贝努里概型
贝努利概型与二项概率公式-
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验中的样本点
• n重Bernoulli 试验中的每一个样本点可记作
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§5 n重贝努里概型
三.n次相互独立试验的例子
• 掷n次硬币，可看作是n次独立试验； • 某射手对同一目标射击n次，可看作是n次独立
试验； • 观察n个元件的使用寿命，可看作是n次独立试
验．
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§5 n重贝努里概型
例1
三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标
的概率分别为0.3，0.6，0.8．若有一门火炮击中
• 对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标” 与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行 一次射击”是Bernoulli试验．
• 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若 只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车” 这两种情况，这也是Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
P A2 P C1C2C3 P C1C2C3 P C1C2C3 PC1PC2 PC3 PC1PC2 PC3 P C1PC2 PC3
0.30.60.2 0.30.40.8 0.70.60.8 0.468
PA3 PC1C2C3 PC1PC2 PC3
0.30.60.8 0.144
由全概率公式，得
PB
n
P
Ai
PB
Ai
而
i 1
P A1 P C1C2C3 P C1C2C3 P C1C2C3
1.5_伯努利(Bernoulli)概型
2017年3月25日星期六
4
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解 设系队得胜人数为 X ，则在上述三种方案中，系队 胜利的概率分别为
(1) P X 2 C 0.4 0.6
k 2 5 k 3 k k 5 k
3
3 k
0.352. 0.317. 0.290.
(2) P X 3 C 0.4 0.6
§1.5 伯努利(Bernoulli)概型
2017年3月25日星期六
1
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定义 1：如果随机试验只有两个可能结果： A 与 A ， 其中 P(A)=p, P( A )=1-p=q, 为伯努利试验 .
__
__
0＜p＜1, 则称该试验
定义 2：独立地重复 n 次伯努利试验，称为 n 重伯 努利试验，也称伯努利概型.
在 n 重伯努利试验中，我们将事件 A 发生 k 次的概 率记作 B(k;n,p).
2017年3月25日星期六
2
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在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 P( A) p ， P( A) 1 p q (其中 0 p 1 )，则事件 A 恰好发生 k 次 的概率为： k k n k k k n k P ( k ) C p (1 p ) C , (k 0,1, 2,, n) . n n n p q 定理
2017年3月25日星期六
7
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【例】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙， 其中只有一把 能打开家门． 有一天该人酒醉后回家， 下意识地每次从 m 把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才把门打 开的概率 多大？
伯努利概型和贝利努概型
伯努利概型和贝利努概型
伯努利概型和贝利努概型都是三种简单概型中的一个，相对伯努利概型是考研中概率题型中常考考点之一，并且考研中对伯努利概型的考察经常和实际问题相结合，所以考生对伯努利概型的掌握，不仅仅限于对符号和分布律的记忆了，也要理解伯努利概型，知道什么时候应该使用伯努利概型。
首先，我们先看看伯努利概型是怎样定义的：2021考研管综初数管综初数备考伯努利概型，关于伯努利概型中，最主要抓住的关键点三个：1.独立，2.重复，3.两种结果。
而其中两种结果可以通过人为的方式来规定，所以一般伯努利概型的问题，常常会解读出独立重复试验。
伯努利概型对考生的要求是要从题干中抽象出来伯努利概型的问题。
所以各位考生复习伯努利概型从这三个角度进行复习。
以上是为管综考研考生整理的“20XX考研管综初数强化备考：浅析伯努利概型”相关内容，希望整理的能有所帮助。
1-5事件的独立性与贝努利概型
注意互斥与独立的区别 互斥指的是事件不可能同时发生。 互斥指的是事件不可能同时发生。 独立指事件的发生互不影响， 独立指事件的发生互不影响，但并 不表示事件不可能同时发生
中找两个事件,它们 问：能否在样本空间S中找两个事件 它们 能否在样本空间 中找两个事件 既相互独立又互斥? 既相互独立又互斥 这两个事件就是 S和 φ 和
