立体几何基本概念题

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高中立体几何知识点及经典题型

高中立体几何知识点及经典题型

高中立体几何知识点及经典题型立体几何是高中数学中的重要部分,它研究了在三维空间内的几何形体。

本文将介绍高中立体几何的主要知识点和经典题型。

知识点以下是高中立体几何的主要知识点:1. 空间几何基础:点、线、面的概念及性质。

2. 参数方程和一般式方程:用参数或方程表示几何体的方法。

3. 立体图形的投影:点、直线、平面在投影中的表现形式。

4. 空间几何中的平行与垂直:直线、平面之间的平行关系及垂直关系。

5. 直线与面的位置关系:直线与平面之间的交点、垂线、倾斜角等概念。

6. 空间角的性质:二面角、棱锥、棱台等形体的角度关系。

7. 空间几何中的直线及曲线:空间中直线与曲线的方程及性质。

8. 空间立体角:球、球台、球扇等形体的角度关系。

9. 空间的切线:曲线在空间中的切线方程及其性质。

10. 空间的幂:圆、球及其他形体的幂的概念和性质。

经典题型以下是高中立体几何的经典题型:1. 求直线与平面的位置关系问题:例如,给定一直线和一个平面,求它们之间的交点、垂直线、倾斜角等。

2. 求空间角的问题:例如,给定两个平面的交线,求二面角的度数。

3. 求直线与曲线的位置关系问题:例如,给定一条直线和一个曲面,求它们之间的位置关系。

4. 求切线和法平面的问题:例如,给定一个曲线和一个点,求曲线在该点处的切线方程及法平面方程。

5. 求空间形体的幂问题:例如,给定一个球和一个平面,求平面关于球的幂及其性质。

以上只是一些经典的立体几何题型,通过解答这些题目,可以加深对立体几何知识的理解和运用。

希望本文对高中立体几何知识点和题型的介绍能够帮助到你。

祝你在学习立体几何时取得好成绩!。

高中立体几何练习题

高中立体几何练习题

高中立体几何练习题几何学是数学中非常重要的一个分支,而立体几何则是其中的一个重要部分。

在高中阶段,学生需要掌握各种与立体几何相关的概念和定理,并且能够运用这些知识解决实际问题。

本文将为大家提供一些高中立体几何的练习题,以帮助大家巩固知识和提高解题能力。

练习题一:三棱柱1. 一个三棱柱的底面是一个等边三角形,边长为8cm,高度为10cm。

求该三棱柱的体积和表面积。

2. 一个三棱柱的体积是72cm³,底面边长为6cm。

求该三棱柱的高度和表面积。

练习题二:四棱柱和四棱锥1. 一个正四棱柱的底面是一个边长为4cm的正方形,高度为6cm。

求该四棱柱和与之相似的正四棱锥的体积比值。

2. 一个四棱柱的底面是一个边长为10cm的正方形,高度为8cm。

求该四棱柱和与之相似的四棱锥的表面积比值。

练习题三:球体和圆柱1. 一个半径为4cm的球从中间切割,得到两个半球。

求这两个半球的表面积之和。

2. 一个圆柱的底面半径为3cm,高度为10cm。

在底面上画一个直径,求这个直径与圆柱的侧面交点处的高度和侧面的面积。

练习题四:棱台和棱锥1. 一个棱台的上底是一个边长为6cm的正三角形,下底是一个边长为12cm的正六边形,高度为8cm。

求该棱台的体积和表面积之和。

2. 一个棱台的上底是一个边长为8cm的正方形,下底是一个边长为12cm的正六边形,高度为10cm。

求该棱台的体积和表面积的比值。

以上仅为一些高中立体几何的练习题,希望能够帮助大家巩固知识并提高解题能力。

在解答这些题目时,可以根据已学习的定理和公式进行计算,并注意单位和精度的问题。

同时也要灵活运用几何思维和建模能力,将实际问题转化为几何图形,从而更好地解决问题。

祝各位同学在立体几何学习中取得好成绩!。

立体几何专题专练100题(含详解)

立体几何专题专练100题(含详解)

