数学分析刘玉琏17-4
数学分析教学大纲刘玉莲
包头师范学院“数学分析”课程教案大纲《数学分析》教案大纲课程编号：课程性质：基础必修课适用专业：数学与应用数学专业<本科）选用教材：《数学分析讲义》<第五版）刘玉琏等编著高等教育出版社2008年10月包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教案大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》<第四版）,高等教育出版社,2002年10月.参考书：陈传璋等编著《数学分析》<第二版）,高等教育出版社,1983年7月.1987年获全国优秀教材一等奖.华东师大编《数学分析》 ,面向21世纪课程教材一、课程性质、目地和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业>地一门重要基础课.本课程一方面为后继课程提供所需地基础,同时还为培养学生地独立工作能力提供必要地训练.通过本课程地学习学会分析方法、培养学生地运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题地综合应用能力.学生学好这门课程地基本内容和方法,对今后地学习、研究和应用都具有关键性地作用.b5E2RGbCAP二、教案基本要求在教案中,应注意本课程地整体结构,各部分知识地内在联系,以及与初等数学和后继课程地联系.要求学生熟练掌握本课程地基本概念、基本理论、基本运算及方法.通过课堂教案及进行大量地习题训练,使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确,能综合应用所学知识解决实际问题,并且了解分析学地基本概念及物理、几何意义,学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中地实际问题.p1EanqFDPw三、教案内容及要求依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》,本课程教案在第1、2、3、4学期进行,分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》.DXDiTa9E3d 《数学分析Ⅰ》第一章函数§1.1.函数一、函数概念,二、函数地四则运算,三、函数地图象四、数列§1.2. 四类具有特殊性质地函数一、有界函数,二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3.复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数地概念,函数地表示,函数地复合运算和具有特殊性质地函数.极限第二章．§2.1. 数列极限n??)1(?一、极限思想,二、数列地极限,三、数列极限地概念??n??§2.2. 收敛数列一、收敛数列地性质二、收敛数列地四则运算三、数列地收敛判别法四、子数列§2.3. 函数地极限x??x?a f(xf(x))地极限时,函数时,函数地极限,一、当二、当§2.4. 函数极限地定理,一、函数极限地性质二、函数极限与数列极限地关系三、函数极限存在判别法§2.5. 无穷大与无穷小一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小地比较重点掌握：数列极限地定义与性质,收敛判别地单调有界原理,函数极限地定义与性质,两个重要极限,无穷大与无穷小地定义与性质.RTCrpUDGiT第三章连续函数§3.1. 连续函数一、连续函数地概念,二、间断点及其分类§3.2. 连续函数地性质一、连续函数地运算及其性质二、闭区间连续函数地性质三、反函数地连续性四、初等函数地连续性重点掌握：函数连续地定义,闭区间连续函数地性质.《数学分析Ⅱ》第四章实数地连续性§4.1. 实数连续性定理一、闭区间套定理二、确界定理三、有限覆盖定理四、聚点定理五、致密性定理六、柯西收敛准则§4.2. 闭区间上连续函数性质地证明一、性质地证明二、一致连续性重点掌握：上、下确界地定义,实数连续性地基本定理及其证明,一致连续地概念,闭区间连续函数地性质地证明.5PCzVD7HxA第五章导数与微分§5.1. 导数,一、实例,二、导数概念§5.2. 求导法则与求导公式一、导数地四则运算二、反函数地求导法则三、复合函数地求导法则四、初等函数地导数§5.3. 隐函数与参数方程求导法则一、隐函数求导法则,二、参数方程求导法则§5.4. 微分一、微分地概念二、微分地运算法则和公式三、微分在近似计算上地应用§5.5. 高阶导数与高阶微分三、高阶微分二、莱布尼茨公式一、高阶导数．重点掌握：导数与微分地定义,运算及应用,高阶导数与高阶微分.第六章微分学地基本定理及其应用§6.1. 中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日定理三、柯西定理§6.2.洛必达法则0?型,二、型一、,三、其它待定型0?§6.3. 泰勒公式一、泰勒公式,二、常用地几个展开式§6.4. 导数在研究函数上地应用一、函数地单调性二、函数地极值与最值三、函数地凸凹性四、曲线地渐近线五、描绘函数图象重点掌握：微分中值定理,洛必达法则,泰勒公式,利用导数研究函数性质,作出函数图象.第七章不定积分§7.1. 不定积分一、原函数,二、不定积分§7.2. 分部积分法与换元积分法一、分部积分法,二、换元积分法§7.3. 有理函数地不定积分一、代数地预备知识,二、有理函数地不定积分§7.4. 简单无理函数与三角地函数地不定积分一、简单无理函数地不定积分,二、三角函数地不定积分重点掌握：不定积分地定义及性质,不定积分地计算.第八章定积分§8.1. 定积分地概念一、实例,二、定积分地概念§8.2. 可积准则一、小和与大和,二、可积准则,三、三类可积函数§8.3. 定积分地性质一、定积分地性质,二、定积分中值定理§8.4. 