数学分析刘玉琏17-4

当 n = 0 时，泰勒公式成为
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) hf x ( x0 h, y0 k ) kf y ( x0 h, y0 k ).
上式称为二元函数的拉格朗日中值公式(P133定理17.8). 例4(P135)
z x 2 y, z x (0,0) 0 ;
z y 2 x , z y (0,0) 0 ，
点(0,0)不是极值点，如图.
z
o
x z O x
8
y
但稳定点处有可能取得极值.
(2)偏导数不存在的点也有可能取得极值. 例如，函数 z x y 在(0, 0)
2 2
y
处没有偏导数，但在 (0, 0)处有极大值．
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第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
二 极值问题(P136 三) 1.二元函数极值的定义
定义( P136) 设函数f 在点P0 ( x0 , y0 )的某邻域U ( P0 )内有定义. 若对任何点P( x, y )，成立不等式 f ( P ) f ( P0 ) (或f ( P ) f ( P0 )), 则称f 在点P0取得极大(或极小)值，点P0称为f 的极大(或极小)值点.
在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0, B f xy (0, 0) 3,
2 C f yy (0, 0) 0. AC B 9 0.
因此，稳定点 (0, 0) 不是极值点.
在 (1, 1) 处, A f xx (1,1) 6 0, B f xy (1,1) 3,
例8( P138)
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第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
例 求函数f ( x, y ) x 3 y 3 3 xy的极值.
解 分别对x和y求偏导数并令其等于零，得方程组
2 2 0, 3 x 3 y f x y, x 得稳定点 (0, 0), (1, 1). 解得 2 2 y x. f y 3 y 3 x 0. f xx ( x , y ) 6 x, f xy ( x , y ) 3, f yy ( x , y ) 6 y.
2 2 2 f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) 2 2 0 0 0 0 h 2hk k ,。。。。 4 2 2 x xy y
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
上述公式称为二元函数 f(x,y) 在点(x0,y0)的n阶泰勒公式.
AC B 2 6 6 (3)2 27 0. 因此，稳定点 (1, 1) 是极小值点, 极小值 f (1,1) 13 13 3 1 1 1.
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C f yy (1,1) 6.
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
3.二元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数 的最大值和最小值. 求最值的一般方法：将函数在 D 内的所有稳定点处的函 数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大 者即为最大值，最小者即为最小值. 实际问题中，通常用下述原则来确定函数的最值: (1) 若ƒ(x,y)有唯一的极大(小)值，则该极大(小)值必为最大 (小 )值 .
例 建筑容积一定的矩形封闭水池，问怎样设计才能使建筑材
料最省?
解 设此水池的长、宽、高分别为x、y、z，设容积为V，则 V z , xy V V 从而其表面积为 S=2(xy+yz+xz) 2 xy , (x>0、y>0). x y V V S x 2 y 2 0, y 2， x x 从而 x y 3 V， 令 得 V V x 2， S y 2 x y 2 0. y
f ( n1) ( x0 h) n1 h . ( n 1)!
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第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
定理17.9(泰勒定理,P134) 设函数 f 在点P0(x0,y0)的某邻域 U(P0)有直到n+1 阶连续偏导数，则对U(P0)内任一点(x0+h , y0+k), 存在相应的θ∈(0,1)，使得 f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y 1 2 1 n ( h k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) 2! x y n ! x y 1 n1 ( h k ) f ( x0 h, y0 k ). ( n 1)! x y m m m i 其中 h k f ( x0 , y0 )= C m i m i f ( x0 , y0 )hi k m i . y x y i 0 x 2 如 ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.
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第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函
数的稳定点. 注 (1) 偏导数存在的极值点
稳定点, 例如，点(0,0)是函数 z = y2 − x2 的稳定点，因为
假定 f 在含 x0 的某区间(a, b) 中存在 n 1 阶导数, 回忆一元函数：

f
( n)
( n 1) (x 0) f [ x0 ( x x 0 )] n (x x 0) ( x x 0 ) n 1 , n! (n 1)!
称为带拉格朗日余项的泰勒公式. 若令 x − x0 = h，则上述泰勒公式可表为 f ( x 0 ) 2 f (n) ( x 0 ) n f ( x0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 )h h h 2! n!