1.(本题满分15分)如图,在三棱锥D -ABC 中,DA =DB =DC ,D 在底面ABC 上的射影为E ,AB ⊥BC ,DF ⊥AB 于F .(Ⅰ)求证:平面ABD ⊥平面DEF ;(Ⅱ)若AD ⊥DC ,AC =4,∠BAC =60°,求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值.答案及解析:1.(Ⅰ)如图,由题意知⊥DE 平面ABC所以DE AB ⊥,又DFAB ⊥所以⊥AB 平面DEF ,………………3分又⊂AB 平面ABD 所以平面⊥ABD 平面DEF…………………6分(Ⅱ)解法一:由DC DB DA ==知ECEB EA ==所以E 是ABC ∆的外心又BC AB ⊥所以E 为AC 的中点…………………………………9分过E 作DF EH ⊥于H ,则由(Ⅰ)知⊥EH 平面DAB所以EBH ∠即为BE 与平面DAB 所成的角…………………………………12分由4=AC , 60=∠BAC 得2=DE ,3=EF 所以7=DF ,732=EH 所以721sin ==∠BE EH EBH …………………………………15分解法二:如图建系,则)0,2,0(-A ,)2,0,0(D ,)0,1,3(-B 所以)2,2,0(--=DA ,)2,1,3(--=DB ……………………………………9分设平面DAB 的法向量为),,(z y x n =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DB n DA n 得⎩⎨⎧=--=--023022z y x z y ,取)1,1,33(-=n ………………12分设EB 与n 的夹角为θ所以7213722||||cos ==⋅=n EB nEB θ所以BE 与平面DAB 所成的角的正弦值为721………………………………15分2.如图,在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,AA 1=AC=2AB=2,且BC 1⊥A 1C .(1)求证:平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1;(2)设D是线段BB1的中点,求三棱锥D﹣ABC1的体积.答案及解析:2.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.【专题】综合题;转化思想;综合法;立体几何.【分析】(1)证明A1C⊥面ABC1,即可证明:平面ABC1⊥平面A1ACC1;(2)证明AC⊥面ABB1A1,利用等体积转换,即可求三棱锥D﹣ABC1的体积.【解答】(1)证明:在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中,有A1A⊥面ABC,而AB⊂面ABC,∴A1A⊥AB,∵A1A=AC,∴A1C⊥AC1,又BC1⊥A1C,BC1⊂面ABC1,AC1⊂面ABC1,BC1∩AC1=C1∴A1C⊥面ABC1,而A1C⊂面A1ACC1,则面ABC1⊥面A1ACC1…(2)解:由(1)知A1A⊥AB,A1C⊥面ABC1,A1C⊥AB,故AB⊥面A1ACC1,∴AB⊥AC,则有AC⊥面ABB1A1,∵D是线段BB1的中点,∴.…【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定,考查三棱锥D﹣ABC1的体积,考查学生分析解决问题的能力,正确运用定理是关键.3.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证:CD⊥PD;(2)求证:EF∥平面PAD.答案及解析:3.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判定.【分析】本题是高考的重要内容,几乎年年考,次次有:(1)的关键是找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直.(2)的关键是找出平面PAD中可能与EF平行的直线.【解答】解:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,而CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,又CD⊥AD,AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD、(2)取CD的中点G,连接EG、FG.∵E、F分别是AB、PC的中点,∴EG∥AD,FG∥PD,∴平面EFG∥平面PAD,又∵EF⊂平面EFG,∴EF∥平面PAD.【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点);②利用线面平行的判定定理(a∥α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);③利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);④利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).4.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1.答案及解析:4.【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定.【专题】综合题;空间位置关系与距离.【分析】(1)利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC.利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥AC,再利用线面垂直的判定定理即可证明结论;(2)利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC1,再利用线面平行的判定定理即可证明结论【解答】证明:(1)因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,所以C1C⊥平面ABC,所以C1C⊥AC.又因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.又C1C∩BC=C,所以AC⊥平面CC1B1B,所以AC⊥BC1.(2)连结C1B交CB1于E,再连结DE,由已知可得E为C1B的中点,又∵D为AB的中点,∴DE为△BAC1的中位线.∴AC1∥DE又∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1.【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键.5.已知在三棱锥S﹣ABC中,∠ACB=90°,又SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:AD⊥平面SBC.答案及解析:5.【考点】直线与平面垂直的判定.【专题】证明题.【分析】要证明AD⊥平面SBC,只要证明AD⊥SC(已知),AD⊥BC,而结合已知∠ACB=90°,又SA⊥平面ABC,及线面垂直的判定定理及性质即可证明【解答】证明:∵SA⊥面ABC,∴BC⊥SA;∵∠ACB=90°,即AC⊥BC,且AC、SA是面SAC内的两相交线,∴BC⊥面SAC;又AD⊂面SAC,∴BC⊥AD,又∵SC⊥AD,且BC、SC是面SBC内两相交线,∴AD⊥面SBC.【点评】本题主要考查了直线与平面垂直,平面与平面垂直的相互转化,线面垂直的判定定理的应用,属于基础试题6.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,AP=AB=,点E 是棱PB的中点.(Ⅰ)证明:AE⊥平面PBC;(Ⅱ)若AD=1,求二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值.答案及解析:6.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.【专题】空间位置关系与距离;空间角.【分析】(Ⅰ)由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AB.又PA=AB,从而AE⊥PB.由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,由此能证明AE⊥平面PBC.(Ⅱ)由BC⊥平面PAB,AD⊥AE.取CE的中点F,连结DF,连结BF,则∠BFD为所求的二面角的平面角,由此能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:如图1,由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AB.又PA=AB,故△PAB为等腰直角三角形,而点E是棱PB的中点,所以AE⊥PB.由题意知BC⊥AB,又AB是PB在面ABCD内的射影,由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,故BC⊥AE.因为AE⊥PB,AE⊥BC,所以AE⊥平面PBC.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE.在Rt△PAB中,PA=AB=,AE=PB==1.从而在Rt△DAE中,DE==.在Rt△CBE中,CE==,又CD=,所以△CED为等边三角形,取CE的中点F,连结DF,则DF⊥CE,∵BE=BC=1,且BC⊥BE,则△EBC为等腰直角三角形,连结BF,则BF⊥CE,所以∠BFD为所求的二面角的平面角,连结BD,在△BFD中,DF=CD=,BF=,BD==,所以cos∠BFD==﹣,∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值为﹣.【点评】本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.7.如图所示,四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点,二面角PADB为60°.(1)证明:平面PBC⊥平面ABCD;(2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.答案及解析:7.证明:(1)连接PE,BE,∵PA=PD,BA=BD,而E为AD中点,∴PE⊥AD,BE⊥AD,∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角.在△PAD中,由PA=PD=,AD=2,解得PE=2.在△ABD中,由BA=BD=,AD=2,解得BE=1.在△PEB中,PE=2,BE=1,∠PEB=60˚,由余弦定理,解得PB==,∴∠PBE=90˚,即BE⊥PB.又BC∥AD,BE⊥AD,∴BE⊥BC,∴BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD,∴平面PBC⊥平面ABCD.解:(2)连接BF,由(1)知,BE⊥平面PBC,∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角.∵PB=,∠ABP为直角,MB=PB=,∴AM=,∴EF=.又BE=1,∴在直角三角形EBF中,sin∠EFB==.∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.考点:直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定.专题:证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)连接PE,BE,由已知推导出∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角,推导出BE⊥PB,BE⊥BC,由此能证明平面PBC⊥平面ABCD.(2)连接BF,由BE⊥平面PBC,得∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角,由此能求出直线EF与平面PBC所成角的正弦值.解答:证明:(1)连接PE,BE,∵PA=PD,BA=BD,而E为AD中点,∴PE⊥AD,BE⊥AD,∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角.在△PAD中,由PA=PD=,AD=2,解得PE=2.在△ABD中,由BA=BD=,AD=2,解得BE=1.在△PEB中,PE=2,BE=1,∠PEB=60˚,由余弦定理,解得PB==,∴∠PBE=90˚,即BE⊥PB.又BC∥AD,BE⊥AD,∴BE⊥BC,∴BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD,∴平面PBC⊥平面ABCD.解:(2)连接BF,由(1)知,BE⊥平面PBC,∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角.∵PB=,∠ABP为直角,MB=PB=,∴AM=,∴EF=.又BE=1,∴在直角三角形EBF中,sin∠EFB==.∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.点评:本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养8.(15分)(2010秋•杭州校级期末)如图,已知△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,BC=CD=1,分别为AC、AD的中点.(1)求证:平面BEF⊥平面ABC;(2)求直线AD与平面BEF所成角的正弦值.答案及解析:8.【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.【专题】计算题;证明题.【分析】(1)通过证明CD⊥平面ABC,CD∥EF,说明EF⊂平面BEF,即可证明平面BEF⊥平面ABC;(2)过A作AH⊥BE于H,连接HF,可得AH⊥平面BEF,推出∠AFH为直线AD与平面BEF所成角.在Rt△AFH中,求直线AD与平面BEF所成角的正弦值.【解答】解:(1)证明:∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又∵CD⊥BC,∴CD⊥平面ABC.∵E、F分别为AC、AD的中点,∴EF∥CD.∴EF⊥平面ABC,∵EF⊂平面BEF,∴平面BEF⊥平面ABC.(2)过A作AH⊥BE于H,连接HF,由(1)可得AH⊥平面BEF,∴∠AFH为直线AD与平面BEF所成角.在Rt△ABC中,为AC中点,∴∠ABE=30°,∴.在Rt△BCD中,BC=CD=1,∴.∴在Rt△ABD中,∴.∴在Rt△AFH中,,∴AD与平面BEF所成角的正弦值为.【点评】证明两个平面垂直,关键在一个面内找到一条直线和另一个平面垂直;利用三垂线定理找出二面角的平面角,解三角形求出此角,是常用方法.9.答案及解析:9.10.(12分)(2015秋•拉萨校级期末)如图,边长为2的正方形ABCD中,(1)点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A′.求证:A′D⊥EF(2)当BE=BF=BC时,求三棱锥A′﹣EFD的体积.答案及解析:10.【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】空间位置关系与距离.【分析】(1)由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°,得A'D⊥A'F且A'D⊥A'E,所以A'D⊥平面A'EF.结合EF⊂平面A'EF,得A'D⊥EF;(2)由勾股定理的逆定理,得△A'EF是以EF为斜边的直角三角形,而A'D是三棱锥D﹣A'EF的高线,可以算出三棱锥D﹣A'EF的体积,即为三棱锥A'﹣DEF的体积.【解答】解:(1)由正方形ABCD知,∠DCF=∠DAE=90°,∴A'D⊥A'F,A'D⊥A'E,∵A'E∩A'F=A',A'E、A'F⊆平面A'EF.∴A'D⊥平面A'EF.又∵EF⊂平面A'EF,∴A'D⊥EF.(2)由四边形ABCD为边长为2的正方形故折叠后A′D=2,A′E=A′F=,EF=则cos∠EA′F==则sin∠EA′F==•A′E•A′F•sin∠EA′F=故△EA′F的面积S△EA′F由(1)中A′D⊥平面A′EF可得三棱锥A'﹣EFD的体积V=××2=.【点评】本题以正方形的翻折为载体,证明两直线异面垂直并且求三棱锥的体积,着重考查空间垂直关系的证明和锥体体积公式等知识,属于中档题.11.(12分)(2015秋•沧州月考)如图,在△ABC中,AO⊥BC于O,OB=2OA=2OC=4,点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,BD与AE相交于H,CD与AF相交于G,将△ABO 沿OA折起,使二面角B﹣OA﹣C为直二面角.(Ⅰ)在底面△BOC的边BC上是否存在一点P,使得OP⊥GH,若存在,请计算BP的长度;若不存在,请说明理由;(Ⅱ)求二面角A﹣GH﹣D的余弦值.答案及解析:11.【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质;二面角的平面角及求法.【专题】数形结合;向量法;空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用.【分析】(Ⅰ)根据条件便知H,G分别为△AOB,△AOC的重心,从而有GH∥EF∥BC,并可说明∠BOC为直角,过O作OP⊥BC,从而有OP⊥GH,而根据摄影定理便有,这样即可求出BP的长度;(Ⅱ)根据上面知OB,OC,OA三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,从而可以根据条件求出图形上一些点的坐标,从而可以得到向量的坐标,可设平面AGH的法向量为,而根据即可求出,同样的方法可以求出平面DGH的一个法向量,根据cos=即可得出二面角A﹣GH﹣D的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)H,G分别为△AOB和△AOC的重心;∴;连接EF,则GH∥EF;由已知,EF∥BC,∴GH∥BC;∵OA⊥OB,OA⊥OC,二面角B﹣OA﹣C为直二面角;∴∠BOC为直角;∴在Rt△BOC中,过O作BC的垂线,垂足为P,OP⊥BC,又BC∥GH;∴OP⊥GH,则由摄影定理得:OB2=BP•BC;∴;(Ⅱ)分别以OB,OC,OA为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:O(0,0,0),A(0,0,2),D(0,0,1),B(4,0,0),C(0,2,0),H(),;∴,;设为平面AGH的法向量,则:;取x1=1,则y1=2,z1=1,∴;设为平面DGH的法向量,则:;取x2=1,则;∴;∴由图可知二面角A﹣GH﹣D为锐角,∴该二面角的余弦值为.【点评】考查三角形重心的概念及其性质,平行线分线段成比例,三角形中位线的性质,以及二面角的平面角的定义,直角三角形的摄影定理的内容,建立空间直角坐标系,利用空间向量解决二面角问题的方法,平面的法向量的概念及求法,能求空间点的坐标,根据点的坐标求向量的坐标,向量垂直的充要条件,以及向量夹角的余弦公式,清楚两平面所成二面角的大小和两平面的法向量夹角的关系.12.(12分)(2014•芜湖模拟)如图,E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点,矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面,且AB=2AD=2.(1)求证:EA⊥EC;(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.①试证:EF∥AB;②若EF=1,求三棱锥E﹣ADF的体积.答案及解析:12.【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的性质.【专题】空间位置关系与距离.【分析】(1)利用面面垂直的性质,可得BC⊥平面ABE,再利用线面垂直的判定证明AE⊥面BCE,即可证得结论;(2)①先证明AB∥面CED,再利用线面平行的性质,即可证得结论;②取AB中点O,EF的中点O′,证明AD⊥平面ABE,利用等体积,即可得到结论.【解答】(1)证明:∵平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,BC⊥AB,BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ABE∵AE⊂平面ABE,∴BC⊥AE∵E在以AB为直径的半圆上,∴AE⊥BE∵BE∩BC=B,BC,BE⊂面BCE∴AE⊥面BCE∵CE⊂面BCE,∴EA⊥EC;(2)①证明:设面ABE∩面CED=EF∵AB∥CD,AB⊄面CED,CD⊂面CED,∴AB∥面CED,∵AB⊂面ABE,面ABE∩面CED=EF∴AB∥EF;②取AB中点O,EF的中点O′,在Rt△OO′F中,OF=1,O′F=,∴OO′=∵BC⊥面ABE,AD∥BC∴AD⊥平面ABE∴V E﹣ADF =V D﹣AEF===【点评】本题考查面面垂直的性质,线面垂直的判定与性质,考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.13.(12分)(2014•浙江模拟)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1.答案及解析:13.【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定.【专题】综合题;空间位置关系与距离.【分析】(1)利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC.利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥AC,再利用线面垂直的判定定理即可证明结论;(2)利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC1,再利用线面平行的判定定理即可证明结论【解答】证明:(1)因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,所以C1C⊥平面ABC,所以C1C⊥AC.又因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.又C1C∩BC=C,所以AC⊥平面CC1B1B,所以AC⊥BC1.(2)连结C1B交CB1于E,再连结DE,由已知可得E为C1B的中点,又∵D为AB的中点,∴DE为△BAC1的中位线.∴AC1∥DE又∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1.【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键.14.如图,在三棱锥S﹣ABC中,SB⊥底面ABC,且SB=AB=2,BC=,D、E 分别是SA、SC的中点.(I)求证:平面ACD⊥平面BCD;(II)求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小.答案及解析:14.【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定.【专题】空间位置关系与距离;空间角.【分析】(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD⊥平面BCD.(Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值.【解答】证明:(I)∵∠ABC=,∴BA⊥BC,建立如图所示的坐标系,则C(0,,0),A(2,0,0),D(1,0,1),E(0,,1),S(0,0,2),则=(﹣1,0,1),=(0,,0),=(1,0,1),则•=(﹣1,0,1)•(0,,0)=0,•=(﹣1,0,1)•(1,0,1)=﹣1+1=0,则⊥,⊥,即AD⊥BC,AD⊥BD,∵BC∩BD=B,∴AD⊥平面BCD;∵AD⊂平面BCD;∴平面ACD⊥平面BCD;(II)=(0,,1),则设平面BDE的法向量=(x,y,1),则,即,解得x=﹣1,y=,即=(﹣1,,1),又平面SBD的法向量=(0,,0),∴cos<,>==,则<,>=,即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为.【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定,以及二面角的求解,利用向量法是解决二面角的常用方法.15.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥平面ABCD,(Ⅰ)求证:平面PED⊥平面PAC;(Ⅱ)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.答案及解析:15.【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.【专题】计算题;空间位置关系与距离;空间角.【分析】(I)由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD,从而得到AB、AD、AP两两垂直,因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立坐标系o﹣xyz,得A、D、E、C、P的坐标,进而得到、、的坐标.由数量积的坐标运算公式算出且,从而证出DE⊥AC且DE⊥AP,结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC,从而得到平面PED⊥平面PAC;(II)由(Ⅰ)得平面PAC的一个法向量是,算出、夹角的余弦,即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值,由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2.利用垂直向量数量积为零的方法,建立方程组算出=(1,﹣1,﹣1)是平面平面PCD的一个法向量,结合平面PAC的法向量,算出、的夹角余弦,再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD,可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系o﹣xyz,如图所示…(2分)可得A(0,0,0)D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,λ)(λ>0)∴,,得,,∴DE⊥AC且DE⊥AP,∵AC、AP是平面PAC内的相交直线,∴ED⊥平面PAC.(4分)∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得平面PAC的一个法向量是,设直线PE与平面PAC所成的角为θ,则,解之得λ=±2∵λ>0,∴λ=2,可得P的坐标为(0,0,2)(8分)设平面PCD的一个法向量为=(x0,y0,z0),,由,,得到,令x0=1,可得y0=z0=﹣1,得=(1,﹣1,﹣1)(10分)∴cos<,(11分)由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角,∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为.(12分)【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直,并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC ﹣D的余弦值.着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法,属于中档题.16.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:PA⊥BD;(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.答案及解析:16.(Ⅰ)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz,则A(1,0,0),B(0,,0),C(﹣1,,0),P(0,0,1).=(﹣1,,0),=(0,,﹣1),=(﹣1,0,0),设平面PAB的法向量为=(x,y,z),则即,因此可取=(,1,)设平面PBC的法向量为=(x,y,z),则,即:可取=(0,1,),cos<>==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为:﹣.考点:直线与平面垂直的性质;用空间向量求平面间的夹角.专题:计算题;证明题;综合题;数形结合;转化思想.分析:(Ⅰ)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=,利用勾股定理证明BD⊥AD,根据PD⊥底面ABCD,易证BD⊥PD,根据线面垂直的判定定理和性质定理,可证PA⊥BD;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,写出点A,B,C,P的坐标,求出向量,和平面PAB的法向量,平面PBC的法向量,求出这两个向量的夹角的余弦值即可.解答:(Ⅰ)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz,则A(1,0,0),B(0,,0),C(﹣1,,0),P(0,0,1).=(﹣1,,0),=(0,,﹣1),=(﹣1,0,0),设平面PAB的法向量为=(x,y,z),则即,因此可取=(,1,)设平面PBC的法向量为=(x,y,z),则,即:可取=(0,1,),cos<>==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为:﹣.点评:此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和判定定理,以及应用空间向量求空间角问题,查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力.17.如图,在三棱锥P﹣ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,E,F分别为PB,PC的中点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求证:平面AEF⊥平面PAB.答案及解析:17.【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【专题】空间位置关系与距离.【分析】(1)根据三角形中位线定理可得EF∥BC,进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC;(2)根据PA⊥平面ABC,可得PA⊥BC,结合∠ABC=90°,及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB,进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB,最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB.【解答】证明:(1)∵E,F分别为PB,PC的中点.∴EF∥BC,又∵BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,∴EF∥平面ABC;(2)∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,又∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC,又∵PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,∴BC⊥平面PAB,由(1)中EF∥BC,∴EF⊥平面PAB,又∵EF⊂平面AEF,∴平面AEF⊥平面PAB.【点评】本题考查的知识点是线面平行的判定定理,线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理,是空间线面关系的简单综合应用,难度中档.18.(14分)如图,已知AF⊥平面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4.(Ⅰ)求证:AC⊥平面BCE;(Ⅱ)求三棱锥A﹣CDE的体积;(Ⅲ)线段EF上是否存在一点M,使得BM⊥CE?若存在,确定M点的位置;若不存在,请说明理由.答案及解析:18.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.【专题】空间位置关系与距离.【分析】(I)如图所示,取AB的中点N,连接CN,可得四边形ADCN是正方形,可得NA=NB=NC,可得AC⊥CB,利用AF⊥平面ABCD,AF∥BE,可得BE⊥平面ABCD,即可证明.=V三棱锥E﹣ACD=即可得出.(II)利用V三棱锥A﹣CDE(III)线段EF上存在一点M为线段EF的中点,使得BM⊥CE.连接MN,BM,EN,则四边形BEMN为正方形,可得BM⊥EN,利用线面面面垂直的判定与性质定理可得:CN⊥平面ABEF,可得CN⊥BM,又BM⊥CE.即可证明BM⊥平面CEN.【解答】(I)证明:如图所示,取AB的中点N,连接CN,则四边形ADCN是正方形,可得NA=NB=NC,∴AC⊥CB,∵AF⊥平面ABCD,AF∥BE,∴BE⊥平面ABCD,∴BE⊥AC,又BE∩BC=B,∴AC⊥平面BCE.=V三棱锥E﹣ACD===.(II)解:V三棱锥A﹣CDE(III)解:线段EF上存在一点M为线段EF的中点,使得BM⊥CE.连接MN,BM,EN,则四边形BEMN为正方形,∴BM⊥EN,∵CN⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴CN⊥平面ABEF,∴CN⊥BM,又CN∩EN=N,∴BM⊥平面CEN,∴BM⊥CE.【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、正方形的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.(13分)如图,在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中,(1)在正方体的12条棱中,与棱AA1是异面直线的有几条(只要写出结果)(2)证明:AC∥平面A1BC1;(3)证明:AC⊥平面BDD1B1.答案及解析:19.【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【专题】证明题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.【分析】(1)画出正方体ABCD﹣A1B1C1D1,根据异面直线的概念即可找出与棱AA1异面的棱.(2)连接AC,A1C1,则A1C1∥AC,利用线面平行的判定定理即可证明;(3)由DD1⊥面AC,知DD1⊥AC,由DD1⊥BD,能够证明AC⊥平面BDD1B1.【解答】解:(1)与棱AA1异面的棱为:CD,C1D1,BC,B1C1,共4条.(2)证明:连接AC,A1C1,则A1C1∥AC,∵AC⊄平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,∴AC∥平面A1BC1;(3)证明:∵DD1⊥面AC,AC⊂平面AC,∴DD1⊥AC,∵AC⊥BD,DD1∩BD=D,BD⊂平面BDD1B1,DD1⊂平面BDD1B1∴AC⊥平面BDD1B1.【点评】考查异面直线的概念,直线与平面垂直的证明,直线与平面平行的判定,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化,属于中档题.20.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,(1)证明:BC1⊥面A1B1CD;(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.答案及解析:20.【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.【分析】(1)要证BC1⊥面A1B1CD;应通过证明A1B1⊥BC1.BC1⊥B1C两个关系来实现,两关系容易证明.(2)因为BC1⊥平面A1B1CD,所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,所以∠BA1O 为A1B与平面A1B1CD所成的角.在RT△A1BO中求解即可.【解答】解:(1)连接B1C交BC1于点O,连接A1O.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中因为A1B1⊥平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1.又∵BC1⊥B1C,又BC1∩B1C=O∴BC1⊥平面A1B1CD(2)因为BC1⊥平面A1B1CD,所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,所以∠BA1O 为A1B与平面A1B1CD所成的角.设正方体的棱长为a在RT△A1BO中,A1B=a,BO=a,所以BO=A1B,∠BA1O=30°,即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.【点评】本题考查空间直线与平面垂直关系的判断,线面角大小求解,考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力.21.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中点.(1)证明:PA∥平面EDB;(2)证明:平面PAC⊥平面PDB.答案及解析:21.【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.【分析】(1)欲证PA∥平面EDB,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EDB内一直线平行,连接AC,交BD于O,连接EO,根据中位线定理可知EO∥PA,PA⊄平面EDB,EO⊂平面EDB,满足定理所需条件;(2)证明AC⊥平面PBD,即可证明平面PAC⊥平面PDB.【解答】证明:(1)设AC与BD相交于点O,则O为AC的中点.∵E是P的中点,∴EO∥PA又∵EO⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB;(2)∵PO⊥平面ABCD,∴PD⊥AC又∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD从而AC⊥平面PBD,∴平面PAC⊥平面PBD.【点评】本题考查直线与平面平行的判定,以及平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力,逻辑思维能力,计算能力,是中档题.22.如图,在直三棱柱ABC=A1B1C1中,AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上.(1)求证:BC⊥A1B;(2)若AD=,AB=BC=2,P为AC的中点,求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值.答案及解析:22.【考点】用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】空间位置关系与距离;空间角.【分析】(Ⅰ)由已知得A1A⊥平面ABC,A1A⊥BC,AD⊥BC.由此能证明BC⊥A1B.(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥平面A1AB,从而BC⊥AB,以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz,利用向量法能求出二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,∴A1A⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,∴A1A⊥BC,∵AD⊥平面A1BC,且BC⊂平面A1BC,∴AD⊥BC.又AA1⊂平面A1AB,AD⊂平面A1AB,A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AB,又A1B⊂平面A1BC,∴BC⊥A1B.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知BC⊥平面A1AB,AB⊂平面A1AB,从而BC⊥AB,如图,以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz∵AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上,∴AD⊥A1B.在Rt△ABD中,AD=,AB=2,sin∠ABD==,∠ABD=60°,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥AB.在Rt△ABA1中,AA1=AB•tan60°=2,则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),P(1,1,0),A 1(0,2,2),,=(0,2,2),,设平面PA1B的一个法向量,则,即,得,设平面CA1B的一个法向量,则,即,得,,∴二面角P﹣A1B﹣C平面角的余弦值是.…【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.23.(16分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a,E为棱AB上的一动点.(1)若E为棱AB的中点,①求四棱锥B1﹣BCDE的体积②求证:面B1DC⊥面B1DE(2)若BC1∥面B1DE,求证:E为棱AB的中点.答案及解析:23.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.【分析】(1)①四棱锥B1﹣BCDE的底面为直角梯形BEDC,棱锥的高为B1B,代入体积公式即可;②面B1DC∩面B1DE=B1D,故只需在平面B1DE找到垂直于交线B1D的直线即可,由DE=B1E=a可易知所找直线为等腰△EB1D底边中线;(2)辅助线同上,由中位线定理可得OF∥DC,且OF=DC,从而得出OF∥EB,由BC1∥面B1DE可得EO∥B1C,故四边形OEBF是平行四边形,得出结论.【解答】证明:(1)①∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1∴B1B平面BEDC,•B1B=•(a+)•a•a=.∴V=•S梯形BCDE②取B1D的中点O,设BC1∩B1C=F,连接OF,∵O,F分别是B1D与B1C的中点,∴OF∥DC,且OF=DC,又∵E为AB中点,∴EB∥DC,且EB=DC,∴OF∥EB,OF=EB,即四边形OEBF是平行四边形,∴OE∥BF,∵DC⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴BC1⊥DC,∴OE⊥DC.又BC1⊥B1C,∴OE⊥B1C,又∵DC⊂平面B1DC,B1C⊂平面B1DC,DC∩B1C=C,∴OE⊥平面B1DC,。

立体几何基础题题库(360道附详细答案)

立体几何基础题题库(360道附详细答案)

S P
S
SS
S
PP
P
R
RR
Pபைடு நூலகம்
Q
R Q
QR
R
P
QR P PQ
Q
R
P
R
Q
QS
R
SS
Q
R
S
SQ R
Q
Q
RP
Q
P
R
S SQ R
P S
R Q
(A)
(B)
(C)
(D)
D
解析: A 项: PS 底面对应的中线,中线平行 QS,PQRS 是个梯形
D'
P
A'
S
C'
B'
R
D
A
B 项: 如图
Q
C B
C 项:是个平行四边形
EG2 FH 2 =2 (EF 2 FG2 ) = 1 ( AC2 BD2 ) 1 (a2 2b)
2
2
27. 如图,在三角形⊿ABC 中,∠ACB=90º, AC=b,BC=a,P 是⊿ABC 所在平面外一点,PB⊥AB, 点,AB⊥MC,求异面直 MC 与 PB 间的距离.
M 是 PA 的中
四边形矛盾。∴EF 和 AD 为异面直线.
26. 在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 分别是 CB,CD 的中点,若 AC + BD
= a ,AC BD =b,求 EG2 FH 2 . A
解析:四边形 EFGH 是平行四边形,…………(4 分)
E H
B F
D
G C
得 OX2+OY2+OZ2=37,OP= 37 .

