椭圆焦点三角形圆周角最大问题
椭圆焦点三角形(解析版)
微专题：椭圆的焦点三角形初探一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论. 二．概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21F PF ∆中， （1）. c F F a PF PF 2||,2||||2121==+. （2）. 焦点三角形的周长为.22c a L +=①已知F 1，F 2是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，△ABF 2的周长是________．②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A ，B ，△F AB的周长的最大值是a 4如图所示，设椭圆右焦点为F 1，AB 与x 轴交于点H ，则|AF |＝2a －|AF 1|，△ABF 的周长为2|AF |＋2|AH |＝2(2a －|AF 1|＋|AH |)，∵△AF 1H 为直角三角形，∴|AF 1|＞|AH |，当且仅当|AF 1|＝|AH |，即F 1与H 重合时，△AFB 的周长最大，即最大周长为2(|AF |＋|AF 1|)＝4a ，（3）.21221cos 12||||PF F b PF PF ∠+=. （4）. 焦点三角形的面积为：2tan sin ||||212122121PF F b PF F PF PF S ∠=∠=. ①设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大.②．S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；（5）. 假设焦点21F PF ∆的内切圆半径为r ，则r c a S )(+=.（6）.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF +=，02||ex a PF -=，推导：根据两点间距离公式:2201)(||y c x PF ++=，由于)0(,1220220>>=+b a by a x 代入两点间距离公式可得)1()(||2202201ax b c x PF -++=，整理化简即可得01||ex a PF +=. 同理可证得02||ex a PF -=.①[]22222,a b x e a ∈-=②焦半径的取值范围：ca PF c a +≤≤-1.③ 特别地：过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为a b 22，ab PF 2=(7)设),(00y x P 是椭圆上一点，那么2022221x e c b PF PF +-=⋅→→，由于],0[220a x ∈,故我们有2022221x e c b PF PF +-=⋅→→[]222,b c b -∈（8）若约定椭圆12222=+by a x )0(>>b a ，21F F 、分别为左、右焦点；顶点),(00y x P 在第一象限；γβαβα=∠>=∠=∠212112),(,PF F F PF F PF ，则对于椭圆，离心率βαβαβαγsin sin )sin(sin sin sin 22++=+===a c a c e（9）.焦点直角三角形:底角为90︒，有四个(四个全等，P 点为通径端点。
椭圆焦点三角形的结论
椭圆焦点三角形的重要结论 已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，P 为椭圆上一点，θ=∠21PF F . 结论1：21PF F ∆的周长为c a 22+
结论2：P PF F y c b PF PF S ===∆2tan sin 2122121θθ
结论3：当点P 位于短轴端点时，（1）顶角21PF F ∠最大；（2）21PF F S ∆也取得最大值bc
结论4：θ
cos 122
21+=⋅b PF PF 结论5：21PF PF ⋅的取值范围：
（1）因为22
21212a PF PF PF PF =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⋅（当且仅当a PF PF ==21，即点P 位于短轴端点时等号成立.）所以21PF PF ⋅的最大值为2a . （2）因为22
21cos 12b b PF PF ≥+=⋅θ
（当且仅当 0=θ，1cos =θ，即点P 位于长轴端点时等号成立）.所以21PF PF ⋅的最小值为2b .
