椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法
椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。
另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。
这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。
需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。
椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。
这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。
需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。
如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。
如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。
在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。
例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。
又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。
椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。
椭圆的顶点分别为(a,0)。
(-a,0)。
(0,b)。
(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。
椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。
椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。
椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。
2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
椭圆弦中点公式
椭圆弦中点公式椭圆弦中点公式是一种用于计算椭圆上两点之间弦的中点坐标的公式，它在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
本文将介绍椭圆弦中点公式的推导、应用以及相关的定理和公式。
一、椭圆弦中点公式的推导椭圆弦中点公式的推导基于椭圆的参数方程：x=a*cosθy=b*sinθ其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴，θ为椭圆上的参数。
假设椭圆上有两点A和B，它们的参数分别为θ1和θ2。
我们可以通过参数方程求出这两点的坐标：Ax=a*cosθ1Ay=b*sinθ1Bx=a*cosθ2By=b*sinθ2接下来，我们可以求出两点之间的弦的中点坐标。
首先，我们可以求出弦的中点坐标的x坐标：Mx=(Ax+Bx)/2=(a*cosθ1+a*cosθ2)/2接着，我们可以求出弦的中点坐标的y坐标：My=(Ay+By)/2=(b*sinθ1+b*sinθ2)/2因此，椭圆弦中点的坐标为：(Mx,My)=((a*cosθ1+a*cosθ2)/2,(b*sinθ1+b*sinθ2)/2) 这就是椭圆弦中点公式的推导过程。
二、椭圆弦中点公式的应用椭圆弦中点公式在物理和工程领域中有广泛的应用。
例如，它可以用于计算椭圆形轨道上的物体的运动轨迹，以及计算两个椭圆形物体之间的相对位置和速度。
在物理学中，椭圆弦中点公式可以用于计算行星在椭圆形轨道上的运动轨迹。
根据开普勒第二定律，行星在椭圆形轨道上的面积速率是恒定的。
因此，我们可以通过椭圆弦中点公式计算行星在不同位置的速度和位置。
在工程学中，椭圆弦中点公式可以用于计算两个椭圆形物体之间的相对位置和速度。
例如，当一个椭圆形物体绕另一个椭圆形物体旋转时，我们可以使用椭圆弦中点公式计算它们之间的相对位置和速度，以便设计合适的控制系统。
三、相关的定理和公式除了椭圆弦中点公式之外，还有一些与椭圆相关的定理和公式。
这些定理和公式可以帮助我们更好地理解和应用椭圆弦中点公式。
1. 椭圆的离心率椭圆的离心率定义为椭圆的焦距长度与长轴长度之比。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
离心率公式大全
离心率公式大全离心率是描述椭圆轨道形状的重要参数，它可以帮助我们了解天体运动的轨道特征。
在天文学、航天工程和其他相关领域中，离心率公式的应用非常广泛。
本文将为大家介绍离心率的概念和计算方法，以及一些常见的离心率公式。
首先，让我们来了解一下离心率的概念。
离心率是描述椭圆轨道形状的参数，它是一个介于0和1之间的数值。
当离心率为0时，轨道为圆形；当离心率接近于1时，轨道越趋向于长形。
离心率的大小决定了天体轨道的形状，对于天文学家和航天工程师来说，离心率是非常重要的参量。
接下来，我们将介绍一些常见的离心率公式。
在椭圆轨道运动中，离心率的计算公式如下：e = √(1 (b^2 / a^2))。
其中，e代表离心率，a代表椭圆长轴的长度，b代表椭圆短轴的长度。
这个公式可以帮助我们计算出椭圆轨道的离心率，进而了解天体运动的轨道形状。
除了上述的基本离心率公式外，还有一些特殊情况下的离心率公式需要我们了解。
比如，在开普勒定律中，椭圆轨道的离心率可以表示为：e = (r_max r_min) / (r_max + r_min)。
其中，r_max代表椭圆轨道的最远点距离，r_min代表椭圆轨道的最近点距离。
这个公式适用于描述天体在椭圆轨道上的运动情况，对于研究天体运动规律有着重要的意义。
此外，还有一些其他情况下的离心率公式，比如在引力场中的离心率计算、椭圆轨道的参数方程等。
这些公式在不同的领域和情境中有着不同的应用，可以帮助我们更好地理解天体运动的规律和特征。
总之，离心率是描述椭圆轨道形状的重要参数，离心率公式的应用涉及到天文学、航天工程等多个领域。
通过本文的介绍，希望能够帮助大家更好地理解离心率的概念和计算方法，为相关领域的研究和实践提供帮助。
希望本文介绍的离心率公式能够对大家有所启发，也欢迎大家在实际应用中进一步探索和应用。
求离心率范围的六种方法
求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。
离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。
因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。
笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。
一、利用椭圆上一点P (x ,y )坐标的取值范围，构造关于a ,b ,c 的不等式例1 若椭圆()012222 b a by a x =+上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。
解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则122220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ，所以以O A 为直径的圆经过点P ，所以020020=+-y ax x . ②联立①、②消去0y 并整理得当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。
所以2220ba ab x -=又a x 00，所以a ba ab 2220-， 即 ()22222c a b a -=得2122 ac ，即223e又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a ,b ,c 不等式例2 已知双曲线()0,01x 2222 b a by a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且221PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ，所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得a PF 2PF 12=- ②由①-②得在21PF F ∆中，所以 c e ea e a 21212≥-+- ， 即e e e ≥-+11. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(]21,1+。
