有理数与数轴专题培优(终审稿)

有理数培优

有理数培优题型<二>：数轴上的动点例1.已知，数轴上的点A在原点的左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右侧，离点A的距离为32个单位长度.（1）求A,B两点在数轴上所对应的数.（2）若点C也是数轴上的点，且点C到点B的距离与点C到原点的距离相等，求点C对应的数.（3）已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个长度单位，设线段NO的中点为P，线段PO-AM的值是否发生变换？若不变求其值.例2.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3,点P为数轴上一动点,其对应的数为x.（1）若点P到点A,点B的距离相等,求点P对应的数.（2）数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为5?若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由.（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动,点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动,问几分钟时点P到点A,点B的距离相等.例3.已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且0)1b (4a 2=-++，A 、B 之间的距离记作AB ，定义：AB =b a -.（1）求线段AB 的长AB ；（2）设点P 在数轴上对应的数为x ，当PB PA -=2时，求x 的值;（3）若点P 在A 的左侧，M 、N 分别是PA 、PB 的中点，当P 在A 的左侧移动时，下列两个结论：①PN PM +的值不变；②PM PN -的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值.练习：1、在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，AB 表示A 点和B 点之间的距离，C 是AB 的中点，且a 、b 满足()0a 3b 3a 2=++- （1）求点C 表示的数；（2）点P 从A 点以3个单位每秒向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位每秒向左运动，若AP+BQ=2PQ,求时间t.（3）若点P 从A 向右运动，点M 为AP 中点，再P 点到达点B 之前2BM-BP 的值不变，并求出其值。

有理数与数轴专题培优

有理数与数轴专题培优一、选择题：1、下列说法正确的是?( )A. 一个有理数，不是正数就是负数B. 一个有理数，不是整数就是分数C. 有理数可分为非负有理数和非正有理数D. 整数和小数统称为有理数2、机床厂工人加工一种直径为30mm的机器零件，要求误差不大于0.05mm，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：mm），得到数据如下：+0.05，−0.04，−0.02，+0.07，−0.03，+0.04，−0.01，−0.01，+0.03，−0.06．其中不合格的零件有?( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3、13的相反数是?( )A. 3B. −3C. 13D. −134、若有理数m在数轴上对应的点为M，且满足m<1<−m，则下列数轴表示正确的是?( )A. B.C. D.5、如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，−a，1的大小关系表示正确的是?( )A. a<1<−aB. a<−a<1C. 1<−a<aD. −a<a<1二、填空题：1、有下列个数，0.01，10，−6.67，−13，0，−90，−(−3)，−∣−2∣，∣−4∣，其中属于非负整数的共有 ? 个．2、零下15°C表示为 ?；比0°C低4°C的温度是 ?．3、一种零件的长在图纸上标示为20±0.01（单位：mm），表示这种零件的长应是20mm，加工要求是最大不超过 ?mm，最小不小于 ?mm．4、写出五个数（不能重复），同时满足下列三个条件：（1）其中三个数是非正数，且不是分数；（2）其中三个数是非负数，只有一个是分数；（3）这五个数都是有理数．（至少写3组）① ?；② ?；③ ?．5、按规律填空：（1）1，3，7，13，21，31， ? ；（2）0，6，24，78，240，726， ?．6、正整数按图中的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 ?．7、将正偶数按下表中的方式排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826??????根据上表中正偶数的排列规律，2014应在第 ?行，第 ?列．8、观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第15个数、第101个数、第2010个数是什么吗?（1）−1，−2，+3，−4，−5，+6，−7，−8， ?， ?， ?，?；（2） −1，12，−3，14，−5，16，−7，18， ?， ?， ?，?．9、把下列各数填在相应的集合内：6，−3，2.5，−334，0，−1，−∣−9∣，−(−3.15)．（1）分数集合 { ?? }；（2）负整数集合{ ?? }；（3）非负数集合{ ?? }10、下列说法中错误的是 ?．（填写序号）（1）−3 与 13 互为相反数；（2）0 的相反数是 −0，所以 0 与 0 不是互为相反数的数；（3）5 的相反数是 15．11、数轴上点 A 表示 −2，点 B 也在数轴上，且 AB 长为 √5，则点 B 表示的数是 ?．12、 n −3 的相反数是 ?． 13、 −a 一定是负数吗? ?．14、在等式 3×?−2×■=15 的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个方格内的数是 ?．15、数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是 1 厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为 1994 厘米的线段 AB ，则线段 AB 盖住的整点有 ? 个．16、一种新运算，规定有以下两种变换： ① f (m,n )=(m,−n )．如 f (3,2)=(3,−2)； ② g (m,n )=(−m,−n )，如 g (3,2)=(−3,−2)．按照以上变换有 f [g (3,4)]=f (−3,−4)=(−3,4)，那么 g [f (5,−6)] 等于 ?．17、在数轴上依次有 6 个等距离的点 A ，B ，C ，D ，E ，F ，若点 A 对应的数为 −5，点 F 对应的数为 11，则与点 C 所对应的数最接近的整数是 ?．18、如图所示，圆的周长为 4 个单位长度，在圆的 4 等分点处标上字母 A ，B ，C ，D ，先将圆周上的字母 A 对应的点与数轴的数字 1 所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的 −2009 所对应的点将与圆周上字母 ? 所对应的点重合．19、点 A 、 B 、 C 在数轴上对应的数分别为 1 、 3 、 5，点 P 在数轴上对应的数是 −2，点 P 关于点 A 的对称点为 P 1，点 P 1 关于点 B 的对称点为 P 2，点 P 2 关于点 C 的对称点为 P 3，点 P 3 关于点 A 的对称点为 P 4，?，则 P 1P 2016 的长度为 ?．三、解答题：1、将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：（1）在 A 处的数是正数还是负数?（2）负数排在 A ，B ，C ，D 中的什么位置?（3）第 2013 个数是正数还是负数?排在对应于 A ，B ，C ，D 中的什么位置?2、将−2.5，12，2，−∣−2∣，−(−3)，0在数轴上表示出来，并用“ <”把它们连接起来．3、在数轴上点A表示7，点B，C表示互为相反数的两个数且C与A之间的距离为2，求B，C所对应的数．4、如果数轴上的点A和点B所表示的数互为相反数，且线段AB的长度是16，点A在点B 右侧，求点A和点B所表示的数是多少?5、如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有原点的数轴上．（1）若点A和点C表示的两个数互为相反数，则原点为 ?；（2）若点B和点D表示的两个数互为相反数，则原点为 ?；（3）若点A和点D表示的两个数互为相反数，请在数轴上表示出原点的位置．6、对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以3，再把所得数对应的点向左平移1个单位，得到点P的对应点P?．（1）点A、B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操后得到线段A?B?，其中点A、B的对应点分别为A?、B?．如图，若点A表示的数是1，则点A?表示的数 ?；若点B?表示的数是−4，则点B表示的数是 ?；（2）若数轴上的点M经过上述操作后，位置不变，则点M表示的数是 ?．并在数轴上画出点M的位置．。

第一章有理数：绝对值与数轴培优训练人教版2024—2025学年七年级上册

第一章有理数：绝对值与数轴培优训练人教版2024—2025学年七年级上册知识归纳：1.代数意义：(0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩引申：.若x m =（m ＞0），则x m =±.若a ＞0，则1a a =；若a ＜0，则1aa=-. 2.几何意义：|a |表示的是数轴上表示数a 的点到原点的距离。

