华师大版九年级上册课件：22.1 一元二次方程(3)
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2一元二次方程PPT课件(华师大版)
类型之四 建立一元二次方程模型
[2019 秋·黄陂区期中]在一幅长 60 dm、宽 40 dm 的庆祝建国 70 周年宣传 海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．要使整个挂图的面积为 2 800 dm2，设纸边的宽为 x dm，则可列出方程为( A )
A．x2＋100x－400＝0 B．x2－100x－400＝0 C．x2＋50x－100＝0 D．x2－50x－100＝0
12．解：∵m 是方程 x2－2 020x＋1＝0 的根， ∴m2－2 020m＋1＝0，m≠0， 即 m2－2 020m＝－1，m2＋1＝2 020m， ∴原式＝m2－2 020m＋m＋22 002200m＝－1＋m＋1m. ∵m2－2 020m＋1＝0， ∴两边同除以 m，得 m＋1m＝2 020，
归类探究
类型之一 一元二次方程的概念
下列方程：
(1)7x2＋6＝3x；(2)21x2＝7；(3)6x2－x＝0； (4)2x2－5y＝0；(5)－x2＝0.
其中，是一元二次方程的有( C )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【解析】 由一元二次方程的概念“等号两边都是整式，只含有一个未知数(一 元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程”知方程是整式方程，故(2)不是，又 要是只含有一个未知数的方程，故(4)不是．
D．x2＝x＋1
4．一元二次方程 3x2＋2x－5＝0 的一次项系数是 2 ． 5．若方程 kx2＋x＝9x2＋1 是一元二次方程，则 k 的取值范围是 k≠9 ． 6．用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64 cm2 的长方形，设长方形的长为
x cm，则可列方程为 x2－20x＋64＝0 (化为一般形式)．
秋华东师大版九年级数学上册习题课件：22.1 一元二次方程(共23张PPT)
6. 用 22 cm 长的铁丝，折成一个面积为 30 cm2 的矩 形，设矩形的一边为 x cm，可得关于 x 的方程 _x_(_1_1_－__x)_＝__3_0_(_或__x_2－__1_1_x_＋__3_0_＝__0_)______．
7. 若 a 是方程 x2＋x－1＝0 的一个根，则 a3－2a＋ 2018 的值为___2_0_1_7____．
C．－1
D．－2
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/122021/9/12Sunday, September 12, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 4:05:56 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/122021/9/122021/9/12Sep-2112-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/122021/9/122021/9/12Sunday, September 12, 2021
∴所求的方程为 2x2－x－1＝0.
9. 将进价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖掉 500 个，已知该商品每涨价 1 元，其销量就减少 10 个，为了 赚 8000 元利润，售价应定为多少？(只列出方程，不必 求解)
解：设售价应定为 x 元，根据题意得：(x－40)[500 －10(x－50)]＝8000.
4. 若方程(m－1)x|m|＋1＋2mx－3＝0 是关于 x 的一元 二次方程，求 m 的值．
华东师大版数学九年级上册2一元二次方程课件
22.1 一元二次方程
教学目标
1、知识与能力：了解一元二次方程的定义，能 熟练地把一元二次方程整理成一般情势
2、过程与方法：能准确地分析、揭示实际问题的数量关系， 并且能把实际问题转化为数学模型，并此过程中使学生到认识方 程是刻画现实世界数量关系的表达式。3、情感、态度与价值官： 通过分析得到了表达式，能使学生增加对一元二次方程的感性认 识。
为什么规定a≠0，b， c可以为0吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
归纳：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
(2)由题意得a2－1＝0且1－a≠0，解得a＝－1. 此时方程为2x－3＝0，解得
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
A．ax2＋bx＋c＝0
B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ 1 ＝2 x
D．x2－x－2＝0
2. 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般情势，则a，b，c的值分
x2+2x-4=0.
①
x2＋10x－900＝0. ②
5x2＋10x－2.2＝0. ③
类似方程①②③这样，整式方程都只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成 如下情势：ax²+bx+c=0 (a≠0)这种情势叫做一元二次方程的一般情势 .