立体几何知识点和例题(含有答案)

立体几何知识点和例题(含有答案)

【考点梳理】一、考试内容1.平面。

平面的基本性质。

平面图形直观图的画法。

2.两条直线的位置关系。

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

对应边分别平行的角。

异面直线所成的角。

两条异面直线互相垂直的概念。

异面直线的公垂线及距离。

3.直线和平面的位置关系。

直线和平面平行的判定与性质。

直线和平面垂直的判定与性质。

点到平面的距离。

斜线在平面上的射影。

直线和平面所成的角。

三垂线定理及其逆定理。

4.两个平面的位置关系。

平面平行的判定与性质。

平行平面间的距离。

二面角及其平面角。

两个平面垂直的判定与性质。

二、考试要求1.掌握平面的基本性质,空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念。

对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离。

2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定,进行论证和解决有关问题。

对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。

3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形)的直观图。

能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想象它们的位置关系。

4.理解用反证法证明命题的思路,会用反证法证明一些简单的问题。

三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系(1)角①相交直线所成的角;②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角;③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角;④二面角——用二面角的平面角来度量。

(2)距离①两点之间的距离——连接两点的线段长;②点线距离——点到垂足的距离;③点面距离——点到垂足的距离;④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离;⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长;⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离;⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离;⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。

立体几何题目集(基础)

立体几何题目集(基础)

立体几何题目集(基础)
1.两个正方体
两个正方体A和B的边长分别为$a$和$b$,它们的体积比为$4:1$,求正方体A的边长$a$与正方体B的边长$b$的比值。

2.圆柱体的体积
一个圆柱体的高度为$h$,半径为$r$,求它的体积$V$。

3.球体的表面积
一个球体的半径为$r$,求它的表面积$S$。

4.直方体的长、宽和高
一个直方体的表面积为$S$,它的长、宽和高的比为$a:b:c$,求直方体的长、宽和高分别是多少。

5.正方体的对角线
一个正方体的边长为$a$,求它的对角线的长度。

6.锥形的体积
一个圆锥的底面半径为$r$,高度为$h$,求它的体积$V$。

7.棱柱体和棱锥体的体积
一个棱柱体和一个棱锥体的高度都为$h$,棱柱体的底面积为$A$,棱锥体的底面积为$B$,求棱柱体的体积$V_1$与棱锥体的体积$V_2$的比值。

8.圆台的体积
一个圆台的底面半径为$r_1$,顶面半径为$r_2$,高度为$h$,求它的体积$V$。

9.正方体的表面积
一个正方体的边长为$a$,求它的总表面积$S$。

10.球体的体积
一个球体的半径为$r$,求它的体积$V$。

以上是立体几何题目集(基础),共包含10道题目。

希望对您的学习有帮助!。

立体几何概念及辨析练习

立体几何概念及辨析练习

立体几何复习资料判断下列命题是否正确。

(1)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱;(2)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;(3)棱柱的侧面一定是平行四边形;(4)有两个侧面都垂直于底面的棱柱是直棱柱;(5)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台;(6)有一个面是多边形,其余各面都是三角,这些面围成的几何体是棱锥;(7)用一个平面去截四棱锥,截面可以是一个五边形;(8)用一个平面去截正方体,截面不可能是五边形;(9)棱台侧棱所在的直线一定交于同一点;(10)正六棱锥侧面三角形的顶角一定小于60°;(11)用平行于棱台底面的平面截棱台,截面与两个底面是相似多边形;(12)直角三角形绕其一边所在直线旋转一周,所得曲面围成的几何体是圆锥;(13)用一个平面去截圆锥,截面可以是等腰三角形;(14)A、B是棱长为1的正方体表面上两个动点,则线段AB长度的最大值为2;(15)用一个平面去截圆台,截面是等腰梯形,则截面一定过圆台的轴或与轴平行;(16)空间三个点确定一个平面;(17)有无数个公共点的两个平面重合;(18)两两相交的三条直线必共面;(19)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(20)不共面的四点可以确定4个平面;(21)如果一条直线m在平面α外,那么m上有无数个点在α外;(22)三条平行的直线必共面;(23)直线a、b共面,直线b、c共面,那么直线a、c也共面;(24)三个两两相交的平面,可以有一条或三条交线;(25)分别在两个平面内的两条直线是异面直线;(26)一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线相交;(27)空间三条直线a、b、c,如果a⊥b,b⊥c,则a//c;(28)过空间一点可以作一条直线和两条异面直线都平行;(29)正方体12条棱中,组成异面直线的有24对;(30)同时垂直于两条异面直线的直线有且只有一条;(31)直线a上有两个不同的点到直线b的距离相等,那么a//b;(32)有三个角是直角的四边形是平面图形;(33)一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也和另一条垂直;(34)和两条异面直线分别平行的两条直线仍是异面直线;(35)过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行;(36)过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直;(37)两条直线如果不平行,就一定相交;(38)如果两条直线平行,它们和第三条直线所成的角相等;(39)一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相反,那么这两个角相等;(40)若直线a//平面α,且直线b⊂平面α,则a//b;(41)若直线a//b,且直线a//平面α,则b//α;(42)若直线a//平面α,且直线b//平面α,则a//b;(43)如果平面α∩β=a,直线b⊂β,且直线b和a没有公共点,那么b//a;(44)如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都不相交;(45)若A、B分别是直线a上的点,A和B到平面α的距离为d(d>0),则a//α;(46)如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和此平面相交;(47)一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行;(48)经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;(49)空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面;(50)如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线平行于两平面的交线;(51)如果在平面内有无数条直线和此平面外的一条直线垂直,那么这个平面和该直线垂直;(52)如果一条直线和平面相交但不垂直,那么在此平面内不存在和这条直线垂直的直线;(53)若一条直线同时垂直于一个三角形的两边,则此直线垂直于三角形的第三边;(54)若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则此直线与这个平面垂直;(55)直线a⊥平面α,直线b⊥a,则b//α;(56)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;(57)若一条直线l和一个平面α平行,那么直线l 上的各点到α的距离相等;(58)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面;(59)如果一条直线垂直于梯形的任意两边,那么此直线垂直于梯形所在的平面;(60)直线l和平面α都与平面β垂直,则直线l//α;(61)如果直线a//平面α,直线b⊂α,那么有且只有一个平面β,使得b⊂β且a⊥β;(62)如果两条直线a和b在平面α内的射影互相平行,那么a//b;(63)如果两条直线a和b与平面α所成的角相等,那么这两条直线互相平行;(64)一条直线在一个平面内的射影可能是一个点;(65)两条线段在同一个平面内的射影长相等,那么这两条线段长也相等;(66)在一个平面内的射影是线段的图形是一条线段;(67)平面ABC外一点P到A、B和C的距离相等,则P在此平面内射影为△ABC的外心;(68)三棱锥的侧棱两两垂直,则顶点在底面的射影为底面三角形的垂心;(69)若两条直线a和b在平面α内的射影是同一条直线,则a//b或a与b相交;(70)若两条直线a和b在平面α内的射影是两条相交直线,则a与b相交或异面;(71)如果两个平面平行于同一条直线,那么这两个平面平行;(72)如果两条直线平行于同一个平面,那么这两条直线平行;(73)如果两个平面同时垂直于第三个平面,那么这两个平面平行;(74)如果两个不同的平面都平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(75)如果平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,那么平面α//平面γ;(76)若存在无数条直线都与平面α、β平行,则α//β;(77)若a//α,a⊂β,则α//β;(78)过平面外一点,有且只有一个平面与该平面平行;(79)过平面外的一条直线,有且只有一个平面与该平面平行;(80)过平面外一点,和这个平面平行的直线所确定的平面,和这个平面平行;(81)一条直线和两个平行平面所成的角相等;(82)平面α//平面β,a⊂α,b⊂β,则a//b;(83)平面α内两条直线和平面β平行,那么α//β;(84)若α//β,则α内任意一条都平行于β;(85)若直线a//平面α,则a与α内的所有直线都平行;(86)若直线a//平面α,则a与α内的无数条直线都平行;(87)若平面α//β,直线a//α,则a//β;(88)平面α内有不共线三点到平面β的距离相等,则α//β;(89)若a//b,a⊥平面α,b⊥平面β,则α//β;(90)a、b是异面直线,a⊂α,b⊂β,若a//β,b//α,则α//β;(91)若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;(92)平行于同一平面的两个平面互相平行;(93)两个平行平面中的一个与直线a垂直,则另一个平面也与直线a垂直;(94)一条直线和两个平行平面所成的角相等;(95)一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行;(96)夹在两个平行平面间的平行线段长相等;(97)过平面外一点有且只有一个平面与此平面平行;(98)平行于两条异面直线的两个平面必平行;(99)过平面外一点,有且只有一个平面与此平面垂直;(100)若a⊥b,a⊂平面α,b⊂平面β,则α⊥β;(101)三条共点的直线两两垂直,所得的三个平面也两两垂直;(102)过平面α外的两个点A和B与平面α垂直的平面有且只有一个;(103)如果一个平面与另一个平面的平行线垂直,那么这两个平面垂直;(104)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面内的直线与另一个平面一定不平行;(105)两个平面垂直,过其中一个平面内一点作交线垂直的直线,必垂直于另一个平面;(106)平面α⊥β,a⊂α,b⊂β且a⊥b,则a⊥β;(107)已知平面α、β、γ,若α⊥γ,β//α,则β⊥γ;(108)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ;。

立体几何知识点大题总结

立体几何知识点大题总结

立体几何知识点大题总结一、空间几何基本概念1. 点、线、面、立体的概念在空间几何中,点是不占据空间但确定位置的;线是由无数的点连成的,具有长度、无宽度;面是由无数的线连成的,具有长度和宽度但无高度;立体是由无数的面组成的,具有长度、宽度和高度。

这些基本概念是进行空间几何研究的基础。

2. 空间直角坐标系空间直角坐标系是在三维空间中建立的坐标系。

它由三个互相垂直的坐标轴构成,分别记作x轴、y轴和z轴。

在空间直角坐标系中,每个点都可以用一个有序数对(x, y, z)表示,其中x、y、z分别表示点在x轴、y轴和z轴上的坐标。

二、立体图形的基本元素1. 立体图形的概念立体图形是由面围成的有一定空间形状的图形。

在立体几何中,常见的立体图形包括立方体、长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

这些立体图形在现实生活中都有着广泛的应用,因此对于这些立体图形的性质和运算规律进行研究具有重要的意义。

2. 立体图形的基本元素立体图形的基本元素包括面、棱和顶点。

面是立体图形的表面,由线段围成的部分就是面;棱是面的交线,是两个面的交线段;顶点是多个面的交汇点,是立体图形的角的顶点。

其中,面、棱和顶点是立体图形的基本组成要素,了解它们的性质和相互关系对于进行立体几何的研究是至关重要的。

三、立体图形的表面积和体积1. 立体图形的表面积立体图形的表面积是指立体图形外表面的总面积。

不同形状的立体图形其表面积的计算方法也不同。

比如,对于立方体,它的表面积等于六个面的面积之和;对于球体,它的表面积等于球面积的计算公式S=4πr^2。

因此,对于不同的立体图形,了解其表面积的计算方法是十分重要的。

2. 立体图形的体积立体图形的体积是指立体图形所包含的空间大小。

与表面积不同的是,立体图形的体积计算方法各不相同。

比如,对于立方体,它的体积等于底面积乘以高;对于球体,它的体积等于球的体积计算公式V=4/3πr^3。

因此,对于不同形状的立体图形,了解其体积的计算方法是非常重要的。

立体几何基础选择题(附答案)

立体几何基础选择题(附答案)

立体几何基础选择题(附答案)1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则正确的命题是()A、若l⊥m,m∈α,则XXX⊥αB、XXX⊥α,l∥m,则XXX⊥αC、若l∥α,XXXα,则l∥mD、若l∥α,m∥α,则l∥m2.在空间中,正确的命题是()A、平行于同一平面的两条直线平行B、平行于同一直线的两个平面平行C、垂直于同一平面的两个平面平行D、垂直于同一平面的两条直线平行3.用a、b、c表示三条不同的直线,α表示平面,正确的命题有:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥α,b∥α,则a∥b;④若a⊥α,XXXα,则a∥b。

A.①②B.②③C.①④D.③④4.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。

其中,为真命题的是()A。

①和② B。

②和③ C。

③和④ D。

②和④5.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,正确的命题是()A。

XXX⊥α,α⊥β,则XXXβB。

若XXXα,α∥β,则XXXβC。

XXX⊥α,α∥β,则XXX⊥βD。

若XXXα,α⊥β,则XXX⊥β6.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,正确的命题是()A。

若m∥α,n∥α,则XXXB。

若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC。

若m∥α,m∥β,则α∥βD。

XXX⊥α,n⊥α,则XXX7.设有直线m,n和平面α,β。

正确的命题是()A。

若m∥α,n∥α,则XXXB。

若m∈α,n∈α,m∥β,n∥β,则α∥βC。

若α⊥β,XXXα,则m⊥βD。

若α⊥β,m⊥β,m∈α,则m∥α8.已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则m⊥n;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β。

高中立体几何试题及答案

高中立体几何试题及答案

高中立体几何试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 空间中,如果直线a与平面α平行,那么直线a与平面α内的任意直线b的位置关系是:A. 平行B. 异面C. 相交D. 垂直2. 一个正方体的棱长为a,那么它的对角线长度为:A. a√2B. a√3C. 2aD. 3a3. 已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,圆锥的体积是:A. πr²hB. 1/3πr²hC. 2πr²hD. 3πr²h4. 一个球的半径为R,那么它的表面积是:A. 4πR²B. 2πR²C. πR²D. R²5. 空间中,如果两个平面α和β相交于直线l,那么直线l与平面α和平面β的位置关系是:A. 平行B. 垂直C. 相交D. 包含二、填空题(每题2分,共10分)6. 空间直角坐标系中,点A(2,3,4)到原点O的距离是________。

7. 一个正四面体的每个顶点都与其它三个顶点相连,那么它的边长与高之比为________。

8. 已知一个长方体的长、宽、高分别为l、w、h,那么它的体积是________。

9. 空间中,如果一个点到平面的距离是d,那么这个点到平面上任意一点的距离的最大值是________。

10. 一个圆柱的底面半径为r,高为h,它的侧面积是________。

三、解答题(共75分)11. (15分)已知空间直角坐标系中,点A(1,2,3),B(4,5,6),点C 在平面ABC内,且AC=BC=2,求点C的坐标。

12. (20分)一个圆锥的底面半径为3,高为4,求圆锥的全面积和表面积。

13. (20分)一个长方体的长、宽、高分别为5、3、2,求其外接球的半径。

14. (20分)已知一个球的表面积为4π,求该球的体积。

答案:一、选择题1. A2. B3. B4. A5. C二、填空题6. √(1²+2²+3²)=√147. √3:18. lwh9. d+R10. 2πrh三、解答题11. 点C的坐标可以通过向量运算求得,设C(x,y,z),则向量AC=向量BC,即(1-x,2-y,3-z)=(x-4,5-y,6-z),解得x=3,y=4,z=5,所以点C的坐标为(3,4,5)。