三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 设椭圆()012222 b a by a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ∆=120°.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知a PF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得=212221PF PF PF PF ++ =（21221)PF PF PF PF -+所以22212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=- 所以23,4322≥≤a cc a 得. 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a ,b ,c 的不等式例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y 2-=x 上，求椭圆离心率e 的取值范围。
离心率专题
椭圆离心率专题1.求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．2.求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为离心率的取值范围．(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的范围．题型一:分类讨论 1．若椭圆2215x y m+=的离心率为e =，则m 的值为 题型二：利用正余弦定理1．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 1F ， 2F 是椭圆C 的两个焦点，点P 在椭圆C 上，且1230PF F ∠=︒， 2190PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率是2.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，焦距为2c ，若直线()3y x c =+与椭圆交于点，且满足12212MF F MF F ∠=∠ ，则椭圆的离心率是（ ）B ．1C ．．3.椭圆C 的焦点为F 1(-1,0），F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点，若AF 2=2F 2B,AB=BF 1，椭圆的离心率为题型三：焦点弦的定比分弦问题1．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ． 32B ． 23C ． 22D ． 33 2．设12F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过点()1,F c o -的直线交椭圆E 于,A B 两点，若113AF F B =，且2AB AF ⊥，则椭圆E 的离心率是（ ）A ． 12B ． 52C ． 32D ． 22 3．已知焦点在x 轴的椭圆222:13x y C b+= (0)b >的左、右焦点分别为，直线AB 过右焦点2F ，和椭圆交于,A B 两点，且满足223AF F B =， 0160F AB ∠=，则椭圆的离心率为题型四：利用中位线和相似1．如图，设椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ）A ． 12B ． 13C ． 23D ． 142．已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段2PF 相切于线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A ． 13B ． 23C ． 36D ． 53 题型五：椭圆的中点弦问题1．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y = kx m +相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为____ ___.12,F F C2．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）A ． 12⎛ ⎝⎭B ． 2⎝⎭C ． 14⎛ ⎝⎭D ． 11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．已知椭圆C ： 22221x y a b+= （0a b >> ），点M ， N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使102MH NH k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭， ，则离心率e 的取值范围为（ ）A ． 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ． 02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C ． 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 02⎛ ⎝⎭， 题型六：张角最值1．已知F 1、F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆C 上不存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ． [√22，1)B ． [12，1)C ． (0，√22]D ． (0，12] 2．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上动点P ,左、右焦点分别为F 1、F 2，当P 点运动时，∠F 1PF 2的最大角为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为___ __． 题型七：利用椭圆的焦半径范围1．已知F 1，F 2分别是椭圆C : 22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ． 1,32⎡⎢⎣⎦ C ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2．已知椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的左、右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心， b c -为半径作圆2F ，过椭圆上P 作此圆的切线，切点为T ，且PT )a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是3．椭圆M ： ()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是A ． 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 1,22⎡⎢⎣⎦C ． ,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．已知以两坐标轴为对称轴的椭圆E 的一个长轴端点M 及一个短轴端点N 在直线24y x =-+上.（1）求椭圆E 的离心率.（2）若P 是椭圆C 上一点，（异于M ，N ），试求PMN 面积的最大值.。
中点弦、焦点三角形、椭圆系lyt
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题例1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得21-=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。
解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ，又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x ，两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21-=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)，因为A 、B 两点在椭圆上，所以有⎩⎨⎧=-+-=+16)2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ，由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为042=-+y x 。
求中点弦所在直线方程问题(3)
