错位相减法求和附答案解析

错位相减法求和专项．}{a分别是等差数列和等比数列，在应用过{ab}型数列，其中错位相减法求和适用于nn`nn

程中要注意：

项的对应需正确；

相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；

若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1

数列的前项已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，1.

均在函数，点的图象上．和为

）求数列Ⅰ（的通项公式；

是数列的前项和，求．（Ⅱ）设，

[解析]考察专题：，，，；难度：一般

[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

，，则设

∴，∴，

又点均在函数的图象上，∴．

时，，当∴

又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）

，）知，Ⅰ）由（Ⅱ

（．

∴，

∴，

上面两式相减得：

．

整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）

是数列的前n2.项和，且已知数列的各项均为正数，

．

）求数列的通项公式；1

（

）的值.（2][答案查看解析

时，解出an = 1 = 3,] [解析（1）当12－①34S又= a + 2a nnn = + 2a－4s3 ②当时n-1n1－

即，, －①②

,

∴．

（），

是以3为首项，2为公差的等差数列，6分

．

）2③

（

又④

③④－

=

12分

设函数，19,12分）（2013年四川成都市高新区高三4月月考，3.

，数列前数列.项和，满足，

）求数列的通项公式；（Ⅰ

，证明：的前，数列.项和为（Ⅱ）设数列的前项和为，得由Ⅰ[答案] ()

为公比的等比数列，故.是以

）由（Ⅱ得，

…，

…+，记

用错位相减法可求得：

（注：此题用到了不等式：进行放大. . ）

与的等比中项．4.已知等差数列是中，；

）求数列的通项公式：（Ⅰ

项和Ⅱ）若的前．求数列

（

的等比中项．所以，是（[解析]Ⅰ）因为数列与是等差数列，

，则，又因为，设公差为或，，解得所以

，；时当,

时，.当

或. （6所以分)

，，所以，所以）因为Ⅱ（．

所以，

所以

两式相减得，

所以. （13分）

中，项和，等差数列，5.，已知数列的前

且公差.

、的通项公式；）求数列（Ⅰ

若存在，求出）是否存在正整数的最小值，，使得（Ⅱ.若不存在，说明理由时，相减得：）（[解析]Ⅰ

，，，又

为公比的等比数列，.是以1为首项，3数列，. （6又，分）

）（Ⅱ

令………………①

…………………

②．

得：②①－

。，当，，，即，当

的最小正整数为4. （12分）

满足.6. ，等比数列数列满足

，的通项公式；）求数列（Ⅰ

项和.）设的前，求数列（Ⅱ

是等差数列，又，）由，所以数列[解析] （Ⅰ所以，

，即，由，所以，所以，

所以. （6分)

，所以，）因为（Ⅱ

则，

所以，

两式相减的，

分）. (12所

以．

为数列的前7. ，其中已知数列项和．满足

求的通项公式；Ⅰ)

(

项和公式.的前) ((Ⅱ) 若数列，求满足：∵，①[解析]Ⅰ)

∴②

，，得，，又②－①时，

. （5分）

∵，(Ⅱ)

，

，

两式相减得，

. （13分）

n*n-12) . ∈=+n[dd+2d+…+(nN-1) d](n设8.d为非零实数, a n(Ⅰ) 写出a, a, a并判断{a}是否为等比数列. 若是, 给出证明;若不是, 说明理由;n213*) , 求数列{b}的前n项和(n设(Ⅱ) b=nda∈NS. nnnn2. =d(1+d) , a=d, a由已知可得Ⅰ答案[] () a=d(1+d)

321．

=, 因此n≥2, k≥1时, 当

=. a n由此可见, 当d≠-1时, {a}是以d为首项, d+1为公比的等比数列;n当d=-1时, a=-1, a=0(n ≥2) , 此时{a}不是等比数列. (7分) n1nn-1, =d(d+1) ) 可知, a(Ⅱ) 由(Ⅰn2n-1, (d+1) b=nd从而

n22n-2n-1]. ①-1) (d+1) S=d+n(d+1) [1+2(d+1) +3(d+1) +…+(n n2=1. 时, S=d当d=-1n当d≠-1时, ①式两边同乘d+1得

22n-1n]. ②=d+n(d+1) [(d+1) +2(d+1) +…+(n-1) (d+1) (d+1) S n①, ②式相减可得

22n-1n]=d[1+(d+1) +(d+1) -n(d+1) +…+(d+1) -dS n

2. =d

n(nd-1) +1. S=(d+1) 化简即得nn(nd-1) +1. (12分) 综上, S=(d+1) n*2. =2aa+a=2, 且对任意m, n ∈N+2(m-n) 都有满足9. 已知数列{a}a=0, a m+n-12m-112n-1n2(Ⅰ) 求a, a;53*) , 证明:{b}N是等差数列;

-a(Ⅱ) 设b=a(n∈nn2n-12n+1n-1*) , 求数列{c}的前n项和S. ) q=(a) (Ⅲ设c-aN(q≠0, n∈nnnn+1n[答案] (Ⅰ) 由题意, 令m=2, n=1可得a=2a-a+2=6. 132再令m=3, n=1可得a=2a-a) 分+8=20. (2135．

*时, 由已知(以n+2代替Nm) 可得a+a=2a+8. :(Ⅱ) 证明当n∈2n+12n-12n+3于是[a-a]-(a-a) =8, 即

b-b=8. n2n+12(n+1) +1n+12(n+1) -12n-1所以, 数列{b}是公差为8的等差数列. (5分) n(Ⅲ) 由(Ⅰ) 、(Ⅱ) 的解答可知{b}是首项b=a-a=6, 公差为8的等差数列. 1n13则b=8n-2, 即a-a=8n-2. 2n-12n+1n