高等代数第九章欧氏空间第9.2节
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高等代数-9第九章 欧几里得空间
3) ( , ) , ( , )
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
第九章欧式空间 (2)
( ), ( )
( ( )), ( ( )) ( ), ( )
( , )
为欧氏空间V到V"的同构映射.
§9.3 同构
5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
d im V d im V .
'
§9.3 同构
标准正交基， 在这组基下，V中每个向量 可表成
x 1 1 x 2 2 x n n ,
xi R
作对应 : V R n , ( ) ( x 1 , x 2 , , x n ) 易证 是V到 R n 的 1 1 对应. 且 满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 R n 的同构映射，从而V与 R n 同构.
( , ) (
1
是
1
( )), (
1
( ))
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( ),
1
( )
1
为欧氏空间V'到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质
§9-2标准正交基
§9-2 标准正交基复习欧氏空间的概念、两向量正交的定义、度量矩阵的定义及性质。
一、概念定义5: 欧氏空间中一组非零的向量，如果它们两两正交，则称为一个正交向量组。
例1: 向量(),0101=α()1012=α，()1013-=α构成3R 的一个正交组。
事实上，很容易验证 ()0=j iαα3,2,1,=j i例2: 在()π20C 上，函数组 1，cosx, sinx, … cos nx, sin nx … 构成()π20C 上的一个正交组。
事实上，我们有ππ2120=⎰dx ；⎩⎨⎧≠==⎰nm nm nxdx mx ,0,cos cos 20ππ； ⎩⎨⎧≠==⎰nm nm n x d x mx 0,sin sin 20ππ； 0sin cos sin cos 202020===⎰⎰⎰πππnxdx nxdx nxdx mx所以 ()()0sin 1cos 1==nx nx ；()()()0sin ,sin ,cos sin ,cos ===nx mx coxnx mx nx mx ， 当n m ≠时一般情况下，正交向量组是对两个或两个以上的向量而言，对于特殊情况我们规定：单个非零向量所成的向量组是正交向量组。
由正交向量组的定义很容易得出以下结论： 1、正交向量组一定是线性无关的。
证明：设m ααα ,,21正交，欲证其无关设有关系式 02211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边做内积，由于()0=j iαα当j i ≠时所以可得 ()0i=i i k αα 而()i i αα﹥0 所以()m i k i 2,1,0==注①：此定理的逆不成立，即无关的向量组不一定是正交的。
如()3,2,11=α，()0,1,22=α无关（不成比例），但()0421≠=αα注②：相关的向量组一定是不正交的。
于是可得2、在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
事实上，在n 维空间中，任何n+1个向量都是相关的。
欧式空间(全部)
长度： 长度：
α ⋅β 夹角 < α , β > ： cos < α , β > = α β
α = α ⋅α
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质. 、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
§9.1 定义与基本性质
一、欧氏空间的定义
1. 定义 上的线性空间， 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 是实数域 上的线性空间 中任意两个向量
所成线性空间， 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g ( x ) ，定义
( f , g ) = ∫ f ( x ) g ( x ) dx
a
b
（2） ）
对于（ ）作成一个欧氏空间. 则 C (a , b ) 对于（2）作成一个欧氏空间
∀ 证： f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ∀ k ∈ R
2 2 2 2
证：若 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j 则 α1 + α 2 + L + α m = ( ∑ α i , ∑ α j )
（6） ）
(α , β ) 代入（ ） 取 t=− 代入（6）式，得 (β , β )
(α , β ) (α , β )2 (α ,α ) − 2(α , β ) + (β , β ) ≥0 2 (β , β ) (β , β )
即
(α , β )2 ≤ (α ,α )( β , β )
两边开方， 两边开方，即得
推广： 推广： (α , ∑ β i ) = ∑ (α , β i )
i =1 i =1 s s
3) (0, β ) = 0
§9.1 定义与基本性质
α ⋅β 夹角 < α , β > ： cos < α , β > = α β
α = α ⋅α
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质. 、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
§9.1 定义与基本性质
一、欧氏空间的定义
1. 定义 上的线性空间， 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 是实数域 上的线性空间 中任意两个向量
所成线性空间， 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g ( x ) ，定义
( f , g ) = ∫ f ( x ) g ( x ) dx
a
b
（2） ）
对于（ ）作成一个欧氏空间. 则 C (a , b ) 对于（2）作成一个欧氏空间
∀ 证： f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ∀ k ∈ R
2 2 2 2
证：若 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j 则 α1 + α 2 + L + α m = ( ∑ α i , ∑ α j )
（6） ）
(α , β ) 代入（ ） 取 t=− 代入（6）式，得 (β , β )
(α , β ) (α , β )2 (α ,α ) − 2(α , β ) + (β , β ) ≥0 2 (β , β ) (β , β )
即
(α , β )2 ≤ (α ,α )( β , β )
两边开方， 两边开方，即得
推广： 推广： (α , ∑ β i ) = ∑ (α , β i )
i =1 i =1 s s
3) (0, β ) = 0
§9.1 定义与基本性质
高等代数--第九章 欧几里得空间
反过来，如果等号成立，由以上证明
过程可以看出，或者 0 ，或者 ( , ) 0, ( , ) 也就是说 , 线性相关。
结合具体例子来看一下这个不等式是很有意 思的。对于例1的空间Rn ，(5)式是:柯西不等式
| a1b1 a2b2 an bn |
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的。
根据条件4)，对于非零向量 ，即
0 0 X 0
有
( , ) X ' AX 0,
因此，度量矩阵是正定的。 欧几里得空间以下简称为欧氏空间。 BACK
标准正交基
定义6 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它 们两两正交，就称为一正交向量组。 按定义，由单个非零向量所成的向量组也 是正交向量组。
即对于任意的向量 , 有
| ( , ) || || | . (5)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立。 证明 当 0，(5)式显然成立。以下设 0。 令t是一个实变数，作向量 t . 由4)可知，不论t取何值，一定有 ( , ) ( t , t ) 0. 即 ( , ) 2( , )t ( , )t 2 0. (6)
(m1 ,i ) ( ,i ) ki (i ,i ) (i 1,2,, m).