「立体几何基础题题库301-350」

「立体几何基础题题库301-350」

立体几何基础题题库301-350(有详细答案)301. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面三条对角线AB 1、BC 1、CA 1中,AB 1⊥BC 1.求证:AB 1⊥CA 1.解析:方法1 如图,延长B1C 1到D,使C1D=B1C 1.连CD 、A 1D.因AB 1⊥BC 1,故AB 1⊥CD;又B 1C 1=A 1C1=C1D ,故∠B 1A 1D=90°,于是DA 1⊥平面AA 1B 1B.故AB 1⊥平面A 1CD,因此AB 1⊥A 1C.方法2 如图,取A 1B1、AB 的中点D 1、P.连CP 、C1D 1、A 1P 、D 1B,易证C 1D 1⊥平面AA1B 1B.由三垂线定理可得A B1⊥B D1,从而AB 1⊥A 1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB 1⊥A 1C.说明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线,证明线面垂直常采用下列方法:(1)利用线面垂直的定义;(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线;(3)证明直线平行于平面的垂线;(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.302. 已知:正三棱柱A BC—A ′B′C′中,AB ′⊥BC ′,BC =2,求:线段AB ′在侧面C C BB ''上的射影长.解析: 如图,取BC 的中点D.∵AD ⊥B C,侧面''B BCC ⊥底面A BC,∴AD ⊥侧面''B BCC D B '是斜线AB ′在侧面的射影.又∵AB ′⊥BC′,∴D B '⊥BC ′.设BB ′=x,在Rt ΔBD B '中,BE ∶BD ='BB ,D B '=21x .∵E是ΔBB′C 的重心.∴BE=31BC ′=3124x +∴x =3121x +·42+x ,解得:x =2. ∴线段AB ′在侧面的射影长为2.303. 平面α外一点A 在平面α内的射影是A ′,BC在平面内,∠ABA ′=θ,β=∠BC A ',∠A BC =γ,求证:cos γ=cos θ·cos β.解析: 过A ′作''C A ⊥BC 于C ′,连AC ′.∵A A′⊥平面α,B C垂直AC 在平面α内的射线''C A .∴B C′⊥AC′,cos γ=ABC B '.又∵cos θ=AB B A ',cos β=BA CB '', ∴co sγ=c os θ·c os β.304. ΔAB C在平面α内的射影是ΔA′B ′C′,它们的面积分别是S 、S′,若ΔABC 所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0<θ<90°=,则S ′=S·co sθ. 证法一 如图(1),当BC 在平面α内,过A ′作A′D ⊥BC,垂足为D.∵AA ′⊥平面α,AD 在平面α内的射影A′D 垂直BC.∴AD ⊥B C.∴∠ADA ′=θ.又S ′=21A ′D ·BC,S=21A D·B C,cos θ=AD D A ',∴S ′=S ·cos θ. 证法二 如图(2),当B 、C 两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内,可运用(1)的结论证明S ′=S·c os θ.305. 求证:端点分别在两条异面直线a 和b 上的动线段AB 的中点共面.证明 如图,设异面直线a、b 的公垂线段是PQ ,PQ 的中点是M ,过M 作平面α,使P Q⊥平面α,且和AB 交于R,连结AQ,交平面α于N .连结MN 、N R.∵PQ⊥平面α,MN⊂α,∴PQ ⊥MN.在平面A PQ内,PQ ⊥a,P Q⊥M N,∴MN ∥a,a ∥α,又∵P M=MQ ,∴AN =N Q,同理可证NR ∥b,RA=R B.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.306. 如图,已知直三棱柱ABC —A1B1C 1中,∠AC B=90°,∠BAC=30°,BC=1,A A1=6,M 是CC 1的中点,求证:AB 1⊥A 1M.解析:不难看出B1C 1⊥平面AA 1C 1C,A C1是A B1在平面AA 1C 1C 上的射影.欲证A 1M ⊥A B1,只要能证A 1M ⊥AC 1就可以了.证:连AC 1,在直角ΔABC 中,BC=1,∠BAC =30°,∴ AC=A1C 1=3.设∠AC 1A1=α,∠MA 1C 1=β∴ t an α=111C A AA =36=2, tg β=111C A MC =326=22. ∵cot(α+β)=βαβαtan tan tan tan 1+-=22211+-=0,∴α+β=90° 即A C1⊥A 1M.∵B 1C1⊥C1A1,C C1⊥B 1C1,∴B 1C 1⊥平面AA 1CC 1,AC 1是AB 1在平面AA 1C 1C 上的射影.∵A C1⊥A 1M ,∴由三垂线定理得A 1M⊥A B1.评注:本题在证A C1⊥A 1M 时,主要是利用三角函数,证α+β=90°,与常见的其他题目不太相同.307. 矩形ABCD,AB=2,AD=3,沿BD 把ΔBCD 折起,使C 点在平面ABD 上的射影恰好落在AD 上.(1)求证:CD ⊥AB ;(2)求CD 与平面ABD 所成角的余弦值.(1)证明如图所示,∵CM⊥面ABD,AD⊥AB,∴CD⊥AB(2)解:∵CM⊥面ABD∴∠CDM为CD与平面ABD所成的角,DMcos∠CDM=CD作CN⊥BD于N,连接MN,则MN⊥BD.在折叠前的矩形ABCD图上可得DM∶CD=CD∶CA=AB∶AD=2∶3.2∴CD与平面ABD所成角的余弦值为3308.空间四边形PABC中,PA、PB、PC两两相互垂直,∠PBA=45°,∠PBC=60°,M 为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角;(2)求证:AB⊥平面PMC.解析:此题数据特殊,先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解∵ PA⊥AB,∴∠APB=90°在RtΔAPB中,∵∠ABP=45°,设PA=a,则PB=a,AB=2a,∵PB⊥PC,在RtΔPBC中,∵∠PBC=60°,PB=a.∴BC=2a,PC=3a.∵AP ⊥P C ∴在Rt ΔAPC 中,AC=22PC PA +=22)3(a a +=2a(1)∵PC ⊥PA,PC ⊥PB,∴PC ⊥平面P AB ,∴BC 在平面P BC上的射影是B P.∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角∵∠PBC=60°,∴BC 与平面PB A的角为60°.(2)由上知,PA=P B=a,AC =BC =2a.∴M 为AB的中点,则AB ⊥PM,A B⊥CM.∴A B⊥平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系,线面角的定义,通过数据特点,发现解题捷径.309. 在空间四边形AB CP中,PA ⊥PC,PB ⊥B C,AC ⊥BC.PA 、PB 与平面ABC 所成角分别为30°和45°。

立体几何知识点习题

立体几何知识点习题

立体几何知识点和典型例题1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母,如五棱柱ABCDE A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母,如五棱柱AD'几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2棱锥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母,如五棱锥P A'B'C'D'E'几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:用各顶点字母,如五棱台P A'B'C'D'E'几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分(2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,h 为斜高,I 为母线) s 正棱锥侧面积2ch 'S 直棱柱侧面积ch S 圆柱侧2 rhs 圆锥侧面积rl1 ,S 正棱台侧面积2(G Q )hr r l台侧面积(rR)S 圆柱表 2(3)柱体、 S 圆锥表s 圆台表2 2r rl Rl RV 柱 Sh1V 台3(S锥体、台体的体积公式 V 圆柱Sh r 2h几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是 一个弓形。

立体几何概念题选择题专项练习

立体几何概念题选择题专项练习

立体几何基本概念选择三十题姓名:_________________ 正确个数:_________________选择题(共30 小题)1.(2012?浙江)设l 是直线,α,β是两个不同的平面()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βD若α⊥β,l∥α,则l⊥β.2.(2011?浙江)若直线l 不平行于平面α,且l?α,则()A.α内存在直线与l 异面B.α内存在与l 平行的直线C.α内存在唯一的直线与l 平行D.α内的直线与l 都相交3.(2011?浙江)下列命题中错误的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β,=l那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β4.(2010?浙江)设l,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是()A 若l⊥m,m? α,则l⊥αB 若l⊥α,l∥m,则m⊥αC 若l∥α,m? α,则l∥mD 若l∥α,m∥α,则l∥m5.(2010?江西)如图,M 是正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱DD1 的中点,给出下列命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB、B1C1 都相交;②过M 点有且只有一条直线与直线AB、B1C1 都垂直;③过M 点有且只有一个平面与直线AB、B1C1 都相交;④过M 点有且只有一个平面与直线AB、B1C1 都平行.其中真命题是()A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③6.(2008?江西)设直线m 与平面α相交但不垂直,则下列说法中正确的是()A.在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直B.过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直C.与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行D.与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直7.(2008?湖南)设有直线m、n 和平面α、β,下列四个命题中,正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m? α,n? α,m∥β,n∥β,则α∥βC.若α⊥β,m? α,则m⊥β D.若α⊥β,m⊥β,m?α,则m∥α8.(2008?湖南)已知直线m、n 和平面α、β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则()A.n⊥βB.n∥β,或n? βC.n⊥αD.n∥α,或n? α9.(2008?海南)已知平面α⊥平面β,α∩β,=点l A∈α,A?l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥βD.AC⊥β10.(2008?安徽)已知m,n 是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的为()A 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m∥α,m∥β,则α∥βC 若m∥α,n∥α,则m∥n D 若m⊥α,n⊥α,则m∥n11.设a,b 为两条直线,α,β为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是()A.若a,b 与α所成的角相等,则α∥b B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a? α,b? β,α∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,是a⊥b12.若m,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中为真命题的是()A.若m? β,α⊥β,则m⊥αB.若α∩γ=,mβ∩γ,=nm∥n,则α∥βC.若α⊥γ,α⊥β,则β∥γD.若m⊥β,m∥α,则α⊥β13.已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面四个命题:①m∥n,m⊥α? n⊥α②α∥β,m? α,n? β?m∥n③m∥n,m∥α? n∥α④α∥β,m∥n,m⊥α? n⊥β其中正确命题的序号是()A.①③B.②④C.①④D.②③14.平面α外有两条直线m 和n,如果m 和n 在平面α内的射影分别是m′和n′,给出下列四个命题:①m′⊥n′?m⊥n;②m⊥n? m′⊥n′;③m′与n′相交? m 与n 相交或重合;④m′与n′平行? m 与n 平行或重合.其中不正确的命题个数是()A.1 B.2 C.3 D.415.已知m、n 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.m? α,n? α,m∥β,n∥β? α∥βB.α∥β,m? α,n? β,? m∥nC.m⊥α,m⊥n? n∥αD.n∥m,n⊥α? m⊥α16.对于任意的直线l 与平面α,在平面α内必有直线m,使m 与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线17.给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线l1,l2 与同一平面所成的角相等,则l1,l2 互相平行.④若直线l1,l2 是异面直线,则与l1,l2 都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.418.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4 个命题中,假命题是()A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上19.对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件:①存在平面γ,使得α,β都平行于γ②存在平面γ,使得α,β都垂直于γ;③α内有不共线的三点到β的距离相等;④存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.其中,可以判定α与β平行的条件有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个20.已知m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β;④若m、n 是异面直线,m⊥α,m∥β,n⊥β,n∥α,则α⊥β其中真命题是()A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④21.已知a、b、c 是三条直线,β是平面,给出下列命题:①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;②若a∥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥β,b? β,则a∥b;④若a 与b 异面,且a∥β,则 b 与β相交;⑤若a 与b 异面,则至多有一条直线与a,b 都垂直.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.422.已知直线m、n 与平面α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.323.不同直线m,n 和不同平面α,β,给出下列命题:①,②,③,④其中假命题有:()A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个24.在下列关于直线l、m 与平面α、β的命题中,真命题是()A.若l? β,且α⊥β,则l⊥αB.若l⊥β,且α∥β,则l⊥αC.若α∩β=,m且l⊥m,则l∥αD.若l⊥β,且α⊥β,则l∥α25.(2004?湖北)如图是正方体的平面展开图.在这个正方形中,①BM 与ED 平行;②CN 与BE是异面直线;③CN 与BM 成60°角;④DM 与BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是()A.①②③B.②④C.③④D.②③④26.设m、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是()①若m⊥α,n∥α,则m⊥n ②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ③若m∥α,n∥α,则m∥n ④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④27.已知三条直线m、n、l,三个平面α、β、γ,下列四个命题中,正确的是()A.B.C.D.28.在下列条件中,可判断平面α与β平行的是()A.α、β都垂直于平面rB.α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l,m 是α内两条直线,且l∥β,m∥βD.l,m 是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β29.已知m,n 为异面直线,m? 平面α,n? 平面β,α∩β,=则l l()A.与m,n 都相交B.与m,n 中至少一条相交C.与m,n 都不相交D.至多与m,n 中的一条相交30.已知直线l、m,平面α、β,且l⊥a,m⊥β,给出下列四个命题;(1)若α∥β,则l⊥m.(2)若l⊥m,则α∥β.(3)若α⊥β,则l∥m.(4)若l∥m,则α// β.其中正确命题的个数是()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个。

立体几何经典习题集(含答案)

立体几何经典习题集(含答案)

立体几何基础A 组题一、选择题:1.下列命题中正确命题的个数是 ( ) ⑴ 三点确定一个平面⑵ 若点P 不在平面α内,A 、B 、C 三点都在平面α内,则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内 ⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形A.0B.1C.2D.3答案:A2.已知异面直线a 和b 所成的角为︒50,P 为空间一定点,则过点P 且与a 、b 所成的角都是︒30的直线条数有且仅有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案:B 3.已知直线⊥l 平面α,直线⊂m 平面β,下列四个命题中正确的是 ( ) (1) 若βα//,则m l ⊥ (2) 若βα⊥,则m l // (3) 若m l //,则βα⊥ (4) 若 m l ⊥,则βα//A.(3)与(4)B.(1)与(3)C.(2)与(4)D.(1)与(2)答案:B4.已知m 、n 为异面直线,⊂m 平面α,⊂n 平面β,l =βα ,则l ( ) A.与m 、n 都相交 B.与m 、n 中至少一条相交 C.与m 、n 都不相交 D.至多与m 、n 中的一条相交答案:B5.设集合A={直线},B={平面},B A C =,若A a ∈,B b ∈,C c ∈,则下列命题中的真命题是 ( )A. c a b a b c ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// B.c a c b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ C.c a b c b a //////⇒⎭⎬⎫ D. c a b c b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥//答案:A6.已知a 、b 为异面直线,点A 、B 在直线a 上,点C 、D 在直线b 上,且AC=AD ,BC=BD ,则直线a 、b 所成的角为 ( ) A. ︒90 B. ︒60 C. ︒45 D. ︒30答案:A7.下列四个命题中正确命题的个数是 ( ) 有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱 各侧面都是正方形的四棱柱是正方体底面是正三角形,各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥A.1个B.2个C.3个D.0个答案:D8.设M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这些集合之间关系是 ( ) A.Q M N P B.Q M N P C.Q N M P D.Q N M P答案:B9.正四棱锥P —ABCD 中,高PO 的长是底面长的21,且它的体积等于334cm ,则棱AB 与侧面PCD 之间的距离是 ( ) A.cm 2 B. cm 2 C. cm 1 D.cm 22答案:A10.纬度为α的纬圈上有A 、B 两点,弧在纬圈上,弧AB 的长为απcos R (R 为球半径),则A 、B 两点间的球面距离为 ( )A. R πB. R )(απ-C. R )2(απ-D. R )2(απ-答案:D11.长方体三边的和为14,对角线长为8,那么 ( ) A.它的全面积是66 B.它的全面积是132C.它的全面积不能确定D.这样的长方体不存在答案:D12.正四棱锥P —ABCD 的所有棱长都相等,E 为PC 的中点,那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值等于( )A.21B. 22C. 32D. 33答案:D13.用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱,截面是 ( )A.正方形B.矩形C.菱形D.一般平行四边形答案:B二、填空题:14.正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CC 1的重点,则EF 与BG 所成角的余弦值为________________________答案:510 15.二面角βα--a 内一点P 到两个半平面所在平面的距离分别为22和4,到棱a 的距离为24,则这个二面角的大小为__________________答案:︒︒16575或16.四边形ABCD 是边长为a 的菱形,︒=∠60BAD ,沿对角线BD 折成︒120的二面角A —BD —C 后,AC 与BD 的距离为_________________________答案:a 43 17.P 为︒120的二面角βα--a 内一点,P 到α、β的距离为10,则P 到棱a 的距离是_________________答案:3320 18.如图:正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成︒60的二面角,则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是______________________答案:4219.已知三棱锥P —ABC 中,三侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直,三侧面与底面所成二面角的大小分别为γβα,,,则=++γβα222cos cos cos _______________答案:1 20.若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是_____________(只需写出一个可能的值)。

立体几何大题(解析版)

立体几何大题(解析版)

