河工大高等数学试卷

河北工业大学函授生考试试卷

课程 高等数学 教师 王英新 2012 /2013 学年 第 2 学期 班级 2013级 姓名____________ 成 绩_______

一、 填空题（20分）

1、

函数22ln(3)z x y =+-的定义域是322≤+y x .

2、函数22(,)4()f x y x y x y =---的驻点为(-2,2)

3、设2(,)e x f x y xy =+，则()1,2x f =2

4e +

4、在直角坐标系下，二重积分中的面积元素d σ= dxdy

5、级数123n +++++是__发散__（收敛或发散）

6、微分方程''5'60y y y ++=的特征根是（－3，－2））

7、D

dxdy ⎰⎰=_π2__（D 为单位圆）

8、当p 时，级数11

1

(1)n p n n ∞

-=-∑时绝对收敛 9、设L 是立方抛物线3x y =上从原点)0,0(到点)1,1(一段弧，则曲线积分

2

2d d L xy x x y +=⎰ 1

10、函数1

()12f x x =-的麦克劳林展开式的收敛域为

二、计算题（50分）

1.求2sin 2z x y =的两个一阶偏导数

y y z y

x z y x 2cos 42sin 2||==

2.计算函数e xy z =在(2,1)处的全微分

dy e dx e d y x d xe d ye d z y

xy x xy z 22

21,2+===+=得代入

θ

3．计算二重积分D

xydxdy ⎰⎰，其中D 是有抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭区

域

⎰⎰⎰⎰+=

=+≤≤≤≤D y y xydx dy xydxdy y x 21228

452

y 2y 12－为

解：图形区域可以表示 4.求椭圆cos ,sin x a y b θθ==所围成图形的面积。

ab S a a x a a x ada

a dx a a x

b y a x b y a x b y a x ππ

θ

θθθ==-======+∴====时，时，令积分上限令将两边平方得

是椭圆方程

由,0sin cos 1

sin ,cos sin ,sin 22

22222222

5.求微分方程''2'30y y y --=的通解

x

x e C e C y r r r r -+==-==--231223

10

32代入得

或解得：方程可化为

三、在区间(1,1)-内求幂级数01n

n x n ∞

=+∑的和函数。（10分）

四、将函数()ln(1)f x x =+展开成的x 幂级数。（10分）

()()

()[]()())11(111111ln 1ln 100000'

≥-+-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=+=+=+=+∞=∞=∑⎰∑⎰⎰x n x dx x dx x dx x x x f n n n x

n n n x x

五、某厂要用铁板做成一个体积为23m 的有盖长方形水箱，问当长宽高各取怎样的尺寸时，才能用料最省。（10分）

时，用料最省均为）故当水箱长、宽、高，可见，有唯一驻点（此时，高解方程组

＝面积

所用材料，即水箱的表即由题意可知高分别为解：设水箱的长、宽、33333332'2'2222222220220222222222,2,,,===

==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==xy z y x y x S x y S x y xy xy y xy x xy S xy z xyz z y x y x