3．灵活运用绝对值基本性质:①2220;;;a a a a ab a b ===•≥②③④)0(≠=b ba b a；⑤a b +≤a b +.4.绝对值的非负性的应用：①若0a b +=，则0a b ==；②20a b +=，则0a b ==. 5.分类讨论思想6. 数轴上的线段与动点问题典型例题：例1 已知|4x ﹣3|+|2y +5|+|3z +1|＝0，求2x ﹣y +|﹣z |的值．变式1.若|a +2|+|b ﹣7|＝0，则a +b 的值为（） A ．﹣1B ．1C ．5D ．﹣5变式2.已知|x ﹣2|+|y ﹣3|＝0．（1）求x ，y 的值；（2）已知|x +y +z |＝7，求z 的值．例2若a +b +c ＜0，abc ＞0，则的值为．变式3.如果a •b ＜0，那么＝．变式 4.已知a 、b 、c 均为不等于0的有理数，则的值为．变式5.如果x 、y 都是不为0的有理数，则代数式的最大值是．变式6.已知a ，b ，c 都是有理数，且满足＝1，那么6﹣＝．变式7.若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是．变式8.设abcd 是一个四位数，且a ≤b ≤c ≤d ，则式子|a ﹣b |+|b ﹣c |+|c ﹣d |+|d ﹣a |的最大值是．变式9.若a +b +c ＜0，abc ＞0，则的值为．变式10.若ab ≠0，那么+的取值不可能是（）A ．﹣2B ．0C ．1D ．2变式11.若ab ＞0，则++的值为（） A ．3B ．﹣1C ．±1或±3D ．3或﹣1 变式12.若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp|3mnp |＝ .变式13.如果是非零有理数，且0=++c b a ，abc abcc c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或一lC ．2或一2D ．0或一2c b a 、、变式14.阅读下列材料并解决有关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 所以当0x >时，1x x x x ==；当0x <时， 1x x x x==--．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时，a ba b+= ；（2）已知a ，b 是有理数，当abc ≠0时，a b ca b c++= ；（3）已知a ，b ，c 是有理数，a+b+c =0，abc ＜0，则b c a c a ba b c+++++= ．例3.根据绝对值的性质，回答下面的问题：（1）当x 取何值时，5x -有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，39x --有最大值？这个最大值是多少？（3）当x 取何值时，5x -+1x -有最小值？这个最小值是多少？（4）当x 取何值时，5x -++1x 有最小值？这个最小值是多少？（5）不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C 的什么位置？变式15.式子|x ﹣2|+1的最小值是（） A ．0B ．1C ．2D ．3变式16.|x ﹣3|＝3﹣x ，则x 的取值范围是．变式17.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

初一上数学培优专题(1)有理数、数轴、相反数、绝对值

有理数、数轴、相反数、绝对值知识点：1、有理数的分类2、数轴的三要素3、相反数的意义4、绝对值的意义及性质该在（）边练习：若| a-4 |+|b+3 |+|c+2 |=0，那么a －b+c= 。

检测：一、判断题1、不带“－”号的数都是正数. （）2、不存在既不是正数也不是负数的数. （）3、0℃表示没有温度. （）4、若向东走20米记作+20米，那么－19米表示向西走－19米. （）5、若支出增加20元记作+20元，那么－50元表示收入减少50元.（）6、0是自然数，也是整数，还是偶数. （）7、有最小的自然数，但没有最小的整数. （）8、0是最小的非正数，也是最大的非负数. （）9、一个有理数不是正数就是负数. （）10、自然数就是正整数. （）二、选择题11、下列说法正确的是（）A 、小学学过的数都是正数.B 、“吐鲁番盆地海拔为－155米” 意思是低于海平面－155米.C 、－408.3读作“负四百零八点三”.D 、不加“+”的数不是正数.12、在数－7131，0，321，－43，3.141592…，105.731中属于非负数集合的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个13、绵阳市2009年1月1日的最高气温10℃，最低气温零下3℃，这天的温差是 ( )A 、7 ℃B 、13℃C 、30 ℃D 、－7℃14、 A 、B 两个小球从同一点开始沿东西方向运动，如果向东为正，A 球运动了－7米，B 球运动了－3米，那么A 、B 球的位置关系是（）A 、A 球在B 球东方10米. B 、A 球在B 球东方4米.C 、A 球在B 球西方10米.D 、A 球在B 球西方4米.4=1+3 9=3+616=6+10 … 15、给出下列各数：4.443217，0，π，－381，3.14，－1000，其中有理数和非负数的个数是（） A 、6和2 B 、5和2 C 、5和3 D 、5和416、对于数－107.021有以下判断：（1）这个数不是分数，但是有理数. （2）这个数是分数也是负数.（3）这个数不是有理数. （4）这个数是负小数，也是负分数.其中判断正确的个数是( ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个17、下列数集中所填的数正确的是（）A 、正数集合｛3，2.005，72，0.00004 ，π …｝ B 、非负数集合｛－13，0，－225，－722 …｝ C 、分数集合｛－10.5，6，31 ，－743…｝ D 、整数集合｛－4，0，78，π，－1000 …｝ 18、某地高度每增加1000米，气温要降低5℃，现在地面温度是8℃，那么3000米高空的温度是（）A 、21℃B 、7℃C 、－15℃D 、－7℃19、朋友聚会，约定晚上7点准时到会，早到的记为正，迟到的记为负，其中来得最早的和来的最迟的两位分别记为+2小时和－1小时，则这两个人到会的时间分别是（）A 、9点和8点B 、5点和8点C 、5点和6点D 、8点和5点20、下列关于0的叙述中，不正确的是（）A 、不是正数，也不是负数；B 、不是有理数，是整数C 、是非正数，也是有理数D 、是非负数，也是有理数21、下列各组数中相等的是（）A 、-2与)2(--B 、-2与2-C 、2-与2--D 、2-与222、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+31 23.下列语句：①数轴上的点只能表示整数和分数； ②数轴是一条直线；• ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的说法有（）A.1个B.2个C.3个D.4个三、填空题1、比海平面高5m 记作+5m ，则海拔－180m 的意义是。

【精选】有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示-3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.（2）如果|x+1|=3，那么x=________；（3）若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B 两点间的最大距离是________.（4）若数轴上表示a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2=________.【答案】（1）3；5（2）2或-4（3）8（4）6【解析】【解答】解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是：；表示和两点之间的距离是：故答案为：或或故答案为：或（3）或或当时，则两点间的最大距离是，当a=5，b=-1时，A、B两点间的距离是6，当a=1，b=-3时，A、B两点间的距离是4，当时，则两点间的最小距离是，则两点间的最大距离是，最小距离是故答案为：（4）数轴上表示a的点位于-4与2之间，则故答案为：【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的绝对值即可算出答案；（2）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程即可；（3）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程求出a,b的值，然后分四种情况求出ab 之间的距离，再比大小即可；（4）根据数轴上的点所表示的数的特点可知-4＜a＜2，所以a+4＞0,a-2＜0，再根据绝对值的意义去绝对值符号并合并同类项即可.2．如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AC=3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．（1）AC=________cm，BC=________cm；（2）当t=________秒时，点P与点Q第一次重合；当t=________秒时，点P与点Q第二次重合；（3）当t为何值时，AP=PQ？【答案】（1）9；3（2）3；（3）解：在点P和点Q运动过程中，当AP=PQ时，存在以下三种情况：①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t=9+t，解得t= ；②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，可得：2×[12-（4t-12）]=12-（t-3），解得t= ；③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，可得：2×（4t-24）=12-（t-3），解得t=7．故当t为秒、秒或7秒时，AP=PQ．【解析】【解答】（1）∵AB=12cm，AC=3BC∴AC= AB=9，BC=12-9=3．故答案为：9；3．（2）设运动时间为t，则AP=4t，CQ=t，由题意，点P与点Q第一次重合于点B，则有4t-t=9，解得t=3；当点P与点Q第二次重合时有：4t+t=12+3+24，解得t= ．故当t=3秒时，点P与点Q第一次重合；当t= 秒时，点P与点Q第二次重合．故答案为：3；．【分析】（1）由题目中AB=12cm，点C在线段AB上，AB=3BC，可直接求得；（2）根据运动过程，两点重合时他们走过距离之间的关系列方程即可求得；（3）满足AP=PQ，则2AP=AQ，在整个运动过程中正确的位置存在三处，依次分析列出方程即可求得．3．点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．（1）当t＝1时，d＝________；（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；（4）当d＝5时，直接写出t的值．【答案】（1）3（2）解：线段AB的中点表示的数是：＝1．①如果P点恰好运动到线段AB的中点，那么AP＝AB＝3，t＝＝3，BQ＝2×3＝6，即Q运动到A点，此时d＝PQ＝PA＝3；②如果Q点恰好运动到线段AB的中点，那么BQ＝AB＝3，t＝，AP＝1× ＝，则d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣﹣3＝．故d的值为3或（3）解：当点P运动到线段AB的3等分点时，分两种情况：①如果AP＝AB＝2，那么t＝＝2，此时BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原点，则d＝PQ＝0；②如果AP＝AB＝4，那么t＝＝4，∵动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，∴此时BQ＝6，即Q运动到A点，∴d＝PQ＝AP＝4．故所求d的值为0或4（4）解：当d＝5时，分两种情况：①P与Q相遇之前，∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，∴6﹣t﹣2t＝5，解得t＝；②P与Q相遇之后，∵P点运动到线段AB的中点时，t＝3，此时Q运动到A点，停止运动，∴d＝AP＝t＝5．故所求t的值为或5．【解析】【分析】（1）当t＝1时，求出AP＝1，BQ＝2，根据PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；（2）分①P点恰好运动到线段AB的中点；②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情况进行讨论；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分①AP＝AB；②AP＝AB两种情况进行讨论；（4）当d＝5时，分①P与Q相遇之前；②P与Q相遇之后两种情况进行讨论．4．如图，数轴上一动点从原点出发，在数轴上进行往返运动，运动情况如下表（注：表格中的表示2到4之间的数）.运动次数运动方向运动路程数轴上对应的数第1次____①_____3-3第2次左____②_____第3次____③_________④_____（1）完成表格；①________；②________；③________；④________.（2）已知第4次运动的路程为 .①此时数轴上对应的数是________；②若第4次运动后点恰好回到原点，则这4次运动的总路程是多少？________【答案】（1）左；；右； .（2）或；解：当时，或-0.5，不符合题意；当时，，，所以这4次运动的总路程是32.【解析】【解答】解：（1）动点从原点运动到点-3，所以是向左运动；再从点-3向左运动，故终点数字是；∵，∴，∴第三次点是向右运动，运动路程是，故答案为：左，，右， .（ 2 ）①向右运动时，；向左运动时，，故答案为或；【分析】（1）根据始点与终点的数字符号确定第一次运动方向；第一次终点数字与第二次运动路程的差即第二次终点数字；根据第三次终点数字与第二次终点数字的差的符号确定运动方向和运动路程.（2）①分向左或向右两种可能，根据确定第四次移动后最终在数轴上的对应数字；②根据第四次运动后的对应数字确定的值，再计算总路程.5．同学们都知道，|3-（-1）∣表示3与-1的差的绝对值，其结果为4，实际上也可以理解为3与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，其距离同样是4；同理，∣x-5|也可以理解为x与5两数在数轴上所应的两点之间的距离，试利用数轴探索：（1）试用“| |”符号表示：4与-2在数轴上对应的两点之间的距离，并求出其结果；（2）若|x-2|=4，求x的值；（3）同理，|x-3|+|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和，请你直接写出所有符合条件的整数x，使得|x-3|+|x+2|=5；试求代数式|x-3|+|x+2|的最小值.【答案】（1）解：|4-（-2）|=6（2）解：x与2的距离是4，在数轴上可以找到x=-2或6（3）解：当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5，∴符合条件的整数x=-2，-1，0，1，2，3；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，∴|x-3|+|x+2|的最小值是5【解析】【分析】（1）根据已知列式求解即可；（2）按照已知去绝对值符号即可求解.（3）当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，由此即可得出结论.6．阅读填空，并完成问题：“绝对值”一节学习后，数学老师对同学们的学习进行了拓展.数学老师向同学们提出了这样的问题：“在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.那么，如果用P（a）表示数轴上的点P表示有理数a，Q（b）表示数轴上的点Q表示有理数b，那么点P与点Q的距离是多少？”（1）聪明的小明经过思考回答说：这个问题应该有两种情况.一种是点P和点Q在原点的两侧，此时点P与点Q的距离是a和b的绝对值的和，即∣a∣＋∣b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离为∣－3∣＋∣－5∣=________；另一种是点P和点Q在原点的同侧，此时点P与点Q的距离的a和b中，较大的绝对值减去较小的绝对值，即∣a∣－∣b∣或∣b∣－∣a∣.例如：点A（－3）与点B（－5）的距离为∣－5∣－∣－3∣=________；你认为小明的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－2）与D（－7）之间的距离. ________（2）小颖在听了小明的方法后，提出了不同的方法，小颖说：我们可以不考虑点P和点Q 所在的位置，无论点P与点Q的位置如何，它们之间的距离就是数a与b的差的绝对值，即∣a－b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离就是∣－3－5∣=________；点A（－3）与点B（－5）的距离就是∣（－3）－（－5）∣= ________；你认为小颖的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－1.5）与D（－3.5）之间的距离.________【答案】（1）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点D之间的距离为（2）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点的之间的距离为【解析】【分析】（1）数轴上的点，原点两侧两点之间的距离即点到原点绝对值的相加之和。

