沪科版七年级上册数学期末复习讲义

第三章 一次方程与方程组
3.1 一元一次方程及其解法 ①方程是含有未知数的等式。 ②方程都只含有一个未知数（元）x，未知数 x 的指数都是 1（次），这样 的整式方程叫做一元一次方程。 ③注意判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点： 1）未知数所在的式子是整式（方程是整式方程）； 2）化简后方程中只含有一个未知数； （系数中含字母时不能为零） 3）经整理后方程中未知数的次数是 1. ④解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值， 这个值就是方 程的解。方程的解代入满足，方程成立。 ⑤等式的性质： 1）等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子（整式或分式），等 式不变（结果仍相等）。a=b 得：a±c=b±c。 2）等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式不变。 a=b 得： a b （c 0） a×c=b×c 或 c c 注意：运用性质时，一定要注意等号两边都要同时＋、 －、×、÷；运用性质 2 时，一定要注意 0 这个数。 ⑥解一元一次方程一般步骤：去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数） →去括号→移项→合并同类项→系数化 1；以上是解一元一次方程五个基本步 骤，在实际解方程的过程中，五个步骤不一定完全用上，或有些步骤还需要重复 使用。因此，解方程时，要根据方程的特点，灵活选择方法。在解方程时还要注 意以下几点： 1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母 的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号；注意：去分母（等式的基本性质） 与分母化整（分数的基本性质）是两个概念，不能混淆； 2）去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号 不要漏乘括号 的项；不要弄错符号（连着符号相乘）； 3）移项： 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一 边（以=为界限）， 移项要变号； 4）合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程， 不能像计算或化简题那样写能连等的形式. 5）系数化 1：（两边同除以未知数的系数）把方程化成 a·x＝b（a≠0） 的形式，字母及其指数不变系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数 a，得到 方程的解不要分子、分母搞颠倒（刘老师提醒：不要着急，一步一步来。在计算 上丢分是最可惜的！） 3.2 一次方程的应用： （一） 、概念梳理 ⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：审题， 特别注意关键的字和 词的意义，弄清相关数量关系，注意单位统一，注意设未知数； ①解：设出未知数（注意单位） ， ②根据相等关系列出方程， ③解这个方程， ④答（包括单位名称，最好检验） 。
⑵一些固定模型中的等量关系： ①数字问题：abc 表示一个三位数，则有 abc =100a+10b+c（数位上的数字
第四ห้องสมุดไป่ตู้ 直线与角
4.1 几何图形 形状：方的、圆的等 （1）①几何图形 大小：长度、面积、体积等 位置：相交、垂直、平行等 ②几何体也简称体。包围着体的是面。 ③常见的立体图形：圆柱和圆台（一曲面二平面）、圆椎（一曲面一平面） 、 球（一曲面）、长方体（六面八点十二棱）、四面体（三棱锥）、三棱柱（各部 分不都在一个平面内， 在一个平面内就是平面图形。 ） 新 课 标 第 一 网 ④点线面体：是组成几何图形的基本元素（是几何图形）；点动成线，线 动成面，面动成体。 （2）展开与折叠：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；正方 体展开六个面可用“1 字型”、“Z 字型”模型认识。 （3）三视图：主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看） 。 4.2 直线、射线、线段 1.特点与表示方法： ①直线没有端点，向两方无限延伸（不能用延长描述），可用两个大写字 母或小字字母表示； ②射线只有一个端点， 向一方无限延伸， 用端点和延伸方向中的任意一点 表示；端点相同，延伸方向相同的两条射线是同一条射线。 ③线段有两个端点，可用两个大写字母或小字字母表示（不能延长）。 2.连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离。线段是图形，距离有 大小。 3.经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）。 4.经过两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短） 4.3 线段的长短比较 ①线段的比较：叠合法（线段上、线段的延长线上）或度量法。 ②中点：将一条线段分成两条相等的线段的点称这条线段的中点。 （直线没 有中线） ③线段的和、差、倍、分（整体求部分，部分求整体）可以设未知数 ④点在线段上、点在线段的延长线上、点在线段外。 4.4 角 1、定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫角。角的端点为顶点，两条 射线为角的两边（一条射线绕端点旋转后形成的图形）。 2、 1°=60′ 1′=60″ 1 周角=360 度 1 平角=180 度 ；直角=90 度；钟表上 秒针每分钟 360°，分针每分钟走 6°，时针每分钟走 0.5°. 3、度化为度、分、秒（整数不动，小数下放）；度、分、秒化为度（逐级 上调）。 4、度、分、秒的加、减、乘、除（余数下放）运算：对口（秒与秒、分与 分、度与度）运算，满 60 进 1，借 1 算 60（刘老师提醒：注意和十进制等其他 进制区分） 4.5 角的比较与补（余）角 ①角的比较：叠合法（在角的内部、在角的外部）或度量法。
×位数） ②行程问题：基本公式：路程=时间×速度 甲乙同时相向行走相遇时：甲走的路程+乙走的路程=总路程 甲乙同时同向行走追及时：甲走的路程－乙走的路程=甲乙之间距离 ③工程问题（整体 1） ：基本公式：工作量=工作时间×工作效率 各部分工作量之和 = 总工作量； ④储蓄问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间 ⑤商品销售问题：商品利润=售价－进价（成本价） 商品利润率=（售价－进价）/进价 ⑥等积变形问题：面积或体积不变 ⑦和、差、倍、分问题：多、少、几倍、几分之几 ⑧按比例分配问题：一般设每份为 x 如：2:3:4 为 2x、3x、4x ⑨资源调配问题：资源、人员的调配（有时要间接设未知数） （二） 、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结） ⑴模型思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立 一元一次方程的思想. ⑵方程思想：用方程解决实际问题的思想（如：按比例分配、线段的长、角 的大小等）就是方程思想. ⑶转化（归纳）思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去 括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等各种同解变形，不断地用新的 更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为 x=a 的形式.