运输问题 表上作业法

A B C
销量（bj） 销量（
3 3
产量（ 产量（ai） 7 4 9
最后在产销平衡表上得到一个调运方案， 最后在产销平衡表上得到一个调运方案，见 这一方案的总运费为86个单位。 86个单位 表4-6。这一方案的总运费为86个单位。
最小元素法各步在运价表中划掉的行或列是需求得 到满足的列或产品被调空的行。一般情况下， 到满足的列或产品被调空的行。一般情况下，每填 入一个数相应地划掉一行或一列， 入一个数相应地划掉一行或一列，这样最终将得到 一个具有m+n 个数字格（基变量）的初始基可行解。 m+n一个具有m+n-1个数字格（基变量）的初始基可行解。
甲 A B C 销量（ 销量（bj） 表4-14 A B C
两最小元素之差
乙
丙
丁
产量（ 产量（ai） 7 4 9
6
3 甲 3 1 7 6 乙 11 9 4 5 5 丙 3 2 10 6 丁 10 8
两最小元素之差
5 3
0 1 2
2
1
表4-15 甲 A B C 销量（ 销量（bj） 表4-16 A B C
两最小元素之差
乙
丙
丁
6
3 甲 3 6 乙 11 9 4 丙 3 2 10 5 丁 10 8 5
3
6
产量（ 产量（ai） 7 4 9
两最小元素之差
1
7
0 1
2
1
2
表4-17 甲 A B C 销量（ 销量（bj） 表4- 18 甲 3 1 7 乙 11 9 4 丙 3 乙 丙 丁 产量（ 产量（ai） 7 4 9
8.伏格尔法 8.伏格尔法
伏格尔法的基本步骤： 伏格尔法的基本步骤： 1.计算每行、列两个最小运价的差； 1.计算每行、列两个最小运价的差； 计算每行 2.找出最大差所在的行或列 找出最大差所在的行或列； 2.找出最大差所在的行或列； 3.找出该行或列的最小运价 确定供求关系， 找出该行或列的最小运价， 3.找出该行或列的最小运价，确定供求关系，最大量 的供应 ； 4.划掉已满足要求的行或 4.划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要同时划 去行和列， 去行和列，必须要在该行或列的任意位置填个 0”； “0”； 5.在剩余的运价表中重复1~4步 在剩余的运价表中重复1~4 5.在剩余的运价表中重复1~4步，直到得到初始基可 行解。 行解。
A B C 销量（ 销量（bj）
第三步：在表4 中再找出最小运价“3”， 第三步：在表4-5中再找出最小运价“3”， 这样一步步地进行下去， 这样一步步地进行下去，直到单位运价表上 的所有元素均被划去为止。 的所有元素均被划去为止。
表4-6 A B C 销量（ 销量（bj） 表4-7 甲 乙 甲 3 1 7 3 乙 11 9 4 6 丙 3 2 10 5 丙 4 1 6 6 3 5 6 丁 10 8 5 6 丁 3 产量（ 产量（ai） 7 4 9
3 6
6 5
3
6
A B C
两最小元素之差
3
2 10
丁 10 8 5
两最小元素之差
7 6
1
2
表4-19 甲 A B C 销量（ 销量（bj） 表4-20 甲 3 1 7
两最小元素之差
乙
丙
丁
5 3 6
3 6 5
2 1 3
6
产量（ 产量（ai） 7 4 9
A B C
乙 11 9 4
丙 3 2 10
丁 10
表4-1 A B C 销量（ 销量（bj）
表4-12 甲 3 1 7 乙 11 9 丙 3 2 10 丁 10 8 5
两最小元素之差
甲 3 1 7 3
乙 11 9 4 6
丙 3 2 10 5
丁 10 8 5 6
产量（ 产量（ai） 7 4 9
A B C
两最小元素之差
4 5
0 1 1
2
1
3
表4-13
3.表上作业法的基本步骤 3.表上作业法的基本步骤