七年级有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 ( 大于秒.（1）点表示的数是________.（2）求当等于多少秒时，点到达点处？（3）点表示的数是________(用含字母的式子表示)（4）求当等于多少秒时，、之间的距离为个单位长度.【答案】（1）1（2）解：[6-（-4）]÷2=10÷2=5（秒）答：当t=5秒时，点P到达点A处.（3）2t-4（4）解：当点P在点C的左边时，2t=3，则t=1.5；当点P在点C的右边时，2t=7，则t=3.5.综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度.【解析】【解答】解：（1）依题意得，点C是AB的中点，故点C表示的数是： =1. 故答案是：1；（ 3 ）点P表示的数是2t-4.故答案是：2t-4；【分析】（1）根据x c=可求解；（2）根据数轴上两点间的距离等于两点坐标之差的绝对值可求得AB的距离，再根据时间=路程÷速度可求解；（3）根据题意可得点P表示的数=点P运动的距离+X B可求解；（4）由题意可分两种情况讨论求解：① 当点P在点C的左边时，由题意可列关于t的方程求解；② 当点P在点C的右边时，同理可求解.2．如图，点A、B都在数轴上，O为原点.（1）点B表示的数是________；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是________；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O 不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值. 【答案】（1）-4（2）0（3）解：① 当点O是线段AB的中点时，OB=OA4－3t=2+tt=0.5② 当点B是线段OA的中点时， OA = 2 OB2+t=2(3t-4)t=2③ 当点A是线段OB的中点时， OB = 2 OA3t－-4=2(2+t)t=8综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8.【解析】【解答】（1）点B表示的数是-4；（2）2秒后点B表示的数是 0 ；【分析】（1）根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案；（2）用点B开始所表示的数＋点B运动的路程＝经过t秒后点B表示的数，即可得出结论；（3）找出t秒后点A、B表示的数，分①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据线段中点的数学语言列出方程，求解即可求出此时的t值，综上即可得出结论。

