专科起点升本科高等数学(一)

专科起点升本科高等数学（一） 知识点汇总
平面与直线
1、平面方程
（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点),,(0000z y x M ，以},,{C B A n =为法向量的平面方程为
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 称之为平面的点法式方程
（2）平面的一般式方程
0=+++D Cz By Ax 称之为平面的一般式方程 2、特殊的平面方程
0=++Cz By Ax 表示过原点的平面方程 0=++D By Ax 表示平行于Oz 轴的平面方程 0=+By Ax 表示过Oz 轴的平面方程
0=+D Cz 表示平行于坐标平面xOy 的平面方程
3、两个平面间的关系
设有平面
0:11111=+++D z C y B x A π 0:22222=+++D z C y B x A π
平面1π和2π互相垂直的充分必要条件是：0212121=++C C B B A A
4、直线的方程
（1）直线的标准式方程 过点),,(0000z y x M 且平行于向量},,{p n m s =的直线方程
常称},,{p n m s =为所给直线的方向向量
（2）直线的一般式方程
⎩⎨
⎧=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A 称之为直线的一般式方程 5、两直线间关系
设直线1l ，2l 的方程为
直线1l ，2l 互相垂直的充分必要条件为0212121=++p p n n m m
0)()()(:000=-+-+-z z C y y B x x A π
直线l 与平面π平行的充分必要条件为：⎩⎨
⎧
≠+++=++00
00D Cp Bn Am Cp Bn Am o
直线l 落在平面π上的充分必要条件为⎩⎨
⎧
=+++=++00
00D Cp Bn Am Cp Bn Am o
将初等函数展开成幂级数
1、定理: 设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,且
称上式为)(x f 在点0x 的泰勒级数。

或称上式为将)(x
f 展开为0x x =的幂级数。

常微分方程
1、一阶微分方程
（1）可分离变量的微分方程
若一阶微分方程0),,(='y y x F 通过变形后可写成dx x f dy y g )()(= 或 )()(y g x f y ='则称方程0),,(='y y x F 为可分离变量的微分方程. 2、、可分离变量微分方程的解
方程dx x f dy y g )()(=必存在隐式通解C x F y G +=)()(。

其中：
⎰=dy y g y G )()(,⎰=dx x f x F )()(.
即两边取积分。

（2）一阶线性微分方程
1、定义：方程 )()(x Q y x P y =+' 称为一阶线性微分方程. (1) 非齐次方程——0)(≠x Q ； (2) 齐次方程 —— 0)(=+'y x P y .
2、求解一阶线性微分方程
（1）先求齐次方程0)(=+'y x P y 的通解：⎰=-dx
x P Ce y )(, 其中C 为任意常数。

（2）将齐次通解的C 换成)(x u 。

即 ⎰=-dx x P e x u y )()(
（3）代入非齐次方程)()(x Q y x P y =+', 得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰
=⎰
-C dx e x q e y dx
x P dx x P )()()( 2、二阶线性常系数微分方程
（1）可降阶的二阶微分方程 1、)(x f y =''型的微分方程 例3： 求方程x e y x sin 212-=
''的通解.分析：12cos 4
1
C x e dx y y x ++=''='⎰； 212sin 8
1
C x C x e dx y y x +++='=⎰.
2、),(y x f y '=''型的微分方程 解法：
(1) 令y p '=，方程化为 ),(p x f p ='； (2) 解此方程得通解 ),(1C x p ϕ=； (3) 再解方程 ),(1C x y ϕ=' 得原方程的通解 21),(C dx C x y +=⎰
ϕ. 3、),(y y f y '=''型的微分方程 解法：
(1) 令y p '=, 并视p 为y 的函数, 那么dy
dp
p
dx dy dy dp dx dp y =⋅==
'',
(2) 代入原方程, 得 ),(p y f dy
dp
p
= (3) 解此方程得通解 ),(1C y p ϕ=；
(4) 再解方程 ),(1C y y ϕ=' 得原方程的通解
21),(C x C y dy
+=⎰ϕ.
例4：求方程02='-''y y y 的通解.
分析：(1) 令y p '=, 并视p 为y 的函数, 那么dy
dp
p
dx dy dy dp dx dp y =⋅==
'', (2) 代入原方程, 得 02=-p dy dp yp
或 y
dy p dp =
(3) 解上方程, 得 C y p ln ||ln ||ln += ⇒ y C p 1=, (C C ±=1). (4) 再解方程 y C y 1=' ⇒
1C y
y ='
⇒ 2
1||ln C x C y '+=. (5) 于是原方程的通解为 x
C e C y 12=, (22C e C '
±=)
（2）常系数线性微分方程
（1）、二阶常系数齐次线性方程0=+'+''qy y p y 的解。

写出特征方程并求解
02=++q pr r .
下面记q p 42
-=∆,21,r r 为特征方程的两个根. （1）042>-=∆q p 时, 则齐次方程通解为：
x r x r e C e C y 2121+=。

（2）042
=-=∆q p 时, 则齐次方程通解为
)(2121111x C C e xe C e C y x r x r x r +=+=.
（3）042
<-=∆q p 时,有,1βαi r +=)0( 2≠-=ββαi r ,则齐次方程通解为
).sin cos (21x C x C e y x ββα+=
（2）二阶常系数非齐次方程解法
方程的形式：)(x f qy y p y =+'+'' 解法步骤： (1) 写出方程的特征方程 02=++q pr r ； (2) 求出特征方程的两个根21,r r ；
(4) 再求出非齐次方程的一个特解 )(*x y ；
(5)那么原方程的通解为 )()()(*2211x y x y C x y C y ++=。