定积分地计算一、按照定义计算定积分二、积分上限函数三、定积分地基本公式四、定积分地分部积分法五、定积分地换元积分法jLBHrnAILg§8.5. 定积分地应用一、微元法二、平面区域地面积三、平面曲线地弧长四、应用截面面积求体积五、旋转体地侧面积六、变力作功xHAQX74J0X§8.6. 定积分地近似计算一、梯形法,二、抛物线法重点掌握：定积分地定义,存在条件及性质,定积分地计算及应用.《数学分析Ⅲ》第九章级数数值级数9.1. §．一、收敛与发散地概念二、收敛级数地性质三、同号级数四、变号级数五、绝对收敛级数地性质§9.2. 函数级数一、函数级数地收敛域二、一致收敛地概念三、一致收敛判别法四、函数列地一致收敛五、和函数地分析性质LDAYtRyKfE§9.3. 幂级数一、幂级数地收敛域二、幂级数和函数地分析性质三、泰勒级数四、基本初等函数地幂级数展开五、幂级数地应用Zzz6ZB2Ltk§9.4.傅里叶级数一、傅里叶级数二、两个引理三、收敛定理四、奇偶函数地傅里叶级数2l为周期地函数地傅里叶级数五、以重点掌握：收敛与发散地概念,收敛级数地性质,同号级数、变号级数收敛性判别法,函数项级数、一致收敛、一致收敛级数地性质,幂级数地概念,收敛半径,和函数地分析性质,函数地幂级数展开,傅里叶级数地概念收敛定理,函数展开成傅里叶级数.dvzfvkwMI1第十章多元函数微分学§10.1. 多元函数一、平面点集二、坐标平面地连续性三、多元函数地概念§10.2. 二元函数地极限与连续一、二元函数地极限二、二元函数地连续性§10.3. 多元函数微分法一、偏导数二、全微分三、可微地几何意义四、复合函数微分法五、方向导数§10.4. 二元函数地泰勒公式一、高阶偏导数二、二元函数地泰勒公式三、二元函数地极值重点掌握：多元函数地概念,二元函数地极限和连续概念与性质,偏导数、全微分,复合函数偏导数地链式法则,微分运算法则,极值地概念与计算.rqyn14ZNXI第十一章隐函数§11.1. 隐函数存在定理一、隐函数地概念, 二、一个方程确定地隐函数, 三、方程组确定地隐函数§11.2. 函数行列式一、函数行列式, 二、函数行列式地性质, 三、函数行列式地几何性质§11.3. 条件极值一、条件极值与拉格朗日乘数法, 二、例§11.4. 隐函数存在定理在几何方面地应用一、空间曲线地切线与法平面二、曲面地切平面与法线重点掌握：隐函数存在定理,函数行列式地性质,条件极值地概念与计算,曲线地切线与法平面和曲面地切平面与法线方程.EmxvxOtOco《数学分析Ⅳ》第十二章反常积分与含参变量地积分§12.1.无穷积分一、无穷积分收敛与发散地概念, 二、无穷积分与级数, 三、无穷积分地性质, 四、无穷积分地敛散性判别法SixE2yXPq5瑕积分12.2.§．一、瑕积分收敛与发散地概念, 二、瑕积分地敛散性判别法§12.3. 含参变量地积分??函数函数与, 三、一、含参变量地有限积分, 二、含参变量地无穷积分重点掌握：无穷积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,瑕积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,含参变量地有限积分地概念与分析性质,含参变量地无穷积分地??函数,.函数与,概念,一致收敛地定义与判别法含参变量无穷积分地分析性质6ewMyirQFL第十三章重积分§13.1. 二重积分曲顶柱体地体积二、二重积分地概念三、二重积分地性质四、二重积分地计算一、五、二重积分地换元六、曲面地面积kavU42VRUs§13.2. 三重积分三重积分地概念二、三重积分地计算三、三重积分地换元四、简单应用重点掌握：重积分地概念与性质,二重积分及二重积分、三重积分地计算及柱面坐标与球面坐标. 第十四章曲线积分与曲面积分§14.1. 曲线积分一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型曲线积分与第二型曲线积分地关系四、格林公式,五、曲线积分与路线无关地条件y6v3ALoS89§14.2. 曲面积分一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式,§14.3. 场论初步一、梯度二、散度三、旋度四、微分算子重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分地定义及计算,第二型曲线积分与曲面积分地定义及计算,格林公式,曲线积分与路线无关地条件,奥高公式,斯托克斯公式.M2ub6vSTnP四、教案重点与难点??定义极限地.-《数学分析Ⅰ》地重点内容有：极限论、函数地连续性,《数学分析Ⅱ》地重点内容有：实数地连续性、微分学、微分学地基本定理、积分学.难点是：实数连续性定理及其证明,闭区间上连续函数性质地证明,一致连续性.《数学分析Ⅲ》地重点内容有：级数论和多元函数微分学.难点是：函数级数一致收敛地概念,函数地幂级数展开,傅里叶级数收敛性判别法,隐函数存在定理,条件极值地计算0YujCfmUCw《数学分析Ⅳ》地重点内容有：广义积分与含参变量地积分,重积分、曲线积分与曲面积分.难点是：含参广义积分地一致收敛概念,各类积分之间地关系.eUts8ZQVRd五、学时分配《数学分析Ⅰ》总学时 64 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时6 1 <函数含习题课）36 2 含习题课）极限<22含习题课）<连续函数3《数学分析Ⅱ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时30 实数地连续性<含习题课）418 导数与微分<含习题课）530 <6 含习题课）微分学地基本定理及其应用14 7 含习题课）不定积分<168定积分<含习题课）《数学分析Ⅲ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.内容章节60 9 级数<含习题课）30 10 <含习题课）多元函数微分学1811 隐函数<含习题课）《数学分析Ⅳ》总学时72 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容30 含习题课）12 反常积分与含参变量地积分<18 13 重积分<含习题课）2414 含习题课）曲线积分与曲面积分<七、考核方式本课程考核采取与平时考核与期末闭卷考试相结合地方式.平时考核成绩占15%,期末考试卷面成绩占85%.总分共100分.sQsAEJkW5T。