【精选】有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，已知点A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是-20，点B对应的数是80．现在有一动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q 从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动．（1）与、两点相等的点所对应的数是________．（2）两动点、Q相遇时所用时间为________秒；此时两动点所对应的数是________．（3）动点P所对应的数是时，此时动点Q所对应的数是________．（4）当动点P运动秒钟时，动点P与动点Q之的距离是________单位长度．（5）经过________秒钟，两动点P、Q在数轴上相距个单位长度．【答案】（1）30（2）20；40（3）52（4）25（5）12或28【解析】【解答】（1）AB的中点C所对应的数为：；（2）设两动点相遇时间为t秒，(2+3)t=80-(-20) 解得：t=20(秒)80-2t=80-2×20=40,或-20+3×20=40∴此时两动点所对应的点为40；（3）22-(-20)=42, 80-42÷3×2=52∴动点所对应的数是时，此时Q所对应的数为52；（4）∵20秒相遇，∴(2+3) ×25-[80-(-20)]=25（5）P、Q两点相距40个单位长度，分两种情况AB=80-(-20)=100①相遇前，(100-40) ÷(3+2)=60÷5=12(秒)②相遇后，(100+40)÷(2+3)=140÷5 =28(秒)∴经过12或28秒钟，两动点、在数轴上相距个单位长度．【分析】（1）根据数轴上A、B两点所表示的数为a、b，则AB的中点所表示的数可以用公式计算;（2）设两动点相遇时间为t秒，P、Q两点运动的路程之和为总路程，列方程求解即可；用80-2t即可求得此时两动点对应的数；（3）先求出动点P对应的点是22时运动的时间，再根据Q和P运动时间相等计算Q点运动路程，进而求得点Q对应的数；（4）根据题意P、Q两点25秒运动的路程和减去总路程就是PQ两点间的距离；（5）根据题意，分两种情况进行解答，即: ①相遇前相距40个单位长度，②相遇后相距40个单位长度，分别列方程求解即可.2．如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点、、、对应的数分别是，且 .（1）那么 ________， ________：（2）点以个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，秒后点以个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，当点到达点处立刻返回，与点在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数；（3）如果、两点以（2）中的速度同时向数轴的负方向运动，点从图上的位置出发也向数轴的负方向运动，且始终保持，当点运动到时，点对应的数是多少？【答案】（1）-6；-8（2）解：由（1）可知：，，，，点运动到点所花的时间为，设运动的时间为秒，则对应的数为，对应的数为： .当、两点相遇时，，，∴ .答：这个点对应的数为；（3）解：设运动的时间为对应的数为：对应的数为：∴∵∴∵对应的数为∴①当，；②当，，不符合实际情况，∴∴答：点对应的数为【解析】【解答】解：（1）由图可知：，∵，∴，解得，则；【分析】（1）由a、d在数轴上的位置可得d=a+8，代入已知的等式可求得a的值，再根据数轴可确定原点的位置；（2）根据相遇问题可求得相遇时间，然后结合题意可求解；（3）根据AB=AC列方程，解含绝对值的方程可求解.3．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”.（1）（【初步探究】直接写出计算结果：2③=________，（- ）⑤=________；（2）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.（﹣3）④=________；5⑥=________；(- ) ⑩=________.Ⅱ.想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；Ⅲ.算一算：12²÷(- )④×(-2)⑤－(- )⑥÷3³.________【答案】（1）；-8（2）；；；；解：【解析】【解答】解：（1）【初步探究】，故答案为：，-8；（ 2 ）【深入思考】Ⅰ.；；故答案为：；；；Ⅱ.【分析】（1）①按除方法则进行计算即可；②按除方法则进行计算即可；（2）①把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；②结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则aⓝ＝a×(）n−1= ；③将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．4．已知，数轴上点A和点B所对应的数分别为，点P为数轴上一动点，其对应的数为．（1）填空： ________ ， ________ ．（2）若点 P到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数.（3）现在点 A、点 B分别以 2 个单位长度/秒和 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动，点 P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点 A与点 B之间的距离为2个单位长度时，求点 P所对应的数是多少？【答案】（1）-1；3（2）解：依题可得：PA=|x+1|，PB=|3-x|，∵点P到点A、点B的距离相等，∴PA=PB，即|x+1|=|3-x|，解得：x=1，∴点P对应的数为1.（3）解：∵点A、点B 速度分别以 2 个单位长度/秒、 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动，∴A点对应的数为2t-1，点B对应的数为3+0.5t，①当点A在点B左边时，∵AB=2，∴（3+0.5t）-（2t-1）=2，解得：t=，∵点P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动，∴×3=4，∴P点对应的数为：-4.②当点A在点B右边时，∵AB=2，∴（2t-1）-（3+0.5t）=2，解得：t=4，∵点P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动，∴4×3=12，∴P点对应的数为：-12.【解析】【解答】解：（1）∵（a+1）2+|b-3|=0，∴，解得：.故答案为：-2；3.【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性列出方程，解之即可得出答案.（2）根据题意可得PA=|x+1|，PB=|3-x|，再由PA=PB得|x+1|=|3-x|，解之即可得出点P对应的数.（3）根据题意可得A点对应的数为2t-1，点B对应的数为3+0.5t，分情况讨论：①当点A 在点B左边时，②当点A在点B右边时，由AB=2分别列出方程，解之得出t值，再由P 点的速度得出点P对应的数.5．数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式6x3y－2xy＋5的二次项系数为a，常数项为b（1）直接写出：a＝________，b＝________（2）数轴上点P对应的数为x，若PA＋PB＝20，求x的值（3）若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动；同时点N从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动，到达A点后立即返回并向右继续移动，求经过多少秒后，M、N两点相距1个单位长度【答案】（1）﹣2；5（2）解：①当点P在点A左边，由PA+PB=20得: (﹣2 ﹣x )+(5﹣x)=20, ∴②当点P在点A右边，在点B左边，由PA+PB=20得: x ﹣（﹣2 ）+(5﹣x)=20,∴，不成立③当点P在点B右边，由PA+PB=20得:x ﹣（﹣2 ）+(x﹣5), ∴ .∴或11.5（3）解：设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，由运动知，AM＝t，BN＝2t，① 当点N到达点A之前时，Ⅰ、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度，t＋1＋2t＝5＋2，所以，t＝2秒，Ⅱ、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，t＋2t﹣1＝5＋2，所以，t＝秒，② 当点N到达点A之后时，Ⅰ、当N未追上M时，M、N两点相距1个单位长度，t﹣[2t﹣（5＋2）]＝1，所以，t＝6秒；Ⅱ、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，[2t﹣（5＋2）]﹣t＝1，所以，t＝8秒；即：经过2秒或秒或6秒或8秒后，M、N两点相距1个单位长度.【解析】【解答】（1）∵多项式6x3y-2xy+5的二次项系数为a，常数项为b，∴a=-2，b=5，故答案为：-2，5；【分析】（1）根据多项式的相关概念即可得出a,b的值；（2）分①当点P在点A左边，②当点P在点A右边，③当点P在点B右边，三种情况，根据 PA+PB=20 列出方程，求解并检验即可；（3）设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，故AM＝t，BN＝2t，分① 当点N 到达点A之前时，Ⅰ、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度，Ⅱ、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，② 当点N到达点A之后时，Ⅰ、当N未追上M 时，M、N两点相距1个单位长度，Ⅱ、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，几种情况，分别列出方程，求解即可.6．甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时。

有理数数轴培优题

有理数数轴培优题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2七年级数学培优（1）——数轴知识点精析：利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：1. 运用数轴直观地表示有理数2. 运用数轴形象地解释相反数3. 运用数轴比较有理数的大小4. 运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题例题精讲：例1.（1）数轴上有A 、B 两点，如果点A 对应的数是-2，且A 、B 两点之间的距离为3，那么点B 对应的数是 .(2)点A 、B 分别是数-3，21在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到A ’B ’,且线段A ’B ’的中点对应的数是3，则点A ’对应的数是，点A 移动的距离是 .例2．如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C 所表示的数最接近的整数是 .例3.如图,已知数轴上点A 、B 、C 对应的数是a 、b 、c ，都不为0，且C 是AB 的中点，如果|a+b|- |a-2c|+|b-2c|-|a+b-2c|=0,试确定原点O 的大致位置。

ABCDEF -511ABCba c3例4．(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时， ① 如图2，点A 、B 都在原点的右边，b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=；③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=。

综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=。

【精选】苏科版七年级上册数学有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示-3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.（2）如果|x+1|=3，那么x=________；（3）若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B 两点间的最大距离是________.（4）若数轴上表示a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2=________.【答案】（1）3；5（2）2或-4（3）8（4）6【解析】【解答】解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是：；表示和两点之间的距离是：故答案为：或或故答案为：或（3）或或当时，则两点间的最大距离是，当a=5，b=-1时，A、B两点间的距离是6，当a=1，b=-3时，A、B两点间的距离是4，当时，则两点间的最小距离是，则两点间的最大距离是，最小距离是故答案为：（4）数轴上表示a的点位于-4与2之间，则故答案为：【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的绝对值即可算出答案；（2）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程即可；（3）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程求出a,b的值，然后分四种情况求出ab 之间的距离，再比大小即可；（4）根据数轴上的点所表示的数的特点可知-4＜a＜2，所以a+4＞0,a-2＜0，再根据绝对值的意义去绝对值符号并合并同类项即可.2．在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）画一条数轴，并在数轴上分别用A、B表示出1和3的两点（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离是________；（3）点A、B、C在数轴上分别表示有理数1、3、x，那么C到A的距离与C到B的距离之和可表示为________（用含绝对值的式子表示）（4）若将数轴折叠，使得表示1和3的两点重合，则原点与表示数________的点重合【答案】（1）解：如图所示，（2）2（3）（4）4【解析】【解答】解：（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离=，故答案为2；（3）由题意得，C到A的距离与C到B的距离之和可表示为：，故答案为：；（4）在数轴上，1和3中点的数为：，设与原点重合的点的数为x，由题意得：, ∴x-2=±2，解得x=0或4，∴则原点与表示数4的点重合，故答案为：4.【分析】（1）画出数轴，在数轴上找出1、3点，分别用A、B表示即可；（2）根据题意，计算数轴上表示1和3的两点之间的距离即可；（3）根据题意，把C到A的距离与C到B的距离之和表示出来即可；（4）首先求出1和3中点表示的数，再设与原点重合的点的数为x，根据题意列式求出x 即可.3．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．（1）在数轴上标示出－4、－3、－2、4、（2）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：①数轴上表示4和－2的两点之间的距离是________，表示－2和－4两点之间的距离是________.一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，即那么a=________②若数轴上表示数a的点位于－3和2之间，则的值是________；③当a取________时，|a+4|+|a-1-|+|a-4|的值最小，最小值是________.【答案】（1）解：如图所示：（2）6；2；1或-5；5；1；8.【解析】【解答】解：(2)①数轴上表示4和−2的两点之间的距离是4−(−2)=6，表示−2和−4两点之间的距离是−2−(−4)=2；∵|a−(−2)|=3，∴a−(−2)=±3，解得a=−5或1；②因为|a+3|+|a−2|表示数轴上数a和−3，2之间距离的和,又因为数a位于−3与2之间，所以|a+3|+|a−2|=5；③根据|a+4|+|a−1|+|a−4|表示一点到−4，1，4三点的距离的和，所以当a=1时，式子的值最小，此时|a+4|+|a−1|+|a−4|的最小值是8.故答案为：6，2，−5或1；5；1，8.【分析】（1）数轴上原点表示正数，原点左边表示负数，原点右边表示正数，然后在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小原点标记，并在实心小圆点上方写出该点所表示的数；（2）①根据数轴上任意两点的距离等于这两点所表示的数差的绝对值即可算出答案；解含绝对值的方程，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再解即可；②因为数a位于−3与2之间，故a+3＞0，a−2＜0，根据绝对值的意义去掉绝对值符号再合并他即可；③根据|a+4|+|a−1|+|a−4|表示一点到−4，1，4三点的距离的和，根据两点之间线段最短即可得出当a=1时，式子的值最小，从而将a=1代入即可算出答案。

