向量组的线性有关性归纳

第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。

§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。

二、向量组的等价 1、定义定义5 设有两个n 维向量组12:,,,m A a a a ,12:,,,l B b b b ,若向量组B 中每个向量都可由向量组A 线性表示,则称向量组B 可由向量组A 线性表示;若向量组A 与向量组B 可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.注1 向量组的等价是一种等价关系,即向量组的等价具有: 自反性、对称性、传递性. 2、向量组等价的条件 定理1向量组12:,,,l B b b b 可由向量组12:,,,m A a a a 线性表示⇔存在矩阵K ,使B AK =.证明 由于一个向量b 可由向量组A 线性表示可等价地表示成方程1122m m a a a b k k k =+++,那么若向量组B 可由组A 线性表示,则对组B 的任意向量j b 有1122j j j mj m b k k k ααα=+++1212,,,),j jm mj k k k ααα⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭（1,2,,j s =⇔ ()()1212,,,,,,m s b b b a a a =112111222212s s m m ms k k k k k k k k k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⇔ B AK =.注2 称矩阵()m s ij K k ⨯=为这个线性表示的系数矩阵或表示矩阵. 推论1 向量组12:,,,l B b b b 可由向量组12:,,,m A a a a 线性表示⇔存在矩阵K ,使B AK = ⇔矩阵方程AX B =有解 ⇔()(,)R A R A B =推论2向量组12:,,,m A a a a 与向量组12:,,,l B b b b 等价()()(,)R A R B R A B ==.例3 设121231321311011,,,,1110213120a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,证明向量组12,a a 与向量组123,,b b b 等价.解13213132131101102111(,)~11102000001312000000A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭()(,)2R A R A B ∴==2131021020********~~102213000120120000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2R B ∴=()()(,)2R A R B R A B ∴=== ∴ 向量组12,a a 与向量组123,,b b b 等价.例4 设123213121nn n n βαααβαααβααα-=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩,证明向量组12,,,n ααα与向量组12,,,n βββ等价.证明 记12(,,,)n A ααα=,12(,,,)n B βββ=,011101110K ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则由已知有B AK =.1011101(1)(1)011n K n -==--≠K ∴可逆1A BK -∴=∴向量组12,,,n ααα可由向量组12,,,n βββ线性表示，从而两向量组等价.三、线性相关与线性无关 1、向量组线性相关的概念定义1 给定向量组12,,,:m a a a A ,若存在不全为零的数12,,,m k k k ,使11220m m k k k ααα+++=则称向量组A 是线性相关的.否则称它为线性无关. 注1 向量组1,,m a a 线性无关⇔当且仅当10n λλ===时,才有11220n n λαλαλα+++=.注2 对于一个向量组,不是线性相关,就是线性无关.注3 只含一个向量a 的向量组,若0a =,则它线性相关;若0a ≠,则它线性无关. 注4 任一含有零向量的向量组线性相关.注5 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.注6 两向量线性相关的几何意义是两个向量共线;三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面. 2、向量组线性相关的条件 定理1 向量组12,,,:(1)m a a a A m >线性相关⇔A 中至少有一个向量可由其余向量线性表示.证明 设向量组12,,,:m a a a A 线性相关,则有不全为零的数12,,,m k k k 使11220m m k k k ααα+++=不妨设10k ≠,则23123111m m k k k k k k αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即1a 可由2,,m a a 线性表示;反之,设向量组A 中有一个向量可由其余1m -个向量线性表示,不妨设为m a ,则存在实数121,,,m λλλ-使 112211m m m a λαλαλα--=+++,故()11221110m m m a λαλαλα--++++-=.因为121,,,,1m λλλ--这m 个数不全为零,所以向量组A 线性相关. 定理2 向量组12,,,:m a a a A 线性相关⇔有不全为零的数12,,,m k k k 使11220m m k k k ααα+++=.⇔齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=有非零解.⇔()R A m < ,其中12,,,()m a a a A =.推论1 向量组12,,,:m a a a A 线性无关⇔齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=只有零解.⇔()R A m = ,其中12,,,()m a a a A =.推论2 m 个m 维向量组12,,,m a a a 线性相关⇔0A = ,其中12,,,()m a a a A =.例3 设向量组123,,a a a 线性无关,112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+,讨论向量组123,,b b b 的线性相关性.解法一 设存在123,,x x x 使1122330x b x b x b ++=,即112223331()()0,x x x αααααα+++++=（）亦即 131122233)()()0. x x x x x x ααα+++++=（123ααα，，线性无关13122300x x x x x x +=⎧⎪∴+=⎨⎪+=⎩ (1)10111020011=≠ ∴ 方程组(1)只有零解1230x x x === ∴ 向量组123,,b b b 线性无关.