第13章实数重难点讲解

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八年级数学上册第十三章《实数》教案(第二部分)

3、计算：（1）38321+ （2）327102--- 答案：1.(1) 3 (2) 338- (3)1； (4) 0.2.(1) 10 (2) 910 (3) 45- (4) 1. 3、（1）23 （2）34实数（1）教学目标：了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。

教学重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。

教学难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算。

教学过程一、导入新课：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 35-，478 ，911 ，119 ，59我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0= ，30.65-=- ，47 5.8758= ，90.8111= ，11 1.29= ，50.59= 二、新课：1、任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。

反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π= 也是无理数；有理数和无理数统称为实数⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数π是正无理数，π-是负无理数。

由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 2、探究如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。

人教版七年级第十三章《实数》教材分析及教学建议

例如：如图:A,B两点的坐标分别是(2,), ( 3, 0)
(1) 求OAB的面积
(2)将OAB向下平移个单位,画出平移后的图形,并写出所得的三角形的三个顶点的坐标
五、教学中应注意的几个问题及教学建议
1.关于计算器的使用：
建议在本章刚刚开始学习时不要太快引入计算器
避免学生过于依赖. 可以考虑将使用计算器求算术平方根和下一节使用计算器求立方根的内容在下一节一并学习
会用计算器求平方根和立方根；
3．了解无理数和实数的概念
知道实数与数轴上的点一一对应
有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后
一些概念、运算等的一致性及其发展变化；
4．能用有理数估计一个无理数的大致范围．
四、教材分析与教学建议
§13．1平方根
【教学目标】
1. 本节先研究算术平方根
再研究平方根. 教科书首先创设一个问题情景
抽象出这个情景中的数学问题
即已知正方形的面积求边长的问题
这是一个典型的求算术平方根的问题
这与学生以前熟悉的已知边长求面积是一个互逆的过程.通过对这类问题的探讨
引出算术平方根
给出算术平方根的概念和它的符号表示
算术平方根的概念学习应充分联系实际引入和引导理解
初中阶段主要学习有理数和实数．对于有理数和实数
初中阶段教科书安排了3章内容
分别是7年级上册第1章"有理数"
八年级上册第13章"实数"和9年级上册第21章"二次根式"．本章是在有理数的基础上认识实数
对于实数的学习
除本章外
还要在"二次根式"一章中通过研究二次根式的运算

新人教版八年级数学第13章实数教案(全章)[1]

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x2 有意义，则 x 的取值范围是【】 3 A. x 2 B. x 2 C. x 2 D. x 2 7、一个自然数的算术平方根为 a ，那么与这个自然数相邻的下一
6、要使代数式个自然数的算术平方根是_______。【例 3】若 x 1 y 3
2
x y z 0 ，求 x、y、z 值。
2
2
根号
在会求一个平方数算术平方根的基础上，给出算术平方根的定义，有利于学生对概念的理解和把握．让学生用自己的语言有条理地、清晰地阐述自己求算术平方根的方法，提高语言表达能力．
a
被开方数
【思考】卓玛认为，因为(－4) ＝16，所以 16 的算术平方根是－ 4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？
第 1 课时平方根（1）
教学目标教学重点教学难点 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。算术平方根的概念。根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。教学互动设计设计意图从现实生活中提出数学问题，使学生积极主动地投入到数学活动中去，同时为学习算术平方根提供背景和生活素材．
教学目标教学重点教学难点 1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律. 2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值. 3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。夹值法及估计一个（无理）数的大小。夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。教学互动设计设计意图创设设问题情境，激发学生兴趣。教师提出问题，学生以小组为单位，动手拼剪，教师深入小组参与活动，帮助指导学生完成拼图活动．通过拼图活动得到与有理数不同的另一类数—— 无理数，以 2 为例子．通过形的研究来感受无理数的存在．通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间观念，发展形象思维．

