第2章_静态电磁场静电场15

第 二 章
静 电 场
静电场的无旋性
E 0
这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场，其 电力线不是闭合曲线。
对右图闭合曲线作曲线积分， 并应用斯托克斯定理，得：
AmBnA
E dl E dl E dl E dS 0
AmB BnA S
即
AmB
积分形式:
E dl 0
l
D= 其媒质的构成方程为: D=E
D dS dV
S V
显然，静电场是有散(有源)、无旋场。
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第 二 章
静 电 场
真空中 静电场的有散性(高斯定理)
在真空中，高斯定理:
E dS
S
V
dV
0

q
0
其微分形式为：
E 0
E r
1 4 0
V

r
R
2
e R dV
第 二 章
静 电 场
4．电位和电场强度的求解思路
思路一：先求电位，再利用 E r r ，求电场强度。 思路二：先求电场强度，再利用
p r E dl ，求电位。
p

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静 电 场
1 r r dV 4 0 V R
第 二 章
静 电 场
3．电场强度的表达式 r r 1 E r dV dV 4 0 R 4 0 R 因为 V V
第 二 章
静 电 场
▽ E > 0， > 0
▽ E < 0， < 0
▽ E = 0， = 0
图2-1 散度与场源的关系
上图表明：静电场是有散(有源)场。若场中某点 ▽E>0， 则 >0 (正电荷)，该点电力线向外发散，且为“源”的所在 处；若某点 ▽E<0，则 <0 (负电荷)，电力线从周围向该点 汇集，是“汇”的所在处；若某点的▽E=0，则 =0 (无电 荷)，电力线既不自该点发出，也不向该点汇集，而是通过该 点，因此该点不存在场源。
E dl E dl E dl
BnA AnB
图 电场力作功与路径无关
表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅 取决于起点和终点的位置。
第 二 章
静 电 场
电位函数的引入
因为 E=0，由矢量恒等式 ()=0，E(r) 可以表示为:
E r r
式中，称为标量函数 (r) 为静电场的标量电位函数，简 称电位。上式表明，自由空间中任一点静电场的电场强度 E 等 于该点电位梯度的负值。
第 二 章
静 电 场
由E求 的关系式 如取Q点为电位参考点，则P点的电位定义为：
P E dl
P
Q
工程应用中，常取大地表面为电位参考点，而在 理论分析时，任意点P的电位可设为：


代入前式，得
E r
1 4 0
V

r
R
2
e R dV
点电荷： 线电荷： 面电荷： 体电荷：
1 q(r ' ) E r eR 2 4 0 R
E r
E r
1 r ' e dl R 2 4 0 R l'
1 r e R dS ' 2 4 0 S ' R
P E dl
P

第 二 章
静 电 场
2、电位函数的表达式
点电荷：
1 q(r ' ) r 4 0 R
r
1 r ' dl 4 0 l ' R
线电荷：
面电荷：
1 r ' r dS 4 0 S ' R
体电荷：
e 1 1 1 1 R 1 e x e y e z 3 x xe x y y e y z z e z 3 R x R y R z R R R R2 R
第 二 章
静 电 场
静电场
基本内容：
1、静电场基本方程及其物理意义
2、真空中的电场，导体中的电场及电介质的电场
3、静电场的求解
4、电容、静电能量及静电力的求解
静电场：由相对于观察者静止的且电量不随时间变化的电荷产 生的电场
第 二 章
静 电 场
一、静电场的基本方程和场的特性
微分形式:
E 0
l ，则 2
E
e 2 0
第 二 章
静 电 场
例2-4：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布， 设电荷体密度为 1 0 r a r r a 0 [解]：由高斯定理，当r a时
E dS E dS E 4 r
式中，
0
0 tg-1
l 2 。
第 二 章
l
静 电 场
讨论：如果 2 <<1，这意味着或者l很小或者 很大，此时
sin 0
l 相当于电量为 l的点电荷产生的电场。如果 >>1，这可以视 2
为无限长直的线电荷，此时 0 tg-1
l ，则 2 E
l e 2 4 0
例2-3：真空中有限长直线段l上均匀分布线电荷密度为 的 电荷，如图所示。求线外中垂面上任意场点P处的电场强度。
图 有限长直线电荷沿方向的电场
第 二 章
静 电 场
[解]：采用圆柱坐标系，令z轴与线电荷重合，原点置于线段 l 的中点。
1 dz 1 dE dE cos cos 4 0 R 2 4 0
E , 0, 0 dE 2 4 0 l
2 l 2
dz


2
z
3 2 2


0
l 2
dz

2
z
3 2 2
利用变量代换z = tg，dz = sec2 d，代入上式，最终解得
E , 0, 0 2 cosd e sin 0 e 4 0 0 2 0