2、多个事件的独立性 、 将两事件独立的定义推广到三个事件： 将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件A、B、C，若 对于三个事件 ， P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时 成立,则称事件 成立 则称事件 A、B、C相互 相互 独立. 独立
P5 (2) = C 5 × 0.12 × 0.93 = 0.0729
2
（2）至少有三个设备被使用的概率； 至少有三个设备被使用的概率；
P = P5 (3) + P5 (4) + P5 (5)
= C 5 × 0.1 × 0.9 + C 5 × 0.1 × 0.9 + C 5 × 0.15
= 1− P( A A2 …An ) 1
= 1− P( A )P( A2 )…P( An ) 1
A , A2,…, An 1
也相互独立
也就是说， 个独立事件至少有一个发生 也就是说，n个独立事件至少有一个发生 的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积 减去各自对立事件概率的乘积. 的概率等于 减去各自对立事件概率的乘积
若设n个独立事件 A , A ,…, A 发生的概率 若设 个独立事件 1 2 n , 分别为 p1,L pn, 则“ A , A ,…, A 至少有一个发生”的概率为 1 2 n 至少有一个发生” P(A1+…+An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) 类似可以得出： 类似可以得出： “ A , A ,…, A 至少有一个不发生”的概率为 1 2 n至少有一个不发生”
高中数学中几种常见的概率模型
高中数学中几种常见的概率模型高中数学中几种常见的概率模型：古典概型、几何概型、贝努利概型、超几何分布概型1、古典概型：也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的；古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
2、几何概型：是概率模型之一，别名几何概率模型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果都是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征，无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。
3、贝努利模型：为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利而命名。
对随机试验中某事件是否发生，实验的可能结果只有两个，这个只有两个可能结果的实验被称为贝努利实验；重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变。
“独立是指是指各次试验的结果是相互独立的。
基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型。
4、超几何分布：是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。
§1.5 事件的独立性于贝努利概型
n! rk r1 r2 p1 p2 ... pk r1 ! r2 !...rk !
其中r1 r2 ... rk n
2016/5/30 20
§1.5 事件的独立性与贝努利概型 事件的独立性 由前面知识知，一般地有 P A | B P A， 但也有例外。 这就是在 A 与 B 发生不相互影响，就有 P A | B P A。 由此，引出了两事件的相互独立性。 我们先看一个例子。 例 袋中有 a 只黑球，b 只白球。每次从中取出一 球，取后放回。令 A = “第一次取出白球”， B = “第 二次取出白球”，则
2016/5/30
19
定理1.4 多项概率公式
A1 , A2 ,..., Ak 且 P ( Ai ) pi (0,1), pi 1
i 1
n 重独立试验中,每次试验可能的结果是 n
则 A1 , A2 ,..., Ak 在n 次试验中各发生 r1 , r2 ,...,rk 次的概率为
P B P B A 。这表明， 启发：由例 1可见， 事件A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是 没有影响的， 即事件 A 的发生与事件 B 的发生 呈现出某种独立性。因为 P A 0且 P B A P B , 故有 P AB
b2
ab
P B P B A
1
2
5 4 6
3
当A发生条件下，系统的可靠性就是
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P ( B | A)
15
当A不正常工作时，原系统转化为
1
2
3
5
4 6
则A不发生，系统正常工作的概率： P ( B | A) 利用全概率公式 P( B) P( A)P( B | A) P( A) P( B | A)
贝努里概型
解 恰有k粒种子出苗的概率为
P6 (k) C6k 0.67k0.336k , (k 0,1, 2, 3, 4, 5, 6).
K P6(k)
0
0.0013
1
0.0157
2
0.0798
其中 p + q = 1。
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次
不发生，由试验的独立性，有
P Ai1Ai2 L Aik Ai,k1L Ain pk (1 p)nk pk qnk .
