工程振动——模态分析、多自由度系统振动响应

1.复习模态分析理论
1.1单自由度系统频响函数（幅频、相频、实频与虚频、品质因子等）
系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频响函数H(ω)是一对傅里叶变换对，与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对。

即有：
i ()()e d t H h t t ωω-∞
=⎰
-∞
1i ()
(
)e d 2π
t h t H ωωω
-∞
=⎰-∞
()()e d 0
st H s h t t -∞
=⎰
1
i ()
(
)e d
i 2πi st h t H s
σωσ+∞=⎰
-∞
复频率响应的实部 2
1(/)R e [()]22
2
[1(/)
](2/)n H n n
ωωωωω
ξωω-=
-+ 复频率响应的虚部 2/Im [()]22
2
[1(/)](2/)
n
H n
n
ξωω
ωωω
ξωω
=-
-+
单自由度系统频响函数的各种表达式及其特征1
(w )2H k m w
j k
η=-+，对频响函数特征的描述
采用的几种表达式
1）幅频图：幅值与频率之间的关系曲线 2）相频图：相位与频率之间的关系曲线 3）实频图：实部与频率之间的关系曲线 4）虚频图：虚部与频率之间的关系曲线 5）矢端轨迹图（Nyquist 图）
1.2单自由度结构阻尼系统频响函数的各种表达形式
频响函数的基本表达式：11111
()22222100
H m k k m j k
j j ωω
ηωωηωη
=
=
⋅=⋅
-+-+-Ω+
频响函数的极坐标表达式：()|()|j H H e ϕωω=，w H （） —幅频特性，
a rc ta n 21ηϕ⎛
⎫
-=
⎪ ⎪
⎝-Ω⎭
—相频特性。

频响函数的直角坐标表达式：
()()()
R
I
H H
jH
ωωω=+，
()()
211()222
1R
H
k
ωη
-Ω=
⋅
-Ω+—实频特性，
()
1()22
2
1I
H
k
η
ωη
-=⋅
-Ω+—虚频特性
频响函数的矢量表达式：()()()R I H H ωωω=+H i j
1.3单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征
幅频特性：1|()|0H k ωη
=
固有频率：0D ωω= 阻尼比：00
B A
ω
ωω
ηω
ω
-∆==
相频特性
Nyquist 图：无论阻尼多大，半功率点总位于水平直径两端，半功率点之间的曲线范围相当大，共振区在Nyquist 图上最易反映出来，故用Nyquist 图作参数识别较好。

对数幅频图：Bode 图不仅能在很宽频段内反映系统的幅频特性而且能将低频段和高频段内幅频特性用最突出的特征反映出来。

2.预习多自由度系统振动响应 2.1实模态分析
对一个有n 个自由度的振动系统，需用n 个独立的物理坐标描述其物理参数模型。

在线性范围内，物理坐标系中的自由振动响应为n 个主振动的线性叠加，每个主振动都是一种特定形态的自由振动（简谐振动或衰减振动），振动频率即系统的主频率（固有频率或阻尼固有频率），振动形态即系统的主振型（模态或固有振型），对应每个阻尼系统的主振型有相应的模态阻尼。

本节用模态坐标法研究模态参数模型和非参数模型。

坐标变换法的基础是求解系统特征值问题。

特征值与模态频率和模态阻尼有关（不一定就是模态频率）特征矢量与模态矢量相联系（不一定就是模态矢量）。

对无阻尼和比例阻尼系统，表示系统主振型的模态矢量实数矢量，故称实模态系统，相应的模态分析过程是实模态分析。

2.2实模态坐标系中的自由响应 根据特征矢量的正交性，n 个线性无关的特征矢量j i 构成一个n 维矢量空间的完备正交基，称这一n 维空间为模态空间或模态坐标系。

