2020成人高考专升本高等数学二知识点汇总复习(自编)

2020年成人高考专升本高等数学二知识点复习

第一章：极限与连续

1-1、极限的运算

1、极限的概念

(1)设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当x无限趋于x0时函数f(x)无限地趋于

f(x)=A

一个常数A，则称A为函数f(x)当x→x0时的极限，记作lim

x→x0

(2)左极限、右极限；在某点极限存在，左右极限存在且唯一。

lim

f(x)=A

x→x0−

f(x)=A

lim

x→x0+

2、无穷小量与无穷大量

无穷小量定义：对于函数y=f(x)，如果当x在某个变化过程中，函数f(x)的极限为0，则

f(x)=0

称在该变化过程中， f(x)为无穷小量，记作lim

x→x0

无穷大量定义：对于函数y=f(x)，如果当x在某个变化过程中，函数f(x)的极限值越来越

f(x)=∞

大，则称在该变化过程中， f(x)为无穷大量，记作lim

x→x0

3、无穷小量与无穷大量的关系

为无穷小量；

在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大量，且f(x)≠0，则1

f(x)

为无穷大量；

在同一变化过程中，如果f(x)为无穷小量，且f(x)≠0，则1

f(x)

4、无穷小量的性质

性质1：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量

★性质2：无穷小量与有界函数的积仍是无穷小量

5、无穷小量的比较与替换

定义：设α，β是同一变化过程中的无穷小量，即limα=0，limβ=0

=0，则称β是α比较高阶的无穷小量

（1）如果limβ

α

（2）如果lim

β

α=∞，则称β是α比较低阶的无穷小量

（3）如果lim β

α

=c ≠0，则称β是与α同阶的无穷小量

（4）如果lim β

α

=1，则称β与α是等价的无穷小量

★常见的等价无穷小量：

当x →0时，x ~sin x ~tan x ~ arc sin x ~ arc tan x ~ e x −1 ~ ln (1+x) 1−cos x ~1

2x 2

★★6、两个重要极限 （1）lim

x→0

sin x x

=1

（2）lim x→∞

(1+1

x )x

=e 或lim x→0

(1+x)1

x

=e

★★7、求极限的方法 （1）直接代入法：分母不为零 （2）分子分母消去为0公因子 （3）分子分母同除以最高次幂

（4）利用等价代换法求极限（等价无穷小） （5）利用两个重要极限求极限 （6）洛必达求导法则（见第二章）

1-2、函数的连续性

1、函数在某一点上的连续性

定义1：设函数y =f(x)在点x 0的某个邻域内有定义，如果有自变量∆x 趋近于0时，相应的函数改变量∆y 也趋近于0，即lim ∆x→0

[f (x 0+∆x )−f (x 0)]=0，则称函数y =f(x)在x 0处连续。

定义2：设函数y =f(x)在点x 0的某个邻域内有定义，如果当 x →x 0时，函数f(x)的极限存在，且等于x 0处的函数值f(x 0)， lim x→x 0

f (x )=f(x 0)，则称函数y =f(x)在x 0处连续。

第二章、一元函数微分学

2-1、导数与微分 1、导数概念

定义1：设函数y =f(x)在点x 0的某个邻域内有定义，如果有自变量x 在点x 0处的改变量∆x ，相应的函数改变量∆y =f (x 0+∆x )−f (x 0)。如果极限lim ∆x→0

f (x 0+∆x )−f (x 0)

∆x

存在，则称此极限

为函数y =f(x)在x 0处的导数。表示形式如下：

lim

∆x→0

f (x 0+∆x )−f (x 0)

∆x

、lim

x→x 0

f (x )−f (x 0)x−x 0

、lim

ℎ→0

f (x 0+ℎ)−f (x 0)

h

★★2、常见的求导公式

（1）、(c )′=0 （2）、(x a )′=ax a−1 （3）、(log a x )′=1

xlna （4）、(lnx )′=1

x （5）、(a x )′=a x lna （6）、(e x )′=e x （7）、(sin x )′=cos x （8）、(cos x )′=−sin x

★★3、导数的运算法则 （1）(u ±v )′=u ′+v′ （2）(u ∙v )′=u ′v +uv′ （3）(cu )′=cu ′ （4）(u

v )′=u ′v+uv ′

v 2

★4、复合函数求导

如果函数u =φ(x)在点x 处可导，函数y =f(u)在对应点u 处也可导，则复合函数y =f[φ(x )]在点x 处可导，且有dy dx

=

dy du ∙du dx

。

5、隐函数求导

隐函数：x 与y 之间的函数关系是由一个方程F (x,y )=0来确定这种称之为隐函数。如：xy −e y +x 2=0

隐函数的求导方法：直接在方程F (x,y )=0的两端同时对x 求导，而把y 视为中间变量，利用