华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案
《数学分析》概述授课章节：《数学分析》概述教学目的：１．通过教学使学生对《数学分析》这门课有总体的了解，明确研究对象及主要内容； ２．通过教学使学生明确《数学分析》课在所学专业中的地位和主要作用，以引起重视； ３．通过教学使学生明确《数学分析》的课程安排、考核及成绩的评定标准；４．通过教学使学生懂得参考书的使用及作业的要求．教学重点：数学分析的研究对象、主要内容．教学难点：主要内容的介绍．教学方法：讲座形式．教学程序：讲座提纲１．《数学分析》这门课到底要研究什么（即研究对象）？２．《数学分析》的主要内容；３．《数学分析》与后继课程的关系；４．《数学分析》课程安排及考核；５．《数学分析》学习中应该注意的一些问题；６．《数学分析》的参考书目；７．作业要求．一、研究对象变量间的关系及变化过程，具体表现为函数及其性质.函数及其性质：单调性、有界性、奇偶性、最大（小）值、极大（小）值、周期性、图象、……需要指明的是：中学也研究函数的这些性质，但主要采用“静止”、“孤立”的方法去研究函数．而在《数学分析》中主要采用“运动”、“联系”、“变化”的过程把握变化的结果．因而《数学分析》中的方法具“运动性”、“变化性”．如何研究函数？通过什么方式、角度去研究呢？或用什么样的工具去研究函数呢？这些构成《数学分析》的主要内容．二、主要内容1.极限的方法（极限论）．（２、３、４、１６章） 例如，从极限的观点看函数1y x=． 一般函数的极限如何定义？其性质如何？—----极限论．2.微分（学）．（５、６、１７、１８章）研究函数的增量相对于自变量的增量的变化率问题．例如：设()y f x =是一函数，令0,x x x =- 0()().y f x x f x ∆=+- 要问y ∆随x ∆的变化趋势如何？特别地，y x∆∆的变化趋势如何？ 3.积分学：（８、９、１０、１１、１９、２０、２１、２２章）4.级数论：（１２、１３、１４、１５章） 研究无穷多个函数的可和性问题．例如211(||1)1n x x x x x-+++++=<- ．综上，《数学分析》这门课主要由四大块内容组成：极限论、微分论、积分学和级数论．这四大块不是孤立的，而是存在着密切的联系．其中“极限论”是“基础”，其它是“上层建筑”．但这里需要提出的是，作为“基础”的“极限理论”的完善远远晚于其它几个方面的应用，因而引起许多争议．对此感兴趣的同学可读一读教材的附录中281-288页的“微积简史”部分，会对此有所了解．三、与后继课程的关系《数学分析》课程是数学系数学教育专业的专业基础核心课程，它的学习时间长（三个学期，234学时），学习内容多，学分最多（13学分），是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是学生学习数学教育专业其它后继课程（如：大学物理、微分方程、概率论与数理统计、微分几何、复变函数、计算机数值方法、实变函数与泛函分析等）的重要基础.这些课都以《数学分析》为先修课程，如果不开《数学分析》或晚开《数学分析》，将直接影响到这些课程的开设.同时还为培养学生分析问题和解决问题的能力提供必要的训练，从而提高学生的实践能力和创新能力.掌握这门课程的基本理论和基本方法，对于学习本专业基础课和专业课以及进一步学习、研究和应用都是至关重要.四、课程安排、考核及成绩评定方法1、学时分配：三个学期，总学时234，总学分13第一学期：每周5学时（上课内容从“第一章实数集与函数”到“第八章不定积分”，上课时间18周，学时90，学分5）；第二学期：每周４学时（上课内容从“第九章定积分”到“第十五章傅里叶级数”，上课时间18周，学时72，学分4）；第三学期：每周４学时（上课内容从“第十六章多元函数的极限与连续”到“第二十二章曲面积分”，上课时间18周，学时72，学分4）.2、考核方式：闭卷考试（期中测验，期未期终考试）.3、成绩评定：采用百分制平时成绩：30分（其中：1）作业占10%；2）听课率、课堂提问回答等占10%；3）期中测验占10%）；期未考试：70分.五、学习体会从高中到大学，显然是衔接的，但毕竟是不同的阶段．主要表现在；中学数学 大学数学在教材方面 内容少，较直观、具体、理论性不强，研究的常量数学、固定的图形 内容多、较抽象、理论性强，研究的变量、图形的变化在听课方面 听 课前预习；课中认真听课和记笔记；课后及时复习在复习方面 整理笔记，及时复习在习题方面 主要是计算，验证少、理论性弱 概念、论证多、理论性强、数学语言表达准确，通过作业巩固学习内容六、参考书1．吴良森、毛羽辉等编《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社，2004.8.2．刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》第三版（上、下册），高等教育出版社，1992.7.3．吉米多维奇著《数学分析习题集》，李荣冻译，人民教育出版社，1958.6.4．菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》（修订本），叶彦谦等译，人民教育出版社，1959.8.七、作业要求作业整洁；字迹工整，书写清晰；解题格式要完整；勿抄作业，习题答案只能作为参考.。
数学分析教学大纲
《数学分析》教学大纲第一部分说明一、本课程的目的、任务。