立体几何大题1.空间中的平行关系(1)线线平行(2)线面平行的判定定理:平面外一直线与平面内一直线平行,则线面平行(3)线面平行的性质定理若线面平行,经过直线的平面与该平面相交,则直线与交线平行(4)面面平行的判定定理判定定理1:一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,则面面平行判定定理2:一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行,则面面平行(5)面面平行的性质定理性质定理1:两平面互相平行,一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2:两平面互相平行,一平面与两平面相交,则交线互相平行6.空间中的垂直关系(1)线线垂直(2)线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直,则线面垂直(3)线面垂直的性质定理性质定理1:一直线与平面垂直,则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2:垂直于同一个平面的两条直线平行(4)面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面,则两个平面垂直(或:一个平面经过另一个平面的垂线,则面面垂直)(5)面面垂直的性质定理两平面垂直,其中一个平面内有一条直线与交线垂直,则这条直线垂直于另一个平面6.异面直线所成角cos θ=cos a ,b =|a ⋅b ||a |⋅|b |=|x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2|x 12+y 12+z 12⋅x 22+y 22+z 22(其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a ,b 所成角,a ,b 分别表示异面直线a ,b 的方向向量)7.直线AB 与平面所成角,sin β=AB ⋅m |AB ||m |(m 为平面α的法向量).8.二面角α-l -β的平面角cos θ=m ⋅n |m ||n |(m ,n 为平面α,β的法向量).9.点B 到平面α的距离d =|AB ⋅n | |n |(n 为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A ∈α).模拟训练一、解答题1(22·23下·湖南·二模)如图,在直三棱柱ABC -A B C 中,∠ABC =120°,AB =BC =2,AC =BB ,点D 为棱BB 的中点,AE =13AC .(1)求DE 的长度;(2)求平面CDE 与平面BDE 夹角的余弦值.【答案】(1)393(2)34【分析】(1)在△ABC 中,用余弦定理可得到AC =23,在△ABE 中,用余弦定理可得BE =233,即可求得DE =DB 2+BE 2=393;(2)以B 为原点,分别以BE ,BC ,BB 所在的直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面CDE 与平面BDE 的法向量,即可求解【详解】(1)因为在直三棱柱ABC -A B C 中,∠ABC =120°,AB =BC =2,在△ABC 中,由余弦定理得cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC=22+22-AC 22×2×2=-12,解得AC =23,则AE =13AC =233,在△ABE 中,由余弦定理得cos ∠BAE =AB 2+AE 2-BE 22AB ⋅AE =22+233 2-BE 22×2×233=32,解得BE =233,又AC =BB =23,所以BD =12BB =3,因为BB ⊥平面ABC ,BE ⊂平面ABC ,所以BB ⊥BE ,在直角三角形DBE 中,DE =DB 2+BE 2=(3)2+233 2=393;(2)因为AE =BE =233,所以∠ABE =∠BAE =30°,则∠CBE =∠ABC -∠ABE =120°-30°=90°,则BE ,BC ,BB 两两互相垂直,以B 为原点,分别以BE ,BC ,BB 所在的直线为x ,y ,z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系:则点C 0,2,0 ,D 0,0,3 ,E 233,0,0 ,则CD =0,-2,3 ,CE =233,-2,0 ,设平面CDE 的法向量为n =x ,y ,z ,由n ⋅CD =x ,y ,z ⋅0,-2,3 =-2y +3z =0n ⋅CE =x ,y ,z ⋅233,-2,0 =233x -2y =0 ,得z =233y x =3y,令y =3,得平面CDE 的一个法向量为n =3,3,2 ;平面BDE 的一个法向量为m =0,1,0 .设平面CDE 与平面BDE 夹角的大小为θ,则cos θ=m ⋅n m n =0,1,0 ⋅3,3,2 1×4=34,故平面CDE 与平面BDE 夹角的余弦值为34.2(22·23下·绍兴·二模)如图,在多面体ABCDE 中,DE ⊥平面BCD ,△ABC 为正三角形,△BCD 为等腰Rt △,∠BDC =90°,AB =2,DE =2.(1)求证:AE ⊥BC ;(2)若AE ⎳平面BCD ,求直线BE 与平面ABC 所成的线面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】(1)由线面垂直的性质定理和判定定理即可证明;(2)法一:由分析可知,∠EBH 就是直线BE 与平面ABC 所成的线面角,设∠AFD =α,当α<90°时,O 与D 重合,可得A ,E 两点重合,不符合题意,当α>90°时,求出EH ,BE ,即可得出答案;法二:建立空间直角坐标系,求出直线BE 的方向向量与平面ABC 的法向量,由线面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】(1)设F 为BC 中点,连接AF ,EF ,则由△ABC 为正三角形,得AF ⊥BC ;DE ⊥平面BCD ,且△BCD 为等腰直角三角形,计算可得:BE =CE =2,∴EF ⊥BC .EF ∩AF =F ,EF ,AF ⊂面AEF ,于是BC ⊥面AEF ,AE ⊂面AEF ,从而BC ⊥AE .(2)法一:由(1)可知,过点E 作EH ⊥AF ,垂足为H ,则∠EBH 就是直线BE 与平面ABC 所成的线面角.当AE ⎳平面BCD 时,可得A 到平面BCD 的距离为 2.设∠AFD =α,所以AF ⋅sin α=2,可得sin α=63,当α<90°时,cos α=33,不妨设A 在底面BCD 射影为O ,则FO =1,此时O 与D 重合,可得A ,E 两点重合,不符合题意,舍去;当α>90°时,FO =1,此时O 在DF 的延长线上,作EH ⊥AF ,由于AODE 为矩形,可得AE =DO =2,AE ∥OD ,可得sin ∠EAH =63,可得EH =263.于是sin ∠EBH =EH BE=63.法二:建立如图坐标系,可得F 0,0,0 ,B 1,0,0 ,C -1,0,0 ,D 0,1,0 ,E 0,1,2 ,A 0,a ,b由AF =3,解得a 2+b 2=3,又∵AE ⎳平面BCD ,令n =0,0,1 ,可得AB ⋅n =0,解得b =2,a =±1.当a =1时A ,E 重合,所以a =-1,此时A 0,-1,2 .不妨设平面ABC 的法向量为m =x ,y ,z ,则CB ⋅m =0CA ⋅m =0代入得x -y +2z =02x =0 ,令z =1,则y =2,所以m =0,2,1 .由于BE =-1,1,2 ,不妨设所成角为θ,则sin θ=∣cos BE ,m |=63.3(22·23·张家口·三模)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,∠CBB 1=60°,AB =BC =2,AC =AB 1=2.(1)证明:平面ACB 1⊥平面BB 1C 1C ;(2)求平面ACC 1A 1与平面A 1B 1C 1夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)57.【分析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明;(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系,用向量法进行求解.【详解】(1)如图,连接BC 1,交B 1C 于O ,连接AO .因为侧面BB 1C 1C 为菱形,所以B 1C ⊥BC 1,且O 为BC 1的中点.又AC =AB 1=2,故AO ⊥B 1C .又AB =BC =2,且∠CBB 1=60°,所以CO =1,BO =3,所以AO =AC 2-CO 2=1.又AB =2,所以AB 2=BO 2+AO 2,所以AO ⊥BO .因为BO ,CB 1⊂平面BB 1C 1C ,BO ∩CB 1=O ,所以AO ⊥平面BB 1C 1C .又AO ⊂平面ACB 1,所以平面ACB 1⊥平面BB 1C 1C .(2)由(1)知,OA ,OB ,OB 1两两互相垂直,因此以O 为坐标原点,OB ,OB 1,OA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ,则A (0,0,1),B (3,0,0),C (0,-1,0),C 1(-3,0,0).故CC 1 =(-3,1,0),CA =(0,1,1),CB =(3,1,0).设n =(x 1,y 1,z 1)为平面ACC 1A 1的一个法向量,则有n ⋅CC 1 =0n ⋅CA =0 ,即-3x 1+y 1=0y 1+z 1=0 ,令x 1=1,则n =(1,3,-3).设m =(x 2,y 2,z 2)为平面ABC 的一个法向量,则有m ⋅CA =0m ⋅CB =0,即y 2+z 2=03x 2+y 2=0 ,令x 2=1,则m =(1,-3,3).因为平面A 1B 1C 1∥平面ABC ,所以m =(1,-3,3)也是平面A 1B 1C 1的一个法向量.所以cos <n ,m > =n ⋅m n m=1-3-3 7×7=57.所以平面ACC 1A 1与平面A 1B 1C 1夹角的余弦值57. 4(22·23·湛江·二模)如图1,在五边形ABCDE 中,四边形ABCE 为正方形,CD ⊥DE ,CD =DE ,如图2,将△ABE 沿BE 折起,使得A 至A 1处,且A 1B ⊥A 1D .(1)证明:DE ⊥平面A 1BE ;(2)求二面角C -A 1E -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】(1)由已知易得DE ⊥BE ,即可证明线面垂直;(2)建立空间直角坐标系,用坐标公式法求解即可.【详解】(1)由题意得∠BEC =∠CED =π4,∠BED =π2,DE ⊥BE ,因为AB ⊥AE ,则A 1B ⊥A 1E ,又A 1B ⊥A 1D ,A 1E ∩A 1D =A 1,A 1E ,A 1D ⊂面A 1ED ,所以A 1B ⊥面A 1ED ,又DE ⊂面A 1ED ,则DE ⊥A 1B ,又DE ⊥BE ,A 1B ∩BE =B ,A 1B ⊂平面A 1BE ,BE ⊂平面A 1BE ,所以DE ⊥平面A 1BE .(2)取BE 的中点O ,可知BE =2CD ,OE =CD ,由DE ⊥BE ,且CD ⊥DE 可得OE ⎳CD ,所以四边形OCDE 是平行四边形,所以CO ∥DE ,则CO ⊥平面A 1BE ,设BE =2,以点O 为坐标原点,OB ,OC ,OA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,如图,则A 1(0,0,1),E (-1,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),D (-1,1,0),EA 1 =(1,0,1),EC =(1,1,0),ED =(0,1,0),设平面A 1EC 的一个法向量为n 1 =(x 1,y 1,z 1),则n 1 ⋅EA 1 =0n 1 ⋅EC =0 ,即x 1+z 1=0x 1+y 1=0 ,取x 1=1,则n 1 =(1,-1,-1),设平面A 1ED 的一个法向量为n 2 =(x 2,y 2,z 2),则n 2 ⋅E 1A =0n 2 ⋅ED =0 ,即x 2+z 2=0y 2=0 ,取x 2=1,则n 2 =(1,0,-1),所以cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2=63,由图可知,二面角C -A 1E -D 为锐角,所以面角C -A 1E -D 的余弦值为63.5(22·23下·长沙·三模)如图,在多面体ABCDE 中,平面ACD ⊥平面ABC ,BE ⊥平面ABC ,△ABC 和△ACD 均为正三角形,AC =4,BE =3,点F 在AC 上.(1)若BF ⎳平面CDE ,求CF ;(2)若F 是AC 的中点,求二面角F -DE -C 的正弦值.【答案】(1)CF =1(2)8517【分析】(1)记AC 中点为M ,连接DM 、BM ,依题意可得DM ⊥AC ,根据面面垂直的性质得到DM ⊥平面ABC ,如图建立空间直角坐标系,求出平面CDE 的法向量,设F a ,0,0 ,a ∈2,-2 ,依题意可得BF ⋅n =0求出a 的值,即可得解;(2)依题意点F 与点M 重合,利用空间向量法计算可得.【详解】(1)记AC 中点为M ,连接DM 、BM ,△ACD 为正三角形,AC =4,则DM ⊥AC ,且DM =2 3.因为平面ACD ⊥平面ABC ,平面ACD ∩平面ABC =AC ,DM ⊂平面ACD ,所以DM ⊥平面ABC ,又△ABC 为正三角形,所以BM ⊥AC ,所以BM =23,如图建立空间直角坐标系,则B 0,23,0 ,C -2,0,0 ,D 0,0,23 ,E 0,23,3 ,所以CD =2,0,23 ,CE =2,23,3 ,设平面CDE 的法向量为n =x ,y ,z ,则n ⋅CD =2x +23z =0n ⋅CE =2x +23y +3z =0,令x =3,则z =-3,y =-32,则n =3,-32,-3 ,设F a ,0,0 ,a ∈-2,2 ,则BF =a ,-23,0 ,因为BF ⎳平面CDE ,所以BF ⋅n =3a +-23 ×-32+0×-3 =0,解得a =-1,所以F 为CM 的中点,此时CF =1.(2)若F 是AC 的中点,则点F 与点M 重合,则平面FDE 的一个法向量可以为m =1,0,0 ,设二面角F -DE -C 为θ,显然二面角为锐角,则cos θ=m ⋅n m ⋅n=332+-32 2+-3 2=651,所以sin θ=1-cos 2θ=1-651 2=8517,所以二面角F -DE -C 的正弦值为8517.6(22·23下·湖北·二模)如图,S 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,△ABC 内接于⊙O ,AC ⊥BC ,AC =BC =322,AM =2MS ,AS =3,PQ 为⊙O 的一条弦,且SB ⎳平面PMQ .(1)求PQ 的最小值;(2)若SA ⊥PQ ,求直线PQ 与平面BCM 所成角的正弦值.【答案】(1)22(2)3010【分析】(1)作出辅助线,找到符合要求的PQ ,并利用垂径定理得到最小值;(2)在第一问基础上,得到当PQ 取得最小值时,SA ⊥PQ ,并建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角.【详解】(1)过点M 作MH ⎳SB 交AB 于点H ,过点H 作PQ ⊥AB ,此时满足SB ⎳平面PMQ ,由平面几何知识易知,PQ =2r 2-d 2,当弦心距d 最大时,d =OH ,弦长最短,即PQ 取得最小值,因为AM =2MS ,AS =3,所以AH =2HB ,因为AC ⊥BC ,AC =BC =322,由勾股定理得AB =322⋅2=3,故AH =2,HB =1,连接OQ ,则OQ =32,由勾股定理得HQ =OQ 2-OH 2=94-14=2,所以PQ =2HQ =22;(2)连接OS ,则OS ⊥平面ACB ,因为PQ ⊂平面ACB ,故OS ⊥PQ ,而SA ⊥PQ ,OS ∩SA =S ,所以PQ ⊥平面AOS ,即有PQ ⊥AB .以O 为坐标原点,过点O 且平行PQ 的直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴,OS 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则P -2,12,0 ,Q 2,12,0 ,B 0,32,0 ,C 32,0,0 ,M 0,-12,3 ,设平面BCM 的法向量为m =x ,y ,z ,则m ⋅CB =x ,y ,z ⋅-32,32,0 =-32x +32y =0m ⋅MB =x ,y ,z ⋅0,2,-3 =2y -3z =0,令x =1,则y =1,z =233,故m =1,1,233,设直线PQ 与平面BCM 所成角的大小为θ,则sin θ=cos PQ ,m =PQ ⋅m PQ ⋅m =22,0,0 ⋅1,1,233 22×1+1+43=3010.故直线PQ与平面BCM所成角的正弦值为30 10.7(22·23·深圳·二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA= AD=2AB,点M是PD的中点.(1)证明:AM⊥PC;(2)设AC的中点为O,点N在棱PC上(异于点P,C),且ON=OA,求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1510【分析】(1)由等腰三角形的性质可得AM⊥PD,由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD,则CD⊥AM,所以由线面垂直的判定可得AM⊥平面PCD,从而可得结论;(2)以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.【详解】(1)证明:因为PA=AD,点M是PD的中点,所以AM⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD,因为四边形ABCD为矩形,所以CD⊥AD,因为平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AM,因为PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD,所以AM⊥平面PCD,因为PC⊂平面PCD,所以AM⊥PC.(2)解:由题意可得AB,AD,AP两两垂直,设AB=1,如图,以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),因为点M是PD的中点,所以M0,22,22,所以AM =0,22,22 ,AC =1,2,0 ,设平面ACM 的法向量为n =x ,y ,z ,则AM ⋅n =22y +22z =0AC ⋅n =x +2y =0,令y =-1可得x =2,z =1,所以平面ACM 的一个法向量n =2,-1,1 .PC =1,2,-2 ,设N x N ,y N ,z N ,PN =λPC =λ,2λ,-2λ (0<λ<1),即x N ,y N ,z N -2 =λ,2λ,-2λ ,所以N λ,2λ,2-2λ .又O 12,22,0 ,ON =OA =32,所以λ-12 2+2λ-22 2+(2-2λ)2=34,化简得5λ2-7λ+2=0,解得λ=25或λ=1(舍去).