教学重难点
1．重点：掌握一元二次方程的意义及一般情势，会准 确辨认一般式中的“项”及“系数”。
教学目标
1、知识与能力：了解一元二次方程的定义，能 熟练地把一元二次方程整理成一般情势
2、过程与方法：能准确地分析、揭示实际问题的数量关系， 并且能把实际问题转化为数学模型，并此过程中使学生到认识方 程是刻画现实世界数量关系的表达式。3、情感、态度与价值官： 通过分析得到了表达式，能使学生增加对一元二次方程的感性认 识。
为什么规定a≠0，b， c可以为0吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
归纳：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
(2)由题意得a2－1＝0且1－a≠0，解得a＝－1. 此时方程为2x－3＝0，解得
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
A．ax2＋bx＋c＝0
B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ 1 ＝2 x
D．x2－x－2＝0
2. 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般情势，则a，b，c的值分
x2+2x-4=0.
①
x2＋10x－900＝0. ②
5x2＋10x－2.2＝0. ③
类似方程①②③这样，整式方程都只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成 如下情势：ax²+bx+c=0 (a≠0)这种情势叫做一元二次方程的一般情势 .
教学重难点
1．重点：掌握一元二次方程的意义及一般情势，会准 确辨认一般式中的“项”及“系数”。
华师大版九年级数学上《22.1一元二次方程》课件(共15张ppt)
二次项 一次项 常数项Байду номын сангаас
注意：
1、整式方程 2、只含有一个未知数 3、未知数的最高次数是“2”
2、试比较下面两个方程的异同：
方程
相同点
整式方程
与
未
分式方程
知 数
不同点
未知数的 最高次数
概念
5x=20
整式方程 x 1
x2+10x-900=0 整式方程 x 2
一元一次方程 一元二次方程
掌握新知
例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由.
问题1
(2 )
绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房 之间，设置一块面积为900平方米的长方形绿 地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各 为多少？
分析
我们已经知道可以运用方程解决实际问题． 设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程：
x(x+10)=900 整理得 x2+10x-900=0
问题2
学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到 明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增 长率. 分析 设这两年的年平均增长率为x,已知去年年底 的图书数是5万册,则今年年底的图书数应是 5(1+x)万册.明年年底的图书数为5(1+x)(1+x)万 册,即5(1+x)2(万册).可列得方程 5(1+x)2=7.2
第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
驶向胜利 的彼岸
复习导入
什么是方程的解？ 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做 方程的解. 什么叫做一元一次方程？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1” 的整式方程，叫做一元一次方程.它的一般形 式是：ax﹢b﹦0(a,b为常数,a≠0)
2014年秋华师大版九年级数学上22.1一元二次方程(3)课件
72＋(X＋6)2＝102
6m
x
新知探索
由上面二个问题，我们可以得到二个方程：
(8-2x)(5-2x)=18; 即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
(x＋６)2＋７2＝102
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
上述二个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方 程和分式方程有什么区别？
常数 项
3x =5x-1
(x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－8＝0
3 1
－5 1 0
1 －8 4
4-7x =0
2
－7x2 ＋4＝0 或－ －7x 7 2 ＋0 x＋4＝0 －7 或7x2 － 4＝0 7
0
－4
例题精讲
4．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着 门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去 了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 解：设竹竿的长 2尺 为x尺,则门的宽 数学化 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 x 意得方程： x－2
(x－4)2＋ (x －2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20 ＝ 0
x－4
4尺
拓展提高
1.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－2， 求m的值。 2.方程(x－1)(x+3)(x －2)=0的解为 3.方程(x2－1)(2x+5)=0的解为 4.已知m是方程x2+x－2009=0的一个根， 求m2+m的值为 。 。 。
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
华东师大版数学九年级上册22章第一节认识一元二次方程-概念 (共18张PPT)
2020/7/22
☞ 做一做
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准 备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四 周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这 个宽度吗？
2020/7/22
☞ 做一做
挑战自我
解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图
案的长（为8－2x） m,宽为（5－2x）m,根据题意,可得方
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙
数学化 1m
m. 6 如果设梯子底端滑动
8m 7m
x m，那么滑动后梯子
底端距墙 x＋6m;
6m xm
根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2 ＝102
2020/7/22你能化简这个方程吗?
