向量易错题带规范标准答案

1．在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2AP PM =u u u r u u u u r

,则

()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r

等于

A 、49-

B 、43-

C 、43

D 、49

2．已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =

（ ）

A 、77

(,)93 B 、77(,)39-- C 、77(,)39

D 、77(,)93

--

3．已知||8AB =u u u u r ，||5AC =u u u r ，则||BC uuu r

的取值范围是（ ）

A 、]8,3[

B 、（3，8）

C 、]13,3[

D 、（3，13）

4．设向量),(),,(2211y x b y x a ==，则

2

121y y

x x =是b a //的（ ）条件。 A 、充要 B 、必要不充分

C 、充分不必要

D 、既不充分也不必要 5．下列命题：

①4

2

2

||)()(=⋅ ②⋅⋅=⋅⋅)()( ③ |a ·b |=|a |·|b | ④若a ∥,∥,则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使λ= ⑥若

⋅=⋅，且≠，则= ⑦设21,e e 是平面内两向量，则对于平面内任何

一向量，都存在唯一一组实数x 、y ，使21e y e x a +=成立。 ⑧若|+|=|－

|则·=0。 ⑨·=0，则=或=

真命题个数为（ ） A 、1 B 、2

C 、3

D 、3个以上

6．和a r

= (3,－4)平行的单位向量是_________；

7．已知向量||||

a b

p a b =+r r

u r r r ，其中a r 、b r 均为非零向量，则||p u r 的取值范围是 .

8．若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______.

9．在四边形ABCD 中，AB u u u r =DC u u u

r =（1，1），

BA BC BA BC BD

+=u u u r u u u r u u r

u u u r u u u r u u u r ，则四边形ABCD

10．△ABC 中，已知0AC AB >⋅，0AB BC <⋅，0CA CB >⋅，判断△ABC 的形状为_______.

11．向量a 、b 都是非零向量，且向量3a +b 与7-5a b 垂直，4-a b 与7-2a b 垂直，求a 与b 的夹角．

12．)2,(),,0(),0,1(),sin ,cos 1(),sin ,cos 1(ππβπαββαα∈∈=-=+=c b a ρ

ρρ，a ρ与

c ρ的夹角为θ1， b ρ与c ρ的夹角为θ2，且2

sin

,3

21β

απθθ-=-求的值. 13．设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为3π

.若向量2te 1＋7e 2

与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的范围．

14．四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?

15．如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.

16．已知常数a>0，向量c=（0，a ），i=（1，0），经过原点O 以c+λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.

17．已知a 是以点A(3,-1)为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是多少？

18．已知P 1(3,2)，P 2（8，3），若点P 在直线P 1P 2上，且满足|P 1P|=2|PP 2|，求点P 的坐标。

19．在边长为1的正三角形ABC 中，求AB BC BC CA CA AB ++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

g g

g 的值． 20．已知同一平面上的向量、、两两所成的角相等，并且1||=，2||=，3||=，

求向量++的长度。

参考答案

1．A 【解析】

【错解分析】不能正确处理向量的方向导致错选为D

由2AP PM =u u u r u u u u r

知, p 为ABC ∆的重心,根据向量的加法, 2PB PC PM +=u u u r u u u r u u u u r ，

则()AP PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r =2142=2cos021339AP PM AP PM ︒

⋅=⨯⨯⨯=uuu r uuu u r uuu r uuu u r 。

【正解】()AP PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r =2142=2cos021339AP PM AP PM ︒

⋅=⨯⨯⨯=uuu r uuu u r uuu r uuu u r ，

()PA PB PC ∴⋅+=-u u u r u u u r u u u r ()AP PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 4

9

=-，故选A 。

2．D 【解析】

【错解分析】由于混淆向量平行与垂直的条件，即非0向量 1221//0a b x y x y ⇔-=r

r

，

12120a b x x y y ⊥⇔+=r

r ，而不能求得答案。

【正解】不妨设(,)C m n =u r

，则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-r r r r ，对于()

//c a b +r r r ，则

有3(1)2(2)m n -+=+；又()

c a b ⊥+r r r ，则有30m n -=，则有77

,93

m n =-=-，故选D 。

【点评】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很

好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用． 3．C 【解析】

【错解分析】对题意的理解有误，题设条件并没有给出A 、B 、C 三点不能共线，因此它们可以共线。当A 、B 、C 共线时，△ABC 不存在，错选D 。

【正解】因为向量减法满足三角形法则，作出8||=，5||=，-=。 （1）当△ABC 存在，即A 、B 、C 三点不共线时，13|BC |3<<；

（2）当与AB 同向共线时，3|BC |=；当与AB 反向共线时，13|BC |=。 ∴]13,3[||∈，故选C 。 4．C 【解析】

【错解分析】//⇒01221=-y x y x ⇒

2

121y y

x x =，此式是否成立，未考虑，选A 。