本课程是数学与应用数学和信息与计算科学两个专业的一门主要基础课，通过本课程的教学，一方面为后续课程，如：实变函数、复变函数、泛函分析，微分方程、微分方程的数值解、微分几何、概率论、理论力学等课程及有关的选修课等提供必要的基础知识，另一方面为培养学生的独立工作能力提供必要的训练，为学生进一步深造以及指导中学数学的教学打下良好基础。
本课程的任务是使学生获得有关函数、极限、函数的连续性、一元函数微积分、多元函数微积分、级数理论及其应用等方面的基本概念、基本理论与基本方法，从而能用更高的观点深入理解和分析处理中学数学教材的能力和解决实际问题的能力。
并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。
二、本课程的教学要求。
通过本课程的学习，使学生掌握极限理论、级数理论、微分理论及积分理论的基本概念和基本理论，熟练的掌握本课程所要求的基本计算方法和能力，基本的推理论证能力，抽象思维能力，逻辑思维能力，增强运用数学手段解决实际问题的能力。
教学重点：准确掌握极限、连续、微分和积分的概念、性质及计算；熟练掌握微分理论、积分理论和级数理论中的基本定理（实数完备性定理、中值定理、微积分基本定理、函数项级数的收敛理论、隐函数定理、曲面及曲线的积分定理）；正确地应用这些基本定理解决数学、物理及其他方面的实际问题。
教学难点：主要集中在极限论和级数论的内容中。
训练设计方案：（1）布置课后作业注重锻炼学生的解题能力，适当布置思考题培养学生分析问题的能力和创新能力。
（2）指定问题课后讨论。
自学指导方案：（1）对下节课所讲内容作课前预习；（2）对部分章节的了解性的内容提出问题让学生自学并课上讨论；（3）指定课外参考书让学生阅读或让学生上网查阅相关资料加深对课程理解。
与其它课程的联系：为后续课程常微分方程，概率论与数理统计，偏微分方程，复变函数，计算方法，实变函数与泛函分析等提供理论基础和工具。
西安石油大学精品课程建设申报表
填表时间：2005，11，20
课程名称
数学分析
所在院（系）
理学院
课程负责人
郝华宁
职称
教授
出生年月日
1958，9，8
课程基本条件：（教学队伍、教学内容、教学条件、教学方法、教学效果、课程特色）
1、教学队伍：本课程师资队伍有郝华宁、李富民、陈军斌、宋巨龙、党林立、蔡浩江、王建刚、安刚、卢学飞。该支队伍具有高职称、年轻化、教学经验丰富的特点，其中75%的教师具有硕士及以上学位，50％的教师具有高级职称，教师平均年龄为39岁。教学队伍的师资素质较高，科研、教学业务能力较强，而且都有多次数学分析的教学经验及较高的学术水平。学生评教成绩优良，是一支力量雄厚、有很大潜力的教师队伍。教学队伍的外语、计算机能力能满足教学科研的需要。主讲、辅导教师配置合理，辅导教师与学生的比例约1：30。
注重物理与力学的背景模型（实物），几何的形象直观（形象），抽象的演算推理（数量）三者的结合，使得学生摆脱对数学知识狭隘的理解，培养学生的现代数学思想。
加强多变量函数的微Байду номын сангаас分和单变量函数的微积分概念和方法之间的对比分析。
3、教学条件：目前本课程为270学时，使用的教材是刘玉琏编写的《数学分析》（上、下册）（高等教育出版社，2003年第四版）。校图书馆和学院资料室图书资料比较丰富，国内外不同版本的数学分析教材、教学参考书以及有关期刊、杂志比较齐全，为学生扩充知识、延伸学习提供了有利条件。但我们只有5届学生，相应经验少，在各方面都急需提高。
4、教学方法：我校数学分析课程一直实行主讲教师主要负责课程内容主讲环节，专任辅导教师负责答疑、习题课和作业批改环节。在教学实践中，抓好课堂讲授、习题课、辅导答疑和习题批改等环节。在课堂教学中注意对比分析内容和方法间的关系，启发学生的思维，精讲多练，适当提问和讨论，活跃课堂气氛。教学中注重概念的实质与背景、注重表述规范，论证严谨、注重数学思想与创新能力的培养、注重现代化教学手段和教育技术的应用。
高等教育出版社样书目录（数学类）
同济大学 10.1 2001 年 2 版
重温微积分
齐民生 39.6 2004 年 1 版
第 2 版 微积分(上)
同济大学 24.9 2003 年 2 版
第 2 版 微积分(下)
同济大学 23.1 2003 年 2 版
微积分学习辅导与习题选解
同济大学 28.4 2004 年 1 版
第 2 版 微积分学简明教程(上)
余家荣 17.9
出版时间 2001 年 3 版 2001 年 3 版 2004 年 1 版 2003 年 1 版 2003 年 1 版 2003 年 4 版 2003 年 4 版 2003 年 2 版 2003 年 2 版 2004 年 1 版 2004 年 2 版 2004 年 2 版 2003 年 1 版 2004 年 1 版 2004 年 1 版 2003 年 3 版 1999 年 4 版 2002 年 2 版 2003 年 2 版 2004 年 1 版 2000 年 1 版 2000 年 1 版 2004 年 1 版 2004 年 2 版 2004 年 2 版 2003 年 2 版 2004 年 1 版 2003 年 3 版
高等教育出版社样书目录(数学类)
版别
教材名 称
编著者 单价 出版时间
第4版 第3版
概率论与数理统计教程 概率论与数理统计教程学习辅导与习题 选解
概率论与数理统计
沈恒范 沈恒范 盛骤
20.6 2003 年 4 版 17.6 2003 年 1 版 19.3 2001 年 3 版
概率论与数理统计习题全解指南
第 2 版 数学史概论
李文林 21.0 2002 年 2 版
大学文科高等数学(第一册)
姚孟臣 11.9 1997 年 1 版
-数学分析
四、教学评价
学生
同行
教学督导
获奖情况
任课老师责任 教学同行认为 主讲教师治学 心强，备课认 该课程的教学 严谨、功底扎 真，思路清晰， 内容覆盖面广， 实、经验丰富、 逻辑性强，能 结构清晰，逻 年富力强、充 吸引学生的注 辑性强，理论 满活力，师资 意力。注重启 与实际的结合， 团队的年龄、 发式教学，既 提高学生解决 学历和知识结 教书又育人。 问题的能力。 构合理.