（3）],[2221a b PF PF ∈⋅（焦点三角形中],(2221a b PF PF ∈⋅） 结论6：椭圆的离心率β
αβαsin sin )sin(222121++=+===PF PF F F a c a c e 结论6：如果椭圆上存在点P 使得θ=∠21PF F ，则离心率2cos 122θ
-≥e ，即)1,2[sin θ
∈e
另外：如果椭圆上存在点P 使得θ=∠21PA A ，则离心率2cot 122θ
-≥e ，即
)1,2cot 1[2
θ-∈e。
椭圆中的几种最值
椭 圆 最 值类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题） 1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12F Q F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值__________; {22}2.2. 21F F 、为椭圆()012222>>=+b a bya x的左、右焦点，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠9021PF F ,离心率e 的取值范围是______. （思考：将角度改成150）{⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，}3. 若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使120=∠AQB ，此椭圆离心率的最小值是__________。
{136<≤e }类型2：一动点两定点最值 ①||1||MF eMP +：最小值为M 到对应准线的距离-----运用第二定义，转点距到线距突破②︱MP ︱+︱MF 2︱：最大值2a+︱PF 1︱,最小值2a –︱PF 1︱---运用第一定义，变加为减突破 1. 若椭圆13422=+yx内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的坐标为 ;（思考：将题中的2去掉会怎样呢？） 26(,1)32. 已知11216,)3,2(22=+-yxF A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标3 点M 为椭圆1162522=+yx的上一点，1F 、2F 为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值 （提升：||||||||1||''1AMMMMA MF eMA=+=+ 第二定义）4. 定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22: 12516xyC +=的左焦点，点P 为C 上，则13||5||PA PF +的最小值5. P(-2,3),F 2为椭圆1162522=+yx的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最值（提示：||2||||2|||||PF |2a-1121PF a MF MP a MF MP +≤-+=+≤ (第一定义法 ) 最大值12，最小值86. P(-2,6),F 2为椭圆1162522=+yx的右焦点，点M 在椭圆上，求︱MP ︱+︱MF 2︱最值.最大值10+37，最小值617.21,F F 是双曲线1322=-yx 的左、右焦点，M （6，6）为双曲线内部的一点，P 为双曲线右支上的一点，求：（1）的最小值；（2）的最小值。
椭圆专题三 椭圆中焦点三角形问题(含答案)
椭圆专题三 椭圆中“焦点三角形”班级__________ 姓名：__________证明结论：1.焦点三角形的面积：如果焦距所对的角的大小为θ，那么此焦点三角形的面积大小为2tan 2b θ，特别地，当PF 1⊥PF 2时12F PF ∆的面积为2b 。
证明结论：2. 12,F F 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是椭圆上的一点，对于焦点三角形12F PF ∆，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大。
1.设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于____4____．2．设F 1、F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则||||21PF PF 的值为 72或 2 . 3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭ .4．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b >0)的两焦点为 F 1(-c,0)、F 2(c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的 垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为⎣5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 )1,1 ． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) A.54 B.53 C. 52 D. 51 7．已知长方形ABCD ，4AB =,3BC =,则以A B 、为焦点，且过C D 、两点的椭圆的离心率为 12 .8．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使△OPF 1为正三角形，求椭1 .9．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB,椭圆离心率为5 . 10．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，则椭圆的离心率e 为3 . 11．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率e 为 3. 12．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为___23π___.13．已知动点P 与两个定点12(F F 距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，则动点P 的轨迹方程为___22194x y +=____.。
浅析椭圆中与焦点三角形有关的求最值问题