☞ 回顾与思考
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二
次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、
一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
2020/7/22
☞ 探索思考
次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ．
根据题意，可得方程：
x2 ＋ (x＋1)2 ＋ (x＋ 2)2 ＝(x＋3)2 ＋ (x＋4)2 .
你能化简这个方程吗?
2020/7/22
☞ 做一做
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端滑动多少米？
☞ 做一做
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准 备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四 周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这 个宽度吗？
2020/7/22
☞ 做一做
挑战自我
解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图
案的长（为8－2x） m,宽为（5－2x）m,根据题意,可得方
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙
数学化 1m
m. 6 如果设梯子底端滑动
8m 7m
x m，那么滑动后梯子
底端距墙 x＋6m;
6m xm
根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2 ＝102
2020/7/22你能化简这个方程吗?
☞ 回顾与思考
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二
次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、
一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
2020/7/22
☞ 探索思考
次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ．
根据题意，可得方程：
x2 ＋ (x＋1)2 ＋ (x＋ 2)2 ＝(x＋3)2 ＋ (x＋4)2 .
你能化简这个方程吗?
2020/7/22
☞ 做一做
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端滑动多少米？
九年级数学上册(华东师大版)课件：22.1 一元二次方程
22.1 一元二次方程
[归纳总结] 判定关于x的方程是否是一元二次方程，关键要将 题目中各方程化为一般形式，然后再根据一元二次方程的定义 进行判别．
22.1 一元二次方程
探究问题二 一元二次方程的一般形式 例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次
项系数、一次项系数和常数项. (1)2x2－7x＝－3； (2)x(2x－1)－3x(x－2)＝0.
22.1 一元二次方程
[归纳总结] (1)一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0 中，a≠0，因为a＝0时，二次项不存在，此时就不是一元二 次方程；
(2)求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一 般形式，即方程左边是按未知数降幂排列，方程右边是0.
(3)二次项与二次项系数，一次项与一次项系数要分清．
22.1 一元二次方程
重难互动探究
探究问题一 一元二次方程的概念
例1 判断下列方程是否是一元二次方程，并说明理由： (1)2x2＝0； (2)3x2－4x＝5； (3)3x＋2＝5x－3； (4)x2－xy＋y2＝0； (5)2x2－1x＝0； (6)(x＋5)(x－2)＝x2； (7)ax2＋3x－2＝0； (8)－x2＋3 x＋1＝0； (9)x2＋1＝0.