作业
二、教学内容设计
5.教学手段与方法
所谓第二课堂，是指除了传统的班级 授课形式以外，积极组织学生以兴趣 小组的形式进行专题讨论，积极鼓励 学生自己走上讲台，一方面提高了学 生自主学习的积极性，同时也给学生 提供了一个锻炼自己的机会，从而为 以后的实习奠定基础。
二、教学内容设计
6.考评体系
采用“多元考核方式”，将过程性评价与终结性评 价有机结合.
极限理论中的相关证明， 闭区间连续函数性质及其 证明，定积分的应用、无 穷级数理论中的相关证明； 含参变量的广义积分等。
特点：物理知识背景广泛， 理论性强，思维方法不易 掌握和应用，证明、推理 多且难度大，运算复杂。 容易导致学生学习厌倦， 丧失学习热情和信心，降 低教学效果。
二、教学内容设计
5.教学手段与方法
第二十章 曲线积分（12）
第六章 微分中值定理及其应用（20） 第二十一章 重积分（18）
*第七章 实数的完备性
第二十二章 曲面积分（12）
第八章 不定积分（12）
*第二十三章 形上微积分学初阶
第九章 定积分（12）
第十章 定积分的应用（10）
第十一章 反常积分（10）
其中带*为选学内容。
《数学分析(上)》课程标准
《数学分析上》课程标准一、课程说明课程编码〔37004 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月26日〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：《数学分析(上)》是数学教育专业三年制专科生最重要的专业基础课之一，是数学教育专业的专业必修课，也是数学教育专业的专业核心课程。
（2）课程任务：本课程针对中小学数学教师开设，为深入理解中小学数学打下必要的基础，为从事中小学数学教师职业打下扎实的知识基础。
通过本课程的学习，能够使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。
（3）课程衔接：在课程设置上，本课程前置课程是《高中数学》，后续课程有数学分析（中），数学分析（下）。
二、学习目标课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析中初等函数及极限的基本概念、基本理论和基本方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分和积分这一工具解决实际应用问题的能力。
通过该课程的学习，使学生能够理解数学分析的概念、性质；掌握函数初等函数的概念及相关性质，理解并掌握一元函数的极限的概念和运算法则，并熟练运用法则进行相应计算；理解并掌握函数连续的概念及性质，理解并掌握一元函数微分学的概念及运算法则。
三、课程设计本课程以课堂为载体，根据中小学数学教师工作任务要求，确定学习目标及学习任务内容；本课程采取讲解教学模式，以学生为主体、以闭卷笔试为导向组织教学考核。
表3-1教学内容与学时分配表表2课程总体设计4.教学设计表3学习情境设计五、课程考核（1）考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。
平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、小测验、课堂提问题等，占30%；期末考试：卷面成绩占70%，试卷可包括填空题、选择题、判断题、计算题、证明题及证明题。
（2）考核标准：学生能够理解并掌握数学.符合中小学数学教师的知识理论基础要求和职业资格要求。
数学分析教学中若干问题的思考
３ 教 学措施
（ １ ）钻研与熟悉教材 要上好 数学分析 这 门课程，必须熟悉这门课程的整体框架，与其他数学专业基础课程的联系以及 与 中学数学之间的联系． ①不能单一的使用一套教材． 本文作者在使用复旦大学的 数学分析 教材时，尽量不改变它的整体 框架，同时又参考了华东师大的 （ （ 数学分析 【、刘玉琏的 （ ３ 】 （ 数学分析讲义 【、吴炯圻的 （ 剞 （ 高等数学》【 】 等教材，尽量做到吃透教材的组织结构，重点和难点，对每个单元的系统性和连贯性做到心中有数，领会 教材所需达到的教学 目标和素质教育的 目的． 例如“ 弧长的微分” 在单变量微分学 中有介绍，在单变量积分 学中有涉及， 在学习第一类 曲线积分时也有用到，刚接触到此概念时应为以后的教学做适当的铺垫和指引． 同时教材 中介绍的方法较多，其 中有些方法是有共通的地方 （ 曲线与曲面积分的计算类似做变量替换； 如
好这门课程的同时，让他们了解其他课程的重要性．
③不能忽略高等数学 与初等数学的联系与区别． 高等数学较初等数学而言，其方法 、思维的灵活性有
了很大的提升． 虽然现在 中学数学改革把变量的一些思想逐步渗透到了教学 当中，但是取得的成效仍不是 很理想，只有时刻把握 中学数学改革动态，才有助于高等数学的教学． 例如数列与函数极限，作为微积分 的基础，极限的讲解至关重要，它是整个 《 数学分析 教学 中的重点 内容之一，也是一大难点，没有中学 数学 中扎实的函数及其图像与性质的基础，对它的理解是困难的，要尽量做到 让学生从常量数学稳步过渡
２１ ０ １年第 ３期 （ 总第 ７ ） ３期
漳 州师 范学院学报 （ 自然科学版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｈ ｎ ｚ ｏ ｏ ｍａ ｎｖ ｒｉ Ｎ ｔ Ｓ ｉ ｏ ｒ ａ ｏ Ｚ ａ ｇ ｈ ｕＮ ｒ ｌ ｉｅ ｓ ｙ（ ａ ． ｃ． Ｕ ｔ ）
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第十二单元
−∞
−∞
0
+∞
=2
e−axdx
0
= − 2e−ax +∞ = 2 .