浅析椭圆中与焦点三角形有关的求最值问题作者：梁纪威来源：《新课程·中学》2014年第08期摘要：就与焦半径有关的最值问题进行简单的探讨。
先给出焦半径的概念并推导其最值，接着引出焦半径的乘积、平方和、立方和、焦点三角形面积的最值等问题，使前后问题一脉相承，有较强的衔接性。
关键词：焦半径；焦点三角形；最值本文着重讨论椭圆中与焦点三角形有关的最值问题。
所谓焦点三角形是指椭圆上一点P （不与长轴的两个端点重合）与两个焦点F1F2构成的△PF1F2。
分析：只需要借助两点间的距离公式，再运用函数求最值的思想方法来研究这个问题就可以了.故当x0=-a即点P与椭圆的左端点A1重合时，PF1min=a-c；当x0=a即点P与椭圆的右端点A2重合时，PF1max=a+c.由PF1=a+ex0，结合椭圆的定义PF1+PF2=2a可得PF2=a-ex0，这两个公式叫做椭圆的焦半径公式，可以简记为“左加右减”，即点P到左焦点的距离为a+ex0，到右焦点的距离为a-ex0.如果再把上面的问题进行升级，可得到如下问题：变式1：PF1·PF2有最大值吗？如果有，请求出；如果没有，请说明理由.分析：由于PF1+PF2=2a，结合均值定理，PF1·PF2有最大值.变式2：PF1·PF2有最小值吗？如果有，请求出；如果没有，请说明理由.趁热打铁，我们还可以得到以下变式：变式3：PF12+PF22有最值吗？如果有，请求出；如果没有，请说明理由。
变式4：△PF1F2有最值吗？如果有，请求出；如果没有，请说明理由。
详细解题过程略。
对于初学者甚至高三的学生，圆锥曲线是他们最难理解、掌握的内容之一.作为教师，不妨从最基本最常见的类型入手，引导学生逐步掌握基本技能和运算技巧，在做题的时候就可以达到事半功倍的效果.参考文献：李建明.圆的性质在圆锥曲线中的推广[J].数学教学，2007（6）：18-20.作者简介：梁纪威，男，1985年10月出生，本科，就职学校：陕西省靖边中学，研究方向；教育教学方法技巧。
高考数学复习专题15解析几何椭圆的焦点三角形考点剖析【含答案】
1 椭圆的焦点三角形
主标题：椭圆的焦点三角形 副标题：为学生详细的分析椭圆的焦点三角形的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：椭圆，椭圆的焦点三角形
难度：3
重要程度：4
考点剖析：1.明白什么是椭圆的焦点三角形；
2．会解决有关椭圆的焦点三角形的问题； 命题方向：
1.从考查内容看，椭圆的焦点三角形是高考的重点，也是高考考查的热点．
2．从考查形式看，对椭圆的焦点三角形的考查常以选择题、填空题的形式出现，属中档题． 知识梳理
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a 、c 的关系． 规律总结： （1）对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧ 定义式的平方余弦定理
面积公式⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1|＋|PF 22＝a 24c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θS △＝12|PF 1||PF 2|sin θ。
椭圆中与焦点三角形有关的问题
椭圆中与焦点三角形有关的问题一、内容和内容解析本节课起源于两个常见习题，在焦点三角形中很典型，教者试图利用课堂有限的四十分钟引导学生做一些探究，体会发现的乐趣。
规律在大纲中指的是定律、定理、法则等，一般在书上以黑体字出现，是前人研究的成果。
而在知识形成和解题教学中，引导学生多角度挖掘知识，充分发挥典型题的探索价值往往能够使学生发现许多书本上没有的规律。
让学生自主参与教学全过程，不仅培养了学生的自主学习能力。
而且培养了学生的创新精神和实践能力，使他们体会到做学问的快乐。
费赖登塔力曾经说过：“学一个活动的最好方法是做。
”学生的学习只有通过自身的操作活动和再现创造性的做才可能是有效的。
通过引发创新思维的问题，让学生学会自主学习。
培养他们的独立思考能力，这是培养创造能力的重要手段。
学生具有了这种能力．就会不断获取新知识，创造就有了根基。
二、目标和目标解析1.知识上，能一起探究焦点三角形的有用结论，能理解、会应用，体会到一些有用的结论将会为解析几何的解题带来帮助；2.行动上，笔不离手，认识到有效的计算是解答解析几何问题的必备。
三、教学问题诊断分析从学生的认知基础和认知结构看，第一，在高一学生虽然对已经学习了三角知识和基本不等式，但是对于利用三角和基本不等式处理关联的知识掌握参差不齐，甚至大部分学生没有这种意识；第二，如何把一个素未谋面的具体问题利用坐标法转化为熟悉的问题来解决这是一个关键，由于学生积累的经验还不够，这也是一个教学难点。
第二，学生会感到结论太多，学过会忘记。
从教师这方面看，首先这部分内容教材中出现不多，但其实是各类考试的热点，经久不衰，题型灵活多样。
鉴于知识储备及学生的差异，高效的组织教学将是一个突出的问题；其次学生虽然已对于简单的焦点三角形有所认识，但不可能从根本上去理解，在完成探究任务的同时，还要结合一些典型案例的处理，使学生经历较完整的自主发现的全过程，在过程中让学生体会坐标法的基本思想，对教师驾驭课堂、灵活应变能力提出了较高的要求。
2016年高考数学复习 专题15 解析几何 椭圆的焦点三角形考点剖析
1 椭圆的焦点三角形
主标题：椭圆的焦点三角形 副标题：为学生详细的分析椭圆的焦点三角形的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：椭圆，椭圆的焦点三角形
难度：3
重要程度：4
考点剖析：1.明白什么是椭圆的焦点三角形；
2．会解决有关椭圆的焦点三角形的问题； 命题方向：
1.从考查内容看，椭圆的焦点三角形是高考的重点，也是高考考查的热点．
2．从考查形式看，对椭圆的焦点三角形的考查常以选择题、填空题的形式出现，属中档题． 知识梳理
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a 、c 的关系． 规律总结： （1）对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧ 定义式的平方余弦定理
面积公式⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2| 2＝ 2a 24c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θS △＝12|PF 1||PF 2|sin θ。
高中数学：椭圆相关角度的最值问题
高中数学：椭圆相关角度的最值问题圆锥曲线中的最值问题主要包括长度最值、角度最值及面积最值等。
