上海市育才中学2019届高三数学下学期三模考试试题(含解析)
2019-2020年高三第三次模拟考试数学试题含答案(I).doc
2019-2020年高三第三次模拟考试数学试题含答案(I)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。
1、若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a = ． 解析：122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25z a i a i i a a iz i i i +++-++===--+为纯虚数，故得83a =． 2、设集合{}{}2120,lg(2)A x x xB x y x =+-<==- ，则=⋂B A ．（2,3） 3、某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率 分布直方图如右下图所示，若(130,140] 分数段的人数为90人，则(90,100]分数 段的人数为 ．解析：根据直方图，组距为10，在(130,140]内的0.005=频率组距，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为(90,100]内的0.045=频率组距，所以频率为0.45，设该区间的 人数为x ，则由0.451800x=，得810x =，即(90,100]分数段的人数 为810．4、已知在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示的平面区域面积是9，则常数a 的值为_________．15、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3， 现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______．136、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组为_________．()81,8-7、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S．则“||q =627S S =”的（充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件或既不充分也不必要条件） 充分而不必要条件8、如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P ABD -和Q CBD -是两个高相等的正三棱锥， 四点,,,A B C D 在同一平面内．要使塔尖,P Q 之间的距离为分数PQDN MED CB A50m ，则底边AB 的长为 m ．【解析】由正三棱锥的概念知，顶点,P Q 在底面的射影分别是 正三角形ABD 和正三角形BCD 的中心，因为高相等，所以塔尖,P Q 之间的距离即为两个正三角形中心间的距离， 由平面几何易知，底边AB的长为9、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成53：两段，则此椭圆的离心率为 ． 解析：根据题意，可得2223()5()22bb c c a b c ⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得c e a ==． 10、若实数x 、y 满足114422xyx y +++=+，则22x y S =+的最大值是 ▲ ．411. 已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ▲ ．710 12、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，x x f =)(，若对任意的]2,[+∈a a x 不等式)(3)(x f a x f ≥+恒成立，则a 的最大值为 ▲ -413．如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN 上取一点B 使AB 的长为定值2a ，在射线AN 的左侧以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足A D E ∆与ABC ∆的面积之比为3:2，则C D E D ⋅的取值范围为________________．)25,a ⎡+∞⎣14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()x f x a g x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 超过15/16的最小自然数n 的值为 ．5解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出a 的值，从而得到数列{}n a 的通项公式． 解析：∵()()x f x a g x =⋅，且()0g x ≠，∴()()xf x ag x =，从而有(1)(1)15(1)(1)2f f ag g a -+=+=-， 又''2()()()()()0()x f x g x f x g x a g x -=<，知()()xf x ag x =为减函数，于是得12a =，1()2n n a =，由于2341234111115()()()222216a a a a +++=+++=，故得使数列{}n a 的前n 项和n S 超过1516的最小自然数5n =． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为,,A B C ． ⑴设BC CA CA AB ⋅=⋅，求证ABC ∆是等腰三角形；⑵设向量(2sin ,s C =,2(cos2,2cos 1)2C t C =-，且s ∥t ,若12sin 13A =， 求sin()3B π-的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．16.（1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,060=∠ACB∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ …………5分 （2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1在AB FM ABC //中，∆,而FM ABE ⊄平面，∴直线FM //平面ABE在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1 而1C M ABE ⊄平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面 故AEB F C 面//1 …………………………10分（或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证）（3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB且12EH AB ==由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面， ∵P 是BE 的中点，∴111111111223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅分ABCE F P1A 1B 1C HGB17. （本题满分14分）如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45(其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上)，设,tan PAB t θθ∠==，探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S (平方百米)。
2019届高三数学下学期三模试题理(含解析)
2019届高三数学下学期三模试题理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．故应选C．考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.为非零向量，“”为“共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】分别表示与同方向的单位向量，，则有共线，而共线，则是相等向量或相反向量，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】,令，函数在区间内没有零点，解得，，的最大值是.故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，双曲线得，渐近线方程的斜率为，.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.【答案】【解析】【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】消去参数化为，化为，即，圆心，圆心到直线的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，高为，所以体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.12.在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列的公比为，，，或（舍去），，，当，数列的前n项和的最小值是.故答案为:；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“”为假命题的一组x，y________.【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】即求命题的否定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.【详解】“”为假命题,其命题否定“”为真命题，，命题的否定为真的充分条件为，取.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.【答案】（1）；（2）分布列详见解答，期望为；（3）详见解答.【解析】【分析】（1）由已知中位数100，确定的范围，再求出不小于100的数的个数，即可求出；（2）随机变量X可能值为，根据每组车“正点运行”概率求出X可能值为的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出期望;（3）利用方差表示数据集中的程度，说明疏堵工程完成后公交车的稳定程度.【详解】（1）B组数据的中位数为100，根据B组的数据，从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，B组中不小于100的有4个数，所以；（2）从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，“正点运行”概率分别为，从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，X可能值为，，，，X的分布列为：，X期望为；（3）对比两组数据，组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定.【点睛】本题考查中位数和概率求参数，考查随机变量的分布列和期望，属于基础题.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，是等腰三角形，且.四边形ABCD是直角梯形，，，，，.（1）求证：平面PDC.（2）请在图中所给五个点P，A，B，C，D中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明.（3）当平面平面ABCD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）详见解答；（2），证明见解答；（3）.【解析】【分析】（1）由已知，即可证明结论；（2）根据已知条件排除，只有可能与垂直，根据已知可证；（3）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，求出坐标和平面PAB的法向量，即可求解.【详解】（1）平面平面，平面；（2），证明如下：取中点，连，，，，平面平面，平面，；（3）平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，.四边形ABCD是直角梯形，，，，，，以为坐标原点，以，过点与平行的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，即，，令，则，平面一个法向量为，设直线PC与平面PAB所成角为，，直线直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，要注意空间垂直间的转化，考查用空间向量法求线面角，考查计算求解能力，属于中档题.18.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y 轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．【答案】（Ⅰ）（-，0）（0，）（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可得得c2＝a2﹣2，由e，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则1，可得直线AM的方程y（x+2），求出点Q的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出kBM﹣kAQ＝0，问题得以证明【详解】解：（Ⅰ）由题意可得c2=a2-2，∵e==，∴a=2，c=，∴椭圆的方程为+=1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-＜m＜，又∵A（-2，0），∴直线AM的斜率kAM==∈（-，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴kAM∈（-，0），（0，），（Ⅱ）由题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则+=1，直线AM的方程为y=（x+2），令x=0，得点P的坐标为（0，），由∠PFQ=90°，可得•=0，∴（-，）•（-，y1）=0，即2+•y1=0，解得y1=-，∴Q（0，-），∵kBM=，kAQ=-，∴kBM-kAQ=+=0，故kBM=kAQ，即AQ∥BM【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题19.已知函数.（1）已知函数在点处的切线与x轴平行，求切点的纵坐标.（2）求函数在区间上的最小值；（3）证明：，，使得.【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）求的导函数，令，即可求解；（2）求出在单调区间，极值点，即可求解；（3）转化为函数，与直线恒有交点，即可证明结论.【详解】（1），在点处的切线与x轴平行，，；（2）由（1）得，当时，，，递减区间是，的增区间是，当时，取得极小值，也是最小值为，函数在区间上的最小值；（3）由（2）得递减区间是，，令，当时，函数图像与直线有唯一的交点，且交点的横坐标，，，使得.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点等知识，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.20.数列：满足：，或1（）．对任意，都存在，使得．，其中且两两不相等．(I)若．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2(Ⅱ)记．若，证明：；(Ⅲ)若，求的最小值.【答案】(Ⅰ)②③(Ⅱ)见解析（Ⅲ）的最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件．（Ⅱ）当时，都在数列中出现，可以证明至少出现4次，2至少出现2次，这样．（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则，我们再构造数列：，证明该数列满足题设条件，从而的最小值为．解析：（Ⅰ）对于①，，对于，或，不满足要求；对于②，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，故②符合题目条件；同理③也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．注：只得到②或只得到③给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当时，设数列中出现频数依次为，由题意．①假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以．同理可证：．②假设，则存在唯一的，使得．那么，对，有（两两不相等），与已知矛盾，所以.综上：，，，所以．（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则．取得到的数列为：下面证明满足题目要求．对，不妨令，①如果或，由于，所以符合条件；②如果或，由于，所以也成立；③如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且两两不相等；④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为．点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值．2019届高三数学下学期三模试题理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．故应选C．考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.为非零向量，“”为“共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】分别表示与同方向的单位向量，，则有共线，而共线，则是相等向量或相反向量，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】,令，函数在区间内没有零点，解得，，的最大值是.故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，双曲线得，渐近线方程的斜率为，.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.【答案】【解析】【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】消去参数化为，化为，即，圆心，圆心到直线的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，高为，所以体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.12.在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列的公比为，，，或（舍去），，，当，数列的前n项和的最小值是.故答案为:；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“”为假命题的一组x，y________.【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】即求命题的否定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.【详解】“”为假命题,其命题否定“”为真命题，，命题的否定为真的充分条件为，取.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.【答案】（1）；（2）分布列详见解答，期望为；（3）详见解答.。
2019届高三数学三模考试试题(含解析)_3
2019届高三数学三模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知全集，集合，则______.【答案】.【解析】【分析】利用补集的概念得答案.【详解】因为全集，集合，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有求已知集合的补集，属于简单题目.2.四个数据：1，3，3，5的标准差是______.【答案】.【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，再求出其算术平方根即为标准差.【详解】这组数据的平均数是：，方差为，标准差为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关求一组数据的标准差的问题，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.3.已知函数偶函数，且，则______.【答案】5.【解析】【分析】设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果.【详解】因为是偶函数，所以设，则，即，因为，所以，即，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体思维的应用，属于简单题目.4.抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______.【答案】【解析】试题分析：．考点：抛物线及其性质．5.已知一个半球的俯视图是半径为1的圆，则半球的表面积为______.【答案】.【解析】【分析】根据一个半球的俯视图是半径为1的圆，可以确定该半球对应的球的半径为1，结合半球的表面积由半球面和一个大圆的面积和求得结果.【详解】因为一个半球的俯视图是半径为1的圆，所以该半球对应的球的半径为1，所以该半球的表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关半球的表面积的问题，涉及到的知识点有俯视图，表面积公式，属于简单题目.6.对数不等式的解集是，则实数的值为______.【答案】2.【解析】【分析】先解出不等式，再结合已知解集，可得结果.【详解】将对数不等式两边同时乘以，得，即，所以此不等式的解为：或，因为其解集为，所以，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于简单题目.7.若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为______.【答案】.【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2，可以确定其公比满足，利用等比数列各项和的公式得到，得到，分和两种情况求得的取值范围，得到结果.【详解】因为无穷等比数列的各项和为2，所以其公比满足，且，所以，当时，，当时，，所以首项的取值范围为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.8.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.9.已知关于的实系数方程的两虚数根为、，且满足，则的值为______.【答案】5.【解析】【分析】首先利用求根公式将两根和求出来，之后求得，最后利用复数模的公式，求得的值.详解】解方程，可得，所以，所以，所以，解得，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关实系数方程的根求解问题，涉及到的知识点有求根公式的应用，复数模的公式，属于简单题目.10.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则__.【答案】4或7.【解析】【分析】先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于，另一个数小于的基本事件有种，根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可.【详解】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于，另一个数小于，比小的数有个，比大的数有个，故一共有个基本事件，由题意可得，即，整理得，解得或，故答案是：4或7.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.11.若，，，且，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是______.【答案】.【解析】【分析】由的坐标可以将直线的方程找到，通过点的坐标可以得到的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值.【详解】因为，，所以，所以直线的方程为，设，所以，因为恒成立，所以恒成立，所以，因为在时小于等于0恒成立，所以，①当或时，显然成立；②当时，，所以由基本不等式得，此时，所以的最大值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.已知与均为单位向量，其夹角为，则命题：是命题：的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得，即，因为与均为单位向量，所以，即，则，即成立，反之，当时，，，从而可以得到，所以是的充要条件，故选C.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，单位向量的模为1，向量夹角的余弦公式，属于简单题目.14.