体现了化 “未知”为“已知”的化归思想. ⑷数形结合思想：如：数轴问题、在列方程解决行程问题时，借助于线段示 意图和图表等来分析数量关系， 使问题中的数量关系很直观地展示出来， 体现了 数形结合的优越性. ⑸分类（整体）思想：如：绝对值、偶次方、点在线段上（延长线上、线段 外） 、角在角内（外）在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往 需要分类讨论， 在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在 过程中的运用. 3.3 二元一次方程组及其解法 ①由两个一次方程组成的， 并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组 ②消元法解方程组: 1、二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的 值，叫做二元一次方程组的解（注意格式﹛） 2、代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一 个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 3、加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减（左边－左边＝右边－右边） 消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法（一定要使某个未知数的 系数相等或相反） 3.4 二元一次方程组的应用 两个未知数，两个相等关系【刘老师一再强调，重点就是找到题目中的等量 关系】
沪科版七年级（上）期末复习讲义
第一章 有理数
1.1 正数与负数 ①大于 0 的数叫正数。 ②在正数前面加上“-”号的数，叫做负数。 ③0 既不是正数也不是负数。0 是正数和负数的分界，是唯一的中性数。 ④搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减 少等。 ⑤正整数、0、负整数统称整数（结合数轴和一元一次方程出题），正分数 和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。 【记住有理数的两种分类方式】π 不是有理数。 ⑥非负数就是正数和零；非负整数就是正整数和 0。 1.2 数轴 ①通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。 ②数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 ③数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出 来，但数轴上的点，不都是表示有理数。 ④只有符号不同的两个数叫做互为相反数（和为零）。（例：2 的相反数是 -2，如：2＋（－2）=0；0 的相反数是 0） ⑤数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值,记作|a|。 正数的绝对 值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。从几何意义上讲， 数的绝对值是两点间的距离（无方向性，有两个点）。 ⑥数轴上两点间的距离=|M—N| W w .X k b 1. c O m ⑦两个负数，绝对值大的反而小。 ⑧|a|≥0（即非负性）；绝对值等于一个正数的值有两个（两个互为相反数） 如：|a|=5，a=5 或 a=－5 1.3 有理数的大小 ①数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大。 ②负数小于零，零小于正数，负数小于正数。 ③两个负数的比较大小，绝对值大的反而小。 1.4 有理数的加减法 ①有理数加法法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较 大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。 3）一个数同 0 相加，仍得这个数。 4）加法的交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) ②有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
第二章 整式的加减
2.1 用字母表示数 ①偶数：能被 2 整除的整数叫偶数（如：-4、-2、0、2、4、）三个连续偶 数：2n－2，2n，2n＋2（相差 2）。 ②奇数：不能被 2 整除的整数叫做奇数（如：-5、-3、-1、1、3、5）三个连 续奇数：2n－1，2n＋1，2n＋3（相差 2）。 2.2 代数式 ①用加、减、乘（乘方）、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式 子，叫做代数式。（注：单独一个数字或字母也是代数式） ②代数式的写法：数学与字母相乘时，“×”号省略，数字写在字母前；字母 与字母相乘时，相同字母写成幂的形式；数字与数字相乘时，“×”号不能省略； 式中出现除法时， 一般写成分数形式。 式中出现带分数时， 一般写成假分数形式。 ③分段问题书写代数式时要分段考虑， 有单位时要考虑单位是否相对应； 如： 电费、水费、出租车、商店优惠等 ④单项式： 由数字和字母乘积组成的式子。 单独一个数或一个字母也是单项 式。因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关 系，若①分母中不含有字母，②式子中含有加、减运算关系，也不是单项式．单 项式的系数：是指单项式中的数字因数，-m2 的系数是-1；（不要漏负号和分母） 单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和．（注意指数 1，-m 的次数 是 1） ⑤多项式：几个单项式的和。判断代数式是否是多项式，关键要看代数式中 的每一项是否是单项式．每个单项式称项， （其中不含字母的项叫常数项）多项 式的次数是指多项式里次数最高项的次数； 多项式的项是指在多项式中每一个单 项式．特别注意多项式的项包括它前面的性质符号． 它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。 注意单项式和多项式的每一项都包 括它前面的符号。 ⑥代数式分为整式和分式（分母里含有字母）；整式分为单项式和多项式。 2.3 整式的加减 ①同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。（简称“二个 相同，二个无关”） ②合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律 和分配律。（同类项用括号括起来，中间用＋连接） ③合并同类项法则： 合并同类项后， 所得项的系数是合并前各同类项的系数 的和，所含字母部分不变，相同字母的指数不变（“两不变”） ④不含某字母项时，就是某字母项的系数为 0 ⑤字母的升幂、降幂排列：按某个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序 排列。 ⑥如果括号外的符号是＋号，去括号和符号后原括号内各项的符号不变； 如 果括号外的符号是“－”号，去括号和符号后原括号内各项的符号改变；括号前 有数字时，要连着符号相乘。 (化简原则：有括号去括号，能合并的合并)