河南省名校联考2021届高三联考(四)数学(文)试题
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6．B
【解析】
【分析】
求得渐近线的方程，令 求得交点 的坐标，利用三角形 的面积建立方程，求得 的值，进而求得离心率.
16．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 .若 ，则当 取得最小值时， 的外接圆的半径为__________．
三、解答题
17．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（Ⅰ）证明： 是等差数列；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
18．如图，在四棱锥 中， ， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ， ， ， ， ，点 为 的中点，求平面 切割三棱锥 得到的上下两个几何体的体积之比.
A． B． C． D．
11．运行如图所示的程序框图，若输出的 的值为1011，则判断框中可以填（ ）
A． B． C． D．
12．在正方体 中，点 平面 ，点 是线段 的中点，ห้องสมุดไป่ตู้ ，则当 的面积取得最小值时， （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若向量 ， ，且 ，则实数 ____．
14．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_______．
19．2021年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范. 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.
（1）求得分在 上的频率；
（2）求 社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（Ⅱ）设 ，求证： ．
22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数)
(1)若 ，求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程；
(2)设点 ，曲线C与直线 交于A、B两点，求 的最小值
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数 .
A．腾讯与百度的访问量所占比例之和
B．网易与搜狗的访问量所占比例之和
C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和
D．新浪与小说的访问量所占比例之和
4．若函数 ，则曲线 在点 的切线方程为（）
A． B． C． D．
5．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，所得函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 的形式，再根据题意求解.
3．B
【解析】
【分析】
根据图表，分析出两个网站访问量不超过 的选项.
15．叶子标本模型是一类常见的图形.绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形 的两个顶点 ， ，分别以 ， 为圆心，线段 的长度为半径作圆，得到图（1）所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏可以得到图（2）所示的叶子标本模型.若往正方形 中任意投掷一点，则该点落在叶子上（图（2）中阴影区域）的概率为_______．
【省级联考】河南省名校联考2019届高三联考（四）数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A．1B． C． D．
3．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过 的为（ ）
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
20．已知椭圆 ： ，点 ， .
（Ⅰ）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 为线段 的中点，求直线 的斜率；
（Ⅱ）若直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，求 的面积的最大值.
21．已知函数 ．
（Ⅰ）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
【详解】
由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为 ，不超过 ，故选B.
【点睛】
本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.
4．A
【分析】
依题意，对函数 求导，求出 为切线斜率，而 ，故由点斜式可得所求切线方程．
【详解】
依题意，可知 ，故 ，切线斜率为1．
而 ，故切点为（1,5），
故所求切线方程为 ，即 ．
故选：A.
【点睛】
本题考查切线方程的求法，考查导数的几何意义和导数的运算，属于基础题．
5．D
【解析】
【分析】
先求得变换后函数的解析，然后求得函数的单调减区间.
【详解】
图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，变为 ，由 ，解得 ，故选D.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数单调减区间的求法，属于基础题.
（1）在如图所示的网格纸中作出函数 的图象；
（2）记函数 的最小值为 ，证明：不等式 成立的充要条件是 .
参考答案
1．B
【分析】
由题目条件，先求解 ，再与集合A做交集运算即可.
【详解】
因 ，故 ．
【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题．
2．C
【分析】
化简 为 的形式，再求 .
【详解】
依题意 ，故 ，故选C.
A． B．3
C． D．6
9．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．若 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系为（ ）
C． D．
6．若双曲线 ： 的两条渐近线分别与直线 ： 交于 ， 两点，且 （ 为坐标原点）的面积为4，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的零点个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
8．已知抛物线 ： 与圆 ： 交于 ， ， ， 四点.若 轴，且线段 恰为圆 的一条直径，则点 的横坐标为（ ）
（3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性， 社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）
认为此项学习十分必要
认为此项学习不必要
50岁以上
400
600
50岁及50岁以下
800
200
根据上述数据，计算是否有 的把握认为居民的学习态度与年龄相关.