例题：如图1，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线与x轴的交点为M，。
（1）求椭圆的方程；（2）若直线，P为上的动点，使最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）。
图1解：（1）设椭圆方程为半焦距为c，则由题意，得解得故椭圆方程为（2）设当时，当时，所以只需求的最大值即可。
直线的斜率直线的斜率所以当且仅当时，最大。
所以最大值点Q的坐标为显然，第二问是考查和椭圆有关的角度最值问题，可联想椭圆中的两种特殊情况。
特殊情况（1）已知椭圆的两个焦点分别为，点P为左准线上任意一点，求的最大值。
图2解：如图2，设准线交x轴于点M则又所以（其中）于是（当且仅当时等号成立）故的最大值为此时点P的坐标为同理，当点P在右准线时的最大值不变，最小值均为0另外由可得，当椭圆的离心率e一定时，的最大值为定值；若给出的值时，可由求出椭圆的离心率e的范围。
（2）已知椭圆的两个顶点分别为，点P为左准线上任意一点，求的最大值。
图3可用与问题（1）类似的方法求解（如图3）：（当且仅当时等号成立。
）证明过程请自己完成。
推广及本质两种特殊情况分别研究了椭圆准线上任意一点P到两焦点、两顶点所得张角的最值问题，而例题是将准线推广到非准线位置，通过问题（1）的解决方法不难看出这类问题其实就是一个平面几何中的最值问题，如图4，A、B是直线同侧两定点，且直线，点P为直线上一动点，则∠APB有最大值。
使∠APB最大的点P有何几何意义呢？由于点A、B是定点，为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A、B、P的圆，当点P在直线上运动时，过三点A、B、P的圆O与直线的关系是相交或相切，当圆O与直线相交时，（如图5），上总存在点Q在圆内且使∠AQB＞∠APB；当且仅当圆O与直线相切时（如图6），直线上除切点外，其余点均在圆O 外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系可知，此时∠APB最大，切点即为所求。
椭圆中的常见最值问题
For personal use only in study and research; not for commercial use椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆192522=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的最大值时，P 点的坐标是 。
P （0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程12222=+by a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点，21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。
分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15922=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。
例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则||||1PF PA +的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
||||1PF PA +的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
12.4.3焦点三角形的性质及椭圆中的最值问题
F1
O
F2
x
x2 (2)已知直线l : x y m 0与椭圆C : y 2 1, 4 交于A, B两点，求|AB | 的最大值.
4 10 5
(2)当F 1PF 2 60 时，求F 1PF 2的面积；
4 3 3
y
F1
o
F2
x
x2 y 2 变式：已知椭圆 2 2 1 (a b 0), 焦点坐标为F1 , F2 , 点P为椭圆上的动点， a b 2 S△ PF1F2 b tan 若F1PF2 时，求F1PF2的面积； 2
2
xp2
yp2
F1
o
P F2
x
PF1 PF2 2 cos F1PF2 0 PF1 PF2 0 ( 5 x p )( 5 x p ) y p 0 | PF1 || PF2 |
4 2 9 3 5 3 5 2 x ( , ) xp 5 y p 0 x p 5 4 x p 0 x p p 9 5 5 5
3. 椭圆上一点到定直线的距离的最值问题
x2 y 2 例1：已知椭圆 1，直线L : 4 x 5 y 40 0， 25 9 椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？ 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l， 则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 由方程组 x y 1 25 9 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0
x2 y 2 2.在椭圆 C： 2 2 1（ a b 0 ）中， F1 和 F2 是椭圆的两个焦 a b
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(原卷版)
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。
性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。
椭圆难题包括答案
关于焦点三角形与焦点弦关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法典例剖析1 求椭圆的标准方程【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r（1）求椭圆的离心率。
（2）若过,,A F Q三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。
【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求直线l 的方程 （4）求OPQ V 的最大面积2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u r（1）求椭圆离心率e 的取值范围（2）当离心率e 取最小值时，12PF F V 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。