设，则的值为（）A. 2B. 0C.D. 1【答案】C【解析】【分析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得：本题正确选项：【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.15.已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与双曲线公共点的个数是（）A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定【答案】D【解析】【分析】首先根据韦达定理，得到两根和与两根积，利用斜率坐标公式求得，利用点斜式将直线方程写出来，从而确定出直线过定点，再由判别式大于零，求得的范围，进而得到直线与双曲线焦点的个数有1个或两个，从而得到结果.【详解】因为，是关于的方程的两个实数根，所以，且，，又因为，所以直线的方程为：，即，即，即，所以直线恒过点，因为方程的两个实数根，所以，解得或，因为直线过点，且斜率为，所以当时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点，其余情况都有两个交点，所以直线与双曲线的交点的个数是不确定的，故选D.【点睛】该题考查的是有关判定直线与双曲线交点个数的问题，涉及到的知识点有直线的斜率公式，直线过定点问题，过某个点的直线与双曲线的交点个数，属于较难题目.16.在平面上，，，.若，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由0得，再由推理得，再计算2－，最后根据推理得的取值范围.【详解】∵，∴＝＝0，∴.∵，∴，∴. ∴，∵，∴＋2＝2＋＋2(－)＝2－，∵，∴0≤，∴0≤，∴，即||∈.故答案：D【点睛】(1)本题主要考查向量的运算和向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题关键的地方有两点，其一是由0得，其二是由推理得，本题属于难题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.如图，已知正方体的棱长为2，、、分别为棱、、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）观察分析几何体的特征，利用椎体的体积公式求得结果；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量所成角的余弦值求得线面角的正弦值，利用反正弦求得结果.【详解】（1）根据题意，可得；（2）如图建立空间直角坐标系，则有，所以，，设平面的法向量为，所以有，即，取，则有，所以平面的一个法向量为，所以，所以求直线AB与平面PQR所成角的正弦值是，所以直线AB与平面PQR所成角的大小为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有椎体的体积，应用空间向量求线面角的正弦值，利用反三角表示角的大小，属于简单题目.18.在中，角、、所对的边分别为、、.（1）若，，求面积的最大值；（2）若，试判断的形状.【答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将，代入，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；（2）根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.【详解】（1）因为，，所以由余弦定理得：，即，整理得，因为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，则的最大值为.（2）由，所以，化简得，即，所以或，因为与都为三角形内角，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，利用基本不等式求最值，三角形的面积公式，三角形形状的判断，属于简单题目.19.某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示.（1）设第年的人口数量为（2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数拟合该城市的人口数量，其中的单位是年.假设2014年初对应，的单位是万.设的反函数为，求的值（精确到0.1），并解释其实际意义.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019年人口增加的数量，逐年增多，从2017年后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年增加的；（2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可.【详解】（1），，，，，由上述计算可知，该地区2014年至2019年每年人口增长数量呈先增后减的变化趋势，每一年任可总数呈逐渐递增的趋势；（2）因为为单调递减函数，则为单调递增函数，则，代入，解得，即，其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，到2022年人口接近2440万.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有利用表格判断其变化趋势，利用题中所给的函数解析式，计算相关的量，反函数的定义，属于中档题目.20.给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作“伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线的方程；（3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，则，从而得到椭圆C的方程；（2）根据题意，求得，分直线的斜率存在与不存在两种情况，将斜率存在时求得的直线，对斜率不存在时求得的点P的坐标进行检验，最后求得结果.（3）讨论当P在直线上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去，得到关于的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于的方程，求出连根之积，判断是否为，即可判断垂直.【详解】（1）依题意得：，所以，所以椭圆方程为：；（2）由题意可得伴随圆的方程为，点为，所以，当过点P的直线斜率不存在时，则，可求得，此时，当过点P的直线斜率存在时，设直线方程为：，设，，则经过各自的切线方程为：，把代入，解得，消，得到，当不存在时，也满足方程，所以点的轨迹是一条直线，且方程为；（3）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因与椭圆只有一个公共点，则其方程为：，此时经过点或，则直线的方程为：，经检验，满足垂直关系；当斜率都存在时，设点，因为点P在伴随圆上，所以有，设经过点，且与椭圆只有一个公共点的直线方程为：，联立椭圆方程，，消化简得，因为相切，所以，即：，又因为，所以，所以，所以直线，从而得证.【点睛】该题考查的是与解析几何相关的创新的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，新定义的问题，圆的方程，直线与圆的位置关系，两直线垂直的条件，属于难题.21.对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据题中所给条件，利用定义判断可得数列不具有性质，具有性质；（2）根据数列具有性质，得到数列元素个数，从而证得结果；（3）依题意，数列是各项为正数的数列，且既具有性质，又具有性质，可证得存在整数，使得是等差数列.【详解】（1）因为，，但，所以数列不具有性质，同理可得数列具有性质；（2）因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的且，满足，即，由性质的含义可得，，，，所以数列中，从第项开始的各项呈现周期性规律：为一个周期中的各项，所以数列中最多有个不同的项，所以最多有个元素，即为有限集；（3）因为数列具有性质，又具有性质，所以存在，使得，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质的含义可得，若，则取，可得，若，则取，可得，记，则对于，有，显然，由性质的含义可得：，所以，所以，又满足的最小的正整数，所以，，所以，所以，取，所以，若是偶数，则，若是奇数，则，所以，，所以是公差为1的等差数列.【点睛】该题考查的是有关与数列相关的创新题，涉及到的知识点有对新定义的理解，属于难题.2019届高三数学三模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知全集，集合，则______.【答案】.【解析】【分析】利用补集的概念得答案.【详解】因为全集，集合，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有求已知集合的补集，属于简单题目.2.四个数据：1，3，3，5的标准差是______.【答案】.【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，再求出其算术平方根即为标准差.【详解】这组数据的平均数是：，方差为，标准差为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关求一组数据的标准差的问题，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.3.已知函数偶函数，且，则______.【答案】5.【解析】【分析】设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果.【详解】因为是偶函数，所以设，则，即，因为，所以，即，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体思维的应用，属于简单题目.4.抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______.【答案】【解析】试题分析：．考点：抛物线及其性质．5.已知一个半球的俯视图是半径为1的圆，则半球的表面积为______.【答案】.【解析】【分析】根据一个半球的俯视图是半径为1的圆，可以确定该半球对应的球的半径为1，结合半球的表面积由半球面和一个大圆的面积和求得结果.【详解】因为一个半球的俯视图是半径为1的圆，所以该半球对应的球的半径为1，所以该半球的表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关半球的表面积的问题，涉及到的知识点有俯视图，表面积公式，属于简单题目.6.对数不等式的解集是，则实数的值为______.【答案】2.【解析】【分析】先解出不等式，再结合已知解集，可得结果.【详解】将对数不等式两边同时乘以，得，即，所以此不等式的解为：或，因为其解集为，所以，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于简单题目.7.若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为______.【答案】.【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2，可以确定其公比满足，利用等比数列各项和的公式得到，得到，分和两种情况求得的取值范围，得到结果.【详解】因为无穷等比数列的各项和为2，所以其公比满足，且，所以，当时，，当时，，所以首项的取值范围为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.8.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.9.已知关于的实系数方程的两虚数根为、，且满足，则的值为______.【答案】5.【解析】【分析】首先利用求根公式将两根和求出来，之后求得，最后利用复数模的公式，求得的值.详解】解方程，可得，所以，所以，所以，解得，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关实系数方程的根求解问题，涉及到的知识点有求根公式的应用，复数模的公式，属于简单题目.10.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则__.【答案】4或7.【解析】【分析】先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于，另一个数小于的基本事件有种，根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可.【详解】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于，另一个数小于，比小的数有个，比大的数有个，故一共有个基本事件，由题意可得，即，整理得，解得或，故答案是：4或7.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.11.若，，，且，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是______.【答案】.【解析】【分析】由的坐标可以将直线的方程找到，通过点的坐标可以得到的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值.【详解】因为，，所以，所以直线的方程为，设，所以，因为恒成立，所以恒成立，所以，因为在时小于等于0恒成立，所以，①当或时，显然成立；②当时，，所以由基本不等式得，此时，所以的最大值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.已知与均为单位向量，其夹角为，则命题：是命题：的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得，即，因为与均为单位向量，所以，即，则，即成立，反之，当时，，，从而可以得到，所以是的充要条件，故选C.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，单位向量的模为1，向量夹角的余弦公式，属于简单题目.14.设，则的值为（）A. 2B. 0C.D. 1【答案】C【解析】【分析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得：本题正确选项：【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.15.已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与双曲线公共点的个数是（）A. 2B. 1C. 0D. 不确定【答案】D【解析】【分析】首先根据韦达定理，得到两根和与两根积，利用斜率坐标公式求得，利用点斜式将直线方程写出来，从而确定出直线过定点，再由判别式大于零，求得的范围，进而得到直线与双曲线焦点的个数有1个或两个，从而得到结果.【详解】因为，是关于的方程的两个实数根，所以，且，，又因为，所以直线的方程为：，即，即，即，所以直线恒过点，因为方程的两个实数根，所以，解得或，因为直线过点，且斜率为，所以当时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点，其余情况都有两个交点，所以直线与双曲线的交点的个数是不确定的，故选D.【点睛】该题考查的是有关判定直线与双曲线交点个数的问题，涉及到的知识点有直线的斜率公式，直线过定点问题，过某个点的直线与双曲线的交点个数，属于较难题目.16.在平面上，，，.若，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由0得，再由推理得，再计算2－，最后根据推理得的取值范围.【详解】∵，∴＝＝0，∴.∵，∴，∴. ∴，∵，∴＋2＝2＋＋2(－)＝2－，∵，∴0≤，∴0≤，∴，即||∈.故答案：D【点睛】(1)本题主要考查向量的运算和向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题关键的地方有两点，其一是由0得，其二是由推理得，本题属于难题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.如图，已知正方体的棱长为2，、、分别为棱、、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）观察分析几何体的特征，利用椎体的体积公式求得结果；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量所成角的余弦值求得线面角的正弦值，利用反正弦求得结果.【详解】（1）根据题意，可得；（2）如图建立空间直角坐标系，则有，所以，，设平面的法向量为，所以有，即，取，则有，所以平面的一个法向量为，所以，所以求直线AB与平面PQR所成角的正弦值是，所以直线AB与平面PQR所成角的大小为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有椎体的体积，应用空间向量求线面角的正弦值，利用反三角表示角的大小，属于简单题目.18.在中，角、、所对的边分别为、、.（1）若，，求面积的最大值；（2）若，试判断的形状.【答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将，代入，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；（2）根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.【详解】（1）因为，，所以由余弦定理得：，即，整理得，因为，所以，。
2019年高三数学三模试卷及答案
2019年高三第三次模拟测试数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．．．．．． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝ ． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝ ．3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的 条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12，则2+a b 与b 的夹角大小是 ．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为 ．6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的切线方程为 ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为 ． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．9．当实数x ，y满足240,10,1x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右AD C BE顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ．11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则1x y x y z+++的最小值分别为．12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为．13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若∠CED ＝23π，EC CD ＝． 14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()4sin cos()3f x x x π=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．A DP MB16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离OD 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b+=＞＞ 的，抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴交于点M ，且1(,2)2P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n a a a a n λ+==+∈N ，(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；(2)当2λ=时，令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．数学参考答案一、填空题1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6π5．2214x y -=6．310x y -+= 7．48．64259．3[1,]210．1311．312．4944 13．7 14．(1,0)-二、解答题15．(1)1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-22sin cos x x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=+ (4)分 因为06x π≤≤，所以22333x πππ+≤≤，sin(2)123x π+≤， ……………………………6分 所以函数()f x的值域为⎤⎦． (7)分(2)依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径4r =，sin 232a A r ===， ……………………………9分sin 232b B r ===cos 3A =，1cos 3B =，………………………11分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， (13)分所以11sin 2223ABCS ab C ∆==⨯=． (14)分16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD于AB ， 又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分 又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分 由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ， 在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ， 连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且3342MF AB ==， (9)分PM BCDAF E在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32CE =， 所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分 所以四边形MCEF 是平行四边形，所以//CM EF ， ………………………12分 又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分17．建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点． 故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分 由弦长公式AB =可得2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++， (10)分 又因为0d CD<≤，即0d <，所以)x AB ⎡==⎣，……………12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-， 即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分18．(1)由题意c a=1c =， …………………2分所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=． …………………4分设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入2214x y +=得22()14ty m y ++=，即222(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分22222222222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛⎫⎛⎫-----+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………10分又241122PMk mm ==--，8212PM k m =-． (12)分因为2PA PBPM k k k +=，所以2158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩，，解得8m =．……………15分经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分19．