取
( , i ) ki (i 1,2,, m). ( i , i )
有
( i , m1 ) 0 (i 1,2,, m).
m1 0 。因此 1 , 2 ,, m , m1 由 的选择可知， 1 , 2 ,, m , 是一正交向量组，根据归纳法假定， m1 可以扩充成一正交基。于是定理得证。 定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩 充正交向量组的方法。
高等代数9-2
有
( , ) ( X )T Y X T AT Y X T ( AY ) ( , )
σ是一个对称变换.
在标准正交基下,对称变换与对称矩阵对应.
定理 对于任意一个n阶实对称矩阵A , 都存在一个n阶正交 矩阵T ,使T T AT T 1 AT为对角矩阵.
定理12 如果σ是n维欧氏空间V的一个对称变换,那么可找
sin x cos y
1 (1,0), 2 (0,1)是一组标准正交基
T 1 (cos , sin ) cos 1 sin 2 T 2 ( sin , cos ) sin 1 cos 2
则称 σ为一个对称变换.
二、 对称变换与对称矩阵的关系
设是n维欧氏空间V的一个对称变换, 1 , 2 , , n 是V的一组 标准正交基. 并设在基 1 , 2 , , n 下的矩阵是
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an2 a1 n a2n a nn
定理6 n维欧氏空间V的每一个子空间V1 都有唯一的正交补.
下证唯一性
设W1 ,W2都是W的正交补,则 V W W1 任取 1 W1 , 则 1 V . 由( 2 )得,1 2
( , ) 0
(1 ) (2)
V W W2
W , 2 W2
证 先证存在性
若W 0, 则正交补就是V . 若W V , 则正交补就是0. 设W V ,0 :
在W中取一组正交基 1 , 2 , , m (1 m n )
把它扩充成V的一组正交基
1 , 2 ,, m , m 1 , , n
那么子空间L( m 1 , , m )就是W的正交补.
高等代数-欧几里得空间
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量 的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得 有意义.
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
例1．在 Rn 中，对于向量
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn
（1）
易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量 的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即 cos, 0
.
§9.1 定义与基本性质
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
证： 2 , , 2, ,
2 2 2
( , ) 0
.
§9.1 定义与基本性质
推广：若欧氏空间V中向量1,2 , ,m 两两正交，
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .
欧几里得空间
即 (i , j ) 0, i j, i, j 1,2, ,m 则 1 2 m 2 1 2 2 2 m 2 .
例3 已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
例1 C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
②
则 C(a,b) 对于②作成一个欧氏空间.
证： f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx
b
( g, f )=a g( x) f ( x) dx
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
3
.
(f
g,
h)
b
a
f (x)
k 1
l 1
nn
nn
( k , l )ckiclj
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
C1
C
2
A
C1
,
C2
,
Cn
,Cn CAC
欧氏空间的定义
设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
例3 已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
例1 C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
②
则 C(a,b) 对于②作成一个欧氏空间.
证： f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx
b
( g, f )=a g( x) f ( x) dx
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
3
.