a
0
a
(6)
+∞
e−ax sin bxdx . (a > 0) .
0
1
e−ax
sin bxdx
=
e−ax a2 + b2(−a sin bx
−
b cos bx)
+
C(
§7.2 6),
+∞ 0
e−ax
sin bxdx
=
e−ax − a2 + b2(a sin bx
.
f (x) f (xn) ,
|f (xn)| > ε0, .
f (xn) > 0,
f (x) > 0,
(1)
,
f (x) > ε0. 2
xn+δ f (x)dx > ε0 xn+δ dx = ε0δ(
xn
2 xn
2
|f (x) − f (xn)| = |f (x)| + );
f (xn) < 0,
=
1
d = 1, λ = n − m > 1,
; λ = n − m 1,
.
(6)
+∞ arg tan x
dx
0
x
arg tan x
1
.
lim
x→0+
x
=
lim
x→0+
1
+
x2
=
1.
arg tan x
,
0
数学分析刘玉琏17-1
x ; 2 2 2 r x y z
x
1 r 2 2 2 x y z y y 2 x 2 y 2 z 2 y y ; 2 2 2 r x y z
x、z 看成常量
r 1 2 2 2 z 2 x y z z 2 2 2 x y z
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) o(| x |) A , x x
16
第十七章多元函数微分学§1可微性
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) o(| x |) f（ lim A x x0 , y0 ) lim x 0 x 0 x x
f f 也可简单记为f x，z x或 f y，z y或 . x y
8
第十七章多元函数微分学§1可微性
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法 问题.
f 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成常量，对 求 时， x x 求导数即可;
f 求 时， 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成常量，对 y
例如，u f ( x, y, z ), 在 ( x, y, z ) 处，
f ( x x, y, z ) f ( x, y, z ) f x ( x , y, z ) lim , x 0 x
f ( x, y y, z ) f ( x, y, z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y
(ii)有时(1)可以写成如下形式
(3)
(4)
z A x B y x y
其中
( x , y )(0,0)
数学分析学习指导书
篇一:数学分析学习指导(ⅲ)(未含附录)数学分析课程简要学习指导书数学分析(ⅲ)课程学习简要指导书(配套教材:《数学分析》华东师大数学系编)王石安编华南农业大学理学院应用数学系二○一二年八月1□课程的性质和任务数学分析是应用数学专业的一门重要基础课,它是一系列后继课程如微分方程,微分几何,复变函数,实变函数,泛函分析,概率论以及相关课程如普通物理,理论力学等不可缺少的基础。
学习这门课程的基本内容与方法对于培养学生的分析思维能力、学生的基本功与良好素质、培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法以及实际工作能力有着十分重要的作用。
其主要任务是通过教学与练习,要求学生掌握数学分析的基本概念,基本理论和基本方法和运算技能,并获得运用这些知识的能力。
□课程的内容和基本要求本课程学习数学分析(ⅲ)的基本知识,包括反常积分、多元函数的极限和连续性、多元函数微分学、隐函数定理及其应用、曲线积分、重积分及曲面积分等基本内容。
在教学上要求学生能掌握四个基本方面,即基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧。
在教学基本要求上分为三个档次,即熟练掌握、掌握和理解。
熟练掌握--基本概念明确,能联系几何与物理的直观背景,并能从正反两方面进行理解;基本理论较扎实,具有较好的推理论证和分析问题的能力;基本方法较熟练,具备较好的运算和解决应用问题的能力,并能较灵活地运用基本技巧。
掌握--对基本概念一般只要求能从正面理解;对基本理论一般要求能应用和了解如何证明;对基本方法一般要求能掌握运用,但不要求很熟练和技巧性。
理解--对基本理论只要求能应用,不要求掌握证明方法;对基本方法一般要求会做,不要求灵活技巧。
□对学生能力的培养的要求通过理论教学,使学生熟悉数学分析的研究内容,该学科解决问题的基本原则和方法,具备较高的理论水平和计算能力。
□学习材料1、基本教材《数学分析》(华东师范大学数学系编)高等教育出版社 2、辅导教材(1)《数学分析》(面向课程教材)上、下册,陈纪修、於崇华、金路编著,高等教育出版社数学分析课程简要学习指导书(2)中国科技大学编《数学分析》(上、中、下册) 3、参考书籍《数学分析习题集》(吉米多维(苏)著) 4、授课课件□学习方法从课堂启发式教学-> 个人自学,以学生本身为主,教师引导为辅。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第四单元
[a, b].