【精选】七年级数学有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．同学们都知道表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求 ________．（2）找出所有符合条件的整数，使得．满足条件的所有整数值有________（3）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最大值或最小值？如果有最大值或最小值是多少？有最________（填“最大”或“最小”）值是________．【答案】（1）7（2）-3，-2，-1，0，1，2;（3）最小；3【解析】【解答】（1）原式=|5+2|=7.故答案为: 7;（2）令x+3=0或x-2=0时，则x=-3或x=2.当x<-3时，- (x+3) - (x-2) =5 ,-x-3-x+2=5，解得x=-3(范围内不成立)当-3≤x≤2时，(x+3) - (x-2) = 5,x+3-x+1=4，0x=0，x为任意数,则整数x=-3，-2，-1, 0，1，当x>2时，(x+3) + (x-2) = 5，x=2(范围内不成立) .综上所述，符合条件的整数x有: -3, -2, -1, 0，1，2.故答案为:-3，-2，-1，0，1，2;(3) 由(2) 的探索猜想,对于任何有理数x，有最小值为3,令x-3=0或x-6=0时,则x=3，x=6当x＜3时，-(x-3)-(x-6)=-2x+3﹥3当3≤x≤6时，x-3-(x-6)=3,当x＞6时，x-3+x-6=2x-9＞3∴对于任何有理数x，有最小值为3【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去掉绝对值就可以了；（2）要求x的整数值可以进行分段计算，令x+3=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值.（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值.2．已知 , , 三点在数轴上对应的位置如图如示，其中点对应的数为2，， .（1）点对应的数是________，点对应的数是________；（2）动点，分别同时从，两点出发，分别以每秒8个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动.点为的中点，点在上，且，设运动时间为 .①请直接用含的代数式表示点，对应的数；②当时，求的值.【答案】（1）-12；5（2）解：① 对应的数是，对应的数是；② ，，，，由，得，由，得，故当秒或秒时， .【解析】【解答】解：（1）点对应的数为，，，点对应的数是：；点对应的数是：；故点对应的数为，点对应的数是 .【分析】（1）根据点对应的数，由的长确定出点表示的数，再根据的长确定出点表示的数；（2）①根据题意表示出点、的数即可；②列出含t的、的代数式，得出方程，求出方程的解即可.3．已知数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别为﹣36，﹣12，12；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设运动时间为t秒（1）若点P到A点的距离是到点B距离的2倍，求点P的对应数；（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A.在点Q开始运动后第几秒时，P、Q 两点之间的距离为4？请说明理由.【答案】（1）解：当P在A、B之间，PA+PB＝AB，因为点P到A点的距离是到点B距离的2倍，所以PA＝2PB，故2PB+PB＝AB，代数可得PB＝8，故P点对应数为﹣12﹣8＝﹣20；当P在B、C之间，PA﹣PB＝AB，所以2PB﹣PB＝AB，故PB＝AB＝24，故P点对应数为﹣12+24＝12，与点C重合.（2）解：分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度.PA﹣QA＝4，设时间为t1， AB+t1×1﹣3t1＝4，故24+t1×1﹣3t1＝4，则t1＝10；第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度.QA﹣PA＝4，设时间为t2，3t2﹣(t2+AB)＝4，故3t2﹣(t2+24)＝4，则t2＝14；第三种情况：当Q从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度.设时间为t3，3t3+t3+4+AB＝2AC，故3t3+t3+4+24＝2×48，则t3＝17；第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.设时间为t4，3t4+t4+AB＝2AC+4，故3t4+t4+24＝2×48+4，则t4＝19.【解析】【分析】(1)P从A运动到C，存在两种情况：1.P在A、B之间2.P在B、C之间，后计算发现此点与C重合；(2)分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度. 第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度. 第三种情况：当Q 从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度，第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.4．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值： a=________； b=________； c=________．（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，试计算此时BC—AB的值．（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和x（x>3）个单位长度的速度向右运动，请问：是否存在x，使BC－AB的值随着时间t的变化而不变，若存在求出x；不存在请说明理由．【答案】（1）-1；1；4（2）解：BC-AB=（4-1）-（1+1）=3-2=1．故此时BC-AB的值是1（3）解：t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为3t+1，点C对应的数为xt+4．∴BC=（xt+4）-（3t+1）=(x-3)t+3，AB=（3t+1）-（-1-t）=4t+2，∴BC-AB=(x-3)t+3-（4t+2）=（x-7）t+1，∴BC-AB的值不随着时间t的变化而改变时，其值为7【解析】【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1，∵|c-4|+（a+b）2=0，∴c-4=0，a+b=0，∴a=-1，c=4【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）根据两点间的距离公式可求BC、AB的值，进一步得到BC-AB的值；（3）先求出BC=4t+3，AB=4t+2，从而得出BC-AB，从而求解．5．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且、满足与互为相反数.（1） ________， ________， ________.（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；（3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 .①请问：的值是否随着时间变化而改变？若变化，说明理由；若不变，请求其值.②探究：在(3)的情况下，若点、向右运动，点向左运动，速度保持不变，值是否随着时间的变化而改变，若变化，请说明理由；若不变，请求其值.【答案】（1）解：-3；-1；5；(2)3；（2）3（3）解：① ，，.故的值不随着时间的变化而改变；② ，，.当时，原式，的值随着时间的变化而改变；当时，原式，的值不随着时间的变化而改变.【解析】【解答】（1）∵，∴，，解得，，∵是最大的负整数，∴ .故答案为：-3，-1，5.(2) ，对称点为， .故答案为：3.【分析】（1）由非负数的性质可求出a、c，最大的负整数是-1，故b=-1；（2）折叠后AC重合，A、C的中点即为对称点，再根据对称点求出跟B重合的数；（3）①用速度乘以时间表示出运动路程，可得到和的表达式，再判断的值是否与t相关即可；②同理求出和的表达式，再计算，分情况讨论得出结果.6．如图1，在一条可以折叠的数轴上，点A，B分别表示数-9和4.（1）A，B两点之间的距离为________.（2）如图2，如果以点C为折点，将这条数轴向右对折，此时点A落在点B的右边1个单位长度处，则点C表示的数是________.（3）如图1，若点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度也沿数轴向右运动，那么经过多少时间，A、B两点相距4个单位长度?【答案】（1）13（2）-2（3）解：设运动t秒后，点A与点B相距4个单位，由题意可知点A表示的数为-9+3t，点B表示的数为4+2t，∴，∴或解得t=17或9.答：运动9秒或17秒后，点A与点B 相距4个单位．【解析】【解答】解：（1）AB=4-（-9）=13（2）设点C表示的数是x，则AC=x-（-9）=x+9，BC=4-x，∵A落在点B的右边1个单位，∴AC-BC=1,即AC-BC=x+9-（4-x）=2x+5=1，解得：x=-2，∴点C表示的数是-2．故答案为：-2．【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式即可求解；（2）设点C表示的数是x，分别表示出AC、BC，再根据AC-BC=1列出方程解答即可；（3）运动t秒后，可知点A表示的数为-9+3t，点B表示的数为4+2t，再根据AB的距离为4，可得方程，解方程即可．7．甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时。