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新人教版八年级上册第13章实数第1节平方根第1课时算术平方根精品教案教学目标知识技能:了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性.会用平方运算求某些非负数的算术平方根.数学思考:学会运用熟悉的知识思考和解决新的知识和问题.解决问题:通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维.通过拼大正方形的活动,体验解决问题的方法的多样性,发展形象思维.情感态度:通过实际生活中问题的解决,体验数学与生活实际是紧密联系着的.通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志,建立自信心,提高学习热情.教学重点:算术平方根的概念.教学难点:根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根.教学内容:课本第68至69页.教学过程设计活动一.创设情境,分析探究1.提出问题,引发讨论:课本第68页中的问题:小欧要裁一块面积为25dm 2的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方,而边长不可能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为1,9,16,36,425时,此正方形的边长分别为1,3,4,6,25 . 由以上讨论可以发现,它就是已知一个正数平方,求这个正数.由此我们得到.2.定义:一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根,a 读作“根号a ”,a 叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0. 活动二.知识应用,例题解析.例1.求下列各数的算术平方根:(1)900 (2)1 (3)4964 (4)196 (5)0解:(1)∵302=900,故900的算术平方根是30,(2)∵12=1,故1的算术平方根是1,=1.(3)∵(78)2=4964,故4964的算术平方根是78,78(4)∵142=196,故196的算术平方根是14,(5)∵02=0,故0的算术平方根是0,例 2.勤俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一部分的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面,其面积为169dm 2.•已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为5dm 的小板子,•试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm才能拼出面积为169dm2的桌面?分析:边长为5dm的正方形板子,其面积为25dm2,要拼出面积为169dm2的桌面,还需面积为169-25=144dm2的正方形桌面,故问题实际上转化为求144•的算术平方根=12.解:设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有x2+52=169,x2=169-25=144,而122=144故144的算术平方根为12,即另一张桌面的边长应为12dm.活动三.知识巩固,课堂练习.1.课本第69页小练习.2．补充习题.(1)求下列各式的值:解:7 2(2)若(a-1)2+│b-9│=0,则ba的算术平方根是下列哪一个( )A.13B.±3C.3D.-3分析:由于(a-1)2≥0.│b-9│≥0,∴(a-1)2+│b-9│=0时,有a-1=0且b-9=0, ∴a=1,b=9,∴ba=91=9,故ba的算术平方根是3.?为什么?分析无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a2≥0,.活动四.知识梳理,课堂小结.这节课主要就算术平方根进行讨论,•求一个数的算术平方根与求一个正数的平方正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的开平方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.活动五.知识反馈,作业布置.1.课本第75页习题中的第1,2题.2.补充习题.(1)某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______；•若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______.(2)求下列各式的值(3)3x-4为25的算术平方根,求x的值.(4)已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值.(5)已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值.(6),求xy的算术平方根.。

八年级数学上册第十三章《实数》教案(第一部分)

第十三章实数平方根（1）教学目标：1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。

教学重点：算术平方根的概念。

教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。

教学过程一、情境导入请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布想裁出一块面积为25212dm？这个问题实际上是已知一个正数的的边长应取多少dm？如果这块画布的面积是2平方，求这个正数的问题？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．这节课我们先学习有关算术平方根的概念．二、导入新课：1、提出问题：（书P68页的问题）你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？（学生思考并交流解法）这个问题相当于在等式扩=25中求出正数x的值．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a.12=124说出124的算术平方根是多少吗？并用等式表 2、试一试：你能根据等式：2示出来．3、想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如25表示25的算术平方根。

4、例1 求下列各数的算术平方根：（1）100；(2)1；(3)6449；(4)0.0001 三、练习P69练习 1、2四、探究：（课本第69页）怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？方法1：课本中的方法，略；方法2：可还有其他方法，鼓励学生探究。

问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？大正方形的边长是2，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？建议学生观察图形感受2的大小．小正方形的对角线的长是多少呢？（用刻度尺测量它与大正方形的边长的大小）它的近似值我们将在下节课探究．五、小结:1、这节课学习了什么呢？2、算术平方根的具体意义是怎么样的？3、怎样求一个正数的算术平方根六、课外作业：P75习题14.1活动第1、2、3题平方根（2）教学目标：1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。

初中实数重点难点内容

初中实数重点难点内容初中实数是数学学科中的重要内容，也是初中数学学习的基础。

实数是指包括有理数和无理数的数的集合，其中有理数是可以用分数表示的数，而无理数则不能用分数表示。

初中实数的重点难点内容包括实数的性质、实数的运算、实数的大小比较以及实数的应用等方面。

实数的性质是初中实数的重点内容之一。

实数具有可加性、可乘性和可比性等基本性质。

其中可加性指实数之间可以进行加法运算，两个实数的和仍为实数；可乘性指实数之间可以进行乘法运算，两个实数的积仍为实数；可比性指任意两个实数之间必然存在大小关系，可以进行大小比较。