(f
g,
h)
b
a
f (x)
k 1
l 1
nn
nn
( k , l )ckiclj
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
C1
C
2
A
C1
,
C2
,
Cn
,Cn CAC
欧氏空间的定义
设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
欧氏空间——精选推荐
第九章 欧氏空间9.1 基本内容与基本结论9.1.1 基本内容 1．欧几里得空间设V 是实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作),(βα，它具有以下性质：(1) ),(),(αββα=； (2) ),(),(βαβαk k =； (3) ),(),(),(γβγαγβα+=+；(4) 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。
这里α，β，γ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为欧几里得空间。
2．酉空间设V 是复数域C 上一线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作),(βα，它具有以下性质：(5) ),(),(αββα=，这里),(),(αβαβ是的共轭复数； (6) ),(),(βαβαk k =； (7) ),(),(),(γβγαγβα+=+；(8) 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。
这里α，β，γ是V 中任意的向量，k 是任意复数，这样的线性空间称为酉空间。
3．向量的长度非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α。
4．向量的夹角非零向量α，β的夹角〉〈βα,规定为 βαβαβα),(arccos ,=〉〈，πβα≤〉〈≤,0。
5．向量的正交如果向量α，β的内积为零，即0),(=βα，那么称α，β正交，记为βα⊥。
6．基的度量矩阵n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基，令n j i j i ij ,,2,1,),,( ==εεα，称nn ij a A )(=为基n εεε,,,21 的度量矩阵。
7．正交向量组欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
8．正交基，标准正交基在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
9．正交矩阵、酉矩阵n 级实矩阵称A 为正交矩阵，如果E A A T =。
n 级复矩阵称A 为酉矩阵，如果E A A T =。
第九章_欧氏空间
第九章 欧氏空间一. 内容概述1. 欧氏空间的定义设V 是实数域R 上的一个线性空间.如果V ∈∀βα.,定义了一个二元实函数.记作()()R ∈βαβα,,,称为内积,且满足1)()()2;,,αββα=)()()()()()(),0,)4;,,,)3;,,≥+=+=ααγβγαγβαβαβαk k 当且仅当0=α时,().0,=αα其中γβα,,是V 中任意向量,k 为任意实数,则称V 为欧几里空间,简称欧氏空间.常见的欧氏空间有: (1)在(){}R x x x x R inn∈=|,,21里定义内积为()()1,2211y x yx y x nn +++= βα其中()().,,,,,11y y x x nn==βα则称Rn为R 上的欧氏空间.(2)设[]b a C ,为定义在[]b a ,上所有连续实函数所成的线性空间.内积定义为()()()()2,dx x g x f g f ba ⎰=(3)设Rmn ⨯为一切m n ⨯矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '=则称Rmn ⨯为R上的欧氏空间,2. 欧氏空间的内积的主要性质: 1)()()()()()()())4;0,00,)3;,,,)2;,,==+=+=βαγαβαγβαβαβαk k 设εεεn ,,,21 为V的一组基,,,22112211εεεεεεβαnnn n y y y x x x +++=+++=则()Ay x '=βα,其中()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=εεεεεεεεn n n nn n A y x y y y x x x11112121,.3. 向量的长度,角,柯西-不涅柯夫斯基不等式().,βαβα≤4. 标准正交基 施密特正交化的方法正交向量组是线性无关的.正交基.标准正交基.格拉姆矩阵()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∈αααααααααααn n n nm G V V111121.,,,.度量矩阵.εεεn V ,,,.21 一组基G=()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛εεεεεεεεn n n n1111 5. 同构.6. 正交变换的定义及其等价的四个命题欧氏空间V 的线性变换A 称为正交变换,如果它保持向量的内积不变即对于任意的V ∈βα,,都有(βαA A ,)()βα,=.设A 是欧氏空间V 的一个线性变换,于是下面四个命题相互等价的: 1)A 是正交变换;2)A 保持向量的长度不变,即对于.,ααα=A ∈V3)如果εεεn ,,,21是标准正交基,那么εεεn A A A ,,,21 也是标准正交基4)A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵,正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆是正交矩阵. 正交变换的分类,第一类(旋转)|A|=1第二类的|A|=-1. 7. 向量与空间的正交, 空间与空间的正交.正交补. 8. 对称变换;, 对称矩阵的标准形.四个引理:1)设A 是实对称矩阵,则A 的特征值皆为实数.2) 设A 是实对称矩阵,A 定义为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x n A 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x n A 21.则对任意R n∈βα,有()()βαβαA A ,,=或βααβA A '='3) 设A 是实对称矩阵,则Rn中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.4.设是A 对称变换，V 是A 一子空间，则也是A 一子空间。
高等代数教案(北大版)第九章 欧式空间
第九章
Euclid 空间
Euclid 空间是定义了内积的实线性空间，在线性空间中，向量间的基本运算只限于线性 运算，而几何空间作为具体模型，还有很多性质没有推广到线性空间中来。把几何空间中的 长度、夹角等度量概念引入线性空间，就成了建立 Euclid 空间的一个基本目的，其中内积 的概念起了关键作用， 它使得 Euclid 空间具有更丰富的几何内容。 Euclid 空间的理论在解析 几何等数学分支和涉及正交变换的应用学科中都具有广泛的应用。 教学目的：为解决用正交变换把二次型化为标准形问题，必须在线性空间的基础上引 入度量，建立 Eulicd 空间。通过本章的学习，让学生了解并领会 Eulicd 空间的定义及基本 性质、内积的定义、标准正交基、同构正交矩阵、正交变换、子空间、正交补的概念，掌握 标准正交基的求法、 无关向量组扩充为标准正交基的 Schmidt 正交化方法、 同构的充要条件、 正交矩阵的性质和判定方法、正交补的存在唯一性和实对称阵正交相似标准对角矩阵的求 法。 教学重点：Eulicd 空间的基本概念、度量矩阵、标准正交基、正交矩阵、实对称矩阵的标 准形。 教学难点： 正交变换、对称变换和正交子空间。 教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。 2．习题课以多媒体教学为主。 教学内容：
§2
一、概念
标准正交基
定义 1 正交向量组：欧氏空间 V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就 称为正交向量组. 规定：单个非零向量组成的向量组是正交向量组. 性质 证明 正交的向量组必线性无关 设α1, α2,…, αm是一正交向量组，即(αi, αj)=0, i≠j.