附： ，其中 .
0.100
【解析】
【分析】
求得渐近线的方程，令 求得交点 的坐标，利用三角形 的面积建立方程，求得 的值，进而求得离心率.
16．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 .若 ，则当 取得最小值时， 的外接圆的半径为__________．
三、解答题
17．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（Ⅰ）证明： 是等差数列；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
18．如图，在四棱锥 中， ， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ， ， ， ， ，点 为 的中点，求平面 切割三棱锥 得到的上下两个几何体的体积之比.
A． B． C． D．
11．运行如图所示的程序框图，若输出的 的值为1011，则判断框中可以填（ ）
A． B． C． D．
12．在正方体 中，点 平面 ，点 是线段 的中点，ห้องสมุดไป่ตู้ ，则当 的面积取得最小值时， （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若向量 ， ，且 ，则实数 ____．
14．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_______．
19．2021年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范. 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.
（1）求得分在 上的频率；
（2）求 社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（Ⅱ）设 ，求证： ．
22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数)
(1)若 ，求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程；
(2)设点 ，曲线C与直线 交于A、B两点，求 的最小值
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数 .
A．腾讯与百度的访问量所占比例之和
B．网易与搜狗的访问量所占比例之和
C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和
D．新浪与小说的访问量所占比例之和
4．若函数 ，则曲线 在点 的切线方程为（）
A． B． C． D．
5．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，所得函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 的形式，再根据题意求解.
3．B
【解析】
【分析】
根据图表，分析出两个网站访问量不超过 的选项.
15．叶子标本模型是一类常见的图形.绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形 的两个顶点 ， ，分别以 ， 为圆心，线段 的长度为半径作圆，得到图（1）所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏可以得到图（2）所示的叶子标本模型.若往正方形 中任意投掷一点，则该点落在叶子上（图（2）中阴影区域）的概率为_______．
【省级联考】河南省名校联考2019届高三联考（四）数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A．1B． C． D．
3．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过 的为（ ）
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
20．已知椭圆 ： ，点 ， .
（Ⅰ）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 为线段 的中点，求直线 的斜率；
（Ⅱ）若直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，求 的面积的最大值.
21．已知函数 ．
（Ⅰ）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
【详解】
由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为 ，不超过 ，故选B.
【点睛】
本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.
4．A
【分析】
依题意，对函数 求导，求出 为切线斜率，而 ，故由点斜式可得所求切线方程．
【详解】
依题意，可知 ，故 ，切线斜率为1．
而 ，故切点为（1,5），
故所求切线方程为 ，即 ．
故选：A.
【点睛】
本题考查切线方程的求法，考查导数的几何意义和导数的运算，属于基础题．
5．D
【解析】
【分析】
先求得变换后函数的解析，然后求得函数的单调减区间.
【详解】
图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，变为 ，由 ，解得 ，故选D.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数单调减区间的求法，属于基础题.
（1）在如图所示的网格纸中作出函数 的图象；
（2）记函数 的最小值为 ，证明：不等式 成立的充要条件是 .
参考答案
1．B
【分析】
由题目条件，先求解 ，再与集合A做交集运算即可.
【详解】
因 ，故 ．
【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题．
2．C
【分析】
化简 为 的形式，再求 .
【详解】
依题意 ，故 ，故选C.
A． B．3
C． D．6
9．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．若 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系为（ ）
C． D．
6．若双曲线 ： 的两条渐近线分别与直线 ： 交于 ， 两点，且 （ 为坐标原点）的面积为4，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的零点个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
8．已知抛物线 ： 与圆 ： 交于 ， ， ， 四点.若 轴，且线段 恰为圆 的一条直径，则点 的横坐标为（ ）
（3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性， 社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）
认为此项学习十分必要
认为此项学习不必要
50岁以上
400
600
50岁及50岁以下
800
200
根据上述数据，计算是否有 的把握认为居民的学习态度与年龄相关.
附： ，其中 .
0.100