所以AN =25,225,325,设直线AN 与平面ACM 所成的角为θ,则sin θ=n ⋅AN n ⋅AN=3252+1+1×425+825+1825=1510,所以直线AN 与平面ACM 所成角的正弦值为1510.8(22·23下·温州·二模)已知三棱锥D -ABC 中,△BCD 是边长为3的正三角形,AB =AC =AD ,AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33.(1)求证:AD ⊥BC ;(2)求二面角D -AC -B 的平面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)223【分析】(1)取BC 的中点E ,连接AE ,DE ,证明BC ⊥平面ADE ,即可得证;(2)取正三角形BCD 的中心O ,连接OA ,从而可得OA ⊥平面BCD ,则∠ODA 即为AD 与平面BCD 所成角的平面角,进而可得AB =AC =AD =3,取AC 中点为H ,连接DH ,BH ,则DH ⊥AC ,BH ⊥AC ,故∠BHD 即为二面角D -AC -B 的平面角,解△BDH 即可得解.【详解】(1)取BC 的中点E ,连接AE ,DE ,因为AB =AC ,所以AE ⊥BC ,因为△BCD 是边长为3的正三角形,所以DE ⊥BC ,又AE ∩DE =E ,AE ,DE ⊂平面ADE ,所以BC ⊥平面ADE ,因为AD ⊂平面ADE ,所以AD ⊥BC ;(2)取正三角形BCD 的中心O ,连接OA ,则点O 在DE 上,且OD =23DE ,由AB =AC =AD ,△BCD 是正三角形,得三棱锥A -BCD 为正三棱锥,则OA ⊥平面BCD ,故∠ODA 即为AD 与平面BCD 所成角的平面角,又AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33,所以OD AD =3×32×23AD=33,即AB =AC =AD =3,即三棱锥A -BCD 是正四面体,取AC 中点为H ,连接DH ,BH ,则DH ⊥AC ,BH ⊥AC ,故∠BHD 即为二面角D -AC -B 的平面角,在△BDH 中,BH =DH =332,BD =3,则cos ∠BHD =BH 2+DH 2-BD 22⋅BH ⋅DH =274+274-92×332×332=13,所以sin ∠BHD =1-cos 2∠BHD =223,所以二面角D -AC -B 的平面角的正弦值223.9(22·23下·浙江·二模)如图,四面体ABCD ,AD ⊥CD ,AD =CD ,AC =2,AB =3,∠CAB =60°,E 为AB 上的点,且AC ⊥DE ,DE 与平面ABC 所成角为30°,(1)求三棱锥D -BCE 的体积;(2)求二面角B -CD -E 的余弦值.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.【分析】(1)取AC 中点F ,可证明AC ⊥平面DEF ,得平面ABC ⊥平面DEF ,DE 在平面ABC 内的射影就是直线EF ,∠DEF 是DE 与平面ABC 所成的角,即∠DEF =30°,由正弦定理求得∠FDE ,有两个解,在∠FDE =60°时可证DF ⊥平面ABC ,在∠FDE =120°时,取FE 中点H 证明DH ⊥平面ABC ,然后由棱锥体积公式计算体积;(2)建立如图所示的空间直角坐标系,用空间向量法求二面角.【详解】(1)取AC 中点F ,连接FE ,FD ,因为AD =CD ,所以DF ⊥AC ,又AC ⊥DE ,DE ∩DF =D ,DE ,DF ⊂平面DEF ,所以AC ⊥平面DEF ,而FE ⊂平面DEF ,所以AC ⊥FE ,由已知AF =1,∠BAC =60°,所以EF =3,AE =2,BE =1,由AC ⊥平面DEF ,AC ⊂平面ABC 得平面ABC ⊥平面DEF ,因此DE 在平面ABC 内的射影就是直线EF ,所以∠DEF 是DE 与平面ABC 所成的角,即∠DEF =30°,AD =CD ,AC =2,因此DF =12AC =1,在△DEF 中,由正弦定理EF sin ∠FDE =DF sin ∠DEF 得1sin30°=3sin ∠FDE ,sin ∠FDE =32,∠FDE 为△DEF 内角,所以∠FDE =60°或120°,S △ABC =12AB ×AC ×sin ∠BAC =12×3×2×sin60°=333,S △CBE =BE BAS △ABC =3-23×332=32,若∠FDE =60°,则∠DFE =90°,即DF ⊥FE ,AC ∩FE =F ,AC ,FE ⊂平面ABC ,所以DF ⊥平面ABC ,V D -BCE =13S △BCE ⋅DF =13×32×1=36;若∠FDE =120°,则∠DFE =30°,DF =DE =1,取EF 中点H ,连接DH ,则DH ⊥EF ,因为平面ABC ⊥平面DEF ,平面ABC ∩平面DEF =EF ,而DH ⊂平面DEF ,所以DH ⊥平面ABC ,DH =DF sin ∠DFE =1×sin30°=12,所以V D -BCE =13S △BCE ⋅DF =13×32×12=312;(2)若∠FDE =60°,以FA ,FE ,FD 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz ,则D (0,0,1),C (-1,0,0),A (1,0,0),E (0,3,0),AE =(-1,3,0),EB =12AE =-12,32,0 ,所以B 点坐标为-12,332,0 ,CD =(1,0,1),CB =12,332,0 ,CE =(1,3,0),设平面DBC 的一个法向量是m =(x 1,y 1,z 1),则m ⋅CD =x 1+z 1=0m ⋅CB =12x 1+332y 1=0,取y 1=-1,则x 1=33,z 1=-33,即m =(33,-1,-33),设平面DEC 的一个法向量是n =(x 2,y 2,z 2),则n ⋅CD =x 2+z 2=0n ⋅CE =x 2+3y 2=0,取y 2=-1,则x 2=3,z 2=-3,即m =(3,-1,-3),cos m ,n =m ⋅n m n =9+1+955×7=19385385,所以二面角B -CD -E 的余弦值是19385385;若∠FDE =120°,以FA 为x 轴,FE 为y 轴,过F 且平行于HD 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz ,FH =12FE =32,则D 0,32,12 ,C (-1,0,0),A (1,0,0),E (0,3,0),AE =(-1,3,0),EB =12AE =-12,32,0 ,所以B 点坐标为-12,332,0 ,CD =1,32,12 ,CB =12,332,0 ,CE =(1,3,0),设平面DBC 的一个法向量是m =(x 1,y 1,z 1),则m ⋅CD =x 1+32y 1+12z 1=0m ⋅CB =12x 1+332y 1=0,取y 1=-1,则x 1=33,z 1=-53,即m =(33,-1,-53),设平面DEC 的一个法向量是n =(x 2,y 2,z 2),则n ⋅CD =x 2+32y 2+12z 2=0n ⋅CE =x 2+3y 2=0,取y 2=-1,则x 2=3,z 2=-3,即m =(3,-1,-3),cos m ,n =m ⋅n m n =9+1+15103×7=25721721,所以二面角B -CD -E 的余弦值是25721721.10(22·23下·襄阳·三模)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为矩形,∠BAC =90°,AB =AC =2,AA 1=4,A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点N ,M 为B 1C 1的中点.(1)求证:平面A 1MNA ⊥平面A 1BC ;(2)求平面A 1B 1BA 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23015【分析】(1)利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明;(2)利用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值.【详解】(1)如图,∵A 1N ⊥面ABC ,连AN ,则AN ⊥A 1N ,又AB =AC =2,∴AN ⊥BC ,又AN ∩BC =N ,A 1N ⊂面A 1BC ,BC ⊂面A 1BC ,于是AN ⊥面A 1BC ,又AN ⊂面A 1MN ,,所以面A 1BC ⊥面A 1MNA .(2)由(1)可得,以NA ,NB ,NA 1 为x ,y ,z 轴,建系如图,∠BAC =90°,AB =AC =2,BC =22则A (2,0,0),B (0,2,0),C (0,-2,0),因为AA 1=4,AN =2,所以A 1N =14,则A 1(0,0,14),因为NB 1 =NB +BB 1 =NB +AA 1 =0,2,0 +-2,0,14 =-2,2,14 ,所以B 1-2,2,14 ,设平面A 1BB 1的一个法向量为m =(x ,y ,z ),因为A 1B =(0,2,-14),B 1B =(2,0,-14),所以A 1B ⋅m =2y -14z =0B 1B ⋅m =2x -14z =0 ,令y =7,则x =7,z =1,所以m =(7,7,1),设平面BCC 1B 1的一个法向量为n =(a ,b ,c ),因为BC =(0,-22,0),BB 1 =(-2,0,14),所以BC ⋅n =-22b =0BB 1 ⋅n =-2a +14c =0,令a =7,则b =0,c =1,所以n =(7,0,1),设平面A 1BB 1与平面BCC 1B 1夹角为θ,则cos θ=cos <m ,n >=m ⋅n m n=7+0+17+7+1×7+0+1=23015,所以平面A 1BB 1与平面BCC 1B 1夹角的余弦值为23015.11(22·23·唐山·二模)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,△ABC 是等边三角形,侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,且AA 1=AC ,∠AA 1C 1=120°,M 是CC 1的中点.(1)证明:A 1C ⊥BM .(2)求二面角A 1-BC -M 的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)45【分析】(1)根据菱形的性质、结合面面垂直的性质,线面垂直的判定定理进行证明即可;(2)建立空间直角坐标系,运用空间向量夹角公式进行求解即sk .【详解】(1)取AC 的中点O ,连接OM ,OB ,AC 1.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,由AA 1=AC ,得四边形ACC 1A 1为菱形,所以A 1C ⊥AC 1,易知OM ∥AC 1,则A 1C ⊥OM .由△ABC 是等边三角形,知OB ⊥AC ,又平面ACC 1A 1⊥平面ABC ,平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ,OB ⊂平面ABC ,知OB ⊥平面ACC 1A 1,则OB ⊥A 1C ,又OB ∩OM =O ,OB ,OM ⊂平面OBM ,得A 1C ⊥平面OBM ,又BM ⊂平面OBM ,故A 1C ⊥BM ..(2)连接OA 1,因为侧面ACC 1A 1为菱形,∠AA 1C 1=120°,则∠A 1AC =60°,则△A 1AC 为等边三角形,所以A 1O ⊥AC ,又由(1)易知OA 1,OB ,AC 两两垂直,故以O 为坐标原点,分别以OB ,OC ,OA 1 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系.不妨设AB =2,则O 0,0,0 ,B 3,0,0 ,C 0,1,0 ,A 10,0,3 ,C 10,2,3 ,BA 1 =-3,0,3 ,BC =-3,1,0 ,CC 1 =0,1,3 ,设平面A 1BC 的法向量为n =x ,y ,z ,则n ⋅BC =-3x +y =0n ⋅BA 1 =-3x +3z =0 ,令x =1,得n =1,3,1 ,设平面BCC 1的法向量为m =a ,b ,c ,则m ⋅BC =-3a +b =0m ⋅CC 1 =b +3c =0,令a =1,得m =1,3,-1 ,所以cos n ,m =n ⋅m n ⋅m=35⋅5=35,即二面角A 1-BC -M 的正弦值为45.12(22·23下·盐城·三模)如图,该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成,点G 为弧CD 的中点,且C ,E ,D ,G 四点共面.(1)证明:平面BDF ⊥平面BCG ;(2)若平面BDF 与平面ABG 所成二面角的余弦值为155,且线段AB 长度为2,求点G 到直线DF 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)62【分析】(1)过G 作GH ⎳CB ,交底面弧于H ,连接HB ,有HBCG 为平行四边形,根据题设可得FB ⊥HB ,即FB ⊥CG ,再由线面垂直的性质可得CB ⊥FB ,最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.(2)构建如下图示空间直角坐标系A -xyz ,令半圆柱半径为r ,高为h ,确定相关点坐标,进而求平面BDF 、平面ABG 的法向量,利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得h =2r ,即可求出点G 到直线DF 的距离.【详解】(1)过G 作GH ⎳CB ,交底面弧于H ,连接HB ,易知:HBCG 为平行四边形,所以HB ⎳CG ,又G 为弧CD 的中点,则H 是弧AB 的中点,所以∠HBA =45°,而由题设知:∠ABF =45°,则∠HBF =∠HBA +∠ABF =90°,所以FB ⊥HB ,即FB ⊥CG ,由CB ⊥底面ABF ,FB ⊂平面ABF ,则CB ⊥FB ,又CB ∩CG =C ,CB ,CG ⊂平面BCG ,所以FB ⊥平面BCG ,又FB ⊂平面BDF ,所以平面BDF ⊥平面BCG .(2)由题意,构建如下图示空间直角坐标系A -xyz ,令半圆柱半径为r ,高为h ,则B 0,2r ,0 ,F 2r ,0,0 ,D 0,0,h ,G -r ,r ,h ,所以FD =-2r ,0,h ,BD =0,-2r ,h ,AB =0,2r ,0 ,AG =-r ,r ,h ,若m =x ,y ,z 是面BDF 的一个法向量,则m ⋅FD =-2rx +hz =0m ⋅BD =-2ry +hz =0 ,令z =2r ,则m =h ,h ,2r ,若n =a ,b ,c 是面ABG 的一个法向量,则n ⋅AB =2rb =0n ⋅AG =-ra +rb +hc =0 ,令c =r ,则n =h ,0,r ,所以cos m ,n =m ⋅n m n=h 2+2r 22h 2+4r 2×h 2+r 2=155,整理可得h 2-4r 2 h 2+2r 2 =0,则h =2r ,又AB =2,由题设可知,此时点G -1,1,2 ,D 0,0,2 ,F 2,0,0 ,则DF =2,0,-2 ,DG =-1,1,0 ,所以点G 到直线DF 的距离d =DG 2-DG ⋅DF 2DF2=62.13(22·23下·江苏·三模)如图,圆锥DO 中,AE 为底面圆O 的直径,AE =AD ,△ABC 为底面圆O 的内接正三角形,圆锥的高DO =18,点P 为线段DO 上一个动点.(1)当PO =36时,证明:PA ⊥平面PBC ;(2)当P 点在什么位置时,直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大.【答案】(1)证明见解析;(2)P 点在距离O 点36处【分析】(1)利用勾股定理证明出AP ⊥BP 和AP ⊥CP ,再用线面垂直的判定定理证明出PA ⊥平面PBC ;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求解.【详解】(1)因为AE =AD ,AD =DE ,所以△ADE 是正三角形,则∠DAO =π3,又DO ⊥底面圆O ,AE ⊂底面圆O ,所以DO ⊥AE ,在Rt △AOD 中,DO =18,所以AO =DO 3=63,因为△ABC 是正三角形,所以AB =AO ×32×2=63×3=18,AP =AO 2+PO 2=92,BP =AP ,所以AP 2+BP 2=AB 2,AP ⊥BP ,同理可证AP ⊥CP ,又BP ∩PC =P ,BP ,PC ⊂平面PBC ,所以PA ⊥平面PBC .(2)如图,建立以O 为原点的空间直角坐标系O -xyz .设PO =x ,(0≤x ≤18),所以P 0,0,x ,E -33,9,0 ,B 33,9,0 ,C -63,0,0 ,所以EP =33,-9,x ,PB =33,9,-x ,PC =-63,0,-x ,设平面PBC 的法向量为n =a ,b ,c ,则n ⋅PB =33a +9b -cx =0n ⋅PC =-63a -cx =0,令a =x ,则b =-3x ,c =-63,故n =x ,-3x ,-63 ,设直线PE 和平面PBC 所成的角为θ,则sin θ=cos EP ,n =33x +93x -63x 108+x 2⋅x 2+3x 2+108=63x 108+x 2⋅4x 2+108=634x 2+1082x 2+540≤6324x 2⋅1082x 2+540=13,当且仅当4x 2=1082x 2,即PO =x =36时,直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大,故P 点在距离O 点36处.14(22·23下·镇江·三模)如图,四边形ABCD 是边长为2的菱形,∠ABC =60°,四边形PACQ 为矩形,PA =1,从下列三个条件中任选一个作为已知条件,并解答问题(如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分).①BP ,DP 与平面ABCD 所成角相等;②三棱锥P -ABD 体积为33;③cos ∠BPA =55(1)平面PACQ ⊥平面ABCD ;(2)求二面角B -PQ -D 的大小;(3)求点C 到平面BPQ 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2π3(3)32【分析】(1)若选①,则作PA ⊥面ABCD ,证明A 和A 重合从而得到PA ⊥面ABCD ,从而得到面面垂直;若选②,计算得到P 到面ABD 的距离h =1=PA ,得到PA ⊥面ABCD ,从而得到面面垂直;若选③,通过余弦定理计算得到PA ⊥AB ,再通过PA ⊥面ABCD ,从而得到面面垂直;(2)通过建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,结合二面角计算公式计算即可;(3)通过点面距离的计算公式直接计算即可.【详解】(1)选①,连接BD ,作PA ⊥面ABCD ,垂足为A .∵BP ,DP 与平面ABCD 所成角相等,∴A B =A D ,∴A 在BD 的中垂线AC 上,∵在平面PACQ 内,PA ⊥AC ,PA ⊥AC ,∴A 和A 重合,∴PA ⊥面ABCD ,又PA ⊂面PACQ ,∴面PACQ ⊥面ABCD若选②,设P 到面ABD 的距离为h ,∵V P -ABD =13S △ABD ⋅h =13×3⋅h =33,得h =1=PA ,∴PA 即为P 到面ABD 的距离,即PA ⊥面ABCD ,又PA ⊂面PACQ ,∴面PACQ ⊥面ABCD .