证明：(1)由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………2分解得1n n aa +=． ……………4分121212*********212122222111122221122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=+=+--+-+-⎛⎫⎛⎫-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a是等比数列，公比为12．……6分(2)当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122nn n n a b a a +==+．……………8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-， ……………14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分20．解:(1)2121'()2(0)ax f x ax x x x+=+=>，………………………1分①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)分②<a 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a．……………6分(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x xx f 21)(+=',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21()(0000x x x x x f y -+=-，………………………7分即02000ln 1)21(x x x x x y +--+=．l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在直线的两侧．令02000ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧)(x h 的值异号． (8)分设020002ln 1)21(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．下面研究函数的单调性：002121)(x x x x x h --+='=)12)((00xx x x --=xx x x x x x x x x x )21)((212)(00000--=--． ………………10分当021x x <时：)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h当)(),21,(00x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分同理，当0021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设不符．故0021x x =,即220=x 时，22(2()0x h x x'=≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增所以当)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当0)()(),,21(00=>+∞∈x h x h x x 符合题设．………14分所以220=x ，切线方程为13ln 222y =--． (16)分21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FAEA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分 所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°． 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．……………10分21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………5分M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。
2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，且有4个子集，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2．复数等于（）A. B. C. D.03. 函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.4．等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（）A. 1B.－C. 1或－D. -1或－5. 已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（）A．1 B．C．2 D．6. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（）A. 4B. 8C. 10D. 128．若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 ( )A．1 B． C．D．9. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.10. 已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为3，则的值为（）A. B. C. 2 D. 311. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调函数，则方程的解所在区间是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知等差数列中，,那么 .14. 5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，则排法种数为 .15. 已知球的直径，是球球面上的三点,， 是正三角形，则三棱锥的体积为 . 16. 给出下列四个结论：（1）如图中，是斜边上的点，. 以为起点任作一条射线交于点，则点落在线段上的概率是；（2）设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；（3）若是定义在上的奇函数，且满足,则函数的图像关于对称;（4）已知随机变量服从正态分布则.其中正确结论的序号为三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东方向，仰角为，救援中心测得飞船位于其南偏西方向，仰角为．救援中心测得着陆点位于其正东方向． （1）求两救援中心间的距离；（2）救援中心与着陆点间的距离．18．(本小题满分12分)我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.市环保局对我市xx 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，空气质量指数0.032 0.020 0.018O 5 15 25 35 45 A BCD E北 A P东B C D由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，在锐角中，并且，.（1）点是上的一点，证明：平面平面；（2）若与平面成角，当面平面时，求点到平面的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆的左，右顶点分别为，圆上有一动点,点在轴的上方，，直线交椭圆于点，连接.(1)若,求△的面积;(2)设直线的斜率存在且分别为,若,求的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数.（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；②证明：不等式考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知点在⊙直径的延长线上，切⊙于点，是的平分线，交于点，交于点．（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）若，求．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于两点.（1）求的长；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知实数满足，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：.哈尔滨市第六中学xx届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）答案一．选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.D9.D 10.A 11.A 12.C二．填空题13. 14. 15.40 16.②③④三．解答题17. 解：（1）由题意知，则均为直角三角形………………1分在中，，解得…………………………2分在中，，解得…………………………3分又，万米. …………………………5分（2），，…………………………7分又，所以.…………………………9分在中，由正弦定理，…………………………10分万米…………………………12分18.(1) 解：由题意，得，……………1分解得. ……………2分（2）解：个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X=⨯+⨯+⨯+⨯=……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. ………5分的取值为，………6分，，，. ……………10分∴的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分（或者）19.解法一（1）因为，，由勾股定理得，因为平面平面，平面平面=，面，所以平面面，所以平面平面………6分M（2）如图，因为平面，所以平面平面，所以，做于，所以面，，设面面=，面平面所以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面边长得为中点，所以………12分解法二（1）同一（2）在平面过做垂线为轴，由（1），以为原点，为轴建立空间直角坐标系,设平面法向量为，设，锐角所以，由，解得，，，解得或（舍）设，解得因为面平面，，所以面法向量为，所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标．………12分20.（1）依题意，.设，则.由得, ,, 解得, . …………5分(2)设, 动点在圆上, .又, , 即====.又由题意可知,且,则问题可转化为求函数的值域.由导数可知函数在其定义域内为减函数,函数的值域为从而的取值范围为……12分21.（1）由已知得：，且函数在处有极值∴，即∴∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴函数的最大值为（2）①由已知得：(i)若，则时，∴在上为减函数，∴在上恒成立；(ii)若，则时，∴在上为增函数，∴，不能使在上恒成立；(iii)若，则时，，xyz当时，，∴在上为增函数， 此时， ∴不能使在上恒成立； 综上所述，的取值范围是 …………8分 ②由以上得：取得： 令， 则，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此. 又()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k kk k k kn k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑ ……12分22．（1）因为为⊙的切线，所以…………1分因为是的平分线，所以…………2分 所以，即，…………3分又因为为⊙的直径，所以…………4分. 所以.…………5分（2）因为，所以，所以∽，所以，………7分在中，又因为，所以，………8分 中，………10分23.解:（1）直线的参数方程化为标准型（为参数） …… 2分代入曲线方程得设对应的参数分别为，则，，所以 …… 5分 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标， …… 6分 所以点在直线， 中点对应参数为， 由参数几何意义，所以点到线段中点的距离 ……10分 24.(1) ，相乘得证——————5分 （2），， 相加得证——————10分。
2019届上海市高考模拟卷(三)数学试题(解析版)
2019届上海市高考模拟卷（三）数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．已知集合{(,)|||||1}P x y x y =+…，{}22(,)|1Q x y x y =+…，则有（ ）A ．P Q =B ．PQ C ．P Q P = D ．P Q Q ⋂=【答案】B【解析】根据两个集合分别表示的平面区域分析可得答案. 【详解】因为{(,)|||||1}P x y x y =+…表示四个顶点分别为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形围成的区域(包括边界),而{}22(,)|1Q x y x y =+…表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以P Q .故选:B 【点睛】本题考查了集合之间的真子集关系,属于基础题.3．将向量1a =(1x ，1y )，2a =(2x ，2y )，…n a =(n x ,n y )组成的系列称为向量列{n a }，并定义向量列{n a }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。
若向量列{n a }是等差向量列，那么下述四个向量中，与21S 一定平行的向量是 ( ) A ．10a B ．11aC ．20aD ．21a【答案】B【解析】依题意，当{}n a 为等差向量列时，设每一项与前一项的差都等于d ，则可求出通项公式1(1)n a a n d =+- ，所以{}n a 前21项和211221111111()(20)2121021S a a a a a d a d a d a =+++=+++++=+= ，故与21S 平行的向量是11a ，选B.点睛: 本题主要考查新定义: 等差向量列的理解和应用, 属于中档题. 解题思路：设每一项与前一项的差都等于d ，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得211121S a =，由向量共线定理，可得出结论. 考查类比的数学思想方法和向量共线定理的运用.4．设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数()()1,221,x x Af x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若x 0∈A ，且f[f(x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A ．(0，14] B ．(14，12) C ．(14，12] D ．[0，38]【答案】B 【解析】【详解】 ∵x 0∈A ，∴f(x 0)＝x 0＋12∈B. ∴f[f(x 0)]＝f(x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0. 又因为f[f(x 0)]∈A ，∴0≤1－2x 0<12， 解得14<x 0≤12，又0≤x 0<12.∴14<x 0<12，故选B.二、填空题5．函数sin cos cos sin 44y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期T =___________.【答案】π【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期. 【详解】依题意ππsin sin 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数的周期2ππ2T ==. 故填：π. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.6．若函数21()12x f x =，(0,)x ∈+∞，则其反函数1()f x -=_________.【答案】2log (1)1x +-,(1,)x ∈+∞【解析】计算二阶行列式化简()f x ,再根据求反函数的步骤可求得反函数. 【详解】因为21()12x f x =1221121x x +=⨯-⨯=-,因为x ∈(0,)+∞,所以()(1,)f x ∈+∞, 所以由121x y +=-得21log (1)x y +=+,所以2log (1)1x y =+-,交换,x y 可得2log (1)1y x =+-, 所以12()log (1)1fx x -=+-,(1,)x ∈+∞,故答案为:2log (1)1x +-, (1,)x ∈+∞. 【点睛】本题考查了二阶行列式的计算,反函数的求法,属于基础题.7．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.8．过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【解析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y -=,=解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=. 故答案为:20x y -=. 【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.9．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）． 【答案】169【解析】根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为28254，所以这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故答案为169. 10．抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________. 【答案】6【解析】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为=, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.11．若复数z x yi =+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位）满足|||22|z z i =--，则33x y +的最小值为_______. 【答案】6【解析】根据复数模的计算公式将|||22|z z i =--化为2y x =-,将其代入到33x y +后,利用基本不等式可求得答案. 【详解】由|||22|z z i =--=化简得2x y +=,即2y x =-, 所以33x y +233x x -=+932363x x =+≥=⨯=,当且仅当 1.1x y ==时等号成立. 故答案为:6 【点睛】本题考查了复数的模的公式,基本不等式求最小值,属于基础题. 12．一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为 ．【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，公差为d ，()()1211,21n n a a n d a a n d ∴=+-=+-1212n n a a d nd a a d nd-+∴=-+ 2n n a a 是一个与n 无关的常数10a d ∴-=或0d =，所以比值常数为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【考点】等差数列通项公式13．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球的表面积为______.【答案】169π【解析】把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解． 【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC ∆为直角三角形， 可把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球， 又由长方体的对角线长等于球的直径，且13,4,12AB AC AA ===，即213R ===，即132R =， 所以球的表面积为221344()1692S R πππ==⨯=． 故答案为：169π 【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．新一季“中国好声音”开唱，开场节目是四位导师各选一首自己的代表作供其他导师演唱，每人恰好都是唱别人的歌.假设四首歌已选定，则有______种不同演唱方式. 【答案】9【解析】将问题转化为四个元素填四个空的全错位排列后,再按照元素1的位置分3类讨论计算结果相加即可得到. 【详解】将四位导师抽象为四个元素,设为1,2,3,4,四首歌抽象为四个空位,设为1,2,3,4,依题意转化为四个元素填四个空的全错位排列,第一类:元素1填在2号空位,则元素2有3种填法,元素3,4填法唯一,此时共有3种填法; 第二类,元素1填在3号空位,则元素3有3种填法,元素2,4填法唯一,此时共有3种填法;第三类,元素1填在4号空位,则元素4有3种填法,元素2,3填法唯一,此时共有3种填法; 根据分类计算原理可得共有3+3+3=9种填法. 综上所述,共有9种不同的演唱方式. 故答案为:9 【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题,属于中档题.15．若函数()2(1)y x x ax b =+++的图象关于点()20，成中心对称，则a b +=______. 【答案】3【解析】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,求出它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -后,代入()2(1)y x x ax b =+++,解方程组可得答案.【详解】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,则它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -也在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上, 即(51)(255)0(41)(164)a b a b b +++=⎧⎨+++=-⎩,即52510340a b a b +=-⎧⎨+=-⎩,解得7,10a b =-=,所以3a b +=. 故答案为:3 【点睛】本题考查了函数图象的对称中心的性质,属于基础题.16．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】【解析】【详解】由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝3π，又A ，B 是两定点，可设A 1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP ＝λOA ＋μOB，可得{2x y λμ，＝＋⇒{26x y x λμ==-.因为|λ|＋|μ|≤1x＋2y x -≤1， 等价于由可行域可得S 0＝12×P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝三、解答题17．已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求sin 2α的值； （2）在（1）的条件下，若5cos()13αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值. 【答案】(1)45,(2)65【解析】(1)由//a b 可得1tan 2α=,再由万能公式可得sin 2α的值, (2)利用sin sin()βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+可得答案. 【详解】(1)因为 //a b ,所以2sin cos 0αα-=,即1tan 2α=, 所以2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα===++2124215()12⨯==+. (2)由(1)知,cos 2sin αα= ,且(0,)2πα∈,所以22sin (2sin )1αα+=,所以21sin 5α=,所以sin α,cos α=, 又(0,)2πβ∈,所以(0,)αβπ+∈,所以12sin()13αβ+===, 所以sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+1251313=-=【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,二倍角的正弦公式,同角公式,两角差的正弦公式,属于基础题.18．如图，正四棱锥P ABCD -内接于圆锥，圆锥的轴截面是边长为10cm 的正三角形.（1）求异面直线PA 与BC 所成角的大小；（2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到30.1cm ）【答案】(1)arccos4,(2)382.3cm .【解析】(1)根据//AD BC 可知, PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在三角形PAD 中由余弦定理可求得,(2)用圆锥的体积减去正四棱锥的体积即可得到答案. 