高三第二轮复习平面向量复习专题

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高考数学二轮复习考点四《平面向量》

三、填空题 20．(2021·全国乙卷)已知向量 a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则 λ＝________．
答案
3 5
解析解法一：由题设知 a－λb＝(1－3λ，3－4λ).由(a－λb)⊥b，得(a－ λb)·b＝(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝15－25λ＝0，解得 λ＝35.
15．(2021·湖南岳阳第一次模拟)已知等边三角形 ABC 的边长为 4，O 为三角形内一点，且O→A＋O→B＋2O→C＝0，则△AOB 的面积是( )
A．4 3 B．833 C．433 D．2 3
答案 D
解析根据题意，设 AB 的中点为 D，连接 CD，则O→A＋O→B＝2O→D，又 O→A＋O→B＋2O→C＝0，则O→C＝－O→D，则 O 是 CD 的中点，又△ABC 是边长为 4 的等边三角形，则 CD⊥AB，AD＝2，CD＝2 3，则 OD＝ 3，则 S△AOB ＝12×4× 3＝2 3.故选 D.
14．(2021·福建三明期末)设非零向量 a，b 的夹角为 θ，若|b|＝2|a|，且 (a＋2b)⊥(3a－b)，则 θ 等于( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B 解析 ∵非零向量 a，b 的夹角为 θ，|b|＝2|a|，且(a＋2b)⊥(3a－b)，∴ (a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3a2＋5|a|·|2a|cos θ－8a2＝0，∴cos θ＝12， ∴θ＝60°.故选 B.
19．(2021·辽宁铁岭六校高三模拟)下列说法中错误的是( ) A．已知 a＝(1，2)，b＝(1，1)且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范围是－53，＋∞ B．向量 e1＝(2，－3)，e2＝12，－34不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量 a，b，满足|a|>|b|且 a 与 b 同向，则 a>b D．非零向量 a 和 b，满足|a|＝|b|＝|a－b|，则 a 与 a＋b 的夹角为 30° 答案 AC

专题：利用三点共线结论解平面向量问题——高三数学二轮专题复习

专题：利用三点共线结论解平面向量知识梳理：三点共线定理 OC →＝ (1－t )OA →＋tOB →的证明：若OA →＝a ，OB →＝b 是平面内两不共线向量，对于平面内任一向量OC →＝c ，存在一对实数λ，μ使c ＝λa ＋μb .证明A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.证明：（必要性）若A ，B ，C 三点共线，则存在实数t ，使得AC →＝tAB →，即OC →－OA →＝t (OB →－OA →)所以OC →＝ (1－t )OA →＋tOB → 令λ＝1－t ，μ＝t ，则有c ＝λa ＋t b ，即λ＋μ＝1.（充分性）若λ＋μ＝1，则c ＝λa ＋(1－λ)b 即c －b ＝λ(a －b ) 即OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)即BC →＝λBA →.所以A 、B 、C 三点共线．(思考：当t=21时，会发现A,B,C 是什么情况？)典型例题：例1：（全国高考）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝－43AB →－13AC →例2：已知平面内的三点A ，B ，O 不共线，且AP →＝λOA →＋μOB →，则A ，P ，B 三点共线的一个必要不充分条件是( )A ．λ＝μB ．|λ|＝|μ|C ．λ＝－μD ．λ＝1－μ例3：如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.例4：如图，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M,N ，若N nA C A M mA B A==,,则m+n 的值为_______．练习：1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，且A ，B ，C 三点共线，则S 13＝________．2、［2021•江苏卷，10］设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3、（2021华美）在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为4、(2021·郑州质检)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且A P →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+112m AB →＋211B C →，则实数m 的值为________.5、（2021华美）A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是__________.专题：利用三点共线结论解平面向量例1：[解析] 由BC →＝3CD →知，B 、C 、D 三点共线，从四个选项知系数和为1的仅有A ，故选A.例2：解析 A ，P ，B 三点共线，即存在一个实数m ，使得AP →＝mAB →，∵AP →＝λOA →＋μOB →，∴mAB →＝λOA →＋μOB →，即m (OB →－OA →)＝λOA →＋μOB →，∴(m －μ)OB →＝(m ＋λ)OA →，∵A ，B ，O 三点不共线，∴m －μ＝0，m ＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m ，∴A ，B ，P 三点共线的充要条件为λ＝－μ，结合各选项知A ，B ，P 三点共线的一个必要不充分条件为|λ|＝|μ|.故选B. 例3：解析由于B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.例4：解析解法一：AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2.解法二：MN 绕O 旋转，当N 与C 重合时，M 与B 重合，此时m ＝n ＝1，∴m ＋n ＝2.练习：1、[解析] 由3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，得OA →＝a 53OB →＋a 93OC →因为A ，B ，C 三点共线，所以a 53＋a 93＝1，即a 5＋a 9＝3，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 5＋a 9）2＝392.所以S 13＝3922、解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.（提示，过A 作DE 平行线交BC 延长线于点F,利用B,C,F 共线）3、答案1/34、解析设BP →＝λBN →＝λ(AN →－AB →)＝λ⎝⎛⎭⎫13 AC →－AB →＝－λAB →＋λ3 AC →(0≤λ≤1)， ∴A P →＝AB →＋B P →＝(1－λ) AB →＋λ3AC →. 又A P →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211 BC →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211(AC →－AB →)＝mAB →＋211AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝211，m ＝1－λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，∴m ＝511.5、【答案】(1，＋∞) [设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1。