苏科版七年级上册数学有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示-3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.（2）如果|x+1|=3，那么x=________；（3）若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B 两点间的最大距离是________.（4）若数轴上表示a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2=________.【答案】（1）3；5（2）2或-4（3）8（4）6【解析】【解答】解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是：；表示和两点之间的距离是：故答案为：或或故答案为：或（3）或或当时，则两点间的最大距离是，当a=5，b=-1时，A、B两点间的距离是6，当a=1，b=-3时，A、B两点间的距离是4，当时，则两点间的最小距离是，则两点间的最大距离是，最小距离是故答案为：（4）数轴上表示a的点位于-4与2之间，则故答案为：【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的绝对值即可算出答案；（2）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程即可；（3）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程求出a,b的值，然后分四种情况求出ab 之间的距离，再比大小即可；（4）根据数轴上的点所表示的数的特点可知-4＜a＜2，所以a+4＞0,a-2＜0，再根据绝对值的意义去绝对值符号并合并同类项即可.2．如图，在数轴上点表示的数，点表示的数，点表示的数，是最大的负整数，且满足 .（1）求，，的值；（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点对应的数；（3）点，，在数轴上同时开始运动，其中以单位每秒的速度向左运动，以单位每秒的速度向左运动，点以单位每秒的速度运动，当，相遇时，停止运动，求此时两点之间的距离.【答案】（1）解：∵是最大的负整数，∴b=-1，∵，∴a=-3，c=6（2）解：设当点与点重合时，对折点为D，则D点的坐标为（-2,0），∴此时与点重合的点对应的数是-10（3）解：由（1）和（2）可知，运动前BC=7，由题意可得，运动后，相遇时，可计算出经历的时间为7s，此时C点坐标为（-8,0），当A点向左运动时，此时C点坐标为（-24,0），可得此时两点之间的距离为16；当A点向右运动时，此时C点坐标为（18,0），可得此时两点之间的距离为26【解析】【分析】（1）根据是最大的负整数得出b=-1，根据绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，求出a,c的值；（2）设当点与点重合时，对折点为D，根据折叠的性质得出点D所表示的数是-2，故CD=8，在点D的左边距离点D8个单位的数就是-10，从而得出答案；（3）由（1）和（2）可知，运动前BC=7，由题意可得，运动后，相遇时，可计算出经历的时间为7s，然后根据点A向左或向右运动两种情况考虑即可得出答案.3．阅读材料，并回答问题如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）由此可得，木棒长为__________cm．借助上述方法解决问题：一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？（1）请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄．（2）若羊村中的小羊均与美羊羊同岁，老羊均与村长爷爷同岁。

【精选】有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，已知数轴上点A表示的数为-3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB=12.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒.（1）数轴上点B表示的数为________；点P表示的数为________（用含t的代数式表示）. （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P到达A点时，P、Q停止运动.设运动时间为t秒.①当点P与点Q重合时，求t的值，并求出此时点P表示的数.②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值.【答案】（1）9；-3+2t（2）解：①根据题意，得：（1+2）t=12，解得：t=4，∴-3+2t=-3+2×4=5，答：当t=4时，点P与点Q重合，此时点P表示的数为5；②P与Q重合前：当2AP=PQ时，有2t+4t+t=12，解得t= ；当AP=2PQ时，有2t+t+t=12，解得t=3；P与Q重合后：当AP=2PQ时，有2（8-t）=2（t-4），解得t=6；当2AP=PQ时，有4（8-t）=t-4，解得t= ；综上所述，当t= 秒或3秒或6秒或秒时，点P是线段AQ的三等分点【解析】【解答】解：（1）由题意知，点B表示的数是-3+12=9，点P表示的数是-3+2t，故答案为：9，-3+2t；【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于两坐标之差的绝对值可求得点B所表示的数；根据路程=速度×时间可得点P运动的距离，再根据平移的点的坐标的性质可得点P表示的数；（2）①由题意可列方程求解；②分两种情况讨论求解：P与Q重合前：当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解；当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解；P与Q重合后：当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解；当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解。

第一章有理数数轴综合培优练习题(一)2021-2022学年七年级数学人教版上册

第一章《有理数》数轴综合培优练习题（一）1．如图，数轴上点A、B分别对应数a、b，其中a＜0，b＞0．（1）当a＝﹣3，b＝7时，线段AB的中点对应的数是．（直接填结果）（2）若该数轴上另有一点M对应着数m．①当m＝3，b＞3，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+2010的值；②a＝﹣3．且AM＝3BM时学生小朋通过演算发现代数式3b﹣4m是一个定值，老师点评；小朋同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小朋的演算发现”是不完整的？2．已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，点M为数轴上一动点，其中a，b满足（a+2）2+|b﹣7|＝0．（1）写出点A表示的数是；点B表示的数是．（2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是[A，B]的好点．①若点M到运动到原点O时，此时点M[A，B]的好点（填是或者不是）；②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是[A，B]的好点时，求点M所表示的数．3．数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，若数轴上存在一点C，使得AC+2BC＝l，则称C为点A，B的“和l点”（其中AC，BC分别表示点C到点A，B的距离）．（1）若点E在数轴上（不与A，B重合），若BE＝AE，且点E为点A，B的“和l点”，则l的值可能为；（2）若点D在是点A，B的“和5点”，则点D表示的数可能为．4．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a﹣b|，如|3﹣5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|＝|3﹣（﹣5）|表示数轴上表示数3的点与表示数﹣5的点的距离，|a﹣3|表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）（1）若|x﹣1|＝|x+1|，则x＝，若|x﹣2|＝|x+1|，则x＝；（2）若|x﹣2|+|x+1|＝3，则x能取到的最小值是，最大值是；（3）若|x﹣2|﹣|x+1|＝3，则x能取到的最大值是；（4）关于x的式子|x﹣2|+|x+1|的取值范围是．5．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB ＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，探究下列问题．（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是．（2）式子|x+1|﹣|x﹣2|的最大值是．（3）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|3x﹣1|的最小值是．6．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t＝0.5时，求点Q到原点O的距离；（2）当t＝2.5时求点Q到原点O的距离；（3）当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离．7．阅读下列材料：我们知道|x |的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即|x |＝|x ﹣0|，也就是说，|x |表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x 1﹣x 2|表示在数轴上数x 1，x 2对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：已知|x |＝2求x 的值．解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即x ＝±2．例2：已知|x ﹣1|＝2，求x 的值．解：在数轴上与1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，即x ＝﹣1或x ＝3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）已知|x |＝3，则x 的值为．（2）已知|x +2|＝4，则x 的值为．（3）已知x 是有理数，当x 取不同数时，式子|x ﹣3|+|x +4|的值也会发生变化，问式子|x ﹣3|+|x +4|是否有最小值？若有写出最小值，若没有，请说出理由．8．如图，数轴的单位长度为1，点A ，B ，C ，D 都在数轴上，且点A ，B 表示的数互为相反数．（1）请在数轴上描出原点O 的位置，并写出点A ，C ，D 所表示的数．（2）点P 在数轴上，且PA +PB ＝PD ．①小温说：点P 不可能在点A 左侧．小温说得对吗？请说明理由．②求所有满足条件的点P 所表示的数．9．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，D，C，其中AB＝2，BD＝3，DC＝1，如图所示，设点A，B，D，C所对应数的和是p．（1）若以B为原点．写出点A，D，C所对应的数，并计算p的值；（2）①若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝x，p＝﹣71，求x．②此时，若数轴上存在一点E，使得AE＝2CE，求点E所对应的数（直接写出答案）．10．甲、乙两辆汽车在东西走向的公路上行驶，规定向东为正，开始时甲车在西60千米的点A处，乙车在东10千米的点B处，（如图所示），甲车的速度为90千米/小时，乙车的速度为60千米/小时．（1）求甲、乙两车之间的距离（列式计算）；（2）甲、乙两车同时向东行驶，甲车行驶270千米后进入服务区休息10分钟，然后继续向东行驶30千米，乙车一直向东行驶．①求此时乙车到达的位置点C所表示的数（列式计算）；②甲车司机发现自己的手提包丢在服务区，立即调头来取，然后再追赶乙车，当甲车追上乙车时，求乙车到达的位置点D所表示的数（直接写出答案）．11．数轴上，当点A在原点的左边，点B在原点的右边，点A，B之间的距离为28个单位长度，点A与原点的距离为8个单位长度，若点A，B对应的有理数分别是a，b．（1）求a，b；（2）若质点M从点A沿数轴以每秒1个单位长度向左运动，质点N从点B沿数轴以每秒3个单位长度向左运动，若质点N在点C处追上质点M，求点C对应的有理数c；（3）若质点P从点A沿数轴以每秒2单位长度向右运动，质点Q从点B沿数轴以每秒1个单位长度向右运动，t秒钟后质点P与质点Q之间的距离为18时，求t的值．12．点A在数轴的﹣1处，点B表示的有理数比点A表示的有理数小1，将点A向右移动8个单位得到点C，点D、点E是线段BC的两个三等分点．在所给的数轴（如图）上标出B、C、D、E各点，再写出它们各自对应的有理数．13．如图①，在数轴上有一条线段AB，点A，B表示的数分别是﹣2和﹣11．（1）线段AB＝．（2）若M是线段AB的中点，则点M在数轴上对应的数为．（3）若C为线段AB上一点，如图②，以点C为折点，将此数轴向右对折；如图③，点B落在点A的右边点B′处，若AB′＝B′C，求点C在数轴上对应的数是多少？14．对于数轴上的A、B、C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“至善点”．例如：若数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，则点B是点A、C的“至善点”．（1）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数、0、1、6所对应的点分别C1、C2、C3、C4，其中是点A、B的“至善点”的有（填代号）；（2）已知点A表示数﹣1，点B表示数3，点M为数轴上一个动点：①若点M在点A的左侧，且点M是点A、B的“至善点”，求此时点M表示的数m；②若点M在点B的右侧，点M、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“至善点”，求出此时点M表示的数m．15．同学们知道，|8﹣3|表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索：（1）填空：|8+3|表示数轴上数8与数两点间的距离；（2）|x+5|+|x﹣2|表示数轴上数x与数的距离和数x与数的距离的和．（3）满足|x+5|+|x﹣2|＝7的所有整数x的值是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值；如果没有，说明理由．16．已知A，B两点在数轴上分别示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．已知数轴上A，B两点对应的数分别为﹣1，3，P为数轴上一动点，A，B两点之间的距离是．设点P在数轴上表示的数为x，则点P与﹣4表示的点之间的距离表示为若点P到A，B两点的距离相等，则点P对应的数为若点P到A，B两点的距离之和为8，则点P对应的数为现在点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当点A 与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？17．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时匀速出发，同向而行时间/秒0 1 5A点位置﹣12 ﹣9B点位置8 18 （1）请填写表格；（2）若两只蚂蚁在数轴上点P相遇，求点P在数轴上表示的数；（3）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值．18．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为，，m的值为；（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．19．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．（1）点B表示的数是；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．。