【详解】(1)在正四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,所以PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在正方形ABCD 中,10AC =,所以AD =, 在三角形PAD 中,10PA PD ==,所以222cos2PA AD PD PAD PA AD +-∠=⨯⨯2224==,所以PAD ∠=,所以异面直线P A 与BC 所成角的大小为.(2)在直角三角形PAO 中,PO ===所以圆锥的体积211133V PO AO π=⋅⋅⋅=⨯25⨯=,正四棱锥P ABCD -的体积221133V PO AD =⋅⋅=⨯23=,所以需要削去部分的体积为12(2)333V V π-=-=-82.3≈. 所以需要削去部分的体积约为82.33cm . 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征,异面直线所成角,椎体的体积公式,属于中档题. 19．首项为12的无穷等比数列{}n a 所有项的和为1，n S 为{}n a 的前n 项和，又()25log 1n n b S t +-=，常数*t N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若{}n c 是递减数列，求t 的最小值. 【答案】(1)12n na =,(2)1【解析】(1)根据无穷等比数列{}n a 所有项的和为1,求出公比12q =,再根据等比数列的通项公式可得;(2)求出n S 后代入可得5n b n t =+,1(5)2n n c n t =+⋅,然后根据数列递减可得10n n c c +-<恒成立,由不等式恒成立可得答案.【详解】(1)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,则111a q =-,所以1211q=-,解得12q =,所以111111()222n n n n a a q--==⨯=, (2)因为11(1)22112n n S -=-112n =-,所以215log (11)2n n b t +-+=, 所以5n b n t =+,所以1(5)2n n n n c a b n t ==+⋅,因为{}n c 是递减数列, 所以1111(55)(5)22n n n n c c n t n t ++-=++⋅-+⋅11(55102)2n n t n t +=++--⋅ +11(55)2n n t =--⋅0< 恒成立,所以550n t --<恒成立,所以55t n >-+恒成立,因为()55f n n =-+为递减函数,所以1n =时,()f n 取得最大值(1)550f =-+=, 所以0t >,又因为*t N ∈,所以t 的最小值为1. 【点睛】本题考查了无穷等比数列的和,等比数列的通项公式和前n 项和,数列的单调性,属于中档题.20．设S 、T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①{()|}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.（1）试写出集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”； （2）求证：不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”； （3）已知2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”，求s 和t 的最大值.【答案】(1) ()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,(2)证明见解析,(3)s 的最大值为1,t 的最大值为12【解析】(1)直接由题意写出()tan()2f x x ππ=-(01)x <<即可;(2)用反证法证明即可;(3)用定义证明()f x 在[0,1]上递增,在[1,)+∞上递减后,可得1s ≤,(1)t f ≤. 【详解】(1)取()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,该函数是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”; 证明:任取1201x x <<<, 则122222x x ππππππ-<-<-<,因为tan y x =在(,)22ππ-上为增函数,所以12tan()tan()22x x ππππ-<-, 即12()()f x f x <,由定义可知, 函数()tan()2f x x ππ=-是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”.(2)证明:假设存在一个从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合Z 和集合Q 中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在Q 中的像分别为a 和b ,根据保序性,因为0<1,所以a b <,又2a b +也是有理数,但是2a b+没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”.(3)设120x x <<,则12122212()()11x x f x f x x x -=-++21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --++, 所以当1201x x <<≤时,21120,10x x x x ->-<,所以12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,所以()f x 在[0,1]上递增,当211x x >≥时, 21120,10x x x x ->->,所以12())0(f x f x ->,即12()()f x f x >, 所以()f x 在[1,)+∞上递减, 因为2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”,所以()f x 在[0,]s 上递增,所以1s ≤,所以s 的最大值为1,t 的最大值为11(1)112f ==+. 【点睛】本题考查了正切函数的单调性,函数单调性的定义,利用单调性求函数的最值,属于难题.。
2019届上海市育才中学高三下学期三模数学试题(解析版)
2019届上海市育才中学高三下学期三模数学试题一、单选题1．已知非空集合A B 、满足A B ⊂≠，给出以下四个命题：①若任取x A ∈,则x B ∈是必然事件 ②若x A ∉,则x B ∈是不可能事件③若任取x B ∈,则x A ∈是随机事件 ④若x B ∉,则x A ∉是必然事件 其中正确的个数是（ ） A.1 B.2C.3D.4【答案】C【解析】由集合的包含关系可得A 中的任何一个元素都是B 中的元素，B 中至少有一个元素不在A 中，结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数 【详解】非空集合A 、B 满足A B Ö，可得A 中的任何一个元素都是B 中的元素，B 中至少有一个元素不在A 中，①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；②若x A ∉，则x B ∈是可能事件，故②不正确；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；④若x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确．其中正确的个数为3，故选C. 【点睛】本题考查集合的包含关系，以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断，考查判断能力，属于基础题.2．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 满足11b a =，223b a a =+，3436b a a a =++，⋯.3lim 2n n b n→∞=，则数列{}n a 的公差 d 为（ ）.A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】D 【解析】【详解】 注意到 ，()()()()()11111121222222n n n n n n n n n n n nn n b a a a a a -----+++++⎡⎤=++⋯=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()21111112.2222n n n n n na d a n d a d n d ⎧⎫⎡⎤--⎪⎪=++++-=-+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭则13221limlim 2.22n n n b a d d d n n →∞→∞-⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ 从而，d=4．选D. 3．正方体1111ABCD A B C D -中, E 为棱1AA 的中点(如图)用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可． 【详解】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D ，故选D.【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查． 4．如图所示，向量BC 的模是向量AB 的模的t 倍，AB 与BC 的夹角为θ，那么我们称向量AB 经过一次(,)t θ变换得到向量BC . 在直角坐标平面内，设起始向量1(4,0)OA =，向量1OA 经过1n -次12(,)23π变换得到的向量为1n n A A -(,1)n n ∈>*N ，其中i A 、1i A +、2i A +()i ∈*N 为逆时针排列，记i A 坐标为(,)i i a b ()i ∈*N ，则下列命题中不正确．．．的是（ ）A.2b =B.3130k k b b +-=()k ∈*NC.31310k k a a +--=()k ∈*ND.4318()()0k k k k a a a a +++-+-=()k ∈*N【答案】D【解析】利用12,23π⎛⎫⎪⎝⎭变换的定义，推导出1121n n n OA OA A A A A -=+++uuu r uuu r uuuu r uuuuu r L 的向量坐标，求出n a 、n b 的表达式，然后进行验算即可. 【详解】()14,0OA =uuu r Q，经过一次变换后得到(2222cos ,2sin 33OA ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭uuu r ，点(2A -，21a ∴=-，2b =A 选项正确；由题意知1121n n nOA OA A A A A -=+++uuu r uuu r uuuu r uuuuu rL()()()3321212244114,02cos ,2sincos ,sin cos ,sin 33332323n n n n ππππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L所以()32124142coscos cos 3323n n n a πππ--=++++L ， ()3212412sinsin sin 3323n n n b πππ--=+++L ， ()31331332231111sin sin 20232k k k k k b b k ππ++--+--===，B 选项正确；()()313131333231123111cos cos2323k k k k k k a a ππ+-+--+---=+ 32333233112111cos 2cos 20223222k k k k k k πππ----⎛⎫⎛⎫=+-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， C 选项正确；()()()()43141132412111188cos cos2323k k k k k k k k a a a a ππ++++-+-+-+--+-=⨯+ 221212121232cos 2cos cos cos cos 023********k k k k k k k k k k ππππππ--⎛⎫=+-=-=-≠ ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：D. 【点睛】本题考查新定义，首先应理解题中的新定义，转化为已有的知识来解决，本题的实质是考查向量的坐标运算，难度较大.二、填空题 5．不等式11x<的解为 。
上海市2019年育才中学高三下学期数学高考三模试卷
育才中学高三模拟考数学试卷2019.05注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一. 填空题1. 不等式11x<的解集为 2. 已知直线l 垂直于平面直角坐标系中的y 轴，则l 的倾斜角为 3. 函数2()log (1)1f x x =-+的反函数是4. 若角α的终边经过点(2,2)P -，则arctan(tan )α的值为5. 方程1111900193x x=-的解为 6. 由参数方程2csc (3cot x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，,)n n Z θπ≠∈所表示的曲线的右焦点坐标为7. 平面直角坐标系xOy 内有点(2,1)A ，(2,2)B ，(0,2)C ，(0,1)D ，将四边形绕直线1y =旋转一周，所得到几何体的体积为8. 某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则 交大和浙大不同时被选中的概率为9. 已知0a >且1a ≠，设函数2,3()2log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范ABCD围是10. 对于给定的复数0z ，若满足0|2i |||4z z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是11. 等差数列{}n a 中，112019a =，1m a n =，1n a m=（m n ≠），则数列{}n a 的公差为 12. 已知平面直角坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，O 为原点，有122112AOB S a b a b ∆=-. 设11(,)M x y 、22(,)N x y 、33(,)P x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最大值为二. 选择题13. 已知非空集合A 、B 满足A B ，给出以下四个命题： ① 若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件 ② 若x A ，则x B ∈是不可能事件 ③ 若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件 ④ 若x B ，则x A 是必然事件其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 414. 设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 满足：11b a =，223b a a =+，3456b a a a =++，，若31lim2n n b n →∞=，则数列{}n a 的公差d 为（ ） A.12B. 1C. 2D. 4 15. 正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图），用过点B 、E 、1D 的平面截 去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）||0z ≠⊂∉∉∉A. B. C. D.16. 如图所示，向量BC 的模是向量AB 的模的t 倍，AB 与BC 的夹角为θ，那么我们称向 量AB 经过一次(,)t θ变换得到向量BC . 在直角坐标平面内，设起始向量1(4,0)OA =，向 量1OA 经过1n -次12(,)23π变换得到的向量为1n n A A -(,1)n n ∈>*N ，其中i A 、1i A +、 2i A +()i ∈*N 为逆时针排列，记i A 坐标为(,)i i a b ()i ∈*N ，则下列命题中不正确．．．的是（ ） A. 23b = B. 3130k k b b +-=()k ∈*N C. 31310k k a a +--=()k ∈*N D. 4318()()0k k k k a a a a +++-+-=()k ∈*N三. 解答题17. 已知圆柱的底面半径为r ，上底面圆心为O ，正六边形ABCDEF 内接于下底面圆1O ，OA 与母线所成角为30︒.（1）试用r 表示圆柱的表面积S ；（2）若圆柱体积为9π，求点C 到平面OEF 的距离.18. 若函数2()()sin()cos()f x x x x ωωω=-(0)ω>的图像的最高点都在直线 y m =(0)m >上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π.（1）求ω和m 的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边，若点(,0)2A是函数()f x 图像的一个对称中心，且1a =，求ABC ∆外接圆的面积.19. 已知函数()x x f x a k b =+⋅，其中k ∈R ，0>a 且1≠a ，0>b 且1≠b . （1）若1=ab ，试判断()f x 的奇偶性； （2）若2=a ，12b =，16k =，证明()f x 的图像是轴对称图形，并求出对称轴.20. 已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=. （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM △面积S 的最大值.21. 已知无穷数列{}()n n a a ∈Z 的前n 项和为n S ，记1S ，2S ，…，n S 中奇数的个数为n b . （1）若n a n =，请写出数列{}n b 的前5项； （2）求证：“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件；（3）若i i a b =，1,2,3,i =，求数列{}n a 的通项公式.参考答案一. 填空题1.()(),01,-∞⋃+∞2. 03.121()x y x R -=+∈4. 4π-5. 2x =6.)7. 2π 8.459. 1[,1)3 10. [)06，11. 1201912. 20二. 选择题13. C 14. B 15. D 16. D三. 解答题 17．解:（1）h =,---2分()22S r π=---4分（2）339,3V r r h ππ==∴==---6分C OEF O CEF V V --∴=, 1133OEF CEF d S hS ∆∆∴⋅=⋅, ---10分35d ∴==---14分18．【解】：（1）2()()sin()cos()sin(2)3f x x x x x π=ω-ωω=-ω-……(3分) 由题意知，函数()f x 的周期为π，且最大值为m ，所以1,1m ω==. ……(3分)（2）(,0)2A 是函数()f x 图像的一个对称中心，所以sin()03A π-=，又因A 为ABC ∆的内角，所以3A π=，……(3分)在ABC ∆中，设外接圆半径为R，由12sin sin 3a R A ===π得R = ……(3分) 所以ABC ∆的外接圆的面积23S R π=π=……(2分)19．解：（1）由已知，ab 1=，于是()x x f x a k a -=+⋅，则()x xf x a k a --=+⋅， 若()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，即x x x x a k a a k a ⋅+=⋅+--，所以0))(1(=---xx a a k 对任意实数x 恒成立，所以1=k ．若)(x f 是奇函数，则)()(x f x f -=-，即)(x x x xa k a a k a--⋅+-=⋅+，所以0))(1(=++-xx a a k 对任意实数x 恒成立，所以1-=k ．综上，当1=k 时，)(x f 是偶函数；当1-=k 时，)(x f 奇函数，当1±≠k ，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数．（2）()2162x xf x -=+⋅，若函数)(x f 的图像是轴对称图形，且对称轴是直线m x =，即对任意实数x ，)()(x m f x m f +=-恒成立，()()21622162m x m x m x m x ---+-++⋅=+⋅，化简得(22)(2162)0x x m m ----⋅=，因为上式对任意R x ∈成立，所以21620m m --⋅=，24m=，2m = ． 所以，函数)(x f 的图像是轴对称图形，其对称轴是直线2x =．20．[解]设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．（2）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y , 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-= 122814kmx x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④，因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍）， 当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x = 过定点3(0,)5N -，综上，直线AB 恒过定点3(0,)5N -．（3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -由第(2)小题的③④代入，整理得：3225S = 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设2t =≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ，92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425． 21．（1）解：1=1b ，2=2b ，3=2b ，4=2b ，5=3b ．（2）证明：（充分性）因为1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =为偶数，所以，对于任意*i ∈N ，i S 都为奇数．所以n b n =．所以数列{}n b 是单调递增数列． （不必要性）当数列{}n a 中只有2a 是奇数，其余项都是偶数时，1S 为偶数，(2,3,4,)i S i =均为奇数，所以1n b n =-，数列{}n b 是单调递增数列．所以“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =为偶数”不是“数列{}n b 是单调递增数列”的必要条件；综上所述，“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列” 的充分不必要条件．（3）解：（ⅰ）当k a 为奇数时，如果k S 为偶数，若1k a +为奇数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为偶数，与11k k a b ++=矛盾； 若1k a +为偶数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为奇数，与11k k a b ++=矛盾． 所以当k a 为奇数时，k S 不能为偶数． （ⅰ）当k a 为偶数时， 如果k S 为奇数，若1k a +为奇数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为偶数，与11k k a b ++=矛盾； 若1k a +为偶数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为奇数，与11k k a b ++=矛盾． 所以当k a 为偶数时，k S 不能为奇数． 综上可得k a 与k S 同奇偶．所以n n S a -为偶数． 因为11n n n S S a ++=-为偶数，所以n a 为偶数．因为111a b S ==为偶数，且101b ≤≤，所以110b a ==．因为22111a b b =≤+=，且20b ≥，所以220b a ==． 以此类推，可得0n a =．。
2019届高三数学下学期三诊模拟考试试题理(含解析)