高三数学二轮专题复习课件：平面向量

核心整合
知识方法整合 1．向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫做向量，向量可用有向线段来表示． (2)零向量的模为 0，方向是任意的，记作 0.零向量和任一向量平行．
(3)长度等于 1 的向量叫单位向量，与向量 a 共线的单位向量为±|aa|.
(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量． (5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．
(2)∵m＝(1，sinA)与 n＝(2，sinB)共线，
∴sinB＝2sinA，
∴sin(23π－A)＝2sinA，
∴ 23cosA＋12sinA＝2sinA，
∴cosA＝ 3sinA，即 tanA＝ 33，
又 0<A<23π，∴A＝6π，∴B＝2π.
在直角三角形
ABC
中
c＝3，∴a＝32，b＝3
2．共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa. 3．平面向量基本定理如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1、λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2.
4．两向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，在平面上任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作 a 与 b 的夹角． 5．向量的坐标表示及运算 (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)． (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)．
10．(1)当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出现错误，向量M→N＝O→N －O→M(其中 O 为我们所需要的任何一个点)．

平面向量之二轮专题复习含答案

高三数学第二轮专题复习---平面向量一、本章知识结构二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3、向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第二讲复数、平面向量

第二讲复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保分题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提分题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保分题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提分题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确；对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0，即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确；各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确；各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确．答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ，又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ，所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |，又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14，则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。

专题四平面向量高考数学二轮专题复习课件

C. 2 AB 8 AC 39
B. 3 AB 3 AC 14 14
D. 3 AB 4 AC 77
解析：在△ABC 中，设 AM AD ， R ，由 BD 2DC ，
可得 AD 1 AB 2 AC ，故 AM AD 1 AB 2 AC .
33
3
3
又 E 是 AB 的中点， FC 1 AF ，所以 AB 2AE ， AC 4 AF ，
解析：由题可得 a b x 6 2x 0 ，得 x 2 ，则 a 2b (5, 0) ，故| a 2b | 5 .
7.解决向量在平面几何中的应用问题的方法（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决. （2）基底法：选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解.
8.解决向量在物理中的应用问题的策略（1）力、速度、加速度、位移等都是向量，它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；（2）动量 mv 是数乘向量；（3）功 W 是一个标量，它是力 F 与位移 s 的数量积，即W F s | F || s | cos
2.【2022 年新课标Ⅰ卷】在△ABC 中，点 D 在边 AB 上， BD 2DA ，
B 记 CA m ， CD n ，则 CB ( )
A. 3m 2n
B. 2m 3n
C. 3m 2n
D. 2m 3n
解析：如图所示，根据平面向量加法的三角形法则，有 CB CA AB ，而 AB 3AD 3( AC CD) ，所以 CB 2CA 3CD .故选 B.
3 则| b | ___________.
解析：由| a b | 3 ，得 a2 2a b b2 3 ，即 2a b a2 b2 3 ①. 由 a b | 2a b∣，得 a2 2a b b2 4a2 4a b b2 ，整理得 3a2 6a b 0 ，

高三数学二轮复习专题平面向量共线,极化恒等式,奔驰定理,轨迹等问题(解析版)