在n次试验中，A发生k次的方式有Cnk 种。且任何两种 方式都是互不相容的，于是有
将E独立地重复n次的试验，称为n重贝努里试验。
如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等。
3. 贝努里公式
定理1 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发 生的概率为p，0＜p＜1，则在n次试验中事件A恰好发 生k次（0≤k≤n）的概率为
Pn(k) Cnk pk qnk , k 0, 1, 2, , n
加了人寿保险，在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保
险的人一年付120元保险费，而在死亡之时家属可在公司里领取
20000元，问（不计利息）
（1）A={保险公司亏本}的概率是多少？
（2）B={保险公司每年获利不少于100000元}的概率是多少？
解 若一年死亡X人，则保险公司支出20000X（元），一年 中保险公司收入为2500×120=300000（元），于是
1 P( A1 A2 An ) 1 (1 r)n 1, (n )
概率论与数理统计-1.5伯努里概型
8
在n次试验中任意指定k次有Cnk种不同的指定法. 而这些不同的指定法都对应于事件A在n次独立试 验中发生k次一个可能结果(事件)，这些事件是互 不相容的，事件A在n次独立试验中发生k次为这 些事件之和. 因此有
Pn (k ) C p (1 p)
k n k
nk
,
k 0,1,2,, n.
9
且
Pn (0) Pn (1) Pn (n) Cn p (1 p )
k k k 0 n nk
( p q) 1
n
10
例: 设有8门大炮独立地同时向一目标各射击一次， 若有不少于2发炮弹命中目标时，目标就被击毁， 如果每门炮命中目标的概率为0.6，求目标被击毁 的概率. 解: 8门大炮独立地同时向一目标各射击一次，相 当于8重贝努里试验. 所求概率为
例如 ▲连续抛骰子10次，观察出现偶数点的次数；
▲某人打靶命中率为0.7，连续打靶15发子弹，观察命 中次数； ▲在次品率为0.1的一批产品中，有放回地每次任取1 件，重复8次，观察其中的次品数. 以上几例都是多重贝努里试验.
3
例1.5.1 设袋中装有3个红球，7个白球，从袋中任 取一球，有放回地抽取5次，试求事件“4次取到红 球” 的概率. 解 设A={4次取到红球}， Ai={第i次取到红球}
由于各次试验是相互独立的，故
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) ( ) ( ) 10 10
4
3
7
1
5
根据加法公式，所求的概率为
3 7
P( A) C ( ) ( ) 10 10
贝努里概型
概率论
一般地，有如下的定理： 定理1 (贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率
为p，(0<p<1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率Pn (k)为
k Pn ( k ) = Cn p k q n −k ,( k = 0,1,..., n )
n
n
此式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中的第 的亦称为二项概率公式。
例1 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六 有一批棉花种子，出苗率为 ， 求解下列问题： 粒，求解下列问题： (1) 恰有 粒种子出苗的概率； 恰有k粒种子出苗的概率 粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？ 应每穴至少播几粒？ 解 恰有 粒种子出苗的概率为 恰有k粒种子出苗的概率为
4 = C3 0.630.42 + C5 0.640.4 + 0.65 =0.6826 5
在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P3(2)+P3(3)
2 = C3 0.620.4 + 0.63 =0.648
甲应选择五局三胜制。
贝努里（ §1.6 贝努里（Bernoulli)概型 概型
概率论
则事件A、 相互独立 相互独立。 若P(AB) = P(A)P(B) ，则事件 、B相互独立。 在重复试验中，每次试验结果互不影响， 如果 在重复试验中，每次试验结果互不影响，也就 是说各次试验结果发生的概率互不影响， 是说各次试验结果发生的概率互不影响，称这类试验 是独立的。 是独立的。如： (1) 一枚硬币抛 n 次； (2) 一次抛 n 枚硬币； 枚硬币； (3)有放回地抽样：10件产品中有 件次品，从中任 有放回地抽样： 件产品中有 件次品， 件产品中有3件次品 有放回地抽样 取一件，取后放回，连取三次。 取一件，取后放回，连取三次。 1. n重独立性试验 若E可以在相同的条件下重复进 重独立性试验 可以在相同的条件下重复进 各次试验的结果相互独立， 行 n 次，各次试验的结果相互独立，则称这 n 次试验 是独立的， 重独立试验（独立试验序列） 是独立的，或称 n 重独立试验（独立试验序列）。
伯努利概型
e
Cnk
pk (1
p)nk
e
n
nk n!