若选③,由余弦定理得,cos ∠BPA =PB 2+PA 2-AB 22PB ⋅PA =55,∴BP =5,∴BP 2=AP 2+AB 2∴PA ⊥AB ,又PA ⊥AC ,AC ∩AB =A ,AC ,AB ⊂面ABCD∴PA ⊥面ABCD ,又PA ⊂面PACQ∴面PACQ ⊥面ABCD(2)因为PA ⊥面ABCD ,OB ,OC ⊂面ABCD ,所以PA ⊥OB ,PA ⊥OC ,取PQ 中点G ,则OG ⎳PA ,所以OG ⊥OB ,OG ⊥OC ,又因为OB ⊥OC ,所以建立如下图所示空间直角坐标系,∵B 3,0,0 ,P 0,-1,1 ,D -3,0,0 ,Q 0,1,1 ,∴BQ =-3,1,1 ,DQ =3,1,1 ,DP =3,-1,1 ,设平面BPQ 的一个法向量为m =x ,y ,z ,则m⋅BP =0m ⋅BQ =0 ,即-3x -y +z =0-3x +y +z =0 ,令x =3,则y =0,z =3,∴m =3,0,3 ,设平面DPQ 的一个法向量为n =x 1,y1,z 1 ,则n ⋅DP=0n ⋅DQ =0 ,即3x 1-y 1+z 1=3x 1+y 1+z 1=0,令x1=3,则y 1=0,z 1=-3,∴n =3,0,-3 ,∴cos m ,n =m ⋅n m ⋅ n =-623×23=-12,∵m ,n ∈0,π ,∴m ,n =2π3,由图可知二面角B -PQ -D 是钝角,所以二面角B -PQ -D 的大小为2π3.(3)∵C 0,1,0 ,Q 0,1,1 ,∴CQ =0,0,1 ,∵平面BPQ 的一个法向量为m =3,0,3 ,∴点C 到平面BPQ 的距离d =CQ ⋅m m=323=32.15(22·23下·江苏·一模)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,平面A 1B 1BA ⊥平面ABC ,侧面A 1B 1BA 为菱形,∠ABB 1=π3,AB 1⊥AC ,AB =AC =2,E 是AC 的中点.(1)求证:A 1B ⊥平面AB 1C ;(2)点P 在线段A 1E 上(异于点A 1,E ),AP 与平面A 1BE 所成角为π4,求EP EA 1的值.【答案】(1)证明见解析(2)EP EA 1=25【分析】(1)作B 1O ⊥AB 交AB 于O 点,由面面垂直的性质可得B 1O ⊥平面ABC ,可得B 1O ⊥AC ,再由线面垂直的判定定理得AC ⊥平面A 1B 1BA ,从而得到AC ⊥A 1B ,再由线面垂直的判定定理可得答案;(2)以A 为原点,AB 、AC 、AO 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴,建立空间直角坐标系,设EP =λEA 1 ,可得AP =-λ,1-λ,3λ ,求出平面A 1BE 的一个法向量,由线面角的向量求法可得答案.【详解】(1)因为侧面A 1B 1BA 为菱形,∠ABB 1=π3,AB =AC =2,所以△ABB 1、△AA 1B 1为边长为2的等边三角形,作B 1O ⊥AB 交AB 于O 点,则O 点为AB 的中点,因为平面A 1B 1BA ⊥平面ABC ,平面A 1B 1BA ∩平面ABC =AB ,B 1O ⊂平面A 1B 1BA ,所以B 1O ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,可得B 1O ⊥AC ,又AB 1⊥AC ,B 1O ∩AB 1=B 1,B 1O 、AB 1⊂平面A 1B 1BA ,可得AC ⊥平面A 1B 1BA ,因为A 1B ⊂平面A 1B 1BA ,所以AC ⊥A 1B ,因为侧面A 1B 1BA 为菱形,所以B 1A ⊥A 1B ,AB 1∩AC =A ,AB 1、AC ⊂平面AB 1C ,所以A 1B ⊥平面AB 1C ;(2)由(1)知,AC ⊥平面A 1B 1BA ,∠BAC =π2,取做A 1B 1的中点O 1,连接AO 1,则B1O ⎳AO 1,所以AO 1⊥平面ABC ,以A 为原点,AB 、AC 、AO 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴,建立空间直角坐标系,则A 0,0,0 ,A 1-1,0,3 ,B 2,0,0 ,E 0,1,0 ,A 1B =3,0,-3 ,EA 1 =-1,-1,3 ,设EP =λEA 1 ,可得P -λ,1-λ,3λ ,所以AP =-λ,1-λ,3λ ,设平面A 1BE 的一个法向量为n=x ,y ,z ,则A 1B ⋅n=0EA 1 ⋅n =0,即3x -3z =0-x -y +3z =0 ,令z =3,可得n =1,2,3 ,可得sin π4=cos n ,AP =n ⋅AP n AP=-λ+2-2λ+3λ 1+4+3λ2+1-λ 2+3λ2,解得λ=0舍去,或λ=25,所以EP EA 1=25.16(22·23下·河北·三模)如图,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是菱形,其对角线AC ,BD 交于点O ,且PO ⊥平面ABCD ,OC =1,OD =OP =2,M 是PD 的中点,N 是线段CD 上一动点.(1)当平面OMN ⎳平面PBC 时,试确定点N 的位置,并说明理由;(2)在(1)的前提下,点Q 在直线MN 上,以PQ 为直径的球的表面积为214π.以O 为原点,OC ,OD ,OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz ,求点Q 的坐标.【答案】(1)N 是CD 的中点(2)12,1,0 ,-1310,1,185 【分析】(1)根据面面平行的性质证明MN ⎳PC ,即可得解;(2)先根据球的体积求出PQ ,然后根据空间中两点间的距离公式即可得解.【详解】(1)因为平面OMN ⎳平面PBC ,平面OMN ∩平面PCD =MN ,平面PBC ∩平面PCD =PC ,所以MN ⎳PC ,因为M 是PD 的中点,所以N 是CD 的中点;(2)由题意4π×PQ 22=214π,解得PQ =212,设MQ =λMN,λ∈R ,由题意,P 0,0,2 ,M 0,1,1 ,N 12,1,0 ,则PM =0,1,-1 ,MN =12,0,-1 ,则PQ =PM +MQ =0,1,-1 +λ12,0,-1 =λ2,1,-λ-1 ,则λ24+1+-λ-1 2=212,解得λ=1或λ=-135,当λ=1时,MQ =MN ,则Q 12,1,0 ,当λ=-135时,MQ =-135MN =-1310,0,135,设Q x ,y ,z ,则MQ =x ,y -1,z -1 =-1310,0,135,所以x =-1310y -1=0z -1=135 ,解得x =-1310y =1z =185 ,则Q -1310,1,185 ,综上所述点Q 的坐标为12,1,0,-1310,1,185 .17(22·23·汕头·三模)如图,圆台O 1O 2的轴截面为等腰梯形A 1ACC 1,AC =2AA 1=2A 1C 1=4,B 为底面圆周上异于A ,C 的点.(1)在平面BCC 1内,过C 1作一条直线与平面A 1AB 平行,并说明理由;(2)若四棱锥B -A 1ACC 1的体积为23,设平面A 1AB ∩平面C 1CB =l ,Q ∈l ,求CQ 的最小值.【答案】(1)作图见解析,理由见解析(2)7【分析】(1)根据线面平行的判定和中位线定理即可求解;(2)根据几何关系或空间向量方法即可求解.【详解】(1)取BC 中点P ,作直线C 1P 即为所求,取AB 中点H ,连接A 2H ,PH ,则有PH ∥AC ,PH =12AC ,如图,在等腰梯形A 1ACC 1中,A 1C 1=12AC ,有HP ∥A 1C 1,HP =A 1C 1,则四边形A 1C 1PH 为平行四边形,即有C 1P ∥A 1H ,又A 1H ⊂平面A 1AB ,C 1P⊄平面A 1AB ,所以C 1P ∥平面A 1AB .(2)法一:延长AA 1,CC 1交于点O ,故O ∈AA 1⊂平面ABA 1,O ∈CC 1⊂平面CC 1B故平面A 1AB ∩平面C 1CB =BO ,BO 即l ,在△OBC 中,OC ,OB 均为圆锥母线.过点B 作BO ⊥AC 于O .在等腰梯形A 1ACC 1中,AC =2AA 1=2A 1C 1=4,此梯形的高h =AA 21-AC -A 1C 122=3,∴等腰梯形A 1ACC 1的面积为S =122+4 3=33,所以四棱锥B -A 1ACC 1的体积V =13S ×BO =13×33×BO =23,解得BO =2,故点O 与O 2重合,BC =22由AC =2AA 1=2A 1C 1,得OC =2CC 1,且∠C 1CA =60°,故OC =AC =4=OB .△OBC 中,O 到BC 距离h 1=OB 2-BC 22=14.则△OBC 面积=12OB ⋅CQ min =12BC ⋅h 1,得:CQ 的最小值为:CQ min =22⋅144=7.法二:同法一求出B 的位置.以O 2为原点,OB ,OC ,O 2O 1方向为x ,y ,z 轴正向建立空间直角坐标系,C 0,2,0 ,B 2,0,0 ,AA 1 =0,1,3 ,AB =2,2,0 ,CC 1 =0,-1,3 ,BC=-2,2,0设面A 1AB 的法向量为a=x 1,y 1,z 1a ⋅AA 1=y 1+3z 1=0a ⋅AB=2x 1+2y 1=0,取z 1=1,有a=3,-3,1 ;同理可得面C 1CB 的法向量为β=3,3,1 ,由l =面C 1CB ∩面A 1AB ,可知B ∈l ,设l 的方向向量为l=x ,y ,z ,故l ⋅a =3x -3y +z =0,l ⋅β=3x +3y +z =0取l=1,0,3 ,下面分2个方法求|CQ |min求|CQ |min 方法1:BQ =l=t ,0,3t ,,∵B 2,0,0 ,∴Q t -2,0,3t∴CQ =(t -2)2+22+(3t )2=4t 2-4t +8,当t =12时,CQ 取最小值为7.求CQ min 方法2:BC 在l 上的投影向量的模为BC ⋅l l =-2×1+2×0+0×32=1故CQ 的最小值即C 到l 的距离为BC 2-12=7.法三:在三角形△BCO 中,BO =CO =4,BC =22,cos ∠CBO =42+(22)2-422×4×22=122⋅sin ∠CBO =1-1222=722,所以CQ ≥CB sin ∠CBO =722×22=7.18(19·20下·临沂·二模)如图①,在Rt △ABC 中,B 为直角,AB =BC =6,EF ∥BC ,AE =2,沿EF 将△AEF 折起,使∠AEB =π3,得到如图②的几何体,点D 在线段AC 上.(1)求证:平面AEF ⊥平面ABC ;(2)若AE ⎳平面BDF ,求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)64.【分析】(1)由余弦定理计算证明EA ⊥AB ,再利用线面垂直的判定、性质,面面垂直的判定推理作答.(2)以A 为原点,建立空间直角坐标系,利用空间向量求线面角的正弦作答.【详解】(1)在△ABE 中,AE =2,BE =4,∠AEB =π3,由余弦定理得:AB 2=AE 2+BE 2-2AE ⋅BE cos ∠AEB =4+16-2×2×4×12=12,则AB =23,有EB 2=EA 2+AB 2,于是∠EAB =π2,即有EA ⊥AB ,又EF ⊥EB ,EF ⊥EA ,EA ∩EB =E ,EA ,EB ⊂平面ABE ,因此EF ⊥平面ABE ,而AB ⊂平面ABE ,则EF ⊥AB ,又因为EA ∩EF =E ,EA ,EF ⊂平面AEF ,从而AB ⊥平面AEF ,而AB ⊂平面ABC ,所以平面AEF ⊥平面ABC .(2)以A 为原点,以AB ,AE 分别为x ,y 轴,过点A 垂直于平面ABE 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图,由(1)知,EF ⊥平面ABE ,而EF ⎳BC ,则有BC ⊥平面ABE ,则A (0,0,0),B (23,0,0),E (0,2,0),F (0,2,2),C (23,0,6),AF =(0,2,2),FB =(23,-2,-2),AC=(23,0,6),连接EC 与FB 交于点G ,连接DG ,因为AE ⎳平面BDF ,AE ⊂平面AEC ,平面AEC ∩平面BDF =DG ,则AE ⎳GD ,有GC GE =DCDA,在四边形BCFE 中,由EF ⎳BC ,得GC GE =BC EF =3,即DC DA=3,AD =14AC =32,0,32 ,FD =AD -AF =32,-2,-12,设平面BDF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ⋅FD =32x -2y -12z =0n ⋅FB =23x -2y -2z =0,令x =1,得n =(1,0,3),设直线AF 与平面BDF 所成角为θ,于是sin θ=|cos ‹n ,AF ›|=|n ⋅AF ||n ||AF |=2322×2=64,所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为64.19(22·23下·广州·三模)如图,四棱锥P -ABCD 的底面为正方形,AB =AP =2,PA ⊥平面ABCD ,E ,F 分别是线段PB ,PD 的中点,G 是线段PC 上的一点.(1)求证:平面EFG ⊥平面PAC ;(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为13,且G 点不是线段PC 的中点,求三棱锥E -ABG 体积.【答案】(1)证明见解析(2)19【分析】(1)由线面垂直判定可证得BD ⊥平面PAC ,由中位线性质知EF ⎳BD ,从而得到EF ⊥平面PAC ,由面面垂直判定可得结论;(2)以A 为坐标原点可建立空间直角坐标系,设PG =λPC ,λ∈0,12 ∪12,1 ,由线面角的向量求法可构造方程求得λ,结合垂直关系可得G 平面PAB 的距离为16BC =13,利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】(1)连接BD ,∵E ,F 分别是线段PB ,PD 的中点,∴EF ⎳BD ,∵底面四边形ABCD 为正方形,∴BD ⊥AC ,∵PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,∴PA ⊥BD ,又PA ∩AC =A ,PA ,AC ⊂平面PAC ,∴BD ⊥平面PAC ,∵EF ⎳BD ,∴EF ⊥平面PAC ,又EF ⊂平面EFG ,∴平面EFG ⊥平面PAC .(2)以A 为坐标原点,分别以AB ,AD ,AP 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A 0,0,0 ,E 1,0,1 ,F 0,1,1 ,P 0,0,2 ,C 2,2,0 ,设PG =λPC ,λ∈0,12 ∪12,1 ,则AG =AP +PG =0,0,2 +2λ,2λ,-2λ =2λ,2λ,2-2λ ,AE =1,0,1 ,AF =0,1,1 ,设平面AEF 的一个法向量为n=x ,y ,z ,则n ⋅AE=x +z =0n ⋅AF=y +z =0,令z =-1,解得:x =1,y =1,∴n =1,1,-1 ;设直线AG 与平面AEF 所成角为θ,sin θ=cos n ,AG =n ⋅AGn ⋅AG=6λ-2 3⋅4λ2+4λ2+2-2λ 2=13,解得:λ=16或λ=12(舍),∴PG =16PC ,∵PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴PA ⊥BC ;∵BC ⊥AB ,PA ∩AB =A ,PA ,AB ⊂平面PAB ,∴BC ⊥平面PAB ,∴G 到平面PAB 的距离为16BC =13,∴V E -ABG =V G -ABE =13S △ABE ⋅16BC =13×12×12×2×2×13=19.20(22·23下·长沙·一模)斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都为2,∠A 1AB =60°,点A 1在下底面ABC 的投影为AB 的中点O .(1)在棱BB 1(含端点)上是否存在一点D 使A 1D ⊥AC 1若存在,求出BD 的长;若不存在,请说明理由;(2)求点A 1到平面BCC 1B 1的距离.【答案】(1)存在,BD =25(2)2155【分析】(1)连接OC ,以O 点为原点,如图建立空间直角坐标系,设BD =tBB 1 ,t ∈0,1 ,根据AC 1 ⋅A 1D=0,求出t 即可;(2)利用向量法求解即可.【详解】(1)连接OC ,因为AC =BC ,O 为AB 的中点,所以OC ⊥AB ,由题意知A 1O ⊥平面ABC ,又AA 1=2,∠A 1AO =60°,所以A 1O =3,以O 点为原点,如图建立空间直角坐标系,则A 10,0,3 ,A 1,0,0 ,B -1,0,0 ,C 0,3,0 ,由AB =A 1B 1得B 1-2,0,3 ,同理得C 1-1,3,3 ,设BD =tBB 1,t ∈0,1 ,得D -1-t ,0,3t ,又AC 1 =-2,3,3 ,A 1D =-1-t ,0,3t -3 ,由AC 1 ⋅A 1D=0,得-2-1-t +33t -3 =0,得t =15,又BB 1=2,∴BD =25,∴存在点D 且BD =25满足条件;(2)设平面BCC 1B 1的法向量为n=x ,y ,z ,BC =1,3,0 ,CC 1 =-1,0,3 ,则有n ⋅BC=x +3y =0n ⋅CC 1=-x +3z =0,可取n =3,-1,1 ,又BA 1=1,0,3 ,∴点A 1到平面BCC 1B 1的距离为d =BA 1 cos BA 1 ,n =BA 1 ×3+0+3BA 1×5=2155,∴所求距离为2155.21(22·23下·长沙·三模)如图,三棱台ABC -A 1B 1C 1,AB ⊥BC ,AC ⊥BB 1,平面ABB 1A 1⊥平面ABC ,AB =6,BC =4,BB 1=2,AC 1与A 1C 相交于点D ,AE =2EB,且DE ∥平面BCC 1B 1.(1)求三棱锥C -A 1B 1C 1的体积;(2)平面A 1B 1C 与平面ABC 所成角为α,CC 1与平面A 1B 1C 所成角为β,求证:α+β=π4.【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】(1)通过证明线线和线面垂直,并结合已知条件即可得出三棱锥C -A 1B 1C 1的体积;(2)建立空间直角坐标系,表达出各点的坐标,求出所成角为α与β的正余弦值,即可证明结论.【详解】(1)由题意,∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ,且平面ABB 1A 1∩平面ABC =AB ,AB ⊥BC ,BC ⊂平面ABC ∴BC ⊥平面ABB 1A 1,∵BB 1⊂平面ABB 1A 1,∴BC ⊥BB 1,又AC ⊥BB 1,BC ∩AC =C ,BC ,AC ⊂平面ABC ∴BB 1⊥平面ABC ,连接C 1B ,∵DE ⎳平面BCC 1B 1,DE ⊂平面ABC 1,平面ABC 1∩平面BCC 1B 1=C 1B ,∴DE ∥C 1B ,∵AE =2EB ,∴AD =2DC 1 ,∴A 1C 1=12AC .∴三棱锥C -A 1B 1C 1底面A 1B 1C 1的面积S 1=12×2×3=3,高h =BB 1=2,。