平面向量综合问题参考答案与试题解析一．试题（共38小题）1．如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m的值为( )A ．911B ．511C ．211D ．311【分析】由已知中ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，设BP BN λ=后，我们易将AP表示为(1)4AB AC λλ-+的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m 的方程组，解方程组后即可得到m 的值【解答】解：P 是BN 上的一点，设BP BN λ=，由13AN NC =，则AP AB BP =+AB BN λ=+()AB AN AB λ=+-(1)AB AN λλ=-+(1)4AB AC λλ=-+211mAB AC =+1m λ∴=-，2411λ=解得811λ=，311m =故选：D ．【点评】本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m 的方程组，是解答本题的关键．2．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB 、BC 分别为a 、b ，则(AH = )A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．2455a b --【分析】欲求出向量则AH ，关键是求出向量则AH 与向量AF 的线性．关系过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，利用相似三角形有知识即可得出它们的线性关系，从而解决问题．【解答】解：过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且1124GF EC BC ==14GF AD ∴=，则AHD GHF ∆∆∽ 从而14FH AH =，∴45AH AF =又12AF AD DF b a =+=+ ∴4124()5255AH b a a b =+=+ 故选：B ．【点评】本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义、平行四边形的几何性质，属于基础题．3．如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC ，AD 的延长线交于点E ，对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若BC CE λ=，ED DA μ=，3(,0)AB BF λμ=>，则( )A ．3144EB EF EA =+B ．14λμ=C ．11λμ+的最大值为1 D ．49EC AD EB EA⋅-⋅ 【解答】解：对于A ，因为3AB BF =，所以3()EB EA EF EB -=-，整理得3144EB EF EA =+，故A 正确；对于B ，过点B 作//BG FD ，交AE 于点G ，则AF AD BF DG =，BC DG CE DE =，所以1AF BC ED AD DG ED BF CE DA DG DE DA⋅⋅=⋅⋅=，因为BC CE λ=，ED DA μ=，3AB BF =，所以4AF BF =，BCCEλ=，ED DA μ=，所以41λμ=，所以14λμ=，故B 正确；对于C ，由B 知，114()84λμλμλμ+=+=，当且仅当12λμ==时等号成立，所以11λμ+的最小值为4，故C 错误；对于D ，因为BC CE λ=，ED DA μ=，所以(1)EB EC λ=+，(1)(1)EA DA AD μμ=+=-+，所以111455(1)(1)9(1)(1)244EC AD EC AD EB EA EC AD λμλμλμλμ⋅⋅-===-=--++⋅-++⋅+++，当且仅当12λμ==时取等号，故D 正确．故选：ABD ．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，基本不等式的应用，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中档题．4．已知向量a e ≠，||1e =，满足对任意t R ∈，恒有||||a te a e --，则( )A ．0a e ⋅=B ．()0a a e ⋅-=C ．()0e a e ⋅-=D ．()()0a e a e +⋅-=【分析】由平面向量数量积运算可得22210t te a e a -⋅+⋅-=，对任意t R ∈恒成立，则2(2)4(21)0e a e a ⋅-⋅-，然后求解即可．【解答】解：由向量a e ≠，||1e =，满足对任意t R ∈，恒有||||a te a e --，则2222222a te a t e a e a e -⋅+=-⋅+，即22210t te a e a -⋅+⋅-=，由题意有2(2)4(21)0e a e a ⋅-⋅-，即2(1)0e a ⋅-，即1e a ⋅=，则()0e a e ⋅-=，故选：C ．【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题．5．已知e 为单位向量，向量a 满足()(5)0a e a e -⋅-=，则||a e +的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】设(1,0)e =，(,)a x y =，根据向量a 满足()(5)0a e a e -⋅-=，可得x ，y 的关系式，并得出x ，y 的取值范围，||(1)a e x +=+ 【解答】解：设(1,0)e =，(,)a x y =，则()(5)(1a e a e x -⋅-=-，)(5y x ⋅-，22)650y x x y =-++=，即22(3)4x y -+=，则15x ，22y -，所以||(1)a e x +=+=，当5x =6，即||a e +的最大值为6，故选：C ．【点评】本题考查了向量数量积的应用，将所求问题坐标化转化为函数的最值问题是解题关键．6．已知ABC ∆中，对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，则ABC ∆是以C 为直角的直角三角形．【分析】两边平方后整理成关于t 的一元二次不等式恒成立，再利用判别式小于等于0，以及正弦定理可得．【解答】解：对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，即22()|BA tBC AC-，即22222cos 0a t act B c b -+-，则△2222(2cos )4()0ac B a c b =--，化简得222cos 1b B c -，即222sin b B c ，即sin b B c，设ABC ∆外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得2b bR c，得2c R ，得sin 1C ，又sin 1C ，sin 1C ∴=，2C π∴=．故答案为：以C 为直角的直角．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 7．已知ABC ∆，若对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，则ABC ∆一定为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定【解答】解：令AM BA tBC =-，则根据向量的减法的几何意义可得M 在BC 上，由||||BA tBC AC -对一切实数t 都成立可得：||||AM AC ，AC BC ∴⊥，则ABC ∆为直角三角形．故选：C ．【点评】本题是一道构造非常巧妙的试题，解题的关键是由||||BA tBC AC -对一切实数t都成立可得到AC 为A 到BC 的距离．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC = 18 ．【分析】设AC 与BD 交于O ，则2AC AO =，在RtAPO 中，由三角函数可得AO 与AP 的关系，代入向量的数量积||||cos AP AC AP AC PAO =∠可求【解答】解：设AC 与BD 交于点O ，则2AC AO =AP BD ⊥，3AP =，在Rt APO ∆中，cos 3AO OAP AP ∠==||cos 2||cos 2||6AC OAP AO OAP AP ∴∠=⨯∠==，由向量的数量积的定义可知，||||cos 3618AP AC AP AC PAO =∠=⨯= 故答案为：18【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义的应用，解题的关键在于发现规律：cos 2cos 2AC OAP AO OAP AP ⨯∠=⨯∠=．9．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足向量2AP PM =，则向量()PA PB PC +等于( )A ．49-B ．43-C ．43D ．49【分析】由题意M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【解答】解：M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =P ∴是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC +2||PA AP PA ==-又1AM =∴2||3PA =∴4()9PA PB PC +=-故选：A ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，解题的关键是判断P 点是三角形的重心，考查计算能力．10．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，N 是边BC 上的点，且,BN NC O =为ABC ∆的外心，则(AN AO ⋅= ) A ．3B ．134C ．92D ．94【分析】利用平面向量的线性运算法则以及外心的性质、数量积的定义求解．