（1）找出初始基可行解： m+n-1个数字格（基变 找出初始基可行解： m+n- 个数字格（ 量）； （2）求各非基变量（空格）的检验数。 求各非基变量（空格）的检验数。 （3）确定入基变量，若min{σ ij | σ ij < 0} = σ lk ,那么 确定入基变量， 那么 选取x 为入基变量； 选取 ij为入基变量； （4）确定出基变量，找出入基变量的闭合回路； 确定出基变量，找出入基变量的闭合回路； （5）在表上用闭合回路法调整运输方案； 在表上用闭合回路法调整运输方案； （6）重复2、3、4、5步骤，直到得到最优解。 重复2 步骤，直到得到最优解。
两最小元素之差
8
5
2
表4-23 甲 A B C 销量（ 销量（bj） 乙 丙 丁
5 3 6
3 6 5 6
2 1 3
产量（ 产量（ai） 7 4 9
总运费为85 总运费为 由以上可见， 由以上可见，伏格尔法同最小元素法除在确 定供求关系的原则上不同外， 定供求关系的原则上不同外，其余步骤是完 全相同的。伏格尔法给出的初始解比最小元 全相同的。 素法给出的初始解一般来讲会更接近于最优 解。
5、最小元素法的基本步骤
找出最小运价，确定供求关系， 找出最小运价，确定供求关系，最大量的供 应 ； 划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要 同时划去行和列， 同时划去行和列，必须要在该行或列的任意 位置填个“0”； 位置填个“0”； 在剩余的运价表中重复1 两步， 在剩余的运价表中重复1、2两步，直到得到 初始基可行解。 初始基可行解。
4.2 表上作业法
表上作业法 表上作业法与单纯形法的关系 表上作业法的基本步骤 确定初始基可行解 最小元素法的基本步骤 伏格尔法
三、 运输问题的求解
1.表上作业法 1.表上作业法
运输问题的求解采用表上作业法， 运输问题的求解采用表上作业法，即用列 表的方法求解线性规划问题中的运输模型的 计算方法，实质上是单纯形法。 计算方法，实质上是单纯形法。 表上作业法是一种特定形式的单纯形法， 表上作业法是一种特定形式的单纯形法， 它与单纯形法有着完全相同的解题步骤， 它与单纯形法有着完全相同的解题步骤，所 不同的只是完成各步采用的具体形式。 不同的只是完成各步采用的具体形式。
6.应注意的问题 6.应注意的问题
在供需关系格（i，j ）处填入一数字，刚好 处填入一数字， 在供需关系格（ 个产地的产品调空，同时也使第j 使第 i个产地的产品调空，同时也使第j个销地的 需求得到满足。 需求得到满足。填入一数字同时划去了一行和一 那么最终必然无法得到一个具有m+n m+n列，那么最终必然无法得到一个具有m+n-1个数字 基变量）的初始基可行解。 格（基变量）的初始基可行解。 为了使在产销平衡表上有m+n 个数字格， 为了使在产销平衡表上有m+n-1个数字格，这时 m+n需要在第行或第列此前未被划掉的任意一个空格 上填一个“0”。 0”格虽然所反映的运输量 上填一个“0”。填“0”格虽然所反映的运输量 同空格没有什么不同； 同空格没有什么不同；但它所对应的变量却是基 变量，而空格所对应的变量是非基变量。 变量，而空格所对应的变量是非基变量。
A B C 销量（bj） 销量（
第二步：在表4 第二步：在表4-3的未被划掉的元素中再找出最小 运价“2”，最小运价所确定的供应关系为（ 运价“2”，最小运价所确定的供应关系为（B， ），即将 余下的1个单位产品供应给丙， 即将B 丙），即将B余下的1个单位产品供应给丙，表4-2 转换成表4 划去B行的运价，划去B行表明B 转换成表4-4。划去B行的运价，划去B行表明B所 生产的产品已全部运出， 转换成表4 生产的产品已全部运出，表4-3转换成表4-5。
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A B C 销量（ 销量（bj）
第一步：从表4 中找出最小运价“1”， 第一步：从表4-1中找出最小运价“1”， 最小运 价所确定的供应关系为（ ），在 价所确定的供应关系为（B，甲），在（B，甲） 的交叉格处填上“3”，形成表4 的交叉格处填上“3”，形成表4-2；将运价表的 甲列运价划去得表4 甲列运价划去得表4-3.