【精选】人教版七年级上册数学有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．同学们都知道表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求 ________．（2）找出所有符合条件的整数，使得．满足条件的所有整数值有________（3）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最大值或最小值？如果有最大值或最小值是多少？有最________（填“最大”或“最小”）值是________．【答案】（1）7（2）-3，-2，-1，0，1，2;（3）最小；3【解析】【解答】（1）原式=|5+2|=7.故答案为: 7;（2）令x+3=0或x-2=0时，则x=-3或x=2.当x<-3时，- (x+3) - (x-2) =5 ,-x-3-x+2=5，解得x=-3(范围内不成立)当-3≤x≤2时，(x+3) - (x-2) = 5,x+3-x+1=4，0x=0，x为任意数,则整数x=-3，-2，-1, 0，1，当x>2时，(x+3) + (x-2) = 5，x=2(范围内不成立) .综上所述，符合条件的整数x有: -3, -2, -1, 0，1，2.故答案为:-3，-2，-1，0，1，2;(3) 由(2) 的探索猜想,对于任何有理数x，有最小值为3,令x-3=0或x-6=0时,则x=3，x=6当x＜3时，-(x-3)-(x-6)=-2x+3﹥3当3≤x≤6时，x-3-(x-6)=3,当x＞6时，x-3+x-6=2x-9＞3∴对于任何有理数x，有最小值为3【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去掉绝对值就可以了；（2）要求x的整数值可以进行分段计算，令x+3=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值.（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值.2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示-3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.（2）如果|x+1|=3，那么x=________；（3）若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B 两点间的最大距离是________.（4）若数轴上表示a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2=________.【答案】（1）3；5（2）2或-4（3）8（4）6【解析】【解答】解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是：；表示和两点之间的距离是：故答案为：或或故答案为：或（3）或或当时，则两点间的最大距离是，当a=5，b=-1时，A、B两点间的距离是6，当a=1，b=-3时，A、B两点间的距离是4，当时，则两点间的最小距离是，则两点间的最大距离是，最小距离是故答案为：（4）数轴上表示a的点位于-4与2之间，则故答案为：【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的绝对值即可算出答案；（2）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程即可；（3）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程求出a,b的值，然后分四种情况求出ab 之间的距离，再比大小即可；（4）根据数轴上的点所表示的数的特点可知-4＜a＜2，所以a+4＞0,a-2＜0，再根据绝对值的意义去绝对值符号并合并同类项即可.3．数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值.例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|.根据以上知识解题：（1）点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示2，那么AB＝________.（2）在数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，那么a＝________.（3）如果数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，那么|a+4|+|a﹣2|＝________.（4）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值.如果没有.请说明理由.【答案】（1）1（2）1或-5（3）6（4）解：∵|a-3|+|a﹣6|表示a到3与a到6的距离的和，∴当3≤a≤6时，|a-3|+|a-6|= =3，当a>6或a<3时，|a-3|+|a﹣6|>3，∴|a-3|+|a﹣6|有最小值，最小值为3.【解析】【解答】（1）AB= =1，故答案为：1（ 2 ）∵数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，∴ =3，∴-2-a=3或-2-a=-3，解得：a=1或a=-5，故答案为：1或-5（ 3 ）数a位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|表示a到-4与a到2的距离的和，∴|a+4|+|a﹣2|= =6，故答案为：6【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值即可算出答案；（2）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值列出方程，求解即可；（3）根据题意可知：此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字-4的点的距离与数轴上表示数a的点到表示数字2的点的距离的和，又数轴上表示数a的点位于-4与2之间，故该距离等于数轴上表示数字-4与表示数字2的点之间的距离，从而即可得出答案；（4）此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字3的点的距离与数轴上表示数a 的点到表示数字6的点的距离的和，从而分当3≤a≤6时，当a>6或a<3时三种情况考虑即可得出答案.4．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a-30|+(b+6)2=0.点O是数轴原点。

专题01 有理数与数轴深入探究(专项培优训练)(学生版)

专题01 有理数与数轴深入探究（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：0.59一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•广州期末）如图，点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝2，OA＝OB，若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（）A．﹣a+2B．﹣a﹣2C．a+2D．a﹣22．（2分）（2022春•昭通期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（）①B对应的数是2；②点P到达点B时，t＝3；③BP＝2时，t＝2；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．A．①③④B．②③④C．②③D．②④3．（2分）（2022秋•应城市期中）如图，在数轴上，点A，B分别表示a，b，且a+b＝0，若A、B两点的距离为8个单位长度，则点A表示的数为（）A．0B．﹣8C．4D．﹣44．（2分）（2021秋•广饶县期末）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别是0、﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，第一次翻转后点B所对应的数为1，则翻转2022次后点C所对应的数为（）A．不对应任何数B．2020C．2021D．20225．（2分）（2022秋•南海区校级月考）数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数x1，x2，AB 的中点为P，若x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，则关于原点O的位置，下列说法正确的是（）A．点O在点A的左侧B．点O在点P的右侧C．点O在B的右侧D．点O在点A和P之间6．（2分）（2021秋•临邑县期末）小明利用Arduino程序设计了一辆小车，最初在数轴上原点处，第一次向右运动了1个单位，紧接着又向左运动了2个单位，第三次向右运动了3个单位，第四次向左运动了4个单位……按以上规律，小车共运动了101次，你能确定小车在数轴上的最后落点表示的数是（）A．50B．51C．52D．﹣507．（2分）（2023春•锦江区期末）如图，数轴上点A，B表示的数为a，b，且OA＞OB，则下列结论不正确的是（）A．2a＜2b B．a+b＞0C．b﹣a＞0D．ab＜08．（2分）（2023•晋安区校级模拟）如图，数轴的单位长度是1，若点A表示的数是﹣1，则点B表示的数是（）A．1B．2C．3D．49．（2分）（2022秋•凤山县期末）点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数为﹣4，若AB＝3，则点B表示的数为（）A．﹣7B．﹣7或﹣1C．﹣1D．1或710．（2分）（2022秋•定州市期末）如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•闽清县期末）如图，把半径为1的圆从数轴上表示﹣1的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A到达点A′，则点A′表示的数为．12．（2分）（2021•芦淞区模拟）如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为．13．（2分）（2023•张家口模拟）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为﹣4，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5cm 处，点C对齐刻度尺4.5cm处．（1）在图1的数轴上，AC＝个单位长度；（2）求数轴上点B所对应的数b为．14．（2分）（2022秋•二七区期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为﹣3，b，6，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为．15．（2分）（2022秋•于洪区期末）已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为2，点A与原点O的距离为3，那么点B对应的数是．16．（2分）（2022秋•巴中期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是﹣9，﹣1，1，且点C为线段AB 的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段DE的中点．P、Q为数轴上两个动点，点P从点B 向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点D向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、Q同时运动，运动时间为ts．有下列结论：①若点E 表示的数是3，则CF ＝7；②若DE ＝3，则BF ＝；③当t ＝2时，PQ ＝2；④当t ＝时，点P 是线段DQ 的中点；其中正确的有．（填序号）17．（2分）（2022秋•五莲县期末）已知数轴上三点M ，O ，N 对应的数分别是﹣1，0，3，点P 为数轴上任意点，其对应的数为x ．如果点P 以每分钟1个单位长度的速度从点O 向左运动，同时点M 和点N 分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t 分钟时P 点到点M 、点N 的距离相等，则t 的值为．18．（2分）（2023•碑林区校级模拟）如图，在数轴上点A 表示的数是﹣3，点B 表示的数是1，点P 在数轴上，若PA ＝PB ，则点P 表示的数是．19．（2分）（2022秋•内江期末）已知P 是数轴上的一个点．把P 向左移动3个单位后，这时它到原点的距离是4个单位，则P 点表示的数是．20．（2分）（2022秋•丰南区期中）如图，一条数轴上有点A ，B ，C ，其中点A 、B 表示的数分别是﹣16、9，现在以点C 为折点将数轴向右对折，若点A ′落在射线CB 上，且A 'B ＝3，则C 点表示的数是．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2022秋•迁安市期末）如图1，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣1和4．（1）线段AB 长是；（2）若P 为线段AB 上的一点（点P 不与A 、B 两点重合），当PM ＝AP ，PN ＝BP ，如图2所示，求此时MN 的长．22．（8分）（2022秋•澄海区期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为﹣10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）点A到点C的距离为；（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值．23．（8分）（2022秋•衡东县期末）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm到达A点，再向右移动5cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．（1）请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并写出A、B、C三点分别表示的数；（2）把点A到点C的距离记为AC，则AB＝ cm，AC＝ cm；（3）若点A沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC＝3cm？24．（8分）（2022秋•黄陂区期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是；（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．25．（8分）（2022秋•南召县期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点A、B、C；其中AB ＝2BC，设点A、B、C所对应数点和为m．（1）若点C为原点，BC＝1，则点A对应的数为，点B对应的数为，m的值为；（2）若点B为原点，AC＝9，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为6，且OC＝AB，直接写出m的值．26．（10分）（2022秋•广州期末）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．（1）若AP＝BP，则x＝；（2）若AP+BP＝8，求x的值；（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．27．（10分）（2022秋•朝阳区校级期中）已知数轴上两点A、B，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝nAB，则称点C为线段AB的“n倍点”．例如图1所示：当点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2，点C 表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4＝AB，则称点C为线段AB的“1倍点”．请根据上述规定回答下列问题：已知图2中，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点C表示的数为x．（1）当﹣3≤x≤1时，点C （填“一定是”或“一定不是”或“不一定是”）线段AB的“1倍点”；（2）若点C为线段AB的“n倍点”，且x＝﹣4，求n的值；（3）若点D是线段AB的“2倍点”，则点D表示的数为；（4）若点E在数轴上表示的数为t，点F表示的数为t+12，要使线段EF上始终存在线段AB的“3倍点”，求t的取值范围（用不等号表示）。