令k1α1+k2α2+…+kmαm=0, 在等式两边用 α i 作内积：
Euclid 空间
Euclid 空间是定义了内积的实线性空间，在线性空间中，向量间的基本运算只限于线性 运算，而几何空间作为具体模型，还有很多性质没有推广到线性空间中来。把几何空间中的 长度、夹角等度量概念引入线性空间，就成了建立 Euclid 空间的一个基本目的，其中内积 的概念起了关键作用， 它使得 Euclid 空间具有更丰富的几何内容。 Euclid 空间的理论在解析 几何等数学分支和涉及正交变换的应用学科中都具有广泛的应用。 教学目的：为解决用正交变换把二次型化为标准形问题，必须在线性空间的基础上引 入度量，建立 Eulicd 空间。通过本章的学习，让学生了解并领会 Eulicd 空间的定义及基本 性质、内积的定义、标准正交基、同构正交矩阵、正交变换、子空间、正交补的概念，掌握 标准正交基的求法、 无关向量组扩充为标准正交基的 Schmidt 正交化方法、 同构的充要条件、 正交矩阵的性质和判定方法、正交补的存在唯一性和实对称阵正交相似标准对角矩阵的求 法。 教学重点：Eulicd 空间的基本概念、度量矩阵、标准正交基、正交矩阵、实对称矩阵的标 准形。 教学难点： 正交变换、对称变换和正交子空间。 教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。 2．习题课以多媒体教学为主。 教学内容：
§2
一、概念
标准正交基
定义 1 正交向量组：欧氏空间 V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就 称为正交向量组. 规定：单个非零向量组成的向量组是正交向量组. 性质 证明 正交的向量组必线性无关 设α1, α2,…, αm是一正交向量组，即(αi, αj)=0, i≠j.
令k1α1+k2α2+…+kmαm=0, 在等式两边用 α i 作内积：
习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
准正交基.
定理 2 正交向量组1,2 , ,m 必线性无关. 定理 3 设1,2 ,L ,m 为 n 维欧氏空间 V 的一组正交向量组，则可将1,2 ,L ,m 扩 展为 V 的一组正交基1,L ,m,m1,L ,n . 定理 4 设1,2 ,L ,m 为 n 维欧氏空间 V 的一组线性无关向量组，则存在正交向量组 1, 2 ,L , m ，使得1,2 ,L ,i 与 1, 2 ,L , i 等价 (i 1, 2,L , m) .
3. 同构
定义 8 设 V 与 W 都是数域 R 上的欧氏空间，如果由 V 到 W 有一个双射（一一对应）
, 且 具有如下性质： , V , k R (1) ( ) ( ) ( ) (2) (k ) k ( ) (3) (, ) ( ( ), ( ))
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
○2
定理 2 正交向量组1,2 , ,m 必线性无关. 定理 3 设1,2 ,L ,m 为 n 维欧氏空间 V 的一组正交向量组，则可将1,2 ,L ,m 扩 展为 V 的一组正交基1,L ,m,m1,L ,n . 定理 4 设1,2 ,L ,m 为 n 维欧氏空间 V 的一组线性无关向量组，则存在正交向量组 1, 2 ,L , m ，使得1,2 ,L ,i 与 1, 2 ,L , i 等价 (i 1, 2,L , m) .
3. 同构
定义 8 设 V 与 W 都是数域 R 上的欧氏空间，如果由 V 到 W 有一个双射（一一对应）
, 且 具有如下性质： , V , k R (1) ( ) ( ) ( ) (2) (k ) k ( ) (3) (, ) ( ( ), ( ))
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
○2
高等代数考研复习[欧氏空间]
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d) n维欧空间中任意一个正交向量组都能扩充 成一组标准正交基.
3) 标准正交基的求法：施密特(Schmidt)正交 化方法
题型分析：
例1 设 1,2, ,n 是欧氏空间V的基，证明：
1) 若 V 使得 ( ,i ) 0, 则 0.
2) 若 1, 2 V , 对任意的 V 有 (1, ) ( 2, )
个子空间，如果对任意 V1, V2 恒有 (, ) 0, 则称 V1 与 V2 是正交的，记为 V1 V2.