2019届高三数学下学期三诊模拟考试试题理（含解析）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置）1.已知集合，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：,故选A.考点：集合的运算.2.设（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算、共轭复数的定义可计算出的值.【详解】，，则，故选：B.【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的除法、共轭复数的相关计算，考查计算能力，属于基础题.3.若多项式，则（）A. 9B. 10C. -9D. -10【答案】D【解析】，，根据已知条件得的系数为0，的系数为1故选D.4. 一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为2×，所以几何体体积为，选B．考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算．点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题．5.设，，且，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可求出的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出的最小值.【详解】，，且，，，，当且仅当时取等号.，则的最小值是.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6.若A为不等式组所示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+ y =a扫过A中的那部分区域面积为（）A. 2 B. 1C. D.【答案】D【解析】试题分析：如图，不等式组表示的平面区域是,动直线在轴上的截距从变化到1,知是斜边为3等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积,故选D.考点：二元一次不等式（组）与平面区域点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．7.函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由周期公式可知函数周期为2，∴AB=2，过P作PC⊥AB与C，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APC与∠BPC的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ．【详解】.PC⊥AB与C,故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了两角和的正弦公式以及二倍角的正弦公式，属于综合题.8.下列命题中：①若“”是“”的充要条件；②若“，”，则实数的取值范围是；③已知平面、、，直线、，若，，，，则；④函数的所有零点存在区间是.其中正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用充分条件与必要条件的关系判断①的正误；根据特称命题成立的等价条件求实数的取值范围，可判断②的正误；由面面垂直的性质定理可判断③的正误；利用零点存在定理可判断④的正误.【详解】①由，可知，所以有，当时，满足，但不成立，所以①错误；②要使“，”成立，则有对应方程的判别式，即，解得或，所以②正确；③因为，，，所以，又，所以根据面面垂直的性质定理知，所以③正确；④因为，，且函数连续，所以根据零点存在定理可知在区间上，函数存在零点，所以④正确.所以正确的是②③④，共有三个.故选：C.【点睛】本题考查命题真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练，考查推理能力，属于中等题.9.某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）A. 474种B. 77种C. 462种D. 79种【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有，那么连着上3节课的情况有5种，则利用间接法可知所求的方法有-5=474，故答案为A.考点：排列组合点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题．10.已知函数，方程有四个实数根，则取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数，判断函数的单调性及最值，从而画出该函数的图像；再用换元，将问题转化为一元二次方程根的分布问题，即可求解参数范围.【详解】令，故，令，解得，故函数在区间单调递减，在单调递增，且在处，取得最小值.根据与图像之间的关系，即可绘制函数的图像如下：令，结合图像，根据题意若要满足有四个根，只需方程的两根与满足：其中一个根，另一个根或.①当方程的一个根，另一个根，将代入，可得矛盾，故此种情况不可能发生；②当方程的一个根，另一个根，要满足题意，只需即可即，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及二次方程根的分布问题，属重点题型.二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）11. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.【答案】【解析】试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB 的概率，然后直接利用条件概率公式求解．解：P（A）=，P（AB）=．由条件概率公式得P（B|A）=．故答案为．点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．12.下图给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等,则这样的值有________个.【答案】3【解析】试题分析：该程序框图是计算分段函数的函数值，从自变量的取值情况看，由三种情况，故应考虑，所得x 值，有3个．考点：本题主要考查程序框图的功能识别，简单方程的求解．点评：简单题，注意到应考虑，所得x值，一一探讨．13.已知在平面直角坐标系中，，，为原点，且，（其中，，均为实数），若，则的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】根据可化简为，可得出、、三点共线，求出直线的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出的最小值.【详解】（其中，、均为实数），，即，即，，、、三点共线，的最小值即为点到直线的距离，直线的方程为，即，因此，的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查利用向量判断三点共线，同时也考查了点到直线距离公式计算线段长度的最小值，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.14.已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为______.【答案】【解析】【分析】设，将直线的方程和双曲线的方程联立消元得出，由可得，这几个式子再结合化简可得【详解】因为直线过点，且斜率为所以直线的方程为：与双曲线联立消去，得设所以因为，可得代入上式得消去并化简整理得：将代入化简得：解之得因此，该双曲线的离心率故答案：【点睛】1.直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横（纵）坐标之和、积，然后再结合条件求解2.求离心率即是求与的关系.15.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则为上的高调函数，如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是__________．【答案】【解析】定义在上的函数是奇函数，当时，，作出的图像如图所示，∵为上的高调函数，当时，函数的最大值为，要满足，大于等于区间长度，∴，即，解得．故实数的取值范围是．三、解答题（本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）；16.已知向量，，函数.（1）求函数的最小正周期及单调减区间；（2）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，，且.求、的长和的面积.【答案】（1），递减区间是；（2），，.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算得出，并利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数的最小正周期及单调减区间；（2）利用（1）即可得到，再利用正弦定理即可得到，利用三角形内角和定理即可得到，利用直角三角形含角的性质即可得出边，进而得到三角形的面积.详解】（1），，，，所以，，由，解得，所以，函数的单调递减区间是；（2），，为锐角，即，，，解得.由正弦定理得，，，，，，因此，的面积为.【点睛】本题综合考查了向量数量积的坐标运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、直角三角形的边角关系及其面积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．17.如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）平面平面，,平面平面，平面，∵AF在平面内，∴，又为圆的直径，∴，∴平面.（Ⅱ）由（1）知即，∴三棱锥的高是，∴,连结、，可知∴为正三角形，∴正的高是，∴，18.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功，每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立.（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；（2）用表示小王所获得获品的价值，写出的概率分布列，并求的数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见详解，【解析】【分析】（1）小王过第一关但未过第二关，包括小王第一关两道题都答对，第二关第一道题答错，或者小王第一关两道题都答对，第二关第一道题答对，第二道题答错，据此计算概率；（2）根据题意，分别写出可取的值，再计算每个可取值对应的概率，求得分布列即可.【详解】（1）设小王过第一关但未过第二关的概率为，则容易知.（2）的取值为0，1000，3000，6000，则，，，，∴的概率分布列为∴的数学期望.【点睛】本题考查概率的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及计算能力，属中档题.19.各项均为正数数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知公比为的等比数列满足，且存在满足，，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）令，利用数列递推式求出的值，由得出，两式相减，结合数列各项均为正数，可得数列是首项为，公差为的等差数列，从而可求数列的通项公式；（2）利用，，求出公比，即可求得数列的通项公式．【详解】（1）当时，，整理得，.，，两式相减得，即，即，数列各项均为正数，，，数列是首项为，公差为的等差数列，故；（2），，依题意得，相除得或，所以或，当时，；当时，.综上所述，或.【点睛】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求△面积的取值范围.【答案】(1)；(2) ．【解析】【详解】(1)由已知得∴方程：(2)由题意可设直线的方程为：联立消去并整理，得：则△,此时设、∴于是又直线、、的斜率依次成等比数列，∴由得：.又由△得：显然（否则：，则中至少有一个为0，直线、中至少有一个斜率不存在，矛盾！）设原点到直线的距离为,则故由得取值范围可得△面积的取值范围为21.已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．（1）若对[1，+）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，，xk都有成立；（3）求证：．【答案】（1）；（2）的最大值为．（3）见解析．【解析】【详解】试题分析：（1）设点为直线与曲线的切点，则有．（*），．（**）由（*）、（**）两式，解得，．由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，，因此，实数的取值范围是．（2）当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为．（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，化简得，．（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，即．因此，时不等式成立．（另解：，，，即．）假设当时不等式成立，即，则当时,，要证时命题成立，即证，即证．在不等式中，令，得．时命题也成立．根据数学归纳法，可得不等式对一切成立．考点：函数的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法．点评：（1）本题主要考查导数的几何意义及其应用和数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．对学生的能力要求较高，尤其是分析问题解决问题的能力．（2）解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题，思路1：在上恒成立；思路2:在上恒成立．2019届高三数学下学期三诊模拟考试试题理（含解析）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置）1.已知集合，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：,故选A.考点：集合的运算.2.设（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算、共轭复数的定义可计算出的值.【详解】，，则，故选：B.【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的除法、共轭复数的相关计算，考查计算能力，属于基础题.3.若多项式，则（）A. 9B. 10C. -9D. -10【答案】D【解析】，，根据已知条件得的系数为0，的系数为1故选D.4. 一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为2×，所以几何体体积为，选B．考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算．点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题．5.设，，且，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可求出的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出的最小值.【详解】，，且，，，，当且仅当时取等号.，则的最小值是.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6.若A为不等式组所示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+ y =a 扫过A中的那部分区域面积为（）A. 2B. 1C. D.【答案】D【解析】试题分析：如图，不等式组表示的平面区域是,动直线在轴上的截距从变化到1,知是斜边为3等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积,故选D.考点：二元一次不等式（组）与平面区域点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．7.函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x 轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由周期公式可知函数周期为2，∴AB=2，过P作PC⊥AB与C，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APC与∠BPC的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ．【详解】.PC⊥AB与C,故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了两角和的正弦公式以及二倍角的正弦公式，属于综合题.8.下列命题中：①若“”是“”的充要条件；②若“，”，则实数的取值范围是；③已知平面、、，直线、，若，，，，则；④函数的所有零点存在区间是.其中正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用充分条件与必要条件的关系判断①的正误；根据特称命题成立的等价条件求实数的取值范围，可判断②的正误；由面面垂直的性质定理可判断③的正误；利用零点存在定理可判断④的正误.【详解】①由，可知，所以有，当时，满足，但不成立，所以①错误；②要使“，”成立，则有对应方程的判别式，即，解得或，所以②正确；③因为，，，所以，又，所以根据面面垂直的性质定理知，所以③正确；④因为，，且函数连续，所以根据零点存在定理可知在区间上，函数存在零点，所以④正确.所以正确的是②③④，共有三个.故选：C.【点睛】本题考查命题真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练，考查推理能力，属于中等题.9.某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）A. 474种B. 77种C. 462种D. 79种【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有，那么连着上3节课的情况有5种，则利用间接法可知所求的方法有-5=474，故答案为A.考点：排列组合点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题．10.已知函数，方程有四个实数根，则取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数，判断函数的单调性及最值，从而画出该函数的图像；再用换元，将问题转化为一元二次方程根的分布问题，即可求解参数范围.【详解】令，故，令，解得，故函数在区间单调递减，在单调递增，且在处，取得最小值.根据与图像之间的关系，即可绘制函数的图像如下：令，结合图像，根据题意若要满足有四个根，只需方程的两根与满足：其中一个根，另一个根或.①当方程的一个根，另一个根，将代入，可得矛盾，故此种情况不可能发生；②当方程的一个根，另一个根，要满足题意，只需即可即，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及二次方程根的分布问题，属重点题型.二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）11. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.【答案】【解析】试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．解：P（A）=，P（AB）=．由条件概率公式得P（B|A）=．故答案为．点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．12.下图给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等,则这样的值有________个.【答案】3【解析】试题分析：该程序框图是计算分段函数的函数值，从自变量的取值情况看，由三种情况，故应考虑，所得x值，有3个．考点：本题主要考查程序框图的功能识别，简单方程的求解．点评：简单题，注意到应考虑，所得x值，一一探讨．13.已知在平面直角坐标系中，，，为原点，且，（其中，，均为实数），若，则的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】根据可化简为，可得出、、三点共线，求出直线的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出的最小值.【详解】（其中，、均为实数），，即，即，，、、三点共线，的最小值即为点到直线的距离，直线的方程为，即，因此，的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查利用向量判断三点共线，同时也考查了点到直线距离公式计算线段长度的最小值，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.14.已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为______.【答案】【解析】【分析】设，将直线的方程和双曲线的方程联立消元得出，由可得，这几个式子再结合化简可得【详解】因为直线过点，且斜率为所以直线的方程为：与双曲线联立消去，得设所以因为，可得代入上式得消去并化简整理得：将代入化简得：解之得因此，该双曲线的离心率故答案：【点睛】1.直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横（纵）坐标之和、积，然后再结合条件求解2.求离心率即是求与的关系.15.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则为上的高调函数，如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是__________．【答案】【解析】定义在上的函数是奇函数，当时，，作出的图像如图所示，∵为上的高调函数，当时，函数的最大值为，要满足，大于等于区间长度，∴，即，解得．故实数的取值范围是．三、解答题（本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）；16.已知向量，，函数.（1）求函数的最小正周期及单调减区间；（2）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，，且.求、的长和的面积.【答案】（1），递减区间是；（2），，.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算得出，并利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数的最小正周期及单调减区间；（2）利用（1）即可得到，再利用正弦定理即可得到，利用三角形内角和定理即可得到，利用直角三角形含角的性质即可得出边，进而得到三角形的面积.详解】（1），，，，所以，，由，解得，所以，函数的单调递减区间是；（2），，为锐角，即，，，解得.由正弦定理得，，，，，，因此，的面积为.【点睛】本题综合考查了向量数量积的坐标运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、直角三角形的边角关系及其面积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．17.如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）平面平面，,平面平面，平面，∵AF在平面内，∴，又为圆的直径，∴，∴平面.（Ⅱ）由（1）知即，∴三棱锥的高是，∴,连结、，可知∴为正三角形，∴正的高是，∴，18.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功，每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立.（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；（2）用表示小王所获得获品的价值，写出的概率分布列，并求的数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见详解，【解析】【分析】（1）小王过第一关但未过第二关，包括小王第一关两道题都答对，第二关第一道题答错，或者小王第一关两道题都答对，第二关第一道题答对，第二道题答错，据此计算概率；（2）根据题意，分别写出可取的值，再计算每个可取值对应的概率，求得分布列即可.【详解】（1）设小王过第一关但未过第二关的概率为，则容易知.（2）的取值为0，1000，3000，6000，则，，，，∴的概率分布列为∴的数学期望.【点睛】本题考查概率的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及计算能力，属中档。
2019年高三第三次模拟考试数学试题
2019年高三第三次模拟考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1．已知集合Q P x x Q x x x P },2|||{},0)3(|{<=<-== （ ）A ．（－2，0）B ．（0，2）C ．（2，3）D ．（－2，3）2．如果将一组数据中的每一数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差的 变化情况为（ ）A ．平均数和方差都不变B ．平均数不变，方差改变C ．平均数改变，方差不变D ．平均数和方差都改变 3．设m,n 是两条不同的直线，是三个不同的平面。