这些性质是实数运算的基础，也是解决实际问题的关键。

实数的运算是初中实数的难点内容之一。

实数的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

在进行加法和减法运算时，需要注意实数的符号和数值的运算规律；在进行乘法和除法运算时，需要注意实数的符号以及有理数的分数形式和无理数的近似表示形式。

此外，还需要掌握实数的混合运算，即同时进行多种运算的能力。

实数的大小比较是初中实数的重点内容之一。

实数的大小比较可以通过数轴上的位置关系来进行判断。

对于有理数，可以直接比较大小，而对于无理数，则需要进行近似比较。

在进行大小比较时，还需要注意实数的符号以及绝对值的概念，以确保比较的准确性。

实数的应用是初中实数的重点内容之一。

实数的应用主要体现在实际问题的解决中。

例如，通过实数的运算和大小比较，可以解决各种涉及实际情境的问题，如时间、距离、温度等。

此外，实数的应用还包括在代数方程中的使用，通过求解实数解来解决代数方程的问题。

初中实数的重点难点内容主要包括实数的性质、实数的运算、实数的大小比较以及实数的应用等方面。

掌握这些内容对于初中数学学习的深入理解和解决实际问题具有重要意义。

通过系统学习和实践运用，可以提高对实数的理解和运用能力，为进一步学习数学打下坚实的基础。

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新人教版八年级上册第13章实数第2节第1课时立方根的概念精品教案教学目标知识技能:理解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同.数学思考:会运用熟悉的知识解决新问题是数学的重要思想.解决问题:用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,•并能自我总结出平方根与立方根的异同.情感态度:发展学生的求同存异思维,使他们能在复杂的环境中明辨是非,并做出正确的处理.教学重点:立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根.并能利用立方运算求一个数的立方根.教学难点:灵活运用立方运算求一个数的立方根.教学内容:课本第77至78页.教学过程设计活动一.复习回顾,导入新课1.什么叫平方根？如何用符号表示数a(≥0)的平方根?(如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.非负数a的平方根 .)是:a2.什么叫算术平方根？如何用符号表示数a(≥0)的算术平方根?(如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a,那么这个非负数x叫做a的算术平方根.非负数a a3.正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0平方根是什么?(正数的有两个平方根,它们互为相反数.0的平方根是0.负数没有平方根.) 这是我们前面已学过的知识.活动二.解决问题,概念探究.1.问题:要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是多少?解:设这种包装箱的边长为x m则x3=27这就是要求一个数,使它的立方等于27∵33=27∴x=3答:这种包装箱的边长应为3 m象这样要求出问题中的X的值,就是我们今天要研究的课题—立方根2.定义:一般地，如果一个数X的立方等于a，这个数X就叫做a的立方根(也叫做三次方根).用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.如上述问题中,由于33=27 ,所以把3叫做27的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.活动三.探究思考,总结规律.1.探究.根据立方根的意义填空,正数、0和负数的立方根各有什么特点?∵ 23=8， ∴ 8的立方根是（）∵ ( )3=-8， ∴ -8的立方根是（）∵ ( )3=0.125， ∴ 0.125的立方根是（）∵ ( )3=-0.125，∴ -0.125的立方根是（） ∵ ( )3=827， ∴ 827的立方根是（） ∵ ( )3=-827, ∴ -827的立方根是（） ∵ ( )3=0, ∴ 0的立方根是（）2.归纳.通过上述探究我们得到立方根的性质:(1).正数的立方根是一个正数.(2).负数的立方根是一个负数.(3).零的立方根是零.记住:每一个数都只有一个立方根.3.说一说.数的平方根和数的立方根的定义和性质有没有什么不同?(1)平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根.立方根的定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a 的立方根.(2)平方根的性质:①正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数.②0的平方根还是0. ③负数没有平方根.立方根的性质:①正数的立方根还是正数.②0的立方根还是0.③负数的立方根还是负数.4.判断下列说法是否正确，并说明理由:（1）278的立方根是32± . （2）负数没有立方根. （3）4的平方根是2.（4）-8的立方根是-2. （5）立方根是它本身的数只有0.（6）互为相反数的数的立方根也互为相反数.5.大家记得a 的平方根怎样表示吧?类似的请同学们想一想a 的立方根怎样表示？一个x 数的立方等于a,则a 的立方根(即x 3=a 则x 为a 的立方根.)3a ,读作“三次根号a ”. 其中a 为被开方数,3为根指数,且根指数为3不能省略,388的立方根,-8的立方根, 根指数为3不能省略.6.议一议,你会区别下列的数吗？a a ± 3aa 表示非负数a 的算术平方根.a ±表示非负数a 的平方根或a 的二次方根.3a 表示数a 的立方根或a 的三次方根.活动四.自主探究,总结规律1.探究.∵2.由此可归纳出其规律3.立方根的性质:(1)正数的立方根还是正数.(2)0的立方根还是0.(3)负数的立方根还是负数活动五.知识应用,例题解析.1.例题:求下列各式的值:解:=-35 活动六.知识巩固,课堂练习.1.课本第79页小练习.2.补充题.①求下列各数的立方根:①0 ②8 ③-64 ④解:；；④∵；∴75②你能求出下列各式中的未知数x 吗？(1)x 3＝343(2)（x －1）3＝125 (3)3x -2 (4)32-x =4 活动七.知识梳理,课堂总结.这节课学习了立方根的概念和性质,立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根. 活动八.知识反馈,作业布置.1.课本第80至81页第1,3,5,8题.2.补充题.①某数的立方根等于它本身,这个数是多少?②某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁,此长方体的长,宽,高分别为160cm,80cm 和40cm,求原来立方体钢铁的边长.③有一边长为6cm 的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,•还需再加水127cm 3才满,求另一正方体容器的棱长.④设1995x 3=1996y 3=1997z 3,xyz>0,2223199519961997x y z ++319953199631997求111x y z++的值.参考答案1.这个数为0,±12. 803cm 3.7cm4.令1995x 3=1996y 3=1997z 3=k,k ≠0,则1995=3k x ,1996=3k y ,1997=3k z ,即=111x y z ++. 而x>0,y>0,z>0,所以得到:111x y z ++=1.。