22.1 一元二次方程
探究问题三 一元二次方程的解 例3 已知：关于x的一元二次方程(n＋ 2 )x2＋2x＋n2－2
＝0有一根为0，求n的值．
[解析] 把原方程的根0代入方程，得到关于n的方程，再根 据平方根的意义，求出n值，并检验．
22.1 一元二次方程
解：∵0是关于x的方程(n＋ 2)x2＋2x＋n2－2＝0的根， ∴(n＋ 2)×02＋2×0＋n2－2＝0， 即n2＝2. 根据平方根的意义，得n＝± 2. 当n＝－ 2时，原方程为2x＝0，不是一元二次方程， ∴n＝ 2. [归纳总结] 判断一个数值是否是方程的解，只需将数值代入方 程计算，看方程左右两边是否相等即可．通过把解代入关于x 的方程，转化为关于n的方程，求出n值并检验．
华师大九年级数学上册《一元二次方程》课件(共12张PPT)
3．(3分)方程5x2＝6x－8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系
数、一次项系数、常数项分别为( C
)
A．5，6，－8
B．5，－6，－8
C．5，－6，8
D．6，5，－8
4 ． (3 分 ) 将 方 程 3x(x － 1) ＝ 2(x ＋ 2) ＋ 8 化 成 一 般 形 式 为 ____3_x_2_－__5_x_－__1_2_＝__0_____．
解：8y2＋6y－13＝0；8，6，－13
(3)(x－3)2－9＝0； 解：x1＝6，x2＝0
(4)(2t－1)2＝9. 解：t1＝2，t2＝－1
7．(3分)已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个
根，则m的值是( B )
A．1
B．－1
C．0
D．无法确定
8．(3分)已知方程ax2＋bx＋c＝0，满足a－b＋c＝0，则方程必然有
18．(10分)已知关于x的方程2x2－kx＋1＝0的一个解与21x－＋x1＝4的解相同， 求k的值． 解：∵21x－＋x1＝4，∴2x＋1＝4－4x.∴6x＝3，x＝12.∴2×(12)2－12k＋1＝0. ∴k＝3 19．(12分)如图，用一根长为22 cm的铁丝分段围成一个面积为10 cm2的
5．(3分)若一元二次方程2x2＋(k＋8)x－(2k－3)＝0的二次项系数、一 次项系数、常数项之和为5，则k＝___8____．
6．(6分)将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数以及常数项．
(1)3x2－2＝x； 解：3x2－x－2＝0；3，－1，－2
(2)2y(4y＋3)＝13.
D．x(x＋10)＝200
13．(2014·菏泽)已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零
华师大九年级数学上册《一元二次方程》课件(14张PPT)
14．(2014·菏泽)已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一
个非零根－b，则a－b的值为( A)
A．1
B．－1
C．0
D．－2
15．在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条 相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要 使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么 x满足的方程是( B )
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
11．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式． (1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x； (2)两个相邻偶数的积为328，求其中较小的偶数x.
解：(1)6x2＝36，一般形式为：6x2－36＝0
(2)x(x＋2)＝328，一般形式为x2＋2x－328＝0
12．若方程(m－1)x2＋ mx＝1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是(C )
知识点1：一元二次方程的概念
1．下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是(C )
A．x2＋2x＝1
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝5
D．x(2x－1)＋3＝2x2
2．方程(m－2)x2＋mx＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为( C)
A．任何实数
B．m≠0
C．m≠2
A．m≠1
B．m≥0
C．m≥0 且 m≠1 D．m 为任意正实数
13．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某 校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放 了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列 出的方程中正确的是( B ) A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438 C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝389
22.1 一元二次方程 华师大版数学九年级上册导学课件
2=0；④ x2－2+5x3－6x=0；⑤ 2x2－3x=2(x2－2)，其 中是一元二次方程的有______.(填序号) 解题秘方：紧扣一元二次方程的“三要素”进行识别.
感悟新知
解：①含有两个未知数；
②不是整式方程；
③符合一元二次方程的“三要素”；
④整理后未知数的最高次数不是2.
答案：③
判断一个方程是否是一元二次 方程,要从原方程及整理后的 方程两方面进行判断.
第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
学习目标
1 本节要点 2 学习流程
一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解(根)
逐点 学练
本节 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 同类二次根式
1. 定义 整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2，这样的方程叫做一元二次方程.
感悟新知
1-1. 如果方程(m－3)·xm2－7－x+3=0 是关于x的一元二次方 程，那么m 的值为( C ) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 以上都不对
感悟新知
知式
ax2+bx+c=0(a，b，c 是已知数，a ≠ 0)，其中ax2 是
感悟新知
解：(1)整理方程，得： x2－x－6=0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6. (2)整理方程，得： x2+2x－14=0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
感悟新知
(3)整理方程，得： 2x2－7=0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
学了一元二 次方程的解
将x=3 代入方程，得左边=9－3=6，
法后还可以 通过解方程
感悟新知
解：①含有两个未知数；
②不是整式方程；
③符合一元二次方程的“三要素”；
④整理后未知数的最高次数不是2.
答案：③
判断一个方程是否是一元二次 方程,要从原方程及整理后的 方程两方面进行判断.