, n(
)
:
{(yi − δyi, y + δyi)|yi ∈ [a, b], i = 1, 2, · · · , n}
[a, b].∀x ∈ (yi − δyi, y + δyi) ∩ [a, b],
f (x) = f (yi), i = 1, 2, · · · , n. 2
m = min{f (yi)|i = 1, 2, · · · , n} > 0.
1 − ε < sin x0(
sup{sin x|x ∈ (0, 2π]} = 1.
arcsin(1 − ε) < x0).
,
inf{sin x|x ∈ (0, 2π]} = −1.
5. : A
,sup A = a( inf A = b).
sup A = a,
1 ∀x ∈ A x ≤ a; 2 ∀ε > 0∃x0 ∈ A, a − ε < x0. , 1 ∀(−x) ∈ −A, −x0 < −a &#, c − ε < f (x0) ≤ c.
∃δ = b − x0 > 0, ∀x : b − δ < x < b ∀x : x0 < x < b, c−ε < f (x0) ≤ f (x) ≤ c
lim f (x) = c.
x→b−
2.4 14
17
.
,
c
,
9.1( )(244) 9.1( )(266) 9.2( )(290) 9.4(309)
9.1( )(252) 9.2( )(273) 9.3(298)
1
10.1(323) 10.3(334)
11.1(366) 11.3(378)
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第十四单元
C [x cos(n, x)
+ y cos(n, y )]ds = ,
C
[x cos(n, x) + y cos(n, y )]ds = 2
C
xdy − ydx = 2A.
C
14.
f (x, y )
,
G ∂2f ∂2f + = 0, ∂x2 ∂y 2 6
f (x, y ) G
.
f (x, y ) G ∂f ds = 0. ∂n
2+y , 1 + x2
Q(x, y ) =
x(y + 1) . 2+y
∂P 1 = , ∂y 2+y , ln
C
∂Q y+1 = . ∂x 2+y , y+1 1 − dxdy 2+y 2+y
D
.
2+y x(y + 1) dy = dx + 2 1+x 2+y y dxdy = 2+y
1 1
D
=
D
2 [x2 + (2 − x)2 ]dx + [x2 − (2 − x)2 ](−dx) = . 3 4 = . 3 (0,0,0) (1,1,1),
C2
,
= C
C1
+ .
1)
;2)
(0,0,0)
,
(1,0,0) 1)
(1,1,0) C1 ,
(1,1,1)
x = t, y = t, z = t, 0
14.1
392 1. (2)
c xyds,
c
: c : |x| + |y | = a(a > 0). , 14.a. c = c1 + c2 + c3 + c4 .
数学分析刘玉琏16-3
点 (1, 2) D1 {( x, y ) | x 0, y 0} D.
x y 1 2 3 . 于是, lim ( x , y ) (1,2) xy 1 2 2
7
第十六章多元函数的极限与连续§3二元函数的连续性
例 解
求
( x , y ) (0,0)
lim
xy 1 1 . xy
义，在 P0 的极限存在，两者相等. 定义可推广到三元以上函数中去. (ii) 二元连续函数的等价定义
设P0 ( x0 , y0 )，P ( x , y ) D， x x x0 , y y y0，则称
z f ( x 0 , y0 ) f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ) f ( x 0 x , y0 y ) f ( x 0 , y 0 )
习题： P104 §3习题1题
10
定理16.10(介值性定理, P103) 设函数f 在区域D R 2上连续， 若P1，P2为D中任意两点，且f ( P1 ) f ( P2 )，则对任何满足不等式 f ( P1 ) u f ( P2 ) 的实数u，必存在点P0 D，使得f ( P0 ) u.
9
第十六章多元函数的极限与连续§3二元函数的连续性
( x , y ) (0,0)
lim
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xy 1 1 xy 1 1 lim ( x , y )(0,0) xy( xy 1 1) xy 1 1 . lim ( x , y ) (0,0) xy 1 1 2
二元连续函数的几何意义:
定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (P) = f (x, y)表示了在 D上的一片没有 "空洞", 没有 "裂缝" 的连续曲面.
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f ( n1) ( x0 h) n1 h . ( n 1)!
3
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
定理17.9(泰勒定理,P134) 设函数 f 在点P0(x0,y0)的某邻域 U(P0)有直到n+1 阶连续偏导数，则对U(P0)内任一点(x0+h , y0+k), 存在相应的θ∈(0,1)，使得 f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y 1 2 1 n ( h k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) 2! x y n ! x y 1 n1 ( h k ) f ( x0 h, y0 k ). ( n 1)! x y m m m i 其中 h k f ( x0 , y0 )= C m i m i f ( x0 , y0 )hi k m i . y x y i 0 x 2 如 ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y
9
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
一般地(P138)，设P0是函数 f 的稳定点，并且
f xx ( x0 , y0 ) A,
则有：
f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ,
(1) AC－B2 > 0 时具有极值，且 当 A < 0 时有极大值，
因此 x y z 3 V . 由题知使材料最省，只须表面积最小.