①求椭圆的方程；②求直线AB的斜率k的取值范围。
求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0a x a -≤≤；（3）0∆>；（4）椭圆内部的点()00,x y 满足2200221x y a b+<；【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点2F 与椭圆交于,A B 两点，OA OB +u u u r u u u r 与向量()3,1a =-r共线。
（1）求椭圆的离心率e（2）设M 为椭圆上任一点，若(),OM OA OB R λμλμ=+∈u u u u r u u u r u u u r，求证：22λμ+为定值【例8】已知A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一动点，弦,AB AC分别过焦点12,F F ，当AC x ⊥轴时，恰有123AF AF =.（1）椭圆的离心率 （2）设111AF F B λ=u u u r u u u r ，222AF F C λ=u u u u r u u u u r，判断12λλ+是否为定值？3. 最值问题【例11】已知椭圆22:143x yC+=，AB是垂直于x轴的弦，直线4x=交x轴于点N，F为椭圆C的右焦点，直线AF与BN交于点M （1）证明：点M在椭圆C上（2）求AMNV面积的最大值【例14】已知椭圆22:143x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆交于,A B 两点（1）求2AF B V 的面积的最大值（2）当2AF B V 的面积最大值时，求12tan F AF ∠的值4 直线与椭圆的位置关系【例16】已知12,F F 是椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，直线l 与椭圆相切。
椭圆的焦点三角形及其最值问题
新青蓝教师授课表 学生姓名 学校年级 高二 辅导科目 数学 辅导老师 蒋老师 上课日期 2012.10.21 上次课作业完成情况：教学目标：1.熟练掌握椭圆的离心率；2.椭圆的焦点三角形；3.椭圆的最大角问题；4.椭圆中的最值问题。
教学重难点：椭圆的焦点三角形；最值问题以及离心率的应用。
教学流程：（教案要书写规范，一课一备，300字左右；必须做到：有针对性、完整和详细。
）一、 课后作业讲评。
二、 椭圆的离心率例1 （1）若焦点在x 轴的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 的值为_________. （2）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB 的距离等于7b ，则椭圆的离心率为 （ ） A. 777- B. 777+ C. 12 D. 45 三、焦点三角形例2（1）过1162522=+y x 的右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，1F 为左焦点，则B AF 1∆的周长为 。
（2）设点P 是椭圆2212516x y +=上的一点，12,F F 是焦点，且1290F PF ∠= ，则12F PF ∆的面积为______ （3）设点P 是椭圆2212516x y +=上的一点，12,F F 是焦点，且1230F PF ∠= ，则12F PF ∆的面积为______ 四、椭圆中的最值问题例3（1）在椭圆14y 822=+x 上求一点P ，使它到定点()0,1Q 的距离最大 （2）已知点(),P x y 在椭圆2221x y +=上，则22x y +的最小值是___________（3）若点O 和点F 分别为椭圆22y 143x +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上任一点，求OP FP 的最大值。
五、最大角问题（两个最大角）()()1212max max ;F PF F BF APA ABA ''∠=∠∠=∠ 其中P 为椭圆上任意一点例4（1）已知椭圆22221(0)x y a b a b+= >>的两个焦点为12,F F ，如果椭圆上有一点P ，使得12120F PF ∠= ， 则椭圆的离心率的范围________（2）已知椭圆22221(0)x y a b a b+= >>的长轴的两个端点为,A B ，如果椭圆上有一点P ，使得120APB ∠= ， 则椭圆的离心率的范围________（3）已知12,F F 是椭圆22184x y +=的两个焦点，椭圆上点P 满足12F P PF ⊥，则满足要求的点P 有几个？ （4）已知12,F F 是椭圆2218x y +=的两个焦点，椭圆上点P 满足12F P PF ⊥，则满足要求的点P 有几个？ 五、学员自主练习《新青蓝专题》六、课堂总结。
椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；精品财会，给生活赋能 （3）（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。
一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，2201)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=，将其代入20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+⋅=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222=+y x不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为y =联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m bx m 。
因为直线b x m y +-=1与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点， 所以042222>++-=∆m b 。
知识总结椭圆最值题目
7.是双曲线＝的左、右焦点，M（6，6）为双曲线内部的一点，）的最小值；（）的最小值。
16 7.是双曲线＝的左、右焦点，M （6，6）为双曲线内部的一点，）的最小值；（）的最小值。
答案：（对全部高中资料试卷电气设备，在安装钟雨辛 张文号 韦凯译 温馨 梁智奇、管路敷设技术通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。