第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
学习目标
1 本节要点 2 学习流程
一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解(根)
逐点 学练
本节 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 同类二次根式
1. 定义 整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2，这样的方程叫做一元二次方程.
感悟新知
1-1. 如果方程(m－3)·xm2－7－x+3=0 是关于x的一元二次方 程，那么m 的值为( C ) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 以上都不对
感悟新知
知式
ax2+bx+c=0(a，b，c 是已知数，a ≠ 0)，其中ax2 是
感悟新知
解：(1)整理方程，得： x2－x－6=0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6. (2)整理方程，得： x2+2x－14=0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
感悟新知
(3)整理方程，得： 2x2－7=0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
学了一元二 次方程的解
将x=3 代入方程，得左边=9－3=6，
法后还可以 通过解方程
华东师大初中数学九上《22.2一元二次方程的解法》PPT课件 (3)
－b± b2－4ac
c＝－2，b2－4ac＝16－4×1×(－2)＝24＞0，所以x＝
2a
－4± 24 ＝ 2×1 ＝－2± 6，解得x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6
20．(10分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点P从点B开始 沿AB边向点A以1个单位每秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C 以2个单位每秒的速度移动，P到A或Q到C停止移动．如果P，Q分别从 B同时出发，问几秒钟时△DPQ的面积等于8?
6．(3分)方程x(x－4)＝7的解是__x_1＝__2_＋____1_1_，__x_2＝___2_－___1_1____．
7．(3分)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的
另一个根是_－___3__．
8．(8分)用公式法解下列方程：
(1)x2＋x－2＝0；
(2)4x2－3x－5＝x－2.
解：a＝1，b＝4，c＝2，b2－4ac＝42－4×1×2＝8， 所以x＝－b± 2ba2－4ac＝－24×±1 8＝－2± 2. 即：x1＝－2＋ 2，x2＝－2－ 2. 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确
的解题过程．
解：有错误，c＝－2而不是c＝2.正确的解题过程是：∵a＝1，b＝4，
D．x1＝－1＋ 2，x2＝－1－ 2
4．(3分)以x＝b± b22＋4c为根的一元二次方程可能是( D )
A．x2＋bx＋c＝0
B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0
D．x2－bx－c＝0
5．(3分)一元二次方程x2＋2＝3x中，a＝__1____，b＝_－___3__，c＝
___2___，b2－4ac＝___1____．
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22.1 一元二次方程
新知探索
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
你怎么解决这个问题？
新知探索
解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案 的长为 m,宽为 （8－2x） （5－2x）m,根据题意,可得方程
2 54m
（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数 分别是多少？ 解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意得 方程：
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即 x2 ＋2x－8 0＝0.
拓展提高
5.方程x2－2007x－2008=0的解为 A. 1；2 B. 2；2008 C. －1；2008 D. 1；－2008
6. 已知6和－7是某一个方程的两个根，则该方程 可以是 A. (x－7)(x+6)=0 B. (x+7)(x+6)=0 C. x2－x+42=0 D. x2+x－42=0
(x－4)2＋ (x －2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20高
1.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－2， 求m的值。 2.方程(x－1)(x+3)(x －2)=0的解为 3.方程(x2－1)(2x+5)=0的解为 4.已知m是方程x2+x－2009=0的一个根， 求m2+m的值为 。 。 。
时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝ 当 k ≠ ±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
例题精讲
3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系 数、一次项系数和常数项： 方
2
程
一般形式
二次项 一次项 系 数 系 数
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
新知探索
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。
我们把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称 为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c 分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称 为二次项系数和一次项系数．
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
数学化
8
x
x
（8－2x）
5
18m2 x
新知探索
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动 少米？ 数学化
解：由勾股定理可知，滑动 6 m 子底端距墙
1 8m 7m
如果设梯子底端滑动X m，那么 动后梯子底端距墙 X＋6 m 根据题意，可得方程：
常数 项
3x =5x-1
(x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－8＝0
3 1
－5 1 0
1 －8 4
4-7x =0
2
－7x2 ＋4＝0 或－ －7x 7 2 ＋0 x＋4＝0 －7 或7x2 － 4＝0 7
0
－4
例题精讲
4．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着 门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去 了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 解：设竹竿的长 2尺 为x尺,则门的宽 数学化 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 x 意得方程： x－2