新人教版八年级数学上册第13章实数教案

§13.3实数(1)2013年7月3日教学目标：（1）了解无理数和实数的概念和实数的分类，知道实数和数轴上的点一一对应关系 .（2）让学生感知无理数的存在，经历数系从有理数扩展到实数的过程 .通过无理数的引入，培养从特殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力 .（3）渗透数形结合及分类的思想，体验数系的扩展源于实际，又服务于实际的辩证关系 . 教学重点：理解无理数、实数的意义和实数的分类 . 教学难点：正确理解无理数的意义 . （一）导入新课在小学时候，我们认识了一个非常特殊的数：圆周率π，它约等于3.14，你还能说出它后面的数字吗？比一比，看谁记住最多 .目前π值已准确到上千亿位，π是一个怎样的数呢？是有理数吗？整数如：-3，0 ，5… 有理数分数如：41，32-…π肯定不是整数，那么它一个分数吗？请同学们将下列的小数形式：5= ，41= ，32-= ，71= . 引导发现：任何有理数写成小数的形式，一定是有限小数或者无限小数，因此可以说π不是有理数，它是一个无限不循环小数，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，如2，我们把无限不循环小数又叫无理数 .我们把有理数和无理数统称为实数，这就是今天我们将要学习的内容——实数 . （二）新知探究探究1：数的扩张与分类⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数像有理数一样，无理数也有正负之分 .233π是正无理数，2-33-π-是负无理数 .由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数探究2 实数与数轴的对应关系(1)我们在学习有理数时，认识了数轴，什么叫数轴？(2)我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的有的点都表示有理数吗？无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？(3)如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？（4）在前面的学习中，我们还知道边长为1的正方形的对角线长为2，在数轴上表示2的点（画图） .事实上，数轴上数，不仅表示有理数的点，还有表示无理数的点，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数 . （三）范例讲解例1 下列说法正确吗？请说明理由 .（1）3．14是无理数；（2）无限小数都是无理数；（3）无理数都是无限小数；（4）带根号的数都是无理数；例2把下列各数分别填入相应的集合里： π31-，1322-，7，327，0.1010010001…，0.5，36.0-，39，924，16 实数集{ …}，无理数集{ …}，有理数集{ …}，分数集{ …}，负无理数集{ …} . （四）知能训练1、请将数轴上的各点与下列实数对应起来：2，-1.5，5，π ，32、如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点有个，分别是 .（五）总结反思1、无理数、实数的意义及实数的分类.2、实数与数轴的对应关系 .13．1 算术平方根教学过程平方根（3）教学案教学目标：1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系. 教学重点：平方根的概念和求数的平方根。

