复杂盈亏问题课件典型例题

第四讲复杂盈亏问题

【专题知识点概述】

盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．

【授课批注】

本节与实际生活练习较为紧密，生活中经常遇到此类问题，学生较感兴趣。合理提炼分配的总量和份数，能够在多个条件下，统一关系，对于盈亏问题的变型，更是学生需要注意的，是对学生能力的考察，对学生来说是一个挑战。

解盈亏问题的公式：

（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：

（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（2）两次都有余（盈），可用公式：

（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（3）两次都不够（亏），可用公式：

（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：

亏÷（两次每人分配数的差）=人数。

（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：

盈÷（两次每人分配数的差）=人数。

【授课批注】

注意总量与份数是恒定不变的，能够将多个条件统一到统一条件关系下，利用画图表解题。

【重点难点解析】

1．理解掌握并运用直接计算型盈亏问题；

2．理解掌握条件转换型盈亏问题；

3．理解掌握关系互换型盈亏问题．

【竞赛考点挖掘】

1.条件转换

2.关系互换

【习题精讲】

【例1】（难度等级※）

实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多

坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？

【分析与解】

每辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为：

（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.

学生人数为：

60×（16-1）+15=60×15+15

=900+15=915（人）.

答：一共有16辆车，915名学生.

【例2】（难度等级※）

小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人.如果小胖和小妹二人每人分4个，其余每人分2个，还多出4个，如果小胖1人分6个，其余每人分4个，又差12个.问小胖家有多

少人？这筐梨子有多少个？

【分析与解】

第一次分法是小胖、小妹各4个，其余每人2个，多余4个.假设小胖、小妹也分2个，那么会多多少个梨呢？很容易想，那就会多出：2×2+4=8（个）.

第二次分法是小胖一人得6个，其余每人4个，差12个，假如小胖也只分4个呢，那么就只差：12-2=10（个）.

这样一想，就变成和前面讲的例子一样了.

解小胖家的人数为：

［2×2+4+（12-2）］÷2=（8+10）÷2=9（人）.

梨子数为：

4×2+2×（9-2）+4=8+14+4=26（个），

或者6+4×（9-1）-12=6+32-12=26（个）.

答：小胖家有9人，这筐梨有26个.

【例3】（难度等级※）

用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳

子长度和井深.

【分析与解】

井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.

绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者（22-4）×3=18×3=54（米）.

【例4】（难度等级※※）

食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20

千克，则多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？

【分析与解】

这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉18千克差4元，而买猪肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些.每千克贵8角，如果18千克牛肉换成18千克猪肉，就要少花

8×18=144（角）=14元4角.

这样就会多出14元4角-4元=10元4角.

因此问题就可变为：

“小李买猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单价和钱数.”

虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差.

解由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵

8×18=144（角）=14元4角.

因此小李若买18千克猪肉就会多余

14元4角-4元=10元4角.

由已知小李买20干克猪肉多余2元，所以猪肉每千克价格为

（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元2角.

所以牛肉每千克价格为：

4元2角+8角=5元.

小李带的钱为：×20+2=86（元）.

【例5】（难度等级※※）

王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹

果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？

【分析与解】

因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.

苹果个数为13×7-5=86（个）.

桔子数为13×3+4=43（个）.

答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.

【例6】（难度等级※※※）

甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封

信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信

纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？

【分析与解】

由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)张信纸，两次分配的差为(3－2)张信纸，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(个)，有信纸2×50＋20＝120(张)．

【例7】（难度等级※※※）

幼儿园把一袋糖果分给小朋友．如果分给大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分

给小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 个小朋友，这袋糖果共

有多少粒？

【分析与解】

如果大班增加2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人5 粒缺16 粒，每人4 粒多4 粒”的盈亏问题．小班有(16＋4)÷(5－4)＝20(人)．这袋糖果有4×20＋4＝84(粒)．

【例8】（难度等级※※※）

实验小学少先队员去植树．如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4

棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完．问有多少少先队员参加植树，一共种多

少树苗？

【分析与解】

这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵．如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6－4）×2＝4（棵）．因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没