n! k!(n
k )!
pk
(1
p)nk
(p)k
k!
e
[
nk
(1 p)]nk (n k)!
(p)k
k!
e
m0
[
(1
p)]m m!
(p)k e e(1 p)
k!
解 设Bm表示4道题中碰对m道题这一事实,则
P ( Bm
)
C4m
(1)m 4
( 3 )4 m 4
(m 0,1,2,3,4)
经计算得
P(B0 )
C40
(
1 4
)0
(
3 4
)40
0.316
P(B3 )
C
3 4
(
1 4
)3
(
3 4
)43
0.048
几何分布 在贝努利试验中，通常需要计算事件 A
P(B) (p)k ep , (k 0,1,2, )
k!
(2) 若某蚕养出k只小蚕，求它产了n个卵的概率. 由贝叶斯公式，得
P( An
B)
P( An )P(B P(B)
An )
(p)n
n!
e
C p k n
pk
(1
(p)k ep
p)nk
[(1 p)]nk
(n k)!
P(
5)
5 k 0
P(
1-6事件的独立性与贝努里概型
【解题思路】 独立性，全概率公式
解 设事件 A 表示从甲箱中所取的球为白球，B 表示从乙箱 中所取的球为白球，由题意知， A 与 B 相互独立，且
AB, AB, AB, A B 构成完备组．
（续解） 利用古典概型计算得 P( A) 1 ， P(B) 3 ．因此
3
4
P(AB) P(A)P(B) 1 ， P(AB) P(A)P(B) 1 ，
4
12
P(AB) P(A)P(B) 1 ， P(A B) P(A)P(B) 1 。
2
6
这就是将要介绍的事件独立性。
定义 6.1 如果随机事件 A, B 满足 P(AB) P(A)P(B) ，就称
事件 A 和 B 相互独立． 事件 A 和 B 相互独立的直观理解为事件 A 和 B 各自发
生与否没有任何关系．
注意：事件相互独立和事件互不相容是两个不同的概念．
如果事件 A 和 B 相互独立，且 P(A) 0, P(B) 0 ，则 A
1 (1 3
1)3 3
32 81
．
例 6.11 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标 的概率为 p (0 p 1) ，求此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目 标的概率．
例 6.8 设某系统 L 由三个 独立工作的闭合器组成
（如图 1.7），每为 p ，其中
闭合器② 闭合器③
0 p 1．求系统 L 为通路的概率． 图 1.7
解 设 Ai 为第 i 个闭合器闭合，i 1, 2,3 ．则由题意知，A1, A2 , A3
伯努利概型
(0.8)
C55
(0.2)5
(0.8)0
0.9933.
例.甲、乙两名棋手比赛，已知甲每盘获胜的概率为p.假定每盘 棋胜负是相互独立，且不会出现和棋。在下列情况下，试求甲最 终获胜的概率。(1)采用三盘两胜制;(2)采用五盘三胜制。
解:设事件A={采用三盘两制甲胜}，A1= {甲前两盘获胜} A2= {甲前两盘一胜一负而第三盘获胜}，则
第五节 伯努利概型
一、独立试验系列 二、二项概率公式
一、独立试验系列
独立重复试验：某个随机试验多次重复进行，各 次试验结果相互独立。
重复次数称为重数。 典型实例：多次投掷、有放回抽取。
二、二项概率公式
定义1.11、n重伯努利试验（或n重伯努利试验）
在相同条件下，重复n次做同一试验，每次试验 只有两个可能结果A,A；
P(A)=P(A1)+P(A2) p2 C21 p1 p p 3 p2 2 p3.