【初中数学精品资料】第十三章第3节实数

年级初二学科数学版本人教新课标版课程标题第十三章第3节实数编稿老师陈孟伟一校黄楠二校李秀卿审核王百玲一、学习目标：1. 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；2. 正确理解有理数与无理数的区别；3. 知道实数的相反数、倒数、绝对值、大小的比较。

二、重点、难点：重点：实数的概念和性质，以及运算定律。

难点：对无理数的理解。

三、考点分析：实数和数轴是中考的必考内容，其中实数的有关概念是初中数学的重要概念之一，实数的运算是初中数学的基础，数轴是数形结合的具体体现，因此它是中考命题的热点，这类题型以填空题、选择题居多，试题难度多为低、中档。

1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。

2. 实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

3. 实数的分类（1）按定义分：⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数——无限不循环小数（2）按符号分：0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数4. 实数与数轴上的点是一一对应关系。

5. 实数的有关概念及运算（1）有理数的大小比较法则在实数范围内仍成立，有理数的一些概念，如相反数、绝对值、倒数在实数范围内仍适用。

（2）对于实数,a b 有如下性质：①若a 与b 互为相反数，则0a b +=；②若a 与b 互为倒数，则1ab =；③任何实数的绝对值都是非负数，即||0a ≥；④互为相反数的两个数的绝对值相等，即||||a a =-；⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； ⑥0没有倒数。

6. 实数的运算定律和运算顺序与有理数的运算定律和运算顺序相同。

知识点一：无理数的概念例1：下列说法中正确的有（） ①无理数都是实数； ②实数都是无理数； ③无限小数都是有理数； ④带根号的数都是无理数； ⑤除了π之外不带根号的数都是有理数。

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个思路分析：无理数并不都是带根号的数，带根号的数也并不都是无理数（如π是无理数但不带根号，而4带根号却不是无理数），目前我们所接触到的无理数有如下三种形式：第一种是开方开不尽的数，如3，5-，39，57-等，但用根号形式表示的数却并不都是无理数，如16，327-等。

第十三章实数知识要点归纳-八年级上

第十三章实数知识点归纳及典型例一、知识梳理1、实数的分类正有理数整数有理数零有限小数和无限循环小数有理数实数负有理数实数分数正无理数无理数无限不循环小数无理数整数包括正整数、零、负整数。

分数包括正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有三类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.151151115……虽然是无限小数，其中151151115也有规律，但是没有循环。

因此，它是无理数。

还有0.1010010001…等；3、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

4、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥05、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

6、实数大小的比较：在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．即：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数．7、常用的被开方数：102=100 112=121 122=144 132=169 142=196152=225 162=256 172=289 182=324 192=36113=1 23=8 33=27 43=64 53=12563=216 73=343 83=512 93=7298、公式： 2a =a ()2a =a 33a =a ()33a =a二典型例题1、有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。

初中教案实数重难点

初中教案实数重难点1. 知识与技能目标：让学生理解和掌握实数的定义、性质和分类，能够熟练运用实数进行运算和解决问题。

2. 过程与方法目标：通过探究、交流、合作等活动，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力和数学表达能力。

3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。

二、教学重难点1. 教学重点：实数的定义、性质和分类，实数的运算方法。

2. 教学难点：实数的性质和分类，实数的运算规律。

三、教学内容1. 实数的定义：有理数和无理数的统称。

2. 实数的性质：实数具有 additive identity（加法单位元）、commutativity（交换律）、associativity（结合律）、distributivity（分配律）等性质。