【解答】解：因为O 为ABC ∆的外心，故2122AO AB AB ⋅==，21922AO AC AC ⋅==，又BN NC =，故N 为BC 的中点，故1()2AN AB AC =+，所以11()()22AN AO AB AC AO AO AB AO AC ⋅=+⋅=⋅+⋅1913(2)224=+=．故选：B ．【点评】本题考查平面向量数量积的定义以及平面向量线性运算的几何意义，属于中档题．11．设a 、b 、c 是单位向量，0a b =，则()()a c b c --的最小值为 1 【分析】利用向量的运算法则展开()()a c b c --，再利用余弦值的有界性求范围．【解答】解：设c 与a b +的夹角等于θ，()()(a c b c a b c --=-2)a b c ++20||||cos 10||1()1c a b a b a b θ=-++-++=-++2222211a b a b a b =+++=-++1=．故答案为：1【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，考查向量的运算法则：交换律、分配律，但注意不满足结合律，属于中档题．12．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()()PB AB PB PC -+的最小值是( ) A ．1-B ．32-C ．2-D ．43-【分析】建立坐标系，设(,)P x y ，得出()()PB AB PB PC -+关于x ，y 的表达式，配方即可得出结论．【解答】解：以BC 为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立坐标系，则(0,3)A ，设(,)P x y ，则2(2,2)PB PC PO x y +==--，()(,3)PB AB PA x y -==--， 222233()()222322()22PB AB PB PC x y y x y ∴-+=+-=+--， ∴当0x =，32y =时，()()PB AB PB PC -+取得最小值32-，故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．13．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3【分析】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A ，B ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【解答】解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==， 1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 60BN AB =︒，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan302CM MB ∴=︒=， 3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，3(2B ，3)2，(0,3)C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =-，3(2BE =-，3)2m -，03m，∴22233333321()()224216416AE BE m m m m =+-=-+-=-+，当34m =时，取得最小值为2116．故选：A ．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题． 14．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边AB ，AC 交于M ，N ，若,AM xAB AN y AC ==，则4x y +的最小值是( )A ．52B ．73C ．94D ．14【分析】根据题意，利用MH 与NH 共线，求出x 与y 的表达式，再利用基本不等式求出4x y +的最小值即可．【解答】解：在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点， ,AM xAB AN y AC ==，∴1()4AH AM MH xAB MH AB AC =+=+=+，∴11()44MH x AB AC =-+，同理，11()44NH AB y AC =+-， MH 与NH 共线，∴存在实数λ，使(0)MH NH λλ=<，即1111()()4444x AB AC AB y AC λλ-+=+-，即114411()44x y λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得14x λ-=，114y λ-=， 1115159442(444444x y λλλλ--∴+=+⨯=--+-=，当且仅当14λλ-=-，即2λ=-时，“=”成立，4x y ∴+的最小值是94．故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，以及基本不等式的应用，属于中档题． 15．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，(0,0)m n >>，则下列结论错误的是( ) A ．12m n+为常数 B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为：12m =，2n = 【分析】作出图形，由2BP PC =可得出1233AP AB AC =+，根据三点共线的结论得出123m n+=，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论．【解答】解：如下图所示：由2BP PC =，可得2()AP AB AC AP -=-，∴1233AP AB AC =+，若,,(0,0)AM mAB AN nAC m n ==>>，则11,AB AM AC AN m n==， ∴1233AP AM AN m n=+，M 、P 、N 三点共线，∴12133m n+=，∴123m n +=，故A 正确；所以1,22m n ==时，也满足123m n +=，则D 选项正确；122252252(2)()2333333333n m n m n m n m n mn m +=++=++⋅=，当且仅当m n =时，等号成立，C 选项成立； 1222()()1211333333n m n m n m n m n m n m +=++=++⋅，当且仅当2n m =时，即1222,33m n ++==时等号成立，故B 选项错误．故选：B ．17．已知点O 、N 、P 在ABC ∆所在平面内，且||||||OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点O 、N 、P 依次为ABC ∆的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【分析】根据O 到三角形三个顶点的距离相等，得到O 是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P 是三角形的垂心．【解答】证明：||||||OA OB OC ==，O ∴到三角形三个顶点的距离相等， O ∴是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，∴()0PB PA PC -=，∴0PB CA ⋅=，∴PB CA ⊥，同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，得到P 是三角形的垂心，故选：C ．【点评】本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形的心总结的比较全面，解题时注意向量的有关定律的应用，不要在运算律上出错． 18．已知非零向量,AB AC 和BC 满足())0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且1||||2AC BC AC BC ⋅=，则ABC ∆为( ) A ．等边三角形 B ．等腰非直角三角形C ．非等腰三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：根据向量的性质可得||||1||||AB ACAB AC == ∴||||AB ACAB AC +在BAC ∠的角平分线上（设角平分线为)AD (())0||||AB ACBC AB AC +⋅= AD BC ∴⊥从而有AB AC =又因为12||||AC BC AC BC ⋅=且||||1||||AC BCAC BC ==所以60C ∠=︒三角形为等边三角形故选：A ．【点评】本题主要考查了平面向量的加法的四边形法则，向量的数量积的运算，考查了等边三角形的性质，属于综合试题．19．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++，[0λ∈，)+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心【解答】解：设BC 的中点为D ， ()2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ+=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD AB B AC C λ=++，即()||cos ||cos AB ACDP AB B AC Cλ=+，两端同时点乘BC ，||||cos()||||cos ()()(||||)0||cos ||cos ||cos ||cos AB BC AC BC AB BC B AC BC CDP BC BC BC AB B AC C AB B AC Cπλλλ⋅⋅⋅-⋅⋅=+=+=-+=DP BC ∴⊥，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过ABC ∆的外心故选：D ．