给出下列四个命题 （ ）①若； ②若； ③若；④若γαγββα⊥⊥m m 则,,//,//；其中正确的序号是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④4．若方程]5,1[022在区间=-+ax x 上有解，则a 的取值范围 （ ）A ．B ．C ．D ． 5．设双曲线的右准线与两渐近交于A ，B 两点，点F 为右焦点， 若以AB 为直径的圆经过点F ，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．B ．2C ．D ． 6．若θθθθθtan ,0cos sin ,45cos sin 则且<--<+ （ ）A ．大于1B ．等于1C ．小于1D ．等于－17．现有浓度为25%的酒精溶液一瓶，把“每次倒出半瓶，再用水加满”称为一次操作，至 少须经过k 次这样的操作，才能使瓶中溶液的浓度不高于1%，其中k 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．设函数)1ln()(2x x x x f +++=，则对任意实数a 和b ，a+b <0是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．反复掷掷一个骰子，依次记录下每一次抛掷落地时向上的点数，当记有三个不同点数时 即停止抛掷，若抛掷五次恰好停止，则记有这五次点数的所有不同记录结果的种数有 （ ） A ．360种 B ．600种 C ．840种 D ．1680种 10．点P 到点A 及直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的取值个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上。
2019届高三数学第三次联考试题文(含解析)
2019届高三数学第三次联考试题文（含解析）一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列格式的运算结果为实数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数运算化简每个选项即可求解【详解】对A,对B,对C,对D,故选D【点睛】本题考查复数的运算，熟记运算法则是关键，是基础题2.设集合，，则集合可以为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合A,再依次验证选项即可.【详解】因为，可以依次验证选项，得到当时，.故答案为D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题目. 3.在平行四边形中，,,则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】先求,再求,即可求D坐标【详解】，∴，则D(6,1)故选A【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题4.若函数，则（）A. 2B. 4C. -2D. -4【答案】A【解析】【分析】，可得，结合，从而求得结果.【详解】∵，∴，∵，∴，故选A.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用.5.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：由此表估计这100名小学生身高的中位数为（）（结果保留4位有效数字）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.6.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e=.故选B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.7.设满足约束条件则的最大值为（）A. 7B. 5C. 0D.【答案】A【解析】【分析】作出约束条件对应的可行域，利用线性规划的知识，通过平移即可求得的最大值.【详解】如图，作出约束条件表示的可行域，由图可知，当直线经过点时，取得最大值7，故选A.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，注意目标函数的形式，属于简单题目.8.在中，为边上一点，若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先在三角形中用余弦定理计算出的值，然后在三角形中用余弦定理求得的长.【详解】在三角形中，由余弦定理得.在三角形中，由余弦定理得.故选B.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理计算角的余弦值和边长，属于基础题.9.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A. 32B. 40C.D.【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题10.若直线与曲线相切，则（）A. 3B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【详解】设切点为，∵，∴由①得，代入②得，则，，故选A.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.11.已知函数，则下列判断错误的是（）A. 为偶函数B. 的图像关于直线对称C. 值域为D. 的图像关于点对称【答案】D【解析】【分析】化简f（x）＝1+2cos4x后，根据函数的性质可得．【详解】f（x）＝1+cos（4x）sin（4x）＝1+2sin （4x）＝1+2cos4x，f（x）为偶函数，A正确；4x得当k=1时，B正确；因为2cos4x的值域为，C正确；故D错误．故选D．【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题12.在棱长为的正方体中，为棱上一点，且到直线与的距离相等，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，先确定F的位置，由互相垂直，构造以为棱的长方体，求其外接球半径即可求得球的表面积【详解】过做面B,∴面NF,∴FN为到直线的距离，则,设解得x=,互相垂直, 以为棱的长方体球心即为O，则球的表面积为4故选D【点睛】本题考查椎体的外接球，明确点F的位置是突破点，构造长方体是关键，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.函数的值域为__________．【答案】【解析】【分析】将函数按照自变量的范围分两种情形分析，根据一次函数的单调性可以求得函数在上的值域为，结合指数函数的单调性可以求得在上的值域为，两者取并集求得结果.【详解】因为在上的值域为，在上的值域为，故的值域为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关分段函数的值域的求解问题，注意分段来处理即可，属于简单题目.14.小张要从种水果中任选种赠送给好友，其中芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为________．【答案】【解析】【分析】确定基本事件个数即可求解【详解】由题从种水果中任选种的事件总数为小张送的水果既有热带水果又有温带水果的基本事件总数为小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为故答案为15.若，，则__________．【答案】-1【解析】【分析】根据,利用两角差的正切公式计算即可得结果.【详解】.【点睛】该题考查的是有关角的正切值的求解，涉及到的知识点有两角差的正切公式，属于简单题目.16.已知，分别是双曲线：的左、右顶点，为上一点，则的外接圆的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】由点为上，求m,由外心设外心坐标M(0,t),M在PB的中垂线上求t即可【详解】为上一点,,解得m=1,则B(1,0),∴PB中垂线方程为+2,令x=0,则y=3,设外接圆心M(0,t),则M(0,3),,∴外接圆的标准方程为故答案为【点睛】本题考查圆的标准方程，双曲型方程，熟记外心的基本性质，准确计算是关键，是基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设为等差数列的前项和，已知，.（1）求；（2）设，求数列的前19项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先根据题意，列出关于和方程组，求解之后利用等差数列的求和公式求得结果；（2）求得的通项公式，之后应用裂项相消法求和得结果.【详解】（1）∵，∴，∴.（2）设，则，故.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的通项公式和求和公式，以及裂项相消法求和，属于中档题目.18.如图，在三棱柱中，平面，为边上一点，，.（1）证明：平面平面.（2）若，试问：是否与平面平行？若平行，求三棱锥的体积；若不平行，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）两者平行，且.【解析】【分析】（1）利用平面，证得平面，得到，利用余弦定理证得，由此证得平面，从而证得平面平面.（2）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得,同理证得,所以平面平面，由此证得平面.利用求得三棱锥的体积.【详解】(1)证明：因为AA1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，因为，所以AD⊥BB1．在△ABD中，由余弦定理可得，，则，所以AD⊥BC，又，所以AD⊥平面BB1C1C，因为，所以平面ADB1⊥平面BB1C1C．(2)解：A1C与平面ADB1平行．证明如下：取B1C1的中点E，连接DE，CE，A1E，因为BD＝CD，所以DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形ADEA1为平行四边形，则A1E∥AD．同理可证CE∥B1D．因为，所以平面ADB1∥平面A1CE，又，所以A1C∥平面ADB1．因为AA1∥BB1，所以，又，且易证BD⊥平面AA1D，所以．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，属于中档题.19.某小学举办“父母养育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为1，2…，6）的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计，绘制得到下面的散点图．（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年级代码为7）给父母洗脚的百分比．附注：参考数据：参考公式：相关系数，若r＞0.95，则y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系．回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为＝，．【答案】（1）详见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）计算得，代入计算公式求值即可判断与的线性相关程度；（2）由公式计算求带入回归直线求得进而求得回归方程，将x=7代入直线，即可确定百分比【详解】（1）因为所以，所以，因为所以，所以由于与的相关系数约为，说明与的线性相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系.(2)因为，所以所以回归方程为将，代入回归方程可得，所以预计该校学生升入中学的第一年给父母洗脚的百分比为.【点睛】本题考查相关系数r,回归直线方程，熟练运用公式计算是关键，是基础题20.已知是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去，根据韦达定理求解出，从而可得中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.【详解】（1）是抛物线上一点根据题意可得：，，，，依次成等比数列（2）由，消可得，设的中点，线段的垂直平分线的斜率为故其直线方程为当时，【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.21.已知函数.讨论的单调性.若，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】讨论当，时导数符号变化情况求得单调性由的讨论知：时，,解；时，<0,解符合；当时，，构造函数，，求导判单调性解a的不等式；时，,解a范围，则问题得解【详解】（1）当时，，；，.所以上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.当时，对恒成立，所以在上单调递增.当时，，；，.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）①当时，由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，所以，解得②当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增.当时，在上单调递增.所以对恒成立，则符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增.所以.设函数，，易得知时，所以，故对恒成立，即符合题意.当时，在上单调递减.所以对恒成立，则符合题意.综上所述：的取值范围为.【点睛】本题考查函数与导数的综合问题，导数与函数单调性与最值，不等式有解问题，分类讨论思想，明确分类标准，不重不漏是关键，是中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）若与相交于两点，，求；（2）圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径．【答案】（1）6；（2）13.【解析】【分析】（1）将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，利用求解得到结果；（2）写出的普通方程并假设圆的直角坐标方程，利用弦长为建立与的关系，再结合圆心到直线距离公式得到方程，解方程求得，即为圆的半径.【详解】（1）由，得将代入，得设两点对应的参数分别为，则故（2）直线的普通方程为设圆的方程为圆心到直线的距离为因为，所以解得：或（舍）则圆的半径为【点睛】本题考查直线参数方程中参数的几何意义、极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程.解决直线参数方程问题中距离之和或积的关键，是明确直线参数方程标准形式中的参数的几何意义，将距离问题转化为韦达定理的形式.23.设函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（2）零点分段分情况证明再由绝对值不等式证明即可【详解】（1）∵，∴，即，当时，显然不合；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）证明：当时，；当时，，则；当时，，则.∵，∴.∵，∴.故.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，证明不等式，熟练运算是关键，是中档题2019届高三数学第三次联考试题文（含解析）一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列格式的运算结果为实数的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】利用复数运算化简每个选项即可求解【详解】对A,对B,对C,对D,故选D【点睛】本题考查复数的运算，熟记运算法则是关键，是基础题2.设集合，，则集合可以为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合A,再依次验证选项即可.【详解】因为，可以依次验证选项，得到当时，.故答案为D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题目.3.在平行四边形中，,,则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】先求,再求,即可求D坐标【详解】，∴，则D(6,1)【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题4.若函数，则（）A. 2B. 4C. -2D. -4【答案】A【解析】【分析】，可得，结合，从而求得结果.【详解】∵，∴，∵，∴，故选A.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用.5.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：由此表估计这100名小学生身高的中位数为（）（结果保留4位有效数字）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.6.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e=.故选B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.7.设满足约束条件则的最大值为（）A. 7B. 5C. 0D.【答案】A【解析】【分析】作出约束条件对应的可行域，利用线性规划的知识，通过平移即可求得的最大值.【详解】如图，作出约束条件表示的可行域，由图可知，当直线经过点时，取得最大值7，故选A.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，注意目标函数的形式，属于简单题目.8.在中，为边上一点，若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先在三角形中用余弦定理计算出的值，然后在三角形中用余弦定理求得的长.【详解】在三角形中，由余弦定理得.在三角形中，由余弦定理得.故选B.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理计算角的余弦值和边长，属于基础题.9.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A. 32B. 40C.D.【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题10.若直线与曲线相切，则（）A. 3B.C. 2D.【答案】A【解析】设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【详解】设切点为，∵，∴由①得，代入②得，则，，故选A.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.11.已知函数，则下列判断错误的是（）A. 为偶函数B. 的图像关于直线对称C. 值域为D. 的图像关于点对称【答案】D【解析】【分析】化简f（x）＝1+2cos4x后，根据函数的性质可得．【详解】f（x）＝1+cos（4x）sin（4x）＝1+2sin（4x）＝1+2cos4x，f（x）为偶函数，A正确；4x得当k=1时，B正确；因为2cos4x的值域为，C正确；故D错误．【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题12.在棱长为的正方体中，为棱上一点，且到直线与的距离相等，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，先确定F的位置，由互相垂直，构造以为棱的长方体，求其外接球半径即可求得球的表面积【详解】过做面B,∴面NF,∴FN为到直线的距离，则,设解得x=,互相垂直, 以为棱的长方体球心即为O，则球的表面积为4故选D【点睛】本题考查椎体的外接球，明确点F的位置是突破点，构造长方体是关键，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.函数的值域为__________．【答案】【解析】【分析】将函数按照自变量的范围分两种情形分析，根据一次函数的单调性可以求得函数在上的值域为，结合指数函数的单调性可以求得在上的值域为，两者取并集求得结果.【详解】因为在上的值域为，在上的值域为，故的值域为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关分段函数的值域的求解问题，注意分段来处理即可，属于简单题目.14.小张要从种水果中任选种赠送给好友，其中芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为________．【答案】【解析】【分析】确定基本事件个数即可求解【详解】由题从种水果中任选种的事件总数为小张送的水果既有热带水果又有温带水果的基本事件总数为小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为故答案为15.若，，则__________．【答案】-1【解析】【分析】根据,利用两角差的正切公式计算即可得结果.【详解】.【点睛】该题考查的是有关角的正切值的求解，涉及到的知识点有两角差的正切公式，属于简单题目.16.已知，分别是双曲线：的左、右顶点，为上一点，则的外接圆的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】由点为上，求m,由外心设外心坐标M(0,t),M在PB的中垂线上求t即可【详解】为上一点,,解得m=1,则B(1,0),∴PB中垂线方程为+2,令x=0,则y=3,设外接圆心M(0,t),则M(0,3),,∴外接圆的标准方程为故答案为【点睛】本题考查圆的标准方程，双曲型方程，熟记外心的基本性质，准确计算是关键，是基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设为等差数列的前项和，已知，.（1）求；（2）设，求数列的前19项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先根据题意，列出关于和方程组，求解之后利用等差数列的求和公式求得结果；（2）求得的通项公式，之后应用裂项相消法求和得结果.【详解】（1）∵，∴，∴.（2）设，则，故.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的通项公式和求和公式，以及裂项相消法求和，属于中档题目.18.如图，在三棱柱中，平面，为边上一点，，.（1）证明：平面平面.（2）若，试问：是否与平面平行？若平行，求三棱锥的体积；若不平行，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）两者平行，且.【解析】【分析】（1）利用平面，证得平面，得到，利用余弦定理证得，由此证得平面，从而证得平面平面.（2）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得,同理证得,所以平面平面，由此证得平面.利用求得三棱锥的体积.【详解】(1)证明：因为AA1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，因为，所以AD⊥BB1．在△ABD中，由余弦定理可得，，则，所以AD⊥BC，又，所以AD⊥平面BB1C1C，因为，所以平面ADB1⊥平面BB1C1C．(2)解：A1C与平面ADB1平行．证明如下：取B1C1的中点E，连接DE，CE，A1E，因为BD＝CD，所以DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形ADEA1为平行四边形，则A1E∥AD．同理可证CE∥B1D．因为，所以平面ADB1∥平面A1CE，又，所以A1C∥平面ADB1．因为AA1∥BB1，所以，又，且易证BD⊥平面AA1D，所以．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，属于中档题.19.某小学举办“父母养育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为1，2…，6）的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计，绘制得到下面的散点图．（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年级代码为7）给父母洗脚的百分比．附注：参考数据：参考公式：相关系数，若r＞0.95，则y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系．回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为＝，．【答案】（1）详见解析；（2）见解析.【解析】（1）计算得，代入计算公式求值即可判断与的线性相关程度；（2）由公式计算求带入回归直线求得进而求得回归方程，将x=7代入直线，即可确定百分比【详解】（1）因为所以，所以，因为所以，所以由于与的相关系数约为，说明与的线性相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系.(2)因为，所以所以回归方程为将，代入回归方程可得，所以预计该校学生升入中学的第一年给父母洗脚的百分比为.【点睛】本题考查相关系数r,回归直线方程，熟练运用公式计算是关键，是基础题20.已知是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去，根据韦达定理求解出，从而可得中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.【详解】（1）是抛物线上一点根据题意可得：，，，，依次成等比数列（2）由，消可得，设的中点，线段的垂直平分线的斜率为故其直线方程为当时，【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.21.已知函数.讨论的单调性.若，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】讨论当，时导数符号变化情况求得单调性由的讨论知：时，,解；时，<0,解符合；当时，，构造函数，，求导判单调性解a的不等式；时，,解a 范围，则问题得解【详解】（1）当时，，；，.所以上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.当时，对恒成立，所以在上单调递增.当时，，；，.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）①当时，由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，所以，解得②当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增.当时，在上单调递增.所以对恒成立，则符合题意；。