S有最小值， 而S(x,y)仅有一个稳定点，故当 x y z 3 V 时， 从式与极值问题
例 某厂生产甲产品x吨，乙产品y吨时，总成本为
C 20 x 2 10 y 2 7 xy 100 x 358 y 10000(元),
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
设二元函数f 具有二阶连续偏导数，并记
f xx ( P0 ) H f ( P0 ) f yx ( P0 ) f xy ( P0 ) f xx f yy ( P0 ) f yx
f xy f yy P0
5
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
二 极值问题(P136 三) 1.二元函数极值的定义
定义( P136) 设函数f 在点P0 ( x0 , y0 )的某邻域U ( P0 )内有定义. 若对任何点P( x, y )，成立不等式 f ( P ) f ( P0 ) (或f ( P ) f ( P0 )), 则称f 在点P0取得极大(或极小)值，点P0称为f 的极大(或极小)值点.
2 2 2 f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) 2 2 0 0 0 0 h 2hk k ,。。。。 4 2 2 x xy y
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
上述公式称为二元函数 f(x,y) 在点(x0,y0)的n阶泰勒公式.
例8( P138)
12
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
例 求函数f ( x, y ) x 3 y 3 3 xy的极值.
解 分别对x和y求偏导数并令其等于零，得方程组
2 2 0, 3 x 3 y f x y, x 得稳定点 (0, 0), (1, 1). 解得 2 2 y x. f y 3 y 3 x 0. f xx ( x , y ) 6 x, f xy ( x , y ) 3, f yy ( x , y ) 6 y.
(2) 若问题本身有最大(小)值且稳定点唯一，则该稳定点必 为最大(小)值点.
14
例 求二元函数z f ( x, y ) x 2 y(4 x y )在直线x y 6，x 轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.
解
y
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
如图， 先求函数在D内的稳定点. 解方程组
它称为f 在P0的黑赛(Hesse)矩阵.
定理17.11( 极值充分条件, P137) 设二元函数f ( x, y)在点
P0 ( x0 , y0 )的某邻域U ( P0 )内具有二阶连续偏导数，且P0是f ( x, y )
的稳定点. 则
(1) H f ( P0 )正定时，P0是f ( x , y )的极小值点； (2) H f ( P0 )负定时，P0是f ( x , y )的极大值点； (3) H f ( P0 )不定时，P0不是f ( x , y )的极值点.
在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0, B f xy (0, 0) 3,
2 C f yy (0, 0) 0. AC B 9 0.
因此，稳定点 (0, 0) 不是极值点.
在 (1, 1) 处, A f xx (1,1) 6 0, B f xy (1,1) 3,
2 2 xy (4 x y ) x y 0, f x 2 2 f x (4 x y ) x y 0. y
x y6
D
O
x
得区域D内唯一稳定点(2,1)， 且 f (2,1) 4.
再求f ( x, y )在D边界上的最值，在边界x=0和y=0上， f ( x , y ) 0. 在边界x y 6上，即y 6 x， 于是 f ( x, y) x 2 (6 x)(2).
当 n = 0 时，泰勒公式成为
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) hf x ( x0 h, y0 k ) kf y ( x0 h, y0 k ).
上式称为二元函数的拉格朗日中值公式(P133定理17.8). 例4(P135)
f x 2 x y 0, f y x 0.
解方程组得 f 的稳定点为： (0, 0)，再求 f 的二阶偏导数在(0,0)的值：
f xx (0,0) 2,
f xy (0,0) 1,
f yy (0,0) 0.
2 因为 f xx f yy f xy 2 0 1 1 0， 所以 f 无极值.
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
z
例 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
x
O
y
6
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
例
函数 z x 2 y 2 在 (0,0) 处有极大值．如下左图.
z O z y
x
o
x
y
例 函数 z y 2 x 2 在 (0,0) 处无极值．如上右图. 例5(P136) 2.二元函数极值存在的条件 定理17.10(极值必要条件,P136) 设函数 z=f(x,y) 在点P0(x0,y0) 存在偏导数，且在P0点处有极值，则有
解 分别对x和y求偏导数并令其等于零，得方程组
f x 2 x 6 0, f y 10 y 10 0.
解方程组得 f 的稳定点 (3, 1)，再求 f 的二阶偏导数在 (3,−1) 的值：
f xx (3, 1) 2,
因为
f xy (3, 1) 0, f yy (3, 1) 10.
z x 2 y, z x (0,0) 0 ;
z y 2 x , z y (0,0) 0 ，
点(0,0)不是极值点，如图.
z
o
x z O x
8
y
但稳定点处有可能取得极值.
(2)偏导数不存在的点也有可能取得极值. 例如，函数 z x y 在(0, 0)
2 2
y
处没有偏导数，但在 (0, 0)处有极大值．
2 f xx f yy f xy 2 10 0 20 0 且 f xx 2 0,
所以 f 有极小值：
f (3, 1) 8.
11
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
例7( P138) 求f ( x, y) x 2 xy是否有极值.
解 分别对x和y求偏导数并令其等于零，得方程组
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第十七章 多元函数微分学
§4 泰勒公式与极值问题
2
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
一 中值定理和泰勒公式(P133§4 二)
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) 2 2!
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.
7
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函
数的稳定点. 注 (1) 偏导数存在的极值点
稳定点, 例如，点(0,0)是函数 z = y2 − x2 的稳定点，因为
当 A > 0 时有极小值；
(2) AC－B2 < 0 时没有极值； (3) AC－B2 = 0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨 论.
10
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
例6( P138) 求f ( x, y) x 2 5 y 2 6 x 10 y 6的极值.
AC B 2 6 6 (3)2 27 0. 因此，稳定点 (1, 1) 是极小值点, 极小值 f (1,1) 13 13 3 1 1 1.
13
C f yy (1,1) 6.
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题