2.表上作业法与单纯形法的关系 2.表上作业法与单纯形法的关系
表上作业法中的最小元素法和伏格尔法实质 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 表上作业法中的“位势法” 表上作业法中的“位势法”实质上是在求单 纯形表中的检验数； 纯形表中的检验数； 调运方案表中数字格的数实质上就是单纯形 法中基变量的值； 法中基变量的值； 调运方案表上的“闭回路法” 调运方案表上的“闭回路法”实质上是在做 单纯形表上的换基迭代。 单纯形表上的换基迭代。
7. 举例
将例4 的各工厂的产量做适当调整（ 将例4-1的各工厂的产量做适当调整（调 整结果见表4 ），就会出现上述特殊情况 就会出现上述特殊情况。 整结果见表4-7），就会出现上述特殊情况。 表4-7
A B C 销量（ 销量（bj） 甲 3 1 7 3 甲 A B C 销量（ 销量（bj） 3 乙 11 9 4 6 乙 丙 3 2 10 5 丙 丁 10 8 5 6 丁 产量（ 产量（ai） 4 4 12
甲 A B C 销量（ 销量（bj） 3 3 甲 3 1 7 3
表4-2 乙
丙
丁
产量（ 产量（ai） 7 4 9
6 表4-3 乙 11 9 4 6
5 丙 3 2 10 5
6 丁 10 8 5 6 产量（ 产量（ai） 7 4 9
A B C 销量（ 销量（bj）
表4-3 甲 3 1 7 3 乙 11 9 4 6 丙 3 2 10 5 丁 10 8 5 6 产量（ 产量（ai） 7 4 9
4.2.2 基可行解的最优性检验
对初始基可行解的最优性检验有闭合回路法 对初始基可行解的最优性检验有闭合回路法 位势法两种基本方法 闭合回路法具体、 两种基本方法。 和位势法两种基本方法。闭合回路法具体、 直接，并为方案调整指明了方向； 直接，并为方案调整指明了方向；而位势法 具有批处理的功能，提高了计算效率。 具有批处理的功能，提高了计算效率。 所谓闭合回路 闭合回路是 所谓闭合回路是在已给出的调运方案的运输 表上从一个代表非基变量的空格出发， 表上从一个代表非基变量的空格出发，沿水 平或垂直方向前进， 平或垂直方向前进，只有遇到代表基变量的 填入数字的格才能向左或右转90 90度 填入数字的格才能向左或右转90度（当然也 可以不改变方向）继续前进，这样继续下去， 可以不改变方向）继续前进，这样继续下去， 直至回到出发的那个空格， 直至回到出发的那个空格，由此形成的封闭 折线叫做闭合回路。 折线叫做闭合回路。一个空格存在唯一的闭 回路。 回路。
最小元素法
最小元素法的基本思想是就近供应， 最小元素法的基本思想是就近供应，即 从单位运价表中最小的运价开始确定产 销关系，依此类推， 销关系，依此类推，一直到给出基本方 案为止。 案为止。
最小元素法的应用（以引例4 为例） 最小元素法的应用（以引例4-1为例）
表4-1 甲 3 1 7 3 乙 11 9 4 6 丙 3 2 10 5 丁 10 8 5 6 产量（ 产量（ai） 7 4 9
4、确定初始基可行解
与一般的线性规划不同， 与一般的线性规划不同，产销平衡的运输问 题一定具有可行解（ 题一定具有可行解（同时也一定存在最优 解）。 最小元素法（ 最小元素法（the least cost rule）和伏格尔法 ） （Vogel’s approximation method）。 ）。 最小元素法 最小元素法的基本思想是就近供应， 最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位 就近供应 运价表中最小的运价开始确定产销关系， 运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此 类推，一直到给出基本方案为止. 类推，一直到给出基本方案为止
表4-8 0 3 6
6 5
4 1 6
6
产量（ 产量（ai） 4 4 12
8.伏格法尔法 8.伏格法尔法
每次从当前运价表上，计算各行各列 每次从当前运价表上， 中两个最小运价之差值（行差值h 中两个最小运价之差值（行差值hi，列差 ），优先取最大差值的行或列中最小 值kj），优先取最大差值的行或列中最小 的格来确定运输关系，直到求出初始方案。 的格来确定运输关系，直到求出初始方案。
甲 A B C 销量（ 销量（bj） 3 3 甲 3 1 7 3
表4-4 乙
丙 1
丁
产量（ 产量（ai） 7 4 9
6 表4-5 乙 11 9 4 6
5 丙 3 2 10 5
6 丁 10 8 5 6 产量（ 产量（ai） 7 4 9
A B C 销量（ 销量（bj）
表4-5 甲 3 1 7 3 乙 11 9 4 6 丙 3 2 10 5 丁 10 8 5 6 产量（ 产量（ai） 7 4 9