3. 实数的分类：实数可分为正实数、负实数和零。

4. 实数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方等运算。

四、教学过程1. 导入：通过复习有理数和无理数的概念，引导学生思考实数的定义。

2. 新课讲解：讲解实数的性质和分类，通过示例和练习让学生掌握实数的运算方法。

3. 课堂互动：组织学生进行小组讨论，分享实数的运算心得，引导学生发现实数的运算规律。

4. 巩固练习：布置一些具有代表性的题目，让学生独立完成，检验学生对实数的理解和掌握程度。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调实数的性质和分类，提醒学生注意实数的运算规律。

五、课后作业1. 复习实数的定义、性质和分类。

2. 练习实数的运算，巩固运算规律。

3. 思考实数在实际生活中的应用。

六、教学反思通过本节课的教学，发现部分学生在实数的性质和分类上存在一定的困难，因此在接下来的教学中，应加强对实数性质和分类的讲解，并通过举例让学生更好地理解。

同时，注重课堂互动，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

人教版八年级数学第十三章第三节实数说课稿

人教版八年级数学第十三章第三节实数说课稿第一篇：人教版八年级数学第十三章第三节实数说课稿人教版八年级数学第十三章第三节实数说课稿一、教材分析 1.教材的地位与作用《实数》是人教教版义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第十三章的一节概念课。

本节课在学生学习了平方根以后，接触了如“ ”与“π”等具体的无理数的基础上，通过学生合作探究，揭示出中像，π等无限不循环小数的存在，从而引入了无理数的概念，使学生把数的概念从有理数扩展到实数，对今后的数学学习有着非常重要的意义，并且是同学们进一步学习方程、函数等知识的基础。

另外，无理数的引入，数集的扩充的教学中充满着对立与统一的辨证关系，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过这节课的学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯。

2、教学目标依据本节教材的特点，并结合学生的年龄特点和认知水平，确定本节课的教学目标：知识目标——让学生了解无理数，实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应，初步学会实数的大小比较，能对实数的分类进行初步的辩认。

能力目标——了解实数的分类，培养学生初步分类意识；用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的数学思想方法。

情感目标——通过合作探究，让学生经历无理数的产生过程；并向学生渗透“数形结合”及分类的数学思想，感受人类（特别是我国古代）在数的发展研究中的伟大成就，从中得到启发和教育。

3、教学重点和难点本节教学的重点是无理数、实数的概念以及实数与数轴上的点一一对应。

无理数的概念比较抽象,无理数在数轴上的表示，需要比较复杂的几何作图，是本节教学中的难点。

二、教学方法和手段本节课通过创设问题情境，引导学生回顾认识数的过程，通过合作探索，经历无理数的产生过程，精心设问，适时、适度采用激励性语言，提高学生学习积极性，从而较好地完成实数概念的建构，达到教学目标。

八年级数学上册第十三章 13.3 实数复习教案新人教版

课题：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！A书法文字发展简史：①古文字系统甲古文——钟鼎文——篆书早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。

人教版初中数学第13章实数知识点双向明细(1至第6课时)

平方根的性质
√
平方与开平方互为逆运算（对应）
√
√
难点（核心思想）
第3课时
基本知识与基本思想方法
了解
理解
掌握
灵活运用
备注
算术平方根、平方根的概念
√
√
重点（核心概念）
理解符号培养学生符号感
√
平方根、算术平方根的性质的简单应用（对应）
√
√
难点（核心思想）
√
“被开方数”的性质的理解与应用
√
√
（核心方法）
第4课时
实数与数轴上的点的对应
√
难点（核心思想）
实数的相反数、绝对值、倒数。
√
√
第13章实数知识点双向明细（1至6课时）
第1课时
基本知识与基本思想方法
了解
理解
掌握
灵活运用
备注
算术平方根的概念
√
重点（核心概念）
用符号表示正数的算术平方根
√
理解符号培养学生符号感√来自求正数的算术平方根、√
（核心方法）
在拼边长为的正方形的活动中理解，培养数感，并强化学生的数形结合的意识。发展形象思维。（数形结合思想）
√
难点（数形结合）
是无限不循环小数。
√
从两端逼近的估算思想中建立估算意识
（用有理数估计无理数）
√
难点（核心思想）
了解无限不循环小数的特点。
√
第2课时
基本知识与基本思想方法
了解
理解
掌握
灵活运用
备注
平方根的概念
√
重点（核心概念）
用符号表示正数的平方根
√
理解符号± 培养学生符号感