在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标等，要求技术交底。
管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。
线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。
、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。
对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。
椭圆最值问题常考题型分析
椭圆最值问题常考题型分析在遇到椭圆中线段或三角形周长最值问题时用函数思想有时很复杂，解题时常利用椭圆上点的性质（122MF MF a +=）及三角形三边关系.◆典例剖析例1、已知点)3,2(-P ，2F 为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MF MP +的最大值和最小值。
解：设椭圆左焦点为1F ，∴︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+a 2-︱MF 1︱， 连接PF 1，延长PF 1交椭圆于点M 1，延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。
∵a 2=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论：设椭圆12222=+by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2， P(x 0，y 0)为椭圆内一点，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则 ︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为a 2–︱PF 1︱。
例2、已知点P(-2,6），F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
解：由题可知点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小（求最大值方法同例1）。
︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+a 2-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。
∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+37，最小值是41。
结论：设椭圆12222=+by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则 ︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为PF 2。
椭圆中的两个最大角的证明及相应练习
椭圆中的两个最大角的证明结论一：F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一动点，记∠F 1PF 2=θ, 则当P 为短轴两端点时θ最大.证明：记|PF 1|=m,|PF 2|=n ,则m +n =2a (椭圆定义). P 在△F 1PF 2中，由余弦定理知 cosθ=m 2+n 2−4c 22mn=(m+n)2−4c 2−2mn2mn =4a 2−4c 22mn −1=2b 2mn−1 F 1 F 2又0<mn ≤(m+n)24=a 2，故cosθ ≥2b 2a 2−1(定值).当且仅当m =n (P 为短轴两端点)时，cosθ取得最小值. 由余弦函数单调性知此时θ最大.结论二：A 、B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点，P 为椭圆上一动点，记∠APB =θ, 则当P 为短轴两端点时θ最大.证明：设P (x ,y ) (y >0)，过P 作PQ ⊥AB 于点Q ，记∠APQ =α，∠BPQ =β， 则tanθ =tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=AQ PQ +BQPQ 1−AQ∙BQ PQ 2=AQ+BQPQ−AQ∙BQ PQ=2a y−(a+x)(a−x)y=y−a 2−x 2yP (x ,y )∵P (x ,y )在椭圆上 ∴b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，故(a 2−x 2)b 2=a 2y 2 ∴a 2−x 2y=a 2b 2y ，故tanθ =2a (1−a 2b2)y=−2ab 2c 2yA Q B记−2ab 2c 2=λ(负值)，则tanθ =λy .由正切函数图象和单调性知当P 为短轴两端点时θ最大.巩固练习：1.已知椭圆C : x 2a 2+y 2=1(a >1)上一动点M ，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点.当cos ∠AMB 取得最小值−13 时，求椭圆C 的方程.分析：记|MA |=m,|MB |=n , 在△F 1PF 2中，由余弦定理知: cos ∠AMB =m 2+n 2−4c 22mn =(m+n)2−4c 2−2mn2mn=4a 2−4c 22mn −1=2b 2mn−1=2mn −1≥−13当且仅当m =n =√3=√a 2+1时取“＝”，故a 2=2. 故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.2.(2017新课标文数Ⅰ，12)设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足AMB ∠ =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．(0,3][9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．(0,3][4,)+∞ 解析：由于不确定焦点在哪个坐标轴上，因此需要分类讨论. 情况一：如图，当椭圆的焦点在x 轴上时，有03>>m . 由上述结论得：要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=， 则360tan tan =≥=∠ b a ADO ，即33m≥，解得(]1,0∈m . 