如果 V , 且对任意 V1, 有 (, ) 0, 则称 与子空间 V1 正交，记为 V1. 2) 正交子空间的有关结论：
a) L(1,2, ,m ) i ( ,i ) 0.
b) 设 , V , 1,2, ,n 是V的标准正交基，如 果 ( 1,2, ,n ) X , ( 1,2, ,n )Y , 则( , ) X Y.
c) 设 1,2, ,n 是V的一组标准正交基，1,2, ,n
且 (1,2, ,n ) ( 1,2, ,n )T , 则 1,2, ,n 也是 V的标准正交基 T是正交矩阵.
| 1 2 n || 1 | | 2 | | n | .
c) 如果 , 则 | |2 | |2 | |2 .
1.2 度量矩阵
1)定义：设V是n维 欧氏空间，1,2, ,n 是V
的一组基，称矩阵
(1,1)
A
V , | A || |;
(3) 如果 1,2, ,n 是标准正交基，则 A 1,A 2, ,A n 也是标准正交基； (4) A 在任何一组标准正交基下的矩阵是正
交矩阵.
3) 标准正交基的求法：施密特(Schmidt)正交 化方法
题型分析：
例1 设 1,2, ,n 是欧氏空间V的基，证明：
1) 若 V 使得 ( ,i ) 0, 则 0.
2) 若 1, 2 V , 对任意的 V 有 (1, ) ( 2, )
个子空间，如果对任意 V1, V2 恒有 (, ) 0, 则称 V1 与 V2 是正交的，记为 V1 V2.
如果 V , 且对任意 V1, 有 (, ) 0, 则称 与子空间 V1 正交，记为 V1. 2) 正交子空间的有关结论：
a) L(1,2, ,m ) i ( ,i ) 0.
b) 设 , V , 1,2, ,n 是V的标准正交基，如 果 ( 1,2, ,n ) X , ( 1,2, ,n )Y , 则( , ) X Y.
c) 设 1,2, ,n 是V的一组标准正交基，1,2, ,n
且 (1,2, ,n ) ( 1,2, ,n )T , 则 1,2, ,n 也是 V的标准正交基 T是正交矩阵.
| 1 2 n || 1 | | 2 | | n | .
c) 如果 , 则 | |2 | |2 | |2 .
1.2 度量矩阵
1)定义：设V是n维 欧氏空间，1,2, ,n 是V
的一组基，称矩阵
(1,1)
A
V , | A || |;
(3) 如果 1,2, ,n 是标准正交基，则 A 1,A 2, ,A n 也是标准正交基； (4) A 在任何一组标准正交基下的矩阵是正
交矩阵.
高等代数(第9章)
第9章 欧几里得空间
定义与简单性质 标准正交基
* 同构
正交变换 子空间 对称矩阵的标准形 * 向量到子空间的距离最小二乘法
§9.1 定义与基本性质
几何空间R3中向量与的内积是指实数 (, )=||| |cos= a1b1+ a2b2+a3b3 ||,| |分别为向量与的模(长度),为与的夹角. 利用内积概念也可以表示向量的长度及两个非 零向量的夹角： ( , ) | | (, )=0, 且具有以下 性质： (, )= (, ) (k , )=k (, ) (+ ,)= (, )+ (, ) (, )0,当且仅当=0时,(, )=0.
3.度量矩阵 定义 设V是n维欧氏空间, 1, 2,…,n为V的一组基.称 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , n ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 2 2 2 n A ( n , 1 ) ( n , 2 ) ( n , n ) 为基1, 2,…,n的度量矩阵.
性质 (i) AT=A (ii) 对V中任意向量
基的度量矩阵完 全确定了内积！
x1 y1 = x11+x22+…+xnn , x 2 , Y y 2 . = y11+y22+…+ynn , 其中X x y 有 ( ,) =XTAY. n n
知 [2( , )]2 4( , )( , ) 0 即( , ) 2 ( , )( , ) 0
|( , ) |<|| | |.
(ii)若 , 线性相关,则当 , 至少有一为零向量时, 等号显然成立，否则可设 =k.由 |( ,)|=|(k ,)|= |k( , )| = |k|| |2 = |k|| || |= ||| | 即等号成立； 反之若等号成立，则为零向量时,,线性相关，
高等代数 第9章矩阵的标准型 9.2 行列式因子和不变因子
B( ). 此时 B ( ) 的每个 k 级子式或 ① A( )
i , j
者等于 A( ) 的某个 k 级子式， 或者与 A( ) 的某个
k 级子式反号. 因此， f ( ) 是 B ( ) 的 k 级子式的
公因式， 从而
i c
f ( ) g( ).
因此， A() 与 B() 既有相同的各级行列式因
子，又有相同的秩.
证毕
推论 等价的 - 矩阵具有相同的秩，
反之，不然.