设事件B={采用五盘三制甲胜}，B1= {甲前三盘获胜} B2= {甲前三盘两胜一负而第四盘获胜}，
B3= {甲前四盘两胜两负而第五盘获胜}，则 P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)
p3 C32 p2 1 p p C42 p2 1 p2 p 10 p3 15 p4 6 p5.
用伯努里定理中的p和q 1 p代入上式
可得
n
n
( p q)n Cnk pkqnk Cnk pk 1 p nk 1
k0
k0
可见事件A发生k次的概率为( p q) Nhomakorabea展开后的
p的k次项.
故又称为二项概型。
例.从次品率为p=0.2的一批产品中，有放回抽取5件，每次抽 取一件，分别求抽到恰有3件次品以及至多3件次品的概率。
独立性及贝努里概型
(2)令B={难题解出} P( B) P( A1 A2 A3 ) =1 P( A1 )P( A2 )P( A3 ) = 2）在可靠性理论中的应用 对于一个电子元件，它能正常工作的概率 p ,称为 它的可靠性，元件组成系统，系统正常工作的概 率称为该系统的可靠性.随着近代电子技术组成迅 猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成 为一门新的学科------可靠性理论.概率论是研究 可靠性理论的重要工具.
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？ 解: 设 Ai={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
i 1,2,,100
可以认为 A1 , A2 , , A100相互独立，所求的概率为
1 1 1 3 1 (1 )(1 )(1 ) 5 3 4 5
例1.5.8
如果构成系统的每个元件的可靠性均为 r
0< r <1,且各元件能否正常工作是相互独立的, 试求下面两种系统的可靠性. 图1 1 2
n
1
2
n
图2
1
2
n
n 1 2 解:1)每条道路要能正常工作当且仅当该通路上各 元件正常工作故其可靠性为 Rc r n,也即通路发生 故障的概率为 1 r n .由于系统是由两通路并联而 成的，两通路同时发生故障的概率为 1 r n 2，因此 上述系统的可靠性为 Rs 1 (1 r n ) 2 = r n (2 r n ) 2 ( 1 r ) r (2 r ) ‘ 2)每对并联元件的可靠性为 R =1. 系统由 n 对并联元件串联而成，故其可靠性为
贝努里概型
贝努里概型伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样地显赫。
这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了十余位数学家和物理学家，其中有八位数学家（其中三位是杰出的，他们是雅可布、约翰、丹尼尔），他们又生出了在许多领域里崭露头角的成群后代。
雅可布发明了极坐标，他和他的弟弟约翰是莱布尼茨的朋友，经常书信往来讨论数学问题。
他们对于莱布尼茨发明的微积分方法极为推崇，迅速地接受了莱布尼茨的学说，并且加以发扬光大。
雅可布曾当过洛必达的私人教师，最先提出洛必达法则，是欧拉的老师。
雅可布和约翰两兄弟有时致力于研究同一个问题，但是由于彼此嫉妒和易于激动，这一情况是很遗憾的。
有时两人之间的摩擦爆发成为公开的嫉恨诟骂。
由于解决“最速降线”问题，兄弟两个因为解法的优劣而争论不休，两人之间的口角纷争达数年之久，其所用言辞之粗野很像市井上的对骂而非科学讨论。
这两人之中约翰的脾气似乎更坏，因为多年之后，由于他的二儿子丹尼尔获得了他自己渴望获得的法兰西科学院奖金，约翰竟把他摔出窗外。
n次重复独立试验：（1）相同的条件下重复地做某试验n次；可重复性（2）每次试验结果不受其它各次试验影响；独立性如：掷骰子n重贝努里试验：每次试验结果只有两种可能的n重独立试验1．共进行n次试验；2．各次试验相互独立；3．在每次试验中某事件A或者发生或者不发生；4．在每次试验中事件A出现的概率都是p(0p1)。
n重贝努里试验中事件A恰好发生k(0kn)次的概率为kknkPn(k)Cnp(1p)证明：设Ai＝{第i次贝努里试验中出现A}，B＝{n重贝努里试验中A出现k次}分步：（1）A在指定的前k次试验中出现，后n-k次中不出现pP(A1...Akk1...n)P(A1)...P(Ak)P(k1)...P(n)pkqnkk（2）事件A可能出现在n次试验中的任何k次，共Cn中情况。