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第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
一般地(P138)，设P0是函数 f 的稳定点，并且
f xx ( x0 , y0 ) A,
则有：
f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ,
(1) AC－B2 > 0 时具有极值，且 当 A < 0 时有极大值，
由 f x 4 x( x 6) 2 x2 0， 得 x1 0, x2 4，
于是y (6 x) x4 2, f (4, 2) 64,
比较后可知：f (2,1) 4为最大值， f (4, 2) 64为最Baidu Nhomakorabea值.
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第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
z
例 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
x
O
y
6
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
例
函数 z x 2 y 2 在 (0,0) 处有极大值．如下左图.
z O z y
x
o
x
y
例 函数 z y 2 x 2 在 (0,0) 处无极值．如上右图. 例5(P136) 2.二元函数极值存在的条件 定理17.10(极值必要条件,P136) 设函数 z=f(x,y) 在点P0(x0,y0) 存在偏导数，且在P0点处有极值，则有
2 f xx f yy f xy 2 10 0 20 0 且 f xx 2 0,
所以 f 有极小值：
f (3, 1) 8.
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第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
例7( P138) 求f ( x, y) x 2 xy是否有极值.
解 分别对x和y求偏导数并令其等于零，得方程组
当 A > 0 时有极小值；
(2) AC－B2 < 0 时没有极值； (3) AC－B2 = 0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨 论.
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第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
例6( P138) 求f ( x, y) x 2 5 y 2 6 x 10 y 6的极值.
f x 2 x y 0, f y x 0.
解方程组得 f 的稳定点为： (0, 0)，再求 f 的二阶偏导数在(0,0)的值：
f xx (0,0) 2,
f xy (0,0) 1,
f yy (0,0) 0.
2 因为 f xx f yy f xy 2 0 1 1 0， 所以 f 无极值.
因此 x y z 3 V . 由题知使材料最省，只须表面积最小.
S有最小值， 而S(x,y)仅有一个稳定点，故当 x y z 3 V 时， 从而所用材料最省.
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第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
例 某厂生产甲产品x吨，乙产品y吨时，总成本为
C 20 x 2 10 y 2 7 xy 100 x 358 y 10000(元),
(2) 若问题本身有最大(小)值且稳定点唯一，则该稳定点必 为最大(小)值点.
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例 求二元函数z f ( x, y ) x 2 y(4 x y )在直线x y 6，x 轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.
解
y
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
如图， 先求函数在D内的稳定点. 解方程组
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
设二元函数f 具有二阶连续偏导数，并记
f xx ( P0 ) H f ( P0 ) f yx ( P0 ) f xy ( P0 ) f xx f yy ( P0 ) f yx
f xy f yy P0
解 分别对x和y求偏导数并令其等于零，得方程组
f x 2 x 6 0, f y 10 y 10 0.
解方程组得 f 的稳定点 (3, 1)，再求 f 的二阶偏导数在 (3,−1) 的值：
f xx (3, 1) 2,
因为
f xy (3, 1) 0, f yy (3, 1) 10.
2 2 xy (4 x y ) x y 0, f x 2 2 f x (4 x y ) x y 0. y
x y6
D
O
x
得区域D内唯一稳定点(2,1)， 且 f (2,1) 4.
再求f ( x, y )在D边界上的最值，在边界x=0和y=0上， f ( x , y ) 0. 在边界x y 6上，即y 6 x， 于是 f ( x, y) x 2 (6 x)(2).
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第十七章 多元函数微分学
§4 泰勒公式与极值问题
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第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
一 中值定理和泰勒公式(P133§4 二)
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) 2 2!
它称为f 在P0的黑赛(Hesse)矩阵.
定理17.11( 极值充分条件, P137) 设二元函数f ( x, y)在点
P0 ( x0 , y0 )的某邻域U ( P0 )内具有二阶连续偏导数，且P0是f ( x, y )
的稳定点. 则
(1) H f ( P0 )正定时，P0是f ( x , y )的极小值点； (2) H f ( P0 )负定时，P0是f ( x , y )的极大值点； (3) H f ( P0 )不定时，P0不是f ( x , y )的极值点.