1 1 例如 A( ) 0 , B( ) 1
二、标准形的唯一性
若 矩阵 A( ) 的标准形为 d1 ( ) d ( ) r D( ) 0 0 其中 d1 ( ), d r ( ) 为首1多项式，且
0 0
0 0
1 0
0 1 ; 1
(1) 等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子， 因此， A() 的秩就是标准形的主对角线上非零元 素的个数 r ; A() 的 k 级行列式因子就是
Dk ( ) d1 ( )d1 ( )dk ( ) (k 1,2,, r ). (2)
于是
d1 ( ) D1 ( ), D2 ( ) d 2 ( ) , D1 ( ) Dr ( ) d r ( ) . Dr 1 ( )
2
0
0 2 , 0 1
0 3 2 1 . 1
D2 1 .
2 0 A( ) 0 0 0
0 0 2 1
又
高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.2
使
1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, k
成为一组正交基. 现在来看 n m k 1 ( 1) 的情形. 因为 m n ,
所以必有向量 不能被 1 , 2 ,, m 线性表出，
作向量
m1 k11 k2 2 km m ( 0)
1
1
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
2 ( 3 , 1 ) x dx , 1 3
1 2
( 1 , 1 ) dx 2,
1
1
( 3 , 2 ) x dx 0,
数学与计算科学学院
一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 , 2 ,, m V , 如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组.
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
证：设非零向量 1 , 2 ,, m V 两两正交.
tii 0, i 1,2,, n
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
② Schmidt正交化过程:
1 先把线性无关的向量组 1 ,, m
化成正交向量组 1 , 2 ,, m .
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 , ( 1 , 1 ) j 1 ( j , i ) j j i , j 2,3,, m; i 1 ( i , i )
( 4 , 1 ) x dx 0,
变成单位正交的向量组. 解：令
1 1 (1,1,0,0) ( 2 , 1 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1,0) ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( , , ,1) 3 3 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 )
1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, k
成为一组正交基. 现在来看 n m k 1 ( 1) 的情形. 因为 m n ,
所以必有向量 不能被 1 , 2 ,, m 线性表出，
作向量
m1 k11 k2 2 km m ( 0)
1
1
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
2 ( 3 , 1 ) x dx , 1 3
1 2
( 1 , 1 ) dx 2,
1
1
( 3 , 2 ) x dx 0,
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一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 , 2 ,, m V , 如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组.
§9.2 标准正交基
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证：设非零向量 1 , 2 ,, m V 两两正交.
tii 0, i 1,2,, n
§9.2 标准正交基
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② Schmidt正交化过程:
1 先把线性无关的向量组 1 ,, m
化成正交向量组 1 , 2 ,, m .
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 , ( 1 , 1 ) j 1 ( j , i ) j j i , j 2,3,, m; i 1 ( i , i )
( 4 , 1 ) x dx 0,
变成单位正交的向量组. 解：令
1 1 (1,1,0,0) ( 2 , 1 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1,0) ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( , , ,1) 3 3 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 )
高等代数--第九章 欧几里得空间
在欧几里得空间中同样有勾股定理,即当 , 正交时， 2 2 2
| | | | | | .
不难把勾股定理推广到多个向量的情形，即如 果向量1 , 2 ,, m两两正交，那么
| 1 2 m |2 | 1 |2 | 2 |2 | m |2 .
定义1 设V是实数域R上一线性空间，在V上定 义了一个二元实函数，称为内积，记作 ， ( , ) 它具有以下性质： 1)( , ) ( , ); 2)(k , ) k ( , ); 3)( , ) ( , ) ( , ); 4)( , ) 0,当且仅当 0时( , ) 0.
( i , j ) xi y j .
i 1 j 1
n
n
令 aij ( i , j ) 显然 aij a ji .
(i, j 1,2,, n),
(8)
于是
( , ) aij xi y j .
i 1 j 1
n
n
( , ) 还可以写成 利用矩阵，
定义2 非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记 为| | 。 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量 的长度才是零。且 | k || k || |, (3)
k R, V . 事实上， 这里，
| k | (k , k ) k 2 ( , ) | k || | .
这里 , , 是V中任意的向量，k是任意实数，这 样的线性空间V称为欧几里得空间。
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举
的性质，所以几何空间中向量的全体构成一 个欧几里得空间。
例1 在线性空间Rn中，对于向量 (a1 , a2 ,, an ), (b1 , b2 ,, bn ), 定义内积 ( , ) a1b1 a2b2 anbn . (1) 显然，内积(1)适合定义中的条件，这样，Rn就 成为一个欧几里得空间。以后仍用Rn来表示这 个 欧几里得空间。 在n=3时，(1)式就是几何空间中向量的内积 在直角坐标系中的坐标表达式。
高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间§9
L (1 ,2 , ,s)
中向量 Y 使 B 到它的距离 ( Y B ) 比到
L (1 ,2 , ,s)中其它向量的距离都短.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
设 C B Y B A X ,
为此必 C L (1 ,2 , ,s )
这等价于 ( C , 1 ) ( C , 2 ) ( C , s ) 0 , （4）
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
2024/10/23
数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
即为
1 0 6 . 7 5 a 2 7 . 3 b 1 9 . 6 7 5 0 2 7 . 3 a 7 b 5 . 1 2 0 解得 a 1 .0 5 , b 4 .8 1（取三位有效数字）.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
可能无解， 即任意 x1,x2, ,xn都可能使
n
ai1x1ai2x2 ainxnbi 2
i 1
不等于零．
（2）
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
设法找实数组 x10,x02,
,x0 使（2）最小, n
这样的 x10,x02,
,x0 为方程组（1）的最小二乘解， n
此问题叫最小二乘法问题.