解法二 记112312323101(,,),(,,),110,011x A a a a B b b b K x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设0Bx =123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B AK ∴= ()0A Kx ∴=A 的列向量线性相关 0Kx ∴=又20K =≠ 0x ∴=∴ 向量组123,,b b b 线性无关.解法三 记123123101(,,),(,,),110011A a a a B b b b K ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B AK ∴=20K =≠()()R A R B ∴=向量组123,,a a a 线性无关()3R A ∴=()3R B ∴=∴ 向量组123,,b b b 线性无关.3、向量组线性相关的性质 性质1 若向量组12,,,:m a a a A 线性相关,则向量组112,,,:,m m a a a a B +也线性相关;反之, 若向量组112,,,:,m m a a a a B +也线性无关,则向量组12,,,:m a a a A 也线性无关.注1 性质1的结论可以简述为:部分相关则整体相关,整体无关则部分无关. 证明 记12,,,()m a a a A =11,,(,)m m a a a B +=,则()()1R B R A ≤+.由于若向量组A 线性相关,故()R A m <,于是()()11R B R A m ≤+<+,从而向量组B 线性相关.性质2 若n 维向量组11121212221212,,:,m m m n n nm a a a a a a a a a A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关,则n s +维向量组111212122212121112112,,:,m m m n n nm m s s sm a a a a a a B b a b a b a b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也线性无关. 注2 性质2可简述为:无关组添加分量后仍无关;反言之,相关组减少分量后仍相关.证明 记12,,,()m a a a A =,12,,(,)m B b b b =,则()()R A R B m ≤≤.由于向量组A 线性无关,故()R A m =,于是()R B m =,从而向量组B 线性无关.性质3 当m n >时,m 个n 维向量线性相关.注3 性质3可简述为:向量个数大于维数时必线性相关. 证明 记m 个n 维向量12,,,m a a a 构成矩阵12,,,()m m n a a a A ⨯=,则()R A n m ≤<,故向量组12,,,m a a a 线性相关.性质4 若向量组12,,,:m a a a A 线性无关,而向量组12,,,:,m a a a B b 线性相关,则向量b 可由向量组A线性表示,且表示方式是惟一的. 证明 记12,,,()m a a a A =1,,(,)m a a B b =.由于若向量组A 线性无关,故()R A m =,故()()R B R A m ≥=;又由向量组B 线性相关知()1R B m <+.于是()1m R B m ≤<+,所以()()R A R B m ==,方程组Ax b =有唯一解.这表明向量b 可由向量组A 线性表示,且表示方式是惟一的.例4 设向量组123,,a a a 线性相关,而向量组234,,a a a 线性无关,证明(1) 1a 能由23,a a 线性表示; (2) 4a 不能由123,,a a a 线性表示. 证明 (1) 向量组234,,a a a 线性无关 ∴ 向量组23,a a 线性无关 又向量组123,,a a a 线性相关 ∴ 1a 能由23,a a 线性表示(2) 设4a 能由123,,a a a 线性表示,由于1a 能由23,a a 线性表示,故设4a 能由23,a a 线性表示,矛盾. 4.向量组线性相关性的几种判定向量组的线性相关的几种常用方法归纳如下： 1 定义法这是判定向量组的线性相关性的基本方法，既适用于分量没有给出的抽象向量组，也适 给出的具体向量组.定义 设向量组1a ,2a ,…, n a (n ≥1) ，若数域 F 中存在不全为零的数1k ,2k ,…,n k 使得1k 1a +2k 2a + …+n k n a = 0 ，则称向量组1a ,2a ,…, n a 线性相关，否则，则称向量组1a ,2a ,…, n a .例 1：设1β =1a +2a , 2β = 2a +3a , 3β=3a +4a , 4β=4a +1a , 证明向量组1β,2β,3β,4β线性相. 证明：设存在四个数1k ,2k ,3k ,4k ,使得1k 1β+2k 2β+3k 3β+4k 4β = 0 ，将1β =1a +2a ,2β =2a ，3β=3a +4a ,4β=4a +1a ,代入上式整理得 (1k +4k )1a +(1k +2k )2a +(3k +4k )3a +(3k +4k )4a = 0，则令1k = 3k =1 ，2k =4k = 0 ，则有1k 1a +2k 2a +3k 3a +4k 4a = 0，所以由线性相关的定义知：1β,2β,3β,4β线性相关.2利用向量组的线性相关的充要条件向量组1a ,2a ,…, n a (n ≥ 2) 的线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.而对于单个向量1a ，1a 线性相关的充要条件是1a = 0 .如例 1，4β= 1β+2β+3β ，即β4可由其余三个向量线性表出，故向量组1β, 2β,3β, 4β线性相关 3 方程组法方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题. 对于各分量都给出的向量组1a ,2a ,…, n a 线性相关的充要条件是以1a ,2a ,…, n a 的列向量 齐次线性方程组有非零解；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关. 例 2：讨论向量组1a = (1,-2,5), 2a =(0,2,-5),3a = (-1,0,2)的线性相关性. 解：以1a ,2a ,3a 为系数的齐次线性方程组是1k -22k +33k = 0 & 01k +22k -53k = 0 & -11k +02k +23k = 0解之得1k =23k =1c ， 2k =33k =2c (其中1c ，2c 为任意常数)，故1a ,2a ,3a 线性相关. 4. 矩阵秩法矩阵秩法就是将向量组构成矩阵，利用矩阵的初等变换，将矩阵化为阶梯形矩阵. 当矩阵的秩小于向量的个数，向量线性相关；当矩阵的秩等于向量的个数，向量线性无关. 5 行列式值法若向量组1a ,2a ,…,是由 n 个n 维向量所组成的向量组，且向量组1a ,2a ,…, n a 所构成的矩阵为A = (1a ,2a ,…, n a ) ，即 A 为 n 阶方阵. 则（1）当｜ A ｜= 0，则向量组1a ,2a ,…, n a 线性相关； （2）当｜ A ｜≠ 0，则向量组1a ,2a ,…, n a 线性无关.§3极大线性无关组一、定义1.最大线性无关组：在向量组A ：s ααα,,,21 中，存在部分向量组ip i i ααα,,,21 满足：（1）ip i i ααα,,,21 线性无关；（2）对于向量组A 中任一个向量as ，都有ip i i ααα,,,21 ，as 线性相关。