[精品]2019届高三数学下学期测试(三模)试题 理(含解析)
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2019高三年级测试（三模）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先化简集合M和N,再求.详解：由题得所以.由题得所以.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求，由于集合中含有k,所以要给k赋值，再求.2. 已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2)复数的共轭复数3. 设两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析：利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项A, 若，则或，所以选项A是假命题.对于选项B, 若，则或a与相交.所以选项B是假命题.对于选项C, 若，则或与相交.所以选项C是假命题.对于选项D, 若，则,是真命题.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定理的掌握能力和空间想象能力.（2）对于空间线面位置关系的判断，一般利用举反例和直接证明法.4. 执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案.详解：依次执行程序框图中的程序，可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填n＜4，即n＜k+1．故选C．点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题,直接按照程序运行，一般都可以找到答案.5. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6. 给出下列命题：①已知，“且”是“”的充分不必要条件；②已知平面向量，“”是“”的必要不充分条件；③已知，“”是“”的充分不必要条件；④命题“，使且”的否定为“，都有使且”，其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假得解.详解：对于选项①，由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），则||=1，因此||＞1不成立．反之取，=，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，||＞1，||＞1“是“||＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和平面向量的性质运算，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答真假命题的判断，方法比较灵活，可以利用举例法和直接法,要灵活选择.7. 已知，，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据得到，再求最后求的值.详解：由题得所以，所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.8. 已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：联立得B(1，m-1).=表示动点（x,y）和点D（-1,0）的斜率，可行域中点B和D的斜率最大，所以故选B.9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点与直线的位置关系是（）A. B.C. D. 与的大小无法确定【答案】B【解析】分析：由样本数据可得，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．详解：由题意，（15+16+18+19+22）=18，（102+98+115+115+120）=110，，5=9900，=1650，n=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100.故答案为：B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力.10. 在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设函数y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]时y的取值范围，再根据a∈[﹣2，2]讨论a的取值范围，判断f（x）是否能取得最大值3，从而求出对应的概率值．详解：在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.则所求的概率为P=．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过函数在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1].11. 设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据已知求出，再代入求出双曲线的离心率.详解：由题得双曲线的渐近线方程为，设F(c,0)，则因为，所以.所以解之得因为，所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是根据求出.12. 已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.详解:因为函数,所以,当a≤0时，所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，时，，函数f(x)单调递增，时，，函数f(x)单调递减.所以因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，∴，即.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的图像与直线以及轴所围成的图形的面积为，则的展开式中的常数项为______________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：求定积分可得a值，然后求出二项式的通项，得到的展开式中含x及的项，分别与中的项相乘求得答案．详解：由题意，a=∴=（x﹣）（2x﹣）5．展开式的常数项由（2x﹣）5 中含x的项乘以﹣再加上含的项乘以x得到的．∵（2x﹣）5 展开式的通项Tr+1=（﹣1）r25﹣r•x5﹣2r．令5﹣2r=1，得r=2，因此（2x﹣）5 的展开式中x的系数为（﹣1）2•23•=80．令5﹣2r=﹣1，得r=3，因此（2x﹣）5 的展开式中的系数为（﹣1）3则的展开式中的常数项为80×（﹣2）﹣40=﹣200．故答案为：﹣200．..............................14. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为_______________．【答案】【解析】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥，其中底面为直角三角形．将三棱锥还原为长方体，则长方体的长宽高分别为，则三棱锥外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球半径为，球心为，且球心到上底面的距离为，则球心到下底面的距离为．在如图所示的和中，由勾股定理可得及，解得．所以三棱锥的外接球的表面积为．答案：点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．15. 已知为抛物线的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于两点，为线段的中点，且，则________________．【答案】6【解析】分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用两点的距离公式可得k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．详解：F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，E（﹣1，0）为其准线与x轴的交点，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，中点M（1+，），可得，解得k2=2，则x1+x2=2+=4，由抛物线的定义可得=x1+x2+2=6，故答案为：6点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是利用求出k的值.16. 为等腰直角三角形，是内的一点，且满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先建立直角坐标系，再求点M的轨迹，再求|MB|的最小值.详解：以A为坐标原点建立直角坐标系，由题得C,设M(x,y)，因为，所以，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，且在△ABC内部，所以|MB|的最小值为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是建立直角坐标系，其二是求出点M的轨迹方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，，且满足．（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先化简已知，再用项和公式求出数列的通项.(2)利用错位相减法求数列的前项和为.详解：（1），，，即；当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；所以.（2）当时，，当时，，，点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中，不能合在一起.18. 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组，第二组，第六组，作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望．【答案】（1），；（2）【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先，再求,最后求的数学期望．详解：（1）根据题意，计算平均数为；（2）依题意，；因为所以.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是能利用正态分布的性质计算出，其二是灵活利用二项分布性质简洁地计算出.19. 如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，现以为折痕将正方形折起，且重合，记重合后记为，重合后记为.（1）求证：面面；（2）求面与面所成二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先取中点，连，取中点,连，再证明面，再证明面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，利用向量法求得面与面所成二面角的余弦值为.详解：取中点，连，则.再取中点,连，则，易得，于是，四边形为平行四边形，得,从而，那么面，又面，故面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则,, 设面的法向量,由，得：，取，得，所以面的法向量.同理可得：面的法向量，则，所以面与面所成二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.(2) 二面角的求法一般有两种，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形），方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）20. 已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点．（1）若，问：是否存在恒与直线相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先求出原点到的距离，再证明存在圆与直线恒相切.（2）先求出点C的坐标，再代入得，最后计算的面积.详解：（1）设直线，代入得：设，则；由得：因为,所以化简得：，于是原点到的距离特别地，当轴时，也符合，故存在圆与直线恒相切.（2）设，则代入得，，于是所以.点睛：（1）本题主要考查直线与圆和椭圆的位置关系，考查圆锥曲线的最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据得到，其二是化简.21. 已知函数.（1）若，求函数的最大值；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）【解析】分析：（1）利用导数先求函数的单调性，再求函数的最大值.(2)先转化为在恒成立，再构造函数求，再化简=1，即得解.详解:（1）在上单调递增，在上单调递减，的最大值为（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，令令所以在单调递增，，，所以存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增..，即构造函数，易证在单调递增，所以，则，将这两个式子代入，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是化简.22. 在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线的倾斜角（）（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，与曲线的交点分别为，求的值.【答案】（1）；（2）3【解析】分析：（1）利用消参求曲线的普通方程，利用极坐标公式求直线的直角坐标方程.(2)利用参数方程参数的几何意义和韦达定理求的值.详解：（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（2）直线与轴的交点为，直线的参数方程可设为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程，得，.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.23. 已知函数，其中为正实数．（1）若，求不等式的解集；（2）若的最小值为，问是否存在正实数，使得不等式能成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式求解.详解：（1）不等式等价于或或解得：，所以不等式的解集是.（2）存在正实数.上式等号成立的等价条件为当且仅当，即，所以存在，使得不等式成立.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 求绝对值的最值直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.。
上海市2019届高三数学下册3月联考试题
2018-2019学年第二学期高三教学调研数 学 试 卷（文）(2018.03)考试七校：北虹，上理工附中，同二，光明，六十，卢高，东昌中学 考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。
2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 方程1421x x +=-的解是 ．2. 行列式143309212 － －中元素3的代数余子式的值为 ． 3. 在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数是 ．4. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数m ＝ ．5. 若22()log (2)(0)f x x x =+≥，则它的反函数是=-)(1x f．6. 若抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲焦点重合，则p 的值为 ．7. 若数列1(n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数）（为偶数），则123499100a a a a a a ++++++= ．8. 若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈⎧=⎨∉⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ． 9. 执行下面的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．10. 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12nn S ⎛⎫= ⎪⎝⎭－1，则1321lim()n n a a a -→+∞++⋅⋅⋅+＝ ．11. 若边长为6的等边三角形ABC ，M 是其外接圆上任一点，则AB OM ⋅的最大值为 ．12. 从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是 ．（用数值表示结果）13. 在北纬60°圈上有A 、B 两地，它们在此纬度圈上的弧长等于2Rπ（R 是地球的半径），则A ，B 两地的球面距离为＿＿＿14、设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ．二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15. 若f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则“f （x ）与g （x ）同是奇函数或偶函数”是f （x ）·g （x ）是偶函数“的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件16、设a b 、均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （ ）17. 数列}{n a 满足231=a ，121+-=+n n n a a a ，则201621111a a a T +++= 的整数部分是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）318. 在直角坐标系中，如果不同的两点(,)(,)A a b B a b --、都在函数()y f x =的图像上，那么称[,]A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[,]A B 与[,]B A 看作同一组），函数2sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19.（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-， （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 最小正周期及单调递增区间．20.（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．设在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，90=∠BAC ，F 、E 分别为BC 、C C 1的中点．（1）求异面直线EF 、B A 1所成角θ的大小； （2）求点1B 到平面AEF 的距离．21．（本题满分16分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题6分．已知函数11()()(0),f x a x x x a R x x=+-->∈． （1）若12a =，求()y f x =的单调区间；（2）若关于x 的方程()f x t =有四个不同的解1234,,,x x x x ，求实数,a t 应满足的条件；22.（本题满分14分）第1小题4分，第2小题10分．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，且过点(01)B ，. （1）求椭圆的标准方程；（2）直线:(2)l y k x =+交椭圆于,P Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围．23.（本题满分18分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题8设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈ （1）求321,,a a a ，归纳数列{}n a 的通项公式（不必证明）．（2）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为)(1a ，),(32a a ，),,(654a a a ，),,,(10987a a a a ；)(11a ，),(1312a a ，),,(161514a a a ，),,,(20191817a a a a ；)(21a ，…， 分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求1005b b +的值．E A BCF（3）设n A 为数列的前n 项积，且n C A ={}n C 的最大项．2018年高三数学（文科卷）参考答案及评分标准一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每小题4分．1、=0x2、53、154、125(1)x ≥ 6、4 7、50008、 [0,1]{2}9、4 10、23- 11、 12、41113、3Rπ 14、(1)2n n π- 二、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分．15、 A 16、 D 17、 B 18、 B三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．解：（1）因为0,sin 2παα<<=，所以cos α.（2分） 得1()2f α=. （6分）（2）因为2111cos21()sin cos cos sin 2222224x f x x x x x x π+⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭，（8分）所以T π=. （10分）由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.（12分）20、（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．21、（本题满分16分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题6分．解：（1）310111122()()32122x x xf x x x xx x x x ⎧-<≤⎪⎪=+--=⎨⎪-≥⎪⎩当时当时（2分）(0,1)(1,)+∞单调递增，单调递减,最大值为(1)=1f（4分）（2）当1a ≤时，()f x 在(0,1)(1,)+∞单调递增，单调递减,不符合题意（6分）当1a >时，()f x在⎛⎝单调递减，1⎤⎥⎥⎦单调递增；在⎡⎢⎢⎣单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭单调递增； （8分）(1)2f f f a ===，所以实数,a t应满足的条件为，2,1t a a <>（10分）22、（本题满分14分）第1小题4分，第2小题10分．解：（1）由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧===312c b a ， 椭圆的标准方程为：2214x y +=. （4分）（2）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222(14)16(164)0(*)k x k x k +++-=， （6分）依题意：直线:(2)l y k x =+恒过点(2,0)-，此点为椭圆的左顶点，所以112,0x y =-=① ，由（*）式，21221614k x x k +=-+②，得1212()4y y k xx k +=++ ③ ，由①②③，22222284,1414k kx y k k -==++（8分），由点B 在以PQ 为直径圆内，得PBQ ∠为钝角或平角，即0BP BQ ⋅<.（10分）22(2,1),(,1)BP BQ x y =-=-∴22210BP BQ x y ⋅=--+<.即2224164101414k kk k -+->++（12分）整理得220430k k --<，解得31,102k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（14分） 23、（本题满分18分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题8（2）因为n a n 2=，所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. （6分）每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.（8分）注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以198880*2468100=+=b ．又225=b ，所以20101005=+b b .（10分）。