最小二乘法的表示:
设
n
n
中向量 Y 使 B 到它的距离 ( Y B ) 比到
L (1 ,2 , ,s)中其它向量的距离都短.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
设 C B Y B A X ,
为此必 C L (1 ,2 , ,s )
这等价于 ( C , 1 ) ( C , 2 ) ( C , s ) 0 , （4）
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
2024/10/23
数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
即为
1 0 6 . 7 5 a 2 7 . 3 b 1 9 . 6 7 5 0 2 7 . 3 a 7 b 5 . 1 2 0 解得 a 1 .0 5 , b 4 .8 1（取三位有效数字）.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
可能无解， 即任意 x1,x2, ,xn都可能使
n
ai1x1ai2x2 ainxnbi 2
i 1
不等于零．
（2）
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
设法找实数组 x10,x02,
,x0 使（2）最小, n
这样的 x10,x02,
,x0 为方程组（1）的最小二乘解， n
此问题叫最小二乘法问题.
最小二乘法的表示:
设
n
n
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= (i , x11) + … + (i , xi-1i-1) + (i , xii ) + + (i , xi+1i+1) + … + (i , xnn )
= x1(i , 1) + … + xi-1(i , i-1) + xi(i , i ) + + xi+1(i , i+1) + … + xn(i , n )
内积，得
(i , m +1 ) = ( , i ) - ki(i , i ) ( i = 1, 2, … , m).
取
ki
( ,i ) (i ,i )
(i 1,2, , m) .
有
(i , m +1 ) = 0 ( i = 1, 2, … , m).
由 的选择可知， m +1 0 . 因此
1 , 2 , … , m , m +1
第二节 标准正交基
主要内容
定义 标准正交基的求法 举例 正交矩阵
一、定义
1. 正交向量组的定义 定义 5 欧氏空间 V 中一组非零的向量，如 果它们两两正交，就称为一正交向量组.
应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向 量组也是正交向量组. 当然，以下讨论的正交向量 组都是非空的.
2. 正交向量组的性质
首先，可取
1
|
1
1
|
1
.
一般地，假定已经
求出 1 , 2 , … , m ，它们是单位正交的，具有性
质
L(1 , 2 , … , i ) = L(1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,m . 下一步求m +1 .
因为
L(1 , 2 , … , m ) = L(1 , 2 , … , m) , 所以 m +1 不能被 1 , 2 , … , m 线性表出. 按定
是一正交向量组，根据归纳法假定，1,2 ,…,m ,
m +1 可以扩充成一正交基.
证毕
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个 具体的扩充正交向量组的方法. 如果我们从任一个 非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后 就得到一组正交基. 再单位化，就得到一组标准正 交基.
在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空 间的一组基. 对于这种情形，有下面的结果：
理 1 证明中的方法，作向量
m
m1 m1 ( m1,i )i . i 1
定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都 … , m 是一正交向量组，
我们对 n - m 作数学归纳法.
当 n - m = 0 时， 1 , 2 , … , m 就是一组正交
基. 假设 n - m = k 时定理成立，也就是说，可以
找到向量 1 , 2 , … , s , 使得
1 , 2 , … , m , 1 , 2 , … , s
成为一组正交基. 现在来看 n - m = k + 1 的情形. 因为 m < n ，
所以一定有向量 不能被1 , 2 , … , m线性表出，
作向量
m +1 = - k11 - k22 - … - kmm , 这里 k1 , k2 , … , km 是待定的系数. 用 i 与 m +1 作
i j.
(1)
显然，(1) 式完全刻画了标准正交基的性质. 换句
话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：
它的度量矩阵为单位矩阵. 因为度量矩阵是正定的.
根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同 于单位矩阵. 这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基, 它的度量矩阵是单位矩阵. 由此可以断言，在 n 维 欧氏空间中，标准正交基是存在的.
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中
的坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准 正交基都是一样的. 这说明了，所有的标准正交基 在欧氏空间中有相同的地位. 在下一节，这一点将 得到进一步的说明.
下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基
的求法.
二、标准正交基的求法
性质 2 设1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
向量 在该基下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn ) , 即 = x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
则
xi = (i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
ki = 0 ( i = 1, 2, …, m) .