对于实模态系统，模态矢量构成的模态空间是实线性空间。

设物理坐标系中的矢量x 在模态坐标系中的模态坐标为y i （i ＝1,2,…n）,则y i ∑ϕϕy n
x =＝i i=1。

它是以j 为变换矩阵的线性变换，反映了物理坐标系与模态坐标系的关系，
也称为模态展开定理。

y i ∑ϕϕy
n
x =＝i i=1
代入到振动方程中，左乘T ϕ，注意模态矢量的正交性，得到d iag [d iag [m k i i =y y 0
]+]可见，在模态坐标系中，无阻尼自由振动方程变成一组解耦的振动微分方程。

写成正则形式d ia g [20i ω=y y 0+]考虑初始条件11T d iag [
]M 000
m i ϕϕy x x
－=＝，11T
d ia g [
]M 000
m i
ϕϕ
y x x
－=＝。

得模态坐标系中的
实频特性：1|()|0H k ωη
=
固有频率:由零点M 确定阻尼比00
B A ωωω
ηωω
-
∆
=
=
正负极值点水平距离反映阻尼大小
虚频特性：比较虚频曲线与幅频曲线，二者形状相同， 不过一为负峰一为正峰，但虚频曲线半功率带宽内的 点较幅频曲线多，故用虚频曲线作参数识别较幅频曲 线要好。

自由响应，其中0)y
i Y i ，00a rc ta n
0y i i i y i
ω
θ＝为与初始条件有关的常量。

2.3物理坐标系中的自由响应
sin ()sin ()
0011
n n
Y t t i i i i i i i
i=i=ϕωθωθ++∑∑x D =＝式中 (12)
Y i ,,
,n i i ϕ=D i =如果系统以某阶固有频率0i ω振动，
则振动规律sin(+) (12)
0t i ,,
,n i i i ωθ=x =D i 无阻尼系统的主振动。

由于Y i 是与初始条件有关的常量，
i ϕ∝D i。

因此，系统以某阶固有频率0i ω做自由振动时，振动形态 D i 与主振型i ϕ完全相同，这就
是主振型的物理意义。

进一步讨论主振型的性态。

考察主振动下各个物理坐标的振动情况，写出
sin(+) (12)
0t i ,,,n i i i
ωθ=x =D i 中每个元素sin(+)=sin(+) (12)
00x D t Y t k ,,
,n ki ki i i ki i i i ωθϕωθ==在第i 个主振动中，i
θ为与初始条件有关的常值，与物理坐标k 无关。

2.4多自由度系统的复模态分析
具有一般粘性阻尼和一般结构阻尼振动系统的模态矢量是复矢量，有关的模态分析基本理论称为复模态分析。

复模态矢量不具备实模态系统中模态矢量那样关于M 、K 、C 的正交性。

一般粘性阻尼系统以某阶主振动做自由振动时，每个物理坐标的初相位不仅与该阶主振动有关，还与物理坐标k 有关，即各物理坐标的初相位不同。

因而，每个物理坐标振动时并不同时到达平衡位置和最大位置，即主振型节点和（线）是变化的。

不具备模态保持性，主振型不再是驻波形式，而是行波形式，这是复模态系统的特点。

从物理模型到模态模型的转换，是方程+M x +C x K x =f (t)解耦的数学过程。

从物理意义上来认识，这是一种从力的平衡方程变为能量平衡方程的过程。

方程+M x +C x K x =f (t)是根据达朗贝尔原理和虎克定律建立的，在物理坐标系统中，其质量阵、刚度阵中一般有一个，有时两个都是非对角阵，使运动方程不能解耦。

在模态坐标系统中，模态坐标y i 代表在位移向量中第i 阶固有振型（模态振型）所作的贡献，方程T d ia g [d ia g [d ia g [m c k i i i =ϕy y y f ]+]＋]实质上是能量平衡方程。

任何一阶固有振型的存在，并不依赖于其他固有振型是否同时存在。

这就是模态坐标得以解耦的原因。

因此，位移响应向量是各阶模态贡献的叠加结果，不是模态耦合的结果，各模态之间是不耦合的。

0sin()i i i i y Y t ωθ=+。