第2章《有理数》培优习题1：有理数、数轴、相反数及绝对值

第2章《有理数》培优习题1：数轴、相反数、绝对值考点1：有理数及其分类例1、下列各数：21-，﹣0.7，﹣9，25，π，0，﹣7.3中，分数有（）个A 、1B 、2C 、3D 、4 【同步练习】1、在2，5.3+，0，32-，﹣0.7，11中，整数有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、超市某品牌食品包装袋上“质量”标注：g g 20500±；下列待检查的各袋食品中质量合格的是（）A 、530gB 、519gC 、470gD 、459g 3、若a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是倒数等于它本身的数，则=++c b a （） A 、0 B 、﹣2 C 、0或﹣2 D 、﹣1或14、下列说法正确的是（） A 、整数分为正整数和负整数B 、有理数不包括小数C 、正分数和负分数统称为分数D 、不带“﹣”号的数就是正数 5、2016年1月1日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是C ︒-4，C ︒5，C ︒-6，C ︒-8，这一天中气温最低的是（）A 、北京B 、上海C 、重庆D 、宁夏考点2：数轴例2、如果在数轴上A 点表示3-，那么在数轴上与点A 距离2个长度单位的点所表示的数是（）A 、﹣1B 、﹣1和﹣5C 、﹣3D 、2-【同步练习】1、若把笔尖放在数轴的原点，先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，则这时笔尖位置表示的数是（）A 、﹣2B 、﹣1C 、+1D 、+22、数轴上A 点表示﹣5，B 点表示3，则AB 之间有几个单位长度（） A 、﹣2 B 、8 C 、2D 、﹣8 考点3：相反数例3、﹣2019的相反数是（）A 、20191B 、20191-C 、2019D 、2019-【同步练习】1、()6--等于（）A 、﹣6B 、6C 、61 D 、6± 2、一个数的相反数是它本身，则这个数是（）A 、0B 、正数C 、负数D 、非负数3、若（3+a ）的值与4互为相反数，则a 的值为（）A 、﹣7B 、27-C 、﹣5D 、21 考点4：绝对值例4、﹣4的绝对值（）A 、41B 、4C 、4-D 、4±【同步练习】1、下列说法正确的是（）A 、一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是正数B 、一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数C 、绝对值越大，这个数越大D 、两个负数，绝对值大的那个数反而小2、下列计算正确的是（）A 、()33-=--B 、33-=--C 、()33=+-D 、33=-- 3、当a a -=||时，则a 是（）A 、0≤aB 、0 aC 、0≥aD 、0 a4、下列说法正确的是（）A 、绝对值等于它本身的数是正数和零B 、任何有理数都有倒数C 、立方等于它本身的数只有1和0D 、正整数和负整数统称为整数例4、若0321=++-++c b a ，则()()()321-+-c b a 的值是（）A 、48-B 、48C 、0D 、无法确定【同步练习】1、已知021=+++b a ，则_____=a ，______=b ；例5、如果x 、y 都是不为0的有理数，则yy x x ||||+的值是；【同步练习】 1、已知9|1|=-a ，6|2|=+b ，且0 b a +，求b a -的值；2、三个数a 、b 、c 是均不为0的三个数，且0=++c b a ，则_____||||||=++c c b b a a ； 3、已知0 abc ，则式子：_____||||||=++cc b b a a .。

第一章有理数：绝对值与数轴培优训练人教版2024—2025学年七年级上册

第一章有理数：绝对值与数轴培优训练人教版2024—2025学年七年级上册知识归纳：1.代数意义：(0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩引申：.若x m =（m ＞0），则x m =±.若a ＞0，则1a a =；若a ＜0，则1aa=-. 2.几何意义：|a |表示的是数轴上表示数a 的点到原点的距离。

3．灵活运用绝对值基本性质:①2220;;;a a a a ab a b ===•≥②③④)0(≠=b ba b a；⑤a b +≤a b +.4.绝对值的非负性的应用：①若0a b +=，则0a b ==；②20a b +=，则0a b ==. 5.分类讨论思想6. 数轴上的线段与动点问题典型例题：例1 已知|4x ﹣3|+|2y +5|+|3z +1|＝0，求2x ﹣y +|﹣z |的值．变式1.若|a +2|+|b ﹣7|＝0，则a +b 的值为（） A ．﹣1B ．1C ．5D ．﹣5变式2.已知|x ﹣2|+|y ﹣3|＝0．（1）求x ，y 的值；（2）已知|x +y +z |＝7，求z 的值．例2若a +b +c ＜0，abc ＞0，则的值为．变式3.如果a •b ＜0，那么＝．变式 4.已知a 、b 、c 均为不等于0的有理数，则的值为．变式5.如果x 、y 都是不为0的有理数，则代数式的最大值是．变式6.已知a ，b ，c 都是有理数，且满足＝1，那么6﹣＝．变式7.若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是．变式8.设abcd 是一个四位数，且a ≤b ≤c ≤d ，则式子|a ﹣b |+|b ﹣c |+|c ﹣d |+|d ﹣a |的最大值是．变式9.若a +b +c ＜0，abc ＞0，则的值为．变式10.若ab ≠0，那么+的取值不可能是（）A ．﹣2B ．0C ．1D ．2变式11.若ab ＞0，则++的值为（） A ．3B ．﹣1C ．±1或±3D ．3或﹣1 变式12.若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp|3mnp |＝ .变式13.如果是非零有理数，且0=++c b a ，abc abcc c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或一lC ．2或一2D ．0或一2c b a 、、变式14.阅读下列材料并解决有关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 所以当0x >时，1x x x x ==；当0x <时， 1x x x x==--．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时，a ba b+= ；（2）已知a ，b 是有理数，当abc ≠0时，a b ca b c++= ；（3）已知a ，b ，c 是有理数，a+b+c =0，abc ＜0，则b c a c a ba b c+++++= ．例3.根据绝对值的性质，回答下面的问题：（1）当x 取何值时，5x -有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，39x --有最大值？这个最大值是多少？（3）当x 取何值时，5x -+1x -有最小值？这个最小值是多少？（4）当x 取何值时，5x -++1x 有最小值？这个最小值是多少？（5）不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C 的什么位置？变式15.式子|x ﹣2|+1的最小值是（） A ．0B ．1C ．2D ．3变式16.|x ﹣3|＝3﹣x ，则x 的取值范围是．变式17.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

有理数与数轴专题培优(终审稿)

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