证毕
这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交 的非零向量不能超过 n 个. 这个事实的几何意义是 清楚的. 例如，在平面上找不到三个两两垂直的非 零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向 量.
从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性 质的讨论中有特殊的地位. 在欧氏空间中，情况是 相仿的.
3. 正交基的定义 定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成 的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交 基称为标准正交基.
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交 基.
4. 正交基的性质
性质 1 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
则
1, i j ;
(
i
,
j
)
0,
定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 1 ,
2 , … , n ，都可以找到一组标准正交基 1 , 2 , … ,
n ，使
L(1 , 2 , … , i ) = L(1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,n .
证明 设 1 , 2 , … , n 是一组基，我们来逐
个地求出向量 1 , 2 , … , n .
= xi(i , i )
= xi .
证毕
性质 3 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
且
= x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
那么
= y1 1 + y2 2 + … + yn n ，
( , ) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = XTY . (2)
性质 正交向量组是线性无关的.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 .
用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
= x1(i , 1) + … + xi-1(i , i-1) + xi(i , i ) + + xi+1(i , i+1) + … + xn(i , n )
内积，得
(i , m +1 ) = ( , i ) - ki(i , i ) ( i = 1, 2, … , m).
取
ki
( ,i ) (i ,i )
(i 1,2, , m) .
有
(i , m +1 ) = 0 ( i = 1, 2, … , m).
由 的选择可知， m +1 0 . 因此
1 , 2 , … , m , m +1
第二节 标准正交基
主要内容
定义 标准正交基的求法 举例 正交矩阵
一、定义
1. 正交向量组的定义 定义 5 欧氏空间 V 中一组非零的向量，如 果它们两两正交，就称为一正交向量组.
应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向 量组也是正交向量组. 当然，以下讨论的正交向量 组都是非空的.
2. 正交向量组的性质
首先，可取
1
|
1
1
|
1
.
一般地，假定已经
求出 1 , 2 , … , m ，它们是单位正交的，具有性
质
L(1 , 2 , … , i ) = L(1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,m . 下一步求m +1 .
因为
L(1 , 2 , … , m ) = L(1 , 2 , … , m) , 所以 m +1 不能被 1 , 2 , … , m 线性表出. 按定
是一正交向量组，根据归纳法假定，1,2 ,…,m ,
m +1 可以扩充成一正交基.
证毕
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个 具体的扩充正交向量组的方法. 如果我们从任一个 非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后 就得到一组正交基. 再单位化，就得到一组标准正 交基.
在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空 间的一组基. 对于这种情形，有下面的结果：
理 1 证明中的方法，作向量
m
m1 m1 ( m1,i )i . i 1
定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都 … , m 是一正交向量组，
我们对 n - m 作数学归纳法.
当 n - m = 0 时， 1 , 2 , … , m 就是一组正交
基. 假设 n - m = k 时定理成立，也就是说，可以
找到向量 1 , 2 , … , s , 使得
1 , 2 , … , m , 1 , 2 , … , s
成为一组正交基. 现在来看 n - m = k + 1 的情形. 因为 m < n ，
所以一定有向量 不能被1 , 2 , … , m线性表出，
作向量
m +1 = - k11 - k22 - … - kmm , 这里 k1 , k2 , … , km 是待定的系数. 用 i 与 m +1 作
i j.
(1)
显然，(1) 式完全刻画了标准正交基的性质. 换句
话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：
它的度量矩阵为单位矩阵. 因为度量矩阵是正定的.
根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同 于单位矩阵. 这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基, 它的度量矩阵是单位矩阵. 由此可以断言，在 n 维 欧氏空间中，标准正交基是存在的.
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中
的坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准 正交基都是一样的. 这说明了，所有的标准正交基 在欧氏空间中有相同的地位. 在下一节，这一点将 得到进一步的说明.
下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基
的求法.
二、标准正交基的求法
性质 2 设1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
向量 在该基下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn ) , 即 = x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
则
xi = (i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
ki = 0 ( i = 1, 2, …, m) .
证毕
这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交 的非零向量不能超过 n 个. 这个事实的几何意义是 清楚的. 例如，在平面上找不到三个两两垂直的非 零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向 量.
从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性 质的讨论中有特殊的地位. 在欧氏空间中，情况是 相仿的.
3. 正交基的定义 定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成 的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交 基称为标准正交基.
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交 基.
4. 正交基的性质
性质 1 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
则
1, i j ;
(
i
,
j
)
0,
定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 1 ,
2 , … , n ，都可以找到一组标准正交基 1 , 2 , … ,
n ，使
L(1 , 2 , … , i ) = L(1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,n .
证明 设 1 , 2 , … , n 是一组基，我们来逐
个地求出向量 1 , 2 , … , n .
= xi(i , i )
= xi .
证毕
性质 3 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
且
= x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
那么
= y1 1 + y2 2 + … + yn n ，
( , ) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = XTY . (2)
性质 正交向量组是线性无关的.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 .
用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而