概率论与数理统计第二章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初

第二章

1．解：X 的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。

X =2对应于一种情形：（1，1），则{}

1

126636

P X

；

X =3对应于两种情形：（1，2）、（2，1），则{}

2

1

366

18P X ； X =4对应于三种情形：（1，3）、（2，2）、（3，1），则{}

31466

12

P X

； X =5对应于四种情形：（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），则

{}

41

5669P X ； X =6对应于5种情形：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），则

{}

5566636P X ； X =7对应于6种情形：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），则

{}

61766

6

P X

； 类似地，可以算得

{}

5

586636P X ，{}41

9669P X ，{}

311066

12

P X

， {}

21116618P X

，{}11

126636P X 。 因此，X 的分布律为

[()]()

,,,{}

[()]()

,,,||

,,,,,166167 , 237

36363666167 , 8912363667

234111236

i i i i P X i i i i i i

2．解：设随机变量X 表示产品质量的等级，X 的可能取值为1，2，3。由题可知，

一级品数量：二级品数量：三级品数量=2 ：1 ：0.5= 4 ：2 ：1， 因此可求得X 的分布律为

1234

217

7

7

k

X P 3．解：X 的可能取值为0，1，2，3，4，其取值概率为

{}.007P X ，{}...10307021P X ，{}....20303070063P X

， {}

.....30303030700189P X

，{}

(403030303)

00081P X 。

即X 的分布律为

.....012340702100630018900081k X P 。

6．解：X 的可能取值为1，2，3，其取值概率为

2435

3

{1}

5

C P X C ，2335

3

{2}

10

C P X C ，2235

1{3}

10

C P X C ； 即X 的分布律为

1233315

10

10

k

X P 。 8．解：设X 表示发生交通事故的次数，则(1000 , 0.0001)X B 。由于1000n

比

较大，0.0001p

比较小，所以X 近似服从泊松分布，且

0.1np

。那么

{2}1{0}{1}

1

0.90480.09050.0047

P X P X P X 。

9．解：（1）0.5

0.50.52

{0.5}

()20.25P X f x dx

xdx

x ；

（2）由课本31页的性质2，可知{0.5}

0P X ；

（3）当0x 时，()

()00x

x

F x f t dt dt ；

当01x 时，0

220

()

()02x

x x F x f t dt

dt

tdt

t x ； 当1x

时，0

1120

1

()()0201x

x F x f t dt dt tdt dt

t

；

所以X 的分布函数为

20 , 0()

, 011 , 1

x

F x x x x

。

10．解：元件使用1500h 后失效（即元件的寿命不超过1500h ）的概率为：

1500

1500

150021000

1000

1000

10001{1500}

()3

P X f x dx

dx x

x ； 设Y 表示5个元件在使用1500h 后失效的个数，则1

(5 , )3

Y B ，因此恰有2个元件失

效的概率为：

2

3

25

1280{2}

3

3243

P Y C 。

11．解：（1）因为连续型随机变量的分布函数是连续函数，所以有

2

1

1

1

lim ()

lim ()

lim (1)x

x

x

F x F x Ax F ，

即有A=1；

（2）由分布函数的性质1，有

22

{0.30.7}(0.7)(0.3)

0.70.30.4P X F F ；

（3）由课本38页的（2-14）式，有

2 , 01

()()

0 , x x f x F x 其他

。

12．解：（1）由课本31页的性质1，有

()22[]21x

x x f x dx

Ae dx

A

e dx

A e A ，

即有1

2

A

； （2）由于X 的概率密度函数是分段函数1 , 0

2()

1 , 0

2

x

x

e x

f x e x ，因此

当0x 时，

111()

()22

2

x

x

x

t t x

F x f t dt

e dt e e ， 当0x

时，

11111()()1

2

22

2

2

x x

x t t t t x

F x f t dt

e dt e dt e e e ；

所以X 的分布函数为

1 , 0

2

()

11 , 0

2

x

x e x F x e x

。

13．解：（1）由课本37分布函数的性质2，可得到

()lim ()lim (arctan )()lim ()lim (arctan )02

1

2

x x x x F F x A B x A B F F x A B x A B ππ→-∞→-∞→+∞→+∞⎧

-∞==+=-=⎪⎪⎨

⎪+∞==+=+=⎪⎩ ， 因此，可求得,11 2A B π=

= ，即()arctan 11

2F x x π

=+ ； （2）由分布函数的性质1，有