2017-2018学年高二数学——直线与椭圆的位置关系（3） 椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，【则k AB ＝－b 2x 0a 2y 0】 则⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0， 变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.一、求中点弦所在直线方程问题1、 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
2、已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．3、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．二、求弦中点的轨迹方程问题 4 、过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
三、弦中点的坐标问题5、 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
6、 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，4)，离心率为35. (1)求C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．.三，对称问题例7、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．四，最值问题例8、 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e =23，已知点P (0，23)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程.例9、 设椭圆方程为18422=+y x ，过原点且倾斜角为θ和π-θ(0<θ<2π)的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点.(1)用θ表示四边形ABCD(2)当θ∈(0，4π)时，求S 的最大值.练习题：1、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．2、椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点.（1）求2211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.3、设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.。
5椭圆中的最值与中点问题
椭圆中的最值与中点问题一、最值问题第一类：求离心率的最值问题例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。
此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。
故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax y k a x y k BQ AQ -=+=,， 利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++--+a x y a x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b cab ≤2232 则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。
故椭圆离心率的最小值为36。
（或2222)ab a b -，得：0b a <≤，由e =，故136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。
常用椭圆上的点),(y x 表示成c b a ,,，并利用椭圆中y x ,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。
例2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。
本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。
解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：ααβαβαcos sin 2cos sin sin sin 90sin 221210+=++===aPF PF PF PF c 故22)45sin(210≥+=αe ，故椭圆离心率的最小值为22。
椭圆的弦长与中点弦问题
2.2 椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质 第六课时 椭圆的弦长与中点弦问题【学习目标】会用代数方法解决椭圆的弦长和中点弦问题； 【重难点】重点：椭圆的弦长和中点弦问题 难点：会求椭圆的弦长和中点弦 【学习过程】复习引入：1、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆有三种位置关系：相交，相切，相离。
2、直线与椭圆位置关系的判断方法——代数法设直线方程为m kx y +=与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 联立，消去y 得关于x 的一元二次方程)0(02≠=++A C Bx Ax 。
1、⇔>∆0直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交。
2、⇔=∆0直线与椭圆有一个公共点⇔直线与椭圆相切，3、⇔<∆0直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离。
讲授新课：知识点一：直线与椭圆相交弦长的求法1、椭圆的弦：直线与椭圆相交，直线被椭圆所截得的线段，叫做椭圆的弦。
当直线过椭圆的焦点时，所截得的弦称为“焦点弦”。
2、弦长公式：设直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 交于),(11y x A 、),(22y x B 两点，则弦长2122124)(1||x x x x k AB -++=2122124)(11y y y y k-++= 例1 （新课程导学P19例2）斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点F ，交椭圆于B A ,两点，求||AB 。
练习：（新课程导学P20跟踪训练2-1）过椭圆14522=+y x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为知识点二：椭圆的通径垂直于长轴的焦点弦，叫做椭圆的通径，其长为ab 22知识点三：中点弦问题解决中点弦问题的基本方法——点差法。
点差法：设出交点坐标，代入椭圆方程，整体作差求直线的方程。
例2 （新课程导学P20例3）已知椭圆193622=+y x 和点)2,4(P ，直线l 经过点P 且与椭圆交于B A ,两点。
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
椭圆的中点弦问题
合作探究
例 3 已知椭圆 E：x2＋y2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 a2 b2
AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆 E 的方程为( )
A. x2 ＋y2 ＝1 45 36
B. x2 ＋y2 ＝1 36 27
C. x2 ＋y2 ＝1 27 18
则 x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16， 两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴yx11－ －yx22＝－4xy11＋＋xy22＝－4×4 2＝－12，即 kAB＝－21.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
知识回顾
1、直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)
2、直线斜率公式： kAB
y1 y2 x1 x2
3、中点坐标公式： x0
x1 x2 2
， y0
y1 y2 2
1 典例分析
PART ONE
中点弦问题
例 1 直线 y＝x＋1 被椭圆x2＋y2＝1 所截得的弦的中点坐标是( 42
A（. 2 ，5） 33
B（. 4 ，7） 33
C（. 2 ，1） 33
)
D（. 13， 17） 22
解
y＝x＋1，
联立
x2＋y
2
＝1，
42
消去 y，得 3x2＋4x－2＝0，设直线与椭圆交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－4，故 AB 的中点横坐标 x0＝x1＋x2＝－2.纵坐标 y0＝x0＋1＝－2＋1＝1.