本节课你又学会了哪些新知识呢？ １．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般 形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０ 和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次 项系数、一次项系数． ２．会用一元二次方程表示实际生活中数量关系
3．根据题意，列出方程： （１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边 剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽 为(x＋2) m，依题意得方程： 5 x (x＋5) (x＋2) ＝54 即 x2 ＋ 7x－44 ＝0 x 2 X＋5
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
1 －1 ＝0 (3)2x2－ － 3x 2 y (4) － ＝ 0 2
(5)x2＋2x－3＝1＋x2 解: (1)、 (4)
例题精讲
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0, 当k
≠3
72＋(X＋6)2＝102
6m
x
新知探索
由上面二个问题，我们可以得到二个方程：
(8-2x)(5-2x)=18; 即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
(x＋６)2＋７2＝102
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
上述二个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方 程和分式方程有什么区别？
新知探索
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
你怎么解决这个问题？
新知探索
解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案 的长为 m,宽为 （8－2x） （5－2x）m,根据题意,可得方程
2 54m
（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数 分别是多少？ 解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意得 方程：
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即 x2 ＋2x－8 0＝0.
拓展提高
5.方程x2－2007x－2008=0的解为 A. 1；2 B. 2；2008 C. －1；2008 D. 1；－2008
6. 已知6和－7是某一个方程的两个根，则该方程 可以是 A. (x－7)(x+6)=0 B. (x+7)(x+6)=0 C. x2－x+42=0 D. x2+x－42=0
(x－4)2＋ (x －2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20高
1.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－2， 求m的值。 2.方程(x－1)(x+3)(x －2)=0的解为 3.方程(x2－1)(2x+5)=0的解为 4.已知m是方程x2+x－2009=0的一个根， 求m2+m的值为 。 。 。
时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝ 当 k ≠ ±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
例题精讲
3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系 数、一次项系数和常数项： 方
2
程
一般形式
二次项 一次项 系 数 系 数
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
新知探索
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。
我们把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称 为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c 分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称 为二次项系数和一次项系数．
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
数学化
8
x
x
（8－2x）
5
18m2 x
新知探索
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动 少米？ 数学化
解：由勾股定理可知，滑动 6 m 子底端距墙
1 8m 7m
如果设梯子底端滑动X m，那么 动后梯子底端距墙 X＋6 m 根据题意，可得方程：
常数 项
3x =5x-1
(x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－8＝0
3 1
－5 1 0
1 －8 4
4-7x =0
2
－7x2 ＋4＝0 或－ －7x 7 2 ＋0 x＋4＝0 －7 或7x2 － 4＝0 7
0
－4
例题精讲
4．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着 门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去 了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 解：设竹竿的长 2尺 为x尺,则门的宽 数学化 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 x 意得方程： x－2
本节课你又学会了哪些新知识呢？ １．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般 形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０ 和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次 项系数、一次项系数． ２．会用一元二次方程表示实际生活中数量关系
3．根据题意，列出方程： （１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边 剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽 为(x＋2) m，依题意得方程： 5 x (x＋5) (x＋2) ＝54 即 x2 ＋ 7x－44 ＝0 x 2 X＋5
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
1 －1 ＝0 (3)2x2－ － 3x 2 y (4) － ＝ 0 2
(5)x2＋2x－3＝1＋x2 解: (1)、 (4)
例题精讲
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0, 当k
≠3
72＋(X＋6)2＝102
6m
x
新知探索
由上面二个问题，我们可以得到二个方程：
(8-2x)(5-2x)=18; 即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
(x＋６)2＋７2＝102
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
上述二个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方 程和分式方程有什么区别？