2019届高三第三次调研测试数学试题
2019届高三下学期第三次调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置．．．．．．．上．1．已知复数z ＝2i 1－i－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ▲ ．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．4．右图是一个算法流程图，则输出k 的值 是 ▲ ．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次 训练成绩（单位：环）的茎叶图，则 成绩较为稳定（方差较小）的运动员 是 ▲ ．6．在△ABC 中， ∠ABC ＝120︒，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则→BD ·→BE 的值为 ▲ ．7.在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 8.已知函数a x x y +-=22的定义域为R ，值域为),0[+∞，则实数a 的取值集合为▲ ．9.若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:xC y e =在1x =处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．10.已知矩形ABCD 的边4,3AB BC ==，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D-ABC 的体积为 ▲ ．甲 乙8 9 7 8 9 3 10 6 97 8 9 （第5题图）（第4题图）11．若将函数f (x )＝∣sin(ωx －π6)∣(ω＞0)的图象向左平移π9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数 ，则实数ω的最小值是 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(3)2C x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的取值范围是 ▲ ． 13．已知,,0a b a ∈≠R ，曲线2,21a y y ax b x+==++，若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为 ▲14. 若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二．解答题15.在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知31sin ,tan()42A AB =-=- (1) 求tan B 的值； (2) 若5b =，求c 。
上海市育才中学高三三模数学学科考试试卷（含答案）（2019.05）
上海市育才中学⾼三三模数学学科考试试卷（含答案）（2019.05）育才中学⾼三模拟考数学试卷2019.05⼀. 填空题1. 不等式11x<的解集为 2. 已知直线l 垂直于平⾯直⾓坐标系中的y 轴，则l 的倾斜⾓为3. 函数2()log (1)1f x x =-+的反函数是4. 若⾓α的终边经过点(2,2)P -，则arctan(tan )α的值为5. ⽅程1111900193x x=-的解为 6. 由参数⽅程2csc (3cot x y θθθ=??=?为参数，,)n n Z θπ≠∈所表⽰的曲线的右焦点坐标为7. 平⾯直⾓坐标系xOy 内有点(2,1)A ，(2,2)B ，(0,2)C ，(0,1)D ，将四边形ABCD 绕直线1y =旋转⼀周，所得到⼏何体的体积为8. 某同学从复旦、交⼤、同济、上财、上外、浙⼤六所⼤学中选择三所学校综招报名，则交⼤和浙⼤不同时被选中的概率为9. 已知0a >且1a ≠，设函数2,3()2log ,3a x x f x x x -≤?=?+>?的最⼤值为1，则实数a 的取值范围是10. 对于给定的复数0z ，若满⾜0|2i |||4z z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则||0z 的取值范围是11. 等差数列{}n a 中，112019a =，1m a n =，1n a m=（m n ≠），则数列{}n a 的公差为 12. 已知平⾯直⾓坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，O 为原点，有122112AOB S a b a b ?=-.设11(,)M x y 、22(,)N x y 、33(,)P x y 是平⾯曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最⼤值为⼆. 选择题13. 已知⾮空集合A 、B 满⾜A ≠?B ，给出以下四个命题：①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件②若x ?A ，则x B ∈是不可能事件③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件④若x ?B ，则x ?A 是必然事件其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 414. 设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 满⾜：11b a =，223b a a =+，3456b a a a =++，L ，若31lim2n n b n →∞=，则数列{}n a 的公差d 为（） A.12B. 1C. 2D. 4 15. 正⽅体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图），⽤过点B 、E 、1D 的平⾯截去该正⽅体的上半部分，则剩余⼏何体的左视图为（）A. B. C. D.16. 如图所⽰，向量BC uuu r 的模是向量AB u u u r 的模的t 倍，AB u u u r 与BC uuur 的夹⾓为θ，那么我们称向量AB u u u r经过⼀次(,)t θ变换得到向量BC uuu r . 在直⾓坐标平⾯内，设起始向量1(4,0)OA =u u u r ，向量1OA uuu r 经过1n -次12(,)23π变换得到的向量为1n n A A -u u u u u u r (,1)n n ∈>*N ，其中i A 、1i A +、2i A +()i ∈*N 为逆时针排列，记i A 坐标为(,)i i a b ()i ∈*N ，则下列命题中不正确．．．的是（） A. 23b = B. 3130k k b b +-=()k ∈*N C. 31310k k a a +--=()k ∈*N D. 4318()()0k k k k a a a a +++-+-=()k ∈*N三. 解答题17. 已知圆柱的底⾯半径为r ，上底⾯圆⼼为O ，正六边形ABCDEF 内接于下底⾯圆1O ，OA 与母线所成⾓为30?.（1）试⽤r 表⽰圆柱的表⾯积S ；（2）若圆柱体积为9π，求点C 到平⾯OEF 的距离.18. 若函数2()()sin()cos()f x x x x ωωω=-(0)ω>的图像的最⾼点都在直线 y m =(0)m >上，并且任意相邻两个最⾼点之间的距离为π.（1）求ω和m 的值；（2）在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边，若点(,0)2A是函数()f x 图像的⼀个对称中⼼，且1a =，求ABC ?外接圆的⾯积.19. 已知函数()x x f x a k b =+?，其中k ∈R ，0>a 且1≠a ，0>b 且1≠b . （1）若1=ab ，试判断()f x 的奇偶性；（2）若2=a ，12b =，16k =，证明()f x 的图像是轴对称图形，并求出对称轴.20. 已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满⾜：0MA MB ?=u u u r u u u r.（1）求曲线C 的轨迹⽅程；（2）证明直线AB 恒经过⼀定点，并求此定点的坐标；（3）求ABM △⾯积S 的最⼤值.21. 已知⽆穷数列{}()n n a a ∈Z 的前n 项和为n S ，记1S ，2S ，…，n S 中奇数的个数为n b . （1）若n a n =，请写出数列{}n b 的前5项；（2）求证：“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =L 为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件；（3）若i i a b =，1,2,3,i =L ，求数列{}n a 的通项公式.参考答案⼀. 填空题1.()(),01,-∞?+∞2. 03.121()x y x R -=+∈4. 4π- 5. 2x =6.)7. 2π 8.459. 1[,1)3 10. [)06，11. 1201912. 20⼆. 选择题13. C 14. B 15. D 16. D三. 解答题 17．解:（1）h =,---2分()22S r π=---4分（2）39,3V r r h π==∴==Q ---6分C OEF O CEF V V --∴=, 1133OEF CEF d S h S ??∴?=?, ---10分354d ∴==---14分18．【解】：（1）2()()sin()cos()sin(2)3f x x x x x π=ω-ωω=-ω-……(3分) 由题意知，函数()f x 的周期为π，且最⼤值为m ，所以1,1m ω==. ……(3分) （2）(,0)2A 是函数()f x 图像的⼀个对称中⼼，所以sin()03A π-=，⼜因A 为ABC ?的内⾓，所以3A π=，……(3分) 在ABC ?中，设外接圆半径为R，由12sin sin 3a R A ===π得R = ……(3分) 所以ABC ?的外接圆的⾯积23S R π=π=……(2分)19．解：（1）由已知，ab 1=，于是()x x f x a k a -=+?，则()x xf x a k a --=+?，若()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，即x x x x a k a a k a ?+=?+--，所以0))(1(=---xx a a k 对任意实数x 恒成⽴，所以1=k ．若)(x f 是奇函数，则)()(x f x f -=-，即)(x x x xa k a a k a--?+-=?+，所以0))(1(=++-xx a a k 对任意实数x 恒成⽴，所以1-=k ．综上，当1=k 时，)(x f 是偶函数；当1-=k 时，)(x f 奇函数，当1±≠k ，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数．（2）()2162x xf x -=+?，若函数)(x f 的图像是轴对称图形，且对称轴是直线m x =，即对任意实数x ，)()(x m f x m f +=-恒成⽴，()()21622162m x m x m x m x ---+-++?=+?，化简得(22)(2162)0x x m m ----?=，因为上式对任意R x ∈成⽴，所以21620m m --?=，24m =，2m = ．所以，函数)(x f 的图像是轴对称图形，其对称轴是直线2x =．20．[解]设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的⽅程是：2214x y +=．（2）证法⼀：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联⽴⽅程组：14x y y kx m ?+==+?①②，把②代⼊①有：222(14)8440k x kmx m +++-= 122814kmx x k -+=+③，21224414m x x k -?=+④，因为0MA MB ?=u u u r u u u r，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ?++-+-=， 221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +?+-++-=，把③④代⼊整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），当AB 的斜率不存在时，易知满⾜条件0MA MB ?=u u u r u u u r的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -，综上，直线AB 恒过定点3(0,)5N -．（3）ABM △⾯积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -由第(2)⼩题的③④代⼊，整理得：3225S = 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设2t =≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ，Q 92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最⼤值)．所以ABM △⾯积S 的最⼤值为642521．（1）解：1=1b ，2=2b ，3=2b ，4=2b ，5=3b ．（2）证明：（充分性）因为1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =L 为偶数，所以，对于任意*i ∈N ，i S 都为奇数．所以n b n =．所以数列{}n b 是单调递增数列．（不必要性）当数列{}n a 中只有2a 是奇数，其余项都是偶数时，1S 为偶数，(2,3,4,)i S i =L 均为奇数，所以1n b n =-，数列{}n b 是单调递增数列．所以“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =L 为偶数”不是“数列{}n b 是单调递增数列”的必要条件；综上所述，“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =L 为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列” 的充分不必要条件．（3）解：（ⅰ）当k a 为奇数时，如果k S 为偶数，若1k a +为奇数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为偶数，与11k k a b ++=⽭盾；若1k a +为偶数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为奇数，与11k k a b ++=⽭盾．所以当k a 为奇数时，k S 不能为偶数．（ⅱ）当k a 为偶数时，如果k S 为奇数，若1k a +为奇数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为偶数，与11k k a b ++=⽭盾；若1k a +为偶数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为奇数，与11k k a b ++=⽭盾．所以当k a 为偶数时，k S 不能为奇数．综上可得k a 与k S 同奇偶．所以n n S a -为偶数．因为11n n n S S a ++=-为偶数，所以n a 为偶数．因为111a b S ==为偶数，且101b ≤≤，所以110b a ==．因为22111a b b =≤+=，且20b ≥，所以220b a ==．以此类推，可得0n a =．。
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，解得
1 3
a
1
，
因此，实数
a
的取值范围是
1 3
,1
，故答案为：
1 3
,1
.
【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段
-5-
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函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二. 选择题
13.已知非空集合
A、B
满足
A
B
，给出以下四个命题：
①若任取 x A ,则 x B 是必然事件
②若 x A ,则 x B 是不可能事件
③若任取 x B ,则 x A 是随机事件
④若 x B ,则 x A 是必然事件
其中正确的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
.
1 9x 3x
【答案】2
【解析】
【分析】
根据求行列式的方法化简得 3x 2 8 3x 9 0 ，这是一个关于 3x 的二次方程，将 3x 看成整
体进行求解即可.
-2-
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11 【详解】方程 1 9
【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于 基础题.
4.若角 的终边经过点 P(2, 2) ，则 arctan(tan ) 的值为________ 【答案】 .
4
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出 tan 的值，然后利用反三角函数的定义得出 arctan tan 的值.
y
3
cot
，得
x 2 y 3
csc cot
，所以，
x2 y2 csc2 cot2 1， 49
即曲线的普通方程为 x2 y2 1，该曲线为双曲线，其右焦点坐标为 13, 0 ， 49
故答案为： 13, 0 .
【点睛】本题考查曲线焦点坐标的求解，考查参数方程与普通方程之间的转化，解参数方程 问题，通常将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状并进行求解，考查计算能力，
， O 为原点，有 SAOB
1 2
a1b2
a2b1
.设
M (x1, y1) 、 N (x2 , y2 ) 、 P(x3, y3) 是平面曲线 x2 y2 2x 4 y 上任意三点，则
T x1 y2 x2 y1 x2 y3 x3 y2 的最大值为________
【答案】20.
【解析】
【分析】
n
1 2019
m 1 mn
1 n
1
，
mn
1 mn
1 2019
，即数列an 的公差为
1 2019
，故答案为：
1 2019
.
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，对于等差数列基本量的计算，通常利用首项和公
差建立方程组求解，考查计算能力，属于中等题.
12.已知平面直角坐标系中两点
A(a1, a2 ) 、 B(b1,b2 )
C41 C63
1
，
5
由对立事件的概率知，事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为 1
1
4
4
，故答案为：
.
55
5
【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率，在求解事件的概率时，若分类
讨论比较比较繁琐，可考虑利用对立事件的概率来进行计算，考查运算求解能力，属于中等
题.
9.已知 a
0且
a
1，设函数
【详解】由三角函数的定义可得 tan 2 1 ，arctan tan arctan 1 ，
2
4
故答案为： . 4
【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数
的定义求出 tan 的值，考查计算能力，属于基础题.
11 1
5.方程 1 9 0 0 的解为
x 2 csc
6.由参数方程
y
3 cot
(
为参数，
n ,n Z ) 所表示的曲线的右焦点坐标为________
【答案】 13, 0 .
【解析】 【分析】 将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状，然后求出曲线的右焦点坐标.
【详解】
Q csc2 1 cot2
，由
x 2 csc
【解析】
【分析】
由集合的包含关系可得 A 中的任何一个元素都是 B 中的元素，B 中至少有一个元素不在 A 中，
结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数
【详解】非空集合 A 、 B 满足 A Ö B ，可得 A 中的任何一个元素都是 B 中的元素， B 中至少
有一个元素不在 A 中，①若任取 x A ，则 x B 是必然事件，故①正确；②若 x A ，则 x B 是可能事件，故②不正确；③若任取 x B ，则 x A 是随机事件，故③正确；④若 x B ， 则 x A 是必然事件，故④正确．其中正确的个数为 3，故选 C.
11.等差数列{an} 中，a1
1 2019
，am
1 n
，则数列{an} 的公差为________
-6-
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1
【答案】
.
2019
【解析】
【分析】
设等差数列an 的公差为 d
-3-
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7.平面直角坐标系 xOy 内有点 A(2,1) ，B(2, 2) ，C(0, 2) ，D(0,1) ，将四边形 ABCD 绕直线 y 1旋转一周，所得到几何体的体积为________ 【答案】 2 .
1 9x
1 0 0， 3x
等价于 9 3x 9x 9 3x 0 ，
即 3x 2 8 3x 9 0 ， 化为 3x 13x 9 0
3x 9 或 3x 1 （舍去）， x 2 ，故答案为 2.
【点睛】本题主要考查行列式化简方法以及简单的指数方程，意在考查综合应用所学知识解 答问题的能力，属于基础题.
10.对于给定的复数 z0 ，若满足 | z 2i | | z z0 | 4 的复数 z 对应的点的轨迹是椭圆，则 z0
的取值范围是________
【答案】 0，6 .
【解析】 【分析】
利用椭圆的定义，判断出 z0 在复平面对应的点的轨迹方程，作出图形，结合图形得出 z0 的取
值范围.
【详解】由于满足条件 z 2i z z0 4 的复数 z 对应的点的轨迹是椭圆，
，由 d
am an mn
am a1 m 1
，可计算出 mn 的值，由此可得出数
列an 的公差.
【详解】设等差数列an 的公差为 d
，则 d
am
an
1 n
1 m
mn mn
1
，
m n m n m n mn
又d
am a1 m 1
1 n
1 2019
m 1
，
1 n
1 2019
m 1
1 mn
1
，则
则 z0 2i 4 ，即复数 z0 在复平面内对应的点到点 0, 2 的距离小于 4 ， 所以，复数 z0 在复平面内对应的点的轨迹是以点 0, 2 为圆心，半径长为 4 的圆的内部，
Q z0 的取值范围是0, 6 ，故答案为：0, 6 .
【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点的轨迹方程，结合椭圆的定义加以理 解，考查数形结合思想，属于中等题.
【解析】
【详解】由 1 1，可得 1 x ＜0
x
x
即 x x-1＞0
所以不等式 1 1的解为 x 0 或 x 1 x
2.已知直线 l 垂直于平面直角坐标系中的 y 轴，则 l 的倾斜角为________
【答案】0. 【解析】 【分析】
根据直线 l 垂直于 y 轴，可得出直线 l 的倾斜角. 【详解】由于直线 l 垂直于平面直角坐标系中的 y 轴，所以，直线 l 的倾斜角为 0 ，故答案为：
【点睛】本题考查旋转体体积的计算，考查圆柱体积的计算，解题的关键要确定旋转后所得 几何体的形状，考查空间想象能力，属于中等题.
8.某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则交 大和浙大不同时被选中的概率为________
4
【答案】 .
5
【解析】 【分析】 先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙
5， T x1 y2 x2 y1 x2 y3 x3 y2 x1 y2 x2 y1 x2 y3 x3 y2 2SOMN 2SOPN
-7-
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2S四边形OMNP ，
由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，
所以，当四边形 OMNP 为正方形时， T 取最大值，此时正方形的边长为 5 2 10 ，
2
所以，T 2 10 20 ，故答案为： 20 .
【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题 中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积 最大这一结论的应用.