概率论与数理统计 第七章习题附答案

习题7-1

1. 选择题

(1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X

的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .

(A) X 和S 2. (B) X 和21

1()n i i X n μ=-∑. (C) μ和

σ2.

(D) X 和

21

1

()n

i

i X X n

=-∑.

解 选(D).

(2) 设[0,]X U θ, 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X

的样本, 则θ的矩估计量是( ) .

(A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n

X ≤≤. (D) 1min{}i i n

X ≤≤.

解 选(B).

3. 设总体X 的概率密度为

(1),01,

(;)0, x x f x θθθ+<<=⎧⎨

⎩其它.

其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量；

(2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为

1

10

1

()()d (1)d 2

E X xf x x x x θθθθ+∞

+-∞

+==+=

+⎰

⎰. 令()E X X =, 即12

X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为

21ˆ1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为

1(1),01,0,

n n i i i x x L θθ=⎧⎛

⎫+<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭

⎪

⎩∏其它. 当00且 ∑=++=n

i i

x

n L 1

ln )1ln(ln θθ,

令

1

d ln ln d 1

n

i i L n

x θ

θ==

++∑=0, 得

θ的极大似然估计值为 1

ˆ1ln n

i

i n

x

θ

==--∑,

而θ的极大似然估计量为 1

ˆ1ln n

i

i n

X

θ

==--∑.

4. 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为

e ,0,

(,)0,

0,x x f x x λλλ->=⎧⎨

⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求未知参数λ

的矩估计量与极大似然估计量.

解 因为E (X )=1λ =X , 所以λ的矩估计量为1ˆX

λ=. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… ,X n 的一组观测值, 则似然函数

1

1

n

i

i i

n

x

x n

n

i L e

e

λ

λλ

λ=--=∑==∏,

取对数 1

ln ln ()n

i i L n x λλ==-∑.

令

1d ln 0,d n

i i L n x λλ==-=∑ 得λ的极大似然估计值为1ˆx

λ=,λ的极大似然估计量为1ˆX

λ

=. 习题7-2

2. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)X

N μσ的样本, 且

Y 12311

34

X X kX =++为μ的无偏估计量, 问k 等于多少?

解 要求1231111

()3434

E X X kX k μμμμ++=++=, 解之, k =512.

,

习题7-3

1. 选择题

(1) 总体未知参数θ的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ).

(A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值.

(C) 未知参数θ有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数θ的真值. 解 选(D).

(2) 对于置信水平1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).

(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大. (B) 如果α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果1-α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-α越小. 解 选（C ）

习题7-4

1. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试, 取得数据如下(单位:小时):

1050, 1100, 1080, 1120, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200．

设灯泡寿命服从正态分布N (μ, 902), 取置信度为0.95, 试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间.

解 计算得到1141.11,x = σ2 =902. 对于α = 0.05, 查表可得

/20.025 1.96z z ==α.

所求置信区间为

/2/2(,)

(1141.11 1.96,1141.11 1.96)(1082.31,1199.91).

x x z z +

=-=αα

2. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额为105=x 元, 样本标准差28=s 元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间.

解 计算可得105,x = s 2 =282.对于α = 0.05, 查表可得

0.0252

(1)(39) 2.0227t n t α-==.

所求μ的置信区间为

2

2

((1),(1))(105 2.0227,105 2.0227)x n x n αα-

-+

-=+

=(96.045, 113.955).

3. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8支