【点评】本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的外心的知识，属于基础题． 20．设点O 在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为( ) A ．2B ．32C ．3D ．53【解答】解：分别取AC 、BC 的中点D 、E ，230OA OB OC++=，∴2()OA OC OB OC+=-+，即2 4OD=-OE，O∴是DE的一个三等分点，∴3ABCAOCSS∆∆=，故选：C．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．21．已知点O在ABC∆内，且::4:3:2AOB BOC AOCS S S∆∆∆=，AO AB ACλμ=+，则(λμ+= A．1B．29C．59D．23【分析】先证明0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=成立，得到4320OC OA OB++=，利用向量的线性运算得到429AC AB AO+=，求出λ，μ，由此能求出结果．【解答】解：先证明0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=，延长AO交BC于Q，由题意得AOB BOC AOC ABCS S S S∆∆∆∆++=，由面积关系得：BOCABCS OQS AQ∆∆=，∴APB CPAABCS SAQ AQS∆∆∆+=⋅，||||||||AOC AOBAOC AOB AOC AOBS SQC QBAQ AB AC AB ACS S S SBC BC∆∆∆∆∆∆=⋅+⋅=⋅+⋅++，∴0AOC AOB BOCS OB S OC S AO∆∆∆⋅+⋅-⋅=，∴0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=，由题意知::4:3:2AOB BOC AOCS S S∆∆∆=，4320OC OA OB∴++=，∴429AC AB AO+=，∴24,99λμ==，23λμ∴+=．故选：D．22．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”()Mercedesbenz的log o很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是ABC∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅．则( )A ．O 为ABC ∆的外心B ．BOC A π∠+=C ．||:||:||cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．::tan :tan :tan A B C S S S A B C =【分析】选项A ，将OA OB OB OC ⋅=⋅移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得OB CA ⊥，同理推出OA CB ⊥，OC AB ⊥，得解；选项B ，根据选项A 中所得，可知2OBC C π∠+=，2OCB B π∠+=，再由三角形的内角和定理，得解；选项C ，延长CO 交AB 于点P ，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证cos :cos :A B OA OB =，进而得解；选项D ，由三角形的面积公式与诱导公式，可得:tan :tan A B S S A B =，进而得解．【解答】解：对于选项A ，()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥，同理可得，OA CB ⊥，OC AB ⊥，故O 为ABC ∆的垂心，即A 错误；对于选项B ，因为OB AC ⊥，OC AB ⊥，所以2OBC C π∠+=，2OCB B π∠+=，所以OBC C OCB B π∠++∠+=，又OBC OCB BOC π∠+∠+∠=，所以BOC C B ∠=+，又A B C π++=，所以BOC A π∠+=，即B 正确；对于选项C ，由上可知，A BOC π=-∠，B AOC π=-∠，延长CO交AB 于点P ，cos :cos cos():cos()cos :cos ::OP OPA B BOC AOC BOP AOP OA OB OB OAππ=-∠-∠=∠∠==，同理可得，cos :cos :A C OA OC =，所以cos :cos :cos ::A B C OA OB OC =，即C 正确；对于选项D ，11:():():tan :tan tan :tan tan():tan()tan :tan 22A B S S OC BP OC AP BP AP OP POB OP AOP BOC AOC A B A Bππ=⋅⋅⋅⋅==∠∠=∠∠=--=，同理可得，:tan :tan A C S S A C =，所以::tan :tan :tan A B C S S S A B C =，即D 正确．故选：BCD ．【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的数量积，诱导公式，平面几何基础知识是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．23．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为( )A ．3B ．22C 5D ．2【分析】方法一：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为25(1θ+，252)θ+，根据AP AB AD λμ=+，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．方法二：根据向量分解的等系数和线直接可得．【解答】解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，2BC =，1CD =，22215BD ∴=+∴1122BC CD BD r ⋅=⋅， 5r ∴=，∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为25(1θ+252)θ+，AP AB AD λμ=+，25(1θ∴+252)(1θλ+=，0)(0μ+，2)(λ=，2)μ， ∴251θλ+=2522θμ+=，255cos sin 2sin()255λμθθθϕ∴+=++=++，其中tan 2ϕ=， 1sin()1θϕ-+，13λμ∴+，故λμ+的最大值为3，方法二：根据向量分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3，如图所述故选：A ．【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．24．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A 、(1,3)B -，若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α、R β∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为( )A ．32110x y +-=B ．22(1)(2)5x y -+-=C ．20x y -=D ．250x y +-=【分析】由点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α、R β∈，且1αβ+=，知点C 在直线AB 上，故求出直线AB 的方程即求出点C 的轨迹方程．【解答】解：C 点满足OC OA OB αβ=+且1αβ+=，A ∴、B 、C 三点共线． C ∴点的轨迹是直线AB 又(3,1)A 、(1,3)B -，∴直线AB 的方程为：133113y x --=---整理得250x y +-= 故C 点的轨迹方程为250x y +-= 故选：D ．【点评】考查平面向量中三点共线的充要条件及知两点求直线的方程，是向量与解析几何综合运用的一道比较基本的题，难度较小，知识性较强．25．若动直线:440l mx y m -+-=与圆22:(4)(5)9C x y -+-=相交于A ，B 两点，则()A ．||AB 的最小值为42B ．CA CB ⋅的最大值为7-C ．(OA OB O ⋅为坐标原点）的最大值为78D ．AC AB ⋅的最大值为18【解答】解：440mx y m -+-=，(4)(4)0m x y ∴---=，故动直线l 恒过点(4,4)D ；圆22:(4)(5)9C x y -+-=的圆心为(4,5)C ，半径为3，则22||(44)(45)1CD =-+-=，故||AB 的最小值为2223142⨯-=；故选项A 正确；对于选项B ，||||cos 9cos CA CB CA CB ACB ACB ⋅=⋅∠=∠，易知当CD AB ⊥时，ACB ∠最小，此时22233(42)7cos 2339maxACB +-∠==-⨯⨯；故7()9()79max CA CB ⋅=⨯-=-；故选项B 正确；对于选项C ，设AB 的中点为M ，()()OA OB OM MA OM MA ⋅=+⋅-22229OM MA OM CM =-=+-，而点M 在以DC 为直径的圆2291(4)()24x y -+-=上，设1(4cos 2M θ+，91sin )([022θθ+∈，2]π，且)2πθ≠，故2222221911119(4cos )(sin )(cos )(sin )9222222OA OB OM CM θθθθ⋅=+-=+++++--284cos 4sin 2842sin()28424πθθθ=++=+++，故错误；对于选项D ，21||||cos ||2AC AB AC AB CAB AB ⋅=⋅∠=，故当||AB 取最大值，即AB 过圆心C 时，但动直线l 的斜率一定存在，故动直线l 不包括垂直于x 轴的直线，故AC AB ⋅的最大值不存在，即错误；故选：AB ．【点评】本题综合考查了直线与圆的位置关系的应用及平面向量的综合应用，属于难题．。