第13章实数全章精品教案-3.doc

新人教版八年级上册第13章实数第1节平方根第3课时平方根精品教案教学目标知识技能:掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.培养学生的探究能力和归纳问题的能力．数学思考:学会用探究类比的方法学习掌握新的知识.解决问题:采用类比平方的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？情感态度:引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情.教学重点:平方根的概念和求数的平方根.教学难点:平方根和算术平方根的联系与区别.教学内容:课本第72至75页.教学过程设计活动一.创设情境,导入新课同学们,你知道“神舟七号”载人飞船吗？“神舟七号”载人飞船于2008•年9月25日21时10分,在中国酒泉卫星发射中心发射升空, 9月27日下午16时30分航天员翟志刚首次进行出舱活动, 成为中国太空行走第一人.当物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚,•在摆脱地球束缚的过程中,在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,•脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必须达到16.7千米/秒,那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度达到7.9千米/•秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有关呢?又是如何计算呢? 活动二.探索归纳,认识概念.1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢?由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为16则16把4和-4称为16的平方根.2.定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根或二次方根,•即若x 2=a,则x 为a 的平方根,记为x=如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,•表示为±3=把求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方.而平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根,例如当x 2=1时,x=±1;当x 2=16时,则x=±4,当x 2=36时,x=±6;当x 2=49时,x=±7;当x 2=425,则±25为425的平方根,它们的对应关系如课本图所示. 活动三.运用知识,寻找规律.例1.求下列各数的平方根.(1)0.49 (2)4936(3)81 (4)0 (5)-100 解(略)将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0)的那部分,•而负的那个值正好是算术平方根的相反数. 归纳得出:①正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数.②0的平方根是0.③负数没有平方根.活动四.知识应用,例题解析.例2:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.解:(1)因为1.22=1.44,的平方根为±1.2,±1.2.(2)因为92=81,所以的平方根为±9,±9. (3)因为(3100)2=9100,9100±3100,它正是9100的平方根. 故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定了,•因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.•同样如果知道某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定.面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度v 12=gR,其中g=9.8米/秒2,R ≈6.4×106米,v 22=2gR,则有v 12≈9.8×6.4×106米2/秒2≈62.72×106米2/秒2=6.27×107米2/秒2.v 22≈125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2 因此,v 1是6.272×107的平方根,v 2是1.2544×108的平方根.那么v 1=76.27210⨯≈±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒,v 2=81.254410⨯≈±11.2×103米/秒=•±11.2千米/秒但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题中,要根据得出的答案是否有意义而取值.例3:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米?解:设宽为x 米,则长为3x 米,其面积为3x 2平方米故3x 2=13200 x 2=4400 解得x=±66.33 但x 为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.•99米,宽为66.33米.活动五.知识内化,拓展升华.对于正数x 和y,有下列命题:(1)若x+y=2, 1 (2)x+y=3,32(3)若x+y=6, 3根据以上三个命题所提供的规律猜想:(1)若x+y=9,_______.(2)若对于任意正数a 、b,_____.分析:当x+y=3时,32,从中发现分母为2,分子为x 、y 的和,再验证其它的等式:x+y=2时,22=1.当x+y=6时62=3.与已知相吻合,故有结论m>0,n>0,且m+n=a 时,•2a ,2m n +∴x+y=9时,922a b +由此得a+b ≥2≥0 活动六.知识巩固,课堂练习.1.课本第75页小练习.2.补充题.(1)有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m 2,求长和宽.(2)若(a-1a )2= 21a +a 2-2,现老师布置了一道化简题: 1a 2212a a+-15) .甲、•乙两同学很快地写出其解答过程:甲: 1a 2212a a +-=1a +21()a a-1a +1a -a=2a -a,当a=15时,2a -a=10-15=945 乙:1a 2212a a +-=1a 21()a a -1a +a-1a =a=15.谁的答案是对的?为什么? 活动七.知识梳理,课堂小结.本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,•何种情形用其算术平方根,得根据实际情况选择答案.活动八.知识反馈,作业布置.1.课本第75至76页第3,9,10题.2.补充题.?16的平方根为多少? 的平方根呢?(2)如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少?(3)已知试比较a 、b 、c 的大小.(不用计算器)(4)a,小数部分为b,求a 、b 的值.。

实数重点难点归纳

实数重点难点归纳考点一、实数的理念及种类（3分）1、实数的种类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。