高一数学立体几何初步试题答案及解析

高一数学立体几何初步试题答案及解析

高一数学立体几何初步试题答案及解析1.点B是点A(1,2,3)在坐标平面内的射影,则OB等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】点A(1,2,3)在坐标平面内的射影为B(0,2,3),所以|OB|=,故选B。

【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及两点间距离公式的应用。

点评:理解好射影的概念,用熟两点间距离公式。

2.两等角的一组对应边平行,则()A.另一组对应边平行B.另一组对应边不平行C.另一组对应边也不可能垂直D.以上都不对【答案】D【解析】两等角的一组对应边平行,另一组对应边由多种情况,如平行、相交、异面等,关系D。

【考点】本题主要考查直线的位置关系。

点评:视野要开阔,考虑多种可能情况。

3.经过平面外两点与这个平面平行的平面()A.只有一个B.至少有一个C.可能没有D.有无数个【答案】C【解析】经过平面外两点与这个平面平行的平面可能没有,如两点所在直线与平面相交时,关系C。

【考点】本题主要考查点线面的关系—--平行关系。

点评:考虑点与平面的多种可能情况思考,结合实物模型探究。

4.如图所示,平面M、N互相垂直,棱l上有两点A、B,AC M,BD N,且AC⊥l,AB=8cm,AC=6 cm,BD=24 cm,则CD=_________.【答案】26 cm;【解析】连接AD,∵平面M、N互相垂直,AC⊥l,∴AC⊥平面N∴AC⊥CD;∵AB=8cm,AC=6cm,∴BC=10cm,又∵BD=24cm,∴CD=26cm。

【考点】本题主要考查点、线、面间的距离计算、面面垂直。

点评:考查的知识点是空间点到点之间的距离,其中根据面面垂直及线面垂直的性质得到△ABC,△ACD均为直角三角形,是解答本题的关键。

5.下面的图形可以构成正方体的是()【答案】C【解析】从选项出发,还原成正方体的只有C。

【考点】本题主要考查正方体的展开图。

点评:从选项出发,看能否还原成正方体。

6.下列命题中正确的是()A.由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B.棱锥的高线可能在几何体之外C.仅有一组对面平行的六面体是棱台D.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥【答案】B【解析】由五个平面围成的多面体除四棱锥外,还可以是三棱台;棱锥的高线应是其顶点向底面所作垂线段,斜棱锥的高即在几何体外,故选B。

立体几何题库100题

立体几何题库100题

立体几何题库100题1. 一个正方体的棱长扩大到原来的3 倍,它的体积扩大到原来的()倍。

A. 3B. 9C. 27D. 812. 长方体的长、宽、高分别是6cm、4cm、5cm,它的棱长总和是()cm。

A. 60B. 48C. 30D. 153. 一个圆柱的底面半径是2 厘米,高是5 厘米,它的侧面积是()平方厘米。

A. 62.8B. 31.4C. 12.56D. 25.124. 一个圆锥的底面直径是6 分米,高是3 分米,它的体积是()立方分米。

A. 28.26B. 84.78C. 169.56D. 56.525. 用同样大小的正方体摆成的物体,从正面和左面看到的图形都是,那么从上面看到的图形是()。

A. B. C. D.6. 一个圆柱和一个圆锥等底等高,它们的体积之和是48 立方分米,圆锥的体积是()立方分米。

A. 12B. 16C. 32D. 367. 把一个棱长为6 分米的正方体木块削成一个最大的圆柱,这个圆柱的体积是()立方分米。

A. 169.56B. 113.04C. 216D. 56.528. 一个长方体的长、宽、高分别是a 米、b 米、h 米,如果高增加3 米,体积增加()立方米。

A. 3abB. 3abhC. ab(h + 3)D. 3h9. 一个圆锥的底面半径扩大到原来的2 倍,高不变,它的体积扩大到原来的()倍。

A. 2B. 4C. 8D. 1610. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的底面直径与高的比是()。

A. 1 : πB. 1 : 2πC. π: 1D. 2π: 111. 有一个长方体容器,从里面量长5 分米,宽4 分米,高6 分米,里面注有水,水深3 分米。

如果把一块边长 2 分米的正方体铁块浸入水中,水面上升()分米。

A. 0.4B. 0.8C. 1.6D. 3.212. 一个圆柱的底面周长是12.56 分米,高是5 分米,它的表面积是()平方分米。

高中数学必修一立体几何概念知识点总结及练习题

高中数学必修一立体几何概念知识点总结及练习题

高中数学必修一立体几何概念知识点总结
及练习题
本文档旨在为高中数学必修一立体几何概念的研究提供一个知识点总结和练题的概述。

以下是一些重要的知识点:
1. 空间几何基本概念
- 点、线、面的概念及性质
- 直线和平面的关系
2. 空间几何中的基本元素
- 空间中的平行关系
- 空间中的垂直关系
- 平面与平面的位置关系
3. 空间几何中的重要定理
- 垂线定理及其应用
- 勾股定理和勾股定理的逆定理
- 平行线定理及其应用
4. 空间几何中的体积计算
- 立体的视角与投影
- 立体的体积计算方法
- 空间图形的表面积计算方法
接下来是一些练题,供学生复和巩固所学的知识:
1. 已知正方体的棱长为 2 cm,求其体积和表面积。

2. 两个平面分别与一条直线垂直,求证这两个平面平行。

3. 在空间直角坐标系中,已知点 A(2, 3, -1) 和点 B(4, 1, 5),求线段 AB 的长度。

4. 学校的操场为一个长方体,长为 60 米,宽为 40 米,高为 4 米。

求操场的体积和表面积。

5. 两个立方体的边长分别为 3 cm 和 5 cm,求它们的体积比。

以上只是一小部分的练题示例,学生可以根据自己的研究情况选择适合的练题进行巩固练。

希望这份文档能够帮助到您对高中数学必修一立体几何概念的理解和练习。

如果您还有其他问题或需要更多帮助,请随时提问。

必修二立体几何知识点+例题+练习+答案

必修二立体几何知识点+例题+练习+答案

学习资料收集于网络,仅供学习和参考,如有侵权,请联系网站删除立体几何知识点一、空间几何体1.多面体:由若干个多边形围成的几何体,叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面 , 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱 , 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 .2.棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

两个互相平行的面叫做底面, 其余各面叫做侧面 .3.棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

底面是正多边形,且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形;顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。

4.棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台。

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

正棱台的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5.旋转体:由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴,6.圆柱、圆锥、圆台:分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。

圆柱、圆锥、圆台的性质:平行于底面的截面都是圆;过轴的截面 ( 轴截面 ) 分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。

注:在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时,经常用到弧长公式 l R7.球: 以半圆的直径为旋转轴,旋转一周所成的曲面叫做球面 . 球面所围成的几何体叫做球体 ( 简称球 )8.简单空间图形的三视图:一个投影面水平放置,叫做水平投影面,投影到这个平面内的图形叫做俯视图。

一个投影面放置在正前方,这个投影面叫做直立投影面,投影到这个平面内的图形叫做主视图 ( 正视图 ) 。

和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面,通常把这个平面放在直立投影面的右面,投影到这个平面内的图形叫做左视图( 侧视图) 。

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立体几何练习题
一、选择题(本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项)
1.列命题是真命题的是( )
A.空间不同三点确定一个平面
B.空间两两相交的三条直线确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内
2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于( )
A.30°
B.30°或150°
C.150°
D.以上结论都不对
3.如右图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC和平面α的交线是( )
A.直线AC
B.直线BC
C.直线AB
D.直线CD
4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是( )
5.对“a,b是异面直线”的叙述,正确的是( )
①a∩b=∅且a不平行于b ②a⊂平面α,b⊂平面β且α∩β=∅③a⊂平面α,b⊄平面α④不存在平面α,使a⊂平面α且b⊂平面α成立
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A、B、C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC的值为…( )
A.180°
B.90°
C.60°
D.45°
7.在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是( )
A.MN>a
B.MN=a
C.MN<a
D.不能确定
8.如图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心,E 、F 分别是CC 1、AD 的中点,那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )
A.
510 B.5
15
C.54
D.32
9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P 在线段AB 上,动点Q 在线段CD 上,则
P,Q 两点之间的最小距离为( ) A.1 B.
2
3
C.2
D.3 1. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题: ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα;
②若m 、l 是异面直线,ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//; ③若m l m l //,//,//,//则βαβα;
④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是
A .①
B .②
C .③
D .④
2.设γβα,,为两两不重合的平面,n m l ,,为两两不重合的直线,给出下列四个命题:
①若γα⊥,γβ⊥,则βα||;②若α⊂m ,α⊂n ,β||m ,β||n ,则βα||; ③若βα||,α⊂l ,则β||l ;④若l =βα ,m =γβ ,n =αγ ,γ||l ,则
n m ||其中真命题的个数是
A .1
B .2
C .3
D .4
3.已知m 、n 是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个
命题:
①若βαβα//,,则⊥⊥m m ; ②若βααβγα//,,则⊥⊥;
③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂;
④若m 、n 是异面直线,βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂。

其中真命题是
A .①和②
B .①和③
C .③和④
D .①和④
4.已知直线n m l 、、
及平面α,下列命题中的假命题是 A .若//l m ,//m n ,则//l n . B .若l α⊥,//n α,则l n ⊥.
C .若l m ⊥,//m n ,则l n ⊥.
D .若//l α,//n α,则//l n .
5.在正四面体P —ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成
立的是
A .BC ∥平面PDF
B .DF ⊥平面PAE
C .平面PDF ⊥平面ABC
D .平面PA
E ⊥平面ABC 6.有如下三个命题:
①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线; ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线;
③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直. 其中正确命题的个数为
A .0
B .1
C .2
D .3 7.下列命题中,正确的是 A .经过不同的三点有且只有一个平面 B .分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C .垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D .垂直于同一个平面的两个平面平行 8.已知直线m 、n 与平面βα,,给出下列三个命题:
①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m
其中真命题的个数是 A .0 B .1 C .2 D .3 9.已知a 、b 、c 是直线,β是平面,给出下列命题: ①若c a c b b a //,,则⊥⊥; ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//; ③若b a b a //,,//则ββ⊂;
④若a 与b 异面,且ββ与则b a ,//相交;
⑤若a 与b 异面,则至多有一条直线与a ,b 都垂直. 其中真命题的个数是 A .1 B .2 C .3 D .4 10.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有
A .18对
B .24对
C .30对
D .36对
11.正方体1111ABCD A B C D -中,P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C
的中点.那么,正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是
A .三角形
B .四边形
C .五边形
D .六边形 12.不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有
A .3个
B .4个
C .6个
D .7个 13.设γβα、、为平面,l n m 、、为直线,则β⊥m 的一个充分条件是
A .l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα
B .γβγαγα⊥⊥=⋂,,m
C . αγβγα⊥⊥⊥m ,,
D .αβα⊥⊥⊥m n n ,,
14.设α、β 为两个不同的平面,l 、m 为两条不同的直线,且l ⊂α,m ⊂β,有如下的
两个命题:①若α∥β,则l ∥m ;②若l ⊥m ,则α⊥β.那么 A .①是真命题,②是假命题 B . ①是假命题,②是真命题 C . ①②都是真命题 D .①②都是假命题 15.对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件: ①存在平面γ,使得α、β都垂直于γ; ②存在平面γ,使得α、β都平行于γ; ③α内有不共线的三点到β的距离相等;
④存在异面直线l 、m ,使得l //α,l //β,m //α,m //β, 其中,可以判定α与β平行的条件有
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
三、计算题
1. 如图1所示,在四面体P —ABC 中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=342.F 是线段PB 上一点,3417
15
=
CF ,点E 在线段AB 上,且EF ⊥PB. (Ⅰ)证明:PB ⊥平面CEF ; (Ⅱ)求二面角B —CE —F 的大小.
如图1
P
A
C
B F E
2. 已知正三棱锥ABC P -的体积为372,侧面与底面所成的二面角的大小为 60。

(1)证明:BC PA ⊥;
(2)求底面中心O 到侧面的距离.
3 如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中,13,4,5,4AC BC AB AA ==== ,点D 为AB 的中点
(Ⅰ)求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面;
(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值
P
B
C
A
O
C 1B 1
A 1
A
B
C D
4.如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE.
(Ⅰ)求证AE ⊥平面BCE ; (Ⅱ)求二面角B —AC —E 的大小; (Ⅲ)求点D 到平面ACE 的距离.
5. 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥DC ,⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ,PA=AD=DC=
2
1
AB=1,M 是PB 的中点
(Ⅰ)证明:面PAD ⊥面PCD ; (Ⅱ)求AC 与PB 所成的角;
(Ⅲ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小
F
E
D C B
A A B
C
D
P
M。

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