高考数学二轮复习专题2.3 平面向量理

5．根据平行四边形法则，对于非零向量 a，b，当|a＋b|＝|a－b| 时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量 a，b 互相垂直，反之也成立．
• 6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.
23B→C＝12A→B＋23(A→C－A→B)＝－16A→B＋23A→C，则 λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2
＝12.
答案
(1)A
1 (2)2
规律方法在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(2)题就是把向量用，表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．
解析 (1)M→N＝M→C＋C→N ＝13A→C＋12C→B ＝13A→C＋12(A→B－A→C) ＝12A→B－16A→C， ∴x＝12，y＝－16.
(2)由题意可得A→B·A→D＝|A→B|·|A→D|cos 120°＝2×2×－12＝－2，在菱
形 ABCD 中，易知A→B＝D→C，A→D＝B→C，所以A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋
BE＝23BC.若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为
________．
解析 (1)∵B→C＝3C→D，∴A→C－A→B＝3(A→D－A→C)，
即 4A→C－A→B＝3A→D，
∴A→D＝－13A→B＋43A→C.
(2)如图，D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋
3
3 .

高三数学二轮专题复习教案――平面向量

芯衣州星海市涌泉学校2021届高三数学二轮专题复习教案――平面向量第四中学邱金龙一、本章知识构造：二、重点知识回忆1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i、j 作为基底。

任作一个向量a，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+，),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作(,)a x y =，其中x叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。

22a x y =+；假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+-3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.〔注：||a a 就是单位向量〕4.平行向量：①方向一样或者者相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .一一共线向量与平行向量关系：平行向量就是一一共线向量. 5.相等向量：长度相等且方向一样的向量叫相等向量. 6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么。

②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a b =a +(b)；差向量的意义：OA =a ,OB =b ,那么BA =a b③平面向量的坐标运算：假设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。

④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b )+c =a +(b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa〔1〕|λa |=|λ||a |；〔2〕λ>0时λa 与a 方向一样；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0；〔3〕运算定律λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb8．向量一一共线定理向量b 与非零向量a一一共线〔也是平行〕的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。

高考数学二轮复习提高题专题复习平面向量多选题练习题附解析

高考数学二轮复习提高题专题复习平面向量多选题练习题附解析一、平面向量多选题1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =1，0PA PB PC PAPBPC++=，以下正确的是（） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC【答案】ABCD 【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1，以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵0PA PB PC PAPBPC++=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CDPCA P CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即12BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确，同理：△APC ∽△ACB ，即AP ACCP BC==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.2．已知向量(22cos ,3m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是（）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的周期为πC ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数【答案】ABD 【分析】运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】解：()22cos 3sin 2cos23sin 21f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当6x k ππ=+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；()f x 的周期22T ππ==,选项B 描述准确；当512x π=时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确；当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确.【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.3．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λabB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直，故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.4．下列命题中真命题的是（）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向【答案】BC 【分析】对于A ：利用共线定理判断对于B ：利用平面向量的数量积判断对于C ：利用数量积的应用判断对于D ：利用向量的四则运算进行判断【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确.对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.5．下列说法中错误的为（）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,2||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.6．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为3714-【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误；由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确。