kknk所以Pn(k)Cnpq例1（1）将一个对称的硬币掷2次，求出现：恰好一次正面的概率；（2）将一个对称的硬币掷10次，求出现：恰好4次正面的概率。
贝努利概型
§1、6 贝努利概型一、试验的相互独立性二、贝努利概型一、试验的相互独立性定义6.1若在同样条件下，将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是相互独立的。
例6.1在同样条件下，抛掷一均匀硬币n次，易见每次投掷的结果，即不管出现“正面”或“反面”，均不会影响其它各次投掷结果，即此为n次重复且相互独立试验。
例6.2从一批灯泡中，任取n只作寿命试验，而每只灯泡的寿命结果不会影响其它灯泡的寿命结果，故此亦为n 次重复且相互独立试验。
注意到例6.1 与例6.2的试验，前者每次试验只有两个结果{H，T}，而后者有无穷多结果{t | t≥0},本节重在讨论前一种试验类型，即贝努利概型。
二、贝努利概型。
记为概率，，这个概率常称为二项概率是实际中常遇到的次的恰恰出现重贝努利概型中时间广泛的运用。
在常要的数学模型，有着非贝努利概型是一种很重概型。
或称贝努利重贝努利试验为这一串重复的独立试验则称次独立地重复进行将且或的结果只有两个，即设试验)(,,),10(1)(,)(,k k A n n n E p q p A P p A P A A E P n <<=−==定义6.2)3.6()1(1)1()()2.6()1(1)1()()1.6(1010∑∑∑∑+=−=−−=−=−−−=−=−−=−=n i k k n k kn i k k n k k n n i k k n k k n n i k k n k k n n p p C p p C i A P p p C p p C i A P 次至多发生次至少发生可得由()(1);0,1,,,(01)(6.1)(6.1)kk n k n n n A k P k C p p k n p −=−=<<"次贝努利试验中恰出现次的概率式称为二项概率公式。
例某织布车间有30台自动织布机，由于检修、上纱等各种工艺上的原因，每台布机时常停车。
贝努利概率型公式
贝努利概率型公式贝努利概率是一种用来计算两个事件发生的概率的方法。
它的基本公式如下：P(A) = p其中，P(A)表示事件A发生的概率，p表示事件A发生的概率（介于0到1之间）。
例如，如果你想计算一枚硬币抛出后正面朝上的概率，则可以使用贝努利概率公式。
假设你抛出了一枚硬币，则事件A为硬币正面朝上，概率p为0.5。
根据贝努利概率公式，硬币正面朝上的概率P(A)就是0.5。
贝努利概率公式通常用于计算两个互斥事件发生的概率，即两个事件中至少有一个事件发生。
在这种情况下，公式为：P(A or B) = P(A) + P(B)其中，P(A or B)表示事件A或B中至少有一个发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B 发生的概率。
例如，假设你有两枚硬币，你想计算至少有一枚硬币正面朝上的概率。
如果每枚硬币正面朝上的概率都是0.5，则根据贝努利概率公式，至少有一枚硬币正面朝上的概率P(A or B)就是0.5 +0.5 = 1。
这意味着两枚硬币中至少有一枚正面朝上的概率是100%。
贝努利概率公式也可以用来计算两个事件同时发生的概率。
在这种情况下，公式为：P(A and B) = P(A) * P(B)其中，P(A and B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B发生的概率。
例如，假设你有两枚硬币，你想计算两枚硬币同时正面朝上的概率。
如果每枚硬币正面朝上的概率都是0.5，则根据贝努利概率公式，两枚硬币同时正面朝上的概率P(A and B)就是0.5 * 0.5 = 0.25。
这意味着两枚硬币同时正面朝上的概率是25%。
贝努利概率公式是概率计算的基础公式之一，在许多方面都有广泛的应用。
例如，它可以用来计算赌博、保险、医学等领域的概率。
此外，贝努利概率公式也是机器学习和数据分析中经常使用的公式之一。
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6
6 k
(k 0,1,2,3,4,5,6)
(2)至少有一粒出苗的概率为
0 0 6 P ( k ) 1 P ( 0 ) 1 C ( 0 . 67 ) ( 0 . 33 ) 0.9987 6 6 6 k 1