本课结束
于是 x1＋x2＝842kk22＋－1k.
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2c∴有③。
题目1：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3cc+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x2 a2 +y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜= b2a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=aPF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 ∵b= a2-c2∴a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
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椭圆离心率的三种求法：
(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c
a
或利用
22
1a
b e -=直接求解.
(2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得c
a 的值，通常由已知寻求a ，
b ，
c 的关系式，再与a 2
＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解.
(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.
1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎪⎭⎫
⎝⎛0,2b 分成5∶3
的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.1617 B.41717 C.45 D.25
5 解析 依题意，得c ＋b
2c －b 2
＝5
3，∴c ＝2b ，∴a ＝
b 2＋
c 2＝5b ，∴e ＝
2b 5b
＝255. 答案D
点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.
2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°，
求椭圆离心率的取值范围.
分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝1
2，
即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.②
①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③ 由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 2
3
.④
由①和④运用基本不等式，得
|PF 1||PF 2|≤2
212||||⎪⎭⎫
⎝⎛+PF PF ，即4b 23≤a 2.
由b 2＝a 2－c 2，得43(a 2－c 2)≤a 2，解得e ＝c a ≥1
2.
又e ＜1，∴该椭圆的离心率的取值范围是[1
2
，1).
方法二 如图，设椭圆与y 轴交于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故∠F 1B 2F 2≥∠F 1PF 2＝60°，从而∠OB 2F 2≥30°.
在Rt △OB 2F 2中，e ＝c a ＝sin ∠OB 2F 2≥sin 30°＝12.
又e ＜1，∴1
2
≤e ＜1.
∴该椭圆的离心率的取值范围是[1
2
，1).
点评 在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P 运动到短轴的端点时，点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况.
(2016全国Ⅰ高考)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离为短轴长的
4
1
，则该椭圆的离心率为（ B ） A.
31 B. 21 C. 32 D.4
3 解：设椭圆是焦点在x 轴上的标准方程，上顶点与右焦点分别为)0,(),0(c F b B 、，则直线l 的方程为0=-+bc cy bx 。
又椭圆短轴长为2b ，椭圆中心到的距离为
a
bc
c b bc =
+2
2，所
以
b a b
c 241⋅=，即2
1=a c 。
（2017济南一中调考）设椭圆的两个焦点分别为21F F 、，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形。
则椭圆的离心率为（ D ） A.
22
B. 2
1
2- C. 22- D.12- 解：由题意得a b c 22=，解得12-=a
c。
椭圆的中点弦方程的求法有三：
（1）方程组法：通过解直线于与椭圆方程联立的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解；
（2）点差法：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(),(1211y x B y x A 、，将这两点的坐标代入椭圆方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点),(00y x 和斜率AB k 有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
（3）中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得。
1.已知椭圆14
162
2=+y x ，过点P (2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程. 分析 注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解. 解 方法一 由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为y ＝k (x －2)＋1.由
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －2)＋1，x 216＋y 24＝1
消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1
.
因为点P 为弦AB 的中点，所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1，解得k ＝－1
2.
故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.
方法二 (点差法)设所求直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).因为点P 为弦AB 的中点，
所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又因为A ，B 在椭圆上，所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22
)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.
故所求直线的方程为y －1＝－1
2(x －2)，
即x ＋2y －4＝0.
方法三 （利用对称性，中点转移法）设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y ).因为弦中点为P (2,1)，所以另一个交点为B (4－x,2－y ). 因为点A ，B 在椭圆上，所以x 2＋4y 2＝16，① (4－x )2＋4(2－y )2＝16，②
从而A ，B 在方程①－②所形成的图形上， 即在直线x ＋2y －4＝0上. 又因为过A ，B 的直线只有1条， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.
解后反思 解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式，进而求出参数；二是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数；三利用对称性，设出弦的一个端点坐标，利用中点转移法求出另一端点的坐标，消去二次项直接求出弦所在的直线方程 。