高三数学二轮复习三角函数与平面向量专题

专题一三角函数、解三角形与平面向量一知识要点整合·三角函数的图像与性质··解三角形··三角恒等变换··平面向量·二典型例题（3）例5例6．例7．．例8．例9. 例10. 三精编试题3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18（本题满分12分）.19.（本题满分12分）20. （本题满分12分）21. （本题满分12分）22. （本题满分12分）23. （本题满分12分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a,)4cos ,4(sin xx b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡24. （本题满分12分）已知ABC ∆的内角A ． B ．C 所对边分别为a 、b 、c ，设向量)2cos),cos(1(BA B A m -+-=， )2cos ,85(B A n -=，且89=⋅n m .（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值；（Ⅱ）求222sin c b a Cab -+的最大值.25. （本题满分12分）甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为152海里/小时,在甲船从A 岛出发的同时,乙船从A 岛正南40海里的B 岛出发,朝北偏东)21tan (,=θθ其中的方向作匀速直线航行,速度为105海里/小时.(如图所示)(Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少海里?(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?【解析】:以A 为原点,BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.设在t 时刻甲、乙两船分别在P(x 1, y 1) Q (x 2,y 2). ,55sin ,552cos ,212151545cos 215111===⎩⎨⎧====θθθ可得由分则arctg t x y t t x 分5402040cos 51010sin 51022 -=-===t t y tt x θθ(I)令3=t ,P 、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)345850)2045()3045(||22==-+-=PQ .即两船出发后3小时时,相距345锂 (II)由(I)的解法过程易知:220800)4(5016004005010)154020()1510()()(||2222212212≥+-=+-=--+-=-+-=t t t t t t t y y x x PQ 分∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20 2即两船出发4小时时,相距202海里为两船最近距离.26. （本题满分12分）在锐角ABC ∆中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ．(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小；(2)已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n＝(cosB ，sinB)，求｜3m －2n｜的取值范围．【解析】27. （本题满分12分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．【解析】解法一：设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060在CDO ∆中，2222cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅= 即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯= 解得490044511r =≈（米）解法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米）22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）28. （本题满分12分）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点(3)P -.(1)求tan α的值; (2)定义行列式运算a bc d ad bc =-,求行列式sin tan 1cos ααα的值; (3)若函数cos()sin ()sin()cos x f x x αααα+-=+(x ∈R ),求函数23(2)2()2y x f x π-+的最大值,并指出取到最大值时x 的值【解析】:(1)∵ 角α终边经过点(3)P -,∴3tan α=. (2)1sin 2α=,3cos 2α=.1200CADsin tan 333sin cos tan 1cos 4312αααααα=-=-+= . (3)()cos()cos sin()sin cos f x x x x αααα=+++= (x ∈R ), ∴函数23cos(2)2cos 2y x x π=-+3sin 21cos2x x =++2sin(2)16x π=++(x ∈R ),∴max 3y =, 此时()6x k k ππ=+∈Z .29. （本题满分12分）已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（1）求)(x f 的最大值和最小值；（2）2)(<-m x f 在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）π()1cos 23cos 21sin 23cos 22f x x x x x⎡⎤⎛⎫=-+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+-⎪⎝⎭≤≤， max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 30. （本题满分12分）如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量,已知50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深110CF m =,求∠DEF 的余弦值｡【解析】:作//DM AC 交BE 于N ,交CF 于M .22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=,2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=在DEF ∆中,由余弦定理,2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯31（本题满分12分）在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,3m B =-,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡【解析】:(1) //m n ⇒ 2sinB(2cos 2B2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 332. （本题满分12分）设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭13cos cos 22A A A =++33A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.33（本题满分12分）在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC ．(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B=sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0<A <π,∴sin A ≠0. ∴cos B =21. ∵0<B <π,∴B =3π.(II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π) 设sin A =t ,则t ∈]1,0(.则m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23. 34 （本题满分12分）在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin =++CB A .I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin2sinππ+=+=+-C C C C C2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.abab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,此时面积的最大值为()24632-. 35. （本题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值．解析：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x xA ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 36. （本题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足0≤•≤6，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的最大值与最小值．解析：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 37. （本题满分12分）如图，甲船以每小时线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解析：如图，连结12A B，22A B =，122060A A =⨯=122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，在121A B B ∆中，由余弦定理得2221211121112222cos 4520220200B B A B A B A B A B =+-⋅︒=+-⨯⨯=，12B B =60=答：乙船每小时航行海里.1A2A120 105。