(3)要保证出苗率为98%，只要1-Pn(0) ≥0.98即可。
(2) 一次抛 n 枚硬币；
(3) 从10件产品中任取一件,取后放回,然后再取,共进行n次。
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二、二项概率公式
设在一次试验中，事件A发生的概率为p，即P(A)=p，那么，
在n次重复试验中事件A出现k(0≤ k≤n)次的概率Pn(k)是多少？
设Ai={A在第i次试验中发生} (1≤ i≤n)，由于n次试验是相 互独立的，所以A1,A2,…,An是相互独立的，且 P(Ai)=p， (1≤ i≤n) 显然，P
A A A A
1 2 k
k n k A p ( 1 p ) k 1 n
即事件A在指定的k次试验中出现，且在其余的(n-k)次试验 中不出现的概率为 pk (1-p) n-k。而这种指定方式共有Cnk 种，且
它们中的任意两种互不相容，因此，
Pn(k)= Cnk pk (1-p) n-k，k=0,1,2,…, n .
台”，
因为有不少于6台机床同时工作时，其工作就不会正常。 由题意知，每台机床开动的概率1/5,不开动的概率为4/5，
那么在任一时刻开动着的机床不超过 5台概率为 5 5
k 10
1 k994 5 5 k 0 K 0
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06 : A1 A2 A3 A4 A5 07 : A1 A2 A3 A4 A5 08: A1 A2 A3 A4 A5 09 : A1 A2 A3 A4 A5
10 : A1 A2 A3 A4 A5
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《概率统计》
作业：25-26页
21;25
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考察：事件A在5次试验中出现2次的情况,所有方式共 有C52 种： 这里Ai={A在第i次试验中发生} (1≤ i≤ 5)
01: A1 A2 A3 A4 A5
02 : A1 A2 A3 A4 A5 03: A1 A2 A3 A4 A5 04 : A1 A2 A3 A4 A5 05: A1 A2 A3 A4 A5
§１.５ 试验的独立性---贝努里概型
一、贝努里概型的定义
二、二项概率公式 三、贝努里概型的计算
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一、贝努里概型的定义
若试验E具备以下特征：
1) 在相同的条件下可以进行n次重复试验；
2) 每次试验只有两种可能的结果，A发生或A不发生； 3) 在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4) 各次试验的结果是相互独立的。 则称这种试验为n重贝努里试验，或n重贝努里概型。 例如： (1) 一枚硬币抛 n 次；
解得，n=4。 注：这里的Pn(0) 表示“n粒都不出苗”事件的概率。
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三、贝努里概型应用举例
例2.某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率 为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟， 且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门 只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工 作(即电力够用)的概率有多大？ 解： “电力够用”，其含义是“同一时刻开动的机床数不超过5
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三、贝努里概型应用举例
例1.有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六粒，求解下列 问题：(1)恰有k粒种子出苗的概率； (2)至少有一粒出苗的概率； (3)要保证出苗率为98% ，每穴应至少播几粒？
解： (1)恰有k粒种子出苗的概率为
P6(k) C 0.67 0.33