情况二：当椭圆的焦点在y 轴上时，有m <3,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=， 则tan 603a b ≥=，即33m≥，解得9m ≥， 综上所述：m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ．变式1：已知A ,B 是椭圆C ：x 24+y 2m 2=1 (0<m <2)长轴的两个端点. 若C 上存在点M 满足AMB ∠=120°，则椭圆离心率的取值范围为解析：显然焦点在x 轴. 由上题知360tan tan =≥=∠ ba ADO ，即2m ≥√3，故m ∈(0, √3].因此，e2=1−b 2a 2=1−m 24≥23，故e ∈[√63, 1).变式2：已知A ,B 是椭圆C ：x 24+y 2m 2=1 (m >0)长轴的两个端点. 若C 上存在点M 满足AMB ∠=150°，则m 的取值范围是答案：(0, 4−2√3]∪[4+2√3, +∞)3. 分别过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点F 1 ,F 2作两条互相垂直的直线l 1 ,l 2.若两直线的交点在椭圆上，则其离心率的取值范围为 解析：法一：∵S =b 2tan θ2=b 2tan45°=b 2 又S =12|F 1F 2|ℎ=cℎ∴ℎ=b 2c∈(0, b ], 即0<b ≤c故e2=c2a2=c2b2+c2≥c22c2=12, 又0<e<1, 故e∈[√22, 1).法二：显然P(x,y)在以F1F2为直径的圆上，故有x2+y2=c2,故b2x2+b2y2=b2c2①又P在椭圆上，故有b2x2+a2y2=a2b2②由①－②得c2y2=b4,故y=b2c.又y≤b，从而0<b≤c.由法一知e∈[√22, 1).变式：分别过椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点F1 ,F2作两条互相垂直的直线l1 ,l2.若两直线的交点在椭圆内部，则其离心率的取值范围为解析：显然以F1F2为直径的圆与椭圆没有交点，即b>c.故e∈(0, √22).拓展：椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点是A(a, 0),其上存在一点P，使∠APO=π2. 求椭圆离心率的取值范围.解析：显然P(x,y)在以OA为直径的圆上，其方程为(x−a2)2+y2=a24,即x2−ax+y2=0又P在椭圆b2x2+a2y2=a2b2上，故(b2−a2)x2+a3x−a2b2=0,即(a2−b2)x2−a3x+ a2b2=0,故(x−a)[(a2−b2)x−ab2]=0∵x≠a且x≠0, ∴x=ab 2a2−b2∈(0，a), ∴a2>2b2因此，e2=1−b2a2>1−b22b2=12, 又0<e<1, 故e∈(√22, 1).。
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椭圆焦点三角形圆周角最大的证明
已知椭圆()22
22:10x y E a b a b +=>>两焦点()()12,0,,0F c F c -,同时点
P 椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>上一动点。
通常我们把以
12,,P F F 为顶点的三角形称为焦点三角形（如右图）
若我们记12F PF θ∠=,则θ何时最大呢？
法一：不妨设12
,PF m PF n ==，于是2
2
2
2221212
12
4cos 22PF PF F F m n c PF PF mn
θ+-+-==⋅
我们知道：当,0a b >
)2a b a b +≤≤=当且仅当时取等号，
故而当,0a b >时，有()2
22
22a b a b
ab a b ++⎛⎫≤≤
= ⎪⎝⎭
当且仅当时取等号 故()22
22222222
2
2424244222cos 122222m n m n m n c c c m n c mn mn mn m n θ++⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭==≥≥+⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
我们我们注意到2m n a +=（为定值），所以
()2
2
22222
24242cos 12222m n c a c c a a m n θ+⎛⎫⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭≥==- ⎪⎝⎭+⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
为定值 我们注意到()1式，有二次使用不等式，但这两次取等的条件都是m n =（即点P 在短轴的端点()12,B B 处取等），故()2
min
cos 12c a θ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，又
()0,θπ∈，且函数cos y x =在()0,π上为减函数。
故
cos θ最小时，θ恰有最大值。
故点P 在短轴的端点()
12,B B 处，θ最大。
法二：我们仍然设12,PF m PF n ==，于是
2m n a += 于是()()2
222
421a m n m n mn
=+=++
又据余弦定理得
222
1212122cos F F PF PF PF PF θ=+-
即()222
42cos 2c m n mn θ
=+-
由()()12-得出()()2
2
421cos a c mn θ-=+，故()2
21cos b mn θ=+，故2
21cos b mn θ
=+
于是12
22
22(2sin cos )
1sin 22sin tan 21cos 212cos 12PF F b b S mn b θθ
θθθθθ∆⋅===
=+⎛
⎫+- ⎪
⎝
⎭， 因为()0,θπ∈，
0,22θ
π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，我们易得122tan 2PF F S b θ∆=是θ的增函数。
故而我们有结论1：θ越大，12PF F S ∆越大；12PF F S ∆越大，θ越大。
但12121
2
PF F P P S F F y c y ∆=
=，显然P y 越大，12PF F S ∆越大。
我们易于观察到当点P 在短轴的端点()12,B B 处时，P y 最大，于是12PF F S ∆最大。
于是结合结论1有：当点P 在短轴的端点()12,B B 处时，θ最大。