高考数学二轮复习平面向量多选题专项训练知识点总结附解析

高考数学二轮复习平面向量多选题专项训练知识点总结附解析一、平面向量多选题1．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案：D 【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】在中，因为，由正弦定理得，所以，即，所以或，解得或.故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查解析：D 【分析】在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =，由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=答案：ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．3．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6A a c π===则角C 的大小是( ) A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π答案：BD 【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握解析：BD 【分析】由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得sin sin a cA C=,∴ sin sin c C A a ==而a c <,∴ A C <, ∴566C ππ<<, 故3C π=或23π. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.4．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（） A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)答案：ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点，，则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题. 5．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2答案：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量(解析：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确；故选：CD. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题. 6．下列结论正确的是（）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 答案：AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ．【详解】中，，由得，A 正确；锐角三角形中，，∴，B 正确；中，解析：AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ．【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B=得sin sin A B >，A 正确；锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴2sin a R A ===，R =D 错．故选：AB ．【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C答案：ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中解析：ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+＝左边，故该选项正确.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．在ABC 中，若30B =︒，AB =2AC =，则C 的值可以是（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：BC 【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC 【分析】由题意结合正弦定理可得sin C =()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===，又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒，所以60C =︒或120C =︒.故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b =，30A =︒，则B =（）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒答案：BC 【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理得：，由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC 【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理sin sin a b A B=得： 12sin 22sin 12b A B a ⨯===，由于21b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为2-答案：AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形，其中，对于；故正确．对于，故正确．对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于解析：AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，对于3:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确．对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||42AH AH π=-，||1AH ≠，故错误．故选：AB ．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．11．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-答案：AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误；若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（） A ．00a ⋅= B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥D ．()()22b b a b a a +-=⋅-答案：AB 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，，A 选项错误；对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，解析：AB 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.13．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥答案：BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；故选：BD . 【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题. 14．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-答案：AB 【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB 【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 15．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同答案：AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据解析：AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．二、平面向量及其应用选择题16．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=B ．cos cos cos 0A OA B OBC OC ⋅+⋅+⋅=C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= 解析：C 【分析】利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案. 【详解】如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以O 为ABC ∆的垂心。

高三数学第2轮复习专题5.平面向量

专题五平面向量考点一平面向量的线性运算1. 向量共线定理2. 平面向量基本定理[例题讲解]例题1.ABC ∆中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，CA b =，||1a =，||2b =，则CD =〔〕 A.1233a b + B.2133a b + C.3455a b + D.4355a b +[专题检测]1.〔2011重庆〕已知单位向量1e ，2e 的夹角为60，则12|2|e e -=2.在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =〔〕A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c考点二平面向量坐标运算1. 向量坐标运算法则2. 向量共线、垂直的充要条件[例题讲解]例题2.〔2011〕已知向量(3,1)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若2a b -与c 共线，则k =_____例题3.已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ,90ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则|3|PA PB +的最小值为______[专题检测]1.已知向量(2,1)a =-，(1,)b m =-，(1,2)c =-，若()//a b c +，则m =2.若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则||a b c +-的最大值为〔〕1 D.23.若向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，a b ≠±，则a 与b 一定满足〔〕 A.a 与b 的夹角等于αβ- B.a b ⊥ C.//a b D.()()a b a b +⊥-4.已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是考点三平面向量的数量积[例题讲解]例题4.在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=例题5.已知向量,a b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为[专题检测]1.已知向量,a b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60，则||a b -=2.已知||||2a b ==，(2)()2a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为考点四平面向量综合1. 平面向量与三角函数2. 平面向量与解析几何[例题讲解]例题6. 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a a a b c ββ===-〔1〕求向量b c +的长度的最大值；〔2〕设a 4π=，且()a b c ⊥+，求cos β的值例题7.设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是[专题检测]1.已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=〔1〕求数量积OA OB ⋅，OB OC ⋅，OC OA ⋅ 〔2〕求ABC ∆的面积2.已知平面向量,a b (0,)a a b ≠≠满足||1b =，且a 与b a -的夹角为120，则||a 的取值范围是3.已知向量33(cos ,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-，且[0,]2x π∈，求：〔1〕a b ⋅与||a b +；〔2〕若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值是32-，求λ的值．4.抛物线212y x =-上有两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且0OA OB ⋅=,(0,2)OM =- 〔1〕求证：//AM AB 〔2〕若2MA MB =-，求AB 所在直线的方程。

高考数学二轮复习提高题专题复习平面向量多选题练习题及解析

高考数学二轮复习提高题专题复习平面向量多选题练习题及解析一、平面向量多选题1．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（） A ．212AO AB AB ⋅=B ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线【答案】ACD 【分析】根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定cos cos AB AC AB BAC C+与BC 垂直，从而说明D 正确.【详解】如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=()21·cos cos ?22ABAO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正确；··OAOB OAOC =等价于()·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=,故C 正确； cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB BAC Cπ⋅-⋅=+0BC BC =-+=,∴cos cos AB AC AB BAC C+与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴cos cos AB AC AB BAC C+与AH共线，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.2．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（）A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==【答案】ABD【分析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =可得23HG HO =，利用向量的线性运算()266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以12GO HG =，对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，3AM GM =，因为12GO HG =，所以23HG HO =， ()226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭()646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，故选项B 正确；对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确；对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得23HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.3．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（）A ．1233AE AC AD =+B ．25DF DB =C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅=【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确；对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB AD AB AD AB AD⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确；对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEFBFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.4．下列说法中错误的为（）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.5．给出下列结论，其中真命题为（） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 【答案】CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题；对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.6．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（）A ．若a b ⊥，则0k =B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥【答案】AD 【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.7．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 【答案】AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．8．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系9．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误；对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.10．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（） A ．2b = B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．(2)a b BC +⊥【答案】AD 【分析】本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 【详解】因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=，因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确，因为AB a =，BC b =，所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误，所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，C 错误，因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=，所以(2)a b BC +⊥，D 正确，故选：AD. 【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.。