二次函数经典解题技巧(最新整理)

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点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动.过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB、OD 于 P、Q 两点，以 PQ 为边
向右作正方形 PQMN.设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为 S（平方单位），点 E 的运动时间为 t（秒）.
（1）求点 C 的坐标.
y ax 2 bx c 只有一个交点；③方程组无解时 l 与 G 没有交点.
（6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴两交点为 A x1，0 ，B x2，0 ，由于 x1 、 x2 是方程
ax 2 bx c 0 的两个根，故
x1
x2
龙文教育学科教师辅导讲义
课题 教学目标
二次函数知识点总汇 介绍一些些能加快速度的计算公式
教学内容
3 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： y ax 2 bx c a x b 2 4ac b2 ，∴顶点是（ b ，4ac b2 ），
2a
4a
2a 4a
对称轴是直线 x b . 2a
9.抛物线 y ax 2 bx c 中， a, b, c 的作用
（1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 2 中的 a 完全一样.
（2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ax 2 bx c 的对称轴是直线
x b ，故：① b 0 时，对称轴为 y 轴；② b 0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；③ b 0 （即 a 、 b 异
点移动速度是 E 点移动速度的 2 倍，以 EF 为一边在 CB 的上方作等边△EFG．设 E 点移动距离为 x（x＞0）.
⑴△EFG 的边长是____（用含有 x 的代数式表示），当 x＝2 时，点 G 的位置在_______；
⑵若△EFG 与梯形 ABCD 重叠部分面积是 y，求
①当 0＜x≤2 时，y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当 0<t<5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式.
（3）求（2）中 S 的最大值.
9
（4）当 t>0 时，直接写出点（4， ）在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围.
2
【参考公式：二次函数 y=ax2+bx+c 图象的顶点坐标为（
b
4ac b2 ,
）.】
2a 4a
解：（1）由题意，得
；若不在此范围内，则需要考虑函数在 x1
x
x2 范围内的
2、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
3、直线斜率：k来自tan y2y1
x2 x1
b为直线在y轴上的截距
4、直线方程：
一般两点斜截距
1，一般 一般 直线方程 ax+by+c=0
2a
a
a
号）时，对称轴在 y 轴右侧.
（3） c 的大小决定抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴交点的位置.
当 x 0 时， y c ，∴抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）：
① c 0 ，抛物线经过原点; ② c 0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c 0 ,与 y 轴交于负半轴.
式方程，简称截距式： x y 1 ab
记牢可大幅提高运算速度
5、设两条直线分别为， l1 ： y k1x b1 l2 ： y k2 x b2
若 l1 // l2 ，则有 l1 // l2 k1 k2 且 b1 b2 。
若 l1 l2 k1 k2 1
6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0)
A 由于在 Rt△NMG 中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝
3
x2－
3 （3x－6）2＝ 7
3 x2 9
3 x9
3 .
48
8
2
2
Ⅱ.当 3≤x≤6 时，如图 2，点 E 在线段 BC 上，点 F 在射线 CH 上，
△EFG 与梯形 ABCD 重叠部分为△ECP， B
∵EC＝6－x,
∴y＝
3
（6－x）2＝
（3）点 P(x,y)到原点的距离等于 x 2 y 2
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数 y k (k 0) 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM PN= x
y x xy 。 y k , xy k, S k 。 x
②当 2＜x≤6 时，y 与 x 之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数 y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
A
D
G
B E→ F→
C
解：⑴ x，D 点
⑵ ①当 0＜x≤2 时，△EFG 在梯形 ABCD 内部，所以 y＝ 3 x2； 4
②分两种情况： Ⅰ.当 2＜x＜3 时，如图 1，点 E、点 F 在线段 BC 上， △EFG 与梯形 ABCD 重叠部分为四边形 EFNM， ∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点（顶点在 x 轴上） 0 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离. （4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是
b a
,
x1
x2
c a
AB x1 x2
x1 x2 2
x1 x2 2 4x1x2
b 2 4c a a
b2 4ac
a
a
6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等 y （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x
3 x2 3
3 x9
3 .
8
8
2
2
G D
M
N
E 图1
FC
3 ⑶当 0＜x≤2 时，∵y＝ x2 在 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，
4
∴x＝2 时，y 最大＝ 3 ；
当 2＜x＜3 时，∵y＝ 7
3 x2 9
3 x9
3
18
9
在 x＝ 时，y 最大＝
3
；
G
8
2
2
7
7
当 3≤x≤6 时，∵y＝
3
10
当 0<t≤ 时，S=t(10-2t)，即 S=-2t2+10t.
3
10
当 ≤t<5 时，S=(10-2t)2，即 S=4t2-40t+100.
3
10
5 25 5
25
（3）当 0<t≤ 时，S=-2（t- ）2+ ，∴t= 时，S 最大值= .
3
22
2
2
10
当 ≤t<5 时，S=4(t-5)2，∵t<5 时，S 随 t 的增大而减小，
（2）令 y=0，得二次函数 y x2 4x 5 的图象与 x 轴
的另一个交点坐标 C（5, 0）.……………5 分
由于 P 是对称轴 x 2 上一点，
连结 AB，由于 AB OA2 OB2 26 ，
要使△ABP 的周长最小，只要 PA PB 最小.…………………………………6 分 由于点A 与点C 关于对称轴 x 2 对称，连结 BC 交对称轴于点 P，则 PA PB = BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得 PA PB
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点 P，使得△ABP 的周长最小．请求出点 P 的坐标．
0 a (1)2 4 (1) c,
解：（1）根据题意，得
5
a
02
4
0
c.
…2 分
a 1, 解得 c 5.
…………………………3 分
∴二次函数的表达式为 y x2 4x 5 ．……4 分
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y a x h 2 k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线 x h .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与 抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
的距离:
d
kx0 y0 b k 2 (1)2
kx0 y0 b k2 1
对于点 P（x0，y0）到直线滴一般式方程 ax+by+c=0 滴距离有
d ax0 by0 c a2 b2
常用记牢
2、 如图，已知二次函数 y ax2 4x c 的图象与坐标轴交于点 A（-1， 0）和点
B（0，-5）．
3 8
x2
33 2
x
93 2
在
x＜6
时，y
随
x
增大而A减小，
D
93
∴x＝3 时，y 最大＝
.
8
P
18
93
综上所述：当 x＝ 时，y 最大＝
7
7
B
E
C
F
H
图2
如图，直线 y 3 x 6 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点；直线 y 5 x 与 AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D.