] 因为f ′(x )＝3x －2x ＋a －12，所以结合题意可得f ′(x )＝3x－2x ＋a －12在(1,3)上只有一个零点且单调递减，则问题转化为⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)>0，f ′(3)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋12>0，a －112<0，解得－12<a <112，故选B.[答案] B6．(2018·石家庄二中一模)已知对∀x ∈(0，＋∞)，不等式ln x ＋1≥m －n x (n >0)恒成立，则m n 的最大值是( )A ．1B ．－1C ．eD ．－e[解析] 不等式ln x ＋1≥m －n x 可化为ln x ＋1－m ＋n x ≥0，令F (x )＝ln x ＋1－m ＋n x (x >0)，则F ′(x )＝1x －n x 2＝x －n x 2，所以当x ＝n 时，F (x )min＝ln n ＋2－m ，则ln n ＋2－m ≥0⇒m ≤2＋ln n (n >0)．所以m n ≤2＋ln n n .令G (n )＝2＋ln n n ，则令G ′(n )＝－1－ln n n 2＝0，可得n ＝1e ，故G (n )max＝2－11e＝e ，即m n ≤2＋ln n n ≤e ，故选C.[答案] C二、填空题7．(2018·武汉模拟)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________.[解析] 因为y ＝x ＋1x －1，所以y ′＝－2(x －1)2，则曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线的斜率为y ′| x ＝3＝－12.又因为切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，所以－12·(－a )＝－1，解得a ＝－2.[答案] －28．(2018·南宁二模)曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是________．[解析] 因为f ′(x )＝1＋ln x ，且f (1)＝0，f ′(1)＝1，所以切线l 的斜率k ＝1，切线方程为y ＝x －1.令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝1，∴切线l 与两坐标轴的交点坐标分别为A (0，－1)，B (1,0)，则|OA |＝1，|OB |＝1，∴S △ABO ＝12×1×1＝12.[答案] 129．(2018·河南安阳调研)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为________．[解析] f ′(x )＝1x ＋ax －2＝ax 2－2x ＋1x(x >0)，函数f (x )存在单调递减区间，即定义域(0，＋∞)内存在区间使ax 2－2x ＋1≤0，等价于a 小于2x －1x 2在x ∈(0，＋∞)上的最大值，设g (x )＝2x －1x 2，则g ′(x )＝－2x ＋2x 3，可知，函数g (x )在区间(0,1)为增函数，在区间(1，＋∞)为减函数，所以当x ＝1时，函数g (x )取得最大值，此时g (x )＝1，所以a <1，故填(－∞，1)．[答案] (－∞，1)三、解答题10．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．[解] (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x －ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－x x 2，由f ′(x )>0⇒0<x <1，由f ′(x )<0⇒x >1，∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－11－ln1＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －lne ＝－1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f (e)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2－e. 综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e. 11．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )是否为R 上的单调减函数？若是，求出a 的取值范围？若不是，请说明理由．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0， 解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， 所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0，则a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立． 令g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1， 则g ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0. 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增． 所以g (x )<g (1)＝(1＋1)－11＋1＝32. 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立，因为e x >0，所以x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立．所以Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的．故函数f (x )不可能在R 上单调递减．12．(2018·辽宁五校模拟)已知函数f (x )＝2ln x ＋x 2－2ax (a >0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，且f (x 1)－f (x 2)≥32－2ln2恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)由题意知，函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x 2－ax ＋1)x，令x 2－ax ＋1＝0，则Δ＝a 2－4， ①当0<a ≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >2时，Δ>0，方程x 2－ax ＋1＝0有两个不同的实根，分别设为x 3，x 4，不妨令x 3<x 4，则x 3＝a －a 2－42，x 4＝a ＋a 2－42，此时0<x 3<x 4， 因为当x ∈(0，x 3)时，f ′(x )>0，当x ∈(x 3，x 4)时，f ′(x )<0，当x ∈(x 4，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递增．综上：当0<a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递增． (2)由(1)得f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，x 1＋x 2＝a ，x 1·x 2＝1，则f (x 1)－f (x 2)＝2ln x 1x 2＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2a )＝2ln x 1x 2＋x 22－x 21x 1x 2＝2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2， 令t ＝x 1x 2，则0<t <1，f (x 1)－f (x 2)＝2ln t ＋1t －t ，令g (t )＝2ln t ＋1t －t (0<t <1)，则g ′(t )＝－(t －1)2t 2<0，故g (t )在(0,1)上单调递减且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－2ln2， 故g (t )＝f (x 1)－f (x 2)≥32－2ln2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0<t ≤12， 而a 2＝(x 1＋x 2)2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝t ＋1t ＋2，其中0<t ≤12， 令h (t )＝t ＋1t ＋2，t ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12， 所以h ′(t )＝1－1t 2<0在t ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 故h (t )＝t ＋1